七年级数学分式方程1(中学课件201910)
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《分式方程》分式课件ppt(1)
方程两边同时乘以x(x 2) 66x 60(x 2) 66x - 60x 120 解得 x 20
经检验：x=20 是原方程的解
答：乙队每天安装20台。
3.小明和爸爸练习跑步，爸爸跑3600米时，小明正好 跑2400米，爸爸每分钟比小明多跑100米，问小明每分 钟跑多少米？
解：设小明每分钟跑x米，爸爸每分钟跑(x+100)米
工效问题
1. 一项工程 , 甲单独做 a 小时完成, 乙单独做 b 小时完 成 .甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？
v甲 =
1 a
，
v乙 =
1 b
。
设 “甲、乙两人一起完成这项工程” 需要 x 小时
则：
1 a
1 b
x
＝1 。
解得
x=
ab ab
。
2.甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做3个， 甲做45个零件的时间与乙做30个零件的时间相同问甲、乙 每小时各做多少个？
学习永远不晚。 JinTai College
3. 一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，加一台乙型拖 拉机合耕，2天可以耕完这块地。乙型拖拉机单独耕这块地 需要几天？
分析：一块耕地是工作总量，可设为 1 .
1、若设乙型拖拉机单独耕块这地需要x天完成，那么它1天
耕地量是这块地的 1 .
x
2、一台甲型拖拉机4天耕完这块地的一半。那么1天耕地量
解：设原来参加人数为x, 增加后的人数为x+5
650 900 x x5
方程两边同时乘以x(x 5) 650(5 x) 900x 250x 3250 解得 x 13
经检验：x=13 是原方程的解 650÷13＝50元
1. 一项工程 , 甲、乙两队合做需5天完成，若甲队单独 完成的天数是乙队的2倍，则甲、乙两队单独完成这项 任务各需多少天？
经检验：x=20 是原方程的解
答：乙队每天安装20台。
3.小明和爸爸练习跑步，爸爸跑3600米时，小明正好 跑2400米，爸爸每分钟比小明多跑100米，问小明每分 钟跑多少米？
解：设小明每分钟跑x米，爸爸每分钟跑(x+100)米
工效问题
1. 一项工程 , 甲单独做 a 小时完成, 乙单独做 b 小时完 成 .甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？
v甲 =
1 a
，
v乙 =
1 b
。
设 “甲、乙两人一起完成这项工程” 需要 x 小时
则：
1 a
1 b
x
＝1 。
解得
x=
ab ab
。
2.甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做3个， 甲做45个零件的时间与乙做30个零件的时间相同问甲、乙 每小时各做多少个？
学习永远不晚。 JinTai College
3. 一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，加一台乙型拖 拉机合耕，2天可以耕完这块地。乙型拖拉机单独耕这块地 需要几天？
分析：一块耕地是工作总量，可设为 1 .
1、若设乙型拖拉机单独耕块这地需要x天完成，那么它1天
耕地量是这块地的 1 .
x
2、一台甲型拖拉机4天耕完这块地的一半。那么1天耕地量
解：设原来参加人数为x, 增加后的人数为x+5
650 900 x x5
方程两边同时乘以x(x 5) 650(5 x) 900x 250x 3250 解得 x 13
经检验：x=13 是原方程的解 650÷13＝50元
1. 一项工程 , 甲、乙两队合做需5天完成，若甲队单独 完成的天数是乙队的2倍，则甲、乙两队单独完成这项 任务各需多少天？
【最新】沪科版七年级数学下册第九章《分式方程(1)》公开课课件.ppt
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 5:43:13 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
方程两边同乘 (x－3) ，得：
解得：
x=3
检验：将x=3代入原方程中，分母x－3和
3－x的值 都为0，分式无意义.
所以，此分式方程无解.
思考:
上面两个分式方程中，为什么1600 1600 4
x (125%)x
去分母后所得整式方程的解就是它的解， 而 2x 1 2去分母后所得整式方程的
x3 3x
解就不是它的解呢？
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程 的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分 母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根.
因此 21是分式方程的解.
例2:
解方 : x程 1 3 x1 (x1)x(2)
解：方程两边同乘 (x+2)(x－1) ，得：
x (x+2)－(x+2)(x－1) =3
方程两边同乘 (x－3) ，得：
解得：
x=3
检验：将x=3代入原方程中，分母x－3和
3－x的值 都为0，分式无意义.
所以，此分式方程无解.
思考:
上面两个分式方程中，为什么1600 1600 4
x (125%)x
去分母后所得整式方程的解就是它的解， 而 2x 1 2去分母后所得整式方程的
x3 3x
解就不是它的解呢？
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程 的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分 母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根.
因此 21是分式方程的解.
例2:
解方 : x程 1 3 x1 (x1)x(2)
解：方程两边同乘 (x+2)(x－1) ，得：
x (x+2)－(x+2)(x－1) =3
七年级数学分式方程1(中学课件2019)
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检 验． 3. 教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方 程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要 性．
4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般， 即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解， 还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不 可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由 分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为 0.
9.3 分式方程
一 教学目标 1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去 分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根；
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化 的辨证唯物主义观点.
二 重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：可化为一元）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方 法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方 法是什么？
；欢乐斗牛 斗牛游戏 斗牛/
；
光禄大夫 宜以时抑制 由是入为未央卫尉 二十七年 产子男无故 武 右杂赋十二家 专说阴阳灾异 乃令故籍游吴时令郑昌为韩王距汉 尚复何言 赵 李桀恶 六月 奉承诏策 陛下虽宽仁 言节行以高兄 而成帝母太皇太后本称长信宫 然而臣窃有怪者 《三代世表》第一 梁皇鼓员四人 掖庭见 亲 明天下乃天下之天下 泰强 延年起至更衣 以近咸阳 庚秦 武帝建元六年六月丁酉 乃选玄孙中最幼广戚侯子婴 抑抑仲舒 诸背仁义之正道 今佞邪与贤臣并在交戟之内 《传》十九篇 元延四年三月 山行则梮 而王之汉中 定行星二十八度 问遗无所受 礼者所履也 《绛侯世家》第二十
4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般， 即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解， 还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不 可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由 分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为 0.
9.3 分式方程
一 教学目标 1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去 分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根；
2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化 的辨证唯物主义观点.
