八年级数学上册第14章全等三角形 14.2 三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定

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沪科版八年级上册数学第14章全等三角形用边角边判定三角形全等

1．两边及其__夹__角____分别相等的两个三角形全等．简记为“边角
边”或“SAS”． AB ＝A′B′，
2．在△ABC 和△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′， AC＝A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
1．如图所示的三角形中，全等的是( A ) A．①与② B．②与③ C．①与③ D．①②③
14．如图，AD 是△ABC 中 BC 边上的中线．求证：AD＜12(AB＋AC)．
证明：延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BE.
因为 AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，所以 CD＝BD. CD＝BD，
在△ACD 和△EBD 中，因为∠ADC＝∠EDB， AD＝ED，
所以△ACD≌△EBD(SAS)．所以 AC＝EB.
解：小明的思路不正确．正解：△ADC≌△AEB. 因为 AB＝AC，D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 AD＝AE. 在△ADC 和△AEB 中，因为 AC＝AB，∠DAC＝∠EAB， AD＝AE，所以△ADC≌△AEB(SAS)．
13．如图，在 Rt△ABC 中，已知∠BAC＝90°，AC＝2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角尺 AED(AE＝ DE)如图放置，使三角尺斜边的两个端点分别与点 A，D 重合，连接 BE，EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
＝ FD ＝ a， EH＝ b，则风筝 ( 四边形 DEHF) 的周长是 ____2_(_a_＋__b_)______．
6．如图，OA 平分∠BOC，并且 OB＝OC，请说明 AB＝AC 的理由．
解：因为 OA 平分∠BOC，所以∠BOA＝∠COA. 又因为 OB＝OC，OA＝OA，所以△OAB≌△OAC(SAS)，所以 AB＝AC.

沪科版数学八年级上册两边及其夹角分别相等的两个三角形

解：在△ABD 和△CBD 中，
C
AB = CB (已知)，
∠ABD =∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD (SAS).
BD = BD (公共边)，
变式1：
已知：如图，AB = CB，∠1 =∠2.
求证：AD = CD，DB 平分∠ADC.
证明：在△ABD 与△CBD 中，
A
AB = CB (已知)，
∠1 =∠2 BD = BD
(已知)， (公共边)，
B
1 2
3D 4
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴ AD = CD，∠3 =∠4.
C
∴ DB 平分∠ADC.
变式2：

如图，AD = CD，DB 平分∠ADC，求证：∠A =∠C.
证明：∵ DB 平分∠ADC， ∴∠1 =∠2.
A
在△ABD 与△CBD 中，
知识回顾
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.
A
D
① AB = DE
② BC = EF
B ④∠A =∠D
CE ⑤∠B =∠E
⑥∠FC
③ CA =∠F
=
FD
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，
简写成“边角边”或“SAS”.
C
几何语言：
在△ABC 和△ DEF 中， AB = DE， ∠A = ∠D，必须是两
A
B
F
AC = DF，边“夹角”

沪科版八年级上册数学第14章全等三角形用斜边、直角边判定直角三角形全等

5．【中考·济宁】如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，AD，CE 交于点 H，请你添加一个适当的条件：_______________________________________________，使△AEH≌△CEB.
【点拨】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°. ∴∠EAH＝90°－∠AHE，∠BCE＝90°－∠DHC. 又∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠BCE，根据 AAS 添加 AH＝CB 或 EH＝EB；根据 ASA 添加 AE＝CE 均可证 △AEH≌△CEB.
4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证： (1)AB＝CD；
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CDB 中，∵BADD＝＝DCBB，， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，∴AB＝CD.
(2)AD∥BC.
证明：∵△ABD≌△CDB， ∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.
【答案】AH＝CB(或EH＝EB或AE＝CE)
6．【蚌埠淮上区期末】如图，AD＝AE， ∠ADC＝∠AEB，BE 与 CD 相交于点 O.
(1)在不添加辅助线的情况下，由已知条件可以得出许多结论，例如：△ABE≌△ACD，∠DOB＝∠EOC， ∠DOE＝∠BOC 等．请你动动脑筋，再写出 3 个结论(所写结论不能与题中举例相同且只要写出 3 个即可)．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，由____H_L_____ 可证明△ABD≌△ACD，从而有 BD＝__C_D_______，∠B＝ __∠_C_____．
3．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，ED⊥AB 于点 D，BD＝BC，若 AC＝6 cm，则 AE＋DE＝___6_c_m_________.

