中考试题研究数学(浙江)【附解析】考点跟踪突破3因式分解
2023年浙江省杭州市中考数学试卷及答案解析
2023年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A．8.8×104B．8.08×104C．8.8×105D．8.08×105 2．（3分）（﹣2）2+22＝（）A．0B．2C．4D．83．（3分）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（）A．B．C．D．5．（3分）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（）A．2B．3C．4D．56．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°7．（3分）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（）A．B．C．D．8．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 9．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（）A．中位数是3，众数是2B．平均数是3，中位数是2C．平均数是3，方差是2D．平均数是3，众数是210．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF ＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：＝．12．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝．13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝．14．（4分）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝．15．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于．16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．18．（8分）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图．（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD 上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．20．（10分）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．（1）求k1，k2的值．（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．21．（10分）在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED＝，求DF的长．（2）求证：AE•CF＝1．（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．22．（12分）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD 于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．2023年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：80800＝8.08×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．故选：D．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．3．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a﹣1）（2a+1）．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．4．【分析】先证△ABO是等边三角形，可得∠BAO＝60°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．5．【分析】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．【解答】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．∴点B（m+1，2+3），∵点B的横坐标和纵坐标相等，∴m+1＝5，∴m＝4．故选：C．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．6．【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．7．【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，∴﹣1＜a×b＜0，即﹣1＜c＜0，那么点C应在﹣1和0之间，则A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．8．【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：，∵a＞0，∴y有最小值，当时y最小，即，当k＝2时，函数y的最小值为；当k＝4时，函数y的最小值为，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．9．【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．【解答】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：2，2，2，3，此时方差s＝×[3×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.4＞2，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．10．【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∵S正方形EFGH∴n＝3．故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解题的关键．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．11．【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠ACF ﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝28°，∵∠ACF＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出∠B 的度数，由三角形外角的性质即可求出∠A的度数．13．【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，＝，解得n＝9，经检验n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE是⊙O的内接正三角形，然后证明出＝S△AEE＝S△CDE S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC可．【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°，∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），＝S△AOC，∴S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△OAE＝S△OCE，由圆和正三角形的性质可得，S△OAC∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，∴，故答案为：2【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15．【分析】利用待定系数法求出分别求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，最后比较大小即可得到答案．