高一数学(3.1.1-2方程的根与函数的零点 习题课)
高一数学必修一方程的根与函数零点习题课
方程的根与函数零点习题课宁夏育才中学学益校区 马晓英课程设计目标：1、通过本节课的学习感受，使学生继续理解体会方程的根与函数零点的关系；2、感受数形结合思想方法在研究函数问题中的重要作用；3、学习体会函数与方程的思想方法。
授课类型：习题课教学用具：多媒体课件教学过程：一、复习方程的根与函数零点的概念二、例题讲解例1、函数f(x)＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f(x)＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C.例2、根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( ) x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.78 7.39 20.09 x ＋21 2 3 4 5 A.(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C.设f(x)＝e x －x －2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.例3、(2010年高考福建卷)函数f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋2x －3，x ≤0－2＋lnx ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ≤0时，由f(x)＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.练习1、已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.答案：0和2练习2、若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2 B．0，－1 2C．0，12D．2，12解析：选B.由题意知2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，使g(x)＝0，则x＝0或－1 2.练习3、若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是() A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥1解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.练习4、函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e,3)解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．练习5、设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B.设f(x)＝x 3－(12)x －2，则f(0)＝0－(12)－2<0；f(1)＝1－(12)－1<0；f(2)＝23－(12)0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．板书设计： 方程的根与函数零点例1............ 练习1................ 练习4............ 例2............ 练习2................ 练习5............ 例3............ 练习3............... 其它教学反思：。
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
新人教A版高中数学【必修1】 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业练习含答案解析
第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．4．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，－12 B ．0，12 C ．0,2 D ．2，－12 4．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________．三、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．413．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x 轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 作业设计1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac<0，∴a ≠0， ∴Δ＝b 2－4ac>0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A ，可能存在根； 对于选项B ，必存在但不一定唯一； 选项D 显然不成立．] 3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0， ∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4．C [∵f(x)＝e x ＋x －2， f(0)＝e 0－2＝－1<0， f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C [x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3. x>0时，f(x)＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f(1)＝－2<0，f(e 3)＝1>0，∵f(1)f(e 3)<0 ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 总之，f(x)在R 上有2个零点．]6．A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.]7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．]13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0 ∴12<k <23.。
2021年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点同步练习题 新人教A版必修1
实用文档2021年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点同步练习题 新人教A 版必修1一、选择题1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( )x －1 0 1 2 3e x0.37 1 2.78 7.39 20.09 x ＋212345A.(－1,0)C ．(1,2)D ．(2,3)3．(xx 年高考福建卷)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，－12C ．0，12D ．2，125．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1D ．a ≥16．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)7．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎨⎧x ＋1x ≤0x －1x ＞0D ．y ＝⎩⎨⎧x ＋1x ≥0x －1x ＜08．函数y＝log a(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定9．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)10、函数f(x)的零点与g(x)=的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A．f(x)=4x-1 B．f(x)=(x-1)2C．f(x)=e x-1 D．f(x)=ln(x-)二、填空题：11．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．12．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．13．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．14．下列说法正确的有________：①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．三、解答题：15．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．16．判断方程log2x＋x2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？17．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，实用文档(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.24413 5F5D 彝FQMcQ}37362 91F2 釲28516 6F64 潤l $33343 823F 舿KU实用文档。
高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业 新人教A
