高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 导数的概念及其几何意义 第一课时参考教案

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北师大选修2-2导数的概念和几何意义教案

北师大选修2-2导数的概念和几何意义教案

导数的概念和几何意义(铜鼓中学数学教研组)一、教学目标:理解导数的概念及其几何意义。

二、教学重点:理解以及导数和变化率的关系.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义.教学难点: 理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.三、教学方法:阅读理解,探析归纳,讲练结合四、课时安排:1课时五、教学过程[情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义,那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢?这就是本节我们要研究的主要内容.探究点一 函数在一点处的导数思考1 导数和平均变化率有什么关系?答 导数就是平均变化率当Δx 趋于0时的极限,记作f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 思考2 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.思考3 导数在实际问题中有什么意义?答 导数可以刻画事物变化的快慢.例1 蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T (t )=120t +5+15,其中T (t )为体温(单位:℃),t 为太阳落山后的时间(单位:min),计算T ′(2),并解释它的实际意义.解 T ′(2)=lim Δt →0T (2+Δt )-T (2)Δt =lim Δt →01207+Δt +15-⎝⎛⎭⎫1207+15Δt =lim Δt →0-120·Δt 7(7+Δt )·Δt=-12049 (℃/min). T ′(2)=-12049(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以12049℃/min 的速度下降. 反思与感悟 解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物,它反映事物变化的快慢. 跟踪训练1 已知正方形的面积S 是边长x 的函数S =x 2,计算S ′(5)并说出S ′(5)的意义.解 S ′(5)=lim Δx →0S (5+Δx )-S (5)Δx =lim Δx →0(5+Δx )2-52Δx =lim Δx →010Δx +(Δx )2Δx =lim Δx →0(10+Δx )=10. S ′(5)=10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加.探究点二 导数的几何意义思考1 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n =1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么?答 当点P n 趋近于点P 时,割线PP n 趋近于确定的位置.这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线.思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?答 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.思考3 如何求曲线f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程?答 先确定切点P (x 0,f (x 0)) ,再求出切线的斜率k =f ′(x 0),最后由点斜式可写出切线方程. 思考4 求曲线f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程与求过某点(x 0,y 0)的曲线的切线方程有何不同?答 曲线f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线,点(x 0,f (x 0))一定是切点,只要求出k =f ′(x 0),利用点斜式写出切线即可;而求过某点(x 0,y 0)的曲线f (x )的切线,给出的点(x 0,y 0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切线.小结 (1)导数的几何意义:曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k =f ′(x 0);(2)欲求曲线切线的斜率,先找切点P (x 0,f (x 0)).例2 已知曲线y =x 2,(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P (3,5)的切线方程.解 (1)设切点为(x 0,y 0),∵y ′|x =x 0=lim Δx →0(x 0+Δx )2-x 20Δx =lim Δx →0x 20+2x 0·Δx +(Δx )2-x 20Δx =2x 0, ∴y ′|x =1=2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1.(2)点P (3,5)不在曲线y =x 2上,设切点为(x 0,y 0),由(1)知,y ′|x =x 0=2x 0,∴切线方程为y -y 0=2x 0(x -x 0),由P (3,5)在所求直线上得5-y 0=2x 0(3-x 0),①再由A (x 0,y 0)在曲线y =x 2上得y 0=x 20,②联立①,②得,x 0=1或x 0=5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为k 1=2x 0=2,此时切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k 2=2x 0=10,此时切线方程为y -25=10(x -5),即y =10x -25.综上所述,过点P (3,5)且与曲线y =x 2相切的直线方程为y =2x -1或y =10x -25.反思与感悟 (1)求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率,然后利用点斜式写出切线方程;(2)求曲线过某点的切线方程,要先求出切点坐标,再按(1)完成解答.跟踪训练2 已知曲线y =2x 2-7,求:(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x -y -2=0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程.解 y ′=lim Δx →0Δy Δx=lim Δx →0[2(x +Δx )2-7]-(2x 2-7)Δx =lim Δx →0(4x +2Δx )=4x .(1)设切点为(x 0,y 0),则4x 0=4,x 0=1,y 0=-5,∴切点坐标为(1,-5).即曲线上点(1,-5)的切线平行于直线4x -y -2=0.(2)由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0,y 0),则切线的斜率k =4x 0,故所求的切线方程为y -y 0=4x 0(x -x 0).将P (3,9)及y 0=2x 20-7代入上式,得9-(2x 20-7)=4x 0(3-x 0).解得x 0=2或x 0=4,所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x -y -15=0和16x -y -39=0.跟踪训练3 若曲线y =x 3+3ax 在某点处的切线方程为y =3x +1,求a 的值.解 ∵y =x 3+3ax .∴y ′=lim Δx →0(x +Δx )3+3a (x +Δx )-x 3-3ax Δx =lim Δx →03x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3+3a Δx Δx =lim Δx →0[3x 2+3x Δx +(Δx )2+3a ]=3x 2+3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0,y 0),结合已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20+3a =3,x 30+3ax 0=y 0=3x 0+1,解得⎩⎨⎧ a =1-322,x 0=-342.∴a =1-322.1.函数f (x )在x 0处可导,则lim h →0f (x 0+h )-f (x 0)h ( ) A .与x 0、h 都有关B .仅与x 0有关,而与h 无关C .仅与h 有关,而与x 0无关D .与x 0、h 均无关答案 B2.函数y =3x 2在x =1处的导数为( )A .12B .6C .3D .2 答案 B解析 f ′(1)=lim Δx →03(1+Δx )2-3×12Δx =lim Δx →03+6Δx +3(Δx )2-3Δx =6.3.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =1,b =-1D .a =-1,b =-1 答案 A解析 由题意,知k =lim Δx →0(0+Δx )2+a (0+Δx )+b -b Δx =1,∴a =1. 又(0,b )在切线上,∴b =1,故选A.4.已知曲线f (x )=2x 2+4x 在点P 处的切线斜率为16,则P 点坐标为________. 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20+4x 0),则f ′(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →02(Δx )2+4x 0·Δx +4Δx Δx =4x 0+4, 令4x 0+4=16得x 0=3,∴P (3,30).[呈重点、现规律]1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率,即k =lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=f ′(x 0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0);若已知点不在切线上,则设出切点(x 0,f (x 0)),表示出切线方程,然后求出切点.。

