2018年春九年级数学培优材料1

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【中考培优】2018年九年级数学中考复习专题函数实际问题培优练习(含答案)

2018年九年级数学中考复习专题函数实际问题培优练习1、某网站策划了A、B两种上网的月收费方式：设每月上网学习时间为x（h）小时，方案A，B的收费金额分别为y A （元）、y B（元）．如图是y B与x之间函数关系的图象：（友情提示：若累计上网时间不超出“包时上网时间”，则只收”月使用费“；若累计上网时间不超出“包时上网时间”，则对超出部分再加收”超时费“）（1）m=________；n=________p=________．（2）写出y A与x之间的函数关系式．（3）若每月上网的时间为29小时，请说明选取哪种方式能节省上网费？2、做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和35元，乙店铺获利润分别为26元和36元．某日，王老板进A款式服装36件，B款式服装24件，并将这批服装分配给两个店铺各30件．（1）怎样将这60件服装分配给两个店铺，能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同？（2）怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不少于950元的前提下，使王老板获利的总利润最大？最大的总利润是多少？3、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元。

2月份用水20吨，交水费32元（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式？（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？4、某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表：设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元（1）试写出W与x的函数关系式.（2）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？5、甲乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示.乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元.（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写取值范围）（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米.试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少.6、如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+b经过第一象限的点A（1，2）和点B（m，n）（m＞1），且mn=2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，△ABC的面积为2．（1）求B点的坐标；（2）求直线l1的函数表达式；（3）直线l2：y=ax经过线段AB上一点P（P不与A、B重合），求a的取值范围．7、某厂按用户的月需求量x(件/月)完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y(万元/件)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)，符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据．(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差很大，求m.8、为了预防流感，某校在休息天用药薰消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，生才能进入教室？9、为了预防“甲型H1N1”，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？10、已知直线经过点A(，3)(其中＞4)，与双曲线(＞0)交于点P，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线于点B、C(1)求的值(用含有字母a的代数式表示)；(2)过B作x轴垂线，垂足为E，交OA于D，连接CD①求证：四边形ABDC是矩形；②连接BP、CP，求的值。

黄冈市2018年春季九年级质量监测数学参考答案

＝(m－2) ≥0， ∴方程总有两个实数根．……………………………………4 分（2）由根与系数关系得： 19. （8 分）解：（1）A 等级 14 人，占
2
m2 1 m ，解得 m=－4. ……………………………7 分 2 2 2 28 40 ，∴总人数为 50 人，B 等级占，∴B 等级有 20 人，补 100 100
全条形图。………………………………………………………2 分（2） 56. ………………………………………………………4 分（3）p=
2 1 = （可以画树形图或列表进行分析）……………………………8 分 12 6
20．(7 分) 解：(1)易知点 D 的坐标是(1，2)，………………………………………………1 分 k k ∵双曲线 y＝ (k≠0，x＞0)过点 D，∴2＝，解得 k＝2. x 1 2 即双曲线的解析式是 y＝ . ………………………………………………………3 分 x （2－0）×1 （2－0）×（3－1） (2)∵S△CDE＝S△EDA＋S△AD C＝＋＝1＋2＝ 3 2 2
………………………………………………………7 分
21．（7 分）解：（1）设 CD =x, 在 Rt△CDE 中,ED =CD,∴ED= 3 x,又∵FD =AB =2. ∴EF =ED-FD = 3 x-2,在 Rt△AFE 中,∵∠EAF=30° ,∴AF = 3 EF,即 AF = 3 ( 3 x-2) 在 Rt△ABC 中,∠BAC =90°-∠ACB =60°,∴BC = 3 AB =2 3 , 又 AF =BC +CD=2 3 +x= 3 ( 3 x-2),∴x=2 3 ,即 CD=2 3 ,∴ DE=2 3 × 3 =6, ∴树高 6 米. ………………………………………………………4 分

【专题培优】2018年九年级数学上册一元二次方程应用题培优专题(含答案)

2018年九年级数学上册一元二次方程应用题培优专题1.如图，九年级学生要设计一幅幅宽20cm、长30cm的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条．如果要使彩条所占的面积是图案的一半．求彩条的宽度．2.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？3.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．4.市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.（1）求平均每次下调的百分率.（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？5.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．8.如图,要设计一个宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使彩条所占面积是图案面积9/25,应如何设计彩条的宽度？9.某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：每盆植入花苗4株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株花苗，平均单株盈利就会减少0.5元．要使每盆花的盈利为24元，且尽可能地减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？10.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求x取何值时，花园面积S最大，并求出花园面积S的最大值．参考答案1.解：设彩条的宽为xcm，则有（30﹣2x）（20﹣x）=20×30÷2，解得x1=5，x2=30（舍去）．答：彩条宽5cm．2.解:设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x－25)]x=27000.整理，得x2－75x+1350=0，解这个方程，得x1=45，x2=30.当x=45时，1000－20(x－25)=600＜700，故舍去x1；当x2=30时，1000－20(x－25)=900＞700，符合题意3.解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120整理得：x2﹣18x+72=0 解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．4.解：解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1=10%, x2=1.9(舍).故平均每周下调的百分率为10%.（2）方案1优惠：4860×100×（1-0.98）=9720（元）；方案2可优惠：80×100=8000（元）.故方案1优惠.5.解：（1）设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x；（2）小英说法正确；矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648，∵72﹣2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，∴当x=18时，S取最大值，此时x≠72﹣2x，∴面积最大的不是正方形．6.解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+）﹣24=200．方程可化为：50x2﹣25x+3=0，解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．因为为了促销故x=0.2不符合题意，舍去，∴x=0.3．答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．7.（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，解得x1=0，x2=25，当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．故每件衬衫应降价25元．（2）设商场每天盈利为W元．W=（40－x）（30+2x）=－2x2+50x+1200=－2（x2－25x）+1200=－2（x－12.5）2+1512.5 当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．8.解：设横彩条宽为2x cm，则竖彩条宽为3x cm，由题意得(20－4x)(30－6x)＝×600，解得x1＝1，x2＝9 当x＝9时，宽为18∵18×2＞20（舍去）∴x＝1 答：使横彩条宽为7 cm，竖彩条宽为3 cm9.解：设每盆花在植苗4株的基础上再多植x株，由题意得：（4+x）（5﹣0.5x）=24，解得：x1=2，x2=4，因为要尽可能地减少成本，所以x2=4应舍去，即x=2，则x+4=6，答：每盆花植花苗6株时，每盆花的盈利为24元．10.（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，∴x（28﹣x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：，解得：.又S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，∴当x≤14时，S随x的增大而增大.∴x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195答：x为13m时，花园面积S最大，最大面积为195m2．。

初三数学培优试题(含答案)

初三数学培优试题一学校：班级：姓名：分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。

若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。

黄冈市2018年春季九年级质量监测数学试卷(含答案)

黄冈市2018年春季九年级质量监测数学试题7. 9.03×10－78．0 9．a +b 10.2(1)x x - 11．5 12．613．2514．2 15．（5分）解：2(2)3,312.2x x x +>⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ ①②解不等式①得 4.x <…………………………………………………………………….1分解不等式②得 1.x ≥-……………………………………………………………………3分 ∴不等式①、②的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集为1 4.x -≤<………………………………………………………5分 16 .（6分）解：（1）设商场购进甲种节能灯x 只，购进乙种节能灯y 只，根据题意，得30353300100x y x y +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………2分解得 4060x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只。

…………………………………………4分（2）商场获利＝40(4030)60(5035)1300⨯-+⨯-=（元）答：商场获利1300元. …………………………………………………………………………………………….6分 17.（7分）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD. ………………………………………………………2分∴ ∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC ∵∠B=∠AFE ，∠AFE+∠AFD=180°，∴ ∠C=∠AFD. ……………………………………………………………………………4分又∵ AB=AF ，∴ CD=AF ……………………………………………………………………………….5分 ∴ △AFD ≌△DCE （AAS ）………………………………………………………7分 18.(7分)证明（1）∵Δ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m＝m 2－4m ＋4………………………………………2分＝(m －2)2≥0，∴方程总有两个实数根．……………………………………4分（2）由根与系数关系得：21222m m+=•，解得m=－4. ……………………………7分 19. （8分）解：（1）A 等级14人，占10028，∴总人数为50人，B 等级占10040，∴B 等级有20人，补全条形图。

初三数学培优班练习卷参考答案(因动点产生的线段和差问题)

2018—2018 学年度初三数学培优班练习卷参照答案（因动点产生的线段和差问题）班级座号姓名一、选择题 .题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 答案 D B E B D C B C D A 题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案DBCDBDCACB二、填空题 .1.4 52. ，3. 164. 4.85. 56. 3cm 或41 cm 7. 8.7-1 9. 4 10.8或211.1212. 2π cm 13. 4 14. 15. 5 ，（ 2， 3 ） 5316. 3x-y-9=0 ， 6x-2y-9=0（ 2≤ x ≤ 5 ） 17.318. -12 2 19. （ 1） y1 x2 x 。

