2018年首届教学节九年级数学竞赛试卷含答案

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2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 .qfRgF4dw27<A ）<0，1） ，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 .<A ）1324S S S S < <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018年金山中学九年级(上)数学竞赛试题(2)(含答案)

2018年九年级第一学期数学竞赛试题（2）一、选择题1、（2007山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）（A ）9π （B ）18π （C ）27π （D ）39π2、已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0，0°<A <180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线行走a . 若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( ) A. (-1，B. (-1C.-1)D.-1)3、（2007山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（）。

A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 二、填空题1、（2007山东淄博）如图，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形， AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于。

2、(2006浙江绍兴市)如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2 006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…， P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006＝_______________． 4．（2007内江）探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，n a =________；（2）如果欲求232013333+++++的值，可令232013333S =+++++ ①，将①式两边同乘以3，得_______________________② 由②减去①式，得S =____________________．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a =________ （用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________ （用含1a q n ，，的代数式表示）． 5、(03无锡市) 读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为； ②计算：∑=-512)1(n n＝（填写最后的计算结果）.6、（2007双柏县）⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 是⊙O 上一点(不与Ａ、Ｂ重合)，则∠BDC = ．7、探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ＝，我们称它为数字“黑洞”． T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！三、计算题:1、连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为30km ，列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需200秒，在这段时间内记录下下列数据：（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（0200t ≤≤）速度υ与时间t 的函数关系、路程s 与时间t 的函数关系．（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米／秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同．根据以上要求，至少还要再建．．．．多长轨道就能满足试验检测要求？（3）若减速过程与加速过程完全相反．根据对问题（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离y （米）与时间t （秒）的函数关系式（不需要写出过程）2、（2007荆门市）一、问题背景某校九年级（1）班课题学习小组对家庭煤气的使用量做了研究，其实验过程和对数据的处理如下．仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮(以下简称旋钮)的位置为竖起方向，把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°．(以0°位置作起始边，旋钮和起始边的夹角)．在0~90°之间平均分成五等分，代表不同的煤气流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，见图1．在这些位置上分别以烧开一壶水(3.75升)为标准，记录所需的时间和所用的煤气量．并根据旋钮位置以及烧开一壶水所需时间(用t 表示)、所用煤气量(用v 表示)，计算出不同旋钮位置所代表的煤气流量(用L 表示)，L ＝v /t ，数据见右表．这样为可以研究煤气流量和烧开一壶水所需时间及用气量之间的关系了．二、任务要求图1 不同旋钮位置示意图72︒90︒54︒36︒18︒（1）作图：将下面图2中的直方图补充完整；在图3中作出流量与时间的折线图．（2）填空：①从图2可以看出，烧开一壶水所耗用的最少煤气量为_______m 2，此时旋钮位置在______．②从图3可以看出，不考虑煤气用量，烧开一壶水所用的最短时间为_______分钟，此时旋钮位置在______．（3）通过实验，请你对上述结果(用煤气烧水最省时和最省气)作一个简要的说明．3、（2007山东临沂）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10。

2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

2018年九年级数学竞赛试卷含答案(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（）2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21D 、23 4、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=25、若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ，则（）A 、29≤mB 、5≤mC 、29=m D 、5=m6、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为（）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=。

浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)及答案

浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)一．选择题（共5小题，满分30分，每小题6分）1．已知x为实数，且﹣（x2+3x）=2，则x2+3x的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或32．已知下列命题：①对顶角相等；②若a＞b＞0，则＜；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（）A．B．C．D．3．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜74．如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是（）A．B．2 C．D．5．If a is odd number，the there must exist an integer n such that a2﹣1=（）A．3n B．5n C．8n D．16n二．填空题（共5小题，满分30分，每小题6分）6．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是．7．一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理活动兴趣小组的有人．8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=．9．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为．10．方程组的所有正整数解是．三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）11．（15分）如图，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB 交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x．（1）试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．12．（15分）已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．13．（15分）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．14．（15分）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．参考答案1．解：设x2+3x=y，则原方程变为：﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3，当x2+3x=1时，△＞0，x存在．当x2+3x=﹣3时，△＜0，x不存在．∴x2+3x=1，故选：A．2．解：①对顶角相等，故此选项正确；②若a＞b＞0，则＜，故此选项正确；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；从中任选一个命题是真命题的概率为：．故选：B．3．解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．4．解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．而∠DPB=60°，∴∠APC=60°．∴∠CAD=30°．又∵D是的中点，∴∠CAD=∠BAD=30°．∴∠ABC=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°．∴=．故选：A．5．解：∵a是奇数，∴设a=2n﹣1（n≥2），∴a2﹣1=（2n﹣1）2﹣1=[（2n﹣1）+1]×[（2n﹣1）﹣1]=2n（2n﹣2）=4n（n﹣1）如果n是偶数，则必然有﹣x使n=2x，原式=8x（n﹣1）；如果n是奇数，则（n﹣1）为偶数，必然有﹣y使（n﹣1）=2y，原式=8yn．综上，任意奇数的平方减去1后都是8的倍数．故选：C．6．解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．7．解：∵没有参加数学小组的人：44﹣38=6人，没有参加物理小组的人：44﹣35=9人，∴两者都参加的有：44﹣（6+9）=29人．8．解：取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，∴ME∥AC，ME=AC，NE∥BD，NE=BD=，∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．又∵∠FPQ=∠FQP，∴∠EMN=∠ENM．∴ME=NE=．∴AC=2ME=9．故答案为：9．9．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AD•DB=AM•BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）] =（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE2=81，∴S△ABC=AC•BC=81，故答案为：81．10．解：∵⇒∵（y﹣z）2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2（y2+z2）⇒（y+z）2≤2（y2+z2）∴（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2）于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632注解到不等式（y+z）2≤2（y2+z2）有（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2），于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632，即﹣63＜6x﹣20＜63又∵y+z=6x﹣20是正整数∴0＜6x﹣20＜63，即，从而4≤x≤13．再由y+z为偶数，从而y2+z2为偶数，x2为奇数，进而x为奇数．∴x=5，7，9，11，13①当x=5时，，显然y、z正整数解不存在．②当x=7时，，显然y、z正整数解不存在．③当x=9时，，显然y、z正整数解不存在．④当x=11时，解得或；⑤当x=13时，解得或．故答案为11．解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，则；这样S1=2x，S3=，S2=12﹣2x﹣=；（2）S2===，所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．12．解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，∴（a+1）2=22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59；（2）∵a=59时，b+c=20，则原方程为：20x2+60x+225=0，解得：x=﹣．13．解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c∴这是一个等边三角形；（2）∵36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0①，①×2得：72x2+18y2+8z2﹣36xy﹣12yz﹣24zx=0，∴（36x2﹣36xy+9y2）+（36x2﹣24xz+4z2）+（9y2﹣12yz+4z2）=0，∴（6x﹣2z）2+（6x﹣3y）2+（3y﹣2z）2=0∴3x=z，2x=y，∵x+y+z=180°，∴x+3x+2x=180°，∴x=30°，y=60°，z=90°，∴该三角形是直角三角形．14．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）。

浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(二)及答案

绝密★启用前浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷(二)题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题，6*5=30分）1．a、b、c都是实数，且a≠0，a+b=﹣2c，则方程ax2+bx+c=0（）A．有两个正根B．至少有一个正根C．有且只有一个正根D．无正根2．a、b都是自然数，且123456789=（11111+a）（11111﹣b），则（）A．a﹣b是奇数B．a﹣b是4的倍数C．a﹣b是2的倍数，但不一定是4的倍数D．a﹣b是2的倍数，但不是4的倍数3．将函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象绕y轴翻转180°，再绕x轴翻转180°，所得的函数图象对应的解析式为（）A．y=﹣ax2+bx﹣c B．y=﹣ax2﹣bx﹣cC．y=ax2﹣bx﹣c D．y=﹣ax2+bx+c4．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有（）A．12个B．9个C．6个D．1个5．一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：16．已知关于x的方程x2+mx+m+2=0有不同的实数根，其中m为整数，且仅有一个实根的整数部分是2，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．不存在第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，6*5=30分）7．已知a是方程x2+x﹣=0的根，则的值等于．8．设x为正实数，则函数y=x2﹣x+的最小值是．9．已知凸n边形A1A2…A n（n＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且∠A1+∠A2+∠A3=285°，那么，n等于．10．已知四条直线：y=kx﹣3，y=﹣1，y=3，x=1所围成的四边形面积是12，则k的值是．11．如图，直角扇形MON中，∠MON=90°，过线段MN中点A作AB∥ON交弧MN于点B，则∠BON=．12．如果不等式|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则实数a的取值范围是．评卷人得分三．解答题（共4小题，4*10=40分）13．已知如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，PB=BO，CE⊥PE，CD=18，求DE．14．设两个数x和y的平方和为7，它们的立方和为10，求x+y的最大值．15．如图，已知圆O的弦AB被点C、D三等分，又E、F是弧AB的三等分点，连接EC、FD交于S，连接SA、SB，求证：∠ASB=∠AO B．16．对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．参考答案1．解：设方程两根分别为x1，x2，由a≠0，a+b=﹣2c，得b=﹣a﹣2c，∴△=b2﹣4ac=（﹣a﹣2c）2﹣4ac=a2+4c2＞0，若c=0，则a+b=0，方程变为ax2﹣ax=0，解得x=0或1．若a与c异号，则x1x2=＜0，即两根异号，所以原方程有一正根和一负根．若a与c同号，由b=﹣a﹣2c可得a，b异号；则x1x2=＞0，即两根同号；x1+x2=＞0，则方程一定有正根，所以原方程此时有两个正根．综上所述原方程至少有一个正根．故选：B．2．解：由已知等式可知a、b均为偶数，∵（11111+a）（11111﹣b）=111112+11111（a﹣b）﹣ab，123456789被4除余1，其中111112被4除余1，ab被4除余0，∴11111（a﹣b）被4除余0，∴a﹣b是4的倍数．故选：B．3．解：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于y轴对称的图象是y=ax2﹣bx+c（即以﹣x代x）的图象，而y=ax2﹣bx+c的图象关于x轴对称的是y=﹣ax2+bx﹣c（即以﹣y代y）的图象，∴所求解析式为y=﹣ax2+bx﹣c．故选A．4．解：设两直角边为x、y，则斜边为x+1，（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，∴y为奇数．y分别取3，5，7，9，11，13，15，17，19对应的x顺次为4、12、24、40、60、84、112、144、180，故这样的直角三角形有9个．故选：B．5．解：通过图可看到，过内心O的直线m将△ABC的周长平分．设△ABC的周长为a，内切圆半径为r，则左边部分的面积为=，同理右边部分的面积也为∴该直线分成的两个图形的面积相等故选：B．6．解：当m=﹣2，原方程变为：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x1=0，x2=2，所以当m=﹣2时，原方程仅有一个实根的整数部分是2；当m=﹣3，原方程变为：x2﹣3x﹣1=0，∴△=b2﹣4ac=（3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，即x1=，x2=，x1的整数部分为3，x2为负数，所以当m=﹣3，没有一个实根的整数部分是2．所以A对，B，C，D错．故选：A．7．解：=，=，由a是方程x2+x﹣=0的根得出：a2+a=，代入上式==20．故答案为：20．8．解：∵x为正实数，∴由函数y=x2﹣x+，得y=（x﹣1）2+（﹣）2+1，∵（x﹣1）2≥0，（﹣）2≥0，∴（x﹣1）2+（﹣）2+1≥1，即y≥1；∴函数y=x2﹣x+的最小值是1．故答案是：1．9．解：由已知有另外n﹣3个内角的和为（n﹣2）•180°﹣285°，它能被（n﹣3）整除，且商也是15°的整数倍，商是180°﹣，满足条件的n=10．故答案为：10．10．解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，解得x=；令y=3，x=；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4=12，解得k=﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4=12，解得k=1．即k的值为﹣2或1．11．解：延长BA交OM于点C，连接MB，∵A是MN的中点，AB∥ON，∴点C是OM的中点，又∠MON=90°，∴BC⊥OM，∴BC垂直平分OM，∴MB=OB，又OM=OB，∴△OMB是等边三角形，∴∠MOB=60°，∴∠NOB=90°﹣60°=30°．故答案为：30°．12．解：∵|x﹣a|+|x|＜2，∴|x﹣a|＜2﹣|x|，设y1=|x﹣a|，y2=2﹣|x|，∴y1=，y2=，根据原不等式没有实数解，即y1＜y2没有实数解，从两函数图象可以看出：a≤﹣2或a≥2时，y1的图象与y2的图象没交点．故答案为a≤﹣2或a≥2．13．解：连OA，如图，∵AB=AD，∴∠AOB=∠DCO，∴OA∥DC，而PB=BO，CD=18∴===，则OA=×18=12，P A=2AD，由切割线定理得，PB•PC=P A•PD，即12×36=2AD•3AD，所以AD=6，过O作OF⊥AB于F点，则BF=AF=3，∵∠EDC=∠ABO，且CE⊥PE，∴Rt△CDE～Rt△OBF，∴=，即=，∴DE=．14．解：由题意得：，令x=s+t，y=s﹣t，则x+y=2s，且，由①得2t2=7﹣2s2，将其代入②中得：2s3+3s（7﹣2s2）=10，即4s3﹣21s+10=0，∴（s﹣2）（s﹣）（s+）=0，∴s的最大值为2，∴x+y的最大值为4．15．证明：连接OE、OF、AE、AF，延长SA交FE的延长线于K，∵=，∴AB∥EF，∴==，∵AC=CD，∴KE=EF=AE，∠KAF=90°，F A⊥SA，又=，∴OE⊥F A，OE∥SA，同理可证OF∥SB，∴∠ASB=∠EOF=∠AO B．16．解：（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=a（a﹣b﹣c）﹣b（a+c﹣b）﹣c（a+b﹣c）＜a（a﹣b﹣c），由a＞0，得a﹣b﹣c＞0，即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）（2）设f（x）=x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，且f（）=＜0由（1）知b+c＜＜a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，得a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）=225﹣108=117＜112．由（2）知a＞9，故得92＜a2＜112，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，∴a=10，b=4，c=1．（10分）。

