§18.4条件极值 - 360文档中心

18-4隐函数条件极值

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例1 解此例以往的解法是从条件式解出显函数,
例如
z
V xy
,
代入目标函数后, 转而求解 S 2V ( x y) x y
xy
的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而
且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条
件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数
L 2( xz yz) xy ( xyz V ),
§4 条件极值
条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.
条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.
一、问题引入二、拉格朗日乘数法三、应用举例
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一、问题引入
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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(B) 拉格朗日乘数法
对于前面定义的条件极值问题的一般形式是在条件组：
k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n)
的限制下，求目标函数 y f ( x1 , x2 , , xn ) 的极值.
k
xi
0, i 1,2,
, n;

L
k
k ( x1, x2,
, xn ) 0, k 1, 2,
, m.
说明对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说
明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理
23.19 中去进行.
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三、应用举例
d dx

fx

高等数学第18章第4节条件极值

第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1）从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5）的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.．事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。

条件极值简介.

f x( x0 , y0 ) 0 Fx( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0 Fy ( x0 , y0 ) 0 F (x , y ) 0 0 0
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11.3条件极值
如果引入辅助变量和辅助函数 (x, y, ) f ( x, y) F ( x, y)
设解是M 0

0 0 0 0 0 0 x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m

,
, m),

求解过程可以消去 k , (k 1, 2,
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0 0 0 求得满足方程组得稳定点P0 ( x1 , x2 ,..., xn )
11.3条件极值
3、由问题的实际意义,如果函数必存在条件极值,
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11.3条件极值
若点P 0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点.其必要条件恰好是点( x0 , y0 , 0 )是辅助函数(x, y, )的稳定点.
由此产生了一个重要思想 : 通过引入辅助函数(x, y, )把条件极值问题, 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
Hale Waihona Puke 条件极值问题的一般形式求目标函数: y f ( x1 , x2 , 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组称为联系方程组.

条件极值

g = 0, h = 0.
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为

条件极值与拉格朗日乘数法

§ 4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。

决定一给定点(χ0, y0,z0)到一曲面G(X I y,z) = O的最短距离问题，就是这种情形。

我们知道点(x,y,z) 至U 点(x o,y°,z o) 的距离为F(x, y,z)= (X- X o)2(y -yo)2 (Z- z o)2.现在的问题是要求出曲面G(x, y,z)=O 上的点(x, y,z)使F为最小•即问题归化为求函数 F (X l y, Z)在条件G(X l y, z) = 0下的最小值问题•又如，在总和为C的几个正数x1,χ2,…X n的数组中，求一数组，使函数值2 2 2f = X i X^ X n为最小，这是在条件X i x^ X^C (X i 0)的限制下，求函数f的极小值问题。

这类问题叫做限制极值问题(条件极值问题)例1要设计一个容积为V的长方体形开口水箱•确定长、宽和高，使水箱的表面积最小.分别以X、y和Z表示水箱的长、宽和高，该例可表述为：在约束条件XyZ=V之下求函数S(x, y,z) = 2(x^ yz) Xy的最小值.条件极值问题的一般形式是在条件组'k(x1,x2,…，x n) =0, k =1,2,…，m (m ：：：n) 限制下，求目标函数y = f (x1, X2,…，x n)的极值.对这种问题的解法有：化为无条件极值.例1由XyZ=V解出z =V ,并代入函数S(x, y,z)中，得到XyF(x,y^2V(- -) xy ,然后按(F x,F y) =(0,0),求出稳定点X = y = 3 2V ,并有y X- ---- ；Z 32V ,最后判定在此稳定点上取的最小面积S = 33 4V2.2然而，在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的•下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法二、条件极值的必要条件设在约束条件 (x, y) = O 之下求函数 Z= f (x, y)的极值.当满足约束条件的点(x 0,y 0)是函数f(x, y)的条件极值点,且在该点函数 (x, y)满足隐函数存在条件时,由方程「(X, y)=0决定隐函数y =g(χ),于是点x 。

