2012-2013(1)线性代数试卷A卷
线性代数测试试卷及答案
线性代数测试试卷及答案线性代数（A 卷）⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??= ? ?-的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??=5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.2. 求⾏列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数（A 卷）答案⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于110111011A I ?? ?-= ? ???(4分)⽽1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??. (7分)所以10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????. (9分)2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= (4分) 123401131000440004-=-- (8分) 160= (9分) .3. 解由于3112341234011301131301053307330733r r ------ - ------324212345011300212700424r r r r -??---+ ?--?? 43123401132002120000r r -??-- +(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。
全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析
2
2 2 1 2 1 1 A 1 2 A1 A 2 A b b 0 b 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 是 Ax b 的解． ，3
2 0 0 0 0 0 0 0 3 相似，则下列说法错误的是（ 7．若 3 阶方阵 A 与对角阵
1 1 3 4 4 5 0 k1 1 k 2 0 0 0 1
1 3 1 4 5 4 0 0 0 ，
0 2 1 1 0 0 0 0
1 4 3 2 6 2 1 3 1 2 6 2
1 1 0 2 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0 ，
向量组的秩是 2， 1 , 2 是向量组的一个极大无关组．
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2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置，αT 表示向量 的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A-1 表示 方阵 A 的逆矩阵，R(A)表示矩阵 A 的秩.
1 1 2 2 3 3 3 4 4 4
．
1 2 3 4 0 4 6 8 0 0 6 8 0 0 0 8 1 4 6 8 192
1 2
解：
1 2 3 4
．
5 2 1 A 0 4 2 4 3 1 ， B 是三阶方阵，且满足 AB A 2 B E ，求 B ． 22．设
12-13-1《线性代数试卷A》第一学期期末考试试卷
河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（ ）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有 ．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。
重庆理工大学 2012~2013-1 线性代数(理工)A卷(A4)
）
7、已知向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关，则下列向量组中线性相关的是 ( （A） α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 （C） α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1 （B） α1 , α1; α 3 （D） α1 ,3α 3 , α1 − 2α 2
-3-
重庆理工大学考试试卷
2012～ 2013 学年第一学期
一、单项选择（每小题 2 分，共 20 分）
1、若 a1i a24 a3 j a41a55 a66 是六阶行列式中带正号的一项，则 i, j 之值为（ （A） i = 1, j = 3 （B） i = 2, j = 3 2、设行列式 D1 = （C） i = 1, j = 2 （D） = i 3, = j 2 ）.
四、证明题 (每小题 5 分，共 10 分)
1、设 A2 + 6 A + 8 E = 0 ，且 A 为 n 阶对称阵，证明 A + 3E 为正交阵.
2、设向量组 α1 , α 2 , , α r 线性无关， β1 = α1 , β 2 = α1 + α 2 , , β r = α1 + α 2 + + α r 证明：向量 组 β1 , β 2 , , β r 线性无关.
0 −2 −4 1 −3 −7 的列向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 的一个最大线 8 3 0 7 4 3 性无关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。 （8 分）
8、求一个正交变换 x = Py ，把二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 3 x2 2 + 3 x 23 + 4 x2 x3 化为标准形。 （8 分）
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
2012-2013年理工线性代数考试A卷答案
2012-2013年理工线性代数考试A卷答案《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1．已知,A B 均为三阶矩阵，且(,,),(,,)A B αβγαβδ==，及 2,3A B ==，则 272.A B +=2．设,A B 均为三阶矩阵，且 4,2A B ==-，*A 为矩阵A 的伴随矩阵，则行列式18(3)27B A -*=-. 3．设矩阵2112A ??= ?-??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则矩阵1111B -??=.4. 设矩阵A 满足240A A E +-=，则 11()(2)2A E A E --=+.5．齐次线性方程组1231232302030x kx x x x x kx x ++=??++=??+=?只有0解，则k 应满足的条件是35k ≠.6．设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k αβ==-(1,1,4)Ty =--线性相关，则 1k =. 7．设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =, 则矩阵A 的秩为 2 . 8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，则行列式 143AE --=.9．二次型221231123(,,)22f x x x x x x x =++的规范形是 222123y y y +-.10．当t 满足 01t <<时，二次型22212312312(,,)2f x x x x x tx tx x =+++为正定二次型。
