专题复习：2012届重庆中考复习第24题训练一

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中考数学复习专题24：圆的有关计算(含中考真题解析)

专题24 圆的有关计算☞解读考点知识点名师点晴弧长和扇形面积弧长公式会求n°的圆心角所对的弧长扇形面积公式会求圆心角为n°的扇形面积圆锥侧面积计算公式能根据公式中的已知量求圆锥中的未知量☞2年中考【题组】1．（河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2【答案】A．【解析】试题分析：这张扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．考点：圆锥的计算．2．（凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．考点：圆锥的计算．3．（德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A ．考点：圆锥的计算．4．（宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【答案】B．考点：圆锥的计算．5．（苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．433π-B ．4233π-C ．3π-D ．233π-【答案】A ．【解析】试题分析：过O 点作OE ⊥CD 于E ，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O 的半径为2，∴OE=1，CE=DE=3，∴CD=23，∴图中阴影部分的面积为：2120211233602⋅π⋅-⨯⨯=433π-．故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．切线的性质．6．（成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（）A ．2，3πB ．23，πC ．3，23πD ．23，43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．7．（甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．8．（攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A 239π439πC．29πD．49π【答案】D．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 9．（自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（）A ．2πB ．πC ．3πD ．32π【答案】D ．【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），故S △OCE=S △ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S 扇形OBD=2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 10．（达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π 【答案】B ．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．11．（德阳）如图，已知⊙O 的周长为4π，AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A ．2π-B ．3π-C ．πD ．2 【答案】A ．考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．12．（梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）A．95 B．185 C．365 D．725【答案】B．【解析】试题分析：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．∵MN的半圆的直径，∴∠MDN=90°．在Rt△MDN中，MN2=MD2+DN2，∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．∴阴影部分的面积=△DMN的面积．在Rt△AOD中，OD=22AD AO+=2263+=35，∴阴影部分的面积=△DMN的面积=12MN•AD=16562⨯⨯=185．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理；3．综合题．13．（咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小【答案】C．考点：1．扇形面积的计算；2．定值问题；3．综合题．14．（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA ：O1A1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB ∽△A1O1B1；③11ABk A B ；④扇形AOB 与扇形A1O1B1的面积之比为2k ．成立的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压轴题．15．（邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π 【答案】D ．【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是： 0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型． 16．（北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．【答案】2．考点：圆锥的计算．17．（贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．【答案】15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为：15π．考点：圆锥的计算．18．（庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．【答案】2π．【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴2，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2×12×4π×2282π．故答案为：82π．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．19．（贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．【答案】2512 4π+．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．20．（天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．【答案】4π．考点：1．弧长的计算；2．等边三角形的性质；3．综合题．21．（河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．【答案】3 122π+．【解析】试题分析：连接OE、AE ，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=2602360π⨯=23π，S扇形ABO=2902360π⨯=π，S扇形CDO=2901360π⨯=14π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=121(13)432πππ---⨯⨯=3122π+．故答案为：3122π+．考点：扇形面积的计算．22．（烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．【答案】62．考点：圆锥的计算．23．（乐山）如图，已知A （23，2）、B （23，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（﹣2，23）的位置，则图中阴影部分的面积为．【答案】34π．【解析】试题分析：∵A （232）、B （23，1），∴OA=4，13，∵由A （232）使点A 旋转到点A′（﹣2，23），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，''OB C OBC S S ∆∆=，∴阴影部分的面积等于S 扇形A'OA ﹣S 扇形C'OC=22114(13)44ππ⨯-⨯=34π，故答案为：34π．考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．24．（镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【答案】（1）作图见试题解析；（2）15 8．试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．25．（宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）26.6°．（2）连接EO1，如图所示，∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO=2142EOOA==，则∠EAO≈26.6°．考点：1．圆锥的计算；2．圆柱的计算；3．作图-三视图．26．（玉林防城港）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的判定；3．扇形面积的计算；4．综合题．27．（扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）53π或133π或233π．【解析】试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有三种情况，即：①当∠AOQ=∠AOC=50°时；②当∠BOQ=∠AOC=50°时；③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时；分别求得点Q所经过的弧长即可．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．分类讨论；4．综合题；5．轨迹．【题组】1．（·扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.1.0 B．2.0 C.3.0 D.4.0【答案】B．【解析】试题分析：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，∴22S S S10.510.250.215ππ=-=-⋅=-≈阴影正方形圆．∵0.215最接近0.2，∴阴影部分的面积与下列各数最接近的是0.2故选B．考点：1．圆和正方形的面积；2．无理数的大小估计；3．转换思想的应用．2．（·金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5:4 B．5:2 C52 D52【答案】A．故选A．考点：1．等腰直角三角形的判定和性质；2．勾股定理；3．扇形面积和圆面积的计算．3．（·辽宁省本溪市）底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．20π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，故选B．考点：圆锥的计算．4．（·山东省莱芜市）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．12R C3R D．32R【答案】D．【解析】试题分析：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=12R2213()22R R-=．故选D．考点：圆锥的计算．5．（·贵州安顺市）已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A ． 30°B ． 60°C ．90°D ．180°【答案】D ．考点：圆锥的计算．6．（湖南衡阳市）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 【答案】C ．【解析】试卷分析：12012180rππ=，解得：r=18．故选C ．考点：圆的计算．7．（南京）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 cm ．【答案】6．【解析】试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ=，∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=．又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l4l 6180cm ππ⋅⋅=⇒=．考点：圆锥和扇形的计算． 8．（·呼和浩特）一个底面直径是80cm ，母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．【答案】1600．考点：圆锥的计算．9．（·潍坊）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】233π-．【解析】试题分析：如图，连接O1O2，过点O1作O1H ⊥AO2于点H ，由题意可得：AO1=O1O2=AO2=3，∴△AO1O2是等边三角形．∴11233HO O O sin60322=︒=⋅=．∴()12122AO O AO O 6031333S 3S 223,2460ππ∆⨯=⨯⨯===扇形．∴12212AO O AO AO O 33S S S 24π∆=-=-弓形扇形．∴图中阴影部分的面积为：33423324ππ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．考点：1．扇形面积的计算；2．等边三角形的判定和性质；3．相交两圆的性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值；6．转换思想的应用． 10．（·重庆A ）如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】4433π-．考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质；3．含30度角的直角三角形的性质；4．勾股定理；5．扇形面积的计算；6．转换思想的应用．☞考点归纳归纳 1：弧长公式基础知识归纳：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180n r l π=注意问题归纳：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【例1】在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则AB 的长等于（）A ．3πB ．2πC ．23πD ．32π【答案】C ．考点：弧长的计算．归纳 2：扇形面积基础知识归纳：扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇注意问题归纳：其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长．【例2】如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm²【答案】4．【解析】试题分析：设围成扇形的角度为n ，∵将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，∴围成扇形的弧长为4cm ．∴根据弧长公式，得n 23604n 180ππ⋅⋅=⇒=，∴根据扇形面积公式，得()223602S 4cm 360π⋅⋅==．考点：扇形的计算．归纳 3：圆锥的侧面积基础知识归纳：圆锥的侧面积：122S l r rlππ=•=，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径．注意问题归纳：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．【例3】一个圆锥的高为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（） A ． 12πcm2 B ．15πcm2 C ．20πcm2 D ．30πcm2考点：圆锥的计算．归纳 4：阴影部分面积基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例4】如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．π-．【答案】24考点：扇形面积的计算．☞1年模拟1．（湖北省宜昌市兴山县校级模拟）劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π【解析】试题分析：底面圆的半径为10cm ，则底面周长=20πcm ，侧面面积=π×10×50=500πcm2．故选B ．考点：圆锥的计算．2．（湖北省广水市校级模拟）如图，圆锥体的高h=2cm ，底面半径r=2cm ，则圆锥体的全面积为（）cm2．A ．4π B ．8π C ．12π D ．（4+4）π【答案】C ．【解析】试题分析：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，因为底面半径为2cm 、高为23cm ，所以圆锥的母线长为4cm ，即可求得侧面面积=12×4π×4=8π；底面积为=4π，所以全面积为：8π+4π=12πcm2．故选C ．考点：圆锥的有关计算．3．（山东省高密市模拟考试）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是（）A ．210cmB ．210cm π C ．220cm D ．220cm π 【答案】B ．考点：1．圆锥的侧面展开图；2．扇形的面积计算．4．（山东省新泰市模拟考试）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A ．77π338-B ．47π338+C ．πD ．4π33+【答案】C ．【解析】试题分析：连接BH ，BH1，∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH ≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()22360132********BH BC πππ=⨯-=-．故选C ．考点：扇形面积的计算．5．（江苏省兴化顾庄等三校校级模拟）若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m ，母线长为2.5m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是 m2．【答案】154π．考点：圆锥的计算．6．（河南省三门峡市模拟考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，分别以A 、C 为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为．【答案】24-254πcm2．【解析】试题分析：如图：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=2286+=10cm，△ABC的面积是：12AB•BC=12×8×6=24cm2．∴S阴影部分=12×6×8-2905360π⨯=24-254πcm2,故阴影部分的面积是：24-254πcm2．考点：扇形面积的计算．7．（湖北省武汉市校级模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（-2，3）、B（-1，2）、C（-3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）求点A经过的路径弧AA1的长度；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并直接写出D点坐标．【答案】（1）图形详见解析；（2132；（3）（0，53）．试题解析：解：（1）如图如下：考点：作图—旋转变换；待定系数法求解析式；弧长公式．8．（广东省中山市校级模拟）如图，AB是的直径，点D在上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）、判断直线CD 与的位置关系，并说明理由；（2）、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）、相切；（2）、324．【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据OA=OD，∠ODA=45°得出∠AOD=90°，根据CD∥AB 得出∠ODC=90°，从而说明切线；（2）、首先求出梯形OBCD的面积，然后利用梯形的面积减去扇形OBD的面积求出阴影部分的面积．考点：切线的判定、扇形的面积计算．9．（山东省博兴县校级模拟）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）6π．【解析】试题分析：（1）连接OC交BD于点E，根据∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根据AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根据OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的长度，然后计算出BD的长度；（3）根据△OBE和△CDE全等，将阴影部分的面积转化成扇形OBC的面积，然后根据扇形的面积计算公式进行求解．试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于点E．∵∠CDB=∠OBD=30°∴∠COB=60°，∠OEB=90°∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90°∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切线．（2）∵∠OEB=90°，∠OBD=30°∴OC⊥BD，321==OB OE∴BE=DE=33273622==-∴362==DEBD（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°，BE=DE，∴△OEB≌△CED∴ππ63606602=⋅==OBCSS扇形阴影考点：切线的判定、垂径定理、扇形的面积计算．10．（山东省高密市模拟考试）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）16433π-．考点：1．切线的证明；2．勾股定理；3．特殊角的三角函数值；4．扇形的面积计算．。

