湖南师大附中2016届高三上学期月考(三)数学(理)试卷(扫描版)
湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第三次月考文数试题含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知i为虚数单位，若复数i z i ⋅=，则||z =（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1iz i ==-，所以||z =C ．考点：复数的运算． 2.已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则:p ⌝任意x R ∈，都有210x x ++≥④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中真命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C考点：1、命题的真假；2、逻辑关系．3.在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则46a a 等于 （ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】D 【解析】试题分析：由已知：465a a +=，466a a ⋅=，即4a ，6a 为方程2560x x -+=的两解．由于1n n a a +<，所以43a =，62a =，∴4632a a =．故选D ． 考点：1、等比数列的性质；2、方程的解．4.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A考点：1、程序流程图；2、循环结构．5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C A b B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．考点：．1、正弦定理；2、三角形形状的判定.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ） A．8+ B．11+ C．14+ D ．15【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7.已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=，且0A B A C mA P ++=，那么实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3-C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =-，AC PC PA =-，于是有()()PB PA PC PA mPA -+-=，故(2)0m PA PB PC --++=，又因为0PA PB PC ++=，所以21m --=，即3m =-．故选B ． 考点：向量的线性运算．8.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964B ．12C ．164D ．18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．9.．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A考点：1、不等式的解集； 2、函数的单调性．10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A 的夹为角钝角；21(,)F B c b =--，22(,)B A a b =-，则20ac b -+<，即220a ac c --<，即210e e +->，解得12e>，即112e <<．故选D ．考点：1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11.已知函数()ln(||1)f x x =++()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A考点：1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-，解不等式即可求出x 的取值范围．12.定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,)x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ． 考点：1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9 【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭.考点：1、对数运算；2、新定义问题．14.已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1考点：1、函数的性质；2、数列的性质．15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，在犯错误的概率不超过 （填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5% 【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”. 考点：1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 16.已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ．【答案】考点：1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<a 的取值范围．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．考点：1、函数的周期性；2、三角函数的单调性．18.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析.（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．………………………………（7分）设{}n b 的公差为d ，则413b b d -=，所以2d =-，所以2(1)(2)42n b n n =+-⨯-=-．………………………………………………………………………（8分）由题设，(42)3nn c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3n n T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅．………………………（9分）23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n n n T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅．………………………………………………………………（10分） 所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-．…………………………………………（11分）故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数．………………………………………………………………………（12分） 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19.（本小题12分）如图1，在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小．【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．…（6分）考点：1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角． 20.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）三角形OAB 的面积OAB S ∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634my y m +=+，122934y y m =-+………………（8分）2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==…………………（10分）令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)10g t g ≥=．∴OS ∆的最大值为32．……………………………………………………………（12分）考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值. 21.已知函数()2x f x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≥时， ()f x 在R 上单调递增，当0a <时，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e -；（3）a的取值范围为[1,)-+∞．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．……………………………………………………………………（6分）考点：1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．选做题（请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分，作答时请写清题号）22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=； （2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(1(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==． ……………………………………………………………………………………（10分）考点：1、极坐标与直角坐标；2、参数方程．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】考点：1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。
湖南师大附中2016届高三月考试卷三
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炎德 英才大联考理科数学 ! 附中版 " !! )
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湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第六次月考理数试题Word版含解析
湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+ 【答案】C考点：复数及其运算.2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340x x +-<．若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),71,-∞-+∞ B ．(][),71,-∞-+∞ C ．()7,1-D ．[]7,1- 【答案】B 【解析】试题分析：设集合{}3x x m x m P =<>+或，{}Q 41x x =-<<．因为p 是q 的必要不充分条件，则Q 是P 的真子集，所以34m +≤-或1m ≥，即7m ≤-或1m ≥，选B ． 考点：1、充要条件；2、二次不等式.3.已知sin cos 2αα+=，且()0,απ∈，则cos2α的值为（ ）A ．．14- CD ．14【答案】A 【解析】试题分析：由已知，()23sin cos 4αα+=，即31s i n 24α+=，则1s i n 24α=-．因为()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<．因为()25cos sin 1sin 24ααα-=-=，则cos sin αα-=，所以()()cos 2cos sin cos sin ααααα=-+=，选A ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题. 本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化，即sin cos sin cos sin cos αααααα+⇔⇔-，以正余弦的平方和等于1为工具，以sin cos αα为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.4.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于（ ）A ．60B ．240C ．300D ．360【答案】D考点：程序框图.5.用1，2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中a ，b ，c 三个数字之积能被10整除的三位数共有（ ）A ．96个B ．132个C ．168个D ．180个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，三个数字中有一个数是5，另两个数至少有一个偶数．第一类，分别从1，3，7，9和2，4，6，8中各选一个数，连同5组成三位数，有113443C C 96A =个；第二类，从2，4，6，8中任选两个数，连同5组成三位数，有2343C 36A =个，所以符合条件的三位数共有9636132+=个，选B ． 考点：排列组合.6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．43πB CD ．3π【答案】C考点：1、三视图；2、正方体的外接球.7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示， 则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．12C ．1-D ．12-【答案】A考点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象．【易错点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解），但计算量稍大，速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快，即先由,T π=可排除A 、C ，再由()06f π-=可排除B ，即可得正确答案D. 