4.3.1 公式法初中数学

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4.3.1运用公式法

2.3.1 运用公式法教学目标:1. 使学生进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法.2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用.教学重点：用平方差公式法进行因式分解.教学难点：把多项式变形为平方差的形式，灵活运用平方差公式分解因式．教学过程:一、设置问题情境，复习引入师：请回答什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么联系？我们学过哪些乘法公式？生1：把多项式分成几个因式的积的形式叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆的.生2：（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2师：两个同学的回答，都很全面，相当好!【设计意图】问题的引入，目的是激发学生兴趣，吸引学生注意力，引起学生产生良好的情感体验，从而对新的学习课题产生强烈的好奇心和旺盛的求知欲，以一个极佳的开放状态，主动积极地投入到课题学习之中.二、自主探究，导入新课师：请你自学课本54页——55页,思考下面问题：生：读书思考：1.因式分解中的平方差公式与乘法公式中的平方差公式有什么区别和联系？2.能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？分解后的结果是什么？3.应用平方差公式分解因式应注意什么问题？自我评价：1.整式乘法中我们学习了乘法公式：两数和乘以这两数差：即：（1）(a +b )(a －b )=a 2－b2 左边是整式的乘积，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是_______________________，左边是__________，右边是___________请你判断一下，第二个式子从左到右是不是因式分解？像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.用字母表示为__________ 用语言叙述为：两数的平方差，等于这两数的______与这两数的______的积.2.平方差公式公式中的字母可以是单项式，也可以是 .3.分解因式：①224b a -；②241625y x - ；③22491y x -. ___________,______________.___________________________.【设计意图】预习自学是学生自己首次独立地接受新知识的阶段，需要学生自己独立进行分析、思考、消化、归纳和简单的应用，因此，预习实际上是自学的起始阶段，是过渡到自学的必要步骤.自我评价是学生自学的最佳试金石，学生能够把规律填好就能说明已经理解了这种因式分解法了.三、合作探究，达成目标师：请你看议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？若能分解，请分解因式：（1）x 2－y 2 ；（2）x 2+y 2 ；（3）－x 2－y 2 ；（4）－x 2+y 2；（5）64－a 2 ；（6）4x 2－9y 2.总结平方差公式的特点：（1）左边特点是： .（2）右边特点是： .生1：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.生2：是两个整式积的形式，且有相同项与相反项.师：例题讲解例1、把下列各式分解因式：（1）25－16x 2;（2）9a 2－41b 2. 例2、把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x .生：积极思考，在练习本上完成并展示.【设计意图】要想让学生积极地学习，必须让学生体会到成功的喜悦，从而让学生对数学学习感兴趣.要学生自己总结平方差公式的特点，教师要当好听众，多鼓励，学生说出就好,进一步加深学生对公式的理解.四、达标检测师：请完成下列习题.（一）.★ 1.下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x ＋y )(x －y ) （2）9－25a 2=(9+25a )(9－25a )（3）－4a 2+9b 2=(－2a ＋3b )(－2a －3b )2．判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”)（1）x 2＋64 （）；（2）－x 2－4y 2 （）（3）9x 2－16y 4 （）；（4）－14x 6＋9n 2 （）（5）－9x 2－(－y )2（）；（6）－9x 2＋(－y )2 （）（7）(－9x )2－y 2 （）；（8）(－9x )2－(－y )2 ( )（二）.★★选择题1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（） A .22b a +- B .22b a -- C .22b a + D .33b a -2.(x ＋1)2－y 2分解因式是（）A . (x ＋1－y )(x ＋1＋y )B . (x ＋1＋y )(x －1＋y )C . (x ＋1－y )(x －1－y )D . (x ＋1＋y )(x －1－y )（三）.★★★填空：1.填空（把下列各式因式分解）(1)21p -=____________ (2)=-36492c ________________ (3)=-256942n m __________ (4)925.022+-m a =______________ (5)n x 24-=______________ (6)1)(2-+b a =__________________2.把下列各式分解因式（1）()==-_____335x x x ________________________（2）()==-________2223ab ab ab __________________（3）()==-________163x x x ___________________（4）()==-________23342ab ay ax ___________________(四).★★★★ 把下列各式分解因式：（1）224y x -=__________________________（2）24481y x -= _______________________（3）4a 2－(b ＋c )2=_______________________（4）(4x －3y )2－16y 2 = ___________________（5）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2=____________________________（6）(a+b+c)2-(a-b-c)2=【设计意图】“★”的多少表示试题的难易.要给不同的学生出不同的检测题．是面向全体学生,适合每一个层次学生学习的“最近发展区”.符合学生在发展中客观需要，针对不同学生“个别差异”分层练习,有的放矢,使不同的学生各得其所.并且有利于评价学生．五、总结归纳师：这节课你有什么收获？生：分解因式的方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果各项有公因式，第一步是提公因式，第二步是用平方差公式，直到每个多项式都不能再分解为止.【设计意图】让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理，引导学生有目的的进行回顾，鼓励学生展示自己的学习成果，指导学生在合作交流中解决问题，体会团队精神的价值．六、作业布置作业：习题2.4 1,2,3题选做作业：把下列各式分解因式：（1）（2m －n ）2－（m －2n ）2; （2）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2.板书设计: ++教学反思:1．教学中的成功体验：导学模式是以在集体备课的基础上产生的高质量的学案为载体，教师有效导学为方法，学生自主、合作、探究等主动学习为主体，实现主动、和谐、高效课堂，促进学生全面发展的一种教学模式.在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例．本节的导学案课堂学习主要从以下三方面突出1、创造机会，展示成绩2、合作交流，突显智慧3、面向全体，因材施教.成功之处有:在课堂学习中，教师根据学生完成学案的情况调控教学，结合师生评价、生生评价、生师评价等形式肯定学生的学习效果，激发学生学习数学的兴趣和学习的自主性.实践证明，这种方式可在一定程度上提高课堂容量，有效促进学生潜能、个性、创造性的发挥，使每一个学生都满怀信心参与数学学习,教师成为学生的合作伙伴，组织好教学流程，数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程．失败之处有:存在的问题是有一部分学生的基础较差，前面所学知识影响到本节的学习，比如使用平方差公式分解的一项是多项式时，部分学生的整体观念不强，出错率提高，需要进一步强化这部分学生的训练．。

