2016高考数学10.6几何概型练习

课时提升作业(六十六)几 何 概 型(25分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·信阳模拟)设A 为圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与A 连接,是()【解题提示】可以过点A 作等腰直角三角形,将问题转化为角度比,用几何概型求解. 【解析】选B.作等腰直角三角形AOC 和AOM,B 为圆上任一点,则当点B 在上运动时,弦长所以P=12.【方法技巧】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.【加固训练】1.(2015·张掖模拟)如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC 内,曲线y=sin x(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任意一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是()【解析】选A.由定积分可求得阴影部分面积为sin xdx=-cos x=2,矩形OABC 面积为2π,根据几何概型概率公式得所投点落在阴影部分的概率为212=ππ.2.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为()【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC 的面积,即为π-2,则阴影区域的面积为2π-4,所以所求概率为242P 42π-π-==.2.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形,依此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是()【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的4倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为18.3.随着科技的进步,微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用,设计了一个试验:在一个棱长为1cm 的正方体的中心放置微量手术专用炸药,而爆炸的威力范围是一个半径为R 的球,则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为()【解析】选A.由题意可知,要使碎片全部落在正方体的内部,则该爆炸的威力范围的半径r 不大于正方体的内切球的半径R=12.所以该事件的概率P=4.已知平面区域Ω={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},平面区域M=,若向区域Ω内随机抛掷一点P,则点P 落在区域M 内的概率为( )【解题提示】平面M所表示的区域,可利用线性规划知识画出其区域.【解析】选B.如图所示,画出区域Ω与区域M,则区域Ω是以(1,1)为圆心,1为半径的圆,其面积为π,区域M,故所求的概率为2π,故选B.【加固训练】已知M={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域M内随机投一点P,则点P落在区域A内的概率为()【解析】选D.区域M为△AOB,区域A为△OCD,所以所求概率5.(2015·惠州模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程2222x ya b+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()【解析】选B.方程2222x ya b+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆,故即2222a b ,a b,a 2b,a 4b ⎧>>⎧⎪⎨⎨<<⎪⎩⎩化简得又a ∈[1,5],b ∈[2,4],画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为154,故所求的概率S 15P 2432==⨯阴影. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)如图,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,分别以O,B 为圆心,半径为2画圆弧,点P 在两圆之外的概率为.【解析】依题设知所求概率答案:1-4π7.(2015·贵阳模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD 是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,则此长方体的体积是 .【解题提示】设长方体的高为h,用h 表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有h 的方程,求出h 后再求解体积.【解析】设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知()()24h 122h 12h 4+=++,得h=3,所以长方体的体积是V=1×3=3.答案:38.已知m ∈[1,7],则函数f(x)=3x 3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在实数集R 上是增函数的概率为 .【解析】f ′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7, 依题意,知f ′(x)在R 上恒大于或等于0, 所以Δ=4(m2-6m+8)≤0,得2≤m ≤4.又m ∈[1,7],所以所求的概率为421713-=-. 答案: 13(20分钟 40分)1.(5分)向边长为2米的正方形木框ABCD 内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P 点,则P 点到A 点的距离大于1米,同时∠DPC ∈(0,)2π的概率为()【解析】选A.由题意,易知:(1)点P 在以A 点为圆心,1为半径的圆外;(2)若点P 在以DC 为直径的圆上,则∠DPC=2π,若点P 在以DC 为直径的圆内,则∠DPC>2π,故只有点P 在以DC 为直径的圆外时满足∠DPC 为锐角.因此,点P 落入图中的阴影部分,故所求概率为43421416ππ--π=-. 【方法技巧】解决几何概型的关键解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算,即当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比. 2.(5分)(2015·贵阳模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+≤1”发生的概率为()【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长度为π,设A 表示取出的x 满足sinx+cos x ≤1这样的事件,对条件变形为1sin(x )32π+≤,即事件A 包含的区域长度为2π.所以P(A)=122π=π.3.(5分)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为 .【解析】要使2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立,只需ax ≤2x2+8,即a ≤2x+8x 在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x ≥当且仅当x=2时等号成立,故只需a ≤8,因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8041005-=-. 答案: 454.(12分)已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x ∈A,y ∈B},在集合M 内随机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率.(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.【解析】(1)集合M 内的点形成的区域面积S=8.因圆x2+y2=1的面积S1=π,故所求概率为1S S 8π=. (2)由题意2≤,即-1≤x+y ≤1,形成的区域如图中阴影部分,阴影部分面积S2=4,所求概率为2S 1.S 2=5.(13分)(能力挑战题)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x ∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=bx .(1)若a ∈{1,4},b ∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率. (2)若a ∈[1,4],b ∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率. 【解析】(1)设事件A 表示f(x)和g(x)是“友好函数”, 则|f(x)+g(x)|(x ∈[1,2])所有的情况有:共6种且每种情况被取到的可能性相同.又当a>0,b>0时ax+bx在上递减,在)+∞上递增;x-1x 和4x-1x 在(0,+∞)上递增,所以对x ∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有x-1x ,x+1x ,x+4x ,4x-1x ,故事件A 包含的基本事件有4种,所以P(A)=4263=,故所求概率是23.(2)设事件B 表示f(x)和g(x)是“友好函数”,因为a 是从区间[1,4]中任取的数,b 是从区间[1,4]中任取的数,所以点(a,b)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立,需f(1)+g(1)=a+b≤8且f(2)+g(2)=2a+b2≤8,所以事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.。