【解答】解：设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，将点A（0，2），B（2，3）代入得，，解得：，∴k1+b1＝，设直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，将点A（0，2），C（3，1）代入得，，解得：，∴k2+b2＝，设直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，将点B（2，3），C（3，1）代入得，，解得：，∴k3+b3＝5，∴k1+b1＝，k2+b2＝，k3+b3＝5，其中最大的值为5．故答案为：5．【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键．16．【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．【解答】解：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC ∽△ECF．三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．18．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）结合（1）的结论求出B类的人数，进而补全条形统计图；（3）总人数乘以样本中B类别人数所占比例．【解答】解：（1）60÷30%＝200（名），答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）样本中B类的人数为：200﹣60﹣10﹣10＝120（名），补全条形统计图如下：（3）1000×＝600（名），答：估计B类的学生人数约600名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．【分析】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵BE＝EF，＝S△AEF＝2，∴S△ABE∵四边形AECF是平行四边形，＝S△CEF＝2，EO＝FO，∴S△AEF∴△CFO的面积＝1．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．20．【分析】（1）首先将点A的横坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5求出点A的坐标，然后代入求出k1＝10然后将点B的纵坐标代入求出，然后代入y2＝k2（x ﹣2）+5，即可求出k2＝2；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2，∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，∴A（2，5），∴将A（2，5）代入得：k1＝10，∴，∵点B的纵坐标是﹣4，∴将y＝﹣4代入得，，∴B（﹣，﹣4）．∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，解得：k2＝2．∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．（2）证明：如图所示，由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，∴当x＝0时，y＝0，∴直线CD经过原点．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．21．【分析】（1）通过证明△DEF∽△CBF，由相似三角形的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CFB，可得，可得结论；（3）设EG＝ED＝x，则AE＝1﹣x，BE＝1+x，由勾股定理可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴△DEF∽△CBF，∴，∴，∴DF＝；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABE∽△CFB，∴，∴AE•CF＝AB•BC＝1；（3）解：设EG＝ED＝x，则AE＝AD﹣AE＝1﹣x，BE＝BG+GE＝BC+GE＝1+x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴1+（1﹣x）2＝（1+x）2，∴x＝，∴DE＝．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22．【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m＜0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1＜0，解得a＜﹣．【解答】解：（1）①由题意得，解得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．23．【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE ＝BG，可证BC2＝BG•BO；（3）设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD ＝2a＝45°．【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED＝90°，∴∠DAE+∠D＝90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴GE＝BE＝1；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴BC2＝BA•BE，由（1）知GE＝BE，∴BE＝BG，∵AB＝2BO，∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：如图，连接OC，∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠CAE，设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，∴β+α＝90°，∴α＝90°﹣β，∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，∴∠COF＝∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF（SAS），∴∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3α＝α，∴α＝22.5°，∴∠CAD＝2a＝45°．【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证。
杭州市十五中教育集团重点中学2024届中考数学对点突破模拟试卷含解析
杭州市十五中教育集团重点中学2024届中考数学对点突破模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BOC ＝120°，则∠A 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．55°D ．65°2．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．下列各组单项式中,不是同类项的一组是（ ） A ．2x y 和22xyB ．3xy 和2xy-C ．25x y 和22yx -D ．23-和34．如图，△ABC 的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y ＝kx在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )A ．1≤k≤4B ．2≤k≤8C ．2≤k≤16D ．8≤k≤165．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．203海里D．303海里6．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折8．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．3B．23C．33D．1.539．