（ 2） 4 2 ． 20. 32221. （ 1） 8 ， 2cm/s （ 2） 4 ， 6 （ 3 ） 42 ， 17 22. 3 三、计算题1. 解答2.解答3.解答4.解答5.解答6.解答7.解答8. 解答（ 1）由∠ OAE ＝∠ OBA ，∠ AOE ＝∠ BOA ，得△ AOE ∽△ BOA ．所以AOBO．所以2 4 ．OE OAOE 2解得＝ 1．所以(0,1) ．OEE（ 2）①如图 3，在 Rt △ A ′ OB 中， OB ＝ 4， OA ′＝ 2－ m ，所以 A ′ B 2＝ 16＋(2 － m ) 2．22在 Rt △ BEE ′中， BE ＝ 3， EE ′＝ m ，所以 BE ′ ＝ 9＋m ．所以 ′ 2＋′2＝16＋ (2 － ) 2＋ 9＋ 2＝2( －1) 2 ＋27．A B BE m m m所以当 m ＝ 1 时， A ′ B 2＋ BE ′ 2 获得最小值，最小值为27．此时点 ′是的中点，点 ′向右平移了 1 个单位，所以 ′ (1,1) ．AAOEE②如图 4，当 A ′ B ＋ BE ′获得最小值时，求点E ′的坐标为 ( 8,1) ．79. 解答（ 1）由 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3＝－ ( x ＋ 1)( x － 3) ＝－ ( x － 1) 2＋ 4，得 A ( －1, 0) 、B (3, 0) 、 C (0, 3) 、 D (1, 4) ．直线 AC 的解读式是 y ＝ 3x ＋ 3．（ 2） Q 1(2, 3) ，Q 2(1 7, 3)，Q 3(1 7, 3)．（ 3）设点 B 对于直线 AC 的对称点为 B ′，联络 BB ′交 AC 于 F ．联络 B ′ D ， B ′D 与交 AC 的交点就是要探究的点 M ．作 B ′ E ⊥ x 轴于 E ，那么△ BB ′ E ∽△ BAF ∽△ CAO ．在 Rt △ BAF 中，AFBF AB， AB ＝ 4，所以 BF12 ．131010在 Rt △′ 中， B'EBE BB' ， BB ' 2BF24，所以12 ， BE 36 ．BB E131010B ' E55所以 OEBE OB36 3 21．所以点 B ′的坐标为 ( 21 ,12) ．555 5因为点 M 在直线 y ＝ 3 x ＋3 上，设点 M 的坐标为 ( x , 3 x ＋ 3) ．由 DD'MM ' ，得 yDyB'yM yB' 4 123x 312．所以55 ． B'D 'B'M 'xD xB'xM xB '1 21x2155解得 x9．所以点 M 的坐标为 ( 9 , 132) ．3535 35图2图3 10.解：（ 1）过点 P 作 PG⊥ AB 于 G， PH⊥ BC 于 H。

专题培优】2018年九年级数学上册圆培优专题(含答案)

专题培优】2018年九年级数学上册圆培优专题(含答案)2018年九年级数学上册圆培优专题1.如图，圆O的直径AB的长度为10，弦AC的长度为5，∠ACB的平分线交圆O于点D。

（1）求BC的长度；（2）求弦BD的长度。

2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点F，过点D作DE⊥AC。

（1）证明：DE是圆O的切线；（2）证明：DC=DF；（3）已知CE=1，DE=2，求AE的长度。

3.如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=8，连接BD，以AB为直径作圆O，与BD交于点E，点F在BC上，且BF=EF。

（1）证明：EF为圆O的切线；（2）求BE的长度；（3）求BF的长度。

4.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=8，圆O在矩形内，以O为圆心，OA为半径作圆O，切CD于点E，交AB于点F，AF=8，连接CF。

（1）求圆O的半径；（2）求CF的长度；（3）点P在OE所在的直线上，求△PFC周长的最小值。

5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC 于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，圆O是△BEF的外接圆。

（1）证明：AC是圆O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，证明：CD=HF；（3）已知CD=1，EH=3，求AF的长度。

6.如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，延长BC至点D，使DC=BC。

延长DA与圆O的另一个交点为E，连接AC，CE。

（1）证明：∠B=∠D；（2）已知AB=13，BC-AC=7，求CE的长度。

7.如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处。

再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG。

（1）证明：EF∥CG；（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积。

九数大培优全一册(学用)

