高考数学第4讲 函数及其表示

第二章 函数、导数及其应用
第4讲 函数及其表示
1．函数的概念
一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x
，在集合
B
中都有__唯一确定__的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的__定义域__，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的__值域__.
2．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__． (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__. (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__. 3．函数的三要素
(1)函数的三要素：__定义域__，对应关系，值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这
两个函数相等．
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．分段函数的定义域等于各段函数自变量取值的并集，分段函数的值域等于各段函数值的并集．
5．映射的概念
一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有__唯一确定__的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．
6．复合函数
一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( √ )
(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( √ ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( × ) 解析 (1)正确．函数是特殊的映射．
(2)错误．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，不是相等函数．
(3)正确．函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域和对应关系相同． (4)错误．因为定义域为空集. 2．给出下列四个对应：
①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1
x ＋1
；
②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b ⎪⎪
b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1
a ； ③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ；
④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．
其中是从A 到B 的映射的为( B ) A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．③④
解析 对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 是两个集合，分别用列举法表述为A ＝{2,4，6，…}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1，12，13，14，…，由对应关系
f ：a →b ，b ＝1
a 知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中
两个元素±1；④是从A 到B 的映射．
3．下列四组函数中，表示同一函数的是( A ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x
C ．f (x )＝x 2－1
x －1
，g (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1
解析 A 项中，g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B 项中的两个函数的定义域不同，故不是同一函数；C 项中，f (x )＝x 2－1
x －1＝x ＋1(x ≠1)与g (x )＝x
＋1两个函数的定义域不同，故不是同一函数；D 项中，f (x )的定义域为[1，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数，故选A ．
4．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝__10__. 解析 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.
5．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x ∈(－∞，a )，
x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为__(－∞，2]__.
解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]．
一 求函数定义域的方法
(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：
①已知y ＝f (x )的定义域是A ，求y ＝f (g (x ))的定义域，可由g (x )∈A 求出x 的范围，即为y ＝f (g (x ))的定义域；
②已知y ＝f (g (x ))的定义域是A ，求y ＝f (x )的定义域，可由x ∈A 求出g (x )的范围，即为
y ＝f (x )的定义域．
【例1】 (1)函数f (x )＝
1－|x －1|
a x －1
(a >0且a ≠1)的定义域为__(0,2]__．
(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )
x －1
的定义域为__[0,1)__.
解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤2，
x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．
(2)由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即定义域是[0,1)．
二 求函数解析式的方法
函数解析式的常见求法
(1)配凑法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．
(2)待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫
1x (或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
【例2】 (1)(2018·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1
x ，则f (x )＝__x 2－x ＋
1(x ≠1)__.
(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋3，则f (x )＝！！！ 12x 2＋5
2x ＋2 ###.
(3)(2018·江西宜丰中学月考)若函数f (x )满足方程af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝ax ，x ∈R 且x ≠0，a 为常数，且a ≠0，a ≠±1，则f (x )＝！！！ a (ax 2－1)(a 2－1)x
###.
解析 (1)f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1
x ＋1， 令
x ＋1
x
＝t ≠1，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝c ＝2，得f (x )＝ax 2＋bx ＋2.则f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x ＋3，所以2a ＝1，且a ＋b ＝3，解得a ＝1
2，
b ＝52，故f (x )＝12x 2＋5
2
x ＋2.
(3)因为af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，所以af ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝a x ，两方程联立解得f (x )＝a (ax 2
－1)(a 2－1)x
. 三 分段函数
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．
注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
【例3】 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
－4x 2
＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝__1__. (2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，
则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －1
2>1的x 的取值范围是！！！ ⎝⎛⎭
⎫－1
4，＋∞ ###. 解析 (1)∵f (x )是周期为2的函数，
∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－1
22＋2＝1． (2)由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >1
2三段讨论．
当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－1
4，
∴－1
4
<x ≤0.
当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋1
2>1，显然成立．
当x >12时，原不等式为2x ＋2x －1
2>1，显然成立．
综上可知，x >－14
.
1．函数f (x )＝lg (－x 2＋x ＋2)
x 的定义域为( A )
A ．(－1,0)∪(0,2)
B ．(－1,0)∪(0，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D ．(－1,2)
解析 ⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x ＋2>0，x ≠0⇒x ∈(－1,0)∪(0,2)，故A 正确．
2．对于任意x ∈R ，下列式子都存在函数f (x )的是( D ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
解析 对于A 项，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π
2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故
A 项错．在
B 项中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π
2，与函数的定义不符，故
B 项错．在
C 项中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 项错．在
D 项中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，故选D ．
3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__.
解析 若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1．
4．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
log 2(15－x )，x ≤0，f (x －2)，x >0，则f (3)＝__4__.
解析 f (3)＝f (1)＝f (－1)＝log 216＝4.
易错点1 不会求抽象函数的定义域
错因分析：①定义域是自变量x 的取值范围；②对应法则f 下括号内式子的取值范围与f (x )中x 的取值范围一样．
【例1】 (1)若函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________； (2)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，则函数f (3x －2)的定义域为________.