已知点M、N在以AB为直径的圆O上，∠MON=x°，∠MAN= y°，则点(x，y)一定在（）A．抛物线上B．过原点的直线上C．双曲线上D．以上说法都不对10．如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（）A．19°B．29°C．38°D．52°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是__．12．从-5，-10，6，-1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为______．13．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．14．Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 是坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，则点E 的坐标____________．16．如图，点O （0，0），B (0，1)是正方形OBB 1C 的两个顶点，以对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，再以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，……，依次下去．则点B 6的坐标____________．17．因式分解：9a 2﹣12a+4＝______． 三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）（1）计算：()212018839⎛⎫⨯-- ⎝⎪⎭+ ；（2）解不等式组 ：12(3),612.2x x x x ->-⎧⎪⎨->⎪⎩ 19．（5分）如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．求抛物线的解析式；抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在射线DE 上，并且EF AC =． （1）求证：AF CE =；（2）当B ∠的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．21．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，作ED ⊥EB 交AB 于点D ，⊙O 是△BED 的外接圆．求证：AC 是⊙O 的切线；已知⊙O 的半径为2.5，BE=4，求BC ，AD 的长．22．（10分）九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，20分钟后另一部分学生骑自行车前往，设x （分钟）为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行学生走的路程为1y 千米，骑自行车学生骑行的路程为2y 千米，12y y 、关于x 的函数图象如图所示.（1）求2y关于x的函数解析式；（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？23．（12分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，求这个圆形截面的半径．24．（14分）如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O为矩形和菱形的对称中心，OP AB，2OQ OP=，12AE PM=，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD面积的18，若设OP x=米.甲乙丙单价（元/米2）2m5n2m（1）当3x=时，求区域Ⅱ的面积.计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n均为正整数，若当2x=米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m=__________，n=__________.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】由圆周角定理即可解答.【题目详解】∵△ABC是⊙O的内接三角形，∴∠A＝12∠BOC，而∠BOC＝120°，∴∠A＝60°.故选B．【题目点拨】本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决问题的关键.2、A【解题分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集．2(1–x)＜4去括号得：2﹣2ｘ＜4移项得：2x＞﹣2，系数化为1得：x＞﹣1，故选A．“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3、A【解题分析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．【题目详解】根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.故答案选：A.【题目点拨】本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.4、C【解题分析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数kyx=经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数kyx=经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．5、D【解题分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【题目详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：=故选：D．【题目点拨】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．6、C【解题分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，对选项进行判断即可【题目详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确；B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误；D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确．此题综合考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定法则才是解题关键 7、B 【解题分析】设可打x 折，则有1200×10x-800≥800×5%， 解得x≥1． 即最多打1折． 故选B ． 【题目点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 8、A 【解题分析】分析：作OH ⊥BC 于H ，首先证明∠BOC=120，在Rt △BOH 中，BH=OB•sin60°=1×32，即可推出BC=2BH=3，详解：作OH ⊥BC 于H ．∵∠BOC=2∠BAC ，∠BOC+∠BAC=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OH ⊥BC ，OB=OC ，∴BH=HC ，∠BOH=∠HOC=60°， 在Rt △BOH 中，BH=OB•sin60°=1×32＝32， ∴3故选A ．点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．由圆周角定理得出∠MON与∠MAN的关系，从而得出x与y的关系式，进而可得出答案. 【题目详解】∵∠MON与∠MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角，∴∠MAN=12∠MON，∴12y x ，∴点(x，y)一定在过原点的直线上.故选B.【题目点拨】本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.10、C【解题分析】由AO∥BC，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°.