九年级数学大培优第二十六章反比例函数第19讲反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y=k x(k为常数,kʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.解析式:y=k x(kʂ0)或x y=k(kʂ0)或y=k x-1(kʂ0).▶题型一根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ下列函数:①y=x2;②y=2x;③y=-2x;④y=12x;⑤y=1x+2;⑥y=1x-2;⑦x y=2;⑧y= 2x-1,⑨y=2x2.其中y是x的反比例函数的有(填序号).▶题型二根据定义确定k值或解析式ʌ例2ɔ(1)反比例函数y=-32x,化为y=k x的形式,相应的k=;(2)函数y=k x中,当x=2时,y=3,则函数的解析式为.362▶题型三根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ(1)如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数,则m的值为;(2)若函数y=(m+2)x m2-5(m为常数)是关于x的反比例函数,求m的值及函数的解析式.针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是()A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= 32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线;当k<0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点,,也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线,对称,关于点00成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ1818ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.九年级数学大培优▶题型二反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.▶题型三反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.▶题型四反比例函数中k 的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.1212ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.148128针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.12|5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.k xk x k a k 2a43x 43a 8343a 83a 1243a 83a 43x 323x43x 323x九年级数学大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后的直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.4ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.426x6642426m 43▶题型二反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.33▶题型三反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图1221221221221221212212ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 4269 .44=42-4242九年级数学大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.23.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;6(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.666ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2k xn m n mC MD F D N CE ʑB C B D A D A C C D B D =C D A C性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.16O 16性质二如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图112|A E C E B E D E A C A E B DB E九年级数学大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.12ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.888128a k 88216性质三如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.k a222性质四如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.212212121313针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .2332334333九年级数学大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.992339a2x 181212391323234.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2552212ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.44412,4a 4a针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.323221232123213412362134362134362ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现几何问题坐标化 .▶题型一反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 8 .ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x 在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.13881326263九年级数学大培优▶题型二反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x(k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F的坐标.154154针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.333.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图3232九年级数学大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.8828x 针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 21;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 465.65731-71x 4(6ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .6666166▶题型二反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .22222222ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.10101052325232253222253232494324946712494九年级数学大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M .(1)m的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.44224=2x 22.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.32663232x 3266666t 6t 66262121212t 12A 121242第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为()A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.22522511ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗为什么?1265651212x针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?23150231503.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害200200九年级数学大培优第二十七章相似第21讲相似三角形的判定知识导航1.相似多边形;2.平行线分线段成比例定理;3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置;2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.A D FBC C E 35ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .AM MN B M DMAM MN M P AM▶题型二平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .针对练习11.如图,直线l 1,l 2,l 3分别交直线l 4于A ,B ,C 三点,交直线l 5于点D ,E ,F ,且l 1ʊl 2ʊl 3,已知D E ʒD F =3ʒ8,A C =24.(1)求B C的长;(2)当A D =4,C F =20时,求B E 的长.3815258522.如图,A B 是☉O 的直径,C D 是弦,A E ʅC D ,B F ʅC D ,垂足分别为点E ,F .(1)求证:D E =C F ;(2)若B F =1,A E =2,E F =4,求A B 的长.223.如图,在正方形A B C D 中,点E 在D A 的延长线上,A E =A B ,点F 在C D 上,M 为A F 的中点,过点M 作MN ʅM C 交B E 于点N .求证:MN =M C .九年级数学大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.1213ʑMN =32213131414B 132▶题型二作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .1212▶题型三作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.121▶题型四利用角平分线+平行线构X 型相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C =5,B C =6,øA B C 的平分线交A C 于点D ,C E ʅB C 交B D 的延长线于点E ,求B D D E的值.265661148114011181183针对练习21.如图,在▱A B C D 中,M 为A B 的中点,DM ,D B 与A C 分别相交于点P ,Q .(1)求A P P Q的值;(2)若D B ʅB C ,B C =5,P Q =1.求P M 的长.121322D B 2+B C 221122121213DM 2162.如图,在әA B C 中,D 是B C 的中点,点F 在A C 上,F C =2A F ,B F 交A D 于点E .(1)求证:A E =E D ;(2)若A B =A D ,求B F A C的值.1212B F B M 23B F A C 233.如图,A D 为әA B C 的角平分线,点E 在A B 边上,C E 交A D 于点F ,C F =C D ,若A F =3F D ,E F =3,求C D 的长.34九年级数学大培优ʌ板块三ɔ 作平行线构造A 型相似方法技巧1.求部分线段与整体线段的比的问题,往往构A 型相似求解;2.过线段端点或分点作平行线构双A (X )图或A X 型图;3.三条平行线构成X 型㊁A 型图中隐藏关系式:1a +1b =1c;4.等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形.▶题型一直接或间接作平行线构造A 型图求比值.ʌ例1ɔ 如图,在әA B C 中,点E 为线段B C 的中点,点D 在线段A C 上,B D 交A E 于点F .若B F =3F D ,求A F A E的值.12B 141212▶题型二直接或间接作平行线构造A 型图转化比.ʌ例2ɔ 如图,在әA C B 中,点D 为边A C 的中点,点E 为B D 上任意一点,延长C E 交A B 于点M ,延长A E 交B C 于点N ,连接MN .求证:MN ʊA C .B NB C ▶题型三直接或间接作平行线构造双A 型解题ʌ例3ɔ 如图,在R t әA B C 中,øA C B =90ʎ,C D ʅA B ,垂足为点D ,M 是C D 的中点,E F ʅA B ,垂足为点F .若E F =4,C E =3.2,求A E 的长.4432▶题型四1a+1b=1c型问题ʌ例4ɔ如图,A BʊC D,B D与A C交于点G,过点G作A B的平行线分别交B C,A D于点H,E.(1)求证:1A B+1C D=1G H;(2)过点H作H FʅA D,垂足为点F,若F G=2,A B=3,求C D的长.1111 A B 1C D1G H121 3112针对练习31.如图,点D是әA B C的边C B的延长线上一点,点F在A C上,D F交A B于点E,若B D=B E,C D=4A E,A C=5,求A F的长.152.如图,四边形A B C D中,A DʊB C,A FʊC D交B C于点F,E是A B上一点,A E=A D,E C交A F于点M.求证:C M㊃B F=A B㊃M E.3.如图,在әA B C中,点P是A B上一点,A P=4,B P=6,点M是P C的中点,øA C P=øP B M.(1)求A C 的长;(2)过点A作A DʊP C交B C的延长线于点D,B M的延长线交A D于点N.若N D=33,øC A D=30ʎ,求C D的长.1243336323F2+F D227九年级数学大培优ʌ板块四ɔ 边边边法证明三角形相似方法技巧网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值,常用三边对应成比例证三角形相似.▶题型一网格中的相似三角形ʌ例1ɔ 已知әA B C 中,A B =25,A C =45,B C =6.如图,是由100个边长为1的小正方形组成的10ˑ10的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.请在网格中画一个与әA B C 相似且对应边的比最大的格点三角形,并加以证明.0204102,1021022102100272+122329210111111102▶题型二非网格相似三角形ʌ例2ɔ 已知正方形A B C D ,点E ,F 分别在边A D ,C D 上,且A E =E D ,C F =3D F .(1)求证:әA B E ʐәE B F ;(2)连接A C 与B E ,B F 分别相交于点M ,N ,求证:B C B N =AM MN.52AMMN 针对练习41.如图,是由81个边长为1的小正方形组成的9ˑ9的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.(1)请你计算出әA B C各边的长;(2)请在网格中画一个与әA B C 相似且与әA B C 三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形,并加以证明(A ,B ,C 的对应点分别为A 1,B 1,C 1).2256262=623262351111112.如图,在四边形A B C D 中,点E 在B D 上,且A B A E =B C E D =A C A D.B C =4,øB A E =30ʎ,求C D 的最小值.12ʌ板块五ɔ 边角边法证三角形相似方法技巧1.旋转型㊁子母型图常运用两边对应成比例,其夹角相等证相似;2.求形如a +n mb 的最值,常通过构边角边相似去求解.▶题型一旋转型相似ʌ例1ɔ 如图1,在R t әA B C 中,øC =90ʎ,A B =15,B C =9,点P ,Q 分别在边B C ,A C 上,C P =3x ,C Q=4x (0<x <3),把әP C Q 绕点P 旋转,得到әP D E ,点C ,Q 的对应点分别为点D ,E .(1)如图1,若点D 落在线段P Q 上,且A D 平分øC A B ,求x 的值;(2)如图2,当点E 落在边A B 上且Q E ʊC B 时,求C D 的长.图1 图212412693535185▶题型二将a 2=b c 型问题转化为子母型相似问题.ʌ例2ɔ 如图,在әP E F 中,P E =P F ,O 为E F 的中点,G 为P F 上一点,øP E G =27ʎ,N 为O G 的中点,P N ʅE G ,垂足为点M ,若øM O N =18ʎ,N G 2=NM ㊃N P .求øF 的度数.九年级数学大培优针对练习51.如图,P是正方形A B C D边B C上一点,点M在边C D上,B M与A P交于点Q,B P2=P Q㊃P A.(1)求证:C M=B P;(2)若P为B C中点,求øP Q C的度数.2.如图,在正方形A B C D中,点E,F分别在边B C,C D上,连接A F交B D于点H,E C=2DH.(1)求证:øE A F=45ʎ;(2)求证:AH=E H.23.如图,在等腰直角三角形A B C中,A C=B C,点E在边B C上,以A E为边作正方形A E MN,E M交A B于点F.(1)求证:B MʅA B;(2)若C E=2B E,求A E E F的值.2222221415E F A E15ʌ板块六ɔ 角角判定法证三角形相似方法技巧1.共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似;2.用反A 型相似证明a b =c d 型等式;3.善于发现或构造一线三等角型相似;4.共角且一对角互补的两个不相似三角形,构造等腰三角形转化为相似三角形.▶题型一用角角判定法证明三角形相似ʌ例1ɔ 如图,D 是әA B C 边B C 的中点,点M 在A B 上,øA C M =øB .(1)求证:A C 2=AM ㊃A B ;(2)点O 在A D 边上,且A O =2O D ,过点O 作E F ʊM C ,分别交A B ,A C 于点E ,F ,若A E =6,E M =1,求A F ㊃A C 的值.▶题型二构造等角,运用角角法证相似求边长ʌ例2ɔ 如图,点D 在A B 上,A B =3B D =12,点E 在B C 的延长线上,D E =2A C ,øA C B +øB D E =180ʎ,øB =60ʎ,求A C 的长.12123221213131▶题型三一线三等角问题ʌ例3ɔ 如图,在әA B P 中,A P =A B ,O 为A B 上一点,O A =2,O B =1,A Q ʊB P ,且øQ O P =øB ,求A Q ㊃B P 的值.A Q O E232313x Q F O B1九年级数学大培优针对练习61.如图,A B =A C ,øB A C =90ʎ,D 为边A B 上任意一点,A E ʊB C ,øC D E =45ʎ,求证:C D D E=2.222.如图,әA B C 中,A B =A C =15,B C =24,D ,E 分别是B C ,A B 上的点,øA D E =øB ,当әB D E 为直角三角形时,求B D 的长.1215125421162142143.如图,点E ,F 分别在线段A C ,B C 上,øF E C =øB ,øA C B =60ʎ,C H 平分øA C B 交E F 于点H .(1)求证:B C A C =E H H F;(2)若E C =43,H C =5,求B C A C的值.E H H F E M F N1212B C A C E C F C B C A C E H H F 12E 2312F =3x =3M -3x MH HN E M F N ,15-3x 23x03-1073C 754.如图,正方形A B C D 中,B C =4,对角线A C ,B D 交于点O ,P 是O B 的中点,N 在线段C D 上(不与C ,D 两点重合),P M ʅP N 交B C 于点M .求B M +13DN 的值.1213P E P D 1313D 12B 13ʌ板块七ɔ 作垂线构造三角形相似方法技巧作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.▶题型一利用对顶角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例1ɔ 如图,B D 为әA B C 的高,点E 在A B 边上,øB E C =60ʎ,B E =2C D ,C E 与B D 相交于点F .求B FF C的值.32333▶题型二利用同角或等角的补角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例2ɔ 如图,在R t әA B C 中,øB A C =90ʎ,A D ʅB C ,垂足为点D ,点O 是A C 边中点,连接B O 交A D 于点F ,O E ʅOB 交BC 边于点E .若A C A B =n ,求O F O E的值.▶题型三利用角平分线作垂线构造直角三角形相似ʌ例3ɔ 如图,在әA B C 中,øB A C =60ʎ,A B =6,A C =4,A D 平分øB A C 交B C 于点D .求B D 的长.121233233323535322657▶题型四面积问题作高构造直角三角形相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,øC =45ʎ,点D ,E ,F 分别在边B C ,A C ,A B 上,A B =B D =2A E ,连接E F交A D 于点G ,øA G F =45ʎ,若A D =4,F G =32,求әA F G 的面积.1234九年级数学大培优针对练习71.如图,在әA B C 中,øA C B =90ʎ,点E 在A C 上,A C =2B C =4C E .C D ʅB E 交B E 于点F ,交A B 于点D .求B D A D的值.12122.如图,在R t әA B C 中,øA B C =90ʎ,A B =6,D 为A C 的中点,过点A 作A E ʊB C ,连接B E ,øE B D=øC B D ,B D =5,求B E 的长.2452543.如图,B ,C ,E 三点在一条直线上,әA B C 与әD C E 均为等边三角形,D B 与A C ,A E 分别相交于点H ,F ,连接F C .(1)求证:әAH B ʐәF H C ;(2)若B F =2F E ,求B C C E的值.M N B C E C32324.如图,在四边形A B C D 中,øA B C =øA D C =90ʎ,A B =A D =2B C =2C D ,E 为C D 上一点,B F ʅA E交A D 于点F .求B F A E的值.12535383858545ʌ板块八ɔ用相似法证明线段相等方法技巧1.证明a=b的方法技巧之一:若a c=b c,则a=b;2.证明a=b的方法技巧之二:若a c=b d,c=d,则a=b.▶题型一双A双X并排型ʌ例1ɔ如图,D,E分别是әA B C的边A B,A C上的点,D EʊB C,D C交B E于点O,直线A O分别交D E,B C于点M,N.求证:B N=N C.▶题型二普通型相似ʌ例2ɔ如图,D为R tәA C B斜边A B的中点,点M在A C上,点N在B C的延长线上,øMDN=90ʎ.(1)求证:øC A B=øMN D.(2)如图2,分别过点M,N作直线A B的垂线,垂足分别为点G,H.求证:A G=DH.针对练习81.如图,在等边әA B C中,点E在C A的延长线上,点D在B C的延长线上,A E=C D,延长D A交B E 于点F.(1)求证:øE A F=øA B E;(2)过点E作E GʊF C交A D于点G.求证:E F=A G.。

