2017届甘肃兰州一中高三9月月考数学(理)试卷

2017届甘肃兰州一中高三9月月考数学(理)试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．设集合A={x|x>a},集合B={-1,1,2},若A∩B=B,则实数a 的取值范围是（ ) A.（1,+∞) B.（-∞,1) C.（-1,+∞) D.（-∞,-1)2为纯虚数，那么实数a =（ ) A.1- B. C.1 D.3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ )A.200，20B.100，20C.200，10D.100，10 4．已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ) A.100 B.99 C.98 D.975．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ )A ．3B ．6C ．9D ．126．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ )．π24+ D ．π+47．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R)是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ )8．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是（ )A ．1B ．2C ．4D ．79．甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为（ )A 10．函数sin cos y x x x =+的图象大致为（ )11．已知抛物线x y 82=的焦点到双曲线，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ )A ．]2,1( C ．),2[+∞12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ )B.()2,+∞C.D.()1,213．设向量a=（m,1),b=（1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 14．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为15．在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答) 16．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则17（Ⅰ)（Ⅱ)18．2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如下表：（Ⅰ)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ)根据调查数据,是否有 参考数据：其中n a b c d =+++)19．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC.E 是PC 的中点，作EF⊥PB 交PB 于点F.（1)证明PA∥平面EDB ；（2)证明PB⊥平面EFD ；（3)求二面角C －PB －D 的大小.20．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为为1．（Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ)是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得0=⋅OB OA . 21，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a∈R. （Ⅰ)当a ＝1时，判断f （x)的单调性；（Ⅱ)若g （x)在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围 22．选修4－1《几何证明选讲》已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O 的切线,AC∥DE ,AC 与BD 相交于H 点（1)求证:BD 平分∠ABC ;（2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH 的长.23．《选修4—4：坐标系与参数方程》已知直线l（t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos （θ－π4)．（1)求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程； （2)若直线l 与曲线C 交于A，B24．选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-（Ⅰ)若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；（Ⅱ)在（Ⅰ)的条件下，若0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．参考答案1．D 【解析】试题分析：A B B B A ⊂⇒=⋂,所以1-<a ，选D.考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2．C 【解析】试题分析：因为i (1)(1)1i 2a a a i+-++=-为纯虚数，所以1,01==-a a ，选C.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi3．A 【解析】试题分析：样本容量为200%2)450020003500(=⨯++，抽取的高中生近视人数20%50%22000=⨯⨯，选A.考点：分层抽样4．C 【解析】试题分析：32792)(955919=⇒==+=a a a a S ，所以98559085101010010010051010100=⇒=-⇒--=--a a a a a a ，选C.考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 5．C 【解析】试题分析：9)12(log )2(,62)12(log ,34log 1)2(2112log 222=+-∴===+=--f f f f ,选C.考点：分段函数求值 6．D 【解析】 试题分析：几何体为一个三棱柱与一个半圆柱的组合，其中三棱柱的底为一个等腰直角三角形，腰长为2，高为2；半圆柱的底面为半径为1的半圆，高为2，所以体积为ππ+=⨯⨯+⨯⨯⨯42121222212，选D考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 7．