【题目详解】∵AO∥BC，∴∠ACB=∠OAC，而∠OAC=19°，∴∠ACB=19°，∴∠AOB=2∠ACB=38°．故选：C．【题目点拨】本题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、【解题分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【题目详解】解：列表如下：-2 -1 1 2-2 2 -2 -4-1 2 -1 -21 -2 -1 22 -4 -2 2由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，∴积为大于-4小于2的概率为=，故答案为：．【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12、2 7【解题分析】七个数中有两个负整数，故随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：2 7【题目详解】105,,6,1,0,2, 3π----这七个数中有两个负整数：-5，-1所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：2 7故答案为2 7【题目点拨】本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关键．13、2 3【解题分析】试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P（小于5）=46=23．故答案为23．14、3.1或4.32或4.2【解题分析】【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【题目详解】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB=22AB BC +=5，S △ABC =12AB•BC=1． 沿过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S 等腰△ABP =AP AC •S △ABC =35×1=3.1； ②当AB=BP=3，且P 在AC 上时，如图2所示， 作△ABC 的高BD ，则BD=·34 2.45AB BC AC ⨯==， ∴AD=DP=223 2.4-=1.2，∴AP=2AD=3.1，∴S 等腰△ABP =AP AC •S △ABC =3.65×1=4.32； ③当CB=CP=4时，如图3所示，S 等腰△BCP =CP AC •S △ABC =45×1=4.2； 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，故答案为：3.1或4.32或4.2．【题目点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．15、 (1，0)【解题分析】分析：由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果CDE △的周长最小，即DE CE +有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D ′，当点E 在线段CD ′上时CDE △的周长最小．详解：如图,作点D 关于x 轴的对称点D ′,连接CD ′与x 轴交于点E ，连接DE .若在边OA上任取点E′与点E不重合,连接CE′、DE′、D′E′由DE′+CE′=D′E′+CE′>CD′=D′E+CE=DE+CE，可知△CDE的周长最小，∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴BC=3,D′O=DO=2,D′B=6，∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC,有OE D O BC D B'='，∴OE=1，∴点E的坐标为(1,0).故答案为：(1,0).点睛：考查轴对称-最短路线问题, 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等,找出点E的位置是解题的关键.16、(-1,0)【解题分析】根据已知条件由图中可以得到B1所在的正方形的对角线长为2，B2所在的正方形的对角线长为（2）2，B3所在的正方形的对角线长为（2）3；B4所在的正方形的对角线长为（2）4；B5所在的正方形的对角线长为（2）5；可推出B6所在的正方形的对角线长为（2）6=1．又因为B6在x轴负半轴，所以B6（-1，0）．解：如图所示∵正方形OBB1C，∴OB1，B1所在的象限为第一象限；∴OB2=）2，B2在x轴正半轴；∴OB3=）3，B3所在的象限为第四象限；∴OB4=）4，B4在y轴负半轴；∴OB5=）5，B5所在的象限为第三象限；∴OB6=）6=1，B6在x轴负半轴．∴B6（-1，0）．故答案为（-1，0）．17、（3a﹣1）1【解题分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【题目详解】9a1-11a+4=（3a-1）1．故答案是：（3a﹣1）1.【题目点拨】考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）（2）15 2x<<．【解题分析】（1）根据幂的运算与实数的运算性质计算即可.（2）先整理为最简形式，再解每一个不等式，最后求其解集. 【题目详解】（1）解：原式=1 199 +⨯=（2）解不等式①，得5x<.解不等式②，得12 x>.∴原不等式组的解集为15 2x<<【题目点拨】本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握和运用相关运算性质是解答关键.19、（1）抛物线的解析式为248y x x 433=-++；（2）PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）；（3）存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 【解题分析】 （1）将A （3，0），C （0，4）代入2y ax 2ax c =-+，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长．（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽△AEM ，②△CFP ∽△AEM ；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【题目详解】 解：（1）∵抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得4a {3c 4=-=． ∴抛物线的解析式为248y x x 433=-++． （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵A （3，0），点C （0，4），∴3k b 0{b 4+==，解得4k {3b 4=-=． ∴直线AC 的解析式为4y x 43=-+． ∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，4m 43-+）． ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线248y x x 433=-++上， ∴点P 的坐标为（m ，248m m 433-++）．∴PM=PE －ME=（248m m 433-++）－（4m 43-+）=24m 4m 3-+． ∴PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）． （3）在（2）的条件下，连接PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=4m 43-+，CF=m ，PF=248m m 4433-++-=248m m 33-+， 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况： ①若△PFC ∽△AEM ，则PF ：AE=FC ：EM ，即（248m m 33-+）：（3－m ）=m ：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=2316． ∵△PFC ∽△AEM ，∴∠PCF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠PCF=∠CMF ．