故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按,,A ωϕ顺序求解）；2、排除法（抓住部分特征进行排除）.8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ）A ．45万件B ．48万件C ．50万件D ．55万件参考公式：在回归直线方程ˆybx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．【答案】C考点：回归直线的方程. 9.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则当0k >时，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：令()10f f x +=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦．设()f x t =，则()1f t =-．由图知，方程()1f t =-有两解1t ，2t ，且11t k=-，201t <<．从而方程()1f x t =有两解，方程()2f x t =也有两解．所以方程()10f f x +=⎡⎤⎣⎦有4个解，选D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点.10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动，则C D O ⋅O 的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D考点：1、向量及其运算；2、函数的最值.11.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F关于直线1l 的对称点P 在2l 上，在双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD【答案】A 【解析】试题分析：不妨设1:l b y x a =-，2:l b y x a =，点()F ,0c -，00,b x x a ⎛⎫P ⎪⎝⎭．因为1F l P ⊥，则001bx b a x c a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()2200b x a x c =+．因为F P 的中点00,22x c bx a -⎛⎫M ⎪⎝⎭在1l 上，则0022bx x c b a a -=-⋅，即02c x =．所以2222c c b a c ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，即223b a =．所以2e ==，选A ．12.对于区间[],a b 上的函数()f x ，若存在[]0,x a b ∈，使得()()0baf x f x dx =⎰成立，则称0x 为函数()f x 在区间[],a b 上的一个“积分点”．那么函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“积分 点”为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π【答案】B考点：1、定积分；2、三角函数的性质.【方法点晴】本题主要考查定积分、三角函数的性质，题型较新，属于较难题型.解决本题时，要求考生细读题干，弄清“积分点”这个概念，再计算220011cos 2sin 26262x dx x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，然后令()001cos 262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，结合072,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦可得02263x ππ+=，即04x π=．解此类题型关键是紧扣新概念，作为解题的突破口.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13. 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A =B，且a b +=，则角C 的大小为 ． 【答案】60考点：1、正弦定理；2、余弦定理.14.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大 值为1，则113a b+的最小值为 ． 【答案】9 【解析】试题分析：作可行域，得当3x =，4y =时，目标函数z ax by =+取得最大值．由已知，341a b +=，则()11114334559333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当19a =，16b =时取等号，所以min1193a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭．考点：1、线性规划；2、重要不等式.15.设直线:l 20x y m --=与椭圆C:2214x y +=相交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点，若∆ABM 的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是 ．【答案】(2,考点：直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数x 得到228440y my m ++-=，降低计算量，再由()22163240m m ∆=-->⇒ 28m <⇒m -<<122my y +=-⇒()121222x x y y m m +=++=．又由∆ABM 的重心在y 轴右侧⇒1220x x +->⇒2m >⇒m 的取值范围是(2,．16.如图，记棱长为1的正方体为1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，⋅⋅⋅，以此类推．则正方体9C 的 棱长为 ．【答案】18考点：1、空间几何体的结构特征；2、等比数列及其通项公式.【方法点晴】本题主要考查空间几何体的结构特征、等比数列及其通项公式，涉及合情推理思想，属于较难题型.先计算2122a a ==，在计算3222113233a a =⋅==，同理得46a =，519a =，⋅⋅⋅．由此猜想，数列1a ，3a ，5a ，⋅⋅⋅，21n a -是首项为1，公比为13的等比数列，所以4911381a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，本题的关键是观察出奇次项数列的规律.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2nnS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】(1)是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-. 【解析】试题分析：（1）已知可得121242n n n a --=⋅= 2log 21n a n ⇒=- ()21212n n S n n +-⇒=⋅= 24nnS S ⇒=；（2）由已知可得前n 项和()122n n n n d -T =+()()()()222148*********n n n n n d n d p n n n d n d-++-T ⇒===-T +-+恒成立()()()4240p dn p d ⇒-+--=恒成立()()()40240p d p d -=⎧⎪⇒⎨--=⎪⎩4p ⇒=，4d = ()24142n b n n ⇒=+-=-．（2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********n n n n n d n d n n n d n d-++-T ==-T +-+．…………………（8分）因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n dp n d+-=+-恒成立．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．…………………（10分） 所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩．因为0d ≠，则4p =，4d =．所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-．…………………（12分） 考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和公式；3、对数的基本运算. 18.（本小题满分12分）某工厂有120名工人，其年龄都在2060岁之间，各年龄段人数按[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)40,50中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1) 应抽取的人数分别为12，14，8，6；（2）均年龄约为37岁；（3）分布列见解析，期望()712E X =．试题解析：（1）由频率分布直方图可知，年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15．…………………（1分）因为400.312⨯=，400.3514⨯=，400.28⨯=，400.156⨯=，所以年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60应抽取的人数分别为12，14，8，6．…………………（3分） （2）因为各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，则250.3350.35450.2550.1537x =⨯+⨯+⨯+⨯=．由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁…………………（6分）由题设，X 的可能取值为0，1，2．其中()111011342⎛⎫⎛⎫P X ==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()11115111343412⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11123412P X ==⨯=．…………………（10分）所以X 的分布列是…………………（11分） 期望()151701212121212E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分） 考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111CD C D AB -A B 中，1A A ⊥底面CD AB ，各侧棱长和底边长都为2，D 60∠BA =，E 为侧棱1BB 的延长线上一点，且11B E =． （1）求二面角1D C -A -E 的大小；（2）设点F 在线段1D E 上，若1F//A 面C A E ，求1D F :F E 的值．【答案】(1)45；(2)1D F :F 3:2E =．试题解析：（1）取C A 的中点O ，连结1D O ，OE ．因为1D D D ⊥A ，1D D CD ⊥，D CD A =，则11D CD A =，所以1D C O ⊥A ． 同理C OE ⊥A ，所以1D ∠OE 为二面角1D C -A -E 的平面角．…………………（2分） 由已知，D ∆AB 是边长为2的正三角形，则D 1OB =O =．在1Rt DD ∆O 中，1DD 2=，则1D O ==．…………………（3分）在Rt ∆OBE 中，3BE =，则OE ==4分）连结11D B ，在11Rt D ∆B E 中，11D 2B =，11B E =，则1D E ==……………（5分）显然，22211D D O +E =OE ，则1D ∆O E 为等腰直角三角形，所以1D 45∠OE =，故二面角1D C -A -E 的大小为45．…………………（6分）（2）分别以OA ，OB 为x 轴，y 轴，过点O 与平面CD AB 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0OA =，()0,1,3OE =，()D 0,1,0O =-，()1D 0,1,2O =-．…………………（8分）设(),,n x y z =为平面C A E 的法向量，则00n n ⎧⋅OA =⎪⎨⋅OE =⎪⎩，即030y z =+=⎪⎩．取1z =，则()0,3,1n =-．…………………（9分）设11D F D λ=E ，则()()111111F D D F D D D D λλA =A +=A +E =O -OA +OE -O()()()1,00,2,11,λλλ=-+=-．…………………（10分）因为1F//A 面C A E ，则1F n A ⊥，即1F 0n A ⋅=，所以()3210λλ--+=，解得35λ=．………（11分）所以113D F D 5=E ，故1DF :F 3:2E =．…………………（12分）考点：1、二面角的平面角；2、线面平行.20.（本小题满分12分）如图1，已知抛物线E 的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上，准线与y 轴的交点为T ．过点T 作圆C:()2221x y +-=的两条切线，两切点分别为D ，G ，且DG 3=．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）如图2，过抛物线E 的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别交抛物线E 于P ，Q 两点和M ，N 两点，A ，B 分别为线段Q P 和MN 的中点，求∆AOB 面积的最小值．【答案】(1) 24x y =；(2)6.试题解析：（1）由对称性知，DG y ⊥轴，设DG 与y 轴的交点为H ，则D 3H =．连CD ，则R t C D ∆H 中， CD 1=，则1C 3H ==．…………………（1分） 因为D T 为圆C 的切线，则CD D ⊥T ．由射影定理，得2C C CD H T =，则C 3T =．…………（3分）因为圆心C 的坐标为()0,2，则C 2O =，所以1OT =，即12p=，得2p =． 所以抛物线E 的标准方程为24x y =．…………………（5分）（2）设直线1l 的斜率为k ，因为1l 过焦点()F 0,1，则直线1l 的方程为1y kx =+．代入24x y =，得2440x kx --=．设点()11,x y P ，()22Q ,x y ，则124x x k +=．因为A 为线段Q P 的中点，则点()22,21k k A +…………………（7分）因为12l l ⊥，则直线2l 的方程为11y x k =-+．同理可得点222,1k k ⎛⎫B -+ ⎪⎝⎭．…………………（8分）直线AB 的方程为2222122222y k x k k k k k---=---，即13y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，显然过定点()D 0,3．