人教B版选修1-2综合法和分析法(上课用)

成立.
已知a 0, b 0, 且a b 1, 求证： 1 1 a b 2 2 2
【巩固练习】 1、在ABC 中, 设CB a, CA b, 1 2 2 2 求证 : S ABC | a | | b | ( a b) 2
分析：由已知条件和结论我们联想到数量 积定义和三解形的面积公式：

4、 已 知 抛 物 线 y 2 2 px ( p 0) , 过 焦 点 的 弦 求 x1 x2 y1 y2 的 值 。
与抛物线交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 两 点 。
复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程.
合情推理得到的结论是不可靠的，
需要证明。数学中证明的方法有 哪些呢？
综合法 直接证明 证明的方法 分析法 间接证明（反证法）
2
a.b 2 b 1 （ ) a b 2 1 2 2 a b ( a.b ) 4
2
于是SABC
1 2 2 a b (a.b)2 2
求证：n n 1 n 1 n (n 1, n N * )
证明: 要证 n n 1 n 1 n 只需证 2 n n 1 n 1 只需证 4n 2n 2 n 2 1 即证 n n2 1 即证 n 2 n 2 1 即证 0 1 成立 0 1 显然 所以 n n 1 n 1 n
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对 应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差 数列，a、b、c成等比数列，
求证：△ＡＢＣ为等边三角形．
1 2 3 例3、求证： 2 log519 log3 19 log2 19
得到一个明显 成立的条件
3 7 2 5 例2 求 证证明:因为 3 7 和 2 5 都是正数, 3 7 2 5 所以要 证 只需证 ( 3 7 ) 2 (2 5) 2
展开得
只需证
10 2 21 20
21 5
21 25 只需 证 因为 21 25 成立,
所以
3 7 2 5
成立.
证法2 要证 只需证 只需证 只需证
n n 1 n 1 n
1 n n 1 1 n 1 n
n n 1 n 1 n
n 1 n 1
上式显然成立.
所以
n n 1 n 1 n
成立.
3、设在四面体 PABC中，ABC 90 , PA PB PC
证明: 因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
1、综合法(顺推法)(由因导果法) 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法也叫顺推法或由因导果法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证 a + b 2 ab 0
2 ( a b ) 0 只需证
因为 ( a b )2 0 成立
用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
a+b 所以 2
…
ab成立
Q P1 P1 P2 P2 P3

, D是AC的中点，求证： PD 平面ABC
P
A
D
C
B
练习:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
综合法和分析法
直接证明
1 概念
从原命题的条件或结论出发，根据已知的定义、
公理、定理，直接推得命题成立 2 直接证明的一般形式：
已知条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些 数学定义、定理、公理、性质等出发通过推 理导出所要的结论。 例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
1 S absin C 2 利用sin C 1 cos C
2
由数量积定义和上公式结合结论探求证 明思路
a.b 证明：因为SABC 1 a b sin C， cos C 2
所以S 1 a 4 1 a 4
2 ABC 2
ab
1 a 4
2
b
2
sin 2 C
2
b（ 1 co s2 C）
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
【巩固练习】
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b ) 16ab
2 2 2
4
4
3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
2.分析法.(逆推法)(执果索因法)
从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公 理等).这种证明的方法叫做分析法.
ab 例如 : 证明不等式: ab . 2
证明: 因为;( a b ) 0
2
a+b ab 证明:要证 2 只需证 a + b ห้องสมุดไป่ตู้2 ab