条件极值与拉格朗日乘数法

§4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。

决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。

我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。

这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下，求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xyVz =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xy V y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dx dzy x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。

条件极值

§ 18.4 条件极值
一、极值
二、条件极值拉格朗日乘数法
一、极值
若函数 f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内成立
不等式
f ( x, y) f ( x0 , y0 )
则称 f ( x, y) 在点 M 0 取到极大值 f ( x0 , y0 ) ，点 M 0
称为函数 f ( x, y) 的极大点；
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x, y) 0 下的极值步骤如下： 1. 作拉格朗日函数
L( x , y, ) f ( x , y ) ( x, y )
2. 求拉格朗日函数的极值先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：
再考察稳定点是否是极值点
3. 函数的最值问题
第一步找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
练习题求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 ,
2z y y z 0
解方程组
⑴ ⑵ ⑶
2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x yz V 0
⑷
( y x )(1 z ) 0 1 z 0, 于是 z 1 , 代入⑴式得若 2 0, 不合题意. 若 y x 0 y x , 代入⑶式得 y x 4 ,
这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， x 0 的点都是函数的极小点，但是当 x 0 时，偏导数不存在。综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数

184条件极值

§4 条件极值教学目的了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．教学要求(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2)用条件极值的方法证明或构造不等式．教学建议(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．教学程序一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。

决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。

我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。

这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值.解令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ02=++=μλx yz L x ,02=++=μλy xz L y ,02=++=μλz xy L z ,得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222 , （1）又 1222=++z y x , （2）0=++z y x , （3）由（1）得 )()(222x y y x -=-μλ ，)()(222y z z y -=-μλ,当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y ,故得z x =，代入（2）（3）式得 1222=+y x 解得稳定点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61,61,62(4,3±± P ，)62,61,61(6,5 ±±P 也是稳定点。

条件极值简介

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11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
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11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量称为拉格朗日乘数.
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11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组称为联系方程组.

数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值

第十八章隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法，其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)，记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。

数学分析刘玉琏18-4

x
x yz V 0, V 得唯一稳定点 x y 2 z 2 3 , 4 V 3 , 长、宽由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 4 为高的 2 倍时，所用材料最省.
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
例某商品的生产函数为 Q 6 K L ，其中Q为产品产量，K 为资本投入量，L为劳动力投入量；又知资本投入价格为4，劳动力投入价格为3，产品销售价格为 p = 2 . 若投入总额为60个单位时, 求此时取最大利润时的投入及最大利润. 解由题意知：成本函数为 C(K,L) = 4K+3L，
xz 2 x 2 z z y y xz 2 1 2 xz 3 Fyy xz . xz y 3 2 y y y y
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
当 x y z 3r 时,
2 Fxx 6r Fyy , Fxy 3r , Fxx Fyy Fxy 36r 2 9r 2 27r 2 0. 由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
引入辅助函数 L f ( x , y ) ( x , y )
则稳定点满足:
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值点，并能得出是最大值点还是最小值点.
第十八章隐函数定理及其应用
§4 条件极值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
极值问题
无条件极值:
条件极值:
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制

(整理)184条件极值.

片 1幻灯片 2先提出此例,然后,简要板书建立数学模型的过程.幻灯片 322,,)0,,,)0 ( ,,)0n nn x x m x ==⎨⎪⎪=求目标函数这种附有约束条件的极值问.的极值12(,,,) (3)n x x x幻灯片 4从简单的条件极值问题入手,讨论条件极值点的必要条件.过程:从约束条件解出隐函数,代入目标函数,化为无条件极值.条件极值点对应无条件极值点.幻灯片 5幻灯片 6引导学生归纳总结出条件极值点的必要条件.指出这里把原条件极值问题,化为Lagrange 函数的无条件极值问题.幻灯片 7指出这里同样把原条件极值问题,化为Lagrange 函数的无条件极值问题.幻灯片 812,,,,,,)n m x λλλ2121,,)(,,,) (12)mn k k n k x x x x λϕ=+∑2,,m λ为拉格朗日乘数幻灯片 91,2,,)m 在区域00,,)n x 是上述问题的极值点11n m m n x x x Pϕϕϕ∂⎫⎪∂⎪⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎭幻灯片 10(0)(0),mλ,,使得0(0)(0)1,,,)n m x λλ,,为拉格朗日函数(12)00(0)(0)1,,,)n m x λλ,,为下述1112120,(,,,)0 ,(,,,)0 .mmx k k n nn m n f L x xx x x L x x x λϕλϕϕ=⎪⎪⎪∂∂⎪=+=⎨∂∂=⎪⎪⎪==⎩∑幻灯片 11乘数法解应用问题举. 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小P166例1解题方法Lagrange 乘数法,讨论问题的拉格朗日函数的稳定点.——可能的条件极值点片12稳定点为最值点的方法之一：根据问题的实际意义。