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM 为直角三角形．②若△CFP ∽△AEM ，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3－m ）=（248m m 33-+）：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP ∽△AEM ，∴∠CPF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠CPF=∠CMF ．∴CP=CM ．∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 20、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】(1)求出EF ∥AC ,根据EF ＝AC ,利用平行四边形的判定推出四边形ACEF 是平行四边形即可;(2)求出CE ＝12AB ,AC ＝12AB ,推出 AC ＝ CE ,根据菱形的判定推出即可. 【题目详解】（1）证明：∵∠ACB ＝90°，DE 是BC 的垂直平分线，∴∠BDE ＝∠ACB ＝90°，∴EF ∥AC ，∵EF ＝AC ，∴四边形ACEF 是平行四边形，∴AF ＝CE ；（2）当∠B ＝30°时，四边形ACEF 是菱形，证明：∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴AC ＝12AB ，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BD＝DC，∵DE∥AC，∴BE＝AE，∵∠ACB＝90°，∴CE＝12AB，∴CE＝AC，∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形，即当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形.【题目点拨】本题考查了菱形的判定平行四边形的判定线段垂直平分线，含30度角的直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用综合性比较强,有一定的难度.21、（1）证明见解析；（2）BC=165，AD=457．【解题分析】分析：（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；（2）证△BDE∽△BEC得BD BEBE BC=，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得AO OEAB BC=，据此可得AD的长．详解：（1）如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线；（2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC，∴BD BE BE BC =，即54=4BC， ∴BC=165； ∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ， ∴AO OE AB BC =，即 2.5 2.51655AD AD +=+， 解得：AD=457． 点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．22、20.24y x ＝﹣；（2）骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.【解题分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得2y 关于x 的函数解析式；（2）根据函数图象中的数据和题意可以分别求得步行学生和骑自行车学生到达百花公园的时间，从而可以解答本题.【题目详解】解：（1）设2y 关于x 的函数解析式是2y kx b +＝，200404k b k b +=⎧⎨+=⎩，得0.24k b =⎧⎨=-⎩， 即2y 关于x 的函数解析式是20.24y x＝﹣； （2）由图象可知，步行的学生的速度为：4400.1÷＝千米/分钟，∴步行同学到达百花公园的时间为：60.160÷＝（分钟）， 当28y ＝时， 60.24x ＝﹣，得50x ＝，605010﹣＝，答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.【题目点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.23、（1）详见解析；（2）这个圆形截面的半径是5 cm.【解题分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O 作半径CO AB ⊥，交AB 于点D ，设半径为r ，得出AD 、OD 的长，在Rt AOD △中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.【题目详解】(1)如图，作线段AB 的垂直平分线l ，与弧AB 交于点C ，作线段AC 的垂直平分线l ′与直线l 交于点O ，点O 即为所求作的圆心．(2)如图，过圆心O 作半径CO ⊥AB ，交AB 于点D ，设半径为r ，则AD ＝AB ＝4，OD ＝r －2，在Rt △AOD 中，r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，答：这个圆形截面的半径是5 cm.【题目点拨】此题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解.24、（1）8m 2;（2）68m 2;(3) 40，8【解题分析】（1）根据中心对称图形性质和,OP AB ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当83x =时，4个全等直角三角形的面积；（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答；（3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【题目详解】（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB ，∴142OM AB == ∵12AE PM =，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -==，21124468223II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()214(246)2II S AM AE x m =⨯⋅=-∴I III I I S AB BC S S =⋅--=-()22234672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭， ∵04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯ ∴040261246968x x x ⎧⎪<<⎪<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩解不等式组得23x ≤≤，∵40a =-<，结合图像，当34x ≥时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2242627268m -⨯+⨯+= （3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【题目点拨】本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x 的二次函数解析式表示出白色区面积.。
浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)
•
①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
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②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升 】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤， 先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
