太阳影子定位技术 2015高教社杯 数学建模 获奖论文
2015年高教杯全国大学生数学建模B题太阳影子定位--赖增强介绍
2
四、符号与相关术语说明
为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表 1 所 示。其他一些变量将在文中陆续说明。
符号设定
表1
符号说明 太阳高度角
太阳高度角的余角 地理纬度 地理经度 秋分角
黄赤交角 23°26′ 坐标系变换的过度矩阵
杆的长度 杆的影子长度
真太阳时 太阳时角 太阳赤纬角 北京时间，即东八区时间
问题四是根据投影物体和阴影轨迹间的几何关系来估计拍摄照片的地理位置。即对 问题二和问题三模型的推广。应对视频每隔 3 分钟采用降噪技术，视角方向上退化画面， 利用比例尺和透视及相关数学知识提取影子长度，对问题进行求解。得到三组最优解。 分别为：海南省儋州市附近，北纬 19.4556°,东经 109.6529°，日期为 4 月 26 日；海 南省儋州市附近，北纬 19.4556°,东经 109.6529°，日期为 9 月 1 日；越南金兰附近， 北纬 12.0917°,东经 109.6529°，日期为 5 月 21 日。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
数学建模 太阳高度角优秀论文
284 + ������
������ = 23.45 × ������������������(2������ ×
)
(7)
365
Step3: 影长变化模型的完善 将太阳高度角模型代入影长变化模型，即将公式(6) 代入公式(5)，得到：
������√︀1 − (������������������Φ������������������������ + ������������������Φ������������������������������������������������)2
������������������������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������������������������������
������������������������ = ������������������������������������������ + ������������������������������������������������������������������
(6)
其中，赤纬角������与日期序号������之间的关系式如下：
将北京时间 9:00-15:00 该时间段内的时间进行转化分解。如 10 时 30 分转化
为 10.5 时， 13 点 20 分转化为 13.3 时，以 0.1 时为单位时长，可分为 60 个时段，
然后利用公式(2)求得各个时间段的时角。
������ = 15 × (������ − 12)
2015数学建模竞赛优秀论文
问题三分析：问题三在问题二的基础上又加深了，经度计算仍然和问题2相同。纬度计 算上将日期看成n即可，将n代入计算，得到含n的代数式表示纬度。再由循环求解法将得到 的影子坐标与附件2、3的坐标进行比对，找出可能值。
图 1 夏半年日影运动
由于太阳和地球最短距离为1.471 × 108km，所以太阳光接近地球表面时可以近似看成 是平行光。参考文献[1]，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上 讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。如图（2）所 示，OB为竿长，OA为影长，θ即为太阳高度角。
针 对 问 题3， 没 有 给 出 拍 摄 时 间 。 对 于 经 度 ， 根 据 影 长 求 解 的 方 法 同 问 题2， 得 到 附 件2和 附 件3的 经 度 分 别 为 东 经143度20分31秒 、 西 经105度19分55秒 。 对 于 纬 度 ， 利 用MATLAB计算出对应不同日期的附件时间段内的影子长度数组，与附件2、3中的已有影长 数组进行比对，差异最小的所对应的时间既是拍摄日期。继而根据日期确定拍摄地的纬度。 从而确定拍摄地点和日期。
1
1. 问题重述
太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的影子变化，从而确定视频的拍摄时间和地 点。影子变化的根本原因在于地球的公转和自转，已知太阳光是沿直线传播，地球公转的运 动轨迹和地球赤道有一个夹角，因此不同地区的太阳直射点不同。在同一时刻，不同地区的 物体影子变化也是不一样的。而确定拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，在实 际生活中应用广泛。因此，建立一个太阳影子定位模型对于解决实际问题是非常必要的。