北师大版初二数学下册4.3.1公式法

4.3.1公式法（一）一、学情分析学生已经学过多项式的乘法，已经具备学习和运用平方差公式的知识结构；由于学生初次学习乘法公式，认清公式结构并不容易，因此，教学时不可拔高要求，追求一步到位；学生在本节课学习过程中出现的错误，迸发出的思维火花、情感都是本节课较好的教学资源二、教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

本节课的具体教学目标为：1．知识与技能：（1）经历逆用平方差公式的过程．（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：(1)．在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．( 2)．培养学生观察、归纳、概括的能力．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

三、教学重点：利用平方差公式进行分解因式教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。

四、教学过程分析第一环节复习回顾1.多项式 x 2－25, 9x 2－y 2的共同特征是它们都是两数的形式。

2．请看乘法公式 22))((b a b a b a -=-+ （1）反过来 ))((22b a b a b a -+=- （2）运用公式： )5)(5(5)(25222-+=-=-x x x x . ()()=-=-2224n （）（）()()=-=-22229y x （）（）能运用平方差公式分解因式的式子应具备如下三个特征：（1）系数是一个数的；（2）字母的指数是；（3）两项符号。

活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．第二环节探究新知说一说找特征))((22b a b a b a -+=-(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。

4.3.1因式分解——公式法优秀教案

北京师范大学出版集团八年级下册第四章第三节：4.3.1公式法一、学情分析学生在前几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。

二、教学目标分析1．知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）了解整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）了解平凡差公式分解因式的步骤：一提二套；多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

三、教学重难点分析教学重点：了解整式乘法的平方差公式和用平方差公式分解因式互为逆运算的过程；掌握利用平方差公式分解因式的特征；注意步骤是一提二套。

教学难点：合理运用平方差公式分解因式，并能运用所学知识解决有关现实问题。

四、教学过程分析想交流表示代数式第四环节：巩固应用（随堂练习）1.判断正误：2.把下列各式因式分解：独立思考完成任务全面掌握用平方差公式进行因式分解的运用和巩固第五环节：知识拓展，讨论研究例3.如图，在一块长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积．学生前后桌一组讨论研究解题提高学生学习积极性第六环节：积累总结1、当多项式的各项含有公因式（包括负号）时，先提取公因式，然后再进一步分解因式；2、整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；3、步骤：一提二套；多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