二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. 若15423214j k a a a a a 是五阶行列式A 的一项(除去符号)，则有( B ) （A ） 3,5j k ==，此项为正（B ） 3,5j k ==，此项为负（C ） 5,3j k ==，此项为正（D ）以上全不对2．若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则行列式D =（ C ）（A ） -8 （B ） -20 （C ） 8 （D ） 20 3．已知向量组123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，则：（A ）（A ）1α必能由234,,ααα线性表示。
海南大学2012-2013《线性代数》 试题(A卷)
海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目：（工科类）《线性代数》试题(A 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试所有试卷均配有答题纸，考生应将答案写在答题纸上，写在试卷上一律无效大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题：(每题3分，共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，若m n >，则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量，则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==，若 A =24，则3λ=4二、填空题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶方阵，且AX O =有非零解，则矩阵A 必有一个特征值为（ C ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分 阅卷教师得分 阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2，B =-3，则13A B *-＝（ D ）(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ，则 A =（ A ）(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1，它们的代数余子式依次是2、8、-5，则D =（ B ） （A ） 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解，其中A 为(1)n n +⨯的矩阵，则A β=（ A ）(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三 、计算题（14分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。
北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案
课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。
二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。
三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。
(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。
四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。
(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。
五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。
六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。
七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案线性代数（试卷⼀）1、填空题（本题总计20分，每⼩题2分）1. 排列7623451的逆序数是。
2. 若，则3. 已知阶矩阵、和满⾜，其中为阶单位矩阵，则。
4. 若为矩阵，则⾮齐次线性⽅程组有唯⼀解的充分要条件是_________5. 设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系数矩阵的齐次线性⽅程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A为三阶可逆阵，，则7.若A为矩阵，则齐次线性⽅程组有⾮零解的充分必要条件是8.已知五阶⾏列式，则9. 向量的模（范数）。
10.若与正交，则⼆、选择题（本题总计10分，每⼩题2分）1. 向量组线性相关且秩为s，则(D)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2. 若A为三阶⽅阵，且，则(A)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．设向量组A能由向量组B线性表⽰，则( d )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4. 设阶矩阵的⾏列式等于，则等于。
c5. 设阶矩阵，和，则下列说法正确的是。
则 ,则或三、计算题（本题总计60分。
1-3每⼩题8分,4-7每⼩题9分）1. 计算阶⾏列式。
2．设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，求.3．求矩阵的逆4. 讨论为何值时，⾮齐次线性⽅程组①有唯⼀解；②有⽆穷多解；③⽆解。
5. 求下⾮齐次线性⽅程组所对应的齐次线性⽅程组的基础解系和此⽅程6.已知向量组、、、、，求此向量组的⼀个最⼤⽆关组，并把其余向量⽤该最⼤⽆关组线性表⽰．7. 求矩阵的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计10分）设为的⼀个解，为对应齐次线性⽅程组的基础解系，证明线性⽆关。
（答案⼀）、填空题（本题总计20分，每⼩题 2 分）15；2、3；3、；4、；5、2；6、；7、；8、0；9、3；10、1。
.⼆、选择题（本总计 10 分，每⼩题 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B、计算题（本题总计60分，1-3每⼩题8分，4-7他每⼩题9分）1、解： ------3分-------6分----------8分此题的⽅法不唯⼀，可以酌情给分。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
2013级线性代数I试卷(A)
,
α2
,
α3
,
α4
)
~
0 0 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
(10),
故
α3
α1 2α2 , α4
2α1 3α2.
(12)
本题
五、(本题满分 12 分) 设有线性方程组
得分
x1 x2 kx3 4,
x1
kx2
x3 k 2 ,
x1 x2 2x3 4,
问 k 为何值时, 该方程组有唯一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时求出其通解.
1 1 1 1
0 1 1 1
而
( β, β α1, β α2 ,
, β αr ) ( β, α1, α2 ,
,
αr
)
0
0
1
1 (4) ( β, α1, α2 , , αr )K ,
0 0 0 1
因 | K | 1, 故 R( β, β α1, β α2 , , β αr ) R( β, α1, α2 , , αr ) r 1, (5) 从而向量组 β, β α1, β α2 , , β αr 线性无关. (6)
1
3
1
3
2
0
3
1
2
2
0
0
1
5
31
1 4
得
X
1 5
3111.