重庆中考数学第24题专题训练

2015年重庆中考数学第24题专题讲义1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。

（1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。

24.(1)AB=45(2) 证明在正方形ABCD中易证RT△CDF≅RT△DAE∴∠DGE=∠DAE=RT∠∴∠EGC=∠EBC=RT∠∴∠EGC+∠EBC=180°∴B、C、G、E四点共圆∠AED=∠BCG连EC，∴∠BGC=∠BEC因为BE=EA BC=AD∴RT△BCE≅RT△ADE∴∠AED=∠BEC∴∠BGC=∠AED∴∠BGC=∠BCG∴BG=BC又因为BH平分∠GBC∴BH是GC的中垂线∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5∴GH=DG∴△DGH是等腰直角三角形即：DE－HG＝EG。

2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC.(1)若AB=13，CF=12，求DE的长度；(2)求证：13DCM DMF∠=∠.GHFEDCBAMFED CBA第24题4321MFE DCBAB第24题图24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥=∴5DF ==又∵F 为DE 中点∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠在CDM CEB ∆∆和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴CDM CEB ∆≅∆ ∴34∠=∠又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠∴123DMF ∠=∠ 即13DCM DMF ∠=∠ ……10′3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ．（1）若︒=∠30CBE ，3=AG ，求DH 的长度；（2）证明：DF AH BE +=．24: ∵ABCD 是正方形∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90°∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE ,∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB∴AB =AG =3 2分又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH =33AB =1 3分又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB∴DH =3—1 4分（2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形∴AD =BC ,∠ADC =∠C =90° ∴∠ADF =∠C ∵AF ∥BE ∴∠F =∠BEC ∴△ADF ≌△BCE∴DF =CE6分又由旋转可知：AH =CM ,∠AHB =∠M ,∠BAH =∠BCM =90° ∵∠BCD =90°∴∠BCD +∠BCM =180°∴点E 、C 、M 在同一直线。

2012级重庆名校中考模拟试题第24题专题训练含答案

新世纪教育网精选资料版权全部 @新世纪教育网2012 年轻云实验中学数学中考模拟卷（二）一．选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相应地点上） 12， 22，0.101001，4中，无理数的个数是（ ▲ ）．在实数7A ．0 个B ．1个C ．2 个D ．3 个2．以下各式计算正确的选项是（ ▲ ）A ． (－1)0－ ( 1)-1＝－ 3B ． 2352C ． 2a 2 4a 26a 4D ． (a 2 )3 a 63．苏州市高度重视科技创新工作，全市科技投入从 “十一五 ”早期的 3.01 亿元，增添到 2011 年的 7.48 亿元．请将 7.48 亿用科学记数法（保存两个有效数字）记为（ ▲ ）A ． 7.48 108B ． 7.4 108C ． 7.5 108D ． 7.5 1094．以下说法正确的选项是（ ▲ ）A 、一个游戏的中奖率是1％，则做 100 次这样的游戏必定会中奖B 、为认识某品牌灯管的使用寿命，能够采纳普查的方式C 、一组数据 6、 8、 7、 8、 9、 10 的众数和均匀数都是 82=0． 05，乙组数据的方差S 乙 2D 、若甲组数据的方差 S 甲 =0． 1，则乙组数据比甲组数据稳固5．已知方程 x 2－ 5x ＋ 2＝0 的两个解分别为x 1、x 2，则 2x 1－ x 1x 2＋ 2x 2 的值为（ ▲ ）A ．8B ．－ 12C ． 12D ．－ 86．以下命题中，正确命题的序号是（ ▲ ） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形②一组邻边相等的平行四边形是正方形③对角线相互垂直且相等的四边形是菱形④任何三角形都有外接圆，但不是全部的四边形都有外接圆A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7.若对于 x 的一元二次方程 nx 22x 1 0 无实数根，则一次函数 y (n 1)xn 的图象不经过（ ▲）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．如图，是张老师出门漫步时离家的距离 y 与时间 x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师漫步行走的路线可能是（ ▲ ）yOxBCDA9．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（ ▲ ）2222A ．85π cmB ． 90π cmC ．155 π cmD ． 165 π cm10．如图 9．如图，点 A ， B 的坐标分别为（ 1, 4）和（ 4, 4） ,抛物线 y a(x m) 2 n 的极点在线段 AB上运动，与 x 轴交于 C 、 D 两点（ C 在 D 的左边），点 C 的横坐标最小值为3 ，则点 D 的横坐标最大值为（▲）．．．．A 1B 5C 8D 11新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网二、填空11. ．已知3a 1b 1 0 ， a2b2009_______12.一个十字路口的交通讯号灯每分灯亮30 秒，灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒．当你抬看信号灯，是灯的概率是▲．13．如，在平行四形ABCD 中， AE ⊥BC 于 E，AF ⊥ CD 于 F，∠ EAF=45 o，且 AE+AF = 2 2 ，平行四形ABCD 的周是▲．14．已知正比率函数y1x，反比率函数y21 ，由y1、y2结构一个新函数y x1，其象如所示．（因x x其象似双，我称之“双函数”）．出以下几个命：① 函数的象是中心称形；②当 x 0 ，函数在x 1 获得最大- 2；③ y 的不行能1；④在每个象限内，函数y 随自量 x 的增大而增大．此中正确的命是▲．（写出全部正确的命的序号15．在△ ABC 中， AB＝ 6， AC ＝8， BC＝ 10， P BC 上一点， PE⊥ AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M EF 中点，AM 的最小▲．16．如，在平面直角坐系中，一棋子从点P开始挨次对于点 A ， B， C 作循称跳，即第一次跳到点P 对于点 A 的称点M ，接着跳到点M 对于点 B 的称点N ，第三次再跳到点N 对于点C 的称点，⋯，这样下去．第2012 次跳以后，棋子落点的坐▲．yy2B-1O 1xO C- 2xA第 15P第 1418第 1617.如△ ABC 与 O 的重叠情况，此中 BCO 之直径．若∠A＝，BC＝2，中灰色地区的70°面▲．(果保存)18．如，一次函数 y＝—3x＋ 1 的象与 x 、 y 分交于点A、 B，以段 AB 在第一象限内3作正方形 ABCD ，在第二象限内有一点P(a，1△ ABP＝ S正方形 ABCD， a 的▲)，足 S新世纪教育网精选资料版权全部 @新世纪教育网三．解答题19．（ 5 分）计算： 1222165 1 + cos 45 ．24x 3，x20．（ 5 分）解不等式组x4 x 2 ≤ 1并把解集在数轴上表示出来，26321．（ 5 分）先化简，再求值：11 x22x 1，此中 x2 1．x2x 2422．（6 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， G 是边 AB 上的一点，过点 G 作 GE ∥ DC 交 BC边于点 E ， F 是 EC 的中点，连接 GF 并延伸交 DC 的延伸线于点H ．求证： BG CH ．A DGBECFxx(2k3)x kH23 ．（ 6分）对于的一元二次方程22有两个不相等的实数根、1．（）求 k 的取值范围；（ 2）若6，求 () 2 35 的值24．（6 分）依据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的 400 万人增添到第六次的 450 万人，常住人口的学历情况统计图以下（部分信息未给出）：第五次人口普查中某市常住人口第六次人口普查中某市常住人口学历情况扇形统计图学历情况条形统计图人数（万人）大学 3%新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网解答以下问题：（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图增补完好；（2）第六次人口普查结果与第五次对比，该市常住人口中高中学历人数增添的百分比是多少？25.（ 7 分） 6 张不透明的卡片，除正面画有不一样的图形外，其余均同样，把这 6 张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，此外还有与卡片上图形形状完好同样的地板砖若干块，全部地板砖的长都相等。