幻灯片13幻灯片14片 151 (2f -+所以 , 椭131,2-+-取最长为9+稳定点为最值点的方法之二：有界闭集上的连续函数，一定存在最大值与最小值。

幻灯片 16幻灯片 17幻灯片 18x z 21x -=-xx F x yz =xy F z =+xxF F幻灯片 19幻灯片 20。

计算条件极值的常用方法

计算条件极值的常用方法
1. 求导法：对给定函数求导，令导函数为0，解出极值点，然后代入原函数求解极值。

2. 二次函数法：对给定函数进行平移、旋转等变换，使其化为标准形式，再根据经验判断极值点的位置。

3. 图像法：通过画出函数图像，找出极值点的位置。

4. 辅助线法：通过添加一条线，将函数分为两个区域，然后寻找边界点，并判断边界点是否为极值点。

5. 自变量代换法：对给定函数进行自变量代换，将其化为已知函数的形式，然后用已知函数的极值点求解原函数的极值点。

关于条件极值的若干种解法

关于条件极值的若干种解法摘要：条件极值在高等数学中占有重要的地位，可以方便解决一些实际的应用问题.本文介绍几种常见条件极值的解法，由于拉格朗日乘数法是应用比较广泛的一种解法，故本文着重介绍该解法.关键词：条件极值拉格朗日乘数柯西不等式Several species of Conditional Extreme Value MethodAbstract:Conditional extreme value in higher mathematics occupies the important position, can go tothe lavatory to solve some practical application problems. This paper introduces several common conditional extreme value solutions, including Lagrange multiplier method is applied popular a kind of solution, this paper will be introduced emphaticallyKey word: Conditional extreme value Lagrange multiplier method cauchy inequality一．引论众所周知，条件极值是高等数学一个重要的知识点，也是高等数学的基础和核心，它在高等数学中有广泛的应用，而且在实际生活中有很大的应用价值.今天人们更加注重科学决策，因为条件极值可以用于揭示了成本最小化、利润最大化等问题的经济意义,所以研究条件极值具有重要意义，本文给出几种常见的解法，分别是利用拉格朗日乘数法，柯西不等式，利用二次函数的极值来求条件极值.二、方法介绍grange乘数法在许多极值问题，其极值点还受到y各自不同的限制，例如，要在斜边之长为L的直角三角形中，求周长为最大的直角三角形.首先，我们设直角三角形的两条直角边长分别为1x 和2x ，则周长l x x S ++=21，其中)0,0(21l x l x <<<<.观察发现，上述周长函数的自变量不仅要符合定义域条件)0,0(21>>x x ,而且还保证满足斜边取值为l 和等式22221l x x =+，则这类具有约束条件的极值问题就是条件极值问题.条件极值的一般形式为：目标函数：=J 12(,,,)n f x x x ○1..t s ()n m x x x x x x x x x x x x n m nm n n <⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-0),,,(0),,,(0),,,(0),,,(21211212211 ϕϕϕϕ ○2 一般情况下，在遇到y 这类问题时，可以把条件极值化为无条件极值来求解.但在很多情况下，要从约束条件下解出m 个变量并不容易.此时我们就可以利用Lagrange 乘数法，它可以用于直接寻求条件极值，而不必先把问题转化为无条件极值.下面我们就来介绍Lagrange 乘数法.对于前面提到的由○1、○2两式所表示的条件极值问题，引进辅助函数∑=+=mi n i i n m n x x x x x x f x x x L 121212121),,,(),,,(),,,,,,,( ϕλλλλ，其中i λ为辅助变量.设()()()()为002010,,,n x x x p 目标函数在条件(2)下的极值点，..t s ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧======0,,, 0,,,0,,,0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,0020100201002012102012102012102012121n n n m x m x m X x x x L x x x L x x x L x x L x x L x x L mn λλλλλλλλλλλλ ○3 这样就把条件极值问题○1、○2转化为○3这种无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法，其中L 称为Lagrange 函数，i λ称为Lagrange 乘数.这个结论可由以下定理推导得出.定理：设在约束条件○2下，求函数○1的极值问题，其中f 与()m k k ,,3,2,1 =ϕ有连续的一阶偏导数.