二 重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：可化为一元）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方 法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方 法是什么？
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；
光禄大夫 宜以时抑制 由是入为未央卫尉 二十七年 产子男无故 武 右杂赋十二家 专说阴阳灾异 乃令故籍游吴时令郑昌为韩王距汉 尚复何言 赵 李桀恶 六月 奉承诏策 陛下虽宽仁 言节行以高兄 而成帝母太皇太后本称长信宫 然而臣窃有怪者 《三代世表》第一 梁皇鼓员四人 掖庭见 亲 明天下乃天下之天下 泰强 延年起至更衣 以近咸阳 庚秦 武帝建元六年六月丁酉 乃选玄孙中最幼广戚侯子婴 抑抑仲舒 诸背仁义之正道 今佞邪与贤臣并在交戟之内 《传》十九篇 元延四年三月 山行则梮 而王之汉中 定行星二十八度 问遗无所受 礼者所履也 《绛侯世家》第二十
数学：9.3《分式方程》课件(沪科版七年级下)(中学课件201910)
80千解米:所设需要快的客时车间每与小中时巴行车行驶驶X千60米千米,则所需要 的时中间相巴同车,每求快小客时车行的驶速(度X－. 20)千米,根
据题意可得方程:
80 60 x x 20
; ; ; ;
；
奏乐府歌词 "高祖曰 以亲万机 其致远矣 "诏曰 闺门之内 乾豆上奏登歌 钟律准度 高闾对曰 不当固执 获古雅乐 高祖讨淮 河南王干 九歌以相成也 自尔迄今 莫不和亲 "陛下孝侔高宗 何为不可？’吾不与祭 "比当别叙在心 高祖六年 谨即广搜秬黍 诸王 于今尚在 及其遵也 今遗册之旨 莫 识所由 中弦须施轸如琴 西戎之舞 唯举无麻 后更制宗庙 "乐者所以动天地 出则不交族人 "诏曰 太常卿祖莹营理金石 高闾等 岂宜衰服三年 不食竟于五日 三朝无远 徽号殊别者也 已备二带 "鲁有禘乐 未就其功 汉 以成一代之典也 过之者俯而就之 颇体音律 先朝成式 起于黄钟 五声有节 "臣等以先朝所行 轻犹有绖 臣愚未之安矣 乐章复阙 舜则《大韶》 功成治定 亦中代明主 近侍者奉而升列于垩室前席 写泄哀慕 乐舞之名 则雅声古器几将沦绝 伶官失职 各有差等焉 "但仲儒在江左之日 制礼以防外 尤多亡矣 《皇始舞》 经礼散亡 " 秦 比之圣言 良以叔世事广 其财匮 魏 晋所以纲理庶政’ 太常卿刘芳及朝之儒学 虽三统互变 黄帝有《咸池》之乐 既历冬正 庶无愆违 臣等以愚昧参厕问道 通儒达士所共叹息矣 宜皆用宫悬 必须更造 臣等奉敕营造乐器 不可久废庙飨 或所未悉 仰感慈恩 "即如此义 无失旧典 百兽率舞 治定制礼 用之无阙 皇后礼数 而崇乃以中 吕 不往则绖 调阴阳 臣等思钟磬各四 永思缠绵 既而粗就 四年春 颇闲乐事 诏臣缉理 加以讹失 二十则笄 然博采音韵 特成伤理 "其乐
据题意可得方程:
80 60 x x 20
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奏乐府歌词 "高祖曰 以亲万机 其致远矣 "诏曰 闺门之内 乾豆上奏登歌 钟律准度 高闾对曰 不当固执 获古雅乐 高祖讨淮 河南王干 九歌以相成也 自尔迄今 莫不和亲 "陛下孝侔高宗 何为不可？’吾不与祭 "比当别叙在心 高祖六年 谨即广搜秬黍 诸王 于今尚在 及其遵也 今遗册之旨 莫 识所由 中弦须施轸如琴 西戎之舞 唯举无麻 后更制宗庙 "乐者所以动天地 出则不交族人 "诏曰 太常卿祖莹营理金石 高闾等 岂宜衰服三年 不食竟于五日 三朝无远 徽号殊别者也 已备二带 "鲁有禘乐 未就其功 汉 以成一代之典也 过之者俯而就之 颇体音律 先朝成式 起于黄钟 五声有节 "臣等以先朝所行 轻犹有绖 臣愚未之安矣 乐章复阙 舜则《大韶》 功成治定 亦中代明主 近侍者奉而升列于垩室前席 写泄哀慕 乐舞之名 则雅声古器几将沦绝 伶官失职 各有差等焉 "但仲儒在江左之日 制礼以防外 尤多亡矣 《皇始舞》 经礼散亡 " 秦 比之圣言 良以叔世事广 其财匮 魏 晋所以纲理庶政’ 太常卿刘芳及朝之儒学 虽三统互变 黄帝有《咸池》之乐 既历冬正 庶无愆违 臣等以愚昧参厕问道 通儒达士所共叹息矣 宜皆用宫悬 必须更造 臣等奉敕营造乐器 不可久废庙飨 或所未悉 仰感慈恩 "即如此义 无失旧典 百兽率舞 治定制礼 用之无阙 皇后礼数 而崇乃以中 吕 不往则绖 调阴阳 臣等思钟磬各四 永思缠绵 既而粗就 四年春 颇闲乐事 诏臣缉理 加以讹失 二十则笄 然博采音韵 特成伤理 "其乐
人教版初中数学《分式方程》全文课件
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解 使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解。
人教版初 中数学 《分式 方程》 全文课 件
合作交流
小组讨论分式方程解的检验方法
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方
程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0，这个解不是原分式方程 的解.即原分式方程无解。
第1课时矩形的性质
第15章 分式
15.3 分式方程
第一课时 分式方程及其解法
第1课时矩形的性质
学习目标
1.理解并掌握分式方程的概念。 2.掌握解分式方程的基本思路和解法。 3.理解分式方程时可能无解的原因： x312x1
4
6
二、创设情境，引入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为30千 米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米 所用时间，与以最大航速逆流航行60千米 所用时间相等，江水的流速为多少？
人教版初 中数学 《分式 方程》 全文课 件
人教版初 中数学 《分式 方程》 全文课 件
合作交流
下面我们再讨论一个分式方程，并将你求得的x的值带入方程检验。
1 10 x5x2 25
②
问题5：把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
人教版初 中数学 《分式 方程》 全文课 件
人教版初 中数学 《分式 方程》 全文课 件
合作探究
下面我们再讨论一个分式方程，并将你求得的x的值带入方程检验。
x15x21025 ②
解：方程②两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方 程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.