2012年重庆市中考真题及答案

重庆市2012年初中毕业暨高中招生考试数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答．2. 作答前认真阅读答题卡（卷）上的注意事项．3. 考试结束，由监考人员将试题和答题卡（卷）一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内）． 1．在31--，，0，2这四个数中，最小的数是（）（A ）3- （B ）1- （C ）0 （D ）2 2．下列图形中，是轴对称图形的是（）(A) (B) (C) (D) 3．计算2()ab 的结果是（）（A ）2ab （B ）2a b （C ）22a b （D ）2ab4．已知：如图，OA OB ，是O ⊙的两条半径，且OA OB ⊥，点C 在O ⊙上，则ACB ∠的度数为（）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）20 5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）（A ）调查市场上老酸奶的质量情况（B ）调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命（C ）调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品（D ）调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率6．已知：如图，BD 平分ABC ∠，点E 在BC 上，EF AB ∥.若100CEF =∠，则ABD ∠的度数为（）（A ）60 （B ）50 （C ）40 （D ）307．已知关于x 的方程290x a +-=的解是2x =，则a 的值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 8．2012年“国家攀岩比赛”在重庆举行.小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为S .下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是（）9．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）（A ）50 （B ）64 （C ）68 （D ）72 10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示对称轴为12x =-.下列结论中，正确的是（）（A ）0abc > （B ）0a b += （C ）20b c +> （D ）42a c b +< 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上．11．据报道，2011年重庆主城区私家车拥有量近380000辆，将数380000用科学记数法表示为____________．12．已知ABC DEF △∽△，ABC △的周长为3，DEF △的周长为1，则ABC △与DEF △的面积之比为_____________． 13．重庆农村医疗保险已经全面实施.某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20，24，27，28，31，34，38，则这组数据的中位数是__________．14．一个扇形的圆心角是120，半径为3，则这个扇形的面积为_________（结果保留π）. 15．将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是___________.16．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4)k -张，乙每次取6张或(6)k -张（k 是常数，04k <<）.经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有_________张. 三、解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上.172020121()5(1)3-⎛⎫π-2--+-+ ⎪⎝⎭.18．已知：如图，AB AE B E =，∠1=∠2，∠=∠.求证：BC ED =.19．解方程：2112x x =--．20．已知：如图，在Rt ABC △中，BAC ∠=90，点D 在BC 边上，且ABD △是等边三角形.若2AB =，求ABC △的周长.（结果保留根号）四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上. 21．先化简，再求值：2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，其中x 是不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的整数解．22．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于一、三象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为(2)m ，，点B 的坐标为(2)n ，，tan BOC 2∠=5.（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得BCE △与BCO △的面积相等，求出点E 的坐标.23．高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：（1）该校近四年保送生人数的极差是________.请将折线统计图补充完整；（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进入高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.24．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME CD ⊥于点E ，∠1=∠2．（1）若1CE =，求BC 的长；（2）求证AM DF ME =+．五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上. 25．企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量1y （吨）与月份(1x x x ≤≤6,且取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量2y （吨）与月份(7x x x ≤≤12,且取整数）之间满足二次函数关系式为22(0)y ax c a =+≠．其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：1z （元）与月份x 之间满足函数关系式：112z x =，该企业自身处理每吨污水的费用：2z （元）与月份x 之间满足函数关系式：2231412z x x =-.7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数有关知识，分别直接写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W （元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a %，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(30)a -%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值．15.220.528.4）26．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，263.A D B C B A D B C A B ===∥，∠=90，，，E为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧.（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B EFG '，当点E 与点C 重合时停止平移，设平移的距离为t ，正方形B EFG '的边EF 与AC 交于点M ，连接B D B M DM ''，，，是否存在这样的t ，使BDM '△是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B EFG '与ADC △重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系以及自变量t 的取值范围．重庆市2012年初中毕业暨高中招生考试数学试题参考答案及评分意见二、填空题：11．53.810⨯ 12．9:1 13．28 14．3π 15．1516．108 三、解答题：17．解：原式=2+1-5+1+9 ····································································· （5分） =8. ················································································· （6分） 18．证明：∠1=∠2,BAD BAD ∴=∠1+∠∠2+∠.即BAC EAD ∠=∠. ································· （2分）又AB AE B E =，∠=∠，ABC AED ∴△≌△. ·········································································· （5分） BC ED ∴=.19．解：2(2) 1.x x -=- ···································································· （2分） 24 1.x x -=- ···································································· （4分） 3.x = ······································································ （5分）经检验，3x =是原方程的解，所以原方程的解是3x =. ····························· （6分） 20．解：ABD △是等边三角形，B ∴∠=60. 在Rt BAC △中，cos ,tan AB ACB B BC AB==， 24,cos cos60AB BC B ∴=== ······························································· （2分） tan 2tan 6023AC AB B =∙== ···················································· （4分）ABC ∴△的周长为：246AB BC AC ++=++=+·················· （6分）四、解答题： 21．解：原式=2342(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++-÷⎢⎥-+-+-⎣⎦ ··························· （3分） =22(1)(1)(1)2x x x x x +-∙-++ ·················································· （5分）=1.1x x -+ ······································································· （6分）解不等式组4025 1.x x +>⎧⎨+<⎩，得42x -<<-. ·················································· （8分）x 为整数，3x ∴=-. ······································································· （9分）当3x =-时，原式=31231--=-+. ··························································· （10分） 22．解：（1）过点B 作BD x ⊥轴于点D.点B 的坐标为(2)2n BD -∴=，，. 在Rt BDO △中，tan BDBOC OD=∠， 2tan 5.5BOC OD OD ∴=∴=2∠=， ······················································ （1分）又点B 在第三象限，∴点B 的坐标为(5,2).-- ······································ （2分）将(5,2)B --代入k y x =，得210.5kk -=∴=-， ······································· （3分） ∴该反比例函数的解析式为10y x=. ······················································· （4分）将点(2)A m ，代入10y x =，得1052m ==，(25).A ∴，····························· （5分）将(25)A ，和(52)B --，分别代入y ax b =+，得 255 2.a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得13.a b =⎧⎨=⎩，·································································· （6分） ∴该一次函数的解析式为 3.y x =+························································ （7分）（2）在3y x =+中，令0y =，即30 3.x x +=∴=-，∴点C 的坐标为(3,0) 3.OC -∴=， ························································ （8分）又在x 轴上有一点E （O 点除外），BCE BCO S S =△△,3CE OC ∴==，················································································ （9分） 6(60).OE E ∴=∴-，， ······································································· （10分）23．解：（3）5. ·················································································· （2分）补图如下：··················································································· （6分）（2）由（1）知该校2009年保送生中共有4位同学，除去1位女同学外，还有3位男同学，记这3位男同学分别为123A A A ，，，这位女同学为B ，画树状图如下：······································································································· （8分）或列表：······································································································· （8分）由树状图或列表可知，共有12种等可能情况，其中是1位男同学和1位女同学的有6种.所以，所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率61.122P == ····· （10分） 24．解：四边形ABCD 是菱形，∴ BC CD DAC DCA ACB =，∠1=∠=∠=∠. .DCA ∴∠1=∠2，∠2=∠.DM CM ∴= ·············································································· （1分）又1ME CD CE ⊥=，， 2 2.CD CE ∴== ········································································· （2分） 2.BC CD ∴== ··········································································· （3分）（2）证明：延长AB 和DF 相交于点G .············································ （4分）F 为BC 的中点，22.2.BC CF BF CD CE BC CD CE CF ∴====∴=，，又ECM FCM CM CM =∠=∠，， CEM CFM ∴△≌△..ME MF ∴= ·········································································· （6分）四边形ABCD 是菱形， .AB CD G ∴∴∥,∠2=∠ 又DFC GFB CF BF ∠=∠,=,DCF GBF ∴△≌△..DF GF ∴= ·········································································· （8分） ,G ∠2=∠∠1=∠2,.G ∴∠1=∠ .AM GM ∴= ········································································· （9分） MG GF MF DF GF ME MF =+==，，，.AM DF ME ∴=+ ······························································· （10分）五、解答题： 25．解：（1）112000(1y x x x=≤≤6，且取整数）. ································ （1分） 2210000(7y x x x =+≤≤12，且取整数）. ··········································· （2分）（2）当1x x ≤≤6，且取整数时，211121************(12000)(12000)()2412W y z y z x x x x x =∙+-∙=∙+-∙- =21000100003000.x x -+- ····························································· （3分）10000512ba x x a=-<=-=，，≤≤6，5x W ∴=最大当时，=22000（元）. ······················································· （4分）当7x x ≤≤12，且取整数时，22222(12000) 1.52(1200010000) 1.5(10000)W y y x x =⨯-+=⨯--+⨯+ =2119000.2x -+ ················································································ （5分） 10022b a x a=-<=-=，，当7x W x ≤≤12时，随的增大而减小. 718975.5x W ∴==最大当时，（元）.2200018975.5>，∴去年5月份用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元. ···················· （6分）（3）由题意，得12000(1%) 1.5[1(30)%](150%)18000.a a +⨯⨯+-⨯-= ·························· （8分）设%t a =，整理，得21017130t t +-=.解得t = 1809t t ∴2≈28.4，≈0.57，≈-2.27（舍去）.a ∴≈57.答：a 的整数值为57. ········································································ （10分）26．解：（1）如答图①，设正方形BEFG 的边长为x ，则.BE FG BG x ===36AB BC ==，， 3.AG AB BG x ∴=-=-AGF ABC △∽△，3..36AG GF x x AB BC -∴==即 ··································································· （1分）解得2 2.x BE ==，即 ········································································ （2分）（2）存在满足条件的t ，理由如下：如答图②，过.D DH BC H ⊥作于点则2 3.BH AD BH AB ====，由题意，得24BB HE t HB t EC t ''===-=-，，，在Rt B ME '△中，222222112(2)28.24B M ME B E t t t ''=+=+-=-+ MEC ABC △∽△， 4.36ME EC ME t AB BC -∴==，即 12.2ME t ∴=- 在Rt DHB '△中，2222223(2)413.B D DH B H t t t ''=+=+-=-+过M 作MN DH ⊥于点N . 则122MN HE t NH ME t ====-，， 113(2) 1.22DN DH NH t t ∴=-=--=+ 在Rt DMN △中，22225 1.4DM DN MN t t =+=++ （Ⅰ）若DB M '∠=90，则222DM B M B D ''=+，即222511(28)(413).44t t t t t t ++=-++-+解得20.7t = ·························· （4分）（Ⅱ）若B MD '∠=90，则222B D B M MD ''=+，即22215413(28)(1).44t t t t t t ++=-++++解得1233t t =-=-03t t ∴=-≤≤4， ································································ （6分）（Ⅲ）若B DM '∠=90，则222B M B D MD ''=+，即2221528(413)(1).44t t t t t t -+=-++++ 此方程无解. ······················································································· （8分）综上所述，当2037t =-或时，B DM '△是直角三角形. （3）①如图③，当F 在CD 上时，:EF DH CE CH =:,即8842362.333CE t BB BC B E EC CE ''∴=∴==--=--=，，:=:4 112.22ME t FM t =-∴=，当0t 4≤≤3时，2111.224FMN S S t t t ==⨯⨯=△ ······································ （9分） ②当G 在AC 上时，2t =.33tan (4)344DH EK EC DCB EC t t CH =∙=∙=-=-∠, 32 1.4FK EK t ∴=-=- 244.333NL AD FL t ==∴=-， ∴当43t ≤≤2时， 22114312()(1).423483FMN FKL S S S t t t t t =-=---=-+-△△ ···················· （10分） ③如图⑤，当G 在CD 上时，:B C CH B G DH ''=:，即423B C '=::,解得：83B C '=，242.3EC t B C '∴=-=-= 10.3t ∴= 111(6)3222B N BC t t ''==-=-， 112GN GB B N t ''=-=-， ∴当2t <10≤3时， 111143*********FKL GNMF S S S t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-+--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△梯形 2352.83t t =-+- ··········································································· （11分） ④如图⑥，当103t <≤4时， 333311(6)(4)(6)444422B L BC t EK EC t B N B C t ''''==-==-==-，，， 11(4)22EM EC t ==-. 15.22MNLK B EKL B EMN S S S S t ''==-=-+梯形梯形梯形 ···································· （12分）综上所述：当0t 4≤≤3时，21.4S t = 当43t ≤≤2时，212.83S t t =-+-。