太阳影子定位模型2015
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5.2.2 问题求解
以赤道和零度经线的交点为原点， 纬线为 轴， 经线为 轴， 正东和正北分别为 轴和 轴的正方向，建立直角坐标系 O 。 将附件一中日期（4月18日）代入（1.5 ）可得太阳高度角关 于经纬度和时间的函数：
h , , t Arc sin 0.977777 cos 15 (t 20) cos 0.209647 sin
太阳直射光线的单位方向向量为 m 0,cos ,sin ， 为太阳赤纬。 杆的单位方向向量 h cos sin , cos cos ,sin ， 为观测点纬度， 为观测 当前时刻时角。
故太阳高度角 h 满足
cos h h m 2
为观测地纬度。
而在一天内，太阳高度角随时刻而变化，地方时为正午12点时太阳高度最高，其他 时刻太阳高度角 h 随太阳直射点所在经度与观测点经度之差 （即时角 ） 而变化。 因此， 太阳高度角由赤纬、时角、观测地纬度共同决定，下面求它们的函数关系。 以地球球心为原点，极轴为 z 轴，太阳直射经线在 yOz 平面内，建立空间直角坐标 系 Oxyz 。
(2.1)
用Mathematica软件通过（2.1）式可以得到太阳高度角在全球范围内关于时间变化 的动态图，截取14:42分和20:42分时太阳高度角在全球范围内的分布，可得图1 和图 2 。
2
(1.6)
5.1.3 模型检验
问题一中给出北京天安门广场直杆的一些数据：
纬度 经度 日期 N 2015 年 10 月 22 日 北京时间 t 9:00-15:00 杆长 h 3米
395426 N
1162329 E
2015年数学建模全国一等奖论文
t (ts t 0) (tt 12)
其中 ts 为时间，t 为时差，t0 为最低点时间，t 北为对应的北京时间。 计算出时差 t 。 (3) 经度的求解 已知两地经度相差 1 度，时间相差 4 分钟，所以可列出：
（11）
北
ts
4
(12)
其中 γ 为当地经度，γ 北为北京经度，ts 为时差。 通过公式（12）解得经度 γ （4）纬度的求解 太阳方位角就是太阳在方位上的角度，它和坐标有以下关系：
7
7
6.5
6
影长 L
5.5
5
4.5
4
3.5 9
10
11
12 时间 t
13
14
15
图5
北京 10 月 22 日影长变化
5.2
问题二：
5．2．1 模型的准备
模型建立之前，我们分析数据得到所给影子顶点坐标并非以标准的东西南北 方向坐标系下的坐标， 所以我们必须进行矫正，把坐标系修正成正南正北的坐标 系。而后确定时差来确定经度，进而得到纬度。
（8）
（9）
获得新的坐标（x1,y1） 。 注：矫正坐标系以东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴。
图6
8
（2） 时差的求解 通过所给坐标在 matlab 中进行拟合，得到一条影长 L 关于时间 ts 的抛物线 方程： L=ats2-bts+c 其中 L 为影长，t 为时间。 解出最低点坐标 t0，利用北京时间 12：00 时影子最短，利用比例关系 (10)
5.1.3 模型的求解
模型中及为影长 L 和时间 t，纬度φ，以及日期 n 的函数关系。当其中两个 自变量确定后，就可建立影长 L 和另外一个自变量的模型。 （1） 影长 L 和时间 t 的模型 给定日期 n 和纬度φ， 模型就变成了影长 L 和时间 t 的一元函数， 应用 Matlab 即可得到影长的变化曲线。 在此，我们验证了赤道上 1 月 1 日的影长变化（如图 2） 由图可以看出，当 1 月 1 日时，9:00 到 15:00 的曲线为开口向上的抛物线， 在早上 9:00 时，由于太阳直射南半球，所以影子长，到了当地正午 12:00 时影子 最短，下午又开始增长，符合实际，模型基本成立。
2015年全国大学生数学建模大赛国家二等奖论文
太阳影子定位摘要太阳与地球的运转规律造就了太阳在地球上的阴影规律，本文将根据其规律，通过太阳的变化确定阴影的位置。
本文问题探究由浅到深，最终可通过视频中的阴影判断出视频的拍摄位置和拍摄时间。
针对问题1，本文基于对太阳与地球的运转规律和太阳光在地球上的阴影变化规律分析，考虑到太阳高度角和经纬度及北京时间与当地时间等转换，建立了直杆影子长度和直杆杆长、直杆所在地经纬度、日序数、北京时间之间关系的空间解析几何模型，并最终通过已知数据计算并绘制出直杆在2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场3米高的直杆影子长度变化曲线。