2018年九年级数学竞赛试题(1)(含答案)

2018年九年级数学竞赛试题一、选择题:（每小题5分，共40分）1、已知整数,x y ，那么整数对(,)x y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、方程222x x x-=的正根的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33、在直角坐标系中，已知两点A (8,3)-、B (4,5)-以及动点C (0,)n 、D (,0)m ，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值mn为（）（A ）23- （B ）2- （C ）32- （D ）3-4、设一个三角形的三边长为正整数,,a n b ，其中b n a ≤≤。

则对于给定的边长n ，所有这样的三角形的个数是（）（A ）n （B ）1n + （C ）2n n + （D ）1(1)2n n + 5、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A 点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个7.设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是( ) A.18 B.20 C.24 D.258在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数212y x x =++的函数值中整数的个数是( )A.59B.120C.118D.60二、填空题（每题5分，共40分）9、已知1222S x x x =--++，且12x -≤≤，则S 的最大值与最小值的差是。

10、已知两个整数a 、b ，满足010b a <<<，且9aa b+是整数，那么数对(,)a b 有____________个。

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。

2018年全国初中数学竞赛(初三组)初赛试题(有答案)

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2018年全国初中数学竞赛（初三组）初赛试题（有答案）
2018年全国初中数学竞赛(初三组)初赛试题
一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1无理数、3+、了的小数部分是(C) ↓3+↓3-4 (A)J3+3-4 (B)3-13-、5 (D) ↓5+J3-3 2若式是方段2-6r+3=0的两个根，则的值为三 (C) 3 (A)2 (D) 3 设有甲乙满把不相同的锁甲锁配有两把钥匙，乙锁配有两把钥匙，这4把钥匙与不能开这两把锁的两把钥匙混在一起，从中任取青托钥匙能
打开甲己这两把债的概事是 (A)15 (D) 如果点4.R.C.D的坐际分别
是(1.7).1.1.(4,1).(6.1),以C.D.为顶点的三角形与OABC相似，
则点民的坐标不可能是日 ' 品” ” ” in 是 (C) (6.5) (D) (4.2) (B) (6.3) (A) (6.0 $S2F 5.如在矩形ABCD中.DELAC 于点E.LEDC CEDA= 3.RAC-10.则ADEC的面积是[ (C) 23.2-2 A)52 (D) S. M校
在公园内举行定向越野挑战弃路线图如图1所示，点正为炬形ABCD
边1D的中点，在矩 ABCD的四个顶点处都有定位仅，可监测运动员
的越野进程，其中一位运动员户从点8出发给看B-E -D的路线匀
�B行进，到达点D.设运动员户的运动时间为，到监洲点的距离为现有。