沪科版八年级数学上册14.其他判定两个三角形全等的条件课件

E
∠ACB=∠EFD （已证）
AB=ED （已知）
∴△ABC≌△EDF（AAS）
仿例1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
证明：∵EF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠F＋∠C＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠A＝∠F，在△ABC和△FBD中， ∴△ABC≌△FBD(AAS)， ∴AB＝BF.
第十四章全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第4课时其他判定两个三角形全等的条件
导入新课
旧知回顾我们学过的三角形全等的判定方法有哪几种？如何叙述？答：SAS，ASA，SSS共三种．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”“SAS”)；
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“角边角”“ASA”)；有三边对应相等的两个三角形全等(简称“边边边”“SSS”)．
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠BAD＋∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
∠A＝4， ∠ABC＝∠FBD， BC＝DC， ∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，AD＋DE，
∴BD＝DE＋CE.
随堂练习
1. 分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形，并说明
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴AB＝AC.
AAS的判定与性质的综合运用
例已知：如图，点B，F，C，D在一条直线上，AB=ED,
AB∥ED, AC∥EF ，求证：△ABC≌△EDF.
证明 ∵ AB∥ED, AC∥EF

八年级数学上第14章全等三角形14.2三角形全等的判定1两边及其夹角分别相等的两个三角形授课课沪科

知1－导
知识点 1 判定两三角形全等的基本事实：边角边
探究 1.如图,把圆规平放在桌面上，在圆规的两
脚上各取一点A，C，自由转动其一个脚， △ABC的形状、大小随之改变，那么还需增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？
知1－导
2.如图,把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线l上，其中 ∠B，∠C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A.沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的.那么还需增加什么条件才可以使△ABC确定呢？
AB AB， ∵ABC ABC ,
BC BC ,
∴△ABC≌△A′B′C′. 要点精析：（1）全等的元素：两边及这两边的夹角；（2）在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、角、边的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等．
知1－讲
3.易错警示：用两边一角证三角形全等时，角必须是两边的夹角．两边和一边的对角分别相等时两个三角形不一定全等，即不存在“边边角”．如图，
A．∠ABC＝∠ADE B．∠ABD＝∠ACE C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
知2－讲
知识点 2 全等三角形判定“边角边”的简单应用
例3 如图，AD∥BC且AD＝BC，AE＝FC. 求证：BE∥DF.
导引：根据题意证明AF＝CE和∠A=∠C，结合AD ＝BC，证明△ADF≌△CBE(SAS)．
AC CA，（公共边）
∴ △ADC ≌△CBA.（SAS）
知1－讲
知1－讲
例2 如图，点C是AB的中点，AD=CE，且AD∥CE. 求证：△ACD≌△CBE.
导引：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等.

沪科版数学八上14.三角形全等的判定——AAS课件

∴ △ABE≌△ACD（AAS)， ∴BE=CD.
D B
E C
随堂训练
1.已知：如图，BE=CD ，∠A=∠A′，∠B=∠C.
求证：△ABE≌△A′CD .
证明：在 △ABE 和△A'CD 中
_∠__A_=_∠__A_' （已知） _∠__B_=_∠__C_ （已知）
A
A'
_B_E__=_C_D__ （已知） ∴△A_B__E_≌△A__'C__D（AAS ）
45° A
B
B′
CC
10c 8cm
8cm
m
45°
AA
B
B′
发现：△ABC和△ AB′C 满足AC=AC ,BC= B′C ,∠A=∠A,
但△ABC与△ AB′C 不全等.
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。
试一试：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′ B ′ C ′ ，使A ′
为45°，动手画一画，你发现了什么？
作法：（1）作∠MAN=45°，（2）以点A为圆心，10cm为半径，画弧，交AM于点C，（3）以点C为圆心，8cm为半径画弧，交 AN于点B，B′，（4）连接CB，CB′. 则△ABC和△ABC′是符合条件的三角形.
C
10c 8cm
8cm
m
△ABC 的形状与大小是唯一确定的吗?
∴∠B=∠D,∠ACB=∠EFD.（两直线平行,内错角相等)
在△ABC和△EDF中，
A
∠B=∠D ，（已知）
∠ACB =∠EFD，（已证） B
F
AB=ED ，（已知）
∴ △ABC≌△EDF（AAS).
D C E