【名师培优】人教版2018年九年级数学下册综合培优试卷(含答案)

2018年九年级数学下册综合培优试卷一、选择题：1、如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k值为（）A.﹣4B.2C.﹣2D.42、已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞解集为（）A.x＞2B.﹣1＜x＜0C.﹣1＜x＜0或0＜x＜2D.x＞2或﹣1＜x＜03、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.4、已知，则k的值是 ( )A.－1B.2C.－1或2D.无法确定5、如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.A. B. C.或 D.或6、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A.1：4B.1：3C.1：2D.1：17、如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（）A. B. C. D.8、如图，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=3:5，求sin∠DCF的值是（）A. B. C. D.9、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m，≈1.73).A.3.5 mB.3.6 mC.4.3 mD.5.1 m10、如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（）A. B. C.tanα D.111、如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M.设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.12、如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴.若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A.1＜k＜9B.2≤k≤34C.1≤k≤16D.4≤k＜16二、填空题:13、如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边.当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB= °.14、在正方形网格中，△ABC如图放置，则sinB的值为 .15、如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标为.16、如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 .17、如图，点A（﹣7，8），B（﹣5，4）连接AB并延长交反比例函数y=（x＜0）的图象于点C，若=，则k= .18、如图，已知点A1、A2、A3、…、A n在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1、A2、A3、A n作x轴的垂线，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1、B2、B3、…、B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2，…，若记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2，…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+…+S2018= .三、解答题:19、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂2017年1月的利润为200万元.设2017年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元.由于排污超标，该厂决定从2017年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间的函数关系式；(2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂月利润才能达到200万元？(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？20、如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）.21、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=8，AE=6，求BF的长.22、如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在水平地面上向建筑物前进了m米，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是β.已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物的高度.23、如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC=2∠A.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=6，tan∠A=，求CD的长.24、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1=∠F；(2)若sinB=，EF=2，求CD的长.25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.参考答案1、A.2、D.3、B4、C5、C6、C7、B8、D9、D10、A11、A12、C13、答案为：135.14、0.8；15、答案为（-0.6，0.8）.16、（0，），（2，0），（，0）.解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC，∴=，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB==5，∵点C是AB的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）.故答案为（0，），（2，0），（，0）.17、答案为：﹣8.18、.解：根据题意可知：点B1（1，2）、B2（2，1）、B3（3，）、…、B n（n，），∴B1P1=2﹣1=1，B2P2=1﹣=，B3P3=﹣=，…，B n P n=﹣=，∴S n=A n A n+1•B n P n=，∴S1+S2+…+S2018=+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.故答案为：.19、(1)①当1≤x≤5时，设y=，把(1，200)代入，得k=200，即y=；②当x=5时，y=40，所以当x＞5时，设y=20x＋b，则20×5＋b=40，得b=－60，即x>5时，y=20x－60 (2)当y=200时，20x－60=200，解得x=13.所以治污改造工程顺利完工后经过13－5=8个月后，该厂利润达到200万元(3)对于y=，当y=100时，x=2；对于y=20x－60，当y=100时，x=8，所以资金紧张期共有8－2－1=5个月20、21、（1）证明：连接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴=，即=，解得，BF=4.22、解：由题意得：BE=，AE=，∵AE﹣BE=AB=m米，∴﹣=m（米），∴CE=（米），∵DE=n米，∴CD=+n（米）.∴该建筑物的高度为：（+n）米.23、解：（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠BOC=2∠A，又∵∠ODC=2∠A，∴∠ODC=∠BOC，∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，∴∠ODC+∠COD=90°，∴∠OCD=90°，即CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵∠CBH=∠ABC，∴∠BCH=∠A，在Rt△ABC中，AB=6，tan∠A==，设BC=x，则AC=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=62，解得：x2=，即BC2=，又在Rt△BCH中，tan∠BCH==，BH2+CH2=BC2，即BH2+（3BH）2=，解得：BH=CH=，∵OB=OC=3，∴OH=，又∵Rt△DOC∽Rt△OCH，∴=，则CD==3×÷=4.24、（1）证明：如解图，连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°.∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B.∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；(2)解：∵∠1=∠F，∴AE=EF=2，∴AB=2AE=4.在Rt△ABC中，AC=AB·sin B=4，∴BC=8.设CD=x，则AD=BD=8－x.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2=AD2，即42＋x2=(8－x)2，解得x=3，∴CD=3.25、解：（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示.此时D为AB边中点AD=AC=.（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，有两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示.∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC.由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高.在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=.AD=AC•cosA=3×=1.8；（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示.∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B.由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD.同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴此时AD=AB=×5=2.5.综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5.（3）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似.理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B.由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA.。

2018—2018学年度初三数学培优班练习卷参考答案(因动点产生的相切问题)

2018—2018学年度初三数学培优班练习卷参考答案<因动点产生的相切问题）班级座号姓名一、选择题.1、B2、C3、B4、B5、C6、B7、D8、B9、C10、D11、B 12、D 13、C 14、C 15、D 16、A 17、C 18、A19、B 9WNXRrQ7MD20、C 21、C 22、C 23、C 24、D 25、C 26、 D二、填空题.27、【答案】①②④ 28、【答案】233或23329、【答案】OG=BD=． 30、【答案】．31、【答案】4 32、【答案】BN= 33、【答案】PC= 错误! 34、【答案】sin∠ACE=． 9WNXRrQ7MD35、【答案】，<1＜x＜2）；36、【答案】9WNXRrQ7MD三、计算题37、解答：<1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB，∵在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP<SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线；<2）答：EF2=4DO•PO．证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD•OP，∵EF为圆的直径，即EF=2OA，∴EF2=OD•OP，即EF2=4OD•OP；<3）解：连接BE，则∠FBE=90°．∵tan∠F=，∴=，∴可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF==x，∵BE•BF=EF•BD，∴BD=x．又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=x，∴Rt△ABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，∴122+<x）2=<x）2，解得：x=4，∴BC=4×=20，∴cos∠ACB===．38、解答：<1）PN与⊙O相切．证明：连接ON则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．即PN与⊙O相切．<2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．<3）解：连接ON，由<2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE=×1×1+π﹣×1×=+π﹣．39、解答：<1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m>2＝32．解得．所以．<2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．因此，即．由此得到．定义域是0＜x≤6．图4 图5<3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．在Rt△QPD中，，，因此．如图7，设⊙M的半径为r．由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得．解得．图6 图7 图840、解答：<1）∵点A<6，0），点B<0，6），∴OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；9WNXRrQ7MD<2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C 点到AB的距离的最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴OE=AB=3，∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×<3+3）×6=9+18．∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．<3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，∵OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°而∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴Rt△OCF∽Rt△AOD，∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==，∴C点坐标为<﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，∵在△BOC和△AOD中，∴△BOC≌△AOD<SAS），∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．41、解答：<1）证明：连接OEFE、FA是⊙O的两条切线∴∠FAO=∠FEO=90°在Rt△OAF和Rt△OEF中，∴Rt△FAO≌Rt△FEO<HL），∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，∴∠AOF=∠ABE，∴OF∥BE，<2）解：过F作FQ⊥BC于Q∴PQ=BP﹣BQ=x﹣yPF=EF+EP=FA+BP=x+y∵在Rt△PFQ中∴FQ2+QP2=PF2∴22+<x﹣y）2=<x+y）2化简得：，<1＜x＜2）；<3）存在这样的P点，理由：∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，此时Rt△AFO中，y=AF=OA•tan30°=，∴∴当时，△EFO∽△EHG．42、解答：解：<1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵A<8，0），B<0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为<<4，3）；<2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为<﹣，0），设直线BC的解读式为y=kx+b，把B<0，6）、C点<﹣，0）分别代入，解得，∴直线l的解读式为y=x+6；<3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，∴ND=OD，∴ND∥OB，∴△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=<8﹣ND）：8，解得ND=，∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为<，）；∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，∴BN=10﹣=，∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN，∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，∴OE=ON+NE=+=7．43、解答：30°<1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，9WNXRrQ7MD∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA•OB，∴OA<2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OB，∴OA<2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；<2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n<cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π<cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π<cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．44、解答：<1）证明：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线；<2）解：由<1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC，∴=，即AC2=AG•AB，∵AG•AB=12，∴AC2=12，∴AC=2；<3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，∴AD=AF+FD=3x，在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12，解得；x=2，∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，根据勾股定理得：AG===，由<2）知，AG•AB=12，∴AB==，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=，∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018-2019学年初三培优班数学测试卷