…………（10分）设∆AOB 的面积为S ，AB 与y 轴的交点为K ，则11332S S S x x k k ∆AOK ∆BOK A B =+=⨯⨯-=+36≥⨯=，当且仅当1k =±时取等号．所以∆AOB 的面积的最小值为6．…………………（12分考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与圆；3、射影定理；4、直线与抛物线；5、三角形的面积；6、重要不等式.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程；、直线与圆、射影定理、直线与抛物线、三角形的面积与重要不等式，综合程度高，属于难题.本题最难点是利用重要不等式求最小值，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，才能灵活应对这类题型.21.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =+--，其中a 为常数且0a >．（1）若曲线()y f x =与直线2ay =相切，求a 的值； （2）设1x ，2x 为两个不相等的正数，若()()12f x f x =，证明：12x x a +>．【答案】(1) 2a =；（2）证明见解析.（2）不妨设120x x <<，由()()12f x f x =⇒ ()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒ ()2222112211ln ln 22a x x x x x x x x +--=+--⇒ 222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为22221112221122ln ln x x x x x x x x x x +--+>⇒+--()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+-- ()()()122121ln ln 2x x x x x x ⇒+->-⇒()2121122ln ln x x x x x x -->+ 21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒>+．令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．设()()21ln 01t g t t t -=->⇒+()()()()22211411t g t t t t t -'=-=⇒++当1t >时，()0g t '>⇒()g t 在()1,+∞内单调递增()()10g t g ⇒>=⇒原不等式成立．试题解析：（1）()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==（0x >）．………（1分） 因为0a >，由()0f x '>，得2a x >．则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以2ax =为()f x 的唯一极值点．…………………（2分） 因为曲线()y f x =与直线2ay =相切，则22a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()22ln 4222a a a a a a -+-=．因为0a >，则1ln 0422a a-+=．…………………（3分） 设()1ln 422a a h a =-+，则()1104h a a'=+>，所以()h a 在()0,+∞内单调递增．因为()20h =，所以2a =．…………………（5分）因为()()22112121ln ln ln ln 0x x x x x x x x +--=-+->，则不等式再化为()()22122212211ln 22x x x x x x x x x ++->+--，即()()()122121ln ln 2x x x x x x +->-，即()2121122ln ln x x x x x x -->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．…………………（9分）令21x t x =（1t >），则只要证()21ln 1t t t ->+，即证()21ln 01t t t -->+．…………………（10分）设()()21ln 01t g t t t -=->+，则()()()()22211411t g t t t t t -'=-=++．当1t >时，()0g t '>， 则()g t 在()1,+∞内单调递增，所以()()10g t g >=，故原不等式成立．…………………（12分）考点：1、函数的极值；2、函数的最值；3、函数的单调性；4、导数的综合运用.【方法点晴】本题主要考查函数的极值、函数的最值、函数的单调性和导数的综合运用，综合程度高，属于难题. 第一小题要懂得利用22a af ⎛⎫=⎪⎝⎭建立方程进行求解；第二小题由()()12f x f x =⇒()2112x a x +-()21222ln 2ln a x x a x a x -=+--⇒222211221122ln ln x x x x a x x x x +--=+--，从而所证不等式化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．再用换元法进一步化为()21ln 1t t t ->+，再利用导数工具进行求解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在O 的内接四边形CD AB 中，D C A =B ，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ．（1）证明：C C D ∠BE =∠A ；（2）若4AB =，C 3A =，CD 1=，求C E 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）C E =试题解析：（1）因为D C A =B ，则劣弧D C A =B ， 所以CD C ∠A =∠BA ．因为C E 是O 的切线，则C C ∠B E =∠BA ，从而C CD ∠BE =∠A ．…（3分）因为C ∠BE 是四边形CD AB 的一个外角，则C DC ∠BE =∠A ． 所以()()C 180C C 180CD DC C D ∠BE =-∠B E+∠BE =-∠A +∠A =∠A ．…………………（5分）（2）由（1）知，C CD ∠EA =∠A ，C C D ∠AE =∠A ，则C∆A E CD ∆A ，所以CC CDAE A =A ． 因为C 3A =，CD 1=，则2C CD 9AE =A ÷=．…………………（8分）因为4AB =，则5B E =A E -A B =．由切割线定理，2C 45E =AE⨯BE =，所以C E = …………………（10分）考点：1、三角形的相似；2、切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为cos 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求直线l 被曲线C 所截得的线段长． 【答案】(1)22123sin ρθ=+；(2)165．【解析】试题分析：（1）由2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩⇒得22143x y +=⇒2222cos sin 143ρθρθ+=，即22223cos 4sin 12ρθρθ+=⇒()223sin 12ρθ+=⇒22123sin ρθ=+；（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⇒cos sin θρθ-=⇒直线l的直角坐标方程为y -=⇒)1y x =-⇒其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22143x y +=，得223141222t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒254120t t +-=⇒1245t t +=-，12125t t =-⇒12165t t -===．（2）由cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θρθ-=． 所以直线ly -=)1y x =-．…………………（6分）显然，直线l 过点()1,0，倾斜角为60，则其参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．…………………（7分）代入22143x y +=，得22314122t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即254120t t +-=．设方程的两根为1t ，2t ，则1245t t +=-，12125t t =-，12165t t -===． 故直线l 被曲线C 所截得的线段长为165．…………………（10分） 考点：1、参数方程；2、极坐标方程；3、弦长公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x m =-++-，其中m 为常数． （1）当7m =时，求不等式()0f x >的解集；（2）设实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，若函数()f x 的最小值为2-，证明：222210a b c ++≥．【答案】（1）()(),43,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由7m =⇒()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．再由()0f x >⇒1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩⇒3x >或4x <-⇒解集为()(),43,-∞-+∞；（2）由()()12123x x x x -++≥--+=⇒当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时取等号，⇒()min 3f x m =-⇒32m -=-，则5m =．解法一：由题设5a b c ++=⇒5a c b +=-⇒()()2222522a cb ac +-+≥=⇒()()222222255120251052210222b b b b a b c b --+-+++≥+==≥．解法二：由题设，5a b c ++=，⇒()()222212112a b c a b c ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭⇒即()22252252a b c ++≥，⇒222210a b c ++≥．试题解析：（1）当7m =时，()26,11274,2128,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++-=--≤<⎨⎪--<-⎩．…………………（3分） 由()0f x >，得1260x x ≥⎧⎨->⎩或2280x x <-⎧⎨-->⎩，即3x >或4x <-．所以不等式()0f x >的解集为()(),43,-∞-+∞．…………………（5分）考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.。
湖南师大附中2016届高三月考卷.doc
湖南师大附中2016届高三月考卷（四）命题：湖南师大附中高三物理备课组一、选择题（本题包含12个小题，每小题4分，共48分，其中1~8小题只有一个选项正确，9~12小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选得0分，将答案填在答题卡上）1、我国古诗很多包含着丰富的物理知识，如北宋大词人辛弃疾（1140——1207）曾有一首别具一格的吟X 星球的名词，其中有“飞镜无根谁系？嫦娥不嫁谁留？”，那么以下关于前一句的回答正确的是（ A ）A ．飞镜无根“（地球的）引力”系(月亮被地球的引力吸住)B ．飞镜无根“（太阳的）引力”系 (地球被太阳的引力吸住）C ．是描绘太阳绕地球运动的情景（古时候认为太阳绕地球转）D ．是描绘飞来之镜（别人抛来的定情铜镜）好像被人用绳牵着一样而没做平抛运动。
2、有一只小虫重为G,不慎跌入一个碗中,如图所示.碗内壁为一半径为R 的球壳的一部分,其深度为 D.碗与小虫脚间的动摩擦因数为μ.,若小虫可以缓慢顺利地爬出碗口而不会滑入碗底.则D 的最大值为多少?(最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)( D ) A.2R B.R 211μ+ C.R )(2111μ++ D.R )(2111μ+-解析：要使小虫顺利爬出碗口，只须小虫能到达碗边沿A ，设碗边沿的半径与竖直方向夹角为φ，则（受力图如下）由平衡条件得：N=Gcosφ ① f=Gsinφ ②又f=μN 所以μ=tanφ由几何关系有D=R(1-cosφ) ③所以D=3、如右图，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。
对于该运动过程，若用x 、a 、p E 、k E 、分别表示滑块下滑的位移的大小、加速度的大小、重力势能（以斜面底面所在平面为零势面）和动能，t 表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是（ D ）解析：A 、B 在下滑过程中，物体的加速度μmgcos θ-mgsin θ=ma ，a= μgcos θ- gsin θ，加速度的大小保持不变，所以加速度图像应是与时间轴平行的直线．物体做匀减速直线运动，故位移随时间变化越越慢，位移-时间关系的图象是向右弯曲的线，故A 、B 错误；C 、物体做匀减速直线运动，下降的高度为h=ssin θ，也是向右弯曲的线，故C 错误；D 、下滑过程中速度大小关系为v=0v +at =0v +（gsin θ-μgcos θ）t ，动能221mv E k =，故动能变化越越慢，故D 正确，故选D 。
湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考(四)数学(理)试题.DOC
炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（四）数学（理科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z 满足i z i +=⋅+1)2321(（其中i 为虚数单位），则z 为 A.2 B.2 C.)13(2+ D.)13(2- 2.“23cos =α”是“212cos =α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x 都有f (x+1)=f (1-x )，且函数f(x)在),1[+∞上单调.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(206a f a f =，则{}n a 的前25项之和为A.0B.225C.25D.50 4.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 A.101 B.253 C.151 D.301 5.如图，若Ω是长方体1111D C B A ABCD -被平面EFGH 截去几何体11C EFGHB 后得到的几何体，其中E 为线段11B A 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11D A EH ∥，则下列结论中不正确的是 A.EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C.Ω是棱柱D.四边形EFGH 可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据1a ，2a ，⋅⋅⋅，50a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A ，男生平均分M ，女生平均分W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，50W M A +=B.T<0？，50WM A +=C.T<0？，50WM A -=D.T>0？，50WM A -=7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A.π16B.π12C.π8D.π48.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则y x x y z +=的取值范围是A.]310,31[ B.]25,31[ C.]25,2[ D.]310,2[ 9.设)4sin()2sin(22sin 2cos 1)(ππ+++++=x a x x x x f 的最大值为3，则常数a =A.1B.a =1或a =-5C.a =-2或a =4D.7±=a10.已知菱形ABCD 的边长为2，︒=∠120BAD ，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC BE λ=，DC DF μ=.若1=⋅AF AE ，32-=⋅CF CE ，则=+μλA.21B.32C.65D.127 11.已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221=，G 为三角形21F PF 的内心，若2121F G F G PF G PF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 A.2221+ B.132- C.12+ D.12- 12.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,log ,0,2)(2x x x x f x 对任意给定的),2(+∞∈y ，都存在唯一的R x ∈，满足ay y a x f f +=222))((，则正实数a 的最小值是A.41 B.21C.2D.4 选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若62)(xb ax +的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值为_____.14.在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则该四边形的面积为_____. 15.在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,其中a 为最大边，如果C B C B 222sin sin )(sin +<+，则角A 的取值范围为_____.16.设数列{}n a 满足：31=a ，{}n n n a a a 1][1+=+，其中，][n a 、{}n a 分别表示正数n a 的整数部分、小数部分，则=2016a _____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S S a a +=22对一切正整数n 都成立. （1）求1a ，2a 的值； （2）设01>a ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a a 110lg的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量（吨）1 1.52 频数 10 25 15 频率0.2ab（1）求表中a ，b 的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求： ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形E SE '∆，F SF '∆，G SG '∆，H SH '∆，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH ，其中A ，B ，C ，D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）. （1）求证：平面SEG ⊥平面SFH ； （2）当25=AE 时，求二面角E-SH-F 的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分) 已知函数),(1ln )(R b a b x ax x f ∈+++=在定义域上单调且函数的零点为1. （1）求)2(+b a 的取值范围； （2）若曲线)(x f y =与x 轴相切，求证n nln 21514131<+⋅⋅⋅+++（N n ∈且2>n )．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点，且AB ∥DC ，DC 的延长线交PQ 于点Q . （1）求证：AB CQ AC ⋅=2；（2）若AQ ＝2AP ，AB ＝2，BP ＝2，求QD .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知射线)0(6:1≥=ρπθC C ，动圆)(04cos 2:020022R x x x C ∈=-+-θρρ.（1）求C 1，C 2的直角坐标方程；（2）若射线C 1与动圆C 2相交于M 与N 两个不同点，求x 0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. （1）求a ＋b ＋c 的取值范围；（2）若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACCDDBDBCDA二、填空题13.2 14.5 15.)2,3(ππ 16.2133023-+ 三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，2112122a a S S a a +=+=，当n=2时212222a a a +=，两式相减2122)(a a a a =-，0,012==∴a a 或1,0122=-≠a a a ， ...............3分解方程组可得：0,021==a a ，或22,1221+=+=a a ，或22,2121-=-=a a . ..........5分 （2）由（1）及01>a 知22,1221+=+=a a ， ................6分 当n≥2时，n n S S a +=+2)22(，121)22(--+=+n n S S a ，1)22()21(-+=+∴n n a a ，)2(21≥=∴-n a a n n ，111)2)(21()2(--+==∴n n n a a ， ..............8分令112100lg 2110lg-==n n n a a b ， 所以数列{}n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg 21-， .........10分 ∴0810lg721>=>⋅⋅⋅>>b b b ， 所以当n≥8时，0128100lg218<=≤b b n ， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a a 110lg的前7项和最大，2lg 22172)(7717-=+=b b T . .........12分 18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， 设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以ξ的可能取值为4，5，6，7，8， 则：04.02.0)4(2===ξP ，2.05.02.02)5(=⨯⨯==ξP ，37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP ，3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP ， 09.03.0)8(2===ξP ， ............9分∴ξ的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵⊂FH SO ,平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵⊂EG 平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分ξ4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09(2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分 当25=AE 时，即25=OE ，Rt △SHO 中，SO ＝5，255=SH ，∴5=⋅=SH OH SO OM ，Rt △EMO 中，25322=+=OM EO EM ，322535cos ===∠EM OM EMO . 所以所求二面角的余弦值为32. ......................12分 法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，25=AE ，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴)0,0,25(-H ，)0,25,0(-E ，)0,25,0(G ，)0,25,25(-=HE ，)0,25,0(=OG .在原平面图形中，可求得255=SE ，在Rt △SOE 中，可求得522=-=OE SE SO ， ∴S (0，0，5)，)5,0,25(--=SH . ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=--=⋅,02525,0525y x HE n z x SH n 得⎪⎩⎪⎨⎧==,21,x z x y 令x ＝2，则)1,2,2(-=n ，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴OG 是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则32cos =⋅⋅=OGn OG n θ，∴二面角E －SH －F 的余弦值为32.12分20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ，圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m . 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k 2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m 21＋4k 2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m 21＋4k 2＝1，∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ，∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2.∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k 2， ∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N2＋2y 2N ＝1. ...............10分 假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y N x N －s ，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N 2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st .当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，222)1(1)2()1(1)(++--=+-='x x x a x x a x x f . 又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故02=+b a ，2ab -=. ...............2分 ∵函数)(x f 单调，若)(x f 为增函数，则对任意),0(+∞∈x ，0)(≥'x f 且)(x f '不恒为0，∴01)2(2≥+--x a x ，xx a 1)2(+≤-，∴22≤-a ，∴4≤a . 若)(x f 为减函数，则对任意),0(+∞∈x ，0)(≤'x f 且)(x f '不恒为0，则01)2(2≤+--x a x ，x x a 1)2(+≥-，又21≥+=x x y ，∴xx a 12+≥-不恒成立．综上所述，∴4≤a . 又∵2a b -=，∴2)2(21)2(2+--=+a b a . ∴)2(+b a 的取值范围是]2,(-∞. ............6分（2）∵曲线)(x f y =与x 轴相切，切点为(1，0)且0)1(='f ，∴2,4-==b a . 由(1)得函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，又0)1(=f ，∴当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ， ∴142ln +-≥x x .令)(11*∈+=N k k x ，有k k 11142)11ln(++-≥+， ∴122ln )1ln(+>-+k k k ； ∴当2≥n 时，令k ＝1，2，3，…，n －1，321ln 2ln >-，522ln 3ln >-， (1)22)1ln(ln ->--n n n ， 以上各式累加得：n n ln 1225232<-+⋅⋅⋅++． ...............10分 ∵k k 21121>-，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴n n ln 21514131<+⋅⋅⋅+++成立. ...............12分 22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ， ∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴ACAB CQ AC =，即AB CQ AC ⋅=2. ............... 