重庆2012数学中考题的24、25、26题

24．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）26．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC 交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．24．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．25．解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入得：，解得：，故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1•x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2），=﹣1000x2+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元），当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），=﹣x2+1900，∵a=﹣＜0，x=﹣=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：t=，∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，答：a的值是57．26．解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．。

课标版数学中考第二轮专题复习-24频率与概率(含答案)

1.数据的收集方法：普查：为一特定目的而对所有考察对象的全面调查抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作调查2.事件的判断：确定事件，必然事件。

3概率的意义的说法正确性，简单的概率的计算，概率的计算的两种方法（列表法，画数状图法）4游戏的公平与不公平问题。

一、选择题1.【05内江】以上说法合理的是（）A 、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%B 、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6C 、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖。

D 、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51。

2.【05内江】一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（） A 、28个 B 、30个 C 、36个 D 、42个3.【05杭州】有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”, “08”和“北京”的字块,如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”,则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是:A.16 B.14 C.13 D.124.【05丽水】如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是（A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）05.【05温州】在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是( )A 、311B 、811C 、1114D 、3146.【05十堰课改】在100张奖卷中，有4张中奖，小红从中任抽1张，他中奖的概率是A 、14 B 、120 C 、125D 、1100 7.【05宜昌】有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4，5，6，7，8，9．若将这六张牌背面朝上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是9的概率为A.23 B. 12 C. 13 D. 168.【05南京】随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）（第11题）A 、41 B 、21 C 、43 D 、19.【05泰州】下列说法正确的是A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大.B ．为了了解泰州火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用普查的方式进行.C ．彩票中奖的机会是1%，买100张一定会中奖.D ．泰州市某中学学生小亮，对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出泰州市拥有空调家庭的百分比为65%的结论.10.【05南通海门】下列事件中，是确定事件的是A ．明年元旦海门会下雨B ．成人会骑摩托车C ．地球总是绕着太阳转D ．去北京要乘火车11.【05苏州】如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。

重庆市2012年中考数学试题及答案

2012年重庆市中考数学试卷一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ．B ．C ．D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑（或将正确答案的代号填人答题卷中对应的表格内）.1．（2012重庆）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（）A ．﹣3B ．﹣1C ．0D ．2考点：有理数大小比较。

解答：解：这四个数在数轴上的位置如图所示：由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3．故选A ．2．（2012重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．考点：轴对称图形。

解答：解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B ．3．（2012重庆）计算()2ab 的结果是（）A ．2abB ．b a 2C ．22b aD ．2ab考点：幂的乘方与积的乘方。

解答：解：原式=a 2b 2．故选C ．4．（2012重庆）已知：如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°考点：圆周角定理。

解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=45°．故选A．5．（2012重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A．调查市场上老酸奶的质量情况B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率考点：全面调查与抽样调查。

解答：解：A、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；C、事关重大的调查往往选用普查；D、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查．故选C．6．（2012重庆）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°考点：平行线的性质；角平分线的定义。

2012中考数学第24题专题训练

2012年中考数学专题24题训练（黄石地区）1. 如图△ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB,D 为BC 上的动点，若BD=n CD ，AF ⊥AD 交AD 于E 、AC 于F 。

⑴如图1，若n =3时，则AC AF = ⑵如图2，若n =2时，求证：AE DE 32⑶当n = 时，AE=2DE2、如图（1）,在直角△ABC 中, ∠ACB=90 ,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G,EF ⊥BE 交AB 于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是证明:(2) 如图（3）,当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是证明(3) 如图（1）,当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 (写出关系式,不必证明)3、已知：△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC ＝45°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，求证：FG ＋DC ＝AD ；（2）如图 2，若∠ABC ＝135°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系是；（3）在（2）的条件下，若AG ＝25，DC ＝3，将一个45°角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M 、N 两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P 、Q 两点，若NG ＝23，求线段PQ 的长．图3图2图1F A B E D CF A B E D C F E D C BA4、已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ．(1) 求证：BF ∥AC ； (2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM ；(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．5、已知,如图:∠ABC=60°的菱形ABCD 和等边三角形△BMN 有公共顶点B,连结DM,取DM 的中点G,连CG,NG(1). 如图(1),当BN 在BC 边上时,证明:C G ⊥NG(2).如图(2), 当BM 在AB 延长线上时,求证G(3). 如图(3),DM 交BC 于点E,当AB=2BM=3时,直接写出ME 的长为 .G N M D C B A G N M D C B A G N M E D C B A。

重庆市2012年中考综合训练题一

3题图D C 重庆市2012年中考模拟训练题（一）一、选择题:（本大题10个小题,每题4分，共40分） 1．4的倒数是（） A ．4 B ．41C ．－4 D. 2 2．计算32x x 3⋅的结果是( )A ．xB ．3xC ．53xD ．63x 3．如图，已知直线//AB CD ，115C ∠=，25A ∠=，则∠E 等于（） A ．70B ．80C ．90D ．1004．下列图形中,既不是轴对称图形,也不是中心对称图形的是（）、 5.不等式组⎩⎨⎧<+≥-512,01x x 的解集是（）A ．21<≤xB ．1≥xC ．2<xD ．21<≥x x 或2x ≠ 6. 如图，⊙O 的弦AB =8，C 是AB 的中点，且OC =3，则⊙O 的半径等于( )A ．8B ．5C ．10D ．4 7．下列事件是必然事件的是（）A.将3个苹果分给两个人，一定有一个人得2个苹果B. 抛一枚硬币，正面一定朝上C. 某人经过一号桥交通信号灯的路口，恰好遇到红灯D．在2012年奥运会上,刘翔一定会获得100米栏冠军 8．10.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出摆第7个小房子需要用石子( )A ．60颗B ．66颗C ．77颗D ．88颗9．时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．在运行过程中，时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化，设时针与分针的夹角为y （度），运行时间为t （分），当时间从12：6题图C B A O ·14题图00开始到12：30止，y 与t 之间的函数图象是（）10．已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，下列结论：① 0>++c b a ；② 0<+-c b a ；③ 0<abc ④ b a =2 其中正确的结论有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）11.2011年7月28日，重庆从沙坪坝到较场口的轨道交通1号线举行通车仪式.据悉，重庆轨道交通1号线全长15000米，将数15000用科学记数法表示为 . 12.分式方程xx -=+1211的解为________ . 13.在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则ACAF= ．14.如图，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积是 .15.在平面直角坐标系中，顺次连接点)1,3()1,3()3,1()3,1(----D C B A 所得到的四边形ABCD 内（包括边界）的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）中任取一点，则该点横、纵坐标之和为零的概率是 .16. 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，每台抽水机的工作效率相同，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台. 三、解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分） 17．计算：02)53(12232)21(-+-⨯-+-- 18. 解分式方程13122x x +=--CBDEF13题图（10题图）A19. 已知：如图，在∆ABC中，AB=AC=CD，BD=CE. 求证：AD=DE20.在△ABC中，∠ABC=90°,BD⊥AC,BC=6，sinA=13,求CD的长。

