复变函数绪论稿
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机械工程控制基础01绪论
闭环系统
优点：抗干扰能力强，稳态精度高，动态精度好。 缺点：构造复杂，设计与制造较困难，成本较高。
机械工程控制基础01绪论
开环控制系统 如：步进电机驱动的数控机床 、普通洗衣机 、微波炉
步进电机驱动的数控机床原理图 步进电机驱动的数控机床开环控制系统方框图
机械工程控制基础01绪论
闭环控制系统 如：伺服电机驱动的数控机床、离心调速系统、恒温箱(冰箱、 空调)
反馈控制方式的优点：可以自动调节由于干扰和内部参数的 变化而引起的变动。
给定值
E
比较
－
运算执行 测量
干扰 被控量 被控对象
反馈回来的信号与给定值相减，即根据偏差进行控制，称为 负反馈；反之称为正反馈。在正反馈系统中，正反馈信号只 会让偏差信号、输入信号变得越来越大，会导致系统失稳、 发散，即“恶性循环”。
机械工程控制基础01绪论
例：发动机离心调速系统
被控对象： 发动机 被控量： 转速ω
控制信息传递与反馈：
转速ω
离心机构 偏差
(检测或感知）
杠杆
油门
液压比例控制器
机械工程控制基础01绪论
表示系统结构与工作原理的物理框图：
比较
控制器
运算放大
执行
控制部分
检测 离心调速系统控制方框图
被控对象 被控部分
机械工程控制基础01绪论
出量变化规律的信号；
✓ 输出信号：（输出量、被控制量、被调节量、响应）输出是 输入的结果，它的变化规律通过控制应与输入信 号之间保持有确定的关系；
✓ 反馈信号：输出信号经反馈元件变换后全部或部分返回到输
入端的信号称反馈信号；
✓ 偏差信号：输入信号与（主）反馈信号之差； ✓ 误差信号：输出量实际值与希望值之差； ✓ 扰动信号：偶然的无法加以人为控制的信号；
复变函数课件-复变函数1绪论
02
复变函数
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的 情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家 柯西和挪威数学家黎曼分别独 立发现的，是复变函数中解析 函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分 方程构成的方程组，描述了复 平面上的可微函数在任意一点 处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解 析函数的充要条件，即如果一 个复函数在某区域内的全纯导 数存在且满足柯西-黎曼方程， 则该函数在该区域内是解析的 。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和 指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐 标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示 方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射
chapter1 绪论及复变函数.ppt
eu cosv x (1) eu sin v y (2)
(1)2
(2)2
u
ln
x2 y2
(2) /(1) tan v y / x
Lnz ln z iargz 2kπ, k 0,1,2,
对数函数 Lnz ln z iargz 2kπ, k 0,1,2,
其中arg z是z的主幅角 lnz ln z iargz被称为Lnz的主值
B 单连通域
B 多连通域
举例 用复数表示的平面点集
| z | 2 | z a || z b | Re z 1/ 2
arg z , a Re z b
| z | Re z 1
Re z2 a2
0 arg z i
zi 4
z 1 1 z 1
小结
领域，开集，区域，边界，闭区域 单连通域与多连通域
指数函数 ez ex cos y i sin y z x iy
性质
ez ex , Argez y y 0时, ez ex; x 0时, eiy cosy isiny
exp( z1 z2 ) exp( z1) exp( z2 )
exp(z i2 ) exp(z)
举例 求z平面上带形区域-∞<Rez<+∞, 0<Imz<π经
无穷远点运算
无穷远点实部、虚部、辐角无意义，模等于：
| |
它和有限复数的基本运算为：
a a
a a (a 0)
a (a 0); a 0(a )
0
这些运算无意义： ,0 , / ,0 / 0.
课堂练习
2 / 5把下列复数用代数式、 三角式和指数式表示出来。 (1)Z 3 (2)e1i (3) 1 i
【免费下载】数学物理方法讲义
0
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复数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h2 2m
x, y, z, t
1. 数的概念的扩充
正整数（自然数） 1，2，…
负数
整数
运算规则 ＋，－，×，÷， 2 ，
－ 1 2 1
÷2
2
x2
0，-1，-2，…
…，-2，-1，0，1，2，…
2
y 2
1 0.5 1 0.333
有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数
无理数 无限不循环小数
实 数 有理数、无理数
虚数 复数
2. 负数的运算符号
2 1.414
1 i yi
实数、虚数、实数＋虚数
x2 1
x i
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
复变函数--绪论
研究对象
• 复变函数就是自变量为复数的函数. 复变函数论是分析学的一个分支，故又称 复分析. • 其主要研究对象是解析函数 .
1
• 复变函数论产生于十八世纪，全面发展 于十九世纪. • 16世纪 :人们在解代数方程时引入的复数. • 直到十八世纪，等人逐步阐明了复数的 几何意义与物理意义，建立了系统的复 数理论，从而使人们缍接受并理解了复 数.
