二次函数(新)

二次函数知识要点梳理1.二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象是抛物线，它的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

2.二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()(（顶点式）3 .二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系(为方便起见，设a>0)：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c<0(或>0)的解集为∅(或R));②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c<0(或>0)的解集为∅（或者是R 但2b x a≠-） ③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c<0(或>0)的解集为(,)αβ()αβ<(或者是(,)(,)αβ-∞+∞ ).知识点探究知识点一 解析式、待定系数法例1.若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式探究 1. 若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则（ ）A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=例2.已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式.解：∵二次函数的对称轴为x =2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x 过点(2,0)和(2,0)，又()f x 过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =-.变式探究 2. 已知二次函数)x (f 满足)x 2(f )x 2(f +=-, 其图像顶点为A, 图像与x 轴交于点B )0 ,1(-和C 点, 且△ABC 的面积为18, 写出此二次函数的解析式.答案：2222(2)6(2)633y x y x =--=--+或 解析：对称轴为2x =, 顶点坐标为)k ,2( ,设二次函数解析式为: k )2x (a )x (f 2+-=, 设)0,n (C ,)0,5(C 5n 221n ⇒=⇒=-∴ .6k 2|k ||51|18±=⇒⨯--=∴)6,2(A ±∴ , 即6)2x (a y 2±-=, 将点的坐标代入得: ,32a =2222(2)6(2)633y x y x ∴=--=--+或. 补充题：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 解：由题意可设所求二次函数的解析式为()()2231363f x x k x x k =--+=-+-+ ∴121232,3k x x x x -+==， ∴()2221212122629x x x x x x +=+-=，即()2326439k --=，解得43k =． 所以，该二次函数的图像是由()()231f x x =--的图像向上平移 43单位得到的，它的解析式是()()24313f x x =--+，即()25363f x x x =-+-知识点二 图像特征 例3. 将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式探究3. 已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值知识点三 二次函数的单调性例4. 已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤-变式探究4. 已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．例5.已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．(),2-∞变式探究5. 已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值． 解：函数()f x 的表达式可化为()()24222a f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． ① 当022a ≤≤，即04a ≤≤时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得12a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾． ②当02a <，即0a <时，()2022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =0a <，∴1a = ③当22a >，即4a >时，()2216822f a a a =-+-+是最小值，依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =，又∵4a >，∴5a =为所求．综上所述，1a =5a =．知识点四 一元二次不等式例6. 解关于x 的不等式2230x x -+≥ 变式探究6. （1）解关于x 的不等式2(1)0x a x a -++≥（2）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为（1.3），方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 解析式。

知识点五 恒成立问题例7. 当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式探究7.已知函数 2()lg(21)f x ax x =++，若函数 ()f x 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围；知识点六 应用例8. 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式探究8. 某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为f (x ) = kx ，g (x ) = m x ，由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ⇒ m = 54， ∴ f (x ) = 14 x （x ≥0），g (x ) = 54 x ． (II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，∴ 企业的利润 y = 14 (10－x ) + 54 x = 14 [－(x －52 ) 2 + 654]（0≤x ≤10）， ∴ x = 52 ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 6516≈4 万元． 答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元． 随堂练习一、选择题1．若函数2()f x ax bx c =++满足(4)(1)f f =，那么( )A. (2)(3)f f > B ．(2)(3)f f < C ．(2)(3)f f =D ．(2)f 与(3)f 的大小关系不确定 2．设0abc >，二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是()3．若函数22()(1)(1)1f x m x m x =-+-+是偶函数，则()f x 在区间(－∞，0]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．增函数或常数4．函数2()45f x x mx =-+在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f(1)>255. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为 ⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，3 B.⎣⎡⎦⎤32，3 C ．[0,3] D.⎣⎡⎭⎫32，36. 对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(3，＋∞)二、填空题7．若函数若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像1x =对称，则c =_______. 8. 设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________.10.已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．11. 已知函数()f x =R ，则k 取值范围为三、解答题12．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值13. 已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 解：⑴()2410a a ∆=--≤，22a ∴--≤≤-+ ⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或，52a ∴-≤<-．综上所述2225-≤≤-a14. 商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件.① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？（1）y ＝(40－x) (20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800，（2）1200＝－2x 2＋60x ＋800，x 1＝20，x 2＝10 ∵要扩大销售 ∴x 取20元，（3）y ＝－2 (x 2－30x)＋800＝－2 (x －15)2＋1250 ∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；。