沪科版数学八年级上册教案-两个直角三角形全等的判定、全等三角形的判定方法的综合运用-2课时

14.2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定教学目标【知识与能力】学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。

【过程与方法】经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。

【情感态度价值观】感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。

教学重难点【教学重点】掌握判定直角三角形全等的特殊方法。

【教学难点】应用“HL”解决直角三角形全等的问题。

课前准备课件、教具等。

教学过程一、情境导入路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC)，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是．小聪找到的位置是对的吗？二、合作探究探究点一：利用“HL”判定直角三角形全等例1 如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD＝ED；②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④AC＝EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：推出∠ADC ＝∠BDE ＝90°，根据“AAS ”推出两三角形全等，即可判断A 、B ；根据“HL ”即可判断C ；根据“AAA ”不能判断两三角形全等．选项A 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠ADC ＝∠EDB AD ＝DE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项B 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BED ，∠ADC ＝∠BDE AC ＝BE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项C 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，AD ＝ED ， ∴Rt △ADC ≌Rt △EDB (HL )；选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL ”定理，如果具备条件“SSA ”和“AAA ”都不能判断两三角形全等．例2 下列说法中，正确的个数是( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据HL 可得①正确；由“AAS ”或“ASA ”可得②、③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误．故选C.方法总结：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．探究点二：直角三角形全等的判定(“HL ”)与性质的综合运用例3 如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，E 是AB 上一点，AD ＝2，BC ＝4，且AE ＝BC ，DE ＝CE .(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由；(2)求AB 的长度；(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可；(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ；(3)根据题意，∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，又∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC ，所以，∠AED ＋∠BEC ＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．解：(1)Rt △ADE ≌Rt △BEC ，理由如下：∵在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AE ＝BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC (HL )；(2)∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴AD ＝BE ，又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6；(3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC .又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴2(∠AED ＋∠BEC )＝180°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC ＝90°.又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形．方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL )，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △PQA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL )，即AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、板书设计两个直角三角形全等的判定⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形全等的“HL ”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.直角三角形全等的判定方法：“SAS ”，“ASA ”，“SSS ”，“AAS ”，“HL ”.教学反思由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解。

沪科版八年级数学上册14.2全等三角形的判定教学设计

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识点方面：全等三角形的判定方法是本章节的重点，尤其是SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种判定方法的掌握和应用。难点在于如何让学生理解并灵活运用这些判定方法，特别是在解决复杂问题时能够准确识别和运用。
2.技能方面：培养学生空间想象能力和逻辑推理能力是重点，难点在于如何通过具体的教学活动，让学生在实践中提高这些能力。
4.通过导入环节，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍全等三角形的定义，让学生理解全等三角形的含义。
2.讲解全等三角形的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种方法，通过具体实例和图示，让学生直观地感受这些判定方法的应用。
3.针对每种判定方法，给出典型例题，分析解题思路，让学生了解如何运用这些方法解决问题。
1.基础巩固题：针对全等三角形的判定方法，布置一些基础性的习题，让学生通过练习，巩固所学知识，提高解题技能。此类题目要求学生在课后自主完成，家长签字确认，以培养学生的自主学习习惯。
例题：已知△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABC是等腰三角形。
2.提高拓展题：设计一些综合性的题目，让学生在掌握全等三角形判定方法的基础上，提高自己的逻辑思维能力和空间想象力。
4.通过小组讨论，培养学生合作意识，提高学生的沟通能力和解题技巧。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖全等三角形的判定方法，让学生独立完成。
2.教师巡回指导，针对学生的疑问和困难，给予个别辅导。
3.学生完成后，组织学生互相批改，分享解题心得，提高学生的自我纠错能力。
4.针对共性问题，进行全班讲解，巩固全等三角形的判定方法。
例题：在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，B(4,7)，C(x,y)，且△ABC是全等三角形，求点C的坐标。