2
产生背景
• 16世纪，意大利学者卡当（Cardan）第一个把负 数的平方根写进公式。笛卡尔称为“虚数”，欧 拉“纯属虚幻”。 • 1747年法国数学家达朗贝尔指出，按多项式四则 运算，这种数的结果总是形式的。 • 1730年，棣莫弗公式，1748年欧拉公式，并创作 了i作为虚数单位。 • 复平面的表示，并与向量对应，理论逐渐完备。
• 20世纪以来，复数函数论在物理、弹性 理论和天体力学等方面，与数学中其它 分支的联系也日益密切.致使经典的复变 函数理论，如整函数与亚纯函数理论、 解析函数的边界值问题有了新的发展和 应用. • 开辟了一些新的分支，如复变函数逼近 论、黎曼曲面、单叶解析函数、多复变 函数论，广义解析数论和拟共形映射等. 另外，在种种抽象空间的理论中，复变 函数还常常提供了新思想的模型.
5
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的， 主要是围绕Cauchy、Weierstrass及 Riemann三人的工作进行的.
• Cauchy建立了复变函数的积分理论；
• Weierstrass建立了复变函数的级数理论；
• Riemann建立了复变函数的几何理论；
这三部分构成了复变函数的理论基础。
6
3
复数的诞生
公元前400年，巴比伦人发现和使用
ax2 bx c 0, (a 0),
• 复变函数就是自变量为复数的函数. 复变函数论是分析学的一个分支，故又称 复分析. • 其主要研究对象是解析函数 .
1
• 复变函数论产生于十八世纪，全面发展 于十九世纪. • 16世纪 :人们在解代数方程时引入的复数. • 直到十八世纪，等人逐步阐明了复数的 几何意义与物理意义，建立了系统的复 数理论，从而使人们缍接受并理解了复 数.
2
产生背景
• 16世纪，意大利学者卡当（Cardan）第一个把负 数的平方根写进公式。笛卡尔称为“虚数”，欧 拉“纯属虚幻”。 • 1747年法国数学家达朗贝尔指出，按多项式四则 运算，这种数的结果总是形式的。 • 1730年，棣莫弗公式，1748年欧拉公式，并创作 了i作为虚数单位。 • 复平面的表示，并与向量对应，理论逐渐完备。
• 20世纪以来，复数函数论在物理、弹性 理论和天体力学等方面，与数学中其它 分支的联系也日益密切.致使经典的复变 函数理论，如整函数与亚纯函数理论、 解析函数的边界值问题有了新的发展和 应用. • 开辟了一些新的分支，如复变函数逼近 论、黎曼曲面、单叶解析函数、多复变 函数论，广义解析数论和拟共形映射等. 另外，在种种抽象空间的理论中，复变 函数还常常提供了新思想的模型.
5
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的， 主要是围绕Cauchy、Weierstrass及 Riemann三人的工作进行的.
• Cauchy建立了复变函数的积分理论；
• Weierstrass建立了复变函数的级数理论；
• Riemann建立了复变函数的几何理论；
这三部分构成了复变函数的理论基础。
6
3
复数的诞生
公元前400年，巴比伦人发现和使用
ax2 bx c 0, (a 0),
复变函数与积分变换绪论课教学策略
价值工程得四川省“挑战杯”、全国“挑战杯”、全国大学生机械创新设计大赛奖项以及全国机器人足球锦标赛冠、亚军。
5加强师资队伍建设机械设计课程教学组鼓励和支持青年教师在职提高学位，实行指导教师责任制，安排富有教学经验的老教师在教学和科研上对新进教师进行指导和帮助，实行一对一的传、帮、带，并订有明确具体的培养计划，帮助他们提高教学能力，过好教学关。
要求新进教师必须经过听课、辅导答疑、批改作业、指导实验、指导课程设计、试讲、点评、讲近机类课程等阶段后，才能讲机类课程。
经常开展有关本课程的教改与建设、教材建设、教学方法与手段运用以及老教师示讲、试讲等教学法活动；鼓励青年教师在教学方法、教学手段等方面勇于创新，创造条件鼓励教师参加各种学术会议。
鼓励青年教师积极参与本课程组主持或参加的校级及省教育厅立项的课程建设与教改研究项目。
另外，加大引进具有丰富实践经验的高级工程技术人才，把不同经历的教师融为一个有机整体，使教师间共同磋商，相互学习，取长补短。
6结束语经过几年的实践，我校机械设计课程的教学取得了较好的效果。
机械设计作为专业技术基础课，课程内容多且实践性强，需要积极探索各种教学方法和手段，紧密结合工程实际，培养学生的工程意识和创新设计能力。
参考文献：[1]朱维兵.加强机械基础系列课程建设的思路和构架[J].高等教育研究(成都)，2004，20(2):71-72.[2]秦小屿.提高机械设计课程教学效果的几点思考[J].高等教育研究(成都)，2009,26(1):50-51.[3]朱维兵.机械基础系列课程实验教学改革思路[J].西华大学学报(哲学社会科学版)，2004(专辑):80-81.[4]罗康，王进戈，陈卫泽，蔡长韬，柳在鑫.现代机械创新制作开放型实验模式的构建[J].实验科学与技术，2009，7(2):30-31.1问题的提出“绪论”是课程的开篇，通常概括性的介绍全书。
包括内容设置、学科的发展简史、与相关学科的联系和今后的发展方向及动态。
0复变函数绪论稿
在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经 深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对 他们的发展有很大的影响.
积分变换简介
何为积分变换？
所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函 数变成另一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：
b
a
k
(
t
,
)
f
(t
)dt
记为
F
(
).
工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统 分析的重要工具.