初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题（含答案）

初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题（含答案）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．⽤圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.⼀、选择题（共5⼩题，每⼩题6分，满分30分. 以下每道⼩题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的. 请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满⾜ 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x +==， 21122y --+==，所以444y x +=22233y x++- 2226y x=-+=7． 2．把⼀枚六个⾯编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正⽅体骰⼦先后投掷2次，若两个正⾯朝上的编号分别为m ，n ，则⼆次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12（第3题）【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个⼆次函数. 由题意知＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满⾜条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同⼼圆，⼤圆周上有4个不同的点，⼩圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，⼤圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；⼩圆周上的两个点E ，F 中，⾄少有⼀个不是四边形ABCD 的对⾓线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，⾄少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从⽽这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所⽰放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满⾜条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的⼀条弦，且1AB a =<．以AB 为⼀边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的⼀点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则120ECA EAC α∠=?-=∠．⼜因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=?+?- 120α=?-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成⼀排，最后⼀个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第⼀个数整除，那么满⾜要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的⼀个满⾜要求的排列．⾸先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件⽭盾．⼜如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明⼀个偶数后⾯⼀定要接两个或两个以上的奇数，除⾮接的这个奇数是最后⼀个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满⾜条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．⼆、填空题（共5⼩题，每⼩题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义⼀种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的⽅程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满⾜条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠=+-+>?，，解得，0a >，或1a <-．7．⼩王沿街匀速⾏⾛，发现每隔6分钟从背后驶过⼀辆18路公交车，每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车．假设每辆18路公交车⾏驶速度相同，⽽且18路公交车总站每隔固定时间发⼀辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x ⽶/分，⼩王⾏⾛的速度是y ⽶/分，同向⾏驶的相邻两车的间距为s ⽶．每隔6分钟从背后开过⼀辆18路公交车，则s y x =-66．①每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车，则s y x =+33．②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．⼜//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆⼼I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的（第8题）（第8题答案）⾼为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成⽐例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=?=-=-++ ()a b c a b c +=++，故 879168793DE ?+==++（）．10．关于x ，y 的⽅程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ====??，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平⽅数除以4所得的余数为0，奇数的平⽅数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213?，（第9题答案）其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=?-+≤2222131511?-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进⽽2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从⽽13s -＝7．于是62044s s t t ====??，，；，因此 481603232.x x y y ====??，，，三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直⾓坐标系xOy 中，⼀次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的⾯积值等于3OA OB ++．（1）⽤b 表⽰k ；（2）求△OAB ⾯积的最⼩值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00bx k k=-><，．所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b AB b k -（，，，，于是，△OAB 的⾯积为 )(21kbb S -?=．由题意，有3)(21++-=-?b kbk b b ，解得 )3(222+-=b b b k ，2b >．……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=?-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成⽴．所以，△OAB ⾯积的最⼩值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的⼀元⼆次⽅程20px qx p -+=有有理数根？解：设⽅程有有理数根，则判别式为平⽅数．令2224q p n ?=-=，其中n 是⼀个⾮负整数．则2()()4q n q n p -+=．……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下⼏种可能情形：222q n q n p -=??+=?，， 24q n q n p -=??+=?，， 4q n p q n p -=??+=?，， 22q n p q n p -=??+=?，， 24.q n p q n ?-=?+=?，消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，．……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从⽽q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从⽽q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．⼜当2p =，q ＝5时，⽅程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满⾜题设的质数． ……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长B C aC Ab A ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最⼤公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重⼼和内⼼，且90GIC ∠=?．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重⼼G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的⾼的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由PQC GPC GQC S S S =+△△△，可得 ()123a b r GE GF h h =+=+，即 222123A B C A B C A B CS S Sa b c a b=?+ ?++??△△△，从⽽可得 6aba b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重⼼G 和内⼼I 不重合，所以，△ABC 不是正三⾓形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，⽭盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有1111126a b ab a b a b =++为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满⾜条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分（第13题）（第13题答案）。

初三数学竞赛试题(含答案)

初三数学竞赛试题(含答案)8个时，即第4个数)称为（）。

A)中位数(B)平均数(C)众数(D)极差11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AE、BF，交于点G，则△ABG的面积是（）。

A)1/4(ABCD)(B)1/6(ABCD)(C)1/8(ABCD)(D)1/12(ABCD)12．已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=1/2在区间(0,1)内至少有（）个实根。

A)0(B)1(C)2(D)313．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC上一点，且AF平分△ABC的周长，则△ABC的面积是（）。

A)4S△ADE(B)2S△ADE(C)S△ADE(D)S△ABC14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE=CF，则△DEF的面积是（）。

A)1/4AB2(B)1/6AB2(C)1/8AB2(D)1/12AB2三、解答题：（共有3个小题，每小题20分，满分60分）15．已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，g(x)=f(x)-2x+3，h(x)=g(x)-2x+3，求h(x)的最高项系数。

16．如图，ABCD是一个正方形，O是BD上一点，且OD=2BD，连接AC、CO，交于点E，求△ABE的面积。

17．如图，在长方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC 上，且AE=CF，连接EF，交AC于点G，求证：△ADG与△CDF的面积相等。

解：根据题意，可以得到以下方程组：begin{cases}frac{6-2a}{5}=y \\3a-4<x<6-2aend{cases}$要使方程组的解是一对异号的数，只需 $y3$ 或 $a3$ 时，$x$ 的取值范围为 $3a-40$，即 $0<x<6-2a$。

因此，答案为$\boxed{\frac{3}{2}<a<3}$。

2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案

2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案2018年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷（考试时间：2018年3月14日下午3:00—5:00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数$a$、$b$满足$|a-3|+|b-2|+1-a+a=3$，则$a+b$等于（）A、$-1$B、$2$C、$3$D、$5$2、如图，点$D$、$E$分别在$\triangle ABC$的边$AB$、$AC$上，$BE$、$CD$相交于点$F$，设四边形$EADF$、$\triangle BDF$、$\triangle BCF$、$\triangle CEF$的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则$\frac{S_1S_3}{S_2S_4}$的大小关系为（）A、$S_1S_3>S_2S_4$B、$S_1S_3=S_2S_4$C、$S_1S_3<S_2S_4$ D、不能确定3、对于任意实数$a$，$b$，$c$，$d$，有序实数对$(a,b)$与$(c,d)$之间的运算“$\ast$”定义为：$(a,b)\ast(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$。

如果对于任意实数$m$，$n$都有$(m,n)\ast(x,y)=(n,-m)$，那么$(x,y)$为（）A、$(1,-1)$B、$(-1,1)$C、$(1,1)$D、$(-1,-1)$4、如图，已知三个等圆$\odot O_1$、$\odot O_2$、$\odot O_3$有公共点$O$，点$A$、$B$、$C$是这些圆的交点，则点$O$一定是$\triangle ABC$的（）A、外心B、重心C、内心D、垂心5、已知关于$x$的方程$(x-2)^2-4|x-2|-k=0$有四个根，则$k$的范围为（）A、$-1<k<\pi$B、$-\pi<k<\pi$C、$-\frac{\pi}{4}<k<\frac{\pi}{4}$ D、不能确定6、设在一个宽度为$w$的小巷内搭梯子，梯子的脚位于$P$点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。