重庆中考24题一元二次方程应用题专题练习(12月周考集合)-含答案

2021年重庆年中考24题一元二次方程应用题专题练习（12月周考集合） 1（巴蜀2021级初三上期中测试）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地及以及外地游客，火锅店门庭若市，据店员统计：仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元.（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数少是相比，选择红汤火锅的人数下降%a ，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了%a ，选择清汤火锅的人均消费增长了1%5a ，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等，求a 的值.2（南开2021级初三上期中测试）某网红火锅店的招牌菜毛肚和鸭肠很受欢迎，每份毛肚的价格是每份鸭肠价格的43倍，每天销售毛肚的数量比鸭肠的数量少500份，并且两种菜品每天的销售额刚好都是60000元. （1）求每份毛肚多少元；（2）为了杜绝舌尖上的浪费，倡导文明用餐，该火锅对菜品进行了改良，推出了小份菜，毛肚小份菜的价格和鸭肠小份菜的价格分别下降了%a 和4%3a ，此举很受欢迎，改良菜品后每天销售毛肚、鸭肠的小份菜的数量比菜品改良前的数量分别增加了2%a 和8%3a ，结果改良菜品后每天毛肚鸭肠销售总额比改良之前两种菜品的销售总额增加了1%3a ，求a 的值.3（八中2021级九上定时训练八）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本，制造成本，销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为2:a:1，（a 为整数），且2018年该产品的技术成本为400万元.（1）若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a 的值；（2）在（1）的条件下，为了降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加%m ，（50m ），制造成本在这两年里都比前一年减少2%m ；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高10%,经过以上改革，预计2020年该产品总成本达到2018年该产品总成本的45，求m 的值.4（八中2021级初三上定时训练十）近期气温骤降，某店推出了A 、B 两种型号的手套，其中A 型号手套每双成本15.5元售价40元，B 型手套每双成本18元售价48元，两种型号的手套均为整双出售，不售散装，11月下旬，A ，B 两种型号的手套共销售了400双，销售总额为17440元.（1）11月下旬，A ，B 两种型号的手套各卖出了多少双？（2）为了迎接“双十二”，12月1日该店大促销，A 型号手套“买一送一”，但销售单价不变，七当日销量（不算赠品）达到11月下旬售卖的A 型号手套总销量的211a ；B 型号手套每双销售单价减少了25%2a ，其当日销量比11月下旬B 型号手套总销量增加了5%a ，12月1日两种型号的手套的销售利润为2736元，求a 的值.5（育才2021级初三上定时训练二）十九大以来，为全面推进新农村建设，积极改革农村产业结构，增加农民收入，致富村村委会多方努力，共获得流转耕地1000亩，全部用于种植纽橙和蔬菜，其中种植蔬菜的面积不少于种植纽橙面积的4倍．（1）求该村种植蔬菜的面积至少为多少亩？（2）今年村里按（1）中蔬菜种植面积的最小值种植蔬菜，纽橙和蔬菜上市后，纽橙每亩获利800元，蔬菜每亩获利600元；明年在保持纽橙种植面积不变的情况下，纽橙亩产量将上涨，预计每亩利润将增加3a%；同时利用新增流转耕地，使蔬菜种植面积扩大α%，并改良蔬菜种植结构，蔬菜每亩利润将增加a%这样，明年纽橙和蔬菜的总利润将比今年的总利润增加a%．求a 的值．6（八中2021级初三上期中测试）光明村下辖一组、二组共500户村民，1户村民有且只有1户房屋．在精准扶贫工作中，该村率先在一组开展蔬菜大棚升级和房屋外立面改造项目试点工作．已知该村平均1户居民有1.25个蔬菜大棚参与升级，1个蔬菜大棚升级费用比1户房屋外立面改造费用的2倍还多40元．经统计，光明村一组共100户村民，光明村一组蔬菜大棚升级和房屋外立面改造的总费用不低于68000元．（1）1个蔬菜大棚升级费用最少多少元？（2）光明村一组蔬菜大棚升级和房屋外立面改造成功完成后，光明村二组计划按（1）中取得最小值时蔬菜大棚升级和房屋外立面改造的价格开展上述两项精准扶贫工作．但由于各方面因素的影响，施工方将蔬菜大棚升级和房屋外立面改造的报价分别上涨了%a 和%310a ．在实际施工中，为了降低总费用，村民们积极参与劳动，节约了部分人力成本与运输成本，使得1个蔬菜大棚升级费用与1户房屋外立面改造费用在施工方报价的基础上分别下降了2a %和)30(a 元．这样，光明村二组蔬菜大棚升级和房屋外立面的实际总费用为251 000元，求a 的值7（八中2021级初三上定时训练二）某蛋糕店一直销售的是奶酥饼干，近期又推出了焦糖饼干，期中焦糖饼干的销售单价是奶酥饼干的1.25倍，8月份，焦糖饼干和奶酥饼干共销售150千克，焦糖饼干的销售额是1200元，奶酥饼干的销售额为1440元.（1）求焦糖饼干、奶酥饼干的销售单价各式多少？（2）为推广新产品，该蛋糕店在9月推出“悦享会员”活动，对所以的饼干均可享受%a的折扣，非“悦享会员”需要按照原价购买，就焦糖饼干而言，9月销量比8月销量增加了%a，其中通过“悦享会员”购买的销量占9月焦糖饼干销量的56，而9月焦糖饼干的销售总额比8月焦糖饼干销售额提高1%12a，求a的值.8（一外2021级初三上期中测试）今年国庆中秋双节同庆，某点推出了莲蓉蛋黄月饼盒流心芝士月饼两种，其中莲蓉蛋黄云币鞥每盒成本15.5元，售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元，两种月饼均整盒售出，不售散装，中秋节前，莲蓉蛋黄月饼盒流心芝士月饼共销售400盒，销售额为17440元.（1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？（2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但售价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销售量的211a;流心芝士月饼每盒单价减少8a，其当日销量比中秋前流心芝士月饼总销售量增加了5%a，中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值.（1）9（巴蜀2021级九上12月月考）5G 时代来临，互联网交互行业成为了新的商机，其中直播带货尤其被寄予厚望，直播带货正成为商家新的销售手段，重庆某火锅点通过直播助力推广该店特色火锅底料和便携式自热火锅.直播当天火锅底料和自热火锅共销售9万份，其中火锅底料的销量不少于自热火锅的3.5倍.（1）求当天的直播活动中火锅底料至少销售了多少万份？（2）为了刺激消费，直播中退出了优惠活动，直播间前原价50元一份的火锅底料，降价4%5a 售卖，原价30元一份的便携式火锅，降价%a 售卖.且直播当天火锅底料的销量正好是（1）中的最小值，直播当天该店火锅底料和自热火锅的总日销售额比直播前的总日销售额多2%a ，求a 的值.10（育才2021级九上第六次周考）某电商品牌旗舰店销售A 、B 两款玩具，其中A 款玩具定价为60元/件，B 款玩具定价为50元/件》（1）若该旗舰店按定价在10月份售出A 、B 玩具共300件，销售总额不低于17000元，则至少销售A 款玩具多少件？（2）11月份，商家为回馈新老客户，共庆“双十一”，决定与网红直播合作，在“双十一”当晚通过直播促销A 、B 两款玩具，“双十一”当晚直播时，A 款玩具的售价比定价降低了10a ，世纪销量在（1）问的最低销量的基础上增加了 1%5a ；B 款玩具以定价的8折出售，销量比A 款玩具“双十一”当晚世纪销量少3%8a .“双十一”当晚两款玩具的直播销售总额比（1）问中的两款玩具最低销售总额增加了2250元，求a 的值.11（育才2020级初三上第二次月考）四季水果店正准备促销广西“脆皮桔”和山东烟台“红富士苹果”，已知“脆皮桔”的进价为12元／千克，售价为24元／千克，“红富士苹果”的进价为10元／千克，售价为20元／千克，第一天该店销售两种水果共获利1156元，其中“脆皮桔”的销量比“红富士苹果”销量的4倍少10千克．（1）求第一天这两种水果的销量分别是多少千克？（2）该店在第一天的售价基础上销售一段时间后，天气突然变冷不利于“脆皮桔”的保存，为了更好的销售这两种水果，店主决定对“脆皮桔”在原来售价基础上降价%a ，销量在原有基础上增加%34a ，“红富士苹果”在原来售价基础上提升%54a ，销量比原来上升了30千克，其中两种水果的进价均不变，结果每天获利比原来多300元，求a 的值．答案：1.（1）设莲蓉蛋黄月饼x 盒，4048(400)17440x x +-=解得：220x =（2）由题意可得： 224022015.5222048118180(15%)273611118a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+--⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化简为：23251480a a +-= 解得：12374,()3a a ==-舍2. （1）毛肚价格：40元（2）A=30 3.（1）100台（2）a=254.（1）直线AC 解析式1y x =+（2）315(,)24P （3）121212(2,),(2,)33N N -+--（1）100人,（2）a=106.（1）400元（2）a=757.（1）700；（2）10（1）二娃手机厂9月销售炫酷版手机x 部，则实用版抗摔手机（1200-x ）部根据题意得：6600x+3000（1200-x ）=6120000解得x=700．答：二娃手机厂9月销售炫酷版手机700部；（2）由题意得：炫酷版摄影手机和实用版抗摔手机10月份的价格分别为：6600-600=6000元，3000（1-m%）元；预估销售量分别为：700（1+0037m ），500（1+002m ）；则根据题意得：6000×700（1+0037m ）+3000（1-m%）500（1+002m ）+120000=6120000 化简得：m 2-110m+1000=0，解得：m=10或m=100（舍）．答：m 的值为10．8.（1）A累最多30人（2）,m的值为5，9.（1）80辆混动车（2）m的值为1010.（1）a=7（2）m的值为1011.（1）A种400盆，B种500盆（2）a的值为30。