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常 有用的工具.我们只研究最重要的两种积分变换傅里叶 变换和拉普拉斯变换.其实由于不同应用的需要，还有 其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换 和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯 变换转化而来.
1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇 论文，论文中考虑了复变函数的积分：
f (z)dz,其中f (z) u( x, y) iv( x, y)满足方程
u v , u v x y y x
其实比欧拉更早，法国数学家达朗 欧贝已拉经尔和得在达到1朗7这5贝2两年尔个关是方于复程流变，体函故力数有学论的论的教文先科中驱.
书称这两个方程为达朗贝尔-欧拉方 程.到了十九世纪，上述两个方程在 柯西和黎曼研究流体力学时，作了 更详细的研究，所以这两个方程也 被叫做“柯西-黎曼方程”。
十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、 德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形 成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的 许多分支.例如，著名的代数学基本定理：
一元n次方程
a0zn a1zn1 an1z an 0 (a0 0)
积分变换简介
何为积分变换？
所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函 数变成另一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：
b
a
k
(
t
,
)
f
(t
)dt
记为
F
(
).
工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统 分析的重要工具.
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常 有用的工具.我们只研究最重要的两种积分变换傅里叶 变换和拉普拉斯变换.其实由于不同应用的需要，还有 其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换 和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯 变换转化而来.
1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇 论文，论文中考虑了复变函数的积分：
f (z)dz,其中f (z) u( x, y) iv( x, y)满足方程
u v , u v x y y x
其实比欧拉更早，法国数学家达朗 欧贝已拉经尔和得在达到1朗7这5贝2两年尔个关是方于复程流变，体函故力数有学论的论的教文先科中驱.
书称这两个方程为达朗贝尔-欧拉方 程.到了十九世纪，上述两个方程在 柯西和黎曼研究流体力学时，作了 更详细的研究，所以这两个方程也 被叫做“柯西-黎曼方程”。
十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、 德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形 成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的 许多分支.例如，著名的代数学基本定理：
一元n次方程
a0zn a1zn1 an1z an 0 (a0 0)
西安交通大学复数与复变函数教学PPT
a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
复变函数课件--复变函数1绪论
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
弹性力学1-绪论
如：梁的弯曲问题
弹性力学结果
材料力学结果
当 l >> h 时，两者误差很小
如：变截面杆受拉伸
弹性力学以微元体为研 究对象，建立方程求解，得 到弹性体变形的一般规律。 所得结果更符合实际。
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。
弹性力学在各领域中的应用:
土木、机械、航天、航空、航海、矿业、水利等工程 领域的许多课题都须用弹性理论去求解。
海 沧 大 桥
高层建筑与大型桥梁
桥面结构
桥墩
桥面结构
缆索与立柱
美与力的雕塑
美与力的雕塑
城市中的剧院、剧院中的城市——国家大剧院
3.5万平方米、45米高 、6750吨的巨型曲线壳体无 一根柱子支撑，全靠弧形钢梁承重 。
V 0
—— 体力分布集度 （矢量）
Z
V
F Xi Yj Zk
X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： N/m3
k
X
Y
kN/m3
量纲:[力][长度]-3
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
学习要求： 1。写笔记 2。先读书，后做作业，按时交作业 步骤清晰，作图规范，书写工整，解答正确 3。课前要预习，上课要带书，讲授、自学和讨论 相结合 4。上课要集中精力，认真听，重点记
学习方法 1。弄清基本概念——思考再思考，观察生活实例 适当读参考书、开展相关讨论 2。注意知识发生过程——公式推导：基本假设 、 基本思路基本要点 3。认真完成作业——理解、体验，举一反三 培养解决问题的能力 4。养成写总结和体会的习惯 5。写小论文
1-复变函数
i
i e
2
2 k
, k 0,1,2,
（四）复变函数的极限与连续 w f ( z) u( x, y) iv( x, y) zE
z x iy
一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序 组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相 应性质的直接推广。 极限 设w = f (z) 在z0的去心邻域已单值的确定，对 于任意给定的 0, 相应地必有一正数 , 使得当 0 z z 0 时有 f ( z ) A , f ( z) A 称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限,记作 zlim z
9
距离不等式:
对给定的复数z, 方程wn =z 的解w 称为z 的n 次方根, 1 n n 记做 z 或 z . 共有n个不同的解。
n
z n e i / n n e
i
arg z 2 k n
, k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i 2 cos i sin 2e 4 4 4 2k 2k