2.2导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)

2.2导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
导数的概念及其几何意义
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.导数的概念 设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0) Δy fx1-fx0 变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 = = Δx x1-x0 fx0+Δx-fx0 . Δx
菜 单
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BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
(2)会用导数的定义、导数的几何意义解决与曲线的切 线有关的问题. 2.过程与方法 通过对瞬时变化率的研究,体会“逼近”的含义,经过 思考、讨论、探究,抽象概括出导数的定义;并通过斜率公 式由割线斜率“逼出”曲线的切线斜率与导数的关系. 3.情感、态度与价值观 (1)通过对平均速度、瞬时速度的研究、推广,经历建 立导数概念的过程,体会由特殊到一般及认识事物的规律, 并感受其中蕴含的逼近思想;

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 计算导数 第一课时参考教案

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 计算导数 第一课时参考教案

§3 计算导数第一课时 计算导数(一)一、教学目标:1、能根据导数的定义求简单函数的导数,掌握计算一般函数)(x f y =在0x 处的导数的步骤;2、理解导函数的概念,并能用它们求简单函数的导数。

二、教学重点:根据导数的定义计算一般函数)(x f y =在0x 处的导数;教学难点:导数的定义运用三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)复习导入新课导函数的定义.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数,记作为的一个函数,我们称它便是化时,变当是一个确定的数,那么到处求导数的过程可以看在从求函数= x x f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0''即注 意 .)(1'量的比值的极限,不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值,是函数在数)函数在某一点处的导(x f .2而言的一区间内任一点)函数的导数:是指某(x那么,如何利用导数的定义求函数的导数?从而导入新课。