“周报杯”2018年全国初中数学竞赛试题及参考答案

………………5分
因为 FCD EAB ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
DF BE CD AB ．
同理可得
EG AD CE AB ．
………………10分
（第13A题）
tan ACB AD BE
又因为
CD CE ，所以有 BE CD AD CE ，于是可得
DF EG ．
………………20
由于
an 1 an an1 an1 an2 L a2 a1
≥ n 1 n 1L n 1 (n 1)2 ，
所以， (n 1)2 ≤2020，于是n ≤45.
n 1 23 251
结合
，所以，n ≤9．
………………15分
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
图1
图2
【答】B．
（第4 题）
2
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解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故 1
S△ABC＝ 2 ×8×4＝16. 5．关于x，y的方程 x2 xy 2 y2 29 的整数解（x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组【答】C．解：可将原方程视为关于 x 的二次方程，将其变形为
5 1 （A） 2
5 1 （B） 2 （C）1
（D）2
【答】A．
BO BC
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 AB AC ，即
1a
a a 1 ，
所以，
a2 a 1 0 ．
（第2题）
a 1 5
由 a 0 ，解得
2．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。

$a<b<c$B。

$a<c<b$XXX<a<c$D。

$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。

因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。

2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。

3B。

4C。

5D。

6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。

因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。

3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。

$\frac{65}{26}$B。

$\frac{3}{3}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。

2018年初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准•第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分•如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)21.设二次函数y x 2ax 22a的图象的顶点为A，与x轴的交点为B, C •当△ ABC为等边三角形时，其边长为A. 6 .%【答】C.由题设知A( a, 弩).设B(x ,0) , C(x ,0)，二次函数的图象的对称轴与2 1 2x轴的交点为D，则BC | x1 x21X)224x x1 2又AD _3 BC，则|2所以，△ ABC的边长BC 2a22a2.a2a2(舍去)ABCD2.如图，在矩形中, BAD BD的平分线交于点，AB CAE 15 BE，则CJ ,J2 1. D. 1.3【答】D.延长AE交BC于点F，过点由已知得EBH ACB BAF30 .FADE作BC的垂线，垂足为H .AFB HEF 45 , BF ABE-、—AC设BE x，则2 HF HE x , BH W3x .2因为BF BH HF ，所以3x122x，解得x 3 1.所以BE2 3.设p,q均为大于3的素数，则使p25pq 4q为完全平方数的素数对(p, q)的个数为(A.1 . 【答】B. B.2.C.3.D.4.2 2 2设p 5 pq 4q m ( m 为自然数) (m p 2q)(m p 2q) pq .【答】C.0的整数组(x, y, z)的个数为由对称性，同样可得由于p, q 为素数，且 m p 2q p, m p 2q q ，所以 m p 2q 1 , m p 2q pq ，从而 pq 2 p 4q 1 0，即(p 4)(q 2) 9，所以(p, q)(5,11)或(7, 5).所以，满足条件的素数对 (p, q)的个数为 2.4.若实数 a, b 满足a2,2(1 a)2b(1 b)2 4a A.46 .B.64.C.82.D.128.(y @ z) @ x xy z xy yz zx xyz , (z @ x) @ yz xyyz zx xyz .所以，由已知可得x y z xy yz zx xyz0，即(x 1)( y1)(z 1)1.所以，x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：1, x 11, x 11, 1, 或 y11, 或 y11,或1, 1,z 1所以， 1, z 11, z 11, (x, y, z) (2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组.1,2 ，则(p 2q)2 pq m 2 , 即(1由条件—ba)2(1b)22 22a 2 2b 2 4aba 3b 3 0,2即(a b) 2[(a b)2 4ab] (a2 b)[(a b)23ab]又 a b 2,所以 22[4 4ab] 2[43ab] 0 ,解得 ab1.所以 a 2 b 2 (ab)22ab 6 ,a 3b 3 ( a b)[( a b)23ab] 14, a 5 b 5 (a 22 3 32 2 b 2 )(a3 b 3)a 2b 2(a b) 82.5.对任意的整数x, y ，定义x@ y xxy , 则使得 (x@y) @z(y@z) @x (z@x) @yA.1 . 【答】D.B.2 .C.3 .D.4.(x @ y) @ z (x y xy) @ z (x y xy) (x yxy)z z xyyz zx xyz ,1_£ 2018 2019 B.61 •_£2020C.62•因为 M 2018133，所以 M 1~~201833 61 335.__ 1 ___ 1 __ 1 1345 ■^050 ) -2030 13^050 20 83230 ,1 83230 1185 1 所以M 1345 61 1345，故M 的整数部分为61.、填空题：（本题满分 28分，每小题7 分）1.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC 2AB ，CE AB 于E ，F 为AD 的中点，若 AEF48，则 B ___ •【答】84 .设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知 FGCD 为菱形•由AB // FG // DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点• 又CE AB ，所以CE FG ，所以FH 垂直平分CE ，故 DFC GFC EFG AEF 48 . 所以 B FGC 180 2 48 84 •3 115 k 3孙三k 3 4k15 26•设M A.60 • 【答】B.