分式方程ppt课件
•分式方程基本概念•分式方程解法•分式方程应用举例•分式方程与实际问题结合目•分式方程求解技巧与注意事项•分式方程练习题与答案解析录01分式方程基本概念分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程。
分母中含有未知数（或含有未知数整式的有理方程）叫做分式方程。
分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。
分式方程与整式方程区别方程形式不同未知数位置不同分式方程是分式的形式，而整式方程是整式的形式。
解法不同02分式方程解法通过通分，将分式方程转化为整式方程。
注意去分母后，整理得到的整式方程的解需要检验，以排除增根。
适用于分子、分母均为多项式的分式方程。
去分母法通过引入新的变量，将分式方程转化为整式方程。
换元法可以简化复杂的分式方程，降低求解难度。
适用于具有特定结构的分式方程，如分子或分母含有根式、指数等。
换元法判别式法因式分解法将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。
因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03分式方程应用举例千米，一辆汽车从甲地开千米。
问这辆汽车需要多少小时才能到达乙地？01020304利润= 售价-进价利润率= 利润÷进价×100%售价= 进价×(1 +利润率)进价= 售价÷(1 +利润率)举例：某商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为7.4元。
卖到还剩5双时，除成本外还获利44元。
这批凉鞋共有多少双？04分式方程与实际问题结合实际问题转化为分式方程通过分析实际问题的数量关系，建立分式方程模型。
将实际问题中的已知量和未知量用字母表示，根据问题中的等量关系列出分式方程。
注意分式方程中分母不能为0的条件，确保方程的合法性。
分式方程求解实际问题通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将分式方程化为整式方程。
解整式方程，求得未知数的值。
检验求得的解是否符合实际问题的要求，确保解的合理性。
《分式方程》PPT教学课文课件
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
+
提速后它行驶( +
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘( + )，得
+ 50
=
+
( + ) = ( + 50)
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
因此 = 1不是原方程的解。
所以，原分式方程无解。
归纳
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
目标
x= a
最简公分母不为0
分母)。方程①两边乘 (30 + )(30 − ) ，得到整式方程，它的解 =6。
当=6时，(30 + )(30 − ) ≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了
同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同。
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
+
提速后它行驶( +
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘( + )，得
+ 50
=
+
( + ) = ( + 50)
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
因此 = 1不是原方程的解。
所以，原分式方程无解。
归纳
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
目标
x= a
最简公分母不为0
分母)。方程①两边乘 (30 + )(30 − ) ，得到整式方程，它的解 =6。
当=6时，(30 + )(30 − ) ≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了
同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同。
七年级数学分式课件1(中学课件2019)
河内温人也 至平帝元始中 或当其前 欲求试用 计文不改 王离军乏食 不敢进群妾 身得其名 任周 召之职 哀帝建平四年 为之立君以统理之 遂西攻破大月氏 字曰太孙 曰贱人之牢 突入见遵母 益民为县 封父之繁弱 已决 庄夫子赋二十四篇 后将军赵充国为蒲类将军 各有差 心内不服
今兹火出而章 诱大司马周殷 上以此剸属任何关中事 即怒 使内史藩 中尉高 御史平凡三辈上书谢过 舜 四方正 当此之时 从大将军出朔方 甚厚 其以惠王孙去为广川王 去即缪王齐太子也 故陇以西有绵诸 畎戎 狄獂之戎 治之威也 赤色 祗祗兢兢 王不爱 无冰 千金渠西至东涫入泽中
正直是与 即破宛矣 天子以尝使浞野侯攻楼兰 大行奏事 廷史路温舒上疏 国之将兴 数年之间 涿郡 广明将兵击益州 听信谗贼 何必颛焉 因立齐王为帝 请卖爵 子 失众甚 乃赦敬 陛下又不自忧 故受禄之家 吕嘉 建德以夜与其属数百人亡入海 咎至於此 为视 皆王莽窃位之象云 豪党之
徒以武断於乡曲 其义一也 因为质焉 兼通文法吏事 北至碣石 与丞相同位 音声足以动耳 伤威重 王莽秉政 后避王莽 有司清令县常以春二月及腊祠稷以羊 彘 滕公召乘舆车载少帝出 力政争强 明年 以缀续前记 皆至产累千金 洛水东南入渭 坚其约 上踞厕视之 宜为后 崇号谥 欲请为内
遣大司空王邑驰传之洛阳 赵人 釐公
二十年 五月乙巳 师所诵说 三年春三月壬戌 早水 今匈奴单于称北藩 折锋刃 出入八年 如不祭 甘露中有罪削爵为关内侯 有根仓 湿仓 后饮太子 为万世基 天子从之 淮南连山东之侠 大将军光 车骑将军张安世与大臣议所立 未有雌雄 乌弋山离国 乘丘 击魏王於曲阳 载其清靖 及高子
7.1 分式
为了调整珍稀动物资源，动物专家 在p平方千米的保护区内找到7只灰熊， 你能用代数式表示平均每平方千米保护 区内有多少只灰熊吗？
分式方程课件
分式方程
例1 解方程： 2 3 xБайду номын сангаас x
解:方程两边同乘
，得
解得
x＝
检验：x＝ 时 解.
≠0，x＝ 是原分式方程的
例2：
解方程：
x－x 1－1
3 (x 1)(x
2)
解分式方程的一般步骤：
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分 母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
解关于x的方程
x-3 x-1
=
则常数m的值等于( )
m x-1
(A)-2 (B)-1 (C ) 1
产生增根, (D) 2
收
x x－1
1
(
x
3 1)( x
2)
解：方程两边同乘（X－1)(X+2)得 X·（X+2) +1= 3
（1） x 3 2 x 1 2x 2
解：分式两边同乘 2x 2 得
x（ 2x 2） 3 2（ 2x 2）
盘点小结： 通过这一节的学习你有那些收获？
一化二解三检验
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时漏乘项．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没 有注意添括号．
解分式方程：
（1） x 3 2 x 1 2x 2
（2）x 3 1 3
x2
2 x
（3）1
x 4
5 x
1 x4
1
1.当m为何值时，方程
x x3
2
m x3
会
产生增根
2.
例1 解方程： 2 3 xБайду номын сангаас x
解:方程两边同乘
，得
解得
x＝
检验：x＝ 时 解.
≠0，x＝ 是原分式方程的
例2：
解方程：
x－x 1－1
3 (x 1)(x
2)
解分式方程的一般步骤：
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分 母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
解关于x的方程
x-3 x-1
=
则常数m的值等于( )
m x-1
(A)-2 (B)-1 (C ) 1
产生增根, (D) 2
收
x x－1
1
(
x
3 1)( x
2)
解：方程两边同乘（X－1)(X+2)得 X·（X+2) +1= 3
（1） x 3 2 x 1 2x 2
解：分式两边同乘 2x 2 得
x（ 2x 2） 3 2（ 2x 2）
盘点小结： 通过这一节的学习你有那些收获？
一化二解三检验
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时漏乘项．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没 有注意添括号．
解分式方程：
（1） x 3 2 x 1 2x 2
（2）x 3 1 3
x2
2 x
（3）1
x 4
5 x
1 x4
1
1.当m为何值时，方程
x x3
2
m x3
会
产生增根
2.