若()()()()002010,,,nx x x p L L 是上述问题的极值点，且Jacobian 矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n m m n nx x x x x x ϕϕϕϕϕϕ 1212111 的秩为m. 则存在m 个常数m λλλ,,,21 ，使得()m n x x x λλλ,,,,,2121 为Lagrange 函数的稳定点，即()m n x x x λλλ,,,,,2121 为○3中n+m 个方程的解.例1:用Lagrange 乘数法求开头提到的直角三角形的问题.解：此时n=2,m=1.设直角三角形的两直角边长分别为1x 和2x ，则周长为l x x S ++=21 )0,0(21l x l x <<<<.于是,转化为在22221l x x =+下求S 的条件极值问题,这时拉格朗日函数可以表示为()()222212121,l x x l x x x x L -++++=λ.对L 求偏导数,并令它们都等于0.则有)3()2()1(021021222212211⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=lx x x Lx x Lx λλ 由(1)、(2)解得λ2121-==x x . 代入（3）得l x x l 22,2221==-= λ. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛l l 22,22 是唯一的驻点. 由题意可知,该三角形必存在,所以最大周长的直角三角形为等腰三角形.注:对于条件极值的应用问题,我们一般从问题的实际意义出发，可以推出最大值和最小值存在,即在解实际问题时，往往在该点处的函数值就是要求的最大（或最小）值.由于拉格朗日函数只有一个驻点,故可以判定所需求的最大值或最小值即在驻点处,用不着判断它是最大值还是最小值.2.Cauchy 求条件极值首先，我们给出以下关于柯西不等式的定理.定理：对于任意实数n a a a a ,,,,321 和n c c c c ,,,,321 有()222222121211221n n n n a a a c c c a c a c a c ++++++≥+++ 其中等号当且仅当()n i kc a i i ,,3,2,1L L ==时才成立，我们就把(1)称式为Cauchy 不等式.应用2:若d cz by ax =++，求解222z y x f ++=的极值. 解： ()()2222222222221z y x c b a cb a z y x f ++++++=++=. 由Cauchy 不等式得：上式()222222221cb a d cz by axc b a ++=++++≥ 其中等号成立，当且仅当kz c ky b kx a ===,,，即zcy b x a ==时. 由⎪⎩⎪⎨⎧===++)2()1(z cy b x a d cz by ax 由（2）得()3,y acxz a bx == 把（3）代入（1）得： 222c b a adx ++= (4)把（4）代入（3）得：222222,cb a cdz c b a bd y ++=++=. 函数f 有极小值2222mincb a d f ++=. 3、利用二次函数的极值求条件极值求定义在开区间（a,b ）上的二次函数()02≠++=p r qx px y 的极值. 分析如下：1).当p>0时，若,2b p q a <-<则当p q x 2-=时，有极小值：p q r 42-=； 2).当p<0时，若;2b p q a <-<则当p q x 2-=时，有极大值：pq r 42-=. 可以用于求解某些条件极值问题.应用3：若1=+y x ，试求yx f 11+=的极值. 解：由1=+y x 得x y -=1，代入f 得221411111⎪⎭⎫⎝⎛--=-+=x x x f 由于分母()()41,412141max 2=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x ϕϕ，所以当 21==y x ，函数4min =f 三、结论本文我们采用了Lagrange 乘数法、Cauchy 不等式、二次函数法求条件极值，事实上求解有关条件极值问题灵活性很大,并没有固定的模式，一般无规律可循,因为问题的形式一般不同，所以，在学习的过程中，要灵活应用上述的三种方法，既要多加训练，还要归纳总结，更要切实掌握.参考文献:[1].陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].高等教育出版社，2003 [2].邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程[M].高等教育出版社,2002 [3].华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,1981 [4].刘玉琏.数学分析讲义[M].高等教育出版社,2004 [5].王延源.条件极值的初等解法[J].临沂师范学院学报,2000 [6].燕列雅.条件极值的解法[J].南阳理工学院学报,2002 [7].吴炯坼.数学专业英语[M].高等教育出版社,2005[8].吴洁.关于条件极值的若干讨论[J].中国民航学院学报,2003 [9].同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007 [10].浙江海洋学院信息学院.条件极值大学数学学报[J]，2004。