2012级重庆名校中考模拟试题第24题专题训练含答案

7 则树的高度为________ m.
图 24－4
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2．现有一个标准的视力表，它是以能否分辨出表中“E”的开口朝向为依据的，该表要求的测试距离为 5 米，若把表中的“E”都缩小为原 3 3 来的，要使测试的标准不变，则测试距离应定为________ 米． 5 3．如图 24－5，把△ABC 沿 AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半．若 AB＝ 2，
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把实际问题抽象为数学问题，应注意提炼出题目提供的信息．本题中，由“小尺竖直，电线杆与地面垂直”可知 AB∥CD，所以△AOB ∽△DOC；由“臂长约 40 cm，人离电线杆约 20 m”可知在△AOB 和△
DOC 中，AB，CD 上的高分别为 0.4 m,20 m．然后根据相似三角形的对
应高的比等于相似比，就可以求出电线杆的高度．
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[2011·怀化] 如图 24－2，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、
2－ 1 ．则此三角形移动的距离 AA′是________
图 24－5
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4．在一次数学活动课上，张明同学将矩形 ABCD 沿直线 CE 折叠，顶点 B 恰好落在 AD 边上 F 点处，如图 24－6 所示，已知 CD＝8 cm，BE

2012重庆中考数学10、16,24题专题(练习册)

重庆中考16题专题训练题型一方程问题1、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。

甲种盆景由１５朵红花、２４朵黄花和２５朵紫花搭配而成，乙种盆景由１０朵红花和１２朵黄花搭配而成，丙咱盆景由１０朵红花、１８朵黄花和２５朵紫花搭配而成。

这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了朵。

2、已知AB 是一段只有3米宽的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在AB 段相遇，必须倒车才能继续通行。

如果小汽车在AB 段正常行驶需10分钟，大卡车在AB 段正常行驶需20分钟，小汽车在AB 段倒车的速度是它正常行驶速度的51，大卡车在AB 段倒车的速度是它正常行驶速度的81，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍。

问两车都通过AB 这段狭窄路面的最短时间是分钟。

3、甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙元。

4、山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A 型抽水机1小时刚好抽完，若两台A 型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A 型抽水机同时抽分钟可以抽完。

5、甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的43。

然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31的产品销到了重庆，两厂的产品仅占了重庆市场同类产品的31。

则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为。

5、我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为____________立方米。

6、采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域，导火索燃烧速度是1cm/秒，人离开的速度是5米/秒，至少要导火索的长度是_____________cm 。

2012中考现代文专题复习(记叙文)参考答案

2012中考现代文专题复习（记叙文）参考答案一、阅读下列文章，完成19～24题。

(13分)19．他认为自己的儿子在学习上偷懒。

20．夸张突出李太福父亲的憔悴瘦弱，与下文写他对儿子的蛮横形成对照。

21．设置悬念，引起读者的注意和阅读兴趣。

22．是指自己被父亲领回了家，也指真正感受到了亲人的关心和温暖。

23．这是个普通的父亲，他特别地望子成龙，采用简单粗暴的方法教育儿子；不过他知错能改，还是一个深爱儿子的、堪称合格的父亲。

24．示例：上课集中精力的方法很多，不要自虑；压力大或头昏脑胀的时候放松一下，不要一味坚持；成绩有波动是正常的，千万不要为此自卑。

二、阅读下面一篇文章。

完成17-21题。

（17分）三、阅读以下文字，完成17——20题。

（16分）17、觉得它“愚蠢”是因为这马不敢过河，怕水；说它“灵性大”，是因为我从它的表现看出来，“它完全懂得骑在它背上的是什么样的人”，知道谁是真正的骑手；说它“过分”是说我觉得它先前是在欺负我。

18、示例：她连路都走不稳，瘦弱得连躺着都叫人看着累，竟然“狂妄”得要替我骑马过河，这不是拿我开玩笑吗？我这样年轻力壮的汉子尚且费尽心机气喘吁吁而不能，她？能让这匹患有“神经性恐水症的马跨进河水？19、示例：①我骑着马时，它的前后反应不同，走平原，“极轻快而平稳”,看到河流就不敢走了。

②我骑它与老太太骑它时，马的表现不同。

③老太太在马下和骑在马上的精神状态不一样。

④我对老太太前后的态度不同。

20、老太太虽然枯瘦衰老，到了垂暮之年，连上马、过桥都需要别人搀扶，但是，一旦上马，就立刻精神矍铄、焕发出强大的生命力。

她身上所体现出来的马背上的民族的那种雄强的生命意识，那种无坚不摧的个性精神，那种面对生存环境的挑战所表现出来的豪迈、执著的气概，让人感动。

四、阅读下边一篇文章，完成18—22题。

（16分）18．因为“我”当时的心情复杂而矛盾：一方面是因为得到老师的表扬而感到高兴，另一方面是为同学们近乎幼稚的“嫉妒”(嘲笑、疏远)而感到孤独(酸涩)。

中考数学复习：专题2-24 例析追击和相遇问题的解题方法

专题24 例析追击和相遇问题的解题方法【专题综述】一次函数类的相遇与追击问题常常与学生的生活实际相联系，有条件时我们不妨安排学生进行模拟实验，在生动趣味的实验过程中深化学生理解。

在教学过程中，尽可能追求学生对题目图形的理解，务必做到图形与情境的一一对应。

【方法解读】一、追击类问题例1甲乙两人同时去B地，甲骑自行车，乙骑摩托车中途摩托车出现故障改步行，下图是他们的路程随时间变化的图线。

(1)求出甲乙两人路程与时间的关系函数；(2)甲到达终点用了多长时间?(3)两人何时相距最远，最远距离是多少?【举一反三】（江苏省丹阳市）在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、相遇类问题例2 甲乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地后停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地。

设小明与甲地的距离为1y ，小亮与甲地的距离为2y ，小明小亮之间的距离为s ，小明行走时间为x ，12y y 、与x 之间的函数图象如图1，s 与x 之间的部分图形如图2。

(1)求小亮从乙到甲的2y 与x 之间的函数关系；(2)求小亮由甲返回到与小明相遇的s 与x 的函数关系；(3)补全图2的信息，并求出a 值。

【举一反三】（2017年中考）在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间，甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y （k m ）与甲车行驶时间t （h ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km ；③乙车出发527h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km ．其中正确的是______（填写所有正确结论的序号）．【强化训练】1.（陕西安市） A 、B 两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s （千米）表示汽车与甲地的距离，t （分）表示汽车行驶的时间，如图，L 1，L 2分别表示两辆汽车的s 与t 的关系？（1）L 1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？（2）汽车B 的速度是多少？（3）求L 1，L 2分别表示的两辆汽车的s 与t 的关系式．（4）2小时后，两车相距多少千米？（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？2．（2017年吉林省）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程S（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）．（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少分钟．3．（江苏省盐城市）A、B与C三地依次．．．．从A,B两地沿直线匀速步行到C．．在一条直线上.甲，乙两人同时分别地，甲到达C地花了m分钟.设两人出发x(分钟)时，甲离．．B．地的距离为．．．．．y．(米)，y与x的函数图像如图所示. （1）A地离C地的距离为米，m= ；（2）已知乙的步行速度是40米/分钟，设乙步行时与B地的距离为y(米)，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围，并在图中画出此函数的图像；（3）乙出发几分钟后两人在途中相遇？4.(山东省商河县) 如图，l A，l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．（1）B出发时与A相距________千米，B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是_______小时，B出发后________小时与A相遇；（2）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（3）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，则B出发多少小时与A相遇，相遇时距离B的出发点多少千米？并请在图中表示出这个相遇点C．5．(山东省商河县)为迎接2008年北京奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威。