活页作业(二十三) 方程的根与函数的零点知识点及角度难易度及题号基础中档稍难求函数的零点14、711 函数零点的所在区间29函数零点的个数35、810 二次函数的零点分布69121．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )A．1，－4 B．4，－1C．1,3 D．不存在解析：函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－1.答案：B2．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且函数f(x)＝3x＋x－2的图象在(0,1)上连续不断．答案：C3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x 1234567f(x)123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2个B．3个C．4个D．5个解析：由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.答案：B4．已知x0是函数f(x)＝2x－log13x的零点，若0<x1<x0，则f(x1)的值满足( ) A．f(x1)>0B．f(x1)<0C ．f (x 1)＝0D ．f (x 1)>0与f (x 1)<0均有可能解析：由于f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)<f (x 0)＝0. 答案：B5．方程lg x ＋x －1＝0有________个实数根．解析：由原方程得lg x ＝－x ＋1，问题转化为函数y ＝lg x 的图象与函数y ＝－x ＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图：由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根． 答案：16．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则a 的取值范围是________．解析：∵二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1的开口向上，又其一个零点大于1，另一个零点小于1.∴当x ＝1时，其函数值小于零，即：12－2a ×1＋a －1＜0，∴a ＞0.答案：a ＞07．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x 2＋x ＋2；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(3)f (x )＝3x ＋1－7；(4)f (x )＝log 5(2x －3)．解：(1)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(2)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝x ＋6x －2x －2，令x ＋6x －2x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(3)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点是log 373.(4)令log 5(2x －3)＝0， 解得x ＝2，所以函数的零点是2.8．函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：作出y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f (x )只有一个零点．故选B.答案：B9．若方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________. 解析：方程为log 3x ＋x －3＝0，设f (x )＝log 3x ＋x －3， ∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0， 即f (2)·f (3)<0，∴函数在(2,3)内存在零点，∴k ＝2. 答案：210．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解：令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．11．求函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出其简图． 解：令f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2＝0， 则有x 2(x －2)－(x －2) ＝(x ＋1)(x －1)(x －2)＝0， ∴函数f (x )的零点为－1,1,2.又f (0)＝2>0，根据函数零点的性质可知在区间(－1,1)内，f (x )>0；在区间(－∞，－1)内，f (x )<0；在区间(1,2)内，f (x )<0；在区间(2，＋∞)内，f (x )>0.其图象如图所示．12．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点， (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 解：(1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×－3＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝k －22－4×k 2＋3k ＋5≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β 2＝α＋β2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43，∴α2＋β 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509，即α2＋β2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤509，18.1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．。
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第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点【选题明细表】1.函数y=4x-2的零点是( D )(A)2 (B)(-2,0) (C)（,0） (D)解析:令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.2.下列图象表示的函数中没有零点的是( A )解析:因为B,C,D项函数的图象均与x轴有交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.3.(2017·长春外国语学校高一期末)函数f(x)=ln x+x2+a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数a的取值范围是( A )(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)解析:因为f(x)在其定义域内是增函数,且f(x)有唯一的零点在(1,e)内,所以解得-e2<a<0.故选A.4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为( A )(A)[,] (B)[,](C)[0,] (D)[,1]解析:因为f()=+log2<0,f()=+log2>0,所以f()·f()<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为[,].故选A.5.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.6.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( B )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.故选B.7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是.解析:因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两个解.答案:28.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得或即或解得-<m<0.即m的取值范围是(-,0).9.(2018·广东高一期末)如果关于x的方程2x+1-a=0有实数根,则a 的取值范围是( D )(A)[2,+∞) (B)(-1,2](C)(-2,1] (D)(0,+∞)解析:由方程2x+1-a=0变形为a=2x+1,因为2x+1>0,所以a>0.10.(2018·河北省唐山市一中调研)已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=-,则函数f(x)在(-2,2]上零点的个数是( B )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:法一由-=0,解得x=,所以f()=0.因为f(2-x)=f(x),所以f()=f(2-)=f()=0.因为f(x)是奇函数,所以f(-)=-f()=0,f(-)=-f（）=0,f(0)=0,f(2)=f(0)=0,所以f(x)在(-2,2]上零点为-,-,0,,,2,共6个.法二依题意,作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)的图象在(-2,2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2,2]上的零点有6个.11.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.解析:作出f(x)的大致图象(图略).当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0.又m>0,解得m>3.答案:(3,+∞)12.(2018·北京市丰台区综合练习)已知函数f(x)=(1)若a=0,x∈[0,4],求f(x)的值域;(2)若f(x)恰有三个零点,求实数a的取值范围.解:(1)若a=0,则f(x)=当x∈[0,1]时,f(x)=-x2是减函数.所以-1≤f(x)≤0;当x∈(1,4]时,f(x)=-1是增函数.所以0<f(x)≤1.于是当x∈[0,4]时,f(x)的值域为[-1,1].(2)由(x-2a)(a-x)=0解得x=a或x=2a.由+a-1=0解得x=(1-a)2.因为f(x)恰有三个零点,所以解得a<0.所以实数a的取值范围是(-∞,0).13.(2017·朔州高一三模)已知函数f(x)=|x(x+3)|,若y=f(x)-x+b 有四个零点,则实数b的取值范围是.解析:令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数y=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4<b<-3. 答案:(-4,-3)。
3.1.1.2方程的根与函数的零点习题课
引申1. 已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1, e g(x)=x+ x (x>0) ,其中e表示自 然对数的底数. (1)若g(x)=m有零点,求m的取值 范围; (2)确定t的取值范围,使得g(x)f(x)=0有两个相异实根.