回顾本节知识完成任务引导学生回顾思考，师生采取谈话交流的方式，总结本课学习收获第七环节：作业布置1、课本P100知识技能第2题（2）、（5）（6）2、《课堂精炼》相关练习题。

八年级数学下册 4.3.1 公式法教案2 (新版)北师大版

课题：4.3.1公式法教学目标：1.理解平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行因式分解；2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力;3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”. 教学重点与难点：重点：运用平方差公式分解因式．难点：平方差公式的推导及高次指数的转化、两种因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的灵活运用．课前准备：多媒体课件教学过程:一、温故知新、问题1：因式分解的定义是什么？你学习了因式分解的那些方法？处理方式：学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题2．设计意图：进一步明确概念，复习旧知识，为新知识的学习做准备．这样对因式分解的理解就不仅仅是停留在背概念的层面，而是做到灵活运用.问题2：下列从左到右的变形不是用提公因式法因式分解的是（）A. B.C. D.处理方式：让学生观察，自主比较，体会发现不同，通过设置D 选项，教师引导学生尝试用提公因式的方法分解因式，发现不能将其因式分解，这样就大大激发了学生的求知欲望和好奇心激发学习兴趣，引出新课.（板书课题：4.3.1公式法）设计意图：让学生充分经历观察、类比、归纳的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再归纳出分解因式的平方差公式，发展了学生的逆向思维、分析能力和推理能力，增()c b a m mc mb ma --=--()222-=-b b b b ()()b a b a b a -+=-22422()n m mn mn n m 322622-=-强了学生的符号感，发展了学生有条理的思考的能力.二、探究新知活动1：整式乘法公式与因式分解的区别与联系问题：把乘法公式反过来看看，你有什么发现？处理方式：多媒体课件，形象直观，引导学生与老师共同观察，比较两个等式的异同，感受运用公式分解因式.设计意图：让学生经历探究知识的过程，感受整式乘法公式与因式分解之间的互逆关系.，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法.活动2：掌握平方差公式的结构特征问题：1.能用平方差公式分解因式的多项式有几项？各项指数都是几？各项符号相同还是相反？2.分解的结果是什么形式？描述一下.处理方式：通过几个例子，小组交流讨论；教师深入小组，倾听学生的交流后，引导学生从项数、次数、符号等方面观察这两个公式的特点．小组找代表汇报，其他小组补充说明. 学生回答后，教师再用多媒体展示总结.注意：学生掌握了结构特征后，教师可以继续追问：对于结构特征的理论知识大家已经掌握得不错了，可是经得起实践的考验吗？引导学生积极思考以下问题：独立思考后可以提问一些成绩中等程度的同学，其他同学注意倾听，对于较精彩，条理清晰的回答，掌声鼓励，错误的回答，可以各抒己见及时纠错、共同进步.设计意图：1.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，锻炼学生的文字概括及语言表达能力，加强对公式本质的理解.2.在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论，形成知识体系，符合学生从特殊到一般，从具体到抽象的认知特征.3.激励性的语言让进行了一番思考后有些疲惫的学生产生新的学习兴趣，判断正误的题目设计具有代表性，类型全面，属于学生易混易误题目.为后续运用平方差公式分解因式的学习夯实基础.活动3：知识运用、加深理解例1因式分解()1612-m ; ()22942y x -. 处理方式：教师引导学生把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.并给出书写范例，思维方法明确后，趁热打铁，多媒体展示巩固训练1.注意：让学生代表到黑板板书，其余学生在练习本上完成.注意观察是否有学生发生分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所致.注意观察第四题的完成情况，可以让同学们以小组为单位互相检查，发现问题，通过交流，加深对问题的理解.教师师强调分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能分解为止，规范答题标准.