(二)、探析新课计算函数)(x f y =在0x x =处的导数的步骤如下:(1)通过自变量在0x 处的Δx ,确定函数在0x 处的改变量:)()(00x f x x f y -∆+=∆;(2)确定函数)(x f y =在0x 处的平均变化率:xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)当Δx 趋于0时,得到导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(0000lim 。

例1、求函数x xx f y +==2)(在下列各点的导数 (1)0x x =; (2)1=x ; (3)2-=x 。

解:(1)∵x x x x x x x x x x x x f x x f y ∆+∆+∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∆++∆+=-∆+=∆02000000022)(2)()(. ∴122020020+∆+-=∆∆+∆+∆-=∆∆x x x x x x x x x x y 。

2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)

2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x

(北师大版)数学选修2-2:第2章《典例导航:导数的概念及其几何意义》课件

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高中数学选修2第二章 2.1《导数的概念》教学设计

高中数学选修2第二章 2.1《导数的概念》教学设计

导数的概念及其几何意义(第1课时)教案一、教材分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》(北师大版)第二章第二节《导数的概念及其几何意义》第一课时,是学生学习了平均变化率与瞬时变化率的基础上形成导数概念.导数是微积分的核心概念之一,也是本章的一个核心概念,它为即将学习导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识奠定了基础,更是研究函数的单调性、极值、最值和解决生活实际问题等有力工具.二、学生分析1.已有基础:基于学生已经学习了平均变化率与瞬时变化率,再通过实例顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系,由此抽象出函数在某点的瞬时变化率就是瞬时变化率就是导数,这是符合学生认知规律的.2.困难之处:教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的,这对学生理解导数概念中的极限符号有一定的障碍.三、教学目标(一)知识与技能1.理解导数的概念、知道瞬时变化率就是导数;2.能解释具体函数在一点的导数的实际意义;(二)过程与方法1. 通过实例回顾上一节平均变化率与瞬时变化率的关系,对瞬时变化率从数量方面进行抽象,得到导数概念;2.通过问题探究的形式复习,再次理解由具体到抽象、由特殊到一般的数学研究方法,体会“无限逼近”的极限思想;3.通过问题的探究,培养学生的探究意识和探究方法;(三)情感态度与价值观1.通过导数概念的学习,体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点,接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法;2.通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用,认识学习导数的必要性,从而激发学生学习导数的兴趣;三、教学重点与难点重点:导数概念的形成过程及理解导数在实际问题中的意义.难点:对导数概念的理解.四、设计思想教学设计充分尊重学生认知事物的基本规律,通过实例重现平均变化率到瞬时变化率的过程,在此基础上构建导数的概念,并在具体的问题情境中,让学生解释求得导数值的实际意义,进一步体会导数的本质,即生活实际数学生活实际.t→0的平均变化率x→教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导,遵循“学生为主体,教师为主导,知识为主线,发展思维为主旨”的原则。

高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2

高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
������ ������
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
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§2 导数的概念及其几何意义
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f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
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§2 导数的概念及其几何意义
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE

北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案(1)

北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案(1)