5分 (2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴31===QC AB PQ AP PC BP ， (3)由2=AB ，BP ＝2，得23=QC ，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴122=⋅=PC PB AP ，∴32=AP ，∴34=QA ， 又∵AQ 为圆O 的切线 ， ∴282=⇒⋅=QD QD QC AQ . ...............10分23.【解析】∵)0(6,tan ≥==ρπθθx y ，∴)0(33≥=x x y ．所以1C 的直角坐标方程为)0(33≥=x x y . ......2分 ∵⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x所以2C 的直角坐标方程04220022=-+-+x x x y x . .....4分（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧∈=-+-≥=),(04cos 2),0(602002R x x x θρρρπθ 关于ρ的一元二次方程)(04302002R x x x ∈=-+-ρρ在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+>--=∆,04,03,0)4(4320210212020x x x x ρρρρ ..........8分得⎪⎩⎪⎨⎧-<>><<-,22,0,440000x x x x 或即420<<x . .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴33≤++≤-c b a ，∴a ＋b ＋c 的取值范围是]3,3[-. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式2)(11c b a x x +-≥++-对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为),23[]23,(+∞--∞ . ...............10分。
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(三)数学试题
（1）证明：
①AD平分∠BAC，
② ；
（2）若 ，求 的最大值．
19.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量 万辆
10
12
17
20
26
（1）统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
14.已知定圆 ，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
15.已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， ，且 ，则 的值为________．
湖南师大附中2023届高三月考试卷（三）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（）
【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第三次月考理数试题解析(解析版)
湖南省师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{1,2,3,5,7}A =，{|26}B x N x =∈<≤，全集U A B =，则()U A C B =（ ）A ．{1,2,7}B ．{1,7}C ．{2,3,7}D ．{2,7}【答案】A 【解析】试题分析：由题设知，{3,4,5,6}B =，{1,2,3,4,5,6,7}U =，则{1,2,7}U C B =．所以(){1,2,7}U A C B =I ，故正确答案为A ． 考点：集合的运算．2.已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是（ ） A ．4πθ=B ．2πθ=C ．34πθ=D ．54πθ=【答案】C 【解析】试题分析：因为(cos sin )(cos sin )z i θθθθ=++-，则当34πθ=时，z =为纯虚数，选C ．考点：1、纯虚数的概念；2、三角函数运算．3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是（ ） A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B 【解析】试题分析：由正视图和侧视图可知，几何体可以为圆柱挖去一个小圆柱、圆柱挖去正方体，正方体挖去圆柱、正方体挖去直三棱柱，所以图①②③⑤都可作俯视图，图④不能，选B ． 考点：三视图．4.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文(1,2,3,4)对应的密文是(5,7,18,16)．则当接收方收到密文(14,9,23,28)时，解密得到的明文是（）A．(4,6,1,7)B．(7,6,1,4)C．(6,4,1,7)D．(1,6,4,7)【答案】C【解析】试题分析：由加密规则，得1426924232312847a b ab c bc d cd d=+=⎧⎧⎪⎪=+=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪⎪⎪==⎩⎩，选C．考点：1、算法流程图；2、新定义问题．5.已知实数,x y满足约束条件220yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11yzx-=+的取值范围是（）A．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：如图，11yzx-=+表示可行域内的动点(,)P x y与定点(1,1)A-连线的斜率．由图可知，1AB APk k ≤<，即112z -≤<，选D ．考点：线性规划问题．6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，且当[)0,2x ∈时，()31x f x =-， 则(2015)f 的值为（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．8【答案】A 【解析】试题分析：由已知，(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数．所以(2015)(3)(1)2f f f ==-=-，选A ． 考点：1、函数的周期性；2、函数求值．7.设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：设点(,0)F c ，(0,)B b ，由2FA AB =，得2()OA OF OB OA -=-，即1(2)3OA OF OB =+，所以点2(,)33c b A ．因为点A 在渐近线b y x a =上，则233b b ca =⋅，即2e =，选D ． 考点：1、向量的运算；2、离心率的求法．8.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（ ） A ．12 B ．24C ．36D ．48【答案】B 【解析】试题分析：第一步，2个男生站两端，有22A 种站法；第二步，3个女生站中间，有33A 种站法；第三步，老师站中间女生的左边或右边，有12A 种站法．据分步乘法计数原理，共有23123224A A A ⋅⋅=种站法，选B ． 考点：排列组合．9.已知函数2()2f x x x m =-+，在区间[2,4]-上随机取一个实数x ，若事件“()0f x <”发生的概率为23，则m 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】D 【解析】试题分析：设不等式()0f x <的解围12x x x <<，因为区间[2,4]-的长度为6，则12||263x x -=，即12||4x x -=．又函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则11x =-，23x =，所以123m x x ==-，选D ．考点：1、函数的性质；2、概率．10.已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ） A ．92 B ．102C ．112D ．122【答案】C 【解析】试题分析：由已知，322121211220122012a a a a a b b b a a a a =⋅==L L ．因为{}n b 为等比数列，则101012201011()2b b b b b ==L ，所以1121122022a b b b ==，选C ．考点：1、等比数列的性质；2、通项的求法．11.设点A 、B 、C 为球O 的球面上三点，O 为球心，若球O 的表面积为100π，且ABC ∆是边长为的正三角形，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．12 B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：设球O 的半径为R ，过点A 、B 、C 的截面圆半径为r ，球心O 到平面ABC 的距离为h ．由已知，24100R ππ=，则5R =．在ABC ∆中，由正弦定理，得28r ==，则4r =．所以3h ==，2111sin 603332ABC V S h ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=B ．考点：1、空间几何体；2、正弦定理．【思路点晴】本题考查的是球的表面积公式、三棱锥体积的求法、正弦定理等的综合应用，属于中档题； 先根据球的表面积求出球的半径，再根据正弦定理2sin aR A=得到三角形的外接圆的半径；球的半径、外接圆的半径、球心到三角形的高这三线组成直角三角形，由勾股定理可得高的值，由锥体体积公式可求得最终的结果．12.已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点．设向量OA a OA=，OB b OB=，2OP a b =+，则PA PB ⋅的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】试题分析：以O 为原点，直线OA 为x 轴建立直角坐标系．由已知2OA OB ⋅=，设(0)OA t t =>，则点2(,0),(0,)A t B t ，(1,0)a =，(0,1)b =，(1,2)OP =．从而(1,2)PA t =--，2(1,2)PB t =--．所以2412(2)5()51PA PB t t t t ⋅=---=-+≤-=，当且仅当2t =时取等号；所以PA PB ⋅的最大值为1，选A ．考点：1、向量的坐标运算；2、向量的数量积．【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点A 、B 的坐标，从而表示出向量的坐标(1,2)PA t =--，2(1,2)PB t =--，根据向量的数量积运算，得到PA PB ⋅的值，再根据基本不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在ABC ∆中，已知3cos 5A =，5cos 13B =，3AC =，则AB = ． 【答案】4213【解析】试题分析：由已知，4sin 5A =，12sin 13B =，则56sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．由正弦定理，得sin 42sin 13AC C AB B ==. 考点：1、三角函数；2、正弦定理．14.设点P 在直线21y x =+上运动，过点P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：圆心(2,0)C 到直线210x y -+=的距离d =，所以||2PA =≥=. 考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离． 15.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且111010a a +<．若n S 存在最大值，则满足0n S >的n 的最大值为 ． 【答案】19 【解析】试题分析：因为n S 有最大值，则数列{}n a 单调递减．又11101a a <-，则100a >，110a <，且10110a a +<． 所以1191910191902a a S a +=⨯=>，1202010112010()02a aS a a +=⨯=+<，故n 的最大值为19.考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和．【思路点晴】本题考查的是等差数列的性质、前n 项和最大值问题；解题的关键是由已知11101a a <-及它们的前n 项和有最大值，灵活运用等差数列性质和前n 项和的公式得到1191020a a a +=>，12011100a a a a +=+<是解决本题的关键点，本题属于中档题．16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x a x a =--，其中0a >为常数．若函数[]()y f f x =有10个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】(1,3) 【解析】试题分析：当0x ≥时，令()0f x =，得|2|1x -=，即1x =或3．因为()f x 是偶函数，则()f x 的零点为1x =±和3±．令[()]0f f x =，则()1f x =±或()3f x =±．因为函数[()]y f f x =有10个零点，则函数()y f x =的图象与直线1y =±和3y =±共有10个交点． 由图可知，13a <<.考点：1、函数的性质；2、零点问题；3、数形结合思想．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、函数和方程的零点，属于难题；很多同学看到10个零点就觉得无从下笔，碰到不熟悉的题目一定不要急，从已知条件一步一步分析；由0x ≥时，令()0f x =，得函数的零点为1x =或3；函数[()]y f f x =有10个零点，等价于函数()y f x =的图象与直线1y =±和3y =±共有10个交点，画出函数的图象，数形结合思想是解决此题的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知函数2()sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在030,5x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使0()0f x =，求λ的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为65π；（2）λ的取值范围是[1,2]-．