C 【解析】试题分析：直线l 过圆心)1,2(，所以1a =-，所以切线长6AB ，选C.考点：切线长 8．C 【解析】试题分析：第一次循环2,1s ==i ；第二次循环3,2s ==i ；第三次循环4,4s ==i ；结束循环，输出,4s =选C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9．B 【解析】试题分析：甲、乙、丙三人站在一起共有633=A 种排法,其中乙正好站在甲丙之间有222A =种排法,所以概率为21=63，选B. 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1)列举法.（2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 10．D 【解析】试题分析：当0x =时，函数1y =，所以不选A,C; 当x π=时，函数1y =-，所以选D 考点：函数图像与性质 11．B 【解析】试题分析：抛物线x y 82=的焦点(2,0)到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x E 的渐近线0bx ay ±=的距离等于222222223434()412bc b c c a c a e c ≤⇒≥⇒≥-⇒≤⇒<≤，选B.考点：双曲线离心率 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12．A 【解析】试题分析：(2)(2)T 4f x f x -=+⇒=,在区间(]2,6-内分别作函数(),log (2)a y f x y x ==+图像，由图可知3log (22)3,log (62)3,482a a a a +<+>⇒<<⇒<<，选A.考点：函数与方程【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 （1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2)分离参数后转化为函数的值域（最值)问题求解.（3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 13．2- 【解析】试题分析：由题意得222(m 1)+315 2.m m +=++⇒=- 考点：向量的模14．2 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(00),(0,1),(,)22A B C ，，所以当直线2z x y=+过点B 时取最大值2.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 15．60 【解析】试题分析：因为16(2)r r r T C x +=-，所以2x 的系数为226(2)60.C -=考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. （2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.【解析】试题分析：由512911102e a a a a =+得551011101122,a a e a a e ==，所以1220ln ln ln a a a +++= 105012201011ln()ln()ln 50.a a a a a e ⋅⋅=== 考点：等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.17．（Ⅰ)2π（Ⅱ)1--【解析】试题分析：（Ⅰ)先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()fx sin()4x π=+-，再根据正弦函数性质求周期（Ⅱ)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ ，在（Ⅰ)的基础上，利用正弦函数性质求ππ-3[,]44最值试题解析：（Ⅰ)211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+-（1)()f x 的最小正周期为221T ππ==；（2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x取得最小值为：1--考点：二倍角公式、配角公式 18．（Ⅰ)分布列见解析，数学期望为 2（Ⅱ)有试题分析：（Ⅰ)先确定随机变量取法：0,1,2,3，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据公式求数学期望，也可先判断随机变量服从二项分布，利用二项分布公式求分布列及数字期望（Ⅱ)根据卡方公式求2K值，与表格0.1对应数据比较得结论试题解析：（1)由已知得70后“生二胎”的概率为23，并且23,3X B⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以其分布列如下所以（2)所以有90%以上的把我认为“生二胎”与年龄有关考点：分布列和数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19．（1) 详见解析（2) 详见解析（3) 60°.【解析】试题分析：（1) 证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如三角形中位线性质（2) 证明线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化给予证明，其中线线垂直的寻找不仅可根据线面垂直关系转化，也可根据平几相关知识进行论证，如等腰三角形底边中线垂直于底边，正方形对角线相互垂直等（3) 先根据二面角定义确定平面角：∠EFD是二面角C－PB －D的平面角.再根据解对应三角形求角.试题解析：（1)证明如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.（2)证明∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样，由PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.（3)解由（2)知，PB⊥DF.故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD，PB，PC，DE＝a，在Rt△PDB中，DF＝ a.在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，∴∠EFD＝60°.