江苏省涟水一中高一数学下学期期初检测试题苏教版

涟水一中2012-2013学年高一下学期期初检测数学试题
一、填空题
1的二项展开式中，常数项的值是 . 2．已知函数)2(log )(2+-=ax x x f a 在()+∞,2上为增函数，则实数a 的取值范围为
___________
3展开式中9x 的系数是 . 4．若函数3()3f x x ax b =-+(0a >)的极大值为6，极小值为2
5的值是 6．已知数列{}n a 满足，且对任意的正整数,m n 都有m n m n a a a +=⋅，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =
7．直线01=-+y x 被圆3)1(2
2=++y x 截得的弦长等于 。

8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为 。

9．过点(3,2)P 且与双曲线有相同渐近线方程的双曲线的标准方程为 . 10．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，若122010()8f x x x =，则22
12()()f x f x ++
22010()f x +的值等于 ． 11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知在棱1BB 上，且2BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则α为 .
12．已知数列}{n a 成等差数列,其前n 项和为n S ,若1713a a a π++=-,则13S 的余弦值为 .
13．如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .
14．给出下列命题： ①如果a ，b 是两条直线，且a //b ，那么a 平行于经过b 的任何平面； ②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③若直线a ，b 是异面直线，直线b ，c 是异面直线，则直线a ，c 也是异面直线； ④已知平面α⊥平面β，且α∩β＝b ，若a ⊥b ，则a ⊥平面β；
⑤已知直线a ⊥平面α，直线b 在平面β内，a //b ，则α⊥β.
其中正确命题的序号是 .
二、解答题
15．求()2320)3
1(027.0252lg 3.0lg 211000lg 8lg 27lg ---⨯+-++-+的值
16．如图是一个烟筒的直观图（图中单位：cm ），它的下部是一个四棱台（上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形）形物体；上部是一个四棱柱（底面与四棱台的上底面重合， C 1
B 1 A 1 B
D
C
A
侧面是全等的矩形）形物体．为防止雨水的侵蚀，增加美观，需要粘贴瓷砖，需要瓷砖多少平方厘米（结果精确到1cm 2）？
17．等比数列{}n a
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

18．设D 是△ABC 的BC 边上一点，把△ACD 沿AD 折起，使C 点所处的新位置C ′在平面ABD 上的射影H 恰好在AB 上.
(1)求证：直线C ′D 与平面ABD 和平面AHC ′所成的两个角之和不可能超过90°；
(2)若∠BAC =90°，二面角C ′—AD —H 为60°，求∠BAD 的正切值.
19．已知函数f (x )满足对任意实数x ，y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+xy +1,且f （－2）=80
－2.
（1）求f （1）的值;
（2）证明:对一切大于1的正整数t ，恒有f （t ）>t ;
（3）试求满足f （t ）=t 的整数的个数，并说明理由.
20．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，P 为1DD 的中点。

（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ；
（2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ；
（3）求证：直线1PB ⊥平面PAC 。

参考答案
1．-10
2
34
．5
5．2e 6
7．2
89
10
11．30.
12
1314．②⑤.
15．解：∵原式2lg )13(lg 2
1232lg 33lg 2
3+--+=+1+99100⨯12lg 23lg 32lg 63lg 3-+-+=+1+100 1
2lg 23lg )12lg 23(lg 3-+-+= +101=104 16．解:4408012800S =⨯⨯=棱柱侧（
cm 2），
cm 2）． 所以，需要瓷砖14330cm 2
．
17．解：（I ）设{}n a 的公比为q
由已知得3162q =，解得2q =
（Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则38b =，532b =
设{}n b 的公差为d ，则有1128432
b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩
从而1612(1)1228n b n n =-+-=-
所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222
n n n S n n -+-==- 18．解：(1)证明：连结DH ，∵C ′H ⊥平面ABD ，∴∠C ′DH 为C ′D 与平面ABD 所成
的角且平面C ′HA ⊥平面ABD ，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ⊥平面C ′HA .
故∠DC ′E 为C ′D 与平面C ′HA 所成的角
∵sin DC ′E
DC ′H
∴∠DC ′E ≤∠DC ′H ,
∴∠DC ′E +∠C ′DE ≤∠DC ′H +∠C ′DE =90°
(2)解：作HG ⊥AD ，垂足为G ，连结C ′G ,
则C ′G ⊥AD ，故∠C ′GH 是二面角C ′—AD —H 的平面角
即∠C ′GH =60°，计算得tan BAD
19．解：（1）令x =y =0，得f （0）=－1.
令x =y =－1，因f （－2）=－2，所以f （－1）=－2.
令x =1，y =－1，得f （0）=f （1）+f （－1），
所以f （1）=1. 4分
（2）证明：令x =1，得f （y +1）－f （y ）=y +2，
故当y ∈N 时，有f （y +1）－f （y ）>0.
由f （y +1）>f （y ），f （1）=1可知，对一切正整数y 都有f （y ）>0.
当y ∈N 时，f （y +1）=f （y ）+y +2=f （y ）+1+y +1>y +1.
故对一切大于1的正整数，恒有f （t ）>t . 9分
（3）解：由f （y +1）－f （y ）=y +2及（1）可知f （－3）=－1，f （－4）=1. 下面证明t ≤－4时，f （t ）＞t .
∵t ≤－4，∴－（t +2）≥2＞0.
∵f （t ）－f （t +1）=－（t +2）＞0，∴f （－5）－f （－4）＞0，
同理可得f （－6）－f （－5）＞0，f （t +1）－f （t +2）＞0，f （t ）－f （t +1）＞0. 将各不等式相加得f （t ）＞f （－4）=1＞－4.
∵t ≤－4，∴f （t ）＞t .
综上所述，满足条件的整数只有两个：1和－2.………… 14分
20．解：（1）设AC 和BD 交于点O ，连PO ， 由P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故PO//1BD ， 所以直线1BD ∥平面PAC --（4分）
（2）长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ， 底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD 又1DD ⊥面ABCD ，则1DD ⊥AC ， 所以AC ⊥面1BDD ，则平面PAC ⊥平面1BDD
（3）PC 2=2，PB 12=3，B 1C 2
=5，所以△PB 1C 是直角三角形。

1PB ⊥PC ， 同理1PB ⊥PA ，所以直线1PB ⊥平面PAC 。