2018-2019学年初三培优班竞赛辅导数学测试卷一、选择题:（每小题4分，共40分1．设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a ba -+的值为（）A. 3B. 6C. 2D. 32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 33．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条4．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE ＝15°，则∠BOE ＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．如果,22,12=+=+c b b a ，那么ac 1+等于 ( )（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）15.已知函数()23f x x x =+，则()()()22232462f -=-+•-=-=-。

若()1f a =-，则221a a +的值为（） A 14B 4C 7D 96、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么一木块顺水漂流这段路需（）小时A.ba ab-2 B.ab ab-2 C. ba ab -D.ab ab- 7、如图，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则α（） A ．30° B ．40° C ．80° D ．不存在8、如图，双曲线y = k x(k>0)经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（） A ．ｙ＝1x B ．y ＝2x C ．ｙ＝3x D ．ｙ＝6xOE DCB APα α9、设G 是△ABC 的垂心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则三角形的面积为（） A. 58 B. 66 C. 72 D. 8410、如图，矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE ＝（） A.2242b a ab + B.224b a ab +C. 2242ba ab + D. 224ba ab +二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．已知，关于x 的一元二次方程260x kx --=与260x x k --=只有一个公共的根，那么方程052||2=++-k x k x 所有的根的和是 .12．若251+=x ，则431xx x ++= . 13．已知31a =-，则20122011201022a a a +-的值为_____________14. 当1≤x≤2时，代数式可以化简为。

2018—2018学年度初三数学培优班练习卷参考答案(因动点产生的线段和差问题)

