用微积分推导简谐运动的位移时间公式

用微积分推导简谐运动的位移时间公式

已知：以弹簧振子作为研究对象，弹簧振子的质量为m ，设所经历的时间为t ，且当t=0时，弹簧振子处于受力平衡位置，弹簧的拉力系数为k （单位为N/m ），设弹簧振子的初速度为V 0，试推导弹簧振子位移s 与时间t 的关系。

解：设s 与t 的表达关系为s=s(t)

由导数的意义知，s '=s ' (t)表示位移s 在时间上的变化率，

即当时间为t 时，弹簧振子的速度v= s '

同理，当时间为t 时，弹簧振子的加速度a=v '=s"

弹簧振子所受的弹力F=-ks=ma

即，-ks=m s"

对该微分方程整理得 0m

k s"=+

s 其特征方程为 02=+m k λ 显然k 和m 都为正物理量，所以该特征方程Δ＜0

于是该特征方程具有共轭复根 i m

k ±=λ 由二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式得，原微分方程的通解为 t m

k C t m k C s sin cos 21+= 其中C 1、C 2都是与t 无关的常量

由已知条件得，当t=0时，s=0，于是C 1=0 所以t m k C s sin

2= 对s 进行求导得t m

k m k C v cos 2= 由已知条件得，当t=0时，V=V 0 所以k m v C 0

2= 所以，最终确认简谐运动的位移时间公式为t m k k m v s sin 0

= 由该公式可以得出，该简谐运动的振幅为k

m v 0，振幅与初速度的大小、弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关。该简谐运动的周期为k m π

2，周期与弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关，与初速度大小无关。