沪科版八年级上册数学第14章全等三角形两个直角三角形全等的判定

知2－练
4如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E， AD⊥CE于点D，下面四个结论：① ∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC； ③AB＝CE；④AD－BE＝DE.其中正确的是________． 5如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点 B，C在直线PQ上，点E在AB上， AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝________.
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角[如图（1）]. 求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′=AC，A′B′=AB.
知1－导
作法：（1）作∠MC′N=∠C=90°；（2）在C′M上截取C′A′=CA；（3）以A′为圆心、AB长为半径画弧，交C′N于点B′；（4）连接A′B′. 则Rt△A′B′C′ [如图（2）]就是所求作的直角三角形. 将画好的Rt△A′B′C′与Rt△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
AF AF， AD AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)． ∴DF＝BF. ∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF.
知2－讲
知2－练
1已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD与BC交于点O， EF过点O，分别交AB，CD于点E、点F.
求证：OE=OF.
（来自教材）
知2－练
2下列条件不能使两个直角三角形全等的是( ) A．斜边和一锐角对应相等 B．有两边对应相等 C．有两个锐角对应相等 D．有一直角边和一锐角对应相等 3如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC； ③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．其中正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个

顺德区实验中学八年级数学上册第14章全等三角形 14.2 三角形全等的判定 14.2.3 三边分

3.三边分别相等的两个三角形一、选择题1．如图1，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．127°D ．104°DCBAODCBAFEDC BA(1) (2) (3)2．如图2，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ，•则下面的结论中不正确的是（）A ．△ABC ≌△BADB ．∠CAB=∠DBAC ．OB=OCD ．∠C=∠D 二、填空题3．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，则补充条件____________，可得到△ABC ≌△A 1B 1C 1．4．如图3，AB=CD ，BF=DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠B=∠D ，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS ”证明________≌_________•得到结论．三、解题题5．如图，在四边形ABCD 中AB=CD ，AD=BC ，求证：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ．DCBA6．如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．E DCBA7．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．•请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．O F ED CBA答案:1．C 2．C 3．AC=AC 4．CE；△ABF≌△CDE5．连接AC（或BD） 6．连接BC后证明△ABC≌△DCB7．①证明△ADE≌△CBF；②证明∠AEF=∠CFE14.1 全等三角形一、填空题（每题3分，共30分）1．如图1所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，•则x=_______．(1) (2)2．如图2所示，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，•需要补充的一个条件是____________．3．把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_______________．4．在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′，CD与C′D′分别为AB边和A′B•′边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A′B′；②AC=A′C′；③CD=C′D•′中任取两个为题设，另一个作为结论，请写出一个正确的命题：________（用题序号写）．5．如图3所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=•5cm，则D点到直线AB的距离是______cm．(3) (4)6．如图4所示，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=•_______．7．如图5所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=•AP=AQ，则∠BAC的大小等于__________．(5) (6) (7)8．已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD•和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．9．如图6所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，•连结BD，过A点作BD的垂线，交BC于E，如果EC=3cm，CD=4cm，则梯形ABCD•的面积是_______cm．10．如图7所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D•和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是________．二、选择题（每题3分，共30分）11．如图8所示，在∠AOB的两边截取AO=BO，CO=DO，连结AD、BC交于点P，考察下列结论，其中正确的是（）①△AOD≌△BOC ②△APC≌△BPD ③点P在∠AOB的平分线上A．只有① B．只有②C．只有①② D．①②③12．下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等且有一角为30°的两个等腰三角形全等 (8)C．有一角和一边相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等13．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补或相等 D．不相等14．如图9所示，在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（）(9)15．将五边形纸片ABCDE按如图10所示方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E′，D′，已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（）A．31° B．28° C．24° D．22°(10) (11) (12)16．如图11所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．1617．如图12所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠B=∠C D．∠3=∠B18．如图13所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．1+2 B．1+22C．2-2 D．2-1(13) (14) (15)19．如图14所示中的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+•∠7=（）A．245° B．300° C．315° D．330°20．已知：如图15所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•相交于点O，∠1=∠2，图中全等的三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对三、解答题（共60分）21．（9分）如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案（画出图形），并说明测量步骤和依据．22．（9分）如图所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD．23．