针对问题2，本文根据问题1得出的影子长度变化规律，将问题转换为寻找最优未知参数集{},,P P H δλ使得所给实测影子长度和理论影长的最小二乘偏差最小。
由于计算的复杂度，我们考虑“大小步长套用搜索”算法并通过合理地分析计算优化了搜索范围，最终通过相应Matlab 程序计算出一组最可能参数集，即最可能地点为东经84.9950, ，南纬4.3170 。
针对问题3，相对问题2增加了未知参数赤纬角，因此利用与问题二类似的思想建立了相应的最小二乘模型，针对附件2和附件3给出的两种不同情况给出了相应的搜索算法，并最终各拟合出两组最可能地点，四个最可能日期，如附件2给出的数据一组最可能的地点为东经79.85, 北纬39.6, 相应日期为5月2日或7月21日。
针对问题4，先对视频进行了去帧和图片的灰度处理，从而提取出了影子的变化数据，推算出了真实的影子变化数据。
进而按照问题一所建立的关系式通过最小二乘法拟合参数。
最后推算出的视频拍摄地点东经为110.48 ，北纬40.245 ，并在拍摄日期未知的情况下对模型进行了验证。
本文严格推导了太阳光阴影变化规律，探究问题层层深入，最终解决了根据视频上的阴影变化确定视频拍摄地点及日期，同时也验证了我们建立的物体影子和物体所在经纬度之间关系的正确性。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文17
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关 于经纬度的数学模型，确定直杆所处的地点。将模型应用于附件 1 的影子顶点坐 标数据，通过求解模型确定若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关 于经纬度以及日期序数的数学模型，确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应 用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，通过求解模型确定若干个可能的地点 与日期。
2
符号 i ai t t0 ni i i Hi hi Li fi Ci i i ti
二. 符号说明
定义 纬度 经度 北京时间（东八区标准时间，东经 120 度） 北京当地时间（东经 116 度 23 分 29 秒） 日期序数 杆的高度 太阳高度角 杆在不同时刻的影子长度 太阳方位角 投影与 x 轴所夹角和太阳方位角之差 N 组杆长的算数平均数 N 组杆长的标准差 附件 1 影子长度的测量地点当地时间与北京时间的时差
1.2. 题中涉及知识点的说明
1.赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。 2.太阳时角是指观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离[4] 。 3.太阳方位角指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角。 4.太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。
1.3. 所要解决问题的说明
针对问题 4：首先，运用 MATLAB 将视频转化为图片，通过分析图片建立合 理的空间直角坐标系，从图片中获取时间对应于影长的 y 值；其次，建立 x 关于 y 以及太阳高度角和影长之间函数关系，将 x 用表示；然后，将问题 2 中得到的 y 关于 x 与经纬度的函数方程化简为 y 关于经纬度的函数方程并用 MATLAB 拟 合定位；最后，根据拟合参数结合视频中获取的数据选择最优解。
太阳影子定位问题(数学建模 )
针对问题二，附件 1 给出了 2015 年 4 月 18 日时，某个固定直杆在水平地面上的太 阳影子的顶点坐标数据，但规定的 ������轴方向和������轴方向未知。可将顶点坐标数据转化为 影长������，从而经问题二转化为问题一的逆向求解，由于未知参量较多，先通过引入影长 比������������消除杆高ℎ未知的影响，再采用最小二乘法拟合的方法【2】求解即可。
图 2 直杆投影的几何模型
由图可知，直杆的长度ℎ与其太阳影子������的长度之间有如下关系：
������ = ℎ cot ������ 联系以上各关系式可以得到如下的有关影子长度变化的数学模型：
������ = ℎ cot ������
sin ������ = sin ������������ sin ������ + cos ������������ cos ������ cos ������
2.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用 以确定其所处的地点。再将附件 1 的影子顶点坐标数据代入该模型，求解出所有可能的 地点。
3.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用 以确定其所处的地点和日期。将附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据带入模型，一次 性给出若干个可能的地点与日期。
2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14
的 9 月 23 日，冬至日为每年的 12 月 22 日。
三、符号说明
符号 R
含义 地球半径，6371km
2
测量地点的纬度
（南纬为负，北纬为正）
测量地点的经度
（西经为负，东经为正）
太阳赤纬角
到各个点的空间坐标：A R cos,0, Rsin ，BR cos cos, R cos sin, Rsin ， C R cos, Rsin,0 ， D R,0,0 。
Z
N
E
阳光
B βO
A α
Y
C
θ
D
X S
图 1 太阳光直射地球正面图（1）
通过对包含点 A,B 的最大圆进行几何学分析，我们得到长度为 AE 的物体在 太阳光的照射下，投影长度为 AF，则：
子与 Y 轴夹角 arctan(xi / yi )，进一步求出 20 组相邻时刻的影子之间的夹角 i arctan(xi / yi ) arctan(xi1 / yi1) 作为实际值。接着再引入影子与正北方向的 夹角 作为参数。我们运用几何学知识可以求出 与各参数, , 之间的函数关 系。并且与上一模型类似，我们对直杆所在地点的经度 ，纬度 ，测量时间 t 进行穷举法遍历，通过建立的模型对于每一组 ( , ) 求解出 20 组 i i i1 作
1
一、问题重述
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位 技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一 种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律， 并用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北 纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变 化曲线。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题秀论文介绍
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7
6
6
太 阳 影 子 的 长 度 （m)
太 阳 影 子 的 长 度 （m)
5
5
4
4
3
3
2
2
1 -60
-40
-20 0 20 观测点的纬度（角度）
40
60
1 -25
-20
-15
-10 -5 0 5 10 太阳直射点的纬度（角度）
15
20
25
图 4 直杆影长与观测点纬度关系图
图 5 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图
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观测点与太阳直射点的经度差 进行灵敏度分析，分别分析改变此变量对直杆影 子长度的影响。 直杆影长与观测点纬度关系图如图 4 所示（图 4 为 11:00 时的关系图像） 。当 观测点纬度从南往当前的太阳高度角所在纬度靠近时，影长缩短，当观测点纬度 与太阳高度角处于同一纬度时，影长达到最小，随后观测点再往北移动，影长又 呈增大趋势，且增大速率明显加快。由图，在其他影响因素的取值都不变的前提 下，观测点纬度与太阳高度角处于同一纬度时，影长为 1m 左右，据推测， 12:00 时的图像，最小值应为 0m ，为太阳直射的情况。 直杆影长与太阳直射点纬度的关系图如图 5 所示。首先，太阳直射点的纬度 范围在南北回归线之间，而题设天安门所处的纬度在北回归线以北，故太阳直射 点纬度在由南到北的过程中，影长一直是减小的，且减小速率逐渐趋缓。
图 2 地球上过 A ， B 的大圆
考虑到太阳与地球之间相距较远，我们认为同一时刻照射到地球表面的太阳 光线是平行的，即 HF / / BO ，从而 AOB AHF 。
A 地 t 时刻的太阳高度角记为 angel 90 。
设图 1 中向量 AK 是与 A 点处经线相切且方向向北的单位向量，向量 AE 是与