14
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
.
• (4)(2015·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为________．
• 【解析】 (3)∵m－n＝2，
•
∴2m2－4mn＋2n2－1＝2(m－n)2－1＝2×22－1＝7.
•
(4)∵2m－n2＝4，∴10＋4m－2n2＝10＋2(2m－n2)＝10＋2×4＝18.
• 【答案】(3)7 (4)18
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，
浙江省中考数学总复习 全程考点训练3 因式分解(含解析)
全程考点训练3 因式分解一、选择题1．下列多项式中，能因式分解的是(D)A．x2－y B．x2＋1C．x2＋y＋y2 D．x2－4x＋4【解析】x2－4x＋4＝(x－2)2.2．分解因式x2y－y3结果正确的是(D)A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y)．3．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，其中分解不够彻底的是(A)A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2C．x2y－xy2＝xy(x－y)D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)【解析】x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．4．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是(D)A．－5 B．7C．－1 D．7或－1【解析】完全平方式为(x±4)2，故2(m－3)＝±8，m＝7或－1.5．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，则加上的单项式不可能是(D)A．4x B．－4xC．4x4 D．－4x46．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值是(C)A．－15 B．－2C．－6 D．6【解析】a－b＝3，b＋c＝－5两式相加，得a＋c＝－2.ac－bc＋a2－ab＝c(a－b)＋a(a－b)＝(a＋c)(a－b)＝－2×3＝－6.7．由m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ，可得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3＝a 3＋b 3，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式．下列运用立方和公式进行的变形中，不正确的是(C )A ．(x ＋4y )(x 2－4xy ＋16y 2)＝x 3＋64y 3B ．(2x ＋y )(4x 2－2xy ＋y 2)＝8x 3＋y 3C ．(a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝a 3＋1D ．x 3＋27＝(x ＋3)(x 2－3x ＋9)【解析】 (a ＋1)(a 2＋a ＋1)≠a 3＋1，应为(a ＋1)(a 2－a ＋1)＝a 3＋1.8．已知248－1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个整数是(D )A ．61，63B ．61，65C ．61，67D ．63，65【解析】 248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)，26＋1＝65，26－1＝63.二、填空题9．分解因式：(1)x 2y 4－x 4y 2＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )；(2)2x 2＋4x ＋2＝2(x ＋1)2．【解析】 (1)提取公因式x 2y 2，再用平方差公式，得原式＝x 2y 2(y 2－x 2)＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )．(2)提取公因式2，再用完全平方公式，得原式＝2(x 2＋2x ＋1)＝2(x ＋1)2.10．在实数范围内分解因式：x 2－2x －4＝(x －1＋5)(x －1－5)．【解析】 原式＝(x 2－2x ＋1)－5＝(x －1)2－(5)2＝(x －1＋5)(x －1－5)．11．已知a (a －2)－(a 2－2b )＝－4，则a 2＋b 22－ab 的值为__2__． 【解析】 ∵a (a －2)－(a 2－2b )＝a 2－2a －a 2＋2b ＝－2a ＋2b ，∴－2a ＋2b ＝－4，∴a －b ＝2.则a 2＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 2＝（a －b ）22＝2. 12．如图，各块图形的面积和为a 2＋3ab ＋2b 2，分解因式的结果为(a ＋2b )(a ＋b )．(第12题)【解析】根据图示可看出大矩形是由2个边长为b的正方形，1个边长为a的小正方形和3个长为b、宽为a的小矩形组成，所以用大矩形的面积的两种求法作为相等关系，即可得a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．13．在日常生活中，取款、网上支付等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆．原理是：对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个由6个数字组成的密码．对于多项式4x3－xy2，若取x＝10，y＝10，则用上述方法产生的密码是：103010或101030或301010_(写出一个即可)．【解析】4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)．三、解答题14．分解因式：(1)m(a－b)＋n(b－a)．【解析】原式＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)．(2)(a＋2b)2＋6(a＋2b)＋9.【解析】原式＝(a＋2b＋3)2.(3)(x2＋x＋1)2－x2.【解析】原式＝(x2＋x＋1－x)(x2＋x＋1＋x)＝(x2＋1)(x＋1)2.(4)(a2＋4b2)2－16a2b2.【解析】原式＝(a2＋4b2＋4ab)(a2＋4b2－4ab)＝(a＋2b)2(a－2b)2.15．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【解析】方法一：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；方法二：(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；方法三：(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；方法四：(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．16．有7张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小矩形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足什么关系？(第16题)【解析】 左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为CG ＝a. ∵AD ＝BC ，AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋a ，BC ＝BP ＋PC ＝4b ＋PC ，∴AE ＋a ＝4b ＋PC ，∴AE ＝PC ＋4b －a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE·AF－PC·CG＝3b·AE－a·PC＝3b(PC ＋4b －a)－a·PC＝(3b －a)PC ＋12b 2－3ab.∵S 保持不变，∴3b －a ＝0，即a ＝3b.17．