2
课堂练习：试讨论函数 f ( x） =x 的零点个数
【解析】f(x)=0⇔x2-2|x|=a+1, 令 g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,
方程的根与零点习题课
例1.函数 f ( x) 2 x 2 在区间（0,1） 内的零点个数是（ B ）
x 3
(法一)数形结合:函数 f(x)=2 +x -2 在 3 (0,1)的零点个数,即可转化为函数 h(x)=x 与 x 【解析】 函数 g(x)=2-2 在区间(0,1)的交点情况.如图: x 3 存在一个交点,即函数 f(x)=2 +x -2 在(0,1)的 零点个数为 1 个. (法二)根的存在定理:因为 f(0)=1<0,f(1)=1>0,所以 f(0)f(1)<0,又因为 x 3 f(x)=2 +x -2 在区间(0,1)上单调递增且连续, 所以函数在区间(0,1)上只有一个零点.
3-m 2
解得{m| <m≤1}.
3
2
4 f(2) = 3m-2 < 0, (4)由题意得 解得{m|m<- }. 5 f(4) = 5m + 4 < 0,
f(-2) = -m + 10 > 0, 4 (5)由题意得 f(0) = m < 0, 解得{m|- <m<0}. 5 f(4) = 5m + 4 > 0,
3.1.1方程的根与函数的零点课时作业1
高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业1．函数y ＝x 2＋6x ＋8的零点是( ) A ．2,4 B ．－2，－4 C ．1,2D ．不存在2．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点3．函数f (x )＝x 2＋4x ＋4在区间[－4，－1]上( ) A ．没有零点 B ．有无数个零点 C ．有两个零点D ．有一个零点4．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上，则下列命题中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1e，1)和(3,4)D ．(e ，＋∞)6．若函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k ≥0 C ．0≤k <1D ．k >07．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x －1，x >0 D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <08．若函数f (x )＝2(m ＋1)x 2－1与函数g (x )＝4mx －2m 有两个交点，则m 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．10．求下列函数的零点．(1)f (x )＝5x ＋3； (2)f (x )＝－x 2－2x ＋3.11．求函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数．12．函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g (x )＝ax 2－bx －1的零点．13．已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a＜0)，且f(x)＝－2x 的实根为1和3，若函数y＝f(x)＋6a只有一个零点，求f(x)的解析式．。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点(2)同步讲练新人教版必修1
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （2）精讲部分学习目标展示（1）掌握零点存在性定理并能应用（2）会零点存在性定理判定零点的存在性及零点的存在区间 衔接性知识1. 函数零点的定义？函数零点与方程根有什么关系？2. 如何判断二次函数零点的个数？3. 求函数2()32f x x x =-+的零点，判断(0)f 、1()2f 与3()2f 的符号（2） 函数()f x 在在(,)k k 内有且只有一个零点例1. 函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的一个区间是 （ ） A ．)2,1(B ．(2,3)C ．)4,3(D ．)5,4(【解析】因为函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线，又(1)ln121640f =+⨯-=-<，2(2)ln 2226ln 20f e =+⨯-<-=，(3)ln 3236ln 30f =+⨯-=>，所以(2)(f f ⋅<，故函数()f x 的零点所在的一个区间是(2,3)，选B.例2. 若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（31,0） 【解析】构造函数131()()2xf x x =-，则函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线.又1031(0)()0102f =-=>，1133111()()()0323f =->，1132111()()()0222f =-<，2133212()()()0323f =-< ，所以11()()032f f ⋅<，故()f x 的零点所在的一个区间是11(,)32，即方程31)21(x x=的解0x 属于区间11(,)32.选C注释：211333112()()()243=<，2133212()()()0323f ∴=-<例3. 求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数 【解析】法1.(2)ln 22ln 210f e =-<-=-<，(3)ln3ln 1f e =>=，(2)(3)0f f ∴⋅<，又函数()ln 26f x x x =+-在[2,3]上的图象是连续不断的 ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点而()ln 26f x x x =+-在其定义域(0,)+∞内是增函数，所以函数()f x 只有一个零点 法2. 函数()f x 的零点就是ln 260x x +-=即ln 62x x =-的实数根记()ln g x x =，()62h x x =-，在同一坐标系中画出()g x 与()h x 的图象，由图象可知，()g x 与()h x 的图象只有一个交点，所以函数()f x 只有一个零点例4. 函数2()2f x x x a =-+在区间)0,2(-和(2,3)内各有一个零点 求实数a 的取值范围解析：函数2()2f x x x a =-+在区间20-（，）和23（，）内各有一个零点，由二次函数的性质，知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩即4003030a a a a +>⎧⎪<⇒-<<⎨⎪+>⎩， 所以实数a 的取值范围为(3,0)-精练部分A 类试题（普通班用）1. 方程31()02xx -=与1()2xy =的根为0x ，则0x 所在区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] 令3(2()1)xf x x -=，则()010f <=-，1(1)=>02f ，0(0,1)x ∈∴，故选C 2. 