【解析】试题分析：（1）化简函数得()2cos 22sin(2)6f x x x x πωωλωλ=--=--，因为()f x 的图象关于直线x π=对称，则262k ππωππ-=+，又1(,1)2ω∈，则1k =，56ω=；所以()f x 的最小正周期65π．（2）令()0f x =，则52sin()36πλπ=-；由305x π≤≤，得15sin()1236x π-≤-≤；所以方程52sin()36x πλ=-在3[0,]5π内有解，λ的取值范围是[1,2]-．考点：1、函数的周期性；2、对称性．18.（本小题12分） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽界限，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~70微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的 2.5PM 监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．（1）根据样本数据估计今年9月份该市区每天 2.5PM 的平均值和方差；（2）从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）估计今年9月份该市区每天 2.5PM 的平均值为41微克/立方米，方差为137； 数学期望为2．（2）ξ的分布列为，试题解析：（1）因为263036445060246+++++=，则246416x ==．…………………………（2分）222222(2641)(3041)(3641)(4441)(5041)(6041)822-+-+-+-+-+-=，则28221376s ==………………………………………………………………………………………（5分）估计今年9月该市区每天 2.5PM 的平均值为41微克/立方米，方差为137．………………………（6分）（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ的可能取值为1，2，3．………………………………………………………………………………（7分）其中1242361(1)5C C P C ξ⋅===，2142363(2)5C C P C ξ⋅===，34361(3)5C P C ξ===．…………………（10分）所以ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………………（12分）考点：1、茎叶图；2、平均数和方差；3、分布列和数学期望．19.（本小题12分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，60BAD ∠=，E 为AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 折起到PDE ∆的位置，使平面PDE ⊥平面BCDE ．（1）证明：CE ⊥PD ；（2）设F 、M 分别为PC 、DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角． 【答案】（1）证明过程详见试题解析； （2）直线MF 与平面PDE 所成的角为60．解法二：如图，以E 为原点，直线EC 为x 轴，直线ED 为y 轴，建立空间直角坐标系．…………（7分）由已知，PDE ∆为正三角形，则PM ED ⊥．又平面PDE ⊥平面BCDE ，则PM ⊥平面BCDE ． 设2AD =，则1EM =，PM =，23CE ==．所以点(0,1,0)M，P ，C ．………………………………………………………（9分） 因为F 为PC的中点，则点12F，所以13,2MF ⎛=- ．………………………（10分） 由（1）知，CE ⊥平面PDE ，则(1,0,0)n =为平面PDE 的法向量．设直线MF 与平面PDE 所成的角为θ，则3sin cos ,||||MF n MF n MF n θ⋅===，得60θ=．故直线MF 与平面PDE 所成的角为60．…………………………………………………………（12分） 考点：1、线面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角．20.（本小题12分）如图，已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且5||2MF =．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，(3,2)P 为定点，求PAB ∆面积的最大值．【答案】（1）椭圆2C 的标准方程为22198x y +=； （2）PAB ∆面积的最大值为．（2）设点(,)D m m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211224,4y x y x ==． 两式相减，得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+．因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=． 所以直线AB 的斜率124422k y y m m ===+．从而直线AB 的方程为2()y m x m m -=-，即2220x my m m -+-=．……………………………（7分） 联立222204x my m m y x ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则21224y y m m =-．所以12|||AB y y =-==．……………（9分）设点P 到直线AB 的距离为d，则d =．所以21|||64|2PAB S AB d m m ∆==-+．………………………………………………（10分）由240m m ->，得04m <<t =，则23|6|622PAB t t t t S ∆--==(0t 2)<≤．设36()2t t f t -=(02)t <≤，则263()2t f t -'=． 由()0f t '>，得0t <<．从而()f t在上是增函数，在上是减函数，所以max ()f t f ==，故PAB ∆面积的最大值为………………………………………（12分） 考点：1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分.21.已知函数()ln(1)f x x x =-+．（1）设1()()1g x x f x x =+-+，求函数()g x 的值域；（2）设*n N ∈，曲线()y f x =在点(),()n f n 处的切线的斜率为n k ，数列{}n k 的前n 项和为n S ，试比较n S 与()f n 的大小，并说明你的理由．【答案】（1）函数()g x 的值域为[1,)+∞；（2）()n S f n >，可以用数学归纳法证明．又当x →+∞时，()g x →+∞，所以()g x 的值域是[1,)+∞．………………………………………（4分）由（1）知，当0x >时，1()ln(1)11g x x x =++>+，则1ln(1)111x x x x +>-=++．…………（10分） 令11x k =+，则1111ln 111211k k k k ⎛⎫++>= ⎪++⎝⎭++，即21ln 12k k k +>++， 即1ln(2)ln(1)2k k k +>+++，所以1111ln(2)2312k k k +>++++++， 即当1n k =+时，1(1)k S f k +>+．综合（1）（2）知，()nS f n >．………………………………（12分） 证法二：由（1）知，当0x >时，1()ln(1)11g x x x =++>+，即1ln(1)111x x x x +>-=++．……（8分）令1x n =，则111ln 1111n n n n ⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，即11ln 1n n n +>+，即1ln(1)ln 1n n n +->+．………（10分）考点：1、函数的单调性；2、数学归纳法．【思路点晴】本题考查的是函数的单调性、两个数比较大小的方法，属于难题；先求出函数()g x的导函数，由()g x的导函数与0的关系，得到函数的单调性，进而求出函数的值域；第二问属于探究性问题，可以先猜想结论，再用数学归纳法来证明；或者直接用定积分求出面积，采用数形结合的数学思想，这样更直观、更形象．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．（1）求证：2PM PA PC =⋅；（2）若O的半径为OA =，求MN 的长．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）MN 的长为2．考点：1、相交弦定理；2、切割线定理．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:cos 4C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线3:2sin C ρθ=． （1）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（2）设点A 、B 分别为曲线2C 、3C 上的动点，求||AB 的最小值．【答案】（1）点M 的直角坐标为(1,0)-；（2）||AB1-．（2）由2sin ρθ=，得曲线3C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=．…………（7分）则曲线3C 的圆心(0,1)到直线10x y ++=的距离为d ==．…………………………（9分） 因为圆3C 的半径为1，所以min ||1AB =-．………………………………………………………（10分）考点：1、参数方程与普通方程的转换；2、极坐标方程与直角坐标方程的转换．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a 的值为1或-5；（2）a 的取值范围是[3,0]-．【解析】试题分析：（1）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a=++-≥+--=+，则min()|2|f x a=+；令|2|3a+=，考点：1、绝对值不等式；2、最值问题．高考一轮复习：。
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第三次月
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知i为虚数单位，若复数i z i ⋅=，则||z =（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1iz i ==-，所以||z =C ．考点：复数的运算． 2.已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则:p ⌝任意x R ∈，都有210x x ++≥④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中真命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C考点：1、命题的真假；2、逻辑关系．3.在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则46a a 等于 （ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】D 【解析】试题分析：由已知：465a a +=，466a a ⋅=，即4a ，6a 为方程2560x x -+=的两解．由于1n n a a +<，所以43a =，62a =，∴4632a a =．故选D ． 考点：1、等比数列的性质；2、方程的解．4.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A考点：1、程序流程图；2、循环结构．5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C A b B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．考点：．1、正弦定理；2、三角形形状的判定.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ） A．8+ B．11+ C．14+ D ．15【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7.已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=，且0A B A C mA P ++=，那么实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3-C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =-，AC PC PA =-，于是有()()PB PA PC PA mPA -+-=，故(2)0m PA PB PC --++=，又因为0PA PB PC ++=，所以21m --=，即3m =-．故选B ． 考点：向量的线性运算．8.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964B ．12C ．164D ．18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．9.．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A考点：1、不等式的解集； 2、函数的单调性．10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A 的夹为角钝角；21(,)F B c b =--，22(,)B A a b =-，则20ac b -+<，即220a ac c --<，即210e e +->，解得12e>，即112e <<．故选D ．考点：1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11.已知函数()ln(||1)f x x =++()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A考点：1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-，解不等式即可求出x 的取值范围．12.定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,)x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ． 