高中数学 不等关系与不等式

(2012·浙江高考)设a>0，b>0，(
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b D．若2a－2a＝2b－3b，则a<b 【解析】
)
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当0＜a≤b时，显然2a≤2b，2a≤2b＜3b，
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1．实数的大小顺序与运算性质的关系
a－b＞0 a＞b⇔___________， a－b＝0 a＝b⇔___________， a－b＜0 a＜b⇔___________． 2．不等式的性质 b<a (1)对称性：a>b⇔________；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)
【解析】 当a＝1，b＝－2时，A、B、C均不正确，由
y＝2x的单调性知，D正确． 【答案】 D
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菜
单
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4．(0· 湖南高考)设a>b>1，c<0， 出 列 个 22 1 给下三结 论： c c ① > ；②ac<bc；③l b(a－c)>l a(b－c)． o g o g a b 其所的确论序是 中有正结的号 ( ) A．① B．①② C．②③ D．① ③ ②
【解析】
a＞6
ac2＞bc2，如c＝0时，ac2＝bc2，
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但ac2＞bc2⇒a＞b，
∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件． 【答案】
菜 单
B
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包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0， 下 则列 a b 命题：() ad＞bc；() ＋ ＜0；() a－c＞b－d；( a· 1 2 3 4 (d－c) ) d c ＞b(d－c)中 成 的 题 能立命为 ________． 23 (0· 1
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1 没能准确理解“一个铁钉受击 () 4 4 3次 全 进 木 后部入 板”的 义 导 遗 不 式 含，致漏等 ＋ ＜1； 7 7k 2 忽变 () 视 量 k∈N*. 2．求 此 问 一 要 确 题 中 字 言 化 解类题定准将目文语转为 数符语 学号言 (如不等式等)， 别 注 特是意 “不超过”、“至 少”、“低于”表 的 等 系 同 还 考 变 的 示不关，时应虑量实 际义 意．
1．本 常 的 误 题见错：
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单
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某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用 不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A
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【思路点拨】
由题意，找出题目中相应的不等式关
系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用 不等式(组)将它们表示出来．
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【尝试解答】 依题意得，第二次钉子没有全部进入 木板；第三次全部进入木板， 4 4 7＋7k＜1， ∴ (k∈N*)． 4＋ 4 ＋ 4 2≥1， 7 7k 7k
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2．在城区限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行
驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是 ( ) A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h
C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h
【答案】
D
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课பைடு நூலகம்后 作 业
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第一节
不等关系与不等式
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> 3 可加性：a>b⇔a＋c_____b＋c；(双向性) () a>b，c>d⇒_____ _____ _a＋c>b＋d ；(单向性) __ 4 可性 () 乘 ： a>b，c>0⇒ac__> bc； _ _ < a>b，c<0⇒ac_____bc； a>b>0，c>d>0⇒ac_____bd；(单向性) > > 5 乘 法 ： a>b>0⇒an___bn(n∈N，n≥2)；(单向性) () 方 则
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∵a>b>1，－c>0，
∴a－c>b－c>1. ∵a>b>1， ∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)， 即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确． 【答案】 D
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【答案】
(2)(3)(4)
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1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中 生有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不
【思路点拨】
利用不等式的性质说明正误或举反例说
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明真假．
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【尝试解答】 ∵a＞0＞b，c＜d＜0， ∴ad＜0，bc＞0，则ad＜bc，(1)错误． 由a＞0＞b＞－a，知a＞－b＞0， 又－c＞－d＞0， 因此a· (－c)＞(－b)· (－d)，即ac＋bd＜0， a b ac＋bd ∴ ＋ ＝ ＜0，故(2)正确． d c cd 显然a－c＞b－d，∴(3)正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确．
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1 5. 与 3＋1的 小 系 大关为 2－1
________．
【析 解】 3＜0，
1 －( 3＋1)＝( 2＋1)－( 3＋1)＝ 2－ 2－1
1．(1)a>b，c>d⇒a－c>b－d 成立吗？ a b (2)a>b>0，c>d>0⇒ > 对吗？ c d 【提示】 (1)不一定成立，但 a－d>b－c 一定成立． a b (2)不一定成立，但 > 一定成立． d c
2．a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？
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等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性
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主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不
等式要求的是同解变形．
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6 开法： () 方 则 性) 7 倒性： () 数 质 设
> n b(n∈N，n≥2)；(单向 a>b>0⇒ a____
n
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1 1 ab＞0，则a＜b⇔ ＞ .(双向性) a b
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型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽
车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解】
设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
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40x＋90y≤1 000， x≥5， 则x、y满足 y≥6， x，y∈N*.
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【提示】
一定成立．
不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不
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1．(人教A版教材习题改编)对于实数a，b，c，“a＞
b”是“ac2＞bc2”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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3．(2013· 合肥质检)已知a，b为非零实数，且a＞b，则 下列不等式一定成立的是( ) 1 1 4 4 A．a ＞b B. ＜ a b C．|a|＞|b| D．2a＞2b
1 ∴ ＜ 3＋1. 2－1
【案 答】 1 ＜ 3＋1 2－1
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用子均的 锤以匀 力击钉入板随铁的 敲铁钉木，着钉 深，钉受阻会来大使每钉木的 入铁所的力越越，得次入板 1 钉长后次前次 子度一为一的 (k∈N*)，已知一个铁钉受击3 k 次全进木，第次击进木部的钉 后部入板且一受后入板分铁 4 长是长 度钉的 ，从个例提出个等组 请这实中炼一不式． 7
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【析 解】
1 1 ∵a>b>1，∴ < .又c<0， a b
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c c ∴ > ，故①正确． a b 当c＜0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数， 又a>b>1，∴ac<bc，故②正确．
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