复数共轭：复数z= x+ i y与z*= x- i y互为共轭（实 部相等，虚部差一负号）
z*z x 2 y 2
复数不能比较大小。
5
2.复数的三种表示：
复平面：由实轴(x轴) 、虚轴( y轴)按直角坐标系构 成的平面( z平面) ，复数z= x+ iy与复平面上点z(x,y) 一一对应。复数与(x,y)平面中的矢量可以类比。
i
4 1 i 8 2 cos 4 4
i sin 4
4
, (k 0,1,2,3)
10
w0 2 cos i sin 16 16
i e
2
2 k
, k 0,1,2,
（四）复变函数的极限与连续 w f ( z) u( x, y) iv( x, y) zE
z x iy
一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序 组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相 应性质的直接推广。 极限 设w = f (z) 在z0的去心邻域已单值的确定，对 于任意给定的 0, 相应地必有一正数 , 使得当 0 z z 0 时有 f ( z ) A , f ( z) A 称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限,记作 zlim z
9
距离不等式:
对给定的复数z, 方程wn =z 的解w 称为z 的n 次方根, 1 n n 记做 z 或 z . 共有n个不同的解。
n
z n e i / n n e
i
arg z 2 k n
, k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i 2 cos i sin 2e 4 4 4 2k 2k
复数共轭：复数z= x+ i y与z*= x- i y互为共轭（实 部相等，虚部差一负号）
z*z x 2 y 2
复数不能比较大小。
5
2.复数的三种表示：
复平面：由实轴(x轴) 、虚轴( y轴)按直角坐标系构 成的平面( z平面) ，复数z= x+ iy与复平面上点z(x,y) 一一对应。复数与(x,y)平面中的矢量可以类比。
i
4 1 i 8 2 cos 4 4
i sin 4
4
, (k 0,1,2,3)
10
w0 2 cos i sin 16 16
高等数学绪论
高等数学绪论
在一切理论成就中,未必再有什么像17世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人
类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正在这
里。
恩格斯
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高 效率的管理。高技术的基础是应用科学，而 应用科学的基础是数学。高技术本质上是一 种数学技术。
常微分方程：是把微积分应用于解决实际问 题的桥梁，讨论常微分方程的可解性及解的 求法。
向量代数与空间解析几何：研究向量的概念 与运算，空间的平面、曲线、曲面的代数描 述及方程和函数的几何表示，是平面解析几 何的自然推广。
无穷级数：是有限和的推广，研究级数的收敛 性及函数的无穷级数展开问题。
高等数学与初等数学的主要区别在于研究的对 象和研究方法的不同：初等数学主要研究规则、 平直的几何图形和均匀、有限过程的常量；高 等数学主要研究不规则、弯曲的几何对象和非 均匀、无限过程的变量。
圆的切线 : 与圆只
有一个交点的直线
y x 3 2x 5在(0,5)
P
的切线是什么？
割线的极限位置
割线斜率：
y x3 2x 5
k PM
f (x) f (0) x0
x2 2
切线斜率k lim f ( x) f (0) 2
x0
x0
M
M
T
例2 曲边形的面积
求由x轴，x 1, y x 2所围图形的面积
微积分的创立者 及其先驱
笛卡尔、巴罗、
牛顿、莱布尼茨
0.1 数学发展概况
数学的萌芽时期：远古时代------公元前6世 纪。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题 的证明和演绎推理。
常量数学时期：公元前6世纪------17世纪上 半叶。比较系统的知识体系、比较抽象的并有 独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著 《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表 作。现在中学数学课程的主要内容基本上是这 一时期的成果。
在一切理论成就中,未必再有什么像17世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人
类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正在这
里。
恩格斯
国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高 效率的管理。高技术的基础是应用科学，而 应用科学的基础是数学。高技术本质上是一 种数学技术。
常微分方程：是把微积分应用于解决实际问 题的桥梁，讨论常微分方程的可解性及解的 求法。
向量代数与空间解析几何：研究向量的概念 与运算，空间的平面、曲线、曲面的代数描 述及方程和函数的几何表示，是平面解析几 何的自然推广。
无穷级数：是有限和的推广，研究级数的收敛 性及函数的无穷级数展开问题。
高等数学与初等数学的主要区别在于研究的对 象和研究方法的不同：初等数学主要研究规则、 平直的几何图形和均匀、有限过程的常量；高 等数学主要研究不规则、弯曲的几何对象和非 均匀、无限过程的变量。
圆的切线 : 与圆只
有一个交点的直线
y x 3 2x 5在(0,5)
P
的切线是什么？
割线的极限位置
割线斜率：
y x3 2x 5
k PM
f (x) f (0) x0
x2 2
切线斜率k lim f ( x) f (0) 2
x0
x0
M
M
T
例2 曲边形的面积
求由x轴，x 1, y x 2所围图形的面积
微积分的创立者 及其先驱
笛卡尔、巴罗、
牛顿、莱布尼茨
0.1 数学发展概况
数学的萌芽时期：远古时代------公元前6世 纪。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题 的证明和演绎推理。
常量数学时期：公元前6世纪------17世纪上 半叶。比较系统的知识体系、比较抽象的并有 独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著 《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表 作。现在中学数学课程的主要内容基本上是这 一时期的成果。
复数与复变函数
z 0 Re( z ) Im(z ) 0
(4) 设 z x iy , 称 z x iy 为 z 的共轭复数 .