为了加深印象，可以补充：，生共同口答.设计意图:例1明确思维方法，给出书写范例.巩固训练1，第(1)(2)小题判断学生能否运用平方差公式分解因式，真正认识平方差公式分解因式的结构条件.第(3)小题的安排注重高次指数的转化，第(4)小题强调因式分解的彻底性，规范答题标准.例2 .因式分解 .814-a 229()()m n m n +--处理方式：教师进一步让学生引导理解平方差公式中的a,b 不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.教师在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况. 多媒体展示巩固训练2.注意：学生独立完成后，小组成员之间互相合作，优秀生帮助学困生讲解，为后续测试评价中，小组之间的竞赛做准备.小组合作学习结束后，教师引导学生反思例1、例2，将所学知识升华，多媒体展示总结2.设计意图:进一步渗透整体换元思想，强调符号、分解彻底等一些细节问题.例3. 因式分解 . 处理方式：教师引导，是否符合平方差公示的结构特征？当学生快速否认后，追问，那我们应该如何因式分解呢？除了运用平法差公式因式分解我们还有其他方法吗？这是可能会有一些同学想到提公因式，教师继续追问，分解彻底吗？从而过渡到继续利用平方差公式使得彻底因式分解.多媒体展示计算过程后，教师引导学生总结分解因式的一般步骤：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式因式分解.多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.学生总结后，多媒体展示巩固训练3. 注意：学生代表板演，三名同学来自不同的小组，看哪个组能做对，其余同学比一比，哪个组做全对的人多.设计意图：一使学生经历发现问题，提出解决问题的猜想和验证，直至解决问题的过程．从中体验成功地感受，体会多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，公式中的a 、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. ()()()22221b a b a +-+ ()()()2216252y x y x --+xx 823-222224))(2(y x y x -+2394)1(xy x -4433)3(ay ax -并进一步深化分解要彻底地思想．二经历了三组例题后学生进入学习的倦怠期，小组之间进行一下竞争，可以提高学习兴趣，增强集体观念.三、回顾反思提炼新知师:学而不思则罔，思而不学则殆，只有不断反思、总结，巩固练习才能取得更大的进步!所以每一节课大家都要用心反思,查缺补漏,保证自己有所收获!现在谁愿意先来反思一下自己本节课学习的体会?处理方式：学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容，大家相互补充. 设计意图:学生在学习的过程中会有遗忘,因此必要的反复至关重要,每节课的小结更是必不可少.课堂小结让学生充分发表自己的感受，相互补充．及时有效明确本节课的主要内容、思想和方法，同时培养学生的归纳能力和语言表达能力，以及善于反思的好习惯．让学生品尝收获的喜悦，坚定今后学习数学的信心．四、达标评价检测新知基础题1.选择题：（1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）（A ）4x 2+y 2 （B ）4x 2–(-y)2（C ）–4x 2_y3（D ）–x 2 + y2 （2)-4a 2 +1分解因式的结果应是（）（A ）-(4a+1)(4a-1) （B ）-( 2a-1)(2a-1)（C ）-(2a +1)(2a+1) （D ）-(2a+1)(2a-1)2. 把下列各式分解因式： ; . 提高题1.因式分解：(1)(a-b)n+2 - (a-b)n ; (2)(a-3b)2-4c 2n .2.利用因式分解计算:(1)10122-9882 ; (2)73×1452-1052×73 . 处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的通过达标检测，及时获知学生对所复习知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.五、布置作业，落实目标()()y x b y x a ---222）（2212125.01p q -）（必做题：习题2.10第1、2题．拓展题：习题2.10 第3、4题结束语：:同学们,通过本节课的学习,我们已经学习了运用平方差公式分解因式，那么我们是否能利用完全平方公式分解因式呢？下节课我们将共同探讨学习.板书设计：错误!未找到引用源。