函数()ln 311f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点( ) A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2(D ．)4,3([答案] D[解析]因为()f x 的图象是一条连续不断的图象又(3)ln 33311f =+⨯-23ln 32lnln10e=-=<=，(4)ln 43411ln 410f =+⨯-=+>， (3)(4)0f f ∴⋅<，所以()f x 在(3,4)一定有零点，选D3.函数22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 [答案] 2【解析】 法1.方程20(0)x x +=<的解为2x =-，方程210(0)x x -=>的解为1x =，所以函数()f x 有两个零点：2-与1法2.画出函数的22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩图象，它与x 轴有两个交点，所以函数()f x 有两个零点，填 24．证明：函数225()1x f x x -=+在区间（2，3）上至少有一个零点 证明：函数225()1x f x x -=+的定义域为R ，∴函数f(x)的图像灾区间(2,3)上是连续的。
高中数学第三章函数的应用 3.1-3.1.1 方程的根与函数的零点练习-新人教版必修
3.1.1 方程的根与函数的零点A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是( ) A.110 B.10 C.1010D ．10 解析：由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.答案：A2．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不能确定解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：C3．函数f (x )＝ln x ＋2x －3的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：因为f (1)＝－1<0，f (2)＝1＋ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，且函数f (x )是(0，＋∞)上的连续函数，所以函数f (x )的零点所在区间是(1，2)．答案：B 4．若函数f (x )＝x －1x，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14解析：因为f (x )＝x －1x ，所以f (4x )＝4x －14x. 则g (x )＝4x －14x －x ＝0，令g (x )＝0.有4x －14x －x ＝0，解得x ＝12. 答案：B5．对于函数y ＝f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但未必函数y ＝f (x )在(－1，3)上有实数解．答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数是________．解析：作出函数g (x )＝ln x 和h (x )＝x －2的图象，由图可知，这两个图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：27．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________． 解析：因为f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0，得－1<b <0. 答案：(－1，0)8．方程3x＝x ＋2解的个数是________．解析：分别作出函数y ＝3x和y ＝x ＋2的图象，可知，这两个函数图象有两个交点，所以方程3x＝x ＋2有两个解．答案：2 三、解答题9．讨论函数f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R)的零点． 解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝0， 解得x 1＝x 2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a或x ＝2，综上所述当a ＝0时，零点为x ＝2； 当a ＝12时，零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，零点为x ＝1a和x ＝2.10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．解：(1)要使函数有意义：则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解之得：－3<x <1.所以函数的定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝ log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1， 即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1± 3.因为－1±3∈(－3，1)，f (x )的零点是－1± 3.B 级 能力提升1．方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：在同一坐标系画出函数y ＝2x 及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x 2＝0的解的个数为3.答案：C2．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N)，则k 的值为______．解析：设f (x )(1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1，2)内，即k ＝1.答案：13．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．解：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f （4）<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0. 解得－1913<m <0.。
高中数学必修1单节练习3.1.1 方程的根与函数的零点 练习
3、1、1方程的根与函数的零点一、选择题1、、函数f(x)=2x+7的零点为 （ ） A 、7 B 、27 C 、27- D 、-72、方程01=-xx 的一个实数解的存在区间为 （ ） A 、（0，1） B 、（0，2） C 、（1，2） D 、（-1，1）3、函数23)(2+-=x x x f 在区间（1，2）内的函数值为（ ）A 、大于等于0B 、小于等于0C 、大于0D 、小于04、若函数()x f 唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下列命题中错误的是（ ）A 、函数()x f 在（1，2）或[)3,2内有零点B 、函数()x f 在（3，5）内无零点C 、函数()x f 在（2，5）内有零点D 、函数()x f 在（2，4）内不一定有零点二、填空题5、设函数()x f 在区间[b a ,]上连续，若满足______________，若方程()0=x f 在区间[b a ,]上一定有实根。