二、复数的四则运算
设 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则
（1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) （2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 z1 z2 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 (3) z i 2 z2 z2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z 2 0)
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了
系统的复数理论，发现了复指数函数和三
角函数之间的关系，创立了复变函数论的
一些基本定理，并开始把它们应用到水力
学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，
也是Euler首创的。
3、19世纪，法国数学家Cauchy、德
国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努 力，建立了系统的复变函数理论，这些理 论知识直到今天都是比较完善的。
1545 年，卡丹诺在他的著作《大术》 （Ars Magna）中，介绍了解三次方程的方法。 从此，解三次方程的方法，就被称为 「卡丹诺公式」。
解方程
x mx n
3
公式： x 3 例
n 3 2 3
对
象
复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、 共形映射、傅里叶变换和拉普 拉斯变换等。
绪论
信号与系统g ySignals and Systems/eclass/控制系本科教学平台：http://www cse zju edu cn/eclass/搜索课程：信号与系统（乙）浙江大学控制科学与工程学系¾信号与系统所需的预修课程¾数学分析（微积分）、常微分方程、复变函数、电路原理等¾信号与系统课程的研究内容（1）信号的特性（包括连续和离散时间信号）信号的时域特性信号的频域特性：频谱（幅度谱，相位谱）等信号的变换域复频域信号的变换域：复频域（2）系统的特性系统的特性：线性、时不变、因果、稳定等系统的特性线性时不变因果稳定等刻画系统的参量：冲激响应、系统函数、频率响应等2¾目的:–介绍信号与系统的基本概念、理论–学习如何分析信号特性和线性时不变系统¾要求:–预习,听课和复习–按时完成所布置的作业（重要！每周上课时交上一次作业）¾评分标准–平时成绩（到课、作业、回答问题以及课堂练习）: 20-30%–期末考试: 70-80%¾答疑：课间、课程网站答疑论坛、电子邮件、电话均可3参考书目(Second Edition) 1998年，清华大学出版社•PRENTICE HALL(英文版）(S d Editi)1998年清华大学出版社PRENTICE HALL(英文版）Samebook¾Oppenheim A V, Willsky A S, Nawab S H.刘树棠译.信号与系统(第二版), 西安: 西安交通大学出版社, 1998.¾Oppenheim A V, Schafer R W, Buck J R.刘树棠,黄建国译.离散时间信号处理(第二版), 西安: 西安交通大学出版社, 2001.¾于慧敏主编. －－教材信号与系统（第二版）, 北京: 化学工业出版社, 2008.¾于慧敏,凌明芳,史笑兴,杭国强编. －－配套书信号与系统学习指导, 北京:化学工业出版社, 2004.¾其他同类书4¾本课程性质电类（弱电类）专业的专业基础课¾本课程教学内容第一章~第七章第一章信号与系统基本概念第二章LTI系统的时域分析：连续与离散信号第三章连续时间信号与系统的频域分析第四章离散时间信号与系统的频域分析第五章采样、调制与通信系统第六章信号与系统的复频域分析第七章Z变换5¾任课教师王慧hwang@130********徐祖华xuzh@135********陈曦xichen@138********周立芳lfzhou@139********lfzhou@iipc zju edu cn赵均jzhao@130********j本科教学课程中心：/eclass/搜索课程：信号与系统（乙）6本科教学课程网站：/eclass浙江大学控制科学与工程学系7资源下载浙江大学控制科学与工程学系8浙江大学控制科学与工程学系9号系g y信号与系统Signals and Systems第一章信号与系统的基本概念第章Chapter 1 Signals and Systems Basic Concepts浙江大学控制科学与工程学系本章主要内容（0）引言(Introduction)（1）信号的基本概念（2）连续时间与离散时间的基本信号（3）复指数信号与正弦信号（4）信号的运算与自变量变换（5）系统的描述及系统的基本性质基本概念——引言(0)消息运动或状态变化的直接反映待传输与处理的原始对象之含意如语音9消息（Message)、信息（Information) 、信号（signal ）消息：运动或状态变化的直接反映、待传输与处理的原始对象之含意，如语音、基本概念——引言(1)9重要性：三大资源（能源、材料、信息）9信息化——信息的流通、积累、处理和利用。
00. 复变函数绪论
这个数的性质很奇妙，但它有用，不可忽视.” 在十八世纪末，C.Wessel[挪威]，J.R.Argand[瑞士]以及Gauss相继独
立认识到可以给出复数简单明了的几何解释 高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还
看作是一种向量，并利用复数与向量之间 一一对应的关系，阐述了复数的几何加法 与乘法
C.F.Gauss[德] (1777–1855)
（3）幂级数表示的特征 ，
i
1
1
，
i
!
，
!
，
!
!
.
.
§0.2 复变函数特征举例
（4）复变函数的几何特征
函数
在 上任意次可导，且
考虑圆周
!
在
下的像：
§0.3 复变函数内容一览
边值问题 泊松公式 调和函数
复数 复变函数 解析函数 C-R条件
积分均值公式 最大模原理
代数基本定理
复数运算及其几何表示
初等函数 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 柯西不等式 刘维尔定理
留数
分式线性映射 S-C映照公式
黎曼映照定理
保域定理
唯一性定理 解析函数零点
泰勒级数 洛朗级数 解析函数孤立奇点 实积分计算 幅角原理 儒歇定理 保形变换
三角、积分学和常微分方程与偏微分方程
理论的大部分内容都无法学懂.”
G.Polya[美](1887-1985）
§0.2 复变函数特征举例
（1）初等函数的特征
§0.2 复变函数特征举例
（2）函数可数导数
→
实函数
在 处可导.
复函数
在 处可导吗？
§0.2 复变函数特征举例
复变函数 Complex Functions
立认识到可以给出复数简单明了的几何解释 高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还
看作是一种向量，并利用复数与向量之间 一一对应的关系，阐述了复数的几何加法 与乘法
C.F.Gauss[德] (1777–1855)
（3）幂级数表示的特征 ，
i
1
1
，
i
!