∴二面角C－PB－D的大小为60°.考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理，二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．（Ⅰ)22143x y +=（Ⅱ)(,)-∞+∞【解析】试题分析：（Ⅰ)根据椭圆几何条件得1a c -=，又离心率为12得12c e a ==，解方程组得1c =，2a =， 2223b a c =-=（Ⅱ)先将向量条件坐标化，即由0O AO B ⋅=得12120x x y y +=，1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得2271212m k =+，代入判别式大于零表达式化简得m ≥m ≤试题解析：（1)设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c . 依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（2)解：存在直线l ，使得0=⋅成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++,化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥， 从而2127m ≥，m ≥m ≤所以实数m的取值范围是(,)-∞+∞ ．考点：直线与椭圆位置关系21．（Ⅰ)在（0，＋∞)上单调递增．（Ⅱ)a≥52【解析】试题分析：（Ⅰ)求函数导数并确定导函数符号：21()0x f x x +'=>，即得函数在定义域上单调递增（Ⅱ)g （x)在其定义域内为增函数，等价于g′（x)≥0恒成立，再利用变量分离法将其转化为对应函数最值：251xa x ≥+的最大值，最后利用基本不等式求251x y x =+最大值52得正实数a 的取值范围试题解析：（1)由()ln af x x x =-得定义域为（0，＋∞)，2()x a f x x +'=， 当a ＝1时，21()0x f x x +'=>， f （x)在（0，＋∞)上单调递增．（2)由已知得， 225()ax x a g x x -+'=因为g （x)在其定义域内为增函数，所以∀x ∈（0，＋∞)，g′（x)≥0，即ax2－5x ＋a≥0，即251xa x ≥+而2555122x x x x ≤=+，当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以a≥52.考点：利用导数研究函数单调性 【思路点睛】导数与函数的单调性（1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f （x)在某个区间内可导，如果f′（x)＞0，则 y ＝f （x)在该区间为增函数；如果f′（x)＜0，则y ＝f （x)在该区间为减函数.（2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 22．（1) 详见解析（2)3 【解析】 试题分析：（1) 证明BD 平分∠ABC 实质就是求角相等：由弦切角定理得∠CDE=∠DBC ，由平行得∠CDE=∠DCA ，由同弧对等角得∠DBA=∠DCA ，三者结合得∠DBA=∠DBC （2)求线段长，一般利用相似三角形得比例关系：由∆ABH ∽∆DBC,得AH ABCD BD =，而由等角转化为等弦：由∠DBA=∠DBC 得AD=DC ，AH ABAD BD =，解得AH=3试题解析：证明:（1)∵AC ∥DE,∴∠CDE=∠DCA,又∵∠DBA=∠DCA,∴∠CDE=∠DBA ∵直线DE 为圆O 的切线,∴∠CDE=∠DBC 故∠DBA=∠DBC,即BD 平分∠ABC（2)∵∠CAB=∠CDB,且∠DBA=∠DBC,∴∆ABH ∽∆DBC,∴AH ABCD BD =又∠EDC=∠DAC=∠DCA,∴AD=DC∴AH ABAD BD =, ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 考点：弦切角定理，三角形相似【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 （1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2)当比例式（等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．23．（1) 3π ，（x－)2＋（y－)2＝1 （2)2PA PB +=【解析】试题分析：（1)由直线参数方程几何意义得直线l3π；根据222cos ,sin =x y x y ρθρθρ==+， 将极坐标方程转化为直角坐标方程（2) 根据图像确定求PA PB+，就是求弦长AB，根据垂径定理得AB =算圆心到直线距离代入即得PA PB +=试题解析：（1)直线l 倾斜角为3π曲线C 的直角坐标方程为（x－)2＋（y－)2＝1（2)容易判断点(0,2P 在直线l 上且在圆C 内部，所以PA PB AB +=直线l 的直角坐标方程为y2+所以圆心（，)到直线l 的距离d＝.所以|AB|＝，即PA PB +=考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程 24．（Ⅰ)2a =（Ⅱ)(,5)(1,)-∞-+∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ)根据方程的解与不等式解集关系得：0,4为方程||=2x a -两根，也可先利用绝对值定义求不等式解集22a x a -≤≤+，再根据同解得等量关系得2024a a -=⎧⎨+=⎩（Ⅱ)不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题：200min [()(5)]4f x f x m m ++<+，再利用绝对值三角不等式求最小值：()(5)|2||f x f x x x x x ++=-++≥--+=，即得245m m +>，解得实数m的取值范围是(,5)(1,)-∞-+∞ ．试题解析：（Ⅰ)∵||2x a -≤，∴22a x a -≤≤+,∵()2f x ≤的解集为[0,4]，∴ 2024a a -=⎧⎨+=⎩，∴2a =． （Ⅱ)∵()(5)|2||3||(2)(3)|5f x f x x x x x ++=-++≥--+=, ∵0x ∃∈R，使得200()(5)4f x f x m m++-<，即200()(5)4f x f x m m ++<+成立，∴2min 4()m m f x +>，即245m m +>，解得5m <-，或1m >,∴实数m 的取值范围是(,5)(1,)-∞-+∞ ．考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。