6、方程012=-+x x 的实数解的个数为________________。
7、方程02)1(2=+--m x m x 有两个实根且在区间（0，1）上有且只有一个实根所要满足的条件是_______________。
8、函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围为_______________。
9、函数3()35f x x x =--+的零点所在的区间为————————————。
10 、函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-的一个零点在原点，则m 的值为———————————。
三、解答题11、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）01272=++x x ；（2）()2lg 2--x x =0 （3）0313=-+x x ；（4）0ln 31=--x x 。
12、利用函数的图象，指出函数()3)2ln(2--⋅=x x x f 零点所在的大致区间。
2018-2019学年人教A版高中数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点练习含解析.docx
2018-2019 学年人教 A 版高中数学必修 1 练习含解析第三章 3.1 3.1.11．函数 y ＝ 2x － 1 的图象与 x 轴的交点坐标及其零点分别是 ( )A. 1， 1B ． 1，0 ，12 222C ．－1，－1 D ． －1， 0 ，－ 1222 2解析： 由 y ＝ 2x －1＝ 0，得 x ＝ 1，故交点坐标为1， 0，零点是 1222.答案： B2．函数 f(x)＝ 2x ＋ 3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ． (－ 2，－ 1)B ． (－ 1,0)C ．(0,1)D ． (1,2)解析： 因为 f(－ 1)＝ 1－ 3＜0， f(0) ＝1＞ 0，所以 f(x)在区间 (－1,0)上存在零点．2 答案： B3．若函数 f( x)＝ x 2＋ 2x ＋ a 没有零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A ． a ＜ 1B ． a ＞ 1C ．a ≤ 1D ． a ≥ 1解析： 由题意知， ＝ 4－ 4a ＜ 0，∴ a ＞1.答案： B4．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋ c 中， a ·c ＜0，则函数零点的个数是 ________．解析：∵ a ·c ＜ 0，∴Δ＝b 2－ 4ac ＞ 0.∴二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 的图象与 x 轴有两个交点，则函数有两个零点．答案： 25．函数 f(x)＝ ax 2＋ 2ax ＋ c(a ≠ 0)的一个零点为 1，则它的另一个零点是 ________．解析： ∵a ≠ 0，∴此函数为二次函数．设另一个零点为x 2，由根与系数的关系，得1＋x 2＝－2a＝－ 2.∴ x 2 ＝－ 3.a答案： － 36．已知函数 f(x) ＝x 2 ＋3(m ＋ 1)x ＋n 的零点是1 和 2，求函数 y ＝log n (mx ＋ 1)的零点．解： 由题可知， f(x)＝ x 2＋ 3(m ＋1)x ＋ n 的两个零点为 1 和 2. 则 1 和 2 是方程 x 2 ＋3(m ＋ 1)x ＋ n ＝0 的两根． 1＋ 2＝－ 3 m ＋ 1 ， m ＝－ 2，可得解得1× 2＝ n ，n ＝ 2.12018-2019 学年人教 A 版高中数学必修 1 练习含解析所以函数y＝ log n(mx＋1)的解析式为y＝ log2(－ 2x＋ 1)．要求其零点，令log 2(－ 2x＋ 1)＝0，解得 x＝ 0.所以函数 y＝ log 2(－ 2x＋ 1)的零点为0.2。
2019秋高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点练习(含解析)新人教A版必修1
3.1.1 方程的根与函数的零点A 级 基础巩固一、选择题1．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则下列判断中正确的是( ) A ．方程f (x )＝0一定有根 B ．方程f (x )＝0一定无根 C ．方程f (x )＝0一定有两根 D ．方程f (x )＝0可能无根解析：因为题中没说f (x )的图象是连续不断的一条曲线，无法确定f (x )＝0是否有根． 答案：D2．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不能确定解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：C3．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解( ) A ．[－10，－0.1] B ．[0.1，1] C ．[1，10]D ．(－∞，0]解析：记f (x )＝lg x ＋x ，因为f (0.1)·f (1)＝(lg 0.1＋0.1)(lg 1＋1)＝－0.9×1<0，所以在[0.1，1]内有解． 答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0C.12D ．0解析：当x ≤1时，令2x－1＝0，得x ＝0. 当x ＞1时，令1＋log 2x ＝0，得x ＝12，此时无解．综上所述，函数零点为0. 答案：D5．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：则函数f (x )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：由题表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，又f (x )为连续不断的曲线，故f (x )在区间[1，6]上至少有三个零点．答案：B 二、填空题6．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数是________．解析：作出函数g (x )＝ln x 和h (x )＝x －2的图象，由图可知，这两个函数图象有两个交点，所以函数f (x )有两个零点．答案：2 7．若函数f (x )＝x －1x，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是________． 解析：因为f (x )＝x －1x ，所以f (4x )＝4x －14x. 则g (x )＝4x －14x －x ，令g (x )＝0，有4x －14x －x ＝0.解得x ＝12.答案：128．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6.所以g (x )＝－6x 2－5x －1，令g (x )＝0解得g (x )的零点为－12，－13.答案：－12，－13三、解答题9．判断下列函数是否存在零点．