考点：1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9 【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭.考点：1、对数运算；2、新定义问题．14.已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1考点：1、函数的性质；2、数列的性质．15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，在犯错误的概率不超过 （填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5% 【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”. 考点：1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 16.已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ．【答案】考点：1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<a 的取值范围．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．考点：1、函数的周期性；2、三角函数的单调性．18.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析.（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．………………………………（7分）设{}n b 的公差为d ，则413b b d -=，所以2d =-，所以2(1)(2)42n b n n =+-⨯-=-．………………………………………………………………………（8分）由题设，(42)3nn c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3n n T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅．………………………（9分）23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n n n T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅．………………………………………………………………（10分） 所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-．…………………………………………（11分）故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数．………………………………………………………………………（12分） 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19.（本小题12分）如图1，在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小．【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．…（6分）考点：1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角． 20.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）三角形OAB 的面积OAB S ∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634my y m +=+，122934y y m =-+………………（8分）2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==…………………（10分）令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)10g t g ≥=．∴OS ∆的最大值为32．……………………………………………………………（12分）考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值. 21.已知函数()2x f x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≥时， ()f x 在R 上单调递增，当0a <时，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e -；（3）a的取值范围为[1,)-+∞．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．……………………………………………………………………（6分）考点：1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．选做题（请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分，作答时请写清题号）22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=； （2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(1(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==． ……………………………………………………………………………………（10分）考点：1、极坐标与直角坐标；2、参数方程．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】考点：1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。
湖南省师范大学附属中学2016届高三上学期月考(六)(理)数学试题 含答案
湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1。
已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是（ ）A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．2z 为纯虚数D ．1z i =-+2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340xx +-<．若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),71,-∞-+∞B ．(][),71,-∞-+∞C ．()7,1-D ．[]7,1-3.已知3sin cos αα+=，且()0,απ∈,则cos2α的值为（ ）A ．15B ．14- C 15D ．144.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于( ）A ．60B ．240C ．300D ．3605.用1,2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ,其中a ，b ，c 三个数字之积能被10整除的三位数共有(）A ．96个B ．132个C ．168个D ．180个6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ )A ．43π B ．332π C ．32π D ．3π7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示,则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．12-8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y (单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ) A ．45万件 B ．48万件 C ．50万件D ．55万件参考公式:在回归直线方程ˆybx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动，则C D O ⋅O 的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >)的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F 关于直线1l 的对称点P 在2l 上,在双曲线的离心率为（ ）。
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第四次月考理数试题 含解析
第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知复数z 满足i z i +=⋅+1)2321(（其中i 为虚数单位），则z 为 （ )A.2B.2 C.)13(2+ D.)13(2- 【答案】B 考点：复数的运算,复数的模。
2.“23cos =α”是“212cos =α"的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。
充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当23cos =α时,21cos 22cos 12αα=-=,当212cos =α时,可以求得3cos 2α=±，所以“23cos =α”是“212cos =α"的充分不必要条件，故选A.考点：充分必要条件的判断.3.已知函数y=f （x)对任意自变量x 都有f （x+1)=f （1-x ）,且函数f(x ）在),1[+∞上单调。
若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(206a f a f =，则{}na 的前25项之和为 （ ） A 。
0 B.225 C.25 D 。
50 【答案】C考点:函数图像的对称性，等差数列的性质.4.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生,学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （ )101 B 。
253 C 。
151 D.301【答案】C【解析】试题分析:在连续的10天中随机选择3天一共有310120C=种选法,而连续3天一共有8种选法，所以对应的概率为8112015=,故选C.考点：随机时间发生的概率.5。
如图，若Ω是长方体1111D C B A ABCD -被平面EFGH 截去几何体11C EFGHB后得到的几何体,其中E 为线段11B A 上异于1B 的点,F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11D A EH ∥，则下列结论中不正确的是 ( ) A 。
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三第七次月考理数试题 含解析
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1。
设复数z 313z i z =+,则z =（ ） A 3 B 6 C 23 D 3【答案】D【解析】 试题分析：由题意得，133133(1)z i z z i -=⇒==++，所以z =33，故选D ． 考点：复数的运算及复数模的计算．2.已知命题:P 在三角形ABC 中，“A B >”成立的充分必要条件是“sin sin A B >"；命题:Q 若随机变量X 服从正态分布2(1,)N a ，且X 在(0,1)内取值的概率为0。
4，则X 在(0,2)内取值的概率为0。
8；下列命题中正确的是（ ）A ．P Q ∧B ．P Q ⌝∧C ．P Q ∧⌝D ．P Q ⌝∧⌝【答案】A考点:命题的真假的判定．3.已知向量001(1,1sin 20),(,)sin 55a b x =+=共线,则实数x 的值为（ ) A ．1 B ．2 C ．02tan 35D ．0tan 35 【答案】B 考点:向量的运算及三角恒等变换．4.某几何体的正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中四边形都是边长为2的正方形，正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积为（ ）A ．24B ．2042+C ．2442+D．2043+【答案】B【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个四棱锥得到的,该四棱锥的底为正方体的上底和高都为1，如图所示,所以四棱锥的斜高为2h'=，所以该几何体的表面积为215242220422S=⨯+⨯⨯⨯=+，故选B．考点:几何体的三视图及表面积的计算．5.设集合{}{}22,0,1,6,|,2,2A B k k R k A k A==∈-∈-∉,则集合B中所有元素之积为( ）A．48 B．83C．96D．192【答案】C【解析】试题分析:由题意得，{}2,0,1,6A=且22,2k A k A-∈-∉，令22k-分别等于2,0,1,6，解得2,2,3,22k=-±±±B中所有元素之积为96，故选C．考点:集合的新定义运算．6。
【Word版】湖南师大附中2016届高三上学期月考(三)数学(理)试题Word版含解析bytian
炎德 英才大联考 湖南师大附中2016届高三月考试卷（三）数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{1,2,3,5,7},{|26}A B x N x ==∈<≤，全集U A B =，则()U A C B =A ．{1,2,7}B ．{1,7}C ．{2,3,7}D ．{2,7}2、已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是A ．4πθ= B ．2πθ= C ．34πθ= D ．54πθ= 3、已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4、为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示，例如：明文()1,2,3,4对应的密文是()5,7,18,16，则当接受方收到密文()14,9,23,28时，解密得到的明文是A ．()4,6,1,7B ．(7,6,1,4)C ．(6,4,1,7)D ．(1,6,4,7)5、已知实数,x y 满足余数条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是 A ．1[1,]3- B ．11[,]23- C ．1[,)2-+∞ D ．1[,1)2-6、已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)0f x f x ++=，且当[)0,2x ∈时，()31x f x =-，则(2015)f 的值为A ．-2B ．0C ．2D ．87、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个交点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A ．6B ．4C ．3D ．28、现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生有且仅有两人相邻，在不同的站法种数是A ．12B ．24C ．36D ．489、已知函数()22f x x x m =-+，在区间[]2,4-上随机取一个实数x ，若事件“()0f x <”发生的概率为23，则m 的值为 A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-310、已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n n a b a +=，若10112b b =，则21a = A ．92 B ．102 C ．112 D ．12211、设点,,A B C 为球O 的球面上三点，O 为球心，若球O 的表面积为100π，且ABC ∆是边长为O ABC -的体积为A ．12 B．．．12、已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量,OA OBa b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB ⋅的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