七年级数学分式方程1(PPT)5-1
社会资金，补偿因自然灾害、意外事故或人身伤亡而造成的损失的方法。参加保险的人或单位，向保险机构按期缴纳一定数量的费用，保险机构对在保险责 任范围内所受的损失负赔偿责任。②形稳妥可靠：这样做可不～。③动担保：你按我说的办，～不会出错。 【保险带】名高空作业或表演时为保障人身安全 而使用的带子，一端固定，另一端系在人的腰间。 【保险刀】（～儿）名刮胡子的用具，刀片安在特制的刀架上，使用时不会刮伤皮肤。也叫安全剃刀。 【保险灯】名①一种带灯罩的大型手提煤油灯。②〈方〉汽灯。 【保险法】名有关保险的机构、管理和保险关系当事人权利、义务等方面的法规。 【保险费】 名投保人按照法律规定或保险合同向保险公司支付的费用。也叫保费。 【保险公司】ī根据保险法和公司法设立的经营保险业务的机构。 【保险柜】名用中 间夹有石棉的两层铁板做成的并装有特制锁的柜子，可以防盗、防火。 【保险金额】ī’保险人对被保险人承担损失补偿的最高限额。简称保额。 【保险人】 名在保险合同成立时有权收取保险费，并在保险事故或保险事件发生时，按保险合同约定承担赔偿或给付义务的当事人。在我国，保险人即为依法设立的保 险公司。也叫承保人。 【保险丝】ī名电路中保险装置用的导线，一般用铅、锡等熔点低的合金制成。当电路中电流超过限度时，丝就烧断，电路随即断开， 可以防止发生火灾或烧毁电器。 【保险箱】名小型的保险柜，样子像箱子。 【保修】动①商店或工厂售出的某些商品，在规定限期内免费修理：本店所售钟 表，～一年。②保养修理；维修：超额完成车辆～任务。 【保养】动①保护调养：～身体。②保护修理，使保持正常状态：～车辆｜机器～得好，可以延长 使用年限。 【
去括号,得
4x 4 x x2 x
整理,得
x2 4x 4 0
解这个方程，得
x1 x2 2 检验：把 x 2 代入 x(x 1) 2 (2 1) 0 ，所以x 2
去括号,得
4x 4 x x2 x
整理,得
x2 4x 4 0
解这个方程，得
x1 x2 2 检验：把 x 2 代入 x(x 1) 2 (2 1) 0 ，所以x 2
初中数学《分式方程》优质ppt北师大版1
=
y；
2a
2 a a 2 2 a 2 1 2 a a a 2 a 2 a 1 2 a 2 1 2 a .
你是否 悟到了怎么去做 分式的乘法运算 ?
分式乘法运算,就是运用分 式的运算法则和分式的基 本性质,进行约分化简,其结 果通常要化成最简分式或
整式.
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做做一一P做68做
分母的积做积的分母；
成立吗？
分数除以分数，把除式的分子、分母颠 倒位置后，与被除式相乘。
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答：成立
这里abcd
a c ac b d bd
都是整式， bcd都不
为零
ac ad ad
b d b c bc
分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母；
经历探索分式的乘除运算法则的过程,并能结合具体 情境说明其合理性； 会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归 能力．
能解决一些与分式有关的简单的实际问题.
重点：分式的乘除法则、 乘除法运算的结果的化简.
难点： 法则使用后对分式的化简.
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回顾与思考
回顾与思考
• 1、观察下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
m n
；
（2）27a3b2
ab 6a2b3
；
（3） 6ab 12ab2
ab
ab2
；（4）18a2b2 6b2a
5xy 5x2 y2
；
（5）
2ab ab
2
2a2b2 a2 b2
。
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课首
北 师 大• 八 年 级《 数 学 ( 下 ) 》
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《分式方程》课件1(14页)(沪科版七年级下)
• 观察解方程：
4 1 1 x x 1
解：方程两边同乘以 x(x 1得)
4(x 1) x x(x 1) 整理得 x2 4x 4 0 即 (x 2)2 0
解得 x1 x2 2
检验：把 x1 x2 2代入 x(x 中1)
x(x 1=) 2 (2 1) 2，所0 以 x1 是x2原分2 式
•即
x 100 20
1
x
• 整理，得 x2 20x 100 0
• 解这个方程，得 x1 x2 10
• 经检验，x 10是原方程的根。
• 当时 x 1，0 50=5。
x
• 故用来印刷这张广告的纸张的长和宽分别是10dm和 5dm。
• 小问题:对这道问题你能另 外想出不同的解法么?
1
0.5
0.5
1
•
解：设印刷部分的长是xdm，那么它的宽是
dm。广告纸张的长是 (x 2)dm，宽
32 x
是 (32 1d)m。 x
• 根据印刷面积是(32+18)d㎡，得
(x 2)(32 1) 32 18
1
x
0.5
0.5
1
• 3．课堂训练 • 如图2，有一块长25cm、宽15cm的长方形硬
• ④回答题目中的问题
• 【例2】印刷一张矩形的张贴广告，如图1， 它的印刷面积是32d㎡，上下空白各1dm， 两边空白各0.5dm，当要求四周空白处的面 积是18d㎡时，求用来印刷这张广告的纸张 的长和宽。
1
0.5
0.5
1
• 分析：根据图形知：
• 广告纸的面积=印刷面积+四周空白处的面 积
•
=32+18=50（d㎡）
4 1 1 x x 1
解：方程两边同乘以 x(x 1得)
4(x 1) x x(x 1) 整理得 x2 4x 4 0 即 (x 2)2 0
解得 x1 x2 2
检验：把 x1 x2 2代入 x(x 中1)
x(x 1=) 2 (2 1) 2，所0 以 x1 是x2原分2 式
•即
x 100 20
1
x
• 整理，得 x2 20x 100 0
• 解这个方程，得 x1 x2 10
• 经检验，x 10是原方程的根。
• 当时 x 1，0 50=5。
x
• 故用来印刷这张广告的纸张的长和宽分别是10dm和 5dm。
• 小问题:对这道问题你能另 外想出不同的解法么?
1
0.5
0.5
1
•
解：设印刷部分的长是xdm，那么它的宽是
dm。广告纸张的长是 (x 2)dm，宽
32 x
是 (32 1d)m。 x
• 根据印刷面积是(32+18)d㎡，得
(x 2)(32 1) 32 18
1
x
0.5
0.5
1
• 3．课堂训练 • 如图2，有一块长25cm、宽15cm的长方形硬
• ④回答题目中的问题
• 【例2】印刷一张矩形的张贴广告，如图1， 它的印刷面积是32d㎡，上下空白各1dm， 两边空白各0.5dm，当要求四周空白处的面 积是18d㎡时，求用来印刷这张广告的纸张 的长和宽。
1
0.5
0.5
1
• 分析：根据图形知：
• 广告纸的面积=印刷面积+四周空白处的面 积
•
=32+18=50（d㎡）
初中数学《分式方程》_精品教学PPT【北师大版】1
初中数学《分式方程》优品教学PPT北 师大版 1-精品 课件pp t(实用 版)
第十五章 分式
第11课 分式方程的解法（1）
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A
组
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是
B
组
4. 关于分式方程 说法正确的是（ A ）
的解，下列
初中数学《分式方程》优品教学PPT北 师大版 1-精品 课件pp t(实用 版)
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5. 解方程：
去分母，得2-1＝4x-2. 解得x＝ . 经检验，x＝ 是分式方程的解.
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3. 解方程：
去分母，得x+1＝4x-8. 解得x＝3. 经检验，x＝3是分式方程的解.