-，则」的整数部分是 2050 MD.63 •又 M (丽^1^^12030才(203T120324(x y ） 15，则x y 的最大值为2由X 3y 3(x42(X y )( x xy令X y k ，注又因为x 2xy15可得(x y )( X 2152 .14(x y)2xy(X3Xyy 2) 11 X y) 1「即2y )2 43y 214 0,故由①式可得k 3 _3xyk _14 k152，所以xy A FG2.若实数 X, y 满足【答】3.117)x 2于是，x, y可看作关于t的一元二次方程t 2 ktk3 1k 坐(k ) 2 4 ——4 ---------- 2 0 ,3k3 2化简得k 3 k 30 0,即(k 3)(k 2 3k 10) 0，所以0 k 3.故x y的最大值为3.3. __________________________________________________ 没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为__________________________________________________________ .【答】21504.显然首位数字不能为0,末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数•相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7 个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数•所以，此时满足条件的五位数的个数为8 7 8 7 6 18816个•当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选，十位有6个数可选•所以，此时满足条件的五位数的个数为8 8 7 6 2688个•所以，满足条件的五位数的个数为18816 2688 21504 (个).5.55222 a b c4. 已知实数a,b, c满足a b c 0 ，a be 1 ,则-abc【答】5 .21 2222 13 3 3由已知条件可得ab bc ca 2 [(a b c)2 (a2 b2 c2)] 2，a b3 c 3abc，所以a5 b55,2.2 2、/ 3 .3c (a b c )(a b c3) [a2 (b3c3) .2/3 3、b (ac )2 3 3c (a b )]3abc [a2b2 ( a b) a2 c2 ( a c ) b 2 c2 (b c)] 2 23abc (abc2 2 2 2 a c bb c a)3abc 1 abc(ab bc ca) 3abc 2abc-5c K2 abc5a b c 5所以—abc 2第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)2 x21.满足(x x 1) 1的整数x的个数为A.1 .B.2C.3.【答】C.当x 220 且x2.x 1 0 时，x 2.当x2x 1 1时，x 2 或x 1.当x2x 1 1且x 2为偶数时，x 0.所以，满足条件的整数x有3个.2.已知x1,x2,x3( X1X2 x3 )为关于x的方程x 34x1 X12 x22 X32A.5 .B.6C.7 .( ) D.4 .3 X2 ( a 2) x a 0的三个实数根，则( ) D.8 .【答】A.2 方程即（x 1）（x 2x a ） 0，它的一个实数根为 1,另外两个实数根之和为 2,其中必有一根小于1，另一根大于1，于是x 2 1, x l x 3 2，故 (x 3x )( x 3x ) 2( x x 1 ) 2( x x ) 1 5 . 3 13.已知点E , F 分别在正方ABCD 的边 CD , AD 上, CD 4CE , EFB tan ABF A. 1 . B. 3 . C. & . D. ■ 3 .2 5 2 2【答】B.FBC ，贝U 不妨设CD 4，则CE 1, DE 3.设DF x 」U AF 4 x , EF J x 29 .作BH EF 于H .因为 EFB FB C AFB :, BAF △ BAF ^△BHF ，所以 BH BA 4.由SSS SS 得四边形ABF BEF DE F BCEABCD2 1 42 - 4 2 4 (4 x) 1 2 4 x 2 9 1 2 31x 2 41,解得x 8512AF 3所以AF 4 x 5 ,tan ABF AB 5 .4.方程3 x 3 x 的实数根的个数为（）A.0 .B.1 .C.2.D.3.【答】B. 90 BHF , BF 公共，所以FB令y 9 x ，则y 0 ,且x y 2 9，原方程变为它3 y 』y 2 9，解得y6，从而可得x 8或x 27 . 检验可知： x 8是增根，舍去；x 27是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根 5.设a, b, c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017倍都等于2018，则这样的三元数组（a, b, c ）的个数为A.4 .B.5.【答】B. C.6 . D.7.由已知得,a 2017bc 2018, b2017ac 2018, c 2017ab2018，两两作差，可得(a b)(12017c) 0 , (b c)(12017a) 0 , (c a)(12017b) 0 .1由(a b)(1 2017c) 0，可得a b 或c~2017 .(1 )当a b c 时，有2017a2 a 2018 0,解得 a 1 或a 20182017(2 )当a b c 时，解得a b ___ L , c 2018 12017 2017(3)当a b时，c 1，此时有：a 1 , b 2018 1，或a 2018 1 , b 12017 2017 2017 2017 2017 故这样的三元数组(a, b, c)共有5个.3 6.已知实数a, b满足a2 33a2 5a 1, b33b25b5,则a b ()A.2 .B.3 .C.4 .D.5【答】A.有已知条件可得(a 1)32(a 1) 2 , (b 1)32(b1)2，两式相加得(a 1) 32( a 1) (b 1) 32(b 1)因式分解得(a b 2)[( a 1) 2 ( a 1)b 1) (b 1) 22] 0 . 因为2(a 1)2 (a 1)(b 1)2(b 1)2 2 [(a 1)1 2(b 1)]23 (b 1)2 2 0 ,2 4所以a b 2 0,因此 a b 2.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)1.已知p, q, r为素数，且pqr 整除pq qr rp 1,则p q r .【答】10 .设k p qr rp 1 1 1 1 1 由题意知k是正整数，又p, q, r 2，所以k 3，从pqr p q r pqr 2而k 1 ,即有pq qr rp 1pqr，于F是可知p, q, r互不相等.当2 p q r 时，pqr pq qr rp 1 3qr，所以q 3，故q 2 .于是2qr qr 2q 2r 1,故(q 2)(r 2) 3,所以q 2 1, r 2 3，即q 3, r 5 ,所以,(p, q, r) (2,3,5).再由p, q, r的对称性知，所有可能的数组(3,5,2),(p, q, r)共有6组，即(2,3,5) , (2,5,3) , (3,2,5), (5,2,3) , (5,3,2).于是p q r 10.2.已知两个正整数的和比它们的积小 1000,若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 _____________ .