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足关系式a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，试判断△ABC 的形状．(3)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m ＞n ，m ，n 都是正整数)，则△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．【解析】 (1)∵a 2c 2－b 2c 2＝c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2)－c 2(a 2－b 2)＝0，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0可配方成12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]＝0，故a ＝b ＝c. ∴△ABC 为等边三角形．(3)是．理由：∵a 2＋b 2＝(m 2－n 2)2＋(2mn)2＝m 4－2m 2n 2＋n 4＋4m 2n 2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4＝(m 2＋n 2)2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2(n 为大于0的自然数)．(1)探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由)．【解析】(1)∵a n＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，n为大于0的自然数，∴8n 一定是8的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．(2)a2＝16，a8＝64，a18＝144，a32＝256.当n满足n＝2k2(k为正整数)时，a n为完全平方数．。
中考数学总复习(浙江地区)课件： 第3讲 因式分解
1．(2016·自贡)把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
2．(2016·潍坊)将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
【例1】 (1) 下列式子从左到右变形是因式分解的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 (2)(2016·岳阳)因式分解：6x2－3x＝ 3x(2x－1) ． (3)(2016·绍兴)因式分解：a3－9a＝ a(a＋3)(a－3) ． (4)(2016·郴州)因式分解：m2n－6mn＋9n＝ n(m－3)2 ． 【点评】 (1)因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若 结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．(2) (3) (4) 因式分解 一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再 分解为止．
[对应训练] 1．分解因式： (1)9x2－1； 解：原式＝(3x＋1)(3x－1)
(4)(2016·恩施)a2b－10ab＋25b；
解：原式＝b(a－5)2
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2； 解：原式＝4(4x＋y)(x＋4y)
(5)在实数范围内分解因式：m4－9. 解：原式＝(m2＋3)(m＋ 3)(m－ 3)
(3)(2015·南京)(a－b)(a－4b)＋ab； 解：原式＝(a－2b)2
【例2】 (1)计算：852－152等于( D ) A．70 B．700 C．4 900 D．7 000
中考数学考点跟踪突破3二次函数及其图象试题
考点跟踪突破13 二次函数及其图象一、选择题1．(2021·上海)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋32．(2021·张家界)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b及y＝ax2－bx的图象可能是( C )3．(2021·宁波)函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，以下结论正确的选项是( D )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象及x轴没有交点C．假设a＞0，那么当x≥1时，y随x的增大而减小D．假设a＜0，那么当x≤1时，y随x的增大而增大4．(2021·天津)二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，及其对应的函数值y的最小值为5，那么h的值为( B )A．1或－5 B．－1或5C．1或－3 D．1或35．(2021·长沙)抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞a＞0)及x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0无实数根；③a－b＋c≥0；④a＋b＋cb－a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( D )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．(2021·河南)A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是__(1，4)__．7．(2021·宁夏)假设二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象及x 轴有两个交点，那么m 的取值范围是__m ＜1__． 8．(2021·大连)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 及x 轴相交于点A ，B(m＋2，0)，及y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，那么点A 的坐标是__(－2，0)__．,第8题图) ,第10题图)9．(2021·泸州)假设二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象及x 轴交于A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，那么1x 1＋1x 2的值为__－4__． 10．(2021·内江)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，那么P ，Q 的大小关系是__P ＞Q__．三、解答题11．(2021·黑龙江)如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象及y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且及点C 关于抛物线的对称轴对称，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数及一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足(x ＋2)2＋m≥kx＋b 的x 的取值范围．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m ，∴m ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，∴点C 坐标(0，3)，∵对称轴x ＝－2，B ，C 关于对称轴对称，∴点B 坐标(－4，3)，∵y＝kx＋b 经过点A ，B ，∴⎩⎨⎧－4k ＋b ＝3，－k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－1，∴一次函数解析式为y ＝－x －1(2)由图象可知，写出满足(x ＋2)2＋m≥kx＋b 的x 的取值范围为x≤－4或x≥－112．