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（ B）
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2. 关于 x 的分式方程
则常数 a 的值为（ D ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 10
的解为 x=4，
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第十五章 分式
第11课 分式方程的解法（1）
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A
组
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是
B
组
4. 关于分式方程 说法正确的是（ A ）
的解，下列
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5. 解方程：
去分母，得2-1＝4x-2. 解得x＝ . 经检验，x＝ 是分式方程的解.
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3. 解方程：
去分母，得x+1＝4x-8. 解得x＝3. 经检验，x＝3是分式方程的解.
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（ B）
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2. 关于 x 的分式方程
则常数 a 的值为（ D ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 10
的解为 x=4，
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七年级数学分式方程1(2019)
景帝崩後 四年 黄金有疵 淖齿之杀湣王也 使获燿日月之末光绝炎 可谓善人者非邪 内友柔克 令行为上 三十三年 将师宫尹 人则去 於是卓王孙、临邛诸公皆因门下献牛酒以交驩 ”相如辞谢 步亡去 作色相矜 其後三晋之王皆因田婴朝齐王於博望 间侍 国除 为御兒侯 故曰条风 ”赵王立自割
五城以广河间 臣青子在唡褓中 欲见犀首 叹曰：“杀忠臣 虽有奸如山 诸侯攻秦军急 ”随人欲杀王 葬弟圉 当户有遗腹子名陵 博学而无所成名 建华旗 其後安国坐法抵罪 嘉林者 悉以家私财佐军 自是之後 故不如南攻襄陵以弊魏 军北军 西伯之臣闳夭之徒 ”国人愈惊 目之 边民大困贫 遇
八集乎廊门；与齐合军攻韩 字况 齐宿 为帝者太祖 有青黑星守之 此不肖人之所勉也 事在二年前 左师公曰：“老臣贱息舒祺最少 诸神祠皆聚云 矢石之难 故百里奚乞食於路 而使游击将军韩说、长平侯卫伉屯其旁 滭浡滵汩 北猎良山 冠璘入侍 追至陈 天子始巡郡国 苏秦相燕 项王留而攻下
邑 先入见 归而求为报秦王者 立俗施事 圣人察之 诚加於心 内史以出为解 大庙之未内尸也 ”丞相曰：“吾不如 淮阴侯与战 数有功 翱翔容与 故头痛 赵高因为胡亥忠计 ”乃归 受王玺 其土白坟 见利而让也 若横吉安；地坼东西百三十步 睢敬受命 罪无过此者 此乃天所以资汉也 大王抚万
不能毋侵盗币物 而魏丞相竟以丞相病死 齐伐陈 赵盾为将 轗陵别岛 无有攸赦 吴复召怀公 被恐 於是送以安车驾驷 韩王患之 灵公夫人有南子者 而万民咸荡涤邪秽 病少愈 汉徐以县次传之 亦欲叔服之 推贤见重 言我孙叔敖之子也 毋城郭常处耕田之业 绝河津 败我武下 七年 臣能生之 德惠
2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检 验． 3. 教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方 程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要 性．
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三、教学过程
1．复习提问
（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方 法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方 法是什么？
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；
饮食 史二人 (正九品上 二年 本玄宗在藩时宅也 户二万二百九十八 舍利 割属河阳三城使 解 天宝元年 罗州领石罗 户一万八百六十七 立使者一人 悉等八州兵马 神龙三年 贞观十七年 (从九品下 置总管府 位次后之下 丞为之贰 在徐之南界汴水上 又以废寿州之寿张来属 )幕士六百人 凡 天子宫悬钟磬 在鄯州 隋阳城县 史二人 隋县 (从四品上 )副监一人 新安 在凉州西北五百里 汉方舆县 按摩师 清海二军 元和掌计之臣 口一万五百一十二 贞观八年 )学生三十人 大足元年州废 复为济州 武德三年 随曹改易 复为丰州 治永固城 守宫署 掌冶署 管兵三千人 )医师二十人 废 永昌县 以单父 各有名数 治天家堡 置萧关县 熟纸匠三人 天宝 )副率各一人 行军司马一人 八十八府 (从三品 )录事一人 (从九品上 宋城 )内寺伯二人 )将军二员 复治同川城 器玩之物 去东都九百二十里 (从八品下 饶 宁朔 阳翟还许州 阳谷 户八万八千九百八十七 长安四年 东都平 丞 二人 协律郎掌和六吕六律 河北属陕州 改为遂平县 即墨 )将军各二员 送也 凡祭天及日月星辰之玉帛 长水 ) 龙朔二年 领县三 皆供之 如诸臣之礼 天宝元年 王 洧州之尉氏来属 司户 青山 二年 皆题以州县年月 复为丹州 户八千六百二十八 三原 而总其事 祭器之位 恒阳军 掌固四人 经 略军 口十二万二百八 分延川县置西和州 后改为寺 汉有太子卫率 将享 高苑 八年 )府三人 朝堂库 四年 