（9分）如图所示，D、E分别为△ABC的边AB、AC上点，•BE与CD相交于点O．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下作结论，写一个正确的命题：命题的条件是_______和_______，命题的结论是_______和________（均填序号）（2）证明你写的命题．24．（10分）如图所示，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，•使DE=BD.求证：CE=12 BC．25．（11分）如图①所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，将重合部分△BFD剪去，得到△ABF和△EDF．①（1）判断△ABF与△EDF是否全等？并加以证明；（2）把△ABF与△EDF不重合地拼在一起，可拼成特殊三角形和特殊四边形，将下列拼图（图②）按要求补充完整．②26．（12分））如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，•请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形方法，解答下列问题：（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线交于F，试判断FE与FD之间的数量关系．（2）如图（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他条件不变，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．1．60° 2．BC=EF或∠D=∠A或∠C=∠F3．如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直4．如果①②，那么③ 5．36．135° 7．120° 8．36°或45°9．26 10．15 11．D 12．D 13．C 14．D15．B 16．D 17．D 18．B 19．C 20．D21．在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO=AO，延BO至D，使DO=•BO，•则CD=AB，依据是△AOB≌△COD（SAS），图形略．22．证△ACB≌△BDA即可．23．（1）条件①、③结论②、④，（2）证明略24．略25．（1）△ABF≌△EDF，证明略（2）如图:26．（1）FE=FD（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．在AC上截取AG=AE，连结FG．证△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线得∠DAC+∠ECA=60°．所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=60°．由∠BCE=∠ACE及FC为公共边．可证△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．检测内容：第十六章二次根式得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各式中，一定是二次根式的是( C ) A.32 019B.32a C.2a 2＋1D.x ＋1 2．(2019·云南)要使x ＋12有意义，则x 的取值范围为( B ) A ．x ≤0 B ．x ≥－1 C ．x ≥0 D ．x ≤－13．(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是( B ) A.12B.2C.4D.12 4．下列运算中错误的是( A )A.2＋3＝5B.2×3＝6C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 5．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥6 6．(2019·重庆)估计(23＋62)×13的值应在( C ) A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间7．已知k ，m ，n 为三个整数，若135＝k 15，450＝15m ，180＝6n ，则下列有关于k ，m ，n 大小关系，何者正确？( D )A ．k ＜m ＝nB ．m ＝n ＜kC ．m ＜n ＜kD ．m ＜k ＜n 8．若x ＝3－22，y ＝3＋22，则x 2＋y 2的值是( A ) A.52B.32C.3D.149．若a ＋b ＜0，ab ＞0，则化简a 2b 2的结果是( A ) A ．ab B ．－a b C ．－ab D ．a b10．对于任意的正数m ，n 定义运算※为：m※n＝⎩⎨⎧m －n （m≥n），m ＋n （m ＜n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( B )A ．2－46B ．2C ．25D ．20 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．(天门中考)计算：33＋|3－2|－(12)－1＝__0__．12．(烟台中考)12与最简二次根式5a ＋1是同类二次根式，则a ＝__2__．13．若已知一个梯形的上底长为(7－2)cm ，下底长为(7＋2) cm ，高为27cm ，则这个梯形的面积为__14__cm 2.14．如图，数轴上表示1，3的对应点分别为点A ，B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，设点C 所表示的数为x ，则x ＋3x的值为．15．观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是结果需化简)．三、解答题(共75分) 16．(8分)计算： (1)22(212＋418－348)； (2)(上海中考)18＋(2－1)2－9＋(12)－1. 解：原式＝46＋2－126＝2－86解：原式＝32＋2－22＋1－3＋2＝2＋217．(9分)如果最简二次根式2m ＋n 与m －n －1m ＋7是可以合并的，求正整数m ，n 的值．解：m ＝5，n ＝218．(9分)(1)已知y ＝x －3＋3－x ＋x ＋3，求x ＋y 的值； (2)比较大小：35与211.解：(1)∵y ＝x －3＋3－x ＋x ＋3，∴x ＝3，故y ＝6，∴x ＋y ＝9＝3 (2)∵35＝45，211＝44， ∴45＞44，即35＞21119．(9分)先化简，再求值： (1)(宁夏中考)(1x ＋3－13－x )÷2x －3，其中x ＝3－3；解：原式＝(1x ＋3－13－x)·x －32＝2x （x ＋3）（x －3）·x －32＝xx ＋3. 当x ＝3－3时，原式＝3－33＝1－3(2)(资阳中考)a 2－b 2b ÷(a2b －a)，其中a ＝2－1，b ＝1.解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）b ÷a 2－ab b ＝（a ＋b ）（a －b ）b·b a （a －b ）＝a ＋ba，当a ＝2－1，b ＝1时，原式＝2－1＋12－1＝22－1＝2（2＋1）（2－1）（2＋1）＝2＋220．(9分)在△ABC 中，BC 边上的高h ＝63cm ，它的面积恰好等于边长为32cm 的正方形的面积，求BC 的长．解：∵12BC·h ＝(32)2＝18，∴BC ＝36h ＝3663＝23(cm )，答：BC 的长为23cm21．(10分)已知9＋11与9－11的小数部分分别为a ，b ，求ab －3a ＋4b －7的值．解：∵3＜11＜4，∴9＋11的小数部分为11－3，即a ＝11－3，9－11的小数部分为4－11，即b ＝4－11，∴ab －3a ＋4b －7＝(11－3)(4－11)－3(11－3)＋4(4－11)－7＝－522．(10分)观察，猜想，证明．观察下列等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；… (1)根据上述3个等式的规律，猜想第5个等式进行验证；(2)写出含字母n(n 为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并写出证明过程．解：(1)猜想：第5个等式为6635＝6＋635. 验证：右边＝6＋635＝210＋635＝21635＝36×635＝6635＝左边 (2)第(n －1)个等式为n·nn 2－1＝n ＋n n 2－1. 证明：右边＝n ＋n n 2－1＝n （n 2－1）＋n n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n 3n 2－1＝n·n n 2－1＝左边23．(11分)阅读材料：像(5＋2)(5－2)＝3，a ·a ＝a(a≥0)，(b ＋1)(b －1)＝b －1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2＋1与2－1，23＋35与23－35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：123＝323×3＝36；2＋12－1＝（2＋1）2（2－1）（2＋1）＝3＋2 2. 解答下列问题：(1)3－7与互为有理化因式，将232分母有理化得3； (2)计算：12－3－63； (3)已知有理数a 、b 满足a 2＋1＋b 2＝1＋22，求a 、b 的值．解：(2)12－3－63＝2＋3－23＝2－3 (3)∵a 2＋1＋b 2＝－1＋22， ∴a (2－1)＋22b ＝－1＋22， ∴－a ＋(a ＋b2)2＝－1＋22，∴－a ＝－1，a ＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝2。