中考数学复习考点题型专题讲解24 新定义与数字类规律探究问题

中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解）专题24 新定义与数字类规律探究问题（重难点培优重难点培优）小题））解答题（（共24小题一．解答题1．（2023秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案为8；（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．2．（2023春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空①（3，81）＝4，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，ଵ଼）＝﹣3，则x＝2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．【解析】（1）①∵34＝81，∴（3，81）＝4，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为4，5；（2）根据题意得x﹣3=18，∴ଵ௫య=ଵ଼，∴x＝2，故答案为2；（3）a+b＝c，理由如下根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．3．（2023春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝ ﹣3．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．请你用这种方法证明下面这个等式（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【分析】（1）根据定义直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝﹣3；（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y，＝20，从而求解．【解答】（1）解因为32＝9，所以（3，9）＝2；因为40＝1，所以（4，1）＝0；因为2﹣3=18，所以（2，ଵ଼）＝﹣3．故答案为2，0，﹣3；（2）证明设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y＝4×5＝20，所以（3，20）＝x+y，所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．4．（2023春•东台市期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解析】（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．5．（2023春•罗山县期中）观察下列两个等式2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对(2，13)，(5，23)都是“共生有理数对”．（1）判断数对（﹣2，1），(3，12)中，(3，12)是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）是（填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．【分析】（1）先判断，然后根据题目中的新定义，可以判断（﹣2，1），(3，12)是否为“共生有理数对“；（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．【解析】（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对“，（3，ଵଶ）是“共生有理数对“，理由∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对“，∵3−12=52，3×12+1=52，∴（3，ଵଶ）是“共生有理数对”；故答案为(3，12)；（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，解得a＝﹣2；（3）是，理由∵m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．故答案为是．6．（2023秋•成武县期中）【概念学习】现规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把ܽ÷ܽ÷ܽ⋯÷ܽ௡个௔（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．︸【初步探究】（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）下列关于除方说法中，错误的是C．A任何非零数的圈2次方都等于1B对于任何正整数n，1ⓝ＝1C 3④＝4③D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试仿照上面的算3，（ଵହ）⑥＝54．（4）想一想请把有理数﹣2．．（5）算一算 12ଶൊሺെ13ሻ【分析】（1）根据规定运算（2）根据圈n 次方的意义（3）根据题例的规定，直接（4）根据圈n 次方的规定和（5）先把圈n 次方转化成幂【解析】（1）2③＝2÷2（−12）④＝（െ12）÷（故答案为 ଵଶ，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3∴3④≠4③．故选 C ．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷×（−13）＝（െ13）3，（ଵହ）⑥＝（ଵହ）÷（ଵହ）÷面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式（﹣理数a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式为)④×(−2ሻ⑥െሺെ13ሻ⑥ൊ3ଷൌ ﹣2．定运算，直接计算即可；意义，计算判断得结论；直接写成幂的形式即可；规定和（3）的结果，综合可得结论；化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即÷2＝1÷2ൌ12，െ12）÷（െ12）÷（െ12）＝1×2×2＝4； ൌ19，4③＝4÷4÷4ൌ14， ÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）＝1×5×5×53）⑤＝（െ13）式为a ⓝ＝（ଵ௔）n求值即可．（−13）×（െ13）×5＝54；故答案为（െ13）3，54；（4）（4）a ÷a ÷a ÷…÷a ＝a ×1ܽ×1ܽ×⋯×1ܽ=（ଵ௔）n ﹣2．故答案为（ଵ௔）n ﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（ଵଶ）4﹣34÷33＝24×32÷32×（ଵଶ）4﹣3 ＝1﹣3 ＝﹣2．故答案为 ﹣2．7．（2018秋•长葛市期中）材料一般地，n 个相同的因数a 相乘 ܽ⋅ܽ⋯ܽ︸௡个记为ܽ௡．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381＝4）．问题（1）计算以下各对数的值 log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4×16＝64log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式 log 24+log 216＝log 264（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M +log a N ＝MN （a ＞o 且a ≠1，M ＞0，N ＞0）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律 4×16＝64，log 24+log 216＝log 264；（3）由特殊到一般，得出结论 log a M +log a N ＝log a MN ．【解析】（1）log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6，故答案为2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案为4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN，故答案为MN．8．（2023春•邗江区校级月考）概念学习规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，(−12)⑤=﹣8；（2）将下列运算结果直接写成幂的形式5⑥＝ଵହర；(−12)⑩=28；（3）想一想将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为ଵ௔೙షమ；（4）算一算42×(−13)④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(−12)③=（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8；（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(−12)⑩=28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a=1ܽ݊−2；（4）原式＝16×9＝144．9．（2023秋•滕州市期末）如果x n＝y，那么我们记为（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空（2，8）＝3，（2，ଵସ）＝ ﹣2；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解析】（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2=14，所以（2，ଵସ）＝﹣2．故答案为3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答（b，a）的值为4．10．（2023秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（ଵଶ）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝（ଵଷ）2；（ଵଶ）⑩＝28；a ⓝ＝（ଵ௔）n ﹣2；（3）计算 22×（−13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【分析】（1）根据除方的定义计算即可；（2）把除法转化为乘法即可得出答案；（3）根据除方的定义计算即可．【解析】（1）2÷2÷2=12，（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4，故答案为 ଵଶ，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）＝（ଵଷ）2，ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ=1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，ܽ÷ܽ÷ܽ÷⋯÷ܽ︸௡个௔=1×1ܽ⋅1ܽ⋅⋯⋅1ܽ︸(௡ିଶ)个1ܽ=（ଵ௔）n ﹣2，故答案为 (13)ଶ，28，(1ܽ)௡ିଶ；（3）原式=2ଶ×(−3)ଶ÷(−12)−[(−3)÷(−3)] ＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73．11．（2023秋•海安市月考）已知M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，ܯ(௡)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)︸௡个(ିଶ)相乘（n 为正整数）．（1）求2M （2018）+M （2019）的值．（2）猜想2M （n ）与M （n +1）的关系并说明理由．【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M （n ）与M （n +1）互为相反数．【解析】（1）2M （2018）+M （2019）＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M （n ）与M （n +1）互为相反数，理由如下因为2M （n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n +1，M （n +1）＝（﹣2）n +1，所以2M （n ）＝﹣M （n +1），所以2M （n ）与M （n +1）互为相反数．12．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n ，那么称b 为n 的布谷数，记为b ＝g （n ），如g（8）＝g （23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空 g （2）＝1，g （32）＝5．（2）布谷数有如下运算性质若m ，n 为正数，则g （mn ）＝g （m ）+g （n ），g （௠௡）＝g （m ）﹣g （n ）．根据运算性质填空௚(௔ర)௚(௔)=4，（a 为正数）．若g （7）＝2.807，则g （14）＝3.807，g （଻ସ）＝0.807．（3）下表中与数x 对应的布谷数g （x ）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a ，b 的代数式表示）x316 233 6 9 27g （x ） 1﹣4a +2b 1﹣2a +b2a ﹣b 3a ﹣2b4a ﹣2b 6a ﹣3b【分析】（1）g （32）＝g （25）＝5；g （32）＝g （25）＝5；（2）௚(௔ర)௚(௔)=௚(௔⋅௔⋅௔⋅௔)௚(௔)=ସ௚(௔)௚(௔)=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）；（3）g （ଷଵ଺）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3），g（9）＝2g （3），g （27）＝3g （3），当g （3）正确时，有且仅有两个是错误；【解析】（1）g （2）＝g （21）＝1， g （32）＝g （25）＝5；故答案为1，5；（2）௚(௔ర)௚(௔)=௚(௔⋅௔⋅௔⋅௔)௚(௔)=ସ௚(௔)௚(௔)=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），∵g （7）＝2.807，g （2）＝1， ∴g （14）＝3.807； g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）， g （4）＝g （22）＝2，∴g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）＝2.807﹣2＝0.807；故答案为4，3.807，0.807；（3）g （ଷଵ଺）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3）， g （9）＝2g （3）， g （27）＝3g （3），从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，∴g（ଷଵ଺）和g（6）错误，∴g（ଷଵ଺）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；13．（2023秋•凌河区校级期中）阅读计算阅读下列各式（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题（1）验证（4×0.25）100＝1；4100×0.25100＝1．（2）通过上述验证，归纳得出（ab）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算（﹣0.125）2015×22014×42014．【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．②根据有理数乘方的定义求出即可；③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【解析】①（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为1，1．②（a•b）n＝a n b n，（abc）n＝a n b n c n，故答案为a n b n，（abc）n＝a n b n c n．③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．14．（2017秋•高邮市校级月考）回答下列问题（1）填空①（2×3）2＝36；22×32＝36②（−12×8）2＝16；（−12）2×82＝16③（−12×2）3＝ ﹣1；（−12）3×23＝ ﹣1（2）想一想（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？是（填“是”或“不是”）．（3）猜一猜当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）试一试（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝ ﹣1．