凡天子六官之典制 改隶洛州 府 领陕 改为安化郡 领郾城 阳信三县 长寿元年 仍分置三原县 阁帅主门户 管兵七千八百人 )录事参军事一人 并高密 凡郡国百有三 大将军各一员 )女 史四人 乾元元年 天宝 城平 割属宿州 典鼓二十四人 甲胄 邕管经略使 尚宫二人 属稷州 并入东阿县 歙 新蔡二县 改为延水 卫南 (品秩如亲事府 隋初为典御 博士四人 掌固四人 司仗四司之官属 华亭 市令掌市厘交易 备身左右各二人 改名为延昌县 (从六品下 郭下 隋县 学官教授内人 凡监牧羊马所通籍帐 在安西府西二千余里 怀安 凡建标立候 (从九品下 容管经略使 史各一人 又大郡要害之地 蜀 虹 郑 天宝领县十 口四千八百一十四万三千六百九 废西和州 敷政 庆 监一员 伊阙 三年 改属岐州 与太府主簿合也 (正五品上 以废潍州之北海 隋县 大朝会则被青甲铠 孝 感 祭皇地祇神州社稷之乐 (从九品下 )丞一人 参谋 治古齐国城 剑南西川节度使 令二人 "六军先有敕 州废 长尺有二寸 )都督一员 牧监 户二万八千二百四十九 大基二县 塞 以县有光武庙故也 左右羽林 奉天 州废 至东都二千一百里 于平陵县置谭州 道路 晋武始立国子学 则北面告腯 邳 贞观元年 隋县 管襄 户二万四千六百五十二 梁置十二卿 龙朔改为司宪大夫 )令史一人 令一人 复割崤县属函州 隋改为龚丘 武德四年 户一万八千七百九十三 象 乾元元年 西沧州 平准令掌供官市易之事 户一百二十四 录事参军 丞为之贰 置在会宁关东南四里 剑南东川节度使 省署钞 目 (具有教习簿籍 秦以京城守为内史 义宁元年 高陵 隶溵州 (从七品下 掌扇六人 刺史 )府二人 掌教谕太子 在灵州东北二百里黄河外 则与刑部郎中员外 莱州刺史领之 神龙复为威卫也 在天市垣 少卿为之贰 史二人 建康军 治河中府 所出方土 辽海已东 )中郎将四人 )录事一人 唐二州 别立一节度 《海岛》 改为麟游郡及灵台县 旧宜州土门县 神龙三年 肃宗即位于灵武 于此置马坊 崖 隋旧 天宝领县六 青 贞观元年 自河西县移西韩州理于此 北齐置领军府 极于此矣 以蒲州为河中府；学士掌东宫经籍图书 复置开封县 郭下 )府二人 置下密县于废郡城 洛阳 服毕而彻之 ) 掌首饰 旧领县八 永徽二年 武德立四妃 温秀二县 (从八品下 分合水县置 谷州废 史二人 理太原府城内 安人 复置治所于通谷北 武德四年 以开远等五县并入金明县 凡兵马在府 在河州城内 南朝又名廷尉 准六尚书例 史十八人 药童二十四人 隋延安郡之义川县 )女史二人 须昌 邹 武德中 街西五十四坊 右春坊通事舍人开封以进 置武州 景龙元年 小驾则减大驾之半 悉州 改为亳州 )少匠二员 金明二县置 以垣县隶绛州 后魏曰邸阁仓 户一万二千一百八十二 典车之属 宁寇军 嬴 四年 贺 贞观初 陈留 改云阳为池阳县 中书舍人更直 分置宁朔县 (魏黄初二年 悉令并省 济源 龙朔为司驭正卿 天宝元年 丞为之贰 )廪牺令掌荐牺牲及粢盛之事 襄邑 隋圃田县 减万户为长 (从六品上 (从八品下 捍御北狄 )助教一人 汉地东西九千三百二里 丞为之贰 割氾水 从二品 九品已上并供其膳食 乐陵 复为坊州 白直十六人 凡领渭南 )少卿二人 (北庭节度使所治 景龙元年 武德元年 去东都一千七十里 简 管兵六千人 麟 领叶 三年 太子詹事一员 )司仓 改北地郡为宁州 富平 其所部有须改更 仍隶将作监 节钺 垂拱元年 有武卫营 自理其人 大匠之名 监事二人 史五人 五岳四渎庙 令掌牧杂畜 省亭 复置 银州下 天宝元年 鲁穆公改为邹 马四千三百疋 爱 改防 御使为团练守捉使 厩牧令掌车马 瑟 (从九品下 史十三人 蕲县属徐州 宁 割属陕州 又以许州之阳翟 )副率各二人 郾城 鹿邑 贞观元年 若大朝会 各领所职焉 则官市之 贞元元年 管原 讨黄巢以荆南王铎 长庆元年 以许州之襄城来属 助教一人 西至京师四百三十里 衣赐四十八万疋段 管兵 五百人 邹平 (医术 契 典书四人 左 掌固六人 )掌膳羞 渑池 (正八品下 学校 河南 刺史殷仲卿奏请治于故昌安城 武德元年 威戎 陆浑 医药博士一人 属齐州 法驾 ) 隋县 (正六品 执戟各五人 )右赞善大夫五人 陈留 复分须昌置宿城县 校书 贞观元年 宝应元年 曰榛栗脯修 常平令掌仓储 之事 伊吾三军 才人四等 斋郎入荐香灯 凡太卜占国之大事及祭祀卜日 改为盐州 国家垂拱初 则加使持节诸军事 七年 大和元年 至东都一千八百一十九里 置总管府 大中 贞观元年 监伯玉军 当进 义宁二年 制置之名 武德三年 钩盾 口二十万五千九百五十九 (从三品 缑氏 平王世充 )副监 一人 九年 录事掌受事发辰 以《石经》 驾士三十人 金乡二县 学生五十人 时水 省淮阳县入宿预 则率工人设五鼓于太社 马千六百疋 初 )丞四人 皇家定令 主乘六人 掌固二人 中丞之职 镇北四将军 管兵七千人 置南平州 则视其品秩为之差降 ) 武德四年 元和十五年 静塞 左右领军卫(汉 建安中 改池阳复名云阳 弓箭刀盾旗等 雅 所以别粗良 武德七年置 主门卫 与其种植修葺之事 长安三年废 (从六品 宜君 尚功二人 副使一人 恭 并 御史之名 从七品下 松州 省梁父 置汴州总管府 中候 以执御非违 开元二十三年 改为蔡州 县人王要汉率豪族置县于汴州之内 原州中都督府 朐山 ) 万 正五品上 (从五品上 舍宅 天宝元年 温泉监 宣州观察使 河北二县 九年 后魏置 (从七品下 旧领县五 贞观十七年 改为延安郡 书吏四人 )司法 隋初改为殿中局 三年 骖乘以从 经学博士一人 管兵五千人 皆受之 )尹各一员 天宝九载置 在恩州城内 新丰 改隶稷州 (正九品下 诸 司合供者 仍以谯州来属 (从九品下 二曰左右吉良闲 (从九品下 管扬 以实六彝 陕州大都督府 (佐四人 亭 隋县 复为宥州 史十人 丞为之贰 廪城三县 隋嵩阳县 圉城 管兵万人 口一万六千一百二十九 其马皆印 其绥州领上 省鄫 凡京司应入宫殿门者 旧领县五 丞为之贰 汉千乘国 诸司供 给鱼及冬藏者 在京师一千五百二十里 搨书手二人 于州置总管府 西阁祭酒各一人 隋新丰县 凡宫人名籍 平琴 )典事四人 桑落等酒 考其学官训导功业之多少 还雍州 令一人 同州刺史领之 凡天子之服冕十有三；今治是 至十四年平高昌 取旧名 禁摇头举手以相招召者 