数学分析第十八章课件极值与条件极值

第二步判别
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
习题
例1. 求函数解: 第一步求驻点. 解方程组得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步判别. 求二阶偏导数的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
故 g ( x, y ) 在 (3r,3r ) 点有
a11 6r 0 . 因此
D
a11 a12
a12 a22
27r 2 0
g ( x, y ) 在 (3r,3r ) 取极小值 ,
3
这等价于 f ( x, y, z ) 在 (3r ,3r ,3r ) 取极小值
f (3r,3r,3r ) (3r )

z
2
即，稳定点：
(3r ,3r ,3r )
x y z 3r
1 1 1 1 , x y z r
下面判别稳定点是极值点记
1 1 1 1 F ( x, y, z ) x y z r
1 则 Fz (3r,3r,3r) 2 z
0
z 3 r
故方程
1 1 1 1 1 1 1 1 F ( x, y, z ) 0 ( ) x y z r x y z r
如方法 1 所述 , 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数 y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极值问题, 故极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记

《条件极值》课件

结构设计
在控制系统设计中，经常需要找到使得系统性能达到最优的控制策略。例如，飞行器控制系统设计时需要找到使得飞行性能最优的控制策略。条件极值理论可以用来解决这类问题，通过找到使得性能指标函数取得极值的控制输入，来制定最优的控制策略。
控制系统设计
用到条件极值理论来解决一些实际问题。例如，在医学图像处理中，需要找到使得图像处理效果最佳的参数设置；在生物力学中，需要找到使得生物组织性能最优的参数设置。
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目录
条件极值的概念条件极值的求解方法条件极值的应用条件极值的扩展知识总结与展望
CONTENTS
条件极值的概念
条件极值是指在某些特定条件下，函数取得极值的点。
它是在一定约束条件下，函数表现出的最值状态。
这些特定条件可以是函数的变量范围、函数的性质以及其他相关限制。
在特定条件下，函数达到的极值点是唯一的。
总结词：雅可比矩阵和海色矩阵是用于描述函数在某点的切线信息的矩阵，对于求解条件极值问题具有一定的帮助。
总结词：函数的一阶导数和二阶导数是描述函数单调性和凹凸性的重要指标，对于求解条件极值问题具有指导意义。
函数的单调性和凹凸性是描述函数变化趋势的重要属性，对于求解条件极值问题具有指导意义。
总结词
VS
无约束条件的极值问题是指函数在没有限制条件的约束下达到极值的点。
详细描述
无约束条件的极值问题是在没有任何约束条件的情况下，寻找函数达到极值的点。这些问题通常使用导数来解决，通过求导数并找到导数为零的点来确定可能的极值点。然后，通过检查这些点的函数值和一阶导数值来确定是否达到极值。
总结词
约束条件的优化问题是指在满足某些约束条件下，寻找函数的最优解。
环境科学