【分析】根据已知条件进行计算，然后归纳结论即可．【解析】（1）①（2×3）2＝62＝36；22×32＝4×9＝36．故答案为36，36；②（−12×8）2＝（﹣4）2＝16，（−12）2×82=14×64＝16．故答案为16，16；③（−12×2）3＝（﹣1）3＝﹣1，（−12）3×23=−18×8＝﹣1．故答案为﹣1，﹣1；（2）答案为是．（3）答案为a n b n；（4）（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝[ଷଶ×（−23）]2017＝（﹣1）2017＝﹣1．故答案为﹣1．15．（2017秋•兴化市月考）定义如果10b＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d （n ）．（1）根据劳格数的定义，可知 d （10）＝1，d （102）＝2 那么 d （103）＝3．（2）劳格数有如下运算性质若m ，n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ）； d （௠௡）＝d （m ）﹣d （n ）．根据运算性质，填空ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=5，若d （3）＝0.48，则d （9）＝0.96，d （0.3）＝ ﹣0.52．【分析】（1）根据劳格数的定义，可知d （10b）＝b ，即可得解；（2）根据劳格数的运算性质，d （mn ）＝d （m ）+d （n ），计算d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2），再求约分即可；根据劳格数的运算性质，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3），再将d （3）的值代入即可；根据劳格数的运算性质，d （0.3）＝d （ଷଵ଴）＝d （3）﹣d （10），再代入d （3）和d （10）的值即可．【解析】（1）根据劳格数的定义，可知d （103）＝3，故答案为 3；（2）根据题意，得 d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2）， ∴ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=ହ×ௗ(ଶ)ௗ(ଶ)=5，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3）＝0.48+0.48＝0.96； d （0.3）＝d （ଷଵ଴）＝d （3）﹣d （10）＝0.48﹣1＝﹣0.52．故答案为 5；0.96；﹣0.52．16．（2023春•阜宁县校级月考）规定 M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M （n ）=(−2)×(−2)×(−2)×⋯(−2)︸௡(ିଶ)．（1）计算M（5）+M（6）；（2）求2×M（2023）+M（2023）的值；（3）试说明2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．【解析】（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2023）+M（2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2023＝2×（﹣22023）+22023＝﹣22023+22023＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2023秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，ଵଶ）＝4，f （5，3）＝ଵଶ଻；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是②．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现 “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算 f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ）．【分析】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可；（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．【解析】（1）f （4，ଵଶ）=12÷12÷12÷12=4， f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为 4；ଵଶ଻．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误； ②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误；故答案为 ②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（ଵ௔）n ﹣2（n 为正整数，a≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ） =127×9×（−18）×16=−23．18．（2023秋•诸暨市期中）阅读下列材料 |x |=൞ݔ，ݔ＞00，ݔ=0−ݔ，ݔ＜0，即当x ＜0时，௫|௫|=௫ି௫=−1．用这个结论可以解决下面问题（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，求௔|௔|+௕|௕|的值；（2）已知a ，b ，c 是有理数，当abc ≠0时，求௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|的值．【分析】（1）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，a 、b 异号，根据绝对值的意义计算௔|௔|+௕|௕|得到结果；（2）对a 、b 、c 进行讨论，即a 、b 、c 同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|得结果；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，把求௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|转化为求ି௔|௔|+ି௕|௕|+ି௖|௖|的值，根据abc＜0得结果．【解析】（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，௔|௔|+௕|௕|=−1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，௔|௔|+௕|௕|=1+1＝2；③a，b异号，௔|௔|+௕|௕|=0．故௔|௔|+௕|௕|的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1+1+1＝1．故௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|=−ܽ|ܽ|+−ܾ|ܾ|+−ܿ|ܿ|＝﹣[௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|]＝﹣1．19．（2023秋•泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1… M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，… 利用以上规律计算（1）M （28）×M （ଵହ）；（2）﹣1÷M （39）÷[﹣M （ଵ଺）]．【分析】（1）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ௡）＝﹣（ଵ௡）2，再根据有理数的乘法，可得答案；（2）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ௡）＝﹣（ଵ௡）2，再根据有理数的除法，可得答案．【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（ଵହ）2]＝25×（−125）＝﹣1；（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（ଵ଺）2]} ＝﹣1×136×36 ＝﹣1．20．（2019秋•曲靖期末）阅读理解李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是 “头尾一拉，中间相加，满十进一”例如 ①24×11＝264．计算过程 24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程 68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．（1）计算 ①32×11＝352，②78×11＝858；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．【分析】（1）根据口诀“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；（2）由（1）两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数即可得结果；（3）结合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．【解析】（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案为352，858．（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．故答案为a，a+b，b．（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为a，个位数为b，则11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根据上述代数式，可以总结出规律口诀为“头尾一拉，中间相加，满十进一”．21．（2023秋•魏都区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示知道|2|＝|2﹣0|，它在数轴上|5﹣2|可理解为5与2两数在表示5与﹣2两数在数轴上（1）数轴上表示3和﹣（2）探索①若|x ﹣4|＝3，则x ＝1②若使x 所表示的点到表示2、1、0、﹣1．（3）进一步探究 |x +1|+|（4）能力提升当|x +1+|【分析】（1）根据材料可得（2）①根据材料判断式子的②根据距离可直接得到（3）通过材料及前两问的解（4）通过材料及前几问的解式子有最小值时，x ＝4【解析】（1）根据材料可得|；故答案为 |3﹣（﹣1）|（2）①根据材料可知|x ∴x ＝1或7；故答案为 1或7；②由题意可知x所表示的整揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点两数在数轴上所对应的两点之间的距离 |5+2|可以看作数轴上所对应的两点之间的距离．1的两点之间的距离的式子是|3﹣（﹣1）|．或7．到表示4和﹣1的点的距离之和为5．所有符合条件的1|+|x ﹣6|的最小值为7．x ﹣4+|x ﹣9|的值最小时，x 的值为4．料可得结果；式子的意义，然后得出x 的值； x 的取值；问的解答可知|x +1|+|x ﹣6|的最小值就是|﹣1﹣6|；问的解答可知|x +1+|x ﹣4+|x ﹣9|中x 表示到﹣1、4．料可得数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离的式子；﹣4|＝3中x 表示到﹣4的距离等于3的点对应的数示的整数为4、3、2、1、0、﹣1；结合”的基础，我们的点）之间的距离，以看作|5﹣（﹣2）|，条件的整数为4、3、、9的距离之和，的式子是|3﹣（﹣1）应的数，故答案为4、3、2、1、0、﹣1；（3）根据材料可知|x+1|+|x﹣6|中x表示到﹣1和6的距离之和，∴|x+1|+|x﹣6|的最小值为7；故答案为7；（4）根据材料可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距离之和，∴当x＝4时，式子有最小值；故答案为4．22．（2018秋•雄县期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．（1）对照数轴填写下表a 4 ﹣6 ﹣6 ﹣10 ﹣1.5b 6 0 ﹣4 2 ﹣1.5A、B两点的距离 2 6 2 12 0（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b（a≤b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x+3|的最小值．【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可求解；（2）由d＝|a﹣b|，又知b＞a，化简可得d＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，由﹣1与1的距离为2，可确定﹣1≤x≤1，求出符合条件的整数x即可；（4）由1与﹣3的距离为4，即可求|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．【解析】（1）a＝﹣6，b＝0，则AB＝|﹣6﹣0|＝6，a＝﹣6，b＝﹣4，则AB＝|﹣6﹣（﹣4）|＝2，a＝﹣10，b＝2，则AB＝|﹣10﹣2|＝12，故答案为6，2，12；（2）∵a≤b，∴d＝|a﹣b|＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，∵数轴上点x到﹣1和1的距离之和为2，∴|x+1|+|x﹣1|＝2，∵﹣1与1的距离为2，∴﹣1≤x≤1，∵x是整数，∴x＝﹣1，0，1，∴数轴上到﹣1和1的距离之和为2的整数有﹣1，0，1；（4）|x﹣1|+|x+3|表示数轴上点x到1和﹣3的距离和最小，∵1与﹣3的距离为4，∴|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．23．（2023秋•攀枝花期中）我们知道|4﹣（﹣1）|表示4与﹣1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，|5+3|＝|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为|a﹣b|．试探索．（1）若|x﹣3|＝7，则x＝ ﹣4或10；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示﹣4的点与表示6的点重合；（3）计算|x﹣4|+|x+1|＝7．【分析】（1）根据题意给出的定义即可求出答案．（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求；（3）分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出x的值．【解析】（1）∵|x﹣3|＝7，∴x﹣3＝7或x﹣3＝﹣7，解得x＝10或x＝﹣4；故答案为﹣4或10；（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意得ିଶାସଶ=1，∴ିସା௫ଶ=1，解得x＝6；故答案为6；（3）①当x＜﹣1时；（﹣x+4）+（﹣x﹣1）＝7，则x＝﹣2；②当﹣1≤x≤4时；（x﹣4）+（﹣x﹣1）＝7，则﹣5＝7，无解；③当x≥4时；（x﹣4）+（x+1）＝7，则x＝5，综上，x＝﹣2或5．24．（2023秋•玄武区校级月考）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题（1）①若a＝3，b＝2，则A、B两点之间的距离是1；②若a＝﹣3，b＝﹣2，则A、B两点之间的距离是1；③若a＝﹣3，b＝2，则A、B两点之间的距离是5；（2）若数轴上A、B两点之间的距离为d，则d与a、b满足的关系式是d＝|a﹣b|；（3）若|3﹣2|的几何意义是数轴上表示数3的点与表示数2的点之间的距离，则|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）若|a|＜b，化简|a﹣b|+|a+b|＝2b．【分析】（1）计算出两数差的绝对值即可；（2）两点间的距离等于两数差的绝对值；（3）根据|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，即可判断；（4）先化简每一个绝对值，然后再进行计算．【解析】（1）①|3﹣2|＝1，②|﹣3﹣（﹣2）|＝1，③|﹣3﹣2|＝5；（2）d＝|a﹣b|；（3）∵|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，∴|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）∵|a|＜b，∴a﹣b＜0，a+b＞0，∴|a﹣b|+|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b；故答案为（1）①1，②1，③5；（2）d＝|a﹣b|；（3）数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）2b．。