湖南师范大学附属中学高三上学期月考(三)数学(理)试题 Word版含答案
数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 1A x x =<，{}|2,0x B y y x ==≥，则A B =（ ）A ．∅B ．{}|12x x <<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3.已知命题p ：(,0)x ∃∈-∞，23xx<；命题q ：(0,)2x π∀∈，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4.某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：x3 4 5 6 y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A ．0.7 2.05y x =+ B ．0.71y x =+C ．0.70.35y x =+D ．0.70.45y x =+5.已知3sin()25πα-=，则cos(2)πα-的值为（ ） A ．2425B ．725C ．725-D ．2425-6.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知a 与b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点(1,0)A -和(1,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<11.定义{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知实数x ，y 满足||2x ≤，||2y ≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围是（ ）A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．14.若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”．设2122n n tn nb t --=-，若数列5b ，6b ，7b ，…，n b （5n ≥，*n N ∈）是“减差数列”，则实数t 的取值范围是 ．16.如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为kg ，在它的顶点处分别受力1F ，2F ，3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60︒，且123||||||F F F ==．要提起这块钢板，123||,||,||F F F 均要大于x kg ，则x 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c =，60C =︒． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积．18.为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）．（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60︒？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．20.如图，抛物线1C ：28y x =与双曲线2C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）有公共焦点2F ，点A 是曲线1C ，2C 在在第一象限的交点，且2||5AF =． （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐进线相切，圆22:(2)1N x y -+=．已知点P ，过点P 作互相垂直分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 解得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由．21.设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c R ∈，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式； （2）设函数212()()ln (23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点．当m ≥时，求1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2,,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在同一坐标系下，曲线1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．湖南师大附中2017届高三月考试卷（三）数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CACCBCDBADAC二、填空题 13.512 14.122 15.3(,)5+∞ 16.10 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin sin sin 603a b c A B C ====︒，所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= 18.解：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5．2631()5P A C ==，所以14()1()155P A P A =-=-=， 故所求的概率为45． （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20，其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===， 所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=． 令240183a +=，得7a =． 19.（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为1:1:2AE EA =，2AB =，1AA =3AE =，1AD =， 所以在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC ∆中，160C DC ∠=︒，所以190EDC ∠=︒，即1DE DC ⊥， 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1DE BC ⊥． （2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点D 1，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA ，DB ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A，B ，(1,0,)E m ，所以DB =，(1,0,)DE m =，(AB =-，(0,0,)AE m =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110,0,x mz =+=⎪⎩令11z =，得1(,0,1)n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则220,0,n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x mz ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取21y =，得2(3,1,0)n =，所以121|cos ,|cos602n n <>==︒=，解得m =<，故存在点E ，当AE =时，二面角D BE A --等于60︒．20.解：（1）∵抛物线1C ：28y x =的焦点为2(2,0)F ， ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线1C ：28y x =上，且2||5AF =， 由抛物线的定义得025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得2|75|2a =-=，所以1a =，∴双曲线的方程为：2213y x -=． （2）st为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为y =．∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r ==故圆M ：22(2)3x y ++=． 依题意1l 、2l 的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l的距离1d =，点N 到直线2l的距离2d =，∴直线1l 被圆M截得的弦长s = 直线2l 被圆N截得的弦长t ==∴s t =st21.解：由已知可得2()'()k x f x ax bx c ==++，∵函数1()()2g x k x x =-为偶函数， ∴11()()()()22g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，所以12b =．又(1)0k -=，∴102a c -+=，12a c +=，又∵对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立，∴2111()0222a x x c -++-≤恒成立，∴10,21114()()0,422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩∴14a c ==，∴2111()424k x x x =++． （2）由（1）得，32111()1244f x x x x =++， ∴2()2ln 32h x x x mx =++-（0x >），222(1)'()22x m x h x x m xx-+=+-=，由题意得2121240,,1,m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=⎩又m ≥， ∴221212()92x x m x x +=≥，解得12102x x <≤， ∵1x ，2x （12x x <）为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点，∴21111()ln x x sx tx ϕ=--0=，22222()ln 0x x sx tx ϕ=--=， 两式相减得，11212122ln ()()()x s x x x x t x x x --+--0=， 又1'()2x sx t xϕ=--，从而12121212122()'()()()2x x y x x x x s x x t x x ϕ⎡⎤+=-=--+-⎢⎥+⎣⎦1211222()ln x x x x x x -=-+1211222(1)ln 1x x x x x x -=-+， 设12x n x =（102n <≤）， 则1212()'()2x x y x x ϕ+=-2(1)ln 1n n n -=-+（102n <≤）记为()M n ， 222(1)(1)1(1)'()20(1)(1)n n n M n n n n n +----=-=<++， ∴()M n 在1(0,]2上单调递减， ∴min 12()()ln 223M n M ==-， 故1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值为2ln 23-． 22.解：（1）由2,x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得22(2)10x y ++=， 曲线1C 的普通方程为22(2)10x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6s in ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+，即22(1)(3)10x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程．（2）∵圆1C 的圆心坐标(2,0)-，圆2C 的圆心坐标为(1,3)，∴12||C C ==<设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C ，∴222()2d+=，∴d =．23.解：（1）|7||1|x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和， ∴min (|7||1|)8x x ++-=，∴8m ≤．（2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于|3|24x x --≤，∴有3,324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3,324,x x x <⎧⎨--≤⎩从而3x ≥或133x -≤<， ∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。