如果存在，请求出． (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2；(3)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(4)f (x )＝3x ＋1－7；(5)f (x )＝log 5(2x －3)．解：(1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0， 所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝（x ＋6）（x －2）x －2，令（x ＋6）（x －2）x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6. (4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373.(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2， 所以函数的零点为2.10．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1，4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域．(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点？解：(1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1，4]，其图象如图所示．其值域为[－4，5]．(2)因为函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点， 所以方程f (x )＝－m 在x ∈[－1，4]上有两个相异的实数根， 即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点． 由(1)所作图象可知，－4<－m ≤0， 所以0≤m <4.所以当0≤m <4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m <4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．B 级 能力提升1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在两个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：因为g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点，图象如下：要使得y ＝－x －a 与f (x )有两个交点，则有－a ≤1即a ≥－1. 答案：C2．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝0在(0，1)上恰有一个解，有下面两种情况：①f (0)·f (1)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝0，且其解在(0，1)上，由①得(－1)(2a －2)<0，所以a >1， 由②得1＋8a ＝0，即a ＝－18，所以方程－14x 2－x －1＝0，所以x 2＋4x ＋4＝0，即x ＝－2∉(0，1)，应舍去，综上得a >1. 答案：a >13．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0(a ≠0)，求a 为何值时，方程： (1)有一正根－负根； (2)两根都大于1；(3)一根大小1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正根一负根， 所以由根与系数的关系得a －1a＜0，所以0＜a ＜1.又Δ＝12a ＋4＞0，解得a ＞－13，所以0＜a ＜1.(2)方程两根都大于1，函数f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如右图所示：所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＞0，2（a ＋1）2a ＞1，f （1）＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＞0，2（a ＋1）2a ＞1，f （1）＜0.而两个不等式组均无解，所以不存在实数a ，使方程两根都大于1.(3)方程有一根大于1，一根小于1，函数f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如右图所示，所以必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，f （1）＜0，Δ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f （1）＞0，Δ＞0，解得a ＞0.。
课时作业3：3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.1 方程的根与函数的零点一、选择题1．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根2．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x 、f (x )对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上( )A ．一定有零点B ．可能有两个零点C ．一定有没有零点D ．至少有一个零点4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝ln x －3x ＋6D ．f (x )＝e x ＋3x －65．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是() A ．－1和16 B ．1和－16C ．12和13D ．－12和－136．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题7．已知函数f (x )＝x ＋m 的零点是2，则2m ＝________.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0的零点的个数为________．9．对于方程x 3＋x 2－2x －1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？11．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x2＋4x－12x－2；(4)f(x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．12．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．1.[答案] D2.[答案] B3.[答案] B[解析] 若f (x )的图象如图所示否定C 、D若f (x )的图象与x 轴无交点，满足f (a )>0，f (b )>0，则否定A ，故选B.4.[答案] D[解析] A ：3x 2－4x ＋5＝0的判别式Δ<0，∴此方程无实数根，∴f (x )＝3x 2－4x ＋5在[1,2]上无零点．