§ 4.3(1)运用公式法-平方差

15:18
13
例2 .把下列各式分解因式
(1)9(m + n)2 - (m - n)2
(2)2x3 - 8x
(3)a4-b4
15:18
14
（1）9(m+n)2－(m-n)2
解：9(m+n)2－(m-n)2
＝[3(m+n)]2－(m-n)2 ＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
15:18
有公因式先提公因式，然后再进一步分解因式
16
(3)解:a4-b4 =(a2-b2)(a2+b2) =(a+b)(a-b)(a2+b2)
通过做第(3)小题你总结出什么吗? 分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.
15:18
17
当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后
(3)x2 - (a + b - c)2;
（4）-16x2 + 81y2
15:18
23
解:(4) -16x2 + 81y2 = 81y 2-16x2 = (9y)2-(4x)2 = (9y+4x)(9y-4x)
北师大版八年级数学下册
§4.3 运用公式法(1) ——平方差公式
15:18
1
1.平方差公式
(1)整式乘法 (a+b)(a-b)=a2-b2 如:(x+5)(x-5) = x2-52=x2-25
(2)因式分解. a2-b2=(a+b)(a-b) 如x2-25 = x2-52=(x+5)(x-5) 9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)

4.3.1公式法(平方差公式)

A．(x＋8)(x＋1) B．(x＋2)(x－4) C．(x－2)(x＋4) D．(x－10)(x＋8)
4．对a²b－b³因式分解，结果正确的是( A )
A．b(a＋b)(a－b)
B．b(a－b) ² C．b(a ²－b ²)
D．b(a＋b) ²
课后作业
5. 把下列各式因式分解： (1)9m²－4n²；解：原式＝(3m＋2n)(3m－2n)． (2)a ³b－16ab；解：原式＝ab(a ²－16) ＝ab(a＋4)(a－4)． (3)－9x ²＋(x－y) ²；解：原式＝(x－y＋3x)(x－y－3x) ＝－(4x－y)(2x＋y)．
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____4________.
当堂练习
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时，原式=-40×5=-200．
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
4.3.1公式法
(平方差公式)
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.

4.3.1运用公式法之平方差公式

(2)x²-y²=(x+y)(x-y) ( )
(3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)( )
(4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)( )
多项式具有什么特征时才能运用平方差公式进行分解因式？
知识点1 用平方差公式分解多项式的条件 (1)多项式是二项式; (2)每一项都可以写成平方的形式; (3)两项的符号相反，一正一负.
2
(3a 1 b)(3a 1 b)
2
2
2x(x 2)(x 2)
( n) (m n)][3(m n) （m n）]
(4m 2n)(2m 4n)
4(2m n)(m 2n)
例把下列各式分解因式
(1)25 16 x2 (3)9(m n)2 (m n)2
(2)9a2 1 b2 4
(4)2x3 8x
解(1)原式 52 （4x）2
(4)原式 2x(x2 4)
(5 4x)(5 4x)
2x(x2 22)
(2)原式 (3a)2 （1 b）2
总结提升
能写成( )2-( )2的式子，可以用平方差公式分解因式。公式中的a , b可以是单独的数字、字母、单项式、多项式。分解因式，有公因式时先 “提”后“公”，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
1、把下列多项式分解因式:
(1)a²b²-m² ab mab m
(2)(m-a)²-(n+b)²
m a n bm a n b
(3)x²-(a+b-c)²
x a b cx a b c
(4)-16x +81y 4

4.3.1等比数列的判定及性质

11
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究

由 + +

=
.+ ×[−(+)]
第四章数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息

八(下)4.3.1 公式法(1)

§4.3.1公式法（1）【学习目标】．1.会用平方差公式分解因式；2.会联用提取公因式与平方差公式分解因式；3. 会利用平方差公式进行简便计算．【学习活动】〖学习准备〗1.乘法公式：平方差公式：()()=-+b a b a ；等号左右交换位置得到，这就把多项式变成了整式乘积的形式．这种利用平方差公式进行因式分解的方法称为公式法．如：=-+)2)(2(n m n m ，那么=-224n m ．2.平方差公式的特征：项数、次数、系数、符号【探究活动一】利用平方差公式分解因式例1.把下列各式分解因式：（1）812-a （2）236x - （3）22229q b p a - （4）22194a b -例2.把下列各式分解因式：（1）()()229m n m n +-- （2）x x 823- （3）()()24x a b b a -+- （4）44348mx my -实践练习1.把下列各式分解因式：（1）()()22m a n b --+ （2）()22x a b c -+- （3）2433ax ay - （4）441681x y -+【探究活动二】利用平方差公式分解因式的应用例3.已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足442222b a c b c a -=- ，试判断ABC ∆的形状．实践练习2.求证：当n 为整数时，多项式()()222121n n +--一定能被8整除．例4.用简便方法计算（1）22198202- （2）226753157531⨯-⨯实践练习3.计算： 22222111111111123420182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【学习评价】1.在有理数范围内，下列多项式中，2249b a -，22169y x -，22y x +-，22221y x +-能用平方差公式分解因式的有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D.4个2.已知()0512=-+-b a ，则=a ，=b ，此时22by ax -因式分解得． 3.1216-可以被下列（）两个数整除．A. 2和3B. 3和5C. 2和5D. 3和74.已知x 、y 满足方程组324643x y x y +=⎧⎨-=⎩；．求代数式2249y x -的值．5.因式分解：（1）()()2244x x x +++-；（2）211+-+-n m n m b a b a ．。