，
!
，
!
!
.
.
§0.2 复变函数特征举例
（4）复变函数的几何特征
函数
在 上任意次可导，且
考虑圆周
!
在
下的像：
§0.3 复变函数内容一览
边值问题 泊松公式 调和函数
复数 复变函数 解析函数 C-R条件
积分均值公式 最大模原理
代数基本定理
复数运算及其几何表示
初等函数 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 柯西不等式 刘维尔定理
留数
分式线性映射 S-C映照公式
黎曼映照定理
保域定理
唯一性定理 解析函数零点
泰勒级数 洛朗级数 解析函数孤立奇点 实积分计算 幅角原理 儒歇定理 保形变换
三角、积分学和常微分方程与偏微分方程
理论的大部分内容都无法学懂.”
G.Polya[美](1887-1985）
§0.2 复变函数特征举例
（1）初等函数的特征
§0.2 复变函数特征举例
（2）函数可数导数
→
实函数
在 处可导.
复函数
在 处可导吗？
§0.2 复变函数特征举例
复变函数 Complex Functions
复变函数绪论
y
x yi
0
x
12
今后，我们将复数与复平面的点不加区分， 这种点-数等同将给我们带来许多方便。在点-数 等同的观点下，一个复数集合就是一个平面点集， 因此，很自然地，某些特殊的平面点集就可以用 复数所满足的某种关系式来平面
z : 0 Re z 1,0 Im z 1：
y
x yi
0
x
14
复数与平面上的点是一一对应的，这是将 复数实部和虚部分别看作直角坐标系下点的横 坐标和纵坐标。除此以外，复数还可以同平面 向量一一对应，只要将复数的实部和虚部分别 看作向量的水平分量和垂直分量就行了。所以 我们也可以把复数与平面向量等同起来，不过 要注意，向量具有“平移不变性”，即其起点 可在任意一点。如果把向量的起点放在（复平 面的）坐标原点，则此向量及向量的终点在上 述两种对应下恰好对应同一个复数。
9
例如，对复数 z 2 i
有
Re z 2
Im z 1
当y 0时,z x iy x i0，我们就认定它是实数x 当x 0时, z x iy 0 iy，我们认定它是纯虚数iy
0 i0 即可看作是实数0，也可看作是纯虚数0i
10
两个复数的相等？
这样，一个复变函数w f ( z )就相当于一对二元实变函数。
以上是复变函数要比实变函数复杂的根本所在。
18
2 w z 1 例1：将定义在全平面上的复变函数
化为一对二元实变函数。
解：记z x iy，w u iv 代入w z 2 1
u iv ( x iy)2 1 x 2 y 2 1 2ixy
25
从柯西不等式可以推出另一个重要的定理： 刘维尔（Liouville）定理：设函数f(z)在全 平面上解析且有界，则f(z)为一常数 证明： 设z0是平面上的任意一点，对任意整数R，
现代控制理论 第一章 绪论
控制论之父— 控制论之父 —维纳 维纳
2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实 我国著名科学家钱学森 并与1954年出版了《工程控制论》 1954年出版了 践，并与1954年出版了《工程控制论》。
钱学森
从四十年代到五十年代末，经典控制理论的 发展与应用使整个世界的科学水平出现了巨大 的飞跃，几乎在工业、农业、交通运输及国防 建设的各个领域都广泛采用了自动化控制技术。 （可以说工业革命和战争促使了经典控制理论 的发展）。
闭环与开环控制系统的比较
优点 闭环 采用了反馈， 采用了反馈，因而使系统的响 应对外部干扰和内部系统的参 数变化均相当不敏感。 数变化均相当不敏感。 控制精度高 构造简单，维护容易； 构造简单，维护容易； 成本比相应的闭环系统低； 成本比相应的闭环系统低； 不存在不稳定性问题； 不存在不稳定性问题； 当输出量难于测量， 当输出量难于测量，或者要测 量输出量在经济上不允许时， 量输出量在经济上不允许时， 采用开环比较合适（ 采用开环比较合适（比如洗衣 机）。 扰动和标定尺度的变化 将引起误差， 将引起误差，从而使系统 的输出量偏离希望的数值； 的输出量偏离希望的数值； 精度通常较低， 精度通常较低，无自动 纠偏能力。 纠偏能力。 缺点 存在稳定、振荡、超调等问题； 存在稳定、振荡、超调等问题； 系统性能分析和设计较麻烦。 系统性能分析和设计较麻烦。
1.5控制理论中的一些术语
（6）反馈控制 ） 是这样一种控制，它能够在存在扰动的情况下， 是这样一种控制，它能够在存在扰动的情况下，力图 减少系统的输出量与某种参考输入量之间的偏差， 减少系统的输出量与某种参考输入量之间的偏差，且 其工作原理是基于这种偏差。 其工作原理是基于这种偏差。 这里的扰动是指不可预测的扰动。 这里的扰动是指不可预测的扰动。对于可预测或已知 的扰动，总是可以在系统内部加以补偿。 的扰动，总是可以在系统内部加以补偿。
1讲 复数、复变函数及其导数解析
z1 x1 iy1 令 z2 x2 iy2
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
得证。
共同证明 2、
i1 z e 1 1 令 i 2 z e 2 2
例2.几何意义 1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。 解： 令z =x +iy，
则|z-i|≤2
y
x ( y 1) 2
2 2
2
1
o
代表以（0，1）为圆心，以 2为半径的圆及其内部。
x
例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。 解：令z =x +i y，
则|z-i|=|z-2|
5、根式：
n
z e (cos
n n n
i
i sin ) n n
四、复运算结果的解释 1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则
z3 z2 z2 z3 z1
z1
四边形法则
三角形法则
2、根式结果的多值性 令 z e
i arg z
n
zne
i
2 k arg z n
物理学进展及其重要性 数学与物理的关系 如何学好《数学物理方法》
主 要 内 容
参考书目
一、物理学进展及其重要性
1、发展史（包括：经典与量子） (1)经典物理学 经典力学(Newton) 经典热力学(Carnot, Clausius) 经典电磁学(Coulomb, Maxwell) 等等 其中一些主观臆断性的结论是非科学的， 如： Newton认为光仅是一些传播的粒子。
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复变函数与积分变换
1
绪论
课程简介
课程名称：复变函数与积分变换
Functions of Complex Variable and Integral Transforms
教
材： 《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
《积分变换》(五版)
东南大学数学系 张元林 编
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
21 October 2015
11 目录
课程
绪论
积分变换简介
何为积分变换？ 所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个 函数变成另一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参 变量，具体形式可写为 ：
b
a
k ( t , ) f ( t )dt F ( ).