B ：由f (x )＝x 3－5x －5＝0得x 3＝5x ＋5.在同一坐标系中画出y ＝x 3，x ∈[1,2]与y ＝5x ＋5，x ∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．∴f (x )＝0在[1,2]上无零点． C ：由f (x )＝0得ln x ＝3x －6，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝3x －6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f (x )＝0在[1,2]内没有零点．D ：∵f (1)＝e ＋3×1－6＝e －3<0，f (2)＝e 2>0，∴f (1)·f (2)<0.∴f (x )在[1,2]内有零点．5.[答案] B[解析] 由于f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点2和3，∴a ＝5，b ＝6.∴g (x )＝6x 2－5x －1有两个零点1和－16. 6.[答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1；∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2，∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．7.[答案] 14[解析] ∵f (x )的零点是2，∴f (2)＝0. ∴2＋m ＝0，解得m ＝－2.∴2m ＝2－2＝14. 8.[答案] 2[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x －4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x －4，x ＞0有2个零点． 9.[答案] ①②③[解析] 设f (x )＝x 3＋x 2－2x －1，则f (－2)＝－1＜0，f (－1)＝1＞0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝7＞0，则f (x )在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．三、解答题10.[解析] 因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0， f (0)＝20－02＝1＞0，而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．11.[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1. (2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2，令(x ＋6)(x －2)x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373. (5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2.12.[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＞0，f (1)＜0，解得－2＜m ＜－12. 第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0，f (1)＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围是－2＜m ＜－12.。
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课后习题新人教版
3.1.1 方程的根与函数的零点一、A组1.方程x3-x-1=0在区间(1,1.5)内的实数解有()A.3个B.2个C.至少1个D.0个解析:方程x3-x-1=0在区间(1,1.5)内的实数解的个数,即为函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内零点的个数,由f(1)·f(1.5)<0,可知f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内至少有1个零点,故方程x3-x-1=0在区间(1,1.5)内至少有1个实数解.答案:C2.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于()A.0B.1C.-1D.不能确定解析:奇函数的图象关于原点对称,若函数有三个零点,则三个零点之和为0.答案:A3.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是()A.若f(a)·f(b)>0,不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0B.若f(a)·f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0C.若f(a)·f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0D.若f(a)·f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0解析:根据函数零点存在定理进行判断,若f(a)·f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,但c的个数不确定,故B,D错.若f(a)·f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)·f(2)>0,但f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,故A错,C正确.答案:C4.(2016·山东济南高一期末)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.D.解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)单调递增,∵f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22-=1->0,∴在区间(1,2)内,函数f(x)存在零点,故选A.答案:A5.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个解析:作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.答案:B6.若函数f(x)=ax+b的零点为2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是.解析:由题意可知f(2)=2a+b=0,即b=-2a.∴g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1)=0,∴x=0或x=-.答案:0,-7.方程lg x+x-1=0有个实数根.解析:由原方程得lg x=-x+1,问题转化为函数y=lg x的图象与函数y=-x+1的图象交点的个数.作出相应函数的图象,如图所示.由图可知,两个函数图象只有一个交点,故原方程有且仅有一个根.答案:18.