解析 (1)由已知得－1<2x ＋1<0，即－1<x <－1
2
，所以函数f (2x ＋1)的定义域为
⎝
⎛⎭⎫－1，－12.
(2)由－1<x <0，得－1<2x ＋1<1， 于是－1<3x －2<1，1
3<x <1，
函数f (3x －2)的定义域为⎝⎛⎭⎫
13，1. 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－1，－12 (2)⎝⎛⎭
⎫1
3，1 【跟踪训练1】 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域
为__[－1,2]__.
解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．
易错点2 不理解定义域，值域为R 的含义
错因分析：不能透彻理解定义域是使函数有意义的所有x 的取值集合；值域是所有函数值的集合．因而解决问题时易出错．
【例2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋1
4的值域为R ，求实数a 的取值范围． 解析 f (x )的值域为R ，即t ＝ax 2＋(a －1)x ＋1
4能取得所有大于0的实数．
①a ＝0时，t ＝－x ＋1
4
能取得所有大于0的实数，满足题意；
②a ≠0时必有⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ≥0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
(a －1)2
－a ≥0， 解得a ≥3＋52或0<a ≤3－52
.
综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3－52∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3＋52，＋∞.
【跟踪训练2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋1
4的定义域为R ，求实数a 的取值范围．
解析 f (x )的定义域为R ，
即对一切实数x ，t ＝ax 2＋(a －1)x ＋1
4的值恒大于0.
①a ＝0时，t ＝－x ＋1
4
的值不恒大于0；
②a ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
(a －1)2
－a <0，
解得3－52<a <3＋5
2.
综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪
⎫3－52，3＋52.
课时达标 第4讲
[解密考纲]本考点考查函数的概念、函数的三要素以及分段函数求值等．一般以选择题、填空题的形式呈现，排在考卷靠前位置，题目难度不大．
一、选择题
1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( D ) A ．f ：x →y ＝2
3x
B ．f ：x →y ＝x 2－x
2x －2
C ．f ：x →y ＝1
3
(x －3)2
D ．f ：x →y ＝x ＋5－1
解析 对于A ，当x ＝4时，y ＝8
3∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x 2x －2无意义；对于C ，当
x ＝0时，y ＝3∉M ；D 符合映射定义，故选D ．
2．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫
－43的值为( D ) A ．1
2
B ．－1
2
C ．－1
D ．1
解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＋f ⎝⎛⎭⎫－4
3＝ cos π3＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫－43π＝12＋1－1
2
＝1． 3．函数y ＝ln(x 2－x )＋4－2x 的定义域为( B ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)
D ．(－∞，2)
解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x >0，4－2x
≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x <0或x >1，
x ≤2.
即x ∈(－∞，0)∪(1,2]，故选B ．
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 12
3，则f (f (a ))＝( A )
A ．1
2
B ．2
C ．3
D ．－2
解析 ∵a ＝log 1
23<0，∴f (a )＝3，
∴f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝1
2
.
5．下列四组函数中，表示同一函数的是( C )
A ．y ＝x 2与y ＝3
x 3 B ．y ＝1与y ＝x 0 C ．y ＝2x ＋1与y ＝2t ＋1
D ．y ＝x 与y ＝(x )2
解析 A 项中两函数值域不同，B 项、D 项中两函数定义域不同，故选C ．
6．(2018·福建福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( D )
A ．0
B ．1
C ．2 017
D ．2 018
解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018，故选D ．
二、填空题
7．(2018·安徽合肥模拟)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为__[－1,0]__.
解析 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a ≥1，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，所以Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.
8．(2018·江苏张家港模拟)已知f (x )＝3x －2，则f (x )＝__3x 2－2(x ≥0)__． 解析 令t ＝x ，则x ＝t 2(t ≥0)，所以f (t )＝3t 2－2(t ≥0)，所以f (x )＝3x 2－2(x ≥0)．
9．函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－1，x ≤0，x ，x >0，
若f (a )>3，则a 的取值范围是__(9，＋∞)__．
解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0，2a －1>3或⎩⎨⎧
a >0，
a >3，
解得a >9.
三、解答题
10．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．
(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．
解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩
⎪⎨⎪⎧
－2a ＋b ＝3，
－a ＋b ＝2，
解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x <0，
2x ，x ≥0.
(2)f (x )的图象如图．
11．(2018·湖南怀化月考)已知f (x )＝2x ，g (x )是一次函数，并且点(2,2)在函数f (g (x ))的图象上，点(2,5)在函数g (f (x ))的图象上，求g (x )的解析式．
解析 设g (x )＝ax ＋b ，a ≠0，则f (g (x ))＝2ax ＋
b ，g (f (x ))＝a ·2x ＋b ，根据已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧ 22a ＋
b
＝2，4a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－3，
所以g (x )＝2x －3. 12．(2018·重庆月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)， ∴n ＝1＋m ＋n ，∴m ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋n . ∵方程x ＝f (x )，
即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n ＝0， 得n ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1． (2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1．
此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝1
2的抛物线，
∴当x ＝1
2时，f (x )有最小值f ⎝⎛⎭⎫12. 而f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＋1＝34， f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，
∴当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤34，7.。