14.2 三角形全等的判定(课件)沪科版数学八年级上册

∴△BCE≌△ADF.(AAS) ∴ CE＝DF.
感悟新知
知6－练
6-1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A， B两点分别作l的垂线 AE，BF，E，F为垂足，AE＝ CF. 求证：∠ACB＝90°.
感悟新知
知1－练
证明：∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即 AE＝CF. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE 和△ CDF 中，∵∠ABB＝AEC＝D，∠DCF，
AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF.(SAS)
感悟新知
知2－讲
知识点 2 基本事实“角边角”(或“ASA”)
1. 基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”.
感悟新知
2. 书写格式如图14 .2-3，在△ABC和△A′B′C′中，
∠B＝∠B′， ∵ቐ BC＝B′C′，
∠C＝∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′. (ASA)
知2－讲
感悟新知
特别提醒 1. 相等的元素：两角及两角的夹边. 2. 书写顺序：角→边→角. 3. 夹边即两个角的公共边.
知2－讲
感悟新知
解：△ ADB≌△AEC.证明如下：
知1－练
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE＋∠EAD＝∠CAD＋∠EAD，即∠BAD＝∠CAE. 在△ ADB 和△ AEC 中，∵A∠BB＝AADC＝，∠CAE，
AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC.(SAS)
感悟新知
知1－练
1-2. 如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E，F是AC上两点，且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF.
解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.