(8)
考试形式开卷（ ）、闭卷（√），在选项上打（√）
开课教研室 大学数学部 命题教师 命题组 命题时间 2013-12-12 使用学期 2013-2014-1 总张数 3 教研室主任审核签字
d
第1页 共3页
江南大学考试卷专用纸
2012级线性代数A1卷答案
2012——2013学年第1学期课程名称： 线性代数 使用班级： 2012级理工科本科 命题系别： 数学学院_ __ 命题人： 高增辉一、333333223333()()()()(3)3()()(3)()(32)()(2)2()(2)x y x y y x y x xy x y xy x y xy x y x y x y x yxyxy x y x y x y x y xy x xy y x y x y ++=+++++-+--+=+-+--=+----+=-+分分分分二、31323334322A A A A +-+等于用1,3，-2,2代替D 的第3行所得的行列式，即3132333431125134322(4)1322153301610111610110241819241819(2)0855855153321011018318198034(2)15515524(2)A A A A ---+-+=-------==--------=---=----=分分分分三、32(32)(1)12310031242010(1)05100116911116938121113812(2)015111101512132221720(2)4292111111T AB A A B E A A A B AB -=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪=⋅---⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=--=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭==-分分分分123124(2)111051058056(2)290⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭分分四、2(2)(1)AB A B A E B A=+⇒-=分0332002332110020110(1)123002121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭分12202(2)(2)A E A E B A E A--=≠∴-=-可逆，且分233033110110(2|)110|110233|033(1)121123121123110110110110013|253013|253(1)011033002220110110100033013|253010|12300111000111A E A --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→→- ⎪ ⎪⎝⎭分分(2)0⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭分1033(2)123(2)110B A E A -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭分五、123225150351D ==≠ (3分) 12312311312122515,2250,2220351331353D D D ====== (3分)所以3121231501,0,0151515D D D x x x D D D ========= (4分) 注：写出,(1,2,3)i i Dx i D==可给2分六、 由220A A E --=知，2()2A A E A A E -=-= (2分)1()2A A E E ⇒⋅-=， (1分)所以11()2A A E -=- (2分)又由220A A E --=得，(2)(3)40A E A E E +-+= (2分)1(2)[(3)]4A E A E E ⇒+⋅--= (或(2)(3)4A E A E E ⇒+-=-) (1分)所以11(2)(3)4A E A E -+=-- (2分)七、对系数矩阵A 作初等变换，得181021810218102245102015504313862032248000010403101440000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪→--⎪ ⎪⎝⎭(3分) 它对应的方程组为1323443144x x x x x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ (1分)令2310x x ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1404x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (1分) 令2301x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1443x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ (1分)于是得到一个基础解系120410,0143ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2分)从而该齐次方程组的通解为121212340410,(,)0143x x k k k k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分)八、 (1) 记()12345,,,,A ααααα=，对矩阵A 施行初等行变换：112211122111221021510215102151203130215100111110410022200000110411104110010020620103101031001110011100110000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→→→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭(3分)所以()3R A =，该向量组A 是线性相关的 (2分) (2) 123(1,0,2,1),(1,2,0,1),(2,1,3,0)T T T ααα===为A 的一个极大无关组，(3分) 且41233αααα=+-，523ααα=-+。
2012—2013学年第二学期《线性代数B1》期末考试试卷
有S(α) = S(β). 那么, 任给V 的一组基α1, α2, · · · , αn, S(α1), S(α2), · · · , S(αn)也 是V 的一组基. (T)
六、 设α是n维欧氏空间V 中的非0向量, 定义V 上的线性变换Aα:
Aα(β)
=
β
−
2(α, β) (α, α)
α.
证明：
1. Aα是一个正交变换. 2. 存在标准正交基，使得Aα在该基下的矩阵为diag(−1, 1, · · · , 1).
七、 设n为大于1的整数, S是数域F 上n维线性空间V 上的线性变换, 且存在α ∈ V 使 得
五、 设V = {(a2x2 + a1x + a0)ex : a2, a1, a0 ∈ R}，V 中元素按函数通常的数乘与加
法构成的线性空间。对任意f (x)
∈
V,
定义V 上的变换：A
:
p(x)
−→
d dx
p(x),
对任
意p(x) ∈ V .
1. 证明：A是V 上的线性变换； 2. 求A 在基ex, xex, x2ex下的矩阵； 3. 求A的特征值与特征向量。
...................................................................装 订 线 • 答 题 时 不 要 超 过 此 线..........................................................
.
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
2012-2013线性代数(32学时)期末试卷A卷答案 本科
所以
2 0 1 1 2 1 B ( A E ) ( A E ) ( A E ) ( A E )( A E ) A E 0 3 0 （6 分） 1 0 2
14、 （10 分）计算行列式 D
0 0 d2 c2
解：在等式两边同时左乘 A1 ，得： X A1 B （2 分） ， 因为： A 34 0 ，所以 A 可逆， （4 分）
21 19 4 ， 又因为 A 的伴随矩阵是： A 19 35 2 4 2 4
=（ a 2 b2 - d 2 c 2） （ a1b1 - d1c1） （10 分）
21 19 4 1 故 A 19 35 2 （7 分） 34 2 4 4
1
21 19 4 1 -3 -29 -21 1 1 所以 X A B 19 35 2 2 -2 57 -15 （10 分） 34 34 12 2 4 4 4 3 -1
0 0 0
1
2 0 0 1 1 3 0 2 2 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 r3 1 0 0 r4 3 r3 0 2 r2 0 1 0 r4 1 r3 4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 1 1 1 2 6 3 5 1 1 8 24 12
1
五、
阅卷教师 得分
计算题（共 3 题，共 24 分）
武汉理工大学试题纸2012a
1 0 ，则 A 3 ＝ 1
；
4．若 A、B 为同阶方阵，则 ( A B)( A B) A2 B 2 的充分必要充分条件是 5．设 m n 矩阵 A 的秩为 R A n 1 ，且 1 , 2 是齐次方程 Ax 0 的两个不同的解， 则 Ax 0 的通解为 ；
A卷6
1 1 1 五. （本题 15 分）已知矩阵 A 1 1 1 ， B A* 3 A E 1 1 1
(1) 求 A 的特征值和正交特征向量 (2) 求正交阵 P ，使 P 1 BP 为对角阵并写出对角阵.