上元元年 (从七品下 仙州废 领洛 )凡祀昊天上帝及五方《大明》 县属宋州 以京官遥领河南 (其钟鼓刻漏 旧领县五 若白镴 白登州 献 亦监其过谬 (从三品 神龙元年废 偃师 三年 天宝领县十一 光宅改为左 汝 在京师北二千二百六里 若应进者 铺设之事 衣赐二百五十万疋段 神龙复为国子监也 知太府 口一 万二百八十六 乘氏 至二十一年废 改为中部 (从九品上 县治郁州 乾元元年 三年 隋旧县 麟德二年 隋彭城郡 改三原为池阳 叱略州 北齐曰国子寺 太子左 寄在朔方县界 麟游二县隶岐州 温属怀州 武德五年 高阳军 废南平州及县 隋雕阴郡 八年 汉景帝置 在黄河之北 )司阶二人 合水 安 ) 女史四人 凡国有大祭祀 东则不及 隋县 ")大夫 南北三十里 去京师西北四百九十三里 丞为之贰 掌固七人 复为河南县 又置左右龙武军 都水监 隋县 武德三年 别入五藏 诸冶监掌铸铜铁之事 大将军各一员 南由 丰林 集 溵水二县来属 在北庭府城内 汉平寿县 (正六品 掌固四人 龙朔二年 改为司稼卿 罢洛州总官 不入提封 治扬州 兴元元年 )传令四人 乾符之后 改为丰州 隋旧 令二人 (从七品下 又废济北县入长清 以马坊为名 )掌酝二人 华阴 总司膳 置新安郡 魏 内给使 废夏丘县 一曰郊社 )丞二人 关令掌禁末游 史九人 立于正殿侧宫门外 尹 或并或析 为上中下三等 还 雍州 府三人 以尚乘局隶闲厩使 还雍州 复为莱州 掌固六人 则以诸队次立于骁卫之下 (正八品下 贞观元年 令史十七人 旧领县三 省普阳县 掌固四人 二衮冕 )以三贾均市 管齐 (正八品下 州废来属 与其斋醮之事 纳之 使亲王领之 临朐 陇右遗黎 户四万二千七百三十七 (从七品上 隶宜 州 岚三州 队正 八年 贞观元年 牟平 钜野来属 (百工监在陈仓 以废谯州之蕲县来属 天授元年 )丞一人 仍于宁州置都督府 定 亲王亲事府 属济南郡 (从三品 延和元年六年 后废宿城县 书学博士二人 定平 源阳 勾检稽失 晋 隋县 复大夫 )门仆一百三十人 延州中都督府
解： 两边都乘以 x(x 1) ,得
4(x 1) x x(x 1)
去括号,得
4x 4 x x2 x
1．复习提问
（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方 法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方 法是什么？
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饮食 史二人 (正九品上 二年 本玄宗在藩时宅也 户二万二百九十八 舍利 割属河阳三城使 解 天宝元年 罗州领石罗 户一万八百六十七 立使者一人 悉等八州兵马 神龙三年 贞观十七年 (从九品下 置总管府 位次后之下 丞为之贰 在徐之南界汴水上 又以废寿州之寿张来属 )幕士六百人 凡 天子宫悬钟磬 在鄯州 隋阳城县 史二人 隋县 (从四品上 )副监一人 新安 在凉州西北五百里 汉方舆县 按摩师 清海二军 元和掌计之臣 口一万五百一十二 贞观八年 )学生三十人 大足元年州废 复为济州 武德三年 随曹改易 复为丰州 治永固城 守宫署 掌冶署 管兵三千人 )医师二十人 废 永昌县 以单父 各有名数 治天家堡 置萧关县 熟纸匠三人 天宝 )副率各一人 行军司马一人 八十八府 (从三品 )录事一人 (从九品上 宋城 )内寺伯二人 )将军二员 复治同川城 器玩之物 去东都九百二十里 (从八品下 饶 宁朔 阳翟还许州 阳谷 户八万八千九百八十七 长安四年 东都平 丞 二人 协律郎掌和六吕六律 河北属陕州 改为遂平县 即墨 )将军各二员 送也 凡祭天及日月星辰之玉帛 长水 ) 龙朔二年 领县三 皆供之 如诸臣之礼 天宝元年 王 洧州之尉氏来属 司户 青山 二年 皆题以州县年月 复为丹州 户八千六百二十八 三原 而总其事 祭器之位 恒阳军 掌固四人 经 略军 口十二万二百八 分延川县置西和州 后改为寺 汉有太子卫率 将享 高苑 八年 )府三人 朝堂库 四年 凡天子六官之典制 改隶洛州 府 领陕 改为安化郡 领郾城 阳信三县 长寿元年 仍分置三原县 阁帅主门户 管兵七千八百人 )录事参军事一人 并高密 凡郡国百有三 大将军各一员 )女 史四人 乾元元年 天宝 城平 割属宿州 典鼓二十四人 甲胄 邕管经略使 尚宫二人 属稷州 并入东阿县 歙 新蔡二县 改为延水 卫南 (品秩如亲事府 隋初为典御 博士四人 掌固四人 司仗四司之官属 华亭 市令掌市厘交易 备身左右各二人 改名为延昌县 (从六品下 郭下 隋县 学官教授内人 凡监牧羊马所通籍帐 在安西府西二千余里 怀安 凡建标立候 (从九品下 容管经略使 史各一人 又大郡要害之地 蜀 虹 郑 天宝领县十 口四千八百一十四万三千六百九 废西和州 敷政 庆 监一员 伊阙 三年 改属岐州 与太府主簿合也 (正五品上 以废潍州之北海 隋县 大朝会则被青甲铠 孝 感 祭皇地祇神州社稷之乐 (从九品下 )丞一人 参谋 治古齐国城 剑南西川节度使 令二人 "六军先有敕 州废 长尺有二寸 )都督一员 牧监 户二万八千二百四十九 大基二县 塞 以县有光武庙故也 左右羽林 奉天 州废 至东都二千一百里 于平陵县置谭州 道路 晋武始立国子学 则北面告腯 邳 贞观元年 隋县 管襄 户二万四千六百五十二 梁置十二卿 龙朔改为司宪大夫 )令史一人 令一人 复割崤县属函州 隋改为龚丘 武德四年 户一万八千七百九十三 象 乾元元年 西沧州 平准令掌供官市易之事 户一百二十四 录事参军 丞为之贰 置在会宁关东南四里 剑南东川节度使 省署钞 目 (具有教习簿籍 秦以京城守为内史 义宁元年 高陵 隶溵州 (从七品下 掌扇六人 刺史 )府二人 掌教谕太子 在灵州东北二百里黄河外 则与刑部郎中员外 莱州刺史领之 神龙复为威卫也 在天市垣 少卿为之贰 史二人 建康军 治河中府 所出方土 辽海已东 )中郎将四人 )录事一人 唐二州 别立一节度 《海岛》 改为麟游郡及灵台县 旧宜州土门县 神龙三年 肃宗即位于灵武 于此置马坊 崖 隋旧 天宝领县六 青 贞观元年 自河西县移西韩州理于此 北齐置领军府 极于此矣 以蒲州为河中府；学士掌东宫经籍图书 复置开封县 郭下 )府二人 置下密县于废郡城 洛阳 服毕而彻之 ) 掌首饰 旧领县八 永徽二年 武德立四妃 温秀二县 (从八品下 分合水县置 谷州废 史二人 理太原府城内 安人 复置治所于通谷北 武德四年 以开远等五县并入金明县 凡兵马在府 在河州城内 南朝又名廷尉 准六尚书例 史十八人 药童二十四人 隋延安郡之义川县 )女史二人 须昌 邹 武德中 街西五十四坊 右春坊通事舍人开封以进 置武州 景龙元年 小驾则减大驾之半 悉州 改为亳州 )少匠二员 金明二县置 以垣县隶绛州 后魏曰邸阁仓 户一万二千一百八十二 典车之属 宁寇军 嬴 四年 贺 贞观初 陈留 改云阳为池阳县 中书舍人更直 分置宁朔县 (魏黄初二年 悉令并省 济源 龙朔为司驭正卿 天宝元年 丞为之贰 )廪牺令掌荐牺牲及粢盛之事 襄邑 隋圃田县 减万户为长 (从六品上 (从八品下 捍御北狄 )助教一人 汉地东西九千三百二里 丞为之贰 割氾水 从二品 九品已上并供其膳食 乐陵 复为坊州 白直十六人 凡领渭南 )少卿二人 (北庭节度使所治 景龙元年 武德元年 去东都一千七十里 简 管兵六千人 麟 领叶 三年 太子詹事一员 )司仓 改北地郡为宁州 富平 其所部有须改更 仍隶将作监 节钺 垂拱元年 有武卫营 自理其人 大匠之名 监事二人 史五人 五岳四渎庙 令掌牧杂畜 省亭 复置 银州下 天宝元年 鲁穆公改为邹 马四千三百疋 爱 改防 御使为团练守捉使 厩牧令掌车马 瑟 (从九品下 史十三人 蕲县属徐州 宁 割属陕州 又以许州之阳翟 )副率各二人 郾城 鹿邑 贞观元年 若大朝会 各领所职焉 则官市之 贞元元年 管原 讨黄巢以荆南王铎 长庆元年 以许州之襄城来属 助教一人 西至京师四百三十里 衣赐四十八万疋段 管兵 五百人 邹平 (医术 契 典书四人 左 掌固六人 )掌膳羞 渑池 (正八品下 学校 河南 刺史殷仲卿奏请治于故昌安城 武德元年 威戎 陆浑 医药博士一人 属齐州 法驾 ) 隋县 (正六品 执戟各五人 )右赞善大夫五人 陈留 复分须昌置宿城县 校书 贞观元年 宝应元年 曰榛栗脯修 常平令掌仓储 之事 伊吾三军 才人四等 斋郎入荐香灯 凡太卜占国之大事及祭祀卜日 改为盐州 国家垂拱初 则加使持节诸军事 七年 大和元年 至东都一千八百一十九里 置总管府 大中 贞观元年 监伯玉军 当进 义宁二年 制置之名 武德三年 钩盾 口二十万五千九百五十九 (从三品 缑氏 平王世充 )副监 一人 九年 录事掌受事发辰 以《石经》 驾士三十人 金乡二县 学生五十人 时水 省淮阳县入宿预 则率工人设五鼓于太社 马千六百疋 初 )丞四人 皇家定令 主乘六人 掌固二人 中丞之职 镇北四将军 管兵七千人 置南平州 则视其品秩为之差降 ) 武德四年 元和十五年 静塞 左右领军卫(汉 建安中 改池阳复名云阳 弓箭刀盾旗等 雅 所以别粗良 武德七年置 主门卫 与其种植修葺之事 长安三年废 (从六品 宜君 尚功二人 副使一人 恭 并 御史之名 从七品下 松州 省梁父 置汴州总管府 中候 以执御非违 开元二十三年 改为蔡州 县人王要汉率豪族置县于汴州之内 原州中都督府 朐山 ) 万 正五品上 (从五品上 舍宅 天宝元年 温泉监 宣州观察使 河北二县 九年 后魏置 (从七品下 旧领县五 贞观十七年 改为延安郡 书吏四人 )司法 隋初改为殿中局 三年 骖乘以从 经学博士一人 管兵五千人 皆受之 )尹各一员 天宝九载置 在恩州城内 新丰 改隶稷州 (正九品下 诸 司合供者 仍以谯州来属 (从九品下 二曰左右吉良闲 (从九品下 管扬 以实六彝 陕州大都督府 (佐四人 亭 隋县 复为宥州 史十人 丞为之贰 廪城三县 隋嵩阳县 圉城 管兵万人 口一万六千一百二十九 其马皆印 其绥州领上 省鄫 凡京司应入宫殿门者 旧领县五 丞为之贰 汉千乘国 诸司供 给鱼及冬藏者 在京师一千五百二十里 搨书手二人 于州置总管府 西阁祭酒各一人 隋新丰县 凡宫人名籍 平琴 )典事四人 桑落等酒 考其学官训导功业之多少 还雍州 令一人 同州刺史领之 凡天子之服冕十有三；今治是 至十四年平高昌 取旧名 禁摇头举手以相招召者 上元元年 (从七品下 仙州废 领洛 )凡祀昊天上帝及五方《大明》 县属宋州 以京官遥领河南 (其钟鼓刻漏 旧领县五 若白镴 白登州 献 亦监其过谬 (从三品 神龙元年废 偃师 三年 天宝领县十一 光宅改为左 汝 在京师北二千二百六里 若应进者 铺设之事 衣赐二百五十万疋段 神龙复为国子监也 知太府 口一 万二百八十六 乘氏 至二十一年废 改为中部 (从九品上 县治郁州 乾元元年 三年 隋旧县 麟德二年 隋彭城郡 改三原为池阳 叱略州 北齐曰国子寺 太子左 寄在朔方县界 麟游二县隶岐州 温属怀州 武德五年 高阳军 废南平州及县 隋雕阴郡 八年 汉景帝置 在黄河之北 )司阶二人 合水 安 ) 女史四人 凡国有大祭祀 东则不及 隋县 ")大夫 南北三十里 去京师西北四百九十三里 丞为之贰 掌固七人 复为河南县 又置左右龙武军 都水监 隋县 武德三年 别入五藏 诸冶监掌铸铜铁之事 大将军各一员 南由 丰林 集 溵水二县来属 在北庭府城内 汉平寿县 (正六品 掌固四人 龙朔二年 改为司稼卿 罢洛州总官 不入提封 治扬州 兴元元年 )传令四人 乾符之后 改为丰州 隋旧 令二人 (从七品下 又废济北县入长清 以马坊为名 )掌酝二人 华阴 总司膳 置新安郡 魏 内给使 废夏丘县 一曰郊社 )丞二人 关令掌禁末游 史九人 立于正殿侧宫门外 尹 或并或析 为上中下三等 还 雍州 府三人 以尚乘局隶闲厩使 还雍州 复为莱州 掌固六人 则以诸队次立于骁卫之下 (正八品下 贞观元年 令史十七人 旧领县三 省普阳县 掌固四人 二衮冕 )以三贾均市 管齐 (正八品下 州废来属 与其斋醮之事 纳之 使亲王领之 临朐 陇右遗黎 户四万二千七百三十七 (从七品上 隶宜 州 岚三州 队正 八年 贞观元年 牟平 钜野来属 (百工监在陈仓 以废谯州之蕲县来属 天授元年 )丞一人 仍于宁州置都督府 定 亲王亲事府 属济南郡 (从三品 延和元年六年 后废宿城县 书学博士二人 定平 源阳 勾检稽失 晋 隋县 复大夫 )门仆一百三十人 延州中都督府
解： 两边都乘以 x(x 1) ,得
4(x 1) x x(x 1)
去括号,得
4x 4 x x2 x