北师大版数学八年级下册4.3.1 公式法课件(共24张PPT)

三、互助提高-智勇冲“关”
环节2：教师点拨
1、第二关：解：3ax2 3ay4
“一提” 3a x2 y4 “二用” 3a x y2 x y2
三、互助提关：解：
2x y2 x 2y2 2x y x 2 y 2x y x 2y 2x y x 2y2x y x 2y 3x 3yx y 3x yx y
3、注意：因式分解时要一提二用三回看
五、巩固反馈-“王”者归来
环节1：师友交流
把下列各式因式分解：
(1) 169 x2 4 y2
(2) x2 y2 2 x2 y2
(3) p4 1
(4) 3m3 12m
五、巩固反馈-“王”者归来
环节2：教师点拨
答案：
（1） 13x 2y13x 2y
（2） x2 y2 xy x2 y2 xy （3） p2 1p 1p 1
4n 2
8n 因为 n 为整数，所以8n 能被8整除，
即两个连续奇数的平方差能被8整除。
其中4m□和○2既n可2以m是单4项n式，也(可4m以+2是n)多和项式。 2、4因2式m分解n一m定要2分n解彻底。(2m有+公4n因)数中2都含
二、互助探究-携手共“进”
环节2：教师点拨
x2 9 还能继续分解吗？
(3)、解： 2x3 18x
2x x2 9当多项式的各项含有公因
二、互助探究-携手共“进” 例把下列式子因式分解：
9 16x2
二、互助探究-携手共“进”
环节1：师友交流
练习：把下列各式因式分解：
(1) 9a2 1 b2 16
(2) 9m n2 m n2
(3) 2x3 18x
3具、师体友要展求示：：上台展示，学友先说，学师补充。

4.3.1公式法

3.1公式法（一）学习目标（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解学习方法自主探究与小组合作交流相结合．学习重难点重点：用平方差公式进行因式分解；难点：字母的可变性；自主学习.合作探究环节一：1．用字母表示乘法公式中的平方差公式为：，把该公式反过来，可以得到：，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？2．请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点：是一个项式，每项都可以化成整式的，整体来看是两个整式的平方 . 如果一个项式，它能够化成两个整式的平方，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.环节二：请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点：是一个项式，每项都可以化成整式的，整体来看是两个整式的平方 . 如果一个项式，它能够化成两个整式的平1．下列因式分解正确的是（）A ．()()y x y x y x -+=+22B ．()()y x y x y x -+=-22C ．()222y x y x +=+ D ．()222y x y x -=- 2．()()b a b a +--22是下列哪一个多项式的分解结果( )A ．224b a -B ．224b a +C ．224b a --D ．224b a +-3．下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )A ．42+-mB ．22y x --C ．122-y xD ．()()22a m a m +-- 4．分解因式：=-942x ____________________. 5．分解因式：224y x -= __________ _ .精讲释疑例1：把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2.例2：把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x .。