2015数学建模获奖论文A题
③6 月 22 日—12 月 22 日，在太阳直射点向南移动过程中，北回归线及其 以北各地的正午太阳高度逐渐减小，那么其日影逐渐增长；
④12 月 22 日，太阳直射南回归线，北回归线及其以北各地的正午太阳高度 达到全年最小，其日影也达到全年最长。
一年中，各地的日影长度会随季节变化而变化，这种变化主要体现在正午的 日影长短上。它与当地的正午太阳高度有直接关系：正午太阳高度越大，日影越 短；正午太阳高度越小，日影越长。例如：
①12 月 22 日—6 月 22 日，在太阳直射点向北移动过程中，北回归线及其以 北各地的正午太阳高度逐渐增大，那么其日影逐渐缩短；
图 4 天安门广场 15 年 10 月 22 日影子长度随时间(9 点到 15 点)变化图
在该问题中，影子长度的变化曲线根据计算出是一个关于真太阳时 12 点对 称的二次函数拟合曲线，所以我们利用题中所给的时间数据运用 MATLAB（附 录二）求解该附件的拟合曲线的表达式为
l(t) = 0.3179 t2 - 7.7982t + 51.4250
对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的 夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线 的夹角。太阳高度角简称高度角。当太阳高度角为 90°时，此时太阳辐射强度 最大；当太阳斜射地面时，太阳辐射强度就小。
图 1 太阳高度角示意图
太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的 夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方 位角以目标物正北方向为零，顺时针方向逐渐变大，其取值范围是 0—360°。 因此太阳方位角一般是以目标物的北方向为起始方向，以太阳光的入射方向 为 终止方向，按顺时针方向所测量的角度。
2015太阳影子定位模型
基于变步长搜索和分层次搜索的太阳影子定位技术摘要本文主要研究如何利用太阳影子变化规律以实现位置确定。
用影响影子长度的多种参数建立数学模型，进而对各参数如何影响影子长度，各参数之间的关系进行确定，从而绘制影子长度变化曲线，并且可以根据影子顶点坐标数据反向确定直杆的位置及数据采集日期。
而对于问题一中直杆的影子长度的变化曲线求解问题，本文建立了由太阳赤纬，太阳高度角，固定直杆的高度，以及观测日的时刻这些参数所构建的数学模型，得到了在直杆高度，观测地点已知的情况下，影长在确定时间内变化的图像，呈现一个近似抛物线型非对称的变化图。
并在后面与实际情况进行对比，论证了其余参数对于直杆的影长的变化影响的合理性。
对于问题二中已知数据采集日期求解直杆所处的地点问题，本文根据不同地点在两个时刻的直杆影长之比存在差异这一现象，将相邻时刻的影长作比，并利用最小二乘法定义匹配指标，提出了变步长搜索的方法，这样保证模型准确性的基础上，降低了算法的时间复杂度。
最后求解得到的直杆可能所处的地点（108.52°E, 19.19°N)，该点位于海南岛。
然后应用此模型代入问题一中的影长数据，进行了验证，相对误差极小，说明模型的准确度比较高。
然后又对影长数据进行了白噪声干扰，最后与真实结果的均方误差0.01的数量级上，所以模型的抗干扰性还是比较强的。
问题三中要求同时估计数据采集日期和地点。
本文在模型二的基础上提出了分层次搜索算法，首先进行粗略匹配，排除完全不可能的日期，而后进行精细的搜索，提高搜索精度，筛选出可能的采集日期和地点。
最后利用此模型找到附件2可能的地点为（78.9705°E, 40.0043°N）。
该点位于新疆境内；同时，利用附件3中的数据，对采集日期和地点进行了估计，最终找到了两个可能地方，分别是（113.65°E, 32.3043°N）位于河南境内，与（106.15°E, 32.9227°N）位于陕西境内。
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
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一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
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太阳影子定位技术摘要本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。
并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。