导数的概念和几何意义一、教学目标(一)知识目标1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观了解导数的几何意义.(二)能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤,并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.(三)情感目标通过“极限法”的学习,提高学生的数学素质,加强学生分析问题和解决问题的能力,认识事物之间的相互联系,会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念的理解.四、教学过程:(一)复习引入师:前面我们研究了两类问题,一类来自物理学,涉及平均速度和瞬时速度;另一类问题来自几何学,涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来?生:这两类问题都涉及到以下几件事:(1)一个函数f (x );(2)f (x+d )-f (x );(3)dx f d x f )()(-+; (4)当d 趋于0时,dx f d x f )()(-+趋于一个确定的常数. 师:很好,我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域,但有着相同的数学模型,今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.(二)探求新知1.增量、变化率的概念 对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点,),(11y x Q 是另一点,自变量从x 0变化为x 1时,相应的函数值有y 0变为y 1,其中x 1-x 2叫做自变量x 的增量,记为△x , y 1-y 0叫做函数的增量(也叫函数的差分),记为△y ,则).()(01x f x f y -=∆xy ∆∆叫做函数的变化率(或函数)(x f 在步长为△x 的差商).★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2.导数定义设函数)(x f 在包含x 0的某个区间上有定义,如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时,(d ≠0)趋于确定的极限值,则称此极限值为函数)(x f 在x=x 0处的导数或微商,记做)('x f . 上述定义的符号表示为:)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f . 这个表达式读作“d 趋于0时,dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f . 简单地说:函数的瞬时变化率,在数学上叫做函数的导数或微商.★)('x f 也是关于x 的函数,叫做函数)(x f 的导函数.3.求导数的步骤(1)求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆;(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00; (3)令△x →0,差商→)(0'x f .4.导数的几何意义函数)(x f y =在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线)(x f y =在点P (x 0,)(0x f )处的切线的斜率)(0'x f .5.导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度.(三)讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检测结果如图所示(图中W 1(t ),W 2(t )分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量).试问哪个企业的治污效果较好?分析:本题主要体现差商(即差分和对应步长的比)定义在现实生活中的运用,要.解:在时刻t 1处,虽然W 1(t )=W 2(t ),即排污量相同,但是考虑到一开始 有W 1(t 0)>W 2(t 0),所以有 010*********)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2 投石入水,水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大(如图),计算:(1)半径r 从a 增加到a+h 时,圆面积相对于r 的平均变化率;(2)半径r=a 时,圆面积相对于r 的瞬时变化率.分析:本例中的题(1)是求变化中的几何图形(圆)面积的平均变化率。

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:导数的几何意义在解题中的应用

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 拓展资料:导数的几何意义在解题中的应用

导数的几何意义在解题中的应用导数是研究函数增减、函数变化快慢、作曲线切线问题和求函数最值问题的最一般、最有效的工具.函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.下面我们运用导数的几何意义解决具体的函数问题.例1. 已知函数f(x)=x 3-3x 2+ax,x ∈R,且曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值为-1.(1)求a 的值;(2)求f(x)在x=1处的切线方程;(3)若直线l 过原点,且与曲线y= f(x)相切,求直线l 的斜率k 的值.【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式,再根据切线方程的求法列方程,求出k 的值.【解】(1)∵a x x x f +-='63)(2=3(x-1)2+a-3∴切线斜率的最小值为f '(1)=a-3=-1,∴a=2,(2)∵f '(x)=3x 2-6x+2,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f '(1)=-1,∴切线方程为y=-1×(x-1)+13-3×12+2×1,即y=-x+1.(3)∵y=x 3-3x 2+2x ,∴y '=3x 2-6x +2.∴直线和曲线均过原点,当原点是切点时,切线斜率k=0|='X y =2,当原点不是切点时,设切点为P(x 0,y 0),其中x 0≠0,则切线的斜率k=00x y .综上所述,k=2或41-=k . 【方法技巧】(1)需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义:一是该点的导数值等于切线的斜率;二是该点坐标满足已知曲线的方程.(2)当某点不在曲线上求过此点的切线问题时,要先设出切点坐标,利用导数几何意义表示出切线方程,再把已知点代入切线方程,从而得出所求方程.(3)当不能确定曲线上的点(x 0,f(x 0))是否为切点时,要注意分(x 0,f(x 0)) 是切点和不是切点两种情况进行讨论.例2.已知函数f(x)=lnx,g(x)=21x 2+a(a 为常数),直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线l 的方程及a 的值.【思路点拨】由直线l 与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l 与函数g(x)的图象相切,所以l 与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a 的值.【解】由f ′(x)|x=1=1,知k l =1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线l 的方程为y=x-1.直线l 与y=g(x)的图象相切,等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解,即方程21x 2-x+(1+a)=0有两个相等的实根, ∴Δ=1-4×21(1+a)=0.∴a=-21.【方法技巧】本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.。

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案

§2 导数的概念及其几何意义第二课时 导数的几何意义(一)一、教学目标:1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义;2、理解曲线在一点的切线的概念;3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点:了解导数的几何意义教学难点:求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)、复习:导数的概念及求法。