【答】&2 2 Q Q设这两个数为 m , n (m n)，贝U m n mn 1000，即(m 21)( n 1) 1001.又 10011001 1 143 7 91 1177 13，所以(m 21, n 1) = (1001,1)或(143, 7)或(91,11)2 2或(77,13)，验证可知只有(m 2 1, n 1) (143,7)满足条件，此时 m 2 144, n 8 .3 .已知D 是厶ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB 6 , BC 10 , BAD BCD ,EDC ABD ，贝U DE ________ .【答】4.延长CD 至F ，使DF DC ，贝U DE // AF 且DE 丄AF ，2所以 AFD EDC ABD ，故A, F, B, D 四点共圆，于是整数对(m, n)的个数为【答】16.综合可知：符合条件的正整数对 (m, n)有 8+ 4 + 2+1 + 1 = 16 个.2 2 21)]2 4(m 2 4n 250) 0 ,整理得因为二次函数的图象在 x 轴的上方，所以 514n 49，即(m 1)(2n 1)2 .因为 m, n 为正整数，所以(m 1)(2n 1)25 .2n 1 彳5?，故 n 5. [2(m 2n4mn 2m 1 2，所以 1时, _53, 故亍223，符合条件的正整数对 (m, n)有8 个;2时, 5，故m4，符合条件的正整数对(m, n)有4个;3时, 257 ,m — 187，符合条件的正整数对(m, n)有2 个; 4时, 25 m —179，符合条件的正整数对(m, n)有1 个;5时,1125，故m 1411 ,符合条件的正整数对 (m, n)有1个.BFDBAD BCD ，所以 BF BC 10，且 BD FC ,故 FABFDB 90 .又AB 6，故 AF . 102628，所以DE 丄 AF 4 .24.已知二次函数yx 22(m 2n 1)x(m 2 4n 250)的图象在x 轴的上方，则满足条件的正第二试（A ）、（本题满分 2 20分）设a, b, c, d 为四个不同的实数，若 a, b 为方程x 10cx 11d 0的根，c, d c d 的值. a b 2 为方程x 10ax 11b 0的根，求解由韦达定理得 10c , 10a ，两式相加得 abed 10(a c). 2 因为a 是方程x 2 10cx 11d0的根, 2 所以a 2 10ac 11d 0 ,又 d 10a c ，所以 2a 2110a 11c10ac10分 2类似可得c 2110c 11a 10ac 0.15分①一②得（a ©（a c 121) 0 .因为a c ，所以ac 121,所以a10(a c) 1210 .20分二、（本题满分25分）如图，在扇形 OAB 中, AOB 4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F . （1 ）当四边形（2）求 CE 90，OA 12，点 C 在 OA 上, AC分别过由ODODEC 的面积S 最大时，求EF ； 2DE 的最小值. O, E 作CD 的垂线，垂足为 M , N .6, OC 8，得 CD 10.所以OCD S ECD-' CD (OM EN )^2 CD OE _12 10 12 60，当OEDC 时，S 取得最大值60.此时，EF OE OF12 -（2）延长 OB 至点G，使BG因为ODOE 」， DOE OEOG2所以CE 2DECE EG故CE 2DE 的最小值为& 10.OB 6 8 10 CG36 512，连结 GC,GE .E\ M F :” h” NJ !*____G10分EOG ，所以△ ODE OEG ，所以 DE 1，故 EG 2DE . EG 220分242 82 8 10，当C, E, G 三点共线时等号成立.25分2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第11页（共10页）三、（本题满分25分）求所有的正整数 m, n ，使得33 2 2m n m n(m n)22 2 2 S (m n)[(m n)3mr] m n (m n)2第二试（B ）、（本题满分20分）若实数a, b, c 满足(a b (a bc)(1」〕）的值.a bc解记a bc x ， ab bc ca y ，abc111(ab c)(ab 5c b c 5a c a 5b )x[3x 212(a b c)x36(ab bc ca )]c)(11 1 ) -9，求a b 5c b c 5a c a 5b 5z ，则11 1x( x 6ax 6b x 6c ) x (9 x 236》m 3 rh m 2 n 2因为 m, n 为正整数，故可令mnm np, q 为正整数，且 (p, q) 1. S (m n)凹 P 厘(mP 2n)3 pq q 2 2P因为 S 为非负整数，所以2P I q ，又(P, q)1,故 P 1，(m n) | mn .①10分所以mn n是整数，所以（m n) | n 2，故n 22 ，即 n mn .又由m 3 n 3 m 2n 2n 3m 2n 2m 3 所以由对称性，同理可得mm 2 (n 2 故m m) m 2n ， n . 所以20分n 代入①，得2 | m ， n 代入②，得2m 34m 4 0，即 m2.所以, 满足条件的正整数m, n 为m25分3 2 x 6(a b c)x 36(ab be ca)x 216abc 5 x 336xy 216Z ， ........................... 10分---------------- 是非负整数.(m n)竺£ ( mn )2 .m nm n2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第10页(共10页)2结合已知条件可得一x( 9X _361) 9，整理得xy ^Zz .所以 36xy 216z 5 2 5 x 3(a b c)(l a 1) xy z 27 2 20分二、(本题满分角形，AB AC , 25分) 如图, DE DC . 点E 在四边形 ABCD 的边AB 上，△ ABC 和厶CDE 都是等腰直角三 ACE 30，求 DP . (1 )由题意知ACB DCE 45 , BC .：2AC , EC 2DC, DCAECAC DC ，所以△ ADC BEC ，故 DAC BC EC45，所以 DAC ACB ，所以 AD // BC .10分 2 )设 AE x , 因为 ACE 30，可得 AC 3x , CE2x , DE 设AC 与DE 交于点P ，如果 (1)证明：AD // BC ；( 2) EBC 解所以 PE DC 因为 EAP CDP 90 ， EPA CPD ，所以△ APE DPC ，故可得 S APE — 12 S DPC •15分EPC S APES ACE —fx 2 , S EPC S DPC S CDE x 2，于是可得S DPCDPCA2S EPC (3 1)x .(2S 20分 25分PESEPC-个四位数，x 的各位数字之和为 m , x 1的各位数字之和为2的素数.求x .n ，并解设xabcd , 由题设知 m 与n 若d9,则nm 1 ，所以(m, 若c9 ,则n m 1 9 m 8若b 9, 显然a 9, 所以n m13 , m n 26 39 36 ，矛盾. 若b 9 , 则n m 1 9 9 m于是可得x 8899 或 9799.故(m, n) n 的最大公约数 n) 1，矛盾， 1 9 9 三、(本题满分25分)设x 是且m 与n 的最大公约数是一个大于(m, n)为大于2的素数.(m,8)，它不可能是大于 2的素数，矛盾，故 c 9 .9 m 26，17，故 ( m, n) ( m,17) 10分故(m, n) ( m, 26) 13，但此时可得17 ,只可能 n 17, m 34 .15分20分 25分。