沪科版八年级上册数学课件(第14章全等三角形)

所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，所以
∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ 1 ∠DAF＝ 1 ×34°＝17°.
2
2
总结
解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是全等变换，即折叠前后的两个图形(本例是三角形)全等，其折叠前后的对应边相等，对应角相等．类似地，还有平移和旋转问题．在此过程中，往往产生了全等三角形，然后根据全等三角形的性质解题．
第14章全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时两边及其夹角分别相等的两个三角形
1 课堂讲解判定两三角形全等的基本事实：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点导讲练
知3－讲
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠BAC＝∠DCE. 又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴∠ACB＋∠BAC＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
总结
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的度数．
总结
两种解法的入手点分别是“同底等高、等底等高的三角形面积相等”，这一结论要结合具体图形理解．如图，l1∥l2，点A，B，F在l1上， AB ＝BF，点C，D，E是l2上任取的点，则根据上述结论，知S△ABC＝S△ABD＝S△BFE.
知3－讲
知3－练
1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D
知1－讲

沪科版八年级数学上第14章全等三角形14

＝60°，则∠ACD 的度数为
( B)
A．45° B．30° C．20° D．15°
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基础夯实
整合运用
思维拓展
第 13 页
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8．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE 与 CD 相交于点 O，
且 AD＝AE.有下列结论：①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；
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基础夯实
整合运用
思维拓展
第 19 页
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解：根据直角三角形全等的判定方法 HL 可知 ①当 P 运动到 AC 的中点时，此时 AP＝BC， ∵∠C＝∠QAP＝90°，在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， BC＝AP，AB＝PQ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即 AP＝BC＝10；
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14．2.5 两个直角三角形全等的判定
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整合运用
思维拓展
第1页
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要点感知判定两个直角三角形全等，常用方法是：(1)找一个锐角和一条边对应相等，其根据是 A AAS AS 或 ASASA A；(2)找两条直角边对应相等，其根据是 SASAS S；(3)斜斜边边和一条直直角角边边对应相等的两个直角三角形全等．这是直角三角形特殊的判定方法，简称为“斜边、直角边”或 HL HL.
思维拓展
第 21 页
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13．已知：点 O 到△ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB＝OC. (1)如图①，若点 O 在边 BC 上，求证：∠ABO＝∠ACO； (2)如图②，若点 O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.

14-2 三角形全等的判定第5课时 22—23沪科版数学八年级上册

创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
归纳
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言:
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中：
A
A′
AB=A'B'，
BC=B'C'，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
B
C B′
C′
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
抢答
1.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，有如下几个条件：
①AC=A'C'，∠A=∠A'；②AC=A'C'，AB=A'B'；③AC=A'C'，BC=B'C'；
ASA
HL
SAS
④AB=A'B'，∠A=∠A'；其中能判定Rt△ABC与Rt△A'B'C'的条件的
AAS
个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
2.已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.
求证：AB∥CD.
D
证明：∵AC⊥BD于点O，(已知)
∴∠DOC=∠BOA=90°. 又∵OA
教科书第109页练习题第2、3题
再见
∴Rt△DOC ≌ Rt△BOA.(HL)

八年级数学上册 第14章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第5课时 两个直角三角形全等的判定

沪科版八年级上册数学第14章 全等三角形 用边角边判定三角形全等

沪科版数学八年级上册 两边及其夹角分别相等的两个三角形

沪科版八年级上册数学第14章 全等三角形 用斜边、直角边判定直角三角形全等