(二)、探究新课设函数)(x f y =在[x 0,x 0+Δx ]的平均变化率为xy ∆∆,如右图所示,它是过A (x 0,)(0x f )和B (x 0+Δx ,)(0x x f ∆+)两点的直线的斜率。

这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。

如右图所示,设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线,从图像上可以看出:当Δx 取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx 趋于0时,点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ,割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。

直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ,称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。

该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。

函数)(x f y =在x 0处的导数,是曲线)(x f y =在点(x 0,)(0x f )处的切线的斜率。

函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

1、导数的几何意义:函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ,得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.2、导函数:由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作:()f x '或y ',即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

数学北师大版高中选修2-2导数的几何意义

数学北师大版高中选修2-2导数的几何意义

§2.2导数的几何意义学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 学习重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 学习难点:导数的几何意义. 一.自主学习(一)曲线的切线及切线的斜率:如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么?我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题:⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系? ⑵切线PT 的斜率k 为多少? 容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近图3.1-2于切线PT 的斜率k ,即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义:函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率, 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ,得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程. .二.典例分析例1:(1)求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.(2)求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解:(1)222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=(2)因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= (2)求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2.如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++,根据图像,请根据导数的几何意义描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解:我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴,所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2) 当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<,所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减.(3) 当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<,所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减.从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度,这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.例3.如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).。

2.2 导数的概念及几何意义 导学案(高中数学选修2-2 北师大版)

2.2 导数的概念及几何意义 导学案(高中数学选修2-2 北师大版)

2.2导数的概念及几何意义1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.如图,当点P n(x n,f(x n))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?问题1:根据创设的情境,割线PP n的变化趋势是.问题2:导数的概念与求法:我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为:(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)算比值:=;(3)求极限:y'=.问题3:函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= .相应的切线方程是:.问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点.1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是().A.在点x0处的函数值B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则().A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-13.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).导数概念的理解已知f'(x0)=2,求.求切线方程已知曲线y=上两点P(2,-1),Q(-1,).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;(2)求曲线在P,Q处的切线方程.导数几何意义的综合应用抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.已知f(x)=x3-8x,则= ; = ;= .过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是().A.f'(x A)>f'(x B)B.f'(x A)<f'(x B)C.f'(x A)=f'(x B)D.不能确定2.已知y=,则y'的值是().A.B.C.2D.3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.已知函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是().A.B.1 C. D.2考题变式(我来改编):。

2.2导数的概念及其几何意义 学案(高中数学选修2-2 北师大版)

2.2导数的概念及其几何意义 学案(高中数学选修2-2 北师大版)