© 2009, Henan Polytechnic University
r
实轴
6 目录
课程
21 October 2015
绪论
1831年,德国数学家高斯在 《哥庭根学报》上详细说明了复 数 a+bi表示成平面上的一个点(a， b)，从而明确了复平面 的概念, 他又将表示平面点的直角坐标与 极坐标加以综合,统一于表示同一 复数的二种表示形式—复数的代 数形式及三角形式之中.此外，高 虚轴 斯还给出了”复数”这个名称,由 a + bi = r (cos + i 于高斯的卓越贡献,后人常称复数 r sin ) 平面为高斯平面.
复变函数与积分变换
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21 October 2015
16 目录
课程
绪论
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合， 都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变 换的一个主要优点是可采用传递函数（输出函数与输 入函数的拉普拉斯变换函数的商）代替微分方程来描 述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确 定控制系统的整个特性（信号流程图、动态结构图）、 分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根 轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（控制系统 校正方法）提供了可能性.
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
21 October 2015
5 目录
课程
绪论
1777年，瑞士数学家欧拉系统地建立 了复数理论.
在几何方面：1797年，挪威数学家维塞尔最先提出 复数的几何解释.
虚轴 a + bi = r (cos + i sin ) O 复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
21 October 2015
21 目录
课程
O 复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polyte 目录
课程
21 October 2015
绪论
复变函数的引入：
1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关
系，并写出以下公式：
e ix cos x i sin x
1777 年，在他的著作《微分公式》中，首次使 用 i 来表示虚数 . 他创立了复变函数论，并把它们
21 October 2015
2 目录
课程
绪论
复变函数简介
函数论是数学研究中的一个十分重要的领域.其 中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为 自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）； 另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）, 我们这门课就是介绍一下复变函数论.
复变函数与积分变换
21 October 2015
15 目录
课程
绪论
由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为 傅里叶级数（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合）， 而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于 无穷大转化而来，利用这一思想得到了傅里叶变换和逆 变换.而拉普拉斯变换可理解为特殊的傅里叶变换，这 两种变换最基本应用就是求解线性微分方程，将复杂卷 积运算转化为简单乘积运算. 此外，傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处 理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、 结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理 中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱—— 显示与频率对应的幅值大小，开创了信号频谱分析的先 河）.
应用到水力学、地图制图学上.
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
21 October 2015
8 目录
课程
绪论
1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一 篇论文，论文中考虑了复变函数的积分： f ( z )dz, 其中f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )满足方程
复变函数与积分变换
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绪论
怎样学好复变函数与积分变换这门课 要想学好这门课，首先复习高数二元函数 极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂 级数，傅里叶级数等内容.
复变函数与积分变换
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基于这种思想，便产生了积分变换. 其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具（微积分向代 数运算转化）； 能实现卷积与普通乘积之间的 互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统 分析的重要工具.
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十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、 德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形 成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的 许多分支.例如，著名的代数学基本定理： 一元n次方程
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绪论
拉普拉斯--法国数学家、天文学家.1749年3月23 日生于法国博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎.他是 天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一， 还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数学 的先驱.其主要贡献是在研究天体问题的过程中，创造 和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉 斯变换、拉普拉斯定理(概率里的大数定律)和拉普拉 斯方程（电磁学，天体力学，流体力学），在科学技 术的各个领域有着广泛的应用.他发表的天文学、数学 和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页.其 中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体系论》 和《概率分析理论》（1812年发表）.
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绪论
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非 常有用的工具.我们只研究最重要的两种积分变换傅里 叶变换和拉普拉斯变换.其实由于不同应用的需要，还 有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变 换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉 斯变换转化而来.
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1637年，法国数学家笛卡尔正 式开始使用“实数”、“虚数”这 两个名词. 同一时期，德国数学家莱布尼茨和法 国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、 三角函数之间的关系，除了解方程外，还 把它用于微积分等方面进行应用研究，得 到很多有价值的结果.