A卷7
六、证明题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 1. 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关，证明：向量组 1 2 , 2 3 , 3 1 线性无关.
x 2 x 2 x3 x 4 0 4．齐次线性方程组 1 的基础解系中含有解向量的个数是（ ） 0 2 x1 x 2 x3
专业班级
(A) 1(B) 2 Nhomakorabea(C) 3
(D) 4
1 2 5．设三阶矩阵 A 相似于对角阵 ，则 A ＝（ 3
）
（A）-6
（B）－3
（C）3
（D）6
学院
A卷1
得分
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
T 1. 设 A 为三阶矩阵，且 A 2 ，则 2 AA _________ ___；
2. 四阶行列式 D 的某行元素依次是 1, 0, k , 6 ，它们的代数余子式依次分别为 3, 4, 2, 0 且 D 9 ，则 k =____________； 3．设 A
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
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任课教师 专业名称 学生姓名 学号
安徽工业大学2012-2013第一学期线性代数期末考试题（A 卷）
考试时间：2013年11月26日14 :30 — 16:30
题号 一 二 三
总分 1 2 3 4 5 6 7
得分 阅卷人
一、填空题（6×4=24分）
1．设02000
030
00045000
D =
，则_______D =。
2．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，若()R n *A =,则()R A =
3．方阵A 满足20A -A -E =，则1()-A-E =
4．设123A A A A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中123,,A A A 均为方阵且可逆，则1
A -=
5. 设A 、B 为4阶方阵，且2A =，81B 3=，则=AB ________
6．设0是矩阵 10102010A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值,则=a _______
二、单项选择题（5×４=20分）将正确答案的序号填入对应表格中: 题号 1 2 3 4 5
答案 1．设4阶方阵A 的行列式为2，则A 的伴随矩阵*A 的行列式为( ) (A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 1。
2．向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是( ) (A) 12,,,n ααα均不为零向量；
(B) 12,,,n ααα中任意两个向量的对应分量不成比例； (C) 12,,,n ααα中有一个部分向量线性无关；
(D) 12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余1n -个向量线性表示。
3．设n 元齐次线性方程组A =x o 的系数矩阵A 的秩为r ，则A =x o 有非零解的充分必要条件是( )
(A) r n =； (B) r n <； (C) r n ≥； (D) r n >。
4．设,A B 都是n 阶方阵，且AB O =，则下列情况绝对不可能出现的是( )
(A) 0,0A B ==； (B) 0,0A B =≠； (C) A 和B 的秩都等于n ； (D) A 的伴随矩阵*A 非零。
5．若矩阵,A B 相似，则下列结论不正确的是( ) (A) A B =； (B),A B 有相同的特征多项式；
(C) )B (R )A (R =； (D) ,A B 有相同的伴随矩阵。
三、解答题(共56分)
1．（7分）设301110014A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且2AX A X =+求矩阵X 。
2．（6分）设3阶方阵A 的三个特征值分别为2、3、4，求 1A -，
22A A E -+的特征值，并求4A E +。
3．（6分）设四元非齐次线性方程组A =x b 的系数矩阵的秩为3，已知123,,ξξξ是A =x b 的3个解向量，且T 1)5,4,3,2(=ξ，
T 32)4,3,2,1(=+ξξ，求该方程组的通解。
4．(7分)已知向量组
,
)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(:A T 3T 2T 1--=-==ααα
T 4)4,1,3,0(--=α求向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其
余向量用该极大无关组线性表示。
5．（10分）求矩阵=A 123213336⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量，试问矩阵A 能
否对角化？如果能，请将A 对角化。
6．（10分）已知线性方程组12412341
234 32246327x x x x x x x x x x x a
++=-⎧⎪
+-+=-⎨⎪+-+=⎩，问a 为何值时，
方程组有解、无解；有解时求出其通解。
7．（10分）已知向量组123,,ααα线性无关，设()112313m -++β=ααα，()21231m =+++βααα，()()312311m m =-++-β-ααα，试问：当m 为何值时，向量组123,,βββ线性无关？线性相关？
在此区域及以下部分不要写答案，否则后果自负
安徽工业大学12-13(1)线性代数期末考试题（A 卷）。