2018—2018学年度初三数学培优班练习卷参考答案<因动点产生地线段和差问题）班级座号姓名1.42.，3.164.4.85.56.3cm或cm7.2.58.-19.410.8或211.12.πcm13.414.2.515. 5，<2，3）16.3x-y-9=0，6x-2y-9=0<2≤x≤）17.18. -119.<1）.<2）．20.21.<1）8，2cm/s<2）4，6<3）42，1722.3三、计算题1.解答2.解答3.解答4.解答5.解答6.解答7.解答8.解答<1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以．因此．解得OE＝1．所以E(0,1>．<2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m>2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m>2＋9＋m2＝2(m－1>2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO地中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1>．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′地坐标为．9.解答<1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1>(x－3>＝－(x－1>2＋4，得A(－1, 0>、B(3, 0>、C(0, 3>、D(1, 4>．直线AC地解读式是y＝3x＋3．<2）Q1(2, 3>，Q2(>，Q3(>．<3）设点B关于直线AC地对称点为B′，联结BB′交AC于F．联结B′D，B′D与交AC地交点就是要探求地点M．作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．在Rt△BAF中，，AB＝4，所以．在Rt△BB′E中，，，所以，．所以．所以点B′地坐标为．因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M地坐标为(x, 3x＋3>．由，得．所以．解得．所以点M地坐标为．图2 图3 10.解：<1）过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H.∵AC是正方形ABCD地对角线∴∠HPC=∠HCP=45°∵∠EPF=45°∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90°∵∠PHF=90°∴∠CFP+∠HPF=90°∴∠APE=∠CFP<2）①∵P是正方形ABCD地对称中心，边长为4∴PH=GP=2，AP=CP=2∵CF=x∴S△PFC=CF·PH=x∴S2=2S△PFC=2x∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45°∴△APE∽△CFP∴∴AE===∴S△APE=AE·GP=∵S△ABC=AB·BC=8∴S四边形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x∴S1=2S四边形BFPE=16--2x∴y==∵点F在BC边上，点E在AB边上，且∠EPF=45°∴2≤x≤4∵y=∴当，即x=2时，y有最大值，最大值为1②因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，要使其关于点P成中心对称，则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称，此时BE=BF∴AE=CF则=x，得x=2或-2(舍去>∴x=2∴y==2-211.解：<1）由y=-x+2知，∵当x=0时，y=2 ∴B<0，2），即OB=2∵当y=0时，x=2 ∴A<2，0），即OA=2∵OA=OB ∴△AOB是等腰直角三角形∴∠OAB=45°<2）∵EM∥OB ∴∵FN∥OA ∴∴AF·BE=ON·OM=2OM·ON∵矩形PMON地面积为2 ∴OM·ON=2∴AF·BE=4∵OA·OB=4∴AF·BE=OA·OB，即∵∠OAF=∠EBO=45°∴△AOF∽△BEO<3）易证△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形∵AM=EM=2-a∴AE2=2(2-a>2=2a2-8a+8∵BN=FN=2-b∴BF2=2(2-b>2=2b2-8b+8∵PF=PE=a+b-2∴EF2=2(a+b-2>2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8∵ab=2 ∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16∵EF2= AE2+BF2∴由线段AE、EF、BF组成地三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形地外接圆面积为：S1=EF2=·2(a+b-2>2=(a+b-2>2∵S梯形OMPF=(PF+OM>·PMS△PEF=PF·PE，S△OME=OM·EM∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME=(PF+OM>·PM-PF·PE-OM·EM=[PF·(PM-PE>+OM·(PM-EM>]=(PF·EM+OM·PE>=PE·<EM+OM>=(a+b-2>(2-a+a>=a+b-2∴S1+S2=(a+b-2>2+(a+b-2>设m=a+b-2，则S1+S2=m2+m=(m+>2-∵面积之和不可能为负数∴当m＞-时，S1+S2随m地增大而增大∴当m最小时，S1+S2就最小∵m=a+b-2=a+-2=(>2+2-2∴当，即a=b=时，m最小，最小值为2-2 ∴S1+S2地最小值=(2-2>2+ 2-2= 2(3-2>π+2-212.解答13.解答14.解答15.解答16.解答17.解答18.解答<1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；<2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM•tanC=•k=，同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣，由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；<3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=<8﹣x）•<16﹣2x）=<8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣<8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2<x﹣4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32．19.解答解：<1）∵由y=x2+2x得，y=<x﹣2）2﹣2，∴抛物线地顶点A地坐标为<﹣2，﹣2），令x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，∴点B地坐标为<﹣4，0），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∴∠ADO=90°，∴点A地坐标为<﹣2，﹣2），点D地坐标为<﹣2，0），∴OD=AD=2，∴∠AOB=45°；<2）四边形ACOC′为菱形．由题意可知抛物线m地二次项系数为，且过顶点C地坐标是<2，﹣4），∴抛物线地解读式为：y=<x﹣2）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣2，过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，∴OC===2，同理，AC=2，OC=AC，由反折不变性地性质可知，OC=AC=OC′=AC′，故四边形ACOC′为菱形．<3）如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上．理由如下：过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG，∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG，又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO，∴OG=4，C′G=2，∴点C′地坐标为<﹣4，2），把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0，∴点C′不在抛物线y=x2+2x上；<4）存在符合条件地点Q．∵点P为x轴上地一个动点，点Q在抛物线m上，∴设Q<a，<a﹣2）2﹣4），∵OC为该四边形地一条边，∴OP为对角线，∴=0，解得x1=6，x2=4，∴P<6，4）或<﹣2，4）<舍去），∴点Q地坐标为<6，4）．20.解答解：<1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，∴OB==4，AB=2；由折叠地性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3；∴C点坐标为<，3）．∵O点坐标为：<0，0），∴抛物线解读式为y=ax2+bx<a≠0），∵图象经过C<，3）、A<2，0）两点，∴，解得；∴此抛物线地函数关系式为：y=﹣x2+2x．<2）∵AO=2，AB=2，∴B点坐标为：<2，2），∴设直线BO地解读式为：y=kx，则2=2k，解得：k=，∴y=x，∵y=﹣x2+2x地对称轴为直线x=﹣=﹣=，∴将两函数联立得出：y=×=1，∴抛物线地对称轴与线段OB交点D地坐标为：<，1）；<3）存在．∵y=﹣x2+2x地顶点坐标为<，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；∵∠BOA=30°，∴ON=t，∴P<t，t）；作PQ⊥CD，垂足为Q，MF⊥CD，垂足为F；把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t，∴M<t，﹣3t2+6t），F<，﹣3t2+6t），同理：Q<，t），D<，1）；要使PD=CM，只需CF=QD，即3﹣<﹣3t2+6t）=t﹣1，解得t=，t=1<舍），∴P点坐标为<，），∴存在满足条件地P点，使得PD=CM，此时P点坐标为<，）．20.解答<1）设抛物线地解读式为y=ax2+bx+c<a≠0），将点A<﹣2，0），B<﹣3，3），O<0，0），代入可得：，解得：．故函数解读式为：y=x2+2x．<2）当AO为平行四边形地边时，DE∥AO，DE=AO，由A<﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解读式得D1<﹣3，3），若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解读式得D2<1，3）．综上可得点D地坐标为：<﹣3，3）或<1，3）．<3）存在．如图：∵B<﹣3，3），C<﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点地三角形与△BOC相似，设P<x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3<x2+2x），得：x1=，x2=﹣2<舍去）．当x=时，y=，即P<，），②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3<x+2），得：x1=3，x2=﹣2<舍去）当x=3时，y=15，即P<3，15）．故符合条件地点P有两个，分别是P<，）或<3，15）．21.解答<1）由于图形平移过程中，对应点地平移规律相同，由点M到点M′可知，点地横坐标减5，纵坐标加3，故点N′地坐标为<5﹣5，﹣1+3），即<0，2）．N<0，2）；<2）∵N<0，2）在抛物线y=x2+x+k上∴k=2∴抛物线地解读式为y=x2+x+2<3）∵y=x2+x+2=<x+2）2∴B<﹣2，0）、A<0，2）、E<﹣，1）∵CO：OF=2：∴CO=﹣m，FO=﹣m，BF=2+m∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=∴<2+m）<﹣m+1）=整理得：m2+m=0∴m=﹣1或0∵m＜0∴m=﹣1<4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===∴∠ABO=30°，AB=2AO=4①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A地所落点，△EHP是重叠部分．∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S△EHP=S△ABP∴=S △EHP=S△BHP=S△ABP∴A1H=HP，EH=HB=1∴四边形A1BPE为平行四边形∴BP=A1E=AE=2即BP=2②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积地一半，不符合题意；③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图3，A1为对折后A地所落点．△EHP是重叠部分∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP∵S △EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP∴BH=HP，EH=HA1=1又∵BE=EA=2∴EH AP，∴AP=2在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．∴∠APB=90°，∴BP=，综合①②③知：BP=2或；22.解答<1）<﹣3，4）；<2）设PA=t，OE=l由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE∴∴l=﹣+=﹣<t﹣）2+∴当t=时，l有最大值即P为AO中点时，OE地最大值为；<3）存在．①点P点在y轴左侧时，P点地坐标为<﹣4，0）由△PAD∽△OEG得OE=PA=1∴OP=OA+PA=4∵△ADG∽△OEG∴AG：GO=AD：OE=4：1∴AG==∴重叠部分地面积==②当P点在y轴右侧时，P点地坐标为<4，0），此时重叠部分地面积为23.解答<1）设二次函数地解读式为y=a<x+2）<x﹣6）∵图象过点<0，﹣8）∴a=∴二次函数地解读式为y=x2﹣x﹣8；<2）∵y=x2﹣x﹣8=<x2﹣4x+4﹣4）﹣8=<x﹣2）2﹣∴点M地坐标为<2，﹣）∵点C地坐标为<0，﹣8），∴点C关于x轴对称地点C′地坐标为<0，8）∴直线C′M地解读式为：y=﹣x+8令y=0得﹣x+8=0解得：x=∴点K地坐标为<，0）；<3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1＜t＜2∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC∴∵AP=6﹣3tAQ=18﹣8t，∴∴t=∵t=＞2不满足1＜t＜2；∴不存在PQ∥OC；②分情况讨论如下，情况1：0≤t≤1S=OP•OQ=×3t×8t=12t2；情况2：1＜t≤2作QE⊥OA，垂足为E，S=OP•EQ=×3t×=﹣+情况3：2＜t＜作OF⊥AC，垂足为F，则OF=S=QP•OF=×<24﹣11t）×=﹣+；③当0≤t≤1时，S=12t2，函数地最大值是12；当1＜t≤2时，S=﹣+，函数地最大值是；当2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函数地最大值为；∴S0地值为．24.解答<1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到地，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C地坐标分别为<1，0），<0，3）<﹣3，0）．代入解读式为，解得：．∴抛物线地解读式为y=﹣x2﹣2x+3；<2）①∵抛物线地解读式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点地坐标为<﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线地顶点，P<﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P地横坐标为t，∴P<t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=3<﹣1﹣t），解得：t1=﹣2，t2=﹣3<与C重合，舍去），∴t=﹣2时，y=﹣<﹣2）2﹣2×<﹣2）+3=3．∴P<﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点地坐标为：<﹣1，4）或<﹣2，3）；②设直线CD地解读式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD地解读式为：y=x+1．设PM与CD地交点为N，则点N地坐标为<t， t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣<t+1）=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PM•CM+PN•OM=PN<CM+OM）=PN•OC=×3<﹣t2﹣+2）=﹣<t+）2+，∴当t=﹣时，S△PCD地最大值为．25.解答<1）根据题意得，A<1，0），D<0，1），B<﹣3，0），C<0，﹣3）．抛物线经过点A<1，0），B<﹣3，0），C<0，﹣3），则有：，解得，∴抛物线地解读式为：y=x2+2x﹣3．<2）存在．△APE为等腰直角三角形，有三种可能地情形：①以点A为直角顶点．如解答图，过点A作直线AD地垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F<0，﹣1）．设直线PA地解读式为y=kx+b，将点A<1，0），F<0，﹣1）地坐标代入得：，解得k=1，b=﹣1，∴y=x﹣1．将y=x﹣1代入抛物线解读式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或x=1，当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3，∴P<﹣2，﹣3）；②以点P为直角顶点．此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行地直线上．过点A与y轴平行地直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．∴P<﹣3，0）；③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴地交点上．综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点地三角形为等腰直角三角形．点P地坐标为<﹣2，﹣3）或<﹣3，0）．<3）抛物线地解读式为：y=x2+2x﹣3=<x+1）2﹣4．抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，∴平移后地抛物线地解读式为：y=<x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

中考数学培优(含解析)之一元二次方程附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0．【答案】(1)12313313,22x x +-==;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．∴12313313,22x x +-==．（2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程．∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：3．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】5．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程， ∴△=（m -3）2-4m ×（-3） =（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m--±+ ，∴x1=-3，x2=1，m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．7．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元. 此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.9．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=， 0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0 ∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0 ∴（x +y ）2+（y +1）2=0 ∴x +y =0 y +1=0 解得：x =1，y =﹣1 ∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0 ∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0 ∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0 ∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15 【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。

人教版2018年九年级数学上册一元二次方程应用题课堂培优卷(含答案)

2018年九年级数学上册一元二次方程应用题课堂培优卷一、选择题：1、为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元.设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.3000（1+x）2=5000B.3000x2=5000C.3000（1+x%）2=5000D.3000（1+x）+3000（1+x）2=50002、关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实根，则k的取值范围是（）A.k≠0B.k≥1且k≠0C.k≤1D.k≤1且k≠03、在一次排球联赛中，每两个代表队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个代表队参加比赛？设有x个代表队参加比赛，则可列方程（）A.x(x-1)=28B.(x-1)2=28C.x(x-1)=28D.x(x-1)=284、为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.5、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A.x（x+1）=1035B.x（x﹣1）=1035×2C.x（x﹣1）=1035D.2x（x+1）=10356、某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A.19%B.20%C.21%D.22%7、已知一个正方体的体积是729立方厘米，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是665立方厘米，则截去的每个小正方体的棱长是（）A.8厘米B.6厘米C.4厘米D.2厘米8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.8人B.9人C.10人D.11人9、如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A.x2＋9x－8=0B.x2－9x－8=0C.x2－9x＋8=0D.2x2－9x＋8=010、某化肥厂第一季度生产了m吨化肥，以后每季度比上一季度多生产x%，第三季度生产的化肥为n吨，则可列方程为（）A.m（1+x）2=nB.m（1+x%）2=nC.（1+x%）2=nD.m+m （x%）2=n11、股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票某天涨停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均降低率为x，则x满足的方程是（）A. B. C. D.12、某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A.（3+x）（4﹣0.5x）=15B.（x+3）（4+0.5x）=15C.（x+4）（3﹣0.5x）=15D.（x+1）（4﹣0.5x）=15二、填空题:13、已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是%.按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为万台.14、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为.15、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程（不用化简）为.16、甲乙丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是.17、某经营户以2元/千克的价格购进一批水果，以5元/千克的价格出售，每天可售出100千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种水果每千克降价0.1元，每天可多售出10千克.另外，每天的房租等固定成本共100元.该经营户要想每天盈利300元.设每千克水果的售价降低元，依题意可列方程：.18、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90º，AC=6厘米，BC=8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动秒时，△PCQ面积为4平方厘米。