§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义课标解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义.(难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点) 3.掌握利用导数求切线的方程.(重点)导数的概念及其几何意义1.设函数y =f (x ),当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从f (x 0)变到f (x 1),函数值y 关于x的平均变化率为Δy Δx =f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y =f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y =f (x )在x 0点的导数,通常用符号f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)=lim x 1→x 0 f (x 1)-f (x 0)x 1-x 0=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . 2.导数的几何意义函数y =f (x )在x 0处的导数,是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.函数y =f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.求函数的导数求函数y =x 在x =1处的导数.【思路探究】 先求在区间[1,1+Δx ]上的平均变化率,再求当Δx 趋于0时的平均变化率的趋近值.【自主解答】 ∵Δy =1+Δx -1,∴Δy Δx =1+Δx -1Δx =11+Δx +1, 当Δx 趋于0时,Δy Δx =11+Δx +1趋于12, ∴函数y =x 在x =1处的导数为12.1.本题中用到了分子有理化的技巧,主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到1+Δx -1Δx时,就下结论:当Δx 趋于0时,分子分母的值都趋于0,所以整个式子的值不确定.2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤:(1)计算Δy ;(2)计算Δy Δx ;(3)计算lim Δx →0 Δy Δx.求函数y =2x 2+4x 在x =3处的导数.【解】 ∵f (x )=2x 2+4x ,∴Δy =f (3+Δx )-f (3)=2(3+Δx )2+4(3+Δx )-(2×32+4×3)=12Δx +2(Δx )2+4Δx =2(Δx )2+16Δx .∴Δy Δx =2(Δx )2+16Δx Δx=2Δx +16. 当Δx →0时,Δy →16,∴f ′(3)=16.热.如果第x h 时,原油的温度(单位:°C)为y =f (x )=x 2-7x +15(0≤x ≤8).求函数f (x )在x =2和x =6时的导数,并说明它们的意义.【思路探究】 先算出平均变化率,再利用定义求f ′(2),f ′(6),而导数就是瞬时变化率,可解释它的实际意义.【自主解答】 ∵Δy =f (x +Δx )-f (x )=(2x -7)Δx +(Δx )2,∴Δy Δx =2x +Δx -7,当Δx 趋于0时,Δy Δx趋于2x -7, 故f ′(2)=-3,f ′(6)=5.说明在第2 h 附近,原油温度大约以3 °C/h 的速度下降;在第6 h 附近,原油温度大约以5 °C/h 的速度上升.1.理解导数就是瞬时变化率是解答本题的关键.2.一般地,函数在某点处的导数值反映了函数在这一点处的变化情况,从而也揭示了事物在某一时刻的运动状况.某物体走过的路程s (单位:m)是时间t (单位:s)的函数:s =2t 2.求函数s =2t 2在t =1处的导数s ′(1),并解释它的实际意义.【解】 当t 从1变到1+Δt 时,函数值s 从2×12变到2(1+Δt )2,函数值s 关于t 的平均变化率为s (1+Δt )-s (1)Δt =2(1+Δt )2-2×12Δt=4+2Δt (m/s).当Δt 趋于0时,平均变化率趋于4方程.【思路探究】设切点坐标P (x 0,y 0)→求导函数y ′=f ′(x 0)→由斜率k =4,求x 0→求P 点坐标(x 0,y 0)→求切线方程【自主解答】 设P 点坐标为(x 0,y 0),先求f (x )=x 2在x =x 0处的导数:f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =(x 0+Δx )2-x 20Δx=2x 0Δx +(Δx )2Δx=2x 0+Δx .∴令Δx 趋于0,可知y =x 2在x =x 0处的导数为f ′(x 0)=2x 0.∴2x 0=4,∴x 0=2.∵P (2,y 0)在抛物线y =x 2上,∴y 0=4.∴点P 的坐标为(2,4).∴切线方程为y -4=4(x -2).即4x -y -4=0.1.理解导数的几何意义即函数在某点处的导数就是在该点切线的斜率.2.求曲线C :y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程,关键是求切线的斜率,而求斜率实际上是求函数f (x )在x 0处的导数.将本例中“与直线4x -y +2=0平行”改为“与直线4x -y +2=0垂直”,其他不变.【解】 设P 点坐标为(x 0,y 0),则f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =(x 0+Δx )2-x 20Δx=2x 0+Δx .令Δx 趋于0,则f ′(x 0)=2x 0.∵切线与直线4x -y +2=0垂直,∴2x 0=-14, ∴x 0=-18. ∵P (-18,y 0)在y =x 2上, ∴y 0=164, ∴点P 的坐标为(-18,164). ∴切线方程为y -164=-14(x +18), 即16x +64y +1=0.以直代曲的思想在研究函数变化中的应用(12分)如图2-2-1,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )=-4.9t 2+6.5t +10的图像,根据图像,请描述、比较曲线h (t )在t 0,t 1,t 2,t 3附近的变化情况.图2-2-1【思路点拨】 因为导数描述函数的变化情况,而导数的几何意义表示切线斜率,故可作出曲线h =h (t )在点t 0,t 1,t 2,t 3处的切线,并通过其斜率的大小,加以描述.【规范解答】 我们用曲线h (t )在t 0,t 1,t 2,t 3处的切线,刻画曲线h (t )在上述四个时刻附近的变化情况.2分(1)当t =t 0时,曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴.所以,在t =t 0处附近曲线比较平坦,几乎没有升降,即函数h (t )没有变化.4分(2)当t =t 1时,曲线h (t )在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0,所以函数h (t )是递减的,曲线是下降的.6分(3)当t =t 2时,曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以函数h (t )在t =t 2附近单调递减,曲线是下降的.8分(4)当t =t 3时,曲线h (t )在t 3处的切线l 3的斜率h ′(t 3)>0.所以,函数h (t )在t =t 3附近单调递增,曲线是上升的.10分从图中可以看出,直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度,这说明h (t )在t 1附近比在t 2附近下降的缓慢.12分既然导数f ′(x 0)描述了函数f (x )在x =x 0处的变化率,那么我们就可以利用导数的几何意义,曲线的切线,研究函数的变化情形.一般地,当f ′(x 0)>0(<0)时,曲线y =f (x )在x 0处的切线为上升(下降)的,函数f (x )在x =x 0处是单调递增(递减)的,且|f ′(x 0)|越大,说明函数瞬时变化率越大,函数值变化的越快,图像越“陡峭”;|f ′(x 0)|越小,说明函数变化的越慢,图像越平缓.1.导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率;导数为正(负)说明函数在对应点附近递增(减).2.求导数的步骤:(1)求平均变化率Δy Δx; (2)求导:f ′(x )=lim Δx →0 Δy Δx. 3.导数f ′(x 0)的几何意义:表示曲线y =f (x )在点(x ,f ′(x 0))处的切线斜率. 曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为:y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0).。