4.3.1 公式法

课题：4.3.1公式法课型：新授课年级：八年级教学目标：1．理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式．2．经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力．3．经历探究方法的过程，体验数学思想方法和成功的喜悦．教学重点与难点：重点：是应用平方差公式分解因式．难点：准确理解和掌握公式的结构特征；灵活应用公式法和提取公因式法分解因式．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情景，导入新课问题1：看谁算得又快又准：（1）642－362 = ；（2）20152-20142= ．问题2：能说一下你的方法吗？引导语：逆用平方差公式可以帮助我们简便运算，那么能否帮助我们进行分解因式呢？本节课我们一起去感受乘法公式—平方差公式的魅力．【教师板书课题：§4.3 公式法（1）】.处理方式：学生观察、思考，尝试快速计算后说明自己的方法.设计意图：通过师生比赛计算入手有效地激发了学生的学习兴趣，唤起了他们强烈的求知欲望.使学生把学习当成一种自我需要，为学生营造一种轻松、和谐的学习氛围，从而自然导入新课．二、合作交流，探究新知探究一：观察发现（1）观察多项式x2-25，9x2-y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．处理方式：学生认真观察思考，有的面露困惑，有的积极动手尝试写成两个因式的乘积，组内同学积极地进行交流，然后纷纷举手．设计意图：学生通过观察、交流，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，得到了分解因式的平方差公式，再次感受整式乘法与分解因式之间的互逆关系．发展学生的逆向思维、分析能力和推理能力．判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式？①x2-1；②x2+y2；③-x2+ y2；④-x2-y2；⑤19m2-4n2；⑥(a+b)2-(c+d)2．处理方式：学生观察、思考，并总结运用平方差公式分解因式的前提条件.设计意图：引导学生观察与平方差公式结构类似的几个变式，判断能否用平方差公式进行因式分解，有助于让学生注意到运用平方差进行因式分解的前提条件，为下一步进行因式分解做好准备．同时让学生理解平方差公式中的字母a、b不仅可以表示单项式，而且可以表示多项式．探究二：应用新知例1把下列各式分解因式：（1）25-16x2；（2）9a2-14b2．处理方式：学生对比公式，明确公式中的a与b在此例中分别是什么，从而直接利用平方差公式因式分解.设计意图：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；（1）（2）两道题目较简单，是公式简单应用，考查学生对公式的直接应用能力，为后面公式的灵活应用做铺垫.例2把下列各式分解因式：（1）9(m+n)2-(m-n)2；（2）2x3-8x ．处理方式：学生积极动手尝试分解因式，并小组交流，然后展示.设计意图：让学生进一步理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，同时向学生渗透换元的思想方法；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．三、思维训练，巩固提高1．判断下列分解因式是否正确：（1）-4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b)；（2）9-25a2=(3+25a)(3+25a)；（3）(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2；（4）a4-1=(a2)2-1=(a2+1)(a2-1)．2．把下列各式分解因式：（1）a2b2-m2；（2）- 4a2 +1；（3）(m-a)2-(n＋b)2；（4）3x3y-12xy．处理方式：学生代表去大黑板板演，其余学生独立完成.教师巡视了解学生对知识的掌握情况,同时关注学生在练习中出现的问题,纠正学生解题中发生的错误，并对各种错误进行评析．拓展练习：3．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□-4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有种．4．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．处理方式：拓展练习，为学有余力的学生提供素材，加深学生对平方差公式分解因式的理解与运用能力．设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，分解因式的步骤是否真正了解，以便能及时地进行查缺补漏．对于完成好的同学,教师给予鼓励;对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.四、归纳总结，形成体系师：通过本节课的学习你都学到了哪些知识？掌握了哪些数学方法？你还有什么疑难问题要和大家一起探讨吗？学生畅所欲言，谈收获与感受．设计意图：先引导学生自由发言、互相补充，教师进行修正、精炼阐述．这样的小结既梳理了知识，又点明了本节课的学习要点，同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识，为下节的学习打下良好基础，起到画龙点晴的作用．五、达标检测，反馈矫正１．下列多项式，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A．-x2+y2B．4a2-(a+b)2C．a2-8b2 D．x2y2-1212．分解因式x2y-4y的正确结果是（）A．y(x+2)(x-2) B．y(x+4)(x-4) C．y(x2-4) D．y(x-2)23．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，84．设n为整数，则(2n+1)2-25一定能被（）整除A．6 B．5 C．4 D．125.若226m n-=，且2-=，m nm n+=．处理方式：学生5分钟完成并展示答案，全班反馈、矫正．教师及时评价！设计意图：及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解.六、布置作业，巩固深化必做题：课本P100习题4.4 第1、2、3题．选做题：生活中的密码：在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，分解因式的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x－y)＝0，(x＋y)＝18，(x2＋y2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－x y2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）．你能依据上述方法设计一个密码程序吗？并让你的同伴进行破译，试试看？设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要．板书设计：。