初等几何研究试题答案(2)李长明版

初等几何研究试题答案（II ）

二、关于和、差、倍、分线段（角）

1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：

BD+AD=BC 。

D '

B

C

A

43

2

1

证：在BC 上取点D ,

,使BD ,

=BD,连结DD ,

0100A ∠=且

BD 平分∠ABC

00120,40C ∴∠=∠=

又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠

0240∴∠=

即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=

又03180A ∠+∠=

∴点A 、D 、D ，

、B 四点共圆且14∠=∠

∴DD

,

=AD

BC=BD

,

+CD ,

=BD+AD

已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC

解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得

FO=2EO.连结BO 、DO 。

由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,

∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形

∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC

P Q

A

B C

F E

O P D

3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´

证明：（方法一）

∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´

又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）

同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´

∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。 ∴A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+A ´D ´

(方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆

C

A

B

A ′

C ′

D

B ′

D ′

X

半径，A B ''在以BX 为直径的圆上

∴s i n A B

X B B ''=同理sin C D XD D ''= ∴s i n

=2r s i n s A B C D B D B A B

''''

+

= 同理可得2sin sin B C A D r C D ''''+= 又A ∠和;C ∠B ∠和D ∠是两对互补的角

∴A B C D B C A

D ''''''''+=+

4. 在梯形ABCB 中，AB//CB ∠

D=2

∠

B,求证

AB=AD+DC

证明：在AB 上取一点E ，使AE=AD .

∴∠AED=∠ADE

因为AB//CD

所以∠EDC=∠AED 所以∠AED=∠ADE=∠EDC 所以∠ADC= 2∠AED 因为∠D=2∠B 所以∠AED=∠B 所以DE//CB

∴四边形

DEBC 是平行四边形

所以DC=EB

所以AB=AE+EB=AD+DC

D C

A E B

5 已知：G 是∆ABC 的重心，过G 作直线分别与AB,AC 交于E,F ，求证：EG ≤2GF 。

H

G

F

E

D

C

B

A

证明：在EF 上取点D 使DH//AB,故∆BE G ～∆GDF,故G 为∆ABC 的重心，则GH/BG=1/2=DG/EG ,故EG=2DG ≤2GF 命题得证

6.已知：在凸四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，且OA>OC ，OB>OD ，求证：BC+AD>AB+CD

E

C 1

D 1

C

A

O

D

B

证明：如图做AD 1=AD ，BC 1=BC

AD 1=AD ，BC 1=BC

∴四边形CDC 1D 1是菱形，则CD=C 1D 1

又 在∆ABE 、11D C ∆E 中

AE+BE>AB,E D E C 11+>11D C

111C AB AD BC +>+∴D 1

即BC+AD>AB+CD

7. 在直角梯形ABCD 中，AB 是垂直二底的腰，另一腰切以AB 为直径之圆于E ，过E 作底的平行线交AB 于F ，求证AC 平分EF

证明：连结AE 并交于的延长线于G 如图

因为AD=DE ∴∠AED=∠DAE

又∠AED=∠CEG 因为AD//BC ∴ AD//BG

∴∠DAE=∠EGC ∴ ∠EGC= ∠GEC ∴CE=CG 又因为 BC=CE ∴ BC=CG ∴C 是BG 的中点

∴M 也是EF 的中点

∴FM=ME ∴AC 平分EF

8、在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ，使△ABE 、△BCE 、△CDE 的周长相等。 求证：BC=

2

AD

E

G B D C E

F A