第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。
我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。
第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。
通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。
附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。
在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。
这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。
如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。
为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。
结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。
第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。
本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。
首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。
并根据简单测量画出运行轨迹。
运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。
确定影子的运动轨迹。
之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D 图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。
之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。
并在最后进行误差修正。
关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、二值化处理、Floodfill图论算法一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析2.1问题一的分析本问以直杆影子长度为研究对象，寻找影响影子长度与各个参数的关系及其变化规律。
为了使影长的计算科学严谨，我们应了解太阳与地球之间相互的运动轨迹，由此计算出太阳对地球上某一定点的相对位置。
这主要由当地的地理纬度、季节(月、日)和时间三个因素决定，可以用地理纬度(φ)、太阳赤纬角(δ)、太阳高度角(h)、及时角t等参数进行定量表达。
2.2问题二的分析由于附件中给出的直杆阴影顶点的坐标系的x轴和y轴并不一定垂直或重合，有可能坐标轴向与南北方向存在一定的偏角（θ）。
本问根据太阳影子顶点横纵坐标的21组数据，对x和y的坐标进行旋转坐标变换，得到阴影顶点在新坐标系下的坐标，该新坐标系以正东方向为x’轴正向，正北方向为y’轴正向，直杆底端为坐标原点，由原坐标系旋转θ得到。
这样就可以由x’和y’求出相应时刻的太阳方位角（A），再结合太阳高度角(h)的计算公式，经过一系列化简，可以得到经纬度之间的关系。
将经纬度作为参数，利用Matlab进行非线性拟合，选取合适的初值，即可得直杆所处地点的经纬度。
2.3问题三的分析该问题的求解可利用问题二建立起来的模型，将由日期确定的太阳赤纬作为未知参数，在Matlab中对时间和直杆影子长度进行非线性拟合，选取合适的初值得到经纬坐标和日期的值。
2.4问题四的分析本问考察基于视频数据分析方法进行太阳影子定位。
从图像或视频中估算经纬度是目前计算机视觉领域的研究热点问题，估算经纬度不仅自身具有重要理论意义，而且它对计算机视觉问题也有积极的启示意义。
第四问提供的视频，其中体现了标志物的影子在一段时间内的移动轨迹。
在这种条件下求经纬度，实际上就是基于视频中太阳影子轨迹来估计经纬度的实际应用。
首先我们把视频取帧处理得到影子的轨迹点，在拟合出地平线后，运用计算机作图的相关知识对坐标进行纠正后，把图片上的2D坐标恢复为实际中真实的3D坐标，最后把问题回归日晷模型算出经纬度，并对因为地方时标准时引起的误差进行修正。
三、模型假设1.将太阳光近似地看成平行光投射到地球；2.忽略太阳光受地球大气层折射和漫反射的影响；3.地球和太阳在运行中不规则变化和周期性变化产生的误差忽略不计；4.假设直杆所在的地面为水平的；5.忽略地球形状对试验结果的影响；6.假设每天的时间为24小时整；7.假设所求日期均均为2015年日期。