九年级数学培优专题(一)

2011年上期九年级数学培优专题(一)（规律探究题）1。

柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头，第二层有34⨯听罐头，第三层有45⨯听罐头，…… 根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有听罐头（用含n 的式子表示）. 2．观察下面的单项式：a ，－2a 2,4a 3，－8a 4，…．根据你发现的规律,第n 个式子是______。

3．小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数,将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：112358，，，，，，…,则这列数的第8个数是。

4．有一列数a 1，a 2，a 3，，a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1=2，则a 2011= 。

5. 我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16,… 观察下面的一列数：-1,2,-3,4，—5，6…,将这些数排成如右形式，根据其规律猜想:第20行第3个数是 .6．观察：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a = （n=1，2，3，…）.7．如图,△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0, 垂足为点D 2;又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为点D 3；……;这样一直作下去,得到一组线段:D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D n —1D n 的长为_ _ (n 为正整数）.8．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒,第3组取7粒，第4组取9粒,……按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数是粒。

9．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点,作为第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依次类推，如果n 层六边形点阵的总点数为331，则n 等于。

2018年九年级数学下学期专题训练培优材料(无答案)

九年级下学期专题训练培优材料（1）培优内容：阅读训练1.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线。

（1）如图1，在△中，为角平分线，∠40°，∠60°，求证：为△的完美分割线；（2）在△中，∠48°，是△的完美分割线，且△为等腰三角形，求∠的度数；（3）如图2，△中，2，，是△的完美分割线，且△是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长。

2.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，，是△的中线，⊥，垂足为P，像△这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，．特例探索2时，（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在平行四边形中，点E、F、G分别是，，的中点，⊥，2，3，求的长．九年级下学期专题训练培优材料（2）培优内容：图表训练1.从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路。

小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间。

假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进。

已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5。

设小明出发x h后，到达离甲地y 的地方，图中的折线表示y于x之间的函数关系。

（1）小明骑车在平路上的速度为；他途中休息了 h；AB,所表示的y与x之间的函数关系式；（2）求线段BC（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？2.小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？(2)小敏几点几分返回到家？3.甲、乙两人匀速从同一地点到1 500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s(米)，甲行走的时间为t(分)，s关于t的函数图象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分；(3)问甲、乙两人何时相距360米？九年级下学期专题训练培优材料（3）内容：函数应用题1、庆丰包子铺延庆分店试销某种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为 5 元．该店每天固定支出费用为 600 元（不含套餐成本）．若每份售价不超过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高一元，每天的销售量就减少 40 份，为了便于结算，每份套餐的售价 x（元）取整数，且要求售价一定高于成本价，用 y（元）表示该店日销售利润（日销售利润=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出）．（1）当每份套餐售价不超过 10 元是，请写出 y 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当每份套餐售价超过 10 元时，该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有最高的日销售利润，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少？2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式（x﹣4）2，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q 处时，乙扣球成功，求a的值．。

九年级数学培优材料18

九年级数学培优材料（18）——四月调考题型预测一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、【实数的相关知识】考查学生对实数中的相反数、倒数、绝对值等相关概念及大小比较（1）-3的相反数是( ).(A)13-(B)-3 (C)3 (D)13（2）在0，1，－1，－2这四个数中，最小的一个数是（）A．0 B．－1 C．1 D．-22、【函数自变量的取值范围】分式或二次根式的自变量取值范围的求解（1）在函数y x的取值范围是( ).(A)1x¹(B)1x≥(C)1x≤(D)1x＜（2）在函数11yx=-中，自变量x的取值范围是( ).(A) 1x≥(B)1x¹(C)1x＞(D) 1x≤（3）函数y中，自变量x的取值范围是( ).(A)2x＞(B)2x≥(C)2x＜(D)2x≤3、【位似图形的坐标特点】两个位似图形的对应点的坐标特点（1）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（23，23）C．（2，2）D．（2，2）（2）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b，，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（）Ａ、(2)a b-，-Ｂ、(2)a b-，-Ｃ、(22)a b-，-Ｄ、(22)b a-，-4、【统计知识的考查】三种特征数（平均数、中位数和众数之间的关系）（1则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180（2）数学老师布置10道选择题作为课堂练习,课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图(如图),根据图表,全班每位同学做对题数中位数和众数分别为 ( )A.8,8B. 8,9C.9,9D. 9,85、【整式运算的考查】涉及幂的基本运算性质，单项式，多项式的运算（1）下列计算正确的是（）A ．235()()2()a a a -+-=- B ．236()()()a a a -?=- C ．326()a a -=- D ．633()()()a a a -?=- （2）下列运算正确的是（）．A ．22a b ab +=B ．222()ab a b -= C ．2222a a a ? D ．422a a ?（3）下列计算正确的是（）A ．336()x x = B ．6424a a a ? C ．4222()()bc bc b c -?= D ．632x x x ?6、【实数计算的考查】涉及有理数的运算和简单的根式的化简、加减法（1）下列计算错误的是（）A ．152510-+=BC ．1D ．5611--=- （2）下列计算正确的是 ( )A ．(8)80--=B ．1()(2)12-?= C ．0(1)1--= D ．22-=- （3）下列计算正确的是 ( )A B C 6 D 47、【视图与投影的考查】三视图：①根据立体图形，判断符合条件的三视图；②判断给出的两个立体图形的三视图之间的关系；③给出三视图，判断立体图形.（1）分别由5个大小相同的正方形组成的甲、乙两个几何体如上图所示，它们的三视图中完全一致的是( ).(A)主视图 (B)左视图 (C)俯视图 (D)三视图（2）由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如上右图所示，则这个几何体只能是( ).(A) (B) (C) (D)（3）如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是( ).(A) (B) (C) (D) 8、【统计图表的考查】涉及条形统计图，扇形统计图，直方图，频率分布表（1）对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分共4个等级．将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（）A ．2.25B ．2.5C ．2.95D ．3（2）某学校为了了解九年级体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为（）A 、0.1B 、0.17C 、0.33D 、0.4（3）某住宅小区六月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示．那么这5天平均每天的用水量是（）A 、30吨B 、31吨C 、32吨D 、33吨42.5%3分2分1分30%4分成绩频数扇形统计图成绩频数条形统计图分数北BA M9、【找规律】尽量结合给出图形寻找规律（1）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为A、55B、42C、41D、29（2）如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（）A、150cmB、104.5cmC、102.8cmD、102cm（3）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”A.28B.56C.60D. 12410、【圆与三角函数的综合问题】结合实际背景考查（1）某养鸡场爆发了大规模禽流感，为防止疫情进一步扩大，防疫部门将养鸡场O点处3千米以内的范围作为扑杀区，所有禽类全部扑杀；将离养鸡场3千米至5千米的范围内为免疫区，所有禽类全部强制免疫，现有一条笔直公路l通过扑杀区和免疫区，在扑杀区内的公路AB长为4千米，则这条公路在免疫区内的长度为（）千米.A．5B．C．4D．2（2）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向正北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为( ).lA.(3－1)小时B.(3+1)小时C.2小时D.3小时二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11、【因式分解】提公因式法，公式法（1）分解因式：228a-= （2）分解因式：34m m-=（3）分解因式：2231212a ab b-+= (4) 分解因式：22ax ax a-+=12、【科学计数法】用科学记数法表示极大（极小）数，要求掌握正确的科学计数法的形式（1）世博网5月27日消息：5月27日，伴随初夏的凉爽，上海世博会参观者人数再创新高，截至当晚20时，经票检入园参观都达373000万人，已刷新上周六（5月22日）361200万的纪录，将373000用科学记数法表示应为（2）2010年2月8日，上海世博会标志性建筑中国馆竣工，其设计理念为“东方之冠，鼎盛中华天下粮仓，富庶百姓．”中国馆投资110000万元，将110000万元用科学记数法表示为（3）装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨．把数3120000用科学记数法表示为．13、【一步概率】（1）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等分，若往圆里投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是。