北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §2 导数的概念及其几何意义

北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §2 导数的概念及其几何意义

1
3 1
3
(2+x)
×2
3
3
x
1
22 Δ+2(Δ)2 +3(Δ)3
Δ→0
=
Δ
1
= lim [4+2Δx+3(Δx)2]=4,
Δ→0
1
∴曲线 y=3x3 在点 P 处切线的斜率为 4.
1
8
(2)由曲线 y=3x3 的切线过点 P 2, 3 ,斜率为
8
y- =4(x-2),即 12x-3y-16=0.
易错分析求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中求
过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决此
分析因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的
距离最大时,△AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B
作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积.
-18-
§2 导数的概念及其几何意义
探究一
探究二
探究三
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自主预习
探究学习
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当堂检测
思维辨析
解:由 f(x)=√,得 f(4)=2,∴A(4,2).
两条切线与 x 轴围成的三角形如图所示,所以
3
所求三角形的面积为 .
4
1
S=2×1×
1
2- 2
=
3
,即
4
-23-
§2 导数的概念及其几何意义探究一Fra bibliotek探究二
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求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异
【典例】 求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程.

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件:2.2 导数的概念及其几何意义

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件:2.2 导数的概念及其几何意义

增加1 050元.
【题后反思】
(1)函数f(x)在点x0处的导数一定存在吗?
提示:当Δx≠0时,比值
y x
的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若
y 的极限不
x
存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
(2)函数在x=x0处的导数是否还有其他形式?
提示:在x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=

.
【解析】
lim f(x0
x0
x) f(x0) x
=lxim40x(20=x-44,x所0)以
x0=-1,
所以点 M的坐标是(-1,3).
答案: (-1,3)Fra bibliotek 关键能力·合作学习
类型一 利用定义求导数 【典例】建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x) = x x +0.3,求f′(100),并解释它的实际意义.
10 10
【思路导引】首先求出函数y的平均变化率,然后令Δx趋于零,即可求得其导数, 进而求f′(100).
【解析】从100变为100+Δx时,函数值y关于x的平均变化率为
f(100 x) f(100) 100 x 100 x 3 (100 100 3),
x
10x
1
1

10 1(0 100 x 10)
2.曲线y= 1 x2+2在点 (1, 5 ) 处的切线的倾斜角为 ( )
2
2
A.0
B.
C.
D.
4
3
2
【解析】选B.f′(1)=
lim
[
1(1 2
x)2
2]
(1 2

高中数学 第二章 导数的概念与导数的几何意义课件 北师大选修22

高中数学 第二章 导数的概念与导数的几何意义课件 北师大选修22
0<a< 1.5
五、教后反思:
1 3
x03 )
,则切线的斜率为
k
f ( x0 )
x02
∴切线方程为
y
1 3
x03
x02 ( x
x0 )
又∵切线过点
A(1,0)