2018学年佛山市数学学科竞赛九年级数学试题参考答案及评分标准

2018学年佛山市数学学科竞赛九年级数学试题（答题时间： 90 分钟满分： 100 分）说明：考生请把答案写在答题卷上，写在试卷上无效一、选择题（共 20 小题，每题 3分，共 60分）1. 关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2x+m=0的一个根是 x 1=﹣1，则 m 的值和方程的另一个根 x 2 是（）A ．m=2， x 2=﹣ 2B ．m=﹣ 3， x 2=3C ． m=﹣ 3，x 2=1D ． m=2，x 2=﹣ 32．定义：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠ 0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤 ax 2+bx+c=0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（点 F ，则 S △ DEF ： S △ ABF 等于（7．如图，点 A 在反比例函数 y= 的图象上， AM ⊥y 轴于点 M ，P 是 x 轴上一动点，当△ APM的面积是 4 时，k 的值是（）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣ 48．已知点（﹣ 1，y 1），（﹣ 2，y 2），（3，y 3）在反比例函数的图象上，下列正确的是凰”方程．已知 3. 4. 5. A ．a=c已知一次函数 B ．a=by=﹣x+b 与反比例函数 B ．﹣44 下列四组线段中不能成比例的是（ A ．a=4，b=4，c=5，d=10 C ．a=1， b= ，c= ，d= C ．） B b >4 或 b <﹣4 D ．b <﹣ 4 a=3，b=6，c=2，d=4 a=2， b= ，c= ，d=2如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 DC 的一个三等分点（ DE <CE ），AE 交C ． 1：9第 6 题图 6. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为的蜡烛，想要得到高度为 4cm 的像，蜡烛与纸筒的距离应该为（ A ．60cm B ．65cm C ． 70cm D ．75cm 15cm ，他准备了一支长为 20cm ）第 5 题（）A．y1> y3>y2 B．y1>y2>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y115．如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P 为边 BC 上一动点， PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥ AC 于 F ，M 为 EF 的中点，则 AM 的最小值是（） A ．2.5 B ．2.4 C ． 2 D ． 3 16．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC=12，面积为 24，△ABE 是等边三角形，若点 P 在对角线 AC 上移动，则 PD+PE 的最小值为（） A ．4 B ．4 C ． 2 17．如图，在平面直角坐标系中有菱形 OABC ，点 A 的坐标为（ 5，角线 OB 、AC 相交于点 D ，双曲线 y= （x >0）经过 AB 的中点 F ，点 E ，且 OB?AC=40，有下列四个结论：①双曲线的解析式为 y=9．函数 y=﹣ 与 y=mx ﹣m （ m ≠ 0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（10．学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，赛，则 x 满足的关系式为（） A ． x （ x+1）=21 B ． x （ x ﹣1）=2111. 三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，位的概率为（ B ．A ．D ．21场比赛．若比赛组织者计划邀请 x 个队参 C ．x （x+1）=21D ． x （x ﹣1）=21恰好有两名同学没有坐回原座 b 为何实数， B ．总是负b 2 2a 4b 7 的值是（ C ．可以是零12. 不论 a ， A ．总是正数13．如图，已知双曲线 y= （k <0）经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D ，且与直）D ．可以是正数也可以是相交于点 C ．若点 A 的坐标为（﹣ 8，4），则△ AOC 的面积为（ A ．6 B ．12 C ． 18 14．如图，在△ ABC 中， AC ⊥CB ，CD是 AB 边上中线，） D ．24 AE ⊥CD 于点 E ，延长 AE 交 BC 于D ． 6 △ACE D ．△B ．第 14 题）C ． △AD E第 16 题第 17 题∠ CAD 的值．26．如图，正方形 ABCD 的顶点 A ，B 在x 轴的正半轴上，对角线 AC ，BD 交于点 P ，反比例函数 y= 的图象经过 P ，D 两点，则 AB 的长是．其中正确的结论）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．418．正方形网格AOB 如图放sin ∠AOB 的值） A ． B ． C ．D ．119．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 边，CD边的中点， AE 、AF 分别交 BD 于点 G ，H ，设△ AGH 的面积的面积为 S 2，则 S 1：S 2 的值为）A ．B ．C ．D ．20．如图，在矩ABCD 中， BC=6 ，点 E 是边 BC一动B 关于 AE 的对称点为 B ′，过 B ′作 B ′F ⊥ DC 于 F ，连接 DB ′，若 △DB ′F 为等腰直角三角形，则 BE 的长是（） A ．6B ．3C ．3D ．6 ﹣ 6、填空题（共 10小题，每题 3分，共 30分）21．如果直线 y=mx 与双曲线 y= 的一个交点 A 的坐标为（ 3，2），则它们的另一个交点 B 的坐标为．22. 对于实数 p ，q ，我们用符号 min{p ，q}表示 p ，q 两数中较小的数，如 min{1 ，2}=1 ；若 min{ （x ﹣1）2，x 2}=1，则 x= ．23. 已知实数 m 满足 m 2﹣3m+1=0，则代数式 m 2+ 的值等于．24．如图，在矩形 ABCD 中， AB=12，BC=10，点 F ，G 分别是 AB 、CD 上的两点，连接，将矩形 ABCD 沿 FG 折叠，使点 B 恰好落在 AD 边上的中点 E 处，连接 BE ，则折痕 FG 的长 25．如图，在直角△ BAD 中，延长斜边 BD 到点 C ，使 DC= BD ，连接 AC ， ②直线 OE 的解析式为 y= x ；③ tan ∠CAO= ；④AC+OB=6 ；第 18 题为第 24 题第 25 题第 26 题若 tanB= ，则 tan27．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG= ．28．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=3 ，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是．29．如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=，1 则图中三个阴影部分的面积和为30．如图，△ABC中，BC=1．若AD1= AB，且D1E1∥BC，照这样继续下去，D1D2= D1B，且D2E2∥BC；D2D3= D2B，且D3E3∥BC；⋯；D n﹣1D n= D n﹣1B，且D n E n∥BC，则D n E n= （用含n三、解答题. （共1题，共10 分）31. 如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm，点P在CD边上，AP=AB，PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．1）求AB 的长；2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M 和点N 的运动时间为t，求S与t 的函数关系式；（3）若点M 和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N 在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．2018 学年佛山市数学学科竞赛九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每题 3 分共 60 分二、填空题：每题 3 分共 30 分三、解答题：每题 10 分共 10 分31.（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠D=90°，设AB=x，则AP=x，DP=x﹣4，在Rt△ADP中，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分解得：x=10，∴AB=10；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分2）如图1，过M 作MG⊥AN于G，则∠ AGM=∠ D=90°，∵AB∥CD，∴∠APD=∠MAG，∴△APD∽△MAG，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴，即，∴，即，解得：MG=8﹣t，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∵AN=10+2t，∴S= AN?MG= （10+2t）（8﹣t）=﹣t2+4t+40，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（3）线段EF的长度不发生变化；理由如下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分如图2，作MQ∥ AN，交PB于点Q，∵AP=AB，MQ∥AN ∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ= PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，7分在△MFQ 和△NFB中，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴QF= QB，∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠ C=90°，∴PB= =4 ，∴EF= PB=2 ，。