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2018年春九年级数学培优材料（1）（四月调考考点分析及题型预测）一．选择题1．【有理数的运算】主要考查简单的有理数运算，涉及加法，减法等例：3×3+（－2）=（）A ．5B ．6C ．4D ．7 2．【分式的意义】主要考查分式有意义的条件例：若代数式4xx 有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x =0 B ．x =4 C ．x ≠0 D ．x ≠4 3．【整式的运算】主要考查与整式有关的运算例：下列计算正确的是（）A B ．a +2a =2a 2 C ．x （x +y ）=x 2+xy D ．（mn 2）2=mn 4 4．【频率估计概率】主要考查频率估计概率例：一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（） A ．0.3 B ．0.7 C ．0.4 D ．0.65．【乘法公式】主要考查利用乘法公式进行简单计算，考查形式如由结果找算式例：计算（x －2）（x +2）的结果为（）A ．x 2+2B ．x 2－4C ．x 2+3x +4D ．x 2+2x +26．【图形变换与坐标】主要考查图形变换中对应点的坐标的变化特征，不一定是位似，也可能是平移、旋转等坐标变化(平移坐标)例：点A （2，－8）关于y 轴对称的点的坐标为（） A ．（－2，－8） B ．（2，8） C ．（－2，8） D ．（－8，2）7．【投影与视图】主要考查根据立体图形，判断符合条件的三视图，今年的表述方式可能会有些变化例：如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其俯视图是（）C.A. B.D.8．【统计基本知识】主要考查平均数、中位数、众数例：某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示：关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（） A ．中位数是4，平均数是3B ．众数是4，中位数是4C ．中位数是2，众数是1D ．众数是2，中位数是49．【找规律】主要考查对数据进行观察、分析、归纳、猜想、寻找其规律例：按照一定规律排列的n 个数：－2、4、－8、16、－32、64、……，若最后三个数的和为768，则n 为（） A ．9B ．10C ．11D ．1210．【几何小综合】主要考查与圆有关的计算或者例1：如图，∠AOB=45°，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，连OP ，C 是OP 上一点，OC =PC ，连BC 交OA 于D 点，若OD =4，AD =6，则PB 的值为（）A ．5B ．C ．D ．－例2：如图，点I 是△ABC 的内心，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 恰与AI 相切于I 点．若tan ∠IBC ＝21且BC ＝4，则⊙O 的半径为（） A ．54B ．1C ．45 D ．35例3：如图，△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为5，sin ∠B ＝53，点D 在边AC 上，在弧BC 上取一点E ，使得∠CDE ＝∠ABC ，且AE＝3DE ，则CD 的长为（） A ．22B ．2C ．3D ．2.5二．填空题11．【简单实数计算】主要考查简单的实数运算例：计算的结果是 . 12．【简单的分式运算】主要考查简单的分式运算例：．计算+11x x x的结果为___________. ADCBOP13．【平行线的应用】主要考查利用平行线求角度例：如图，在□ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE ．若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为___________14．【简单概率计算】主要考查一步概率例：在一个不透明的袋里装有三个形状、大小相同的小球，把它们标号为1，2，3，随机摸出一个小球，放回，再摸出一个小球，摸出的两个小球标号均为奇数的概率为 . 15．【线段的计算】主要考查三角形，四边形的有关计算例：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BC，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠，使点B 的对应点B '始终落在线段AC 上，若△MB C '为直角三角形，则BM 的长为 .16．【代数小综合】侧重思想、方法考查，偏函数多一点，注意要画图辅助理解，有很强的选拔功能例1：己知抛物线1C : y =x 2－2x －8及抛物线2C : y =x 2－（4a +3）x +4a 2+6a （a 为常数），当－2< x <2a +3时， 1C ，2C 图象都在x 轴下方，则a 的取值范围为 .例2：定义函数f (x )，当x ≤3时，f (x )＝x 2－2x ；当x ＞3时，f (x )＝x 2－10x ＋24．若方程f (x )＝2x ＋m 有且只有两个实数解，则m 的取值范围为___________ 例3：反比例函数xy 8=（1≤x ≤8）的图象记为曲线C 1，将C 1沿y 轴翻折，得到曲线C 2，直线y ＝－x ＋b 与C 1、C 2一共只有两个公共点，则b 的取值范围是_____________________。

三、解答题17．【解二元一次方程组】主要考查解二元一次方程组的方法和步骤例：解二元一次方程组:52311x y x y +=⎧⎨+=⎩18．【简单的几何推理、证明】主要考查三角形全等的性质和判定例：已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 与CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE第15题图B /ABN19．【统计图表的应用】主要考查识图能力，涉及计算和简单的判断例：武汉某中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动. 为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m 名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．30%篮球35%足球乒乓球羽毛球n%排球项目球毛球乓球球球根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题: （1）m = ，n = ；（2）补全图中的条形统计图；（3）“乒乓球”活动所在扇形圆心角度数为；（4）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球.20．【建模实际应用问题】主要考查一元一次方程与不等式的应用，不会很难例：某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜苔共100吨. 第一批蒜苔价格为4000元/吨; 因蒜苔大量上市，第二批价格跌至1000元/吨，这两批蒜苔共用去16万元. （1）求两批次购进蒜苔各多少吨?（2）公司收购后对蒜苔进行加工，分为粗加工和精加工两种: 粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元，要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少吨? 最大利润是多少?21．【圆中的证明与计算】主要考察圆的性质，涉及相似或勾股及三角函数等，难度比去年稍难一点例1：如图，在四边形ABCD中，AD=BC, ∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE//AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．（1）求证: 四边形AECD为平行四边形;（2）连BE,若AD=365，sin∠EBC =2425，求⊙O的半径.例2：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连接BE(1) 求证：DF是⊙O的切线(2) 若AC＝3AE，求tan∠BFD的值例3：如图，⊙O的半径OA⊥OD，点B是⊙O上一点，AB交OD于C，点P在OD的延长线上，PC＝PB(1) 求证：PB是⊙O的切线(2) 连接BD，若OC＝1，CD＝2，求tan∠DBP的值22．【函数的小综合】主要考查一次函数与反比例函数的综合应用，及学生动手作图的能力例1：已知：如图，一次函数y 1＝x ＋5的图象与反比例函数xky =2的图象交于A 、B 两点．当x ＞1时，y 1＞y 2；当0＜x ＜1时，y 1＜y 2(1) 直接写出反比例函数y 2的解析式(2) 过点D (t ，0)（t ＞0）作x 轴的垂线，分别交双曲线xky =2和直线y 1＝x ＋5于P 、Q 两点．若PQ ＝3PD 时，求t 的值(3) 若直线l 过点D (－2，－3)，且与函数||x ky =的图象恰好有2个交点 ① 在网格中画出||x ky =的图象 ② 请直接写出直线l 的解析式例2：如图1，已知双曲线xy 2=与直线y ＝x 相交于A 、B 两点，过直线y ＝x 上点C （C 在A 的上方）作 CP ∥x 轴交双曲线于P ，且PC ＝21OA ，C 关于O 的对称点为D (1) 直接写出点P 、C 、D 的坐标 (2) 求PD －PC 的值(3) 点N 为第一象限的双曲线上一动点，请问ND －NC 的值是否为定值？请说明理由例3：如图，已知双曲线xky =经过点D (6，1)，点C 是双曲线第三象限上的动点过C 点作CA ⊥x 轴，过D 点作DB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，连接AB 、BC (1) 求k 的值(2) 若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式 (3) 判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由例4：直线y ＝mx （m 为常数）与双曲线xky =（k 为常数）相交于A 、B 两点。

（1）若点A 的横坐标为3，点B 的纵坐标为－4 ①直接写出：k=______，m=______；②点C 在第一象限内是双曲线xky =的点，当S △OAC =9时，求点C 的坐标；（2）将直线y ＝mx 向右平移得到直线y ＝mx+b ，交双曲线xky =于点E （2，y 1）和F （－1，y 2），直接写出不等式mx 2+bx ﹤k 的解集：__________________________。

x23．【几何证明探究与有关线段的计算】（1）基本全等、等腰、相似的证明；（2）在一般条件下对特殊结论的证明探究：①解决问题的几何常规方法：从全等到相似；②注意基本图形条件的隐藏、转化；（3）从一般到特殊：点在特殊位置情况下，结合勾股定理、相似、第（2）问的结论进行线段的有关计算. 例1：如图1，在正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，F 是CD 上一点，已知∠AEF =90°. （1）求证:EC DF =23；（2）平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上一点，F 是边CD 上一点，∠AFE =∠ADC ，∠AEF =90°. ①如图2，若∠AFE =45°，求ECDF的值； ②如图3，若AB =BC ，EC =3CF ，直接写出cos ∠AFE 的值为 .ADCFBE 图1A BE CFD图2DFCE BA图3例2：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD ＝2CD ，AE ＝CE(1) 如图1，求ADDE的值 (2) 如图2，若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求AB 的值(3) 如图3，过D 作DF ⊥BE 于点F ，连接FC ，AB ＝10，BC ＝6，则tan ∠EFC ＝__________例3：□ABCD 中，AD=nAB ，点P 是□ABCD 的边BC 所在直线上一点，满足∠APD=90°。