0
1 3
x03
x02 (1
x0
)
化简得
2 3
x03

x02
0
解得
x0
0

x0
3 2
①当 x0 0 时,所求的切线方程为:y=0;
②当
x0
3 2
时,所求的切线方程为:
y
2x
2 △x
.
∴ y lim y lim (2x 2 △x) 2x 2
x x0
x 0
练习 2.
⑴物体的运动方程是 s t 2 2t 3 (s 的单位:m.t 的
单位:s), 则物体在 t 2 s 时的瞬时速度是2___m_./s
⑵直线运动的物体位移 s 与时间 t 的关系是
C s t2 2t 3, 则它的初速度为( )
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x-1,则 P 点坐标为____. (2,8)或(-2,-4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角,那么 a 的取值范围为______.
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
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§2 导数的概念及其几何意义
第一课时 导数的概念
一、教学目标:1、知识与技能:通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法:①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点:了解导数的概念及求导数的方法。

教学难点:理解导数概念的本质内涵
三、教学方法:探析归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、复习:设函数)(x f y =,当自变量x 从x 0变到x 1时,函数值从)(0x f 变到)(1x f ,函数值y 关于x 的平均变化率为
x
x f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101 当x 1趋于x 0,即Δx 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值(这个值称
为:当x 1趋于x 0时,平均变化率的极限),那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。

(二)、探究新课
在数学上,称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数,通常用符号)(0x f '表示,记作
x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(000
01010lim lim 01。

例1、一条水管中流过的水量y (单位:3m )是时间x (单位:s )的函数x x f y 3)(==。

求函数)(x f y =在x=2处的导数)2(f ',并解释它的实际意义。

解:当x 从2变到2+Δx 时,函数值从3×2变到3(2+Δx ),函数值y 关于x
的平均变化率为
3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+x
x x x x f x f (3m /s ). 当x 趋于2,即Δx 趋于0时,,平均变化率趋于3,所以
3)2(='f (3m /s ).
导数)2(f '表示当x=2s 时水流的瞬时变化率,即水流的瞬时速度。

也就是如果水管的中的水以x=2s 时的瞬时速度流动的话,每经过1s ,水管中流过的水量为33m 。

例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量y (单位:kg )是其工作时间x (单位:h )的函数)(x f y =。

假设函数)(x f y =在x=1和x=3处的导数分别为4)1(='f 和5.3)3(='f ,试解释它们的实际意义。

解:4)1(='f 表示该工人工作1h 的时候,其生产速度(即工作效率)为4kg/h ,也就是说,如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4kg 的食品。

5.3)3(='f 表示该工人上班后工作3h 的时候,,其生产速度为3.5kg/h ,也就是说,如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产出3.5kg/h 的食品。

例3、服药后,人体血液中药物的质量浓度y (单位:μg/mL )是时间t (单位:min )的函数)(t f y =,假设函数)(t f y =在t=10和t=100处的导数分别为5.1)10(='f 和6.0)100(-='f ,试解释它们的实际意义。

解:5.1)10(='f 表示服药后10min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为
1.5μg/(mL ·min )。

也就是说,如果保持这一速度,每经过1min ,血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/(mL ·min )。

6.0)100(-='f 表示服药后100min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为-0.6μg/(mL ·min )。

也就是说,如果保持这一速度,每经过1min ,血液中药物的质量浓度将下降-0.6μg/(mL ·min )。

(三)、小结:1、瞬时速度的变化率的概念;2、导数的概念;3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤:
(四)、练习:课本33P 练习:1、2. (五)、作业:课本37P 习题2-2中A 组2、3 补充题:1、求函数f(x)=x x +-2在1x =-附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解:x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x
∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义,0(2)()f x f x f x x
+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x
+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00
(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降,在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.
注:一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.
五、教后反思:
00001()()23lim x y f x x f x y
x
y x →=+- 、求函数的变化率、求函数的平均变化率
、求极限。

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