记为
这里 f (t )是要变换的函数， 原像函数；
F ( )是变换后的函数， 像函数；
k(t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
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积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为 比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得 到原问题的解. 原 问 题 直 接 求 解 困 难 原问题的解
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变换
较简单问题 求
解 逆变换
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变换后问题的解
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如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、 商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的 坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的 思路都属于这种情况.
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傅立叶--法国数学家、物理学家，1768年3月21日生 于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎.主要贡献是在研究 热的传播时创立了一套数学理论.1807年向巴黎科学院呈 交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程（偏微 分方程） ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函 数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成 三角函数的无穷级数.傅立叶级数（即三角级数）、傅立 叶分析等理论均由此创始. 另外，傅立叶积分变换的基 本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪 念.
1
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课程简介
课程名称：复变函数与积分变换
Functions of Complex Variable and Integral Transforms
教
材： 《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
《积分变换》(五版)
东南大学数学系 张元林 编
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积分变换简介
何为积分变换？ 所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个 函数变成另一个函数的一种变换.
这类积分一般要含有参 变量，具体形式可写为 ：
b
a
k ( t , ) f ( t )dt F ( ).
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r
实轴
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1831年,德国数学家高斯在 《哥庭根学报》上详细说明了复 数 a+bi表示成平面上的一个点(a， b)，从而明确了复平面 的概念, 他又将表示平面点的直角坐标与 极坐标加以综合,统一于表示同一 复数的二种表示形式—复数的代 数形式及三角形式之中.此外，高 虚轴 斯还给出了”复数”这个名称,由 a + bi = r (cos + i 于高斯的卓越贡献,后人常称复数 r sin ) 平面为高斯平面.
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在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合， 都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变 换的一个主要优点是可采用传递函数（输出函数与输 入函数的拉普拉斯变换函数的商）代替微分方程来描 述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确 定控制系统的整个特性（信号流程图、动态结构图）、 分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根 轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（控制系统 校正方法）提供了可能性.
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1777年，瑞士数学家欧拉系统地建立 了复数理论.
在几何方面：1797年，挪威数学家维塞尔最先提出 复数的几何解释.
虚轴 a + bi = r (cos + i sin ) O 复变函数与积分变换
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O 复变函数与积分变换
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复变函数的引入：
1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关
系，并写出以下公式：
e ix cos x i sin x
1777 年，在他的著作《微分公式》中，首次使 用 i 来表示虚数 . 他创立了复变函数论，并把它们
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复变函数简介
函数论是数学研究中的一个十分重要的领域.其 中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为 自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）； 另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）, 我们这门课就是介绍一下复变函数论.
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由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为 傅里叶级数（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合）， 而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于 无穷大转化而来，利用这一思想得到了傅里叶变换和逆 变换.而拉普拉斯变换可理解为特殊的傅里叶变换，这 两种变换最基本应用就是求解线性微分方程，将复杂卷 积运算转化为简单乘积运算. 此外，傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处 理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、 结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理 中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱—— 显示与频率对应的幅值大小，开创了信号频谱分析的先 河）.
应用到水力学、地图制图学上.
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1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一 篇论文，论文中考虑了复变函数的积分： f ( z )dz, 其中f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )满足方程
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怎样学好复变函数与积分变换这门课 要想学好这门课，首先复习高数二元函数 极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂 级数，傅里叶级数等内容.
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基于这种思想，便产生了积分变换. 其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具（微积分向代 数运算转化）； 能实现卷积与普通乘积之间的 互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统 分析的重要工具.
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十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、 德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形 成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的 许多分支.例如，著名的代数学基本定理： 一元n次方程
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拉普拉斯--法国数学家、天文学家.1749年3月23 日生于法国博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎.他是 天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一， 还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数学 的先驱.其主要贡献是在研究天体问题的过程中，创造 和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉 斯变换、拉普拉斯定理(概率里的大数定律)和拉普拉 斯方程（电磁学，天体力学，流体力学），在科学技 术的各个领域有着广泛的应用.他发表的天文学、数学 和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页.其 中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体系论》 和《概率分析理论》（1812年发表）.
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积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非 常有用的工具.我们只研究最重要的两种积分变换傅里 叶变换和拉普拉斯变换.其实由于不同应用的需要，还 有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变 换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉 斯变换转化而来.
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1637年，法国数学家笛卡尔正 式开始使用“实数”、“虚数”这 两个名词. 同一时期，德国数学家莱布尼茨和法 国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、 三角函数之间的关系，除了解方程外，还 把它用于微积分等方面进行应用研究，得 到很多有价值的结果.
记为
这里 f (t )是要变换的函数， 原像函数；
F ( )是变换后的函数， 像函数；
k(t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
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积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为 比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得 到原问题的解. 原 问 题 直 接 求 解 困 难 原问题的解
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变换
较简单问题 求
解 逆变换
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如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、 商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的 坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的 思路都属于这种情况.
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傅立叶--法国数学家、物理学家，1768年3月21日生 于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎.主要贡献是在研究 热的传播时创立了一套数学理论.1807年向巴黎科学院呈 交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程（偏微 分方程） ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函 数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成 三角函数的无穷级数.傅立叶级数（即三角级数）、傅立 叶分析等理论均由此创始. 另外，傅立叶积分变换的基 本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪 念.