四、符号说明符号符号说明φ物体的地理纬度ω物体的地理经度δ太阳对应日期的赤纬角h 太阳高度角A 太阳方位角T 时角H直杆长度五、模型建立及求解5.1问题一模型的建立及求解5.1.1模型的建立影响影长的因素：h cot H L =其中h 为太阳光线与水平地面的夹角，即太阳高度角；通过查阅目前国内的大部分天文学文献，可得太阳高度角的计算公式[1]，即：T h cos δcos φcos δsin φsin sin ⨯⨯+⨯=其中T 为时角，可用()1215-⨯=t T 计算，t 为24小时制的当地时间;δ为赤纬角，其较精确公式为[2]：θ0.0201cos3θ0.3656cos20.758cos θ-θ0.1712sin3-θ0.1149sin2θsin 2567.233723.0δ++++= 式中θ称日角，即2422.365π2θn = 这里n 又分两部分组成，即n=N-N 0；式中N 为积日，即日期在年内的顺序号；N 0的计算公式如下：()()[]41985-19852422.06764.790年份年份INT N --⨯+= 其中INT(X)为取不大于X 的最大整数。
5.1.2模型的求解根据问题一的题目已知，10月22日是2015年的第295天，即N=295。
对于日照计算来说，地球和太阳在运行中不规则变化和周期性变化产生误差的数值相当小，可以忽略不计。
所以此赤纬角δ计算公式的结果较为精确，可以满足计算影长变化曲线精度要求。
由此可建立影长和北京时间的数学函数，并作出图形。
Matlab 程序见附录一，影子长度变化曲线见图1。
(3) (1) (2)(4)(5)图1 直杆的太阳影子长度的变化曲线5.2问题二模型的建立及求解5.2.1模型的建立（1）坐标变换第二问的附件虽然在直杆所在的地平面处建立了正交分解的x-y 轴，但并没有指明坐标轴和地理正北方向的夹角。
据此分析，可设θ为地平面坐标系的x 轴正向与正东方向的夹角。
对x 和y 进行下式给出的变换，可得直杆顶点在新坐标系下的投影坐标。
变换如下：⎩⎨⎧-=+=θθθθsin cos 'y sin cos 'x x y y x （2）杆影端点移动轨迹关于杆影端点移动轨迹的周年变化规律如图2所示，该图描绘了一年内不同日期的轨迹。
夏至日和冬至日是太阳直射点移动方向发生转换的日期，春分日和秋分日是直射点的南北半球位置转换的日期。
因此，选择的这几个日期具有较强的代表性。
在图中，AA ′、CC ′、EE ′依次表示冬至日、两分日、夏至日的轨迹，BB ′、DD ′表示介于二分二至日的轨迹（如立冬和立夏），该图清晰的反(6)映除两分日之外，其余日期的轨迹图都是双曲线中的一条。
图2 杆影端点移动轨迹的周年变化规律而对于具体的某一天中直杆阴影顶点的运动轨迹的描绘，则可以借助Analemmatic日晷的模型来描绘。
在这种日晷的模型中，日晷采用了垂直的指时针，它的时间线是赤道日晷的时间线在地平面的投影水平方向指示东西轴，垂直方向指向南北轴，投影日晷的位置沿着短轴移动，如图3所示。
因此具有时间一致对应关系的阴影轨迹如果投影到水平平面上将得到一个二次曲线，二次曲线的对称轴位于南北方向指示轴上。
轨迹的形状与当地的纬度以及太阳直射点的纬度即太阳赤纬有关，而太阳赤纬又与日期相关，故轨迹的形状与当地的纬度和日期相关联。
图3 日晷模型及影子变化规律变化规律（3）太阳方位角和太阳高度角有了（1）得到的新坐标，就可以用''y x 来表示太阳方位角的正切值。
由天文学的相关知识[3]，可以得到以下等式：φcos cos δsin -φsin sin cos ⨯⨯=h h AA 为太阳方位角，并且''tan y x A =又因太阳高度角公式为Th cos δcos φcos δsin φsin sin ⨯⨯+⨯=以及°180°1512°15°120πω⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=t T联立化简可得到如下等式：b t a Tx y y x -=-+cos sin cossin cos sin cos δθθθθ其中δϕcos sin =aϕδcos sin =b5.2.2模型的求解根据表格附件一做出杆影的轨迹图如下 (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)图4 附件一杆影顶点轨迹图对上述结果进一步化简可得：T T Y Y csc cos tan cot sin tan tan 1ϕδϕθθ-=+- 其中y xY = 上式建立了阴影顶点坐标与时间（t ）、经度（ω）、纬度（φ）以及所用坐标系与地理坐标系之间偏角（θ）之间的关系模型。