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,则实数k的取值范围是.解析:因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数根x1,x2,且0<x1<1<x2<2, 所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象如图所示.结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,且f(2)=1-5k>0,所以0<k<.故实数k的取值范围为.答案:9.若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的值.解:若a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知该函数只有一个零点.若a≠0,则函数f(x)为二次函数,若f(x)只有一个零点,则方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根.所以判别式Δ=1+4a=0,解得a=-.综上所述,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.10.已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a<0),且f(x)=-2x的实根为1和3,若函数y=f(x)+6a只有一个零点,求f(x)的解析式.解:∵f(x)=-2x的实根为1和3,∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3).∴f(x)=ax2-(2+4a)x+3a.又函数y=f(x)+6a只有一个零点,∴方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根.即ax2-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实数根.∴Δ=(2+4a)2-36a2=0,即5a2-4a-1=0.∴a=1或a=-.又a<0,∴a=-.∴f(x)=-x2-x-.二、B组1.若函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:令f(x)=x3-,则f(0)=0-=-4<0,f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,f(3)=27-=26>0,f(4)=64-=63>0,故f(1)·f(2)<0,即x0所在的区间是(1,2).答案:B2.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)为偶函数,若f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()A.1个B.2个C.至少2个D.无法判断解析:依据给出的函数性质,易知f(-2)=0,画出函数的大致图象如图所示.由图可知f(x)有2个零点.答案:B3.若方程x lg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k等于()A.-2B.1C.-2或1D.0解析:由题意知,x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示.由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(1,2)内,所以k=-2或k=1.故选C.答案:C4.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点个数是.解析:∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),由f(x)=0,得x=-5或x=1或x=2.∴函数f(x)有3个零点.答案:35.若函数f(x)=则函数y=f(x)-的零点个数是.解析:令y=f(x)-=0,得解得∴x=或x=1-.答案:26.若函数f(x)=|x2-3x|-a有3个零点,求实数a的值.解:函数f(x)=|x2-3x|-a的零点就是方程|x2-3x|-a=0的解.由|x2-3x|-a=0,得|x2-3x|=a.在平面直角坐标系中,画出函数y=|x2-3x|的图象,再画出直线y=a,使它们有3个交点,如图,所以实数a的值是.7.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.解:(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数根.则解得k=-2.(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实根,∴则∴α2+β2在区间内的取值范围为.故α2+β2的取值范围为.。
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例3 已知函数 f (x) 2ax x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
2
例4 已知 f (x) 2(m 1)x 4mx 2m 1 （1）如果函数f(x)有两个零点，求m的 取值范围； （2）如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有 一个零点，求m的取值范围.
3.1.1 方程的根与函数的零点 第二课时 方程的根与函数的零点 （习题课）
知识回顾
1.什么叫函数的零点？ 对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法？ 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
C.0和
1 2
1 D.0和 2
2 （3）函数 f ( x) ln x 的零点所在的大 x 致区间是 （ B )
A.（1，2） C.（3，4）
B.（2，3） D.（4，5）
4x 4(x 1) 例2 已知函数f (x) 2 和 x 4x 3(x 1) g(x) log 2 x 设h(x) f (x) g(x), 试确定 函数h(x)的零点个数 .
3.函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点 的条件是什么？
(1)函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线; (2) f(a)·f(b)<0.
4.在上述条件下，函数y=f(x)在区间（a， b）内是否只有一个零点？
5.方程f(x)=g(x)的根与函数f(x)，g(x) 的图象有什么关系？
2
作业： 1.设m为常数，讨论函数 2 f (x) x 4 x 5 m 的零点个数. 2.若函数 f ( x) 2 x 3x m 在区间（-1，1）内有零点，求实 数m的取值范围.
2
பைடு நூலகம்
理论迁移
例1 （1）已知函数 f(x) ax bx c ，若 ac＜0，则函数f(x)的零点个数有( C ) A. 0 B. 1 C.2 D.不确定
2
（2）已知函数 f(x) ax b 有一个零点为2， 则函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) D A.0和2
1 B.2和 2