(2021·齐齐哈尔)如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 及x 轴交于点A 和点B ，及y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B ，C 两点的坐标；(3)求过O ，B ，C 三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x ＝2，可得⎩⎨⎧－b 2＝2，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－5，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x －5 (2)由A 点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x ＝2，可知AB ＝6，∴OB ＝5，∴B 点坐标为(5，0)，∵y＝x 2－4x －5，∴C 点坐标为(0，－5)(3)如图，连接BC ，那么△OBC 是直角三角形， ∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，在Rt △OBC 中，OB ＝OC ＝5，∴BC＝52，∴圆的半径为522，∴圆的面积为π(522)2＝252π 13．(2021·陕西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线及x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且及y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．解：(1)由抛物线过M ，N 两点，把M ，N 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎨⎧a ＋b ＋5＝3，9a ＋3b ＋5＝5，解得 ⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋5，令y ＝0可得x 2－3x ＋5＝0，该方程的判别式为Δ＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，∴抛物线及x 轴没有交点(2)∵△AOB 是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B 在y 轴上，∴B 点坐标为(0，2)或(0，－2)，可设平移后的抛物线解析式为y ＝x 2＋mx ＋n ，①当抛物线过点A(－2，0)，B(0，2)时，代入可得⎩⎨⎧n ＝2，4－2m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝2，∴平移后的抛物线为y ＝x 2＋3x ＋2，∴该抛物线的顶点坐标为(－32，－14)，而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过A(－2，0)，B(0，－2)时，代入可得⎩⎨⎧n ＝－2，4－2m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，∴平移后的抛物线为y ＝x 2＋x －2，∴该抛物线的顶点坐标为(－12，－94)，而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．14．(2021·上海)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a≠0)经过点A(4，－5)，及x 轴的负半轴交于点B ，及y 轴交于点C ，且OC ＝5OB ，抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB ，BC ，CD ，DA ，求四边形ABCD 的面积；(3)如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5及y 轴交于点C ，∴C(0，－5)，∴OC ＝5.∵OC＝5OB ，∴OB＝1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B(－1，0)．∵抛物线经过点A(4，－5)和点B(－1，0)，∴⎩⎨⎧16a ＋4b －5＝－5，a －b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，∴这条抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5(2)由y ＝x 2－4x －5，得顶点D 的坐标为(2，－9)．连接AC ，∵点A 的坐标是(4，－5)，点C 的坐标是(0，－5)，又S △ABC ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝12×4×4＝8，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝18 (3)过点C 作CH⊥AB，垂足为点H.∵S △ABC ＝12×AB×CH＝10，AB ＝52，∴CH＝22，在Rt △BCH 中，∠BHC＝90°，BC ＝26，BH ＝BC 2－CH 2＝32，∴tan ∠CBH＝CH BH ＝23.∵在Rt △BOE 中，∠BOE＝90°，tan ∠BEO＝BO EO，∵∠BEO＝∠ABC，∴BO EO ＝23，得EO ＝32，∴点E 的坐标为(0，32)。
2022年浙江杭州中考数学试卷真题及答案解析(精编打印版)
数学试题卷一、选择题：本大题有10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）A ．－8℃B ．－4℃C ．4℃D ．8℃2．国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（）A ．814.12610⨯B ．91.412610⨯C ．81.412610⨯D ．100.1412610⨯3．如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°4．已知a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d =，则（）A ．a c b d+>+B ．a b c d+>+C ．a c b d+>-D ．a b c d+>-5．如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（）A ．线段CD 是 ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是 ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是 ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是 ABC 的AC 边上的高线6．照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（）A ．fvf v-B ．f v fv-C ．fv v f-D ．v f fv-7．某体育比赛的门票分A 票和B 票两种，A 票每张x 元，B 票每张y 元．已知10张A 票的总价与19张B 票的总价相差320元，则（）A ．1032019xy=B ．1032019yx=C ．1019320x y -=D ．1910320x y -=8．如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1,03M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（）A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M9．已知二次函数2y x ax b =++（a ，b 为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线1x =．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A ．命题①B ．命题②C ．命题③D ．命题④10．如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC =θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为（）A ．()cos 1cos θθ+B ．()cos 1sin θθ+C ．()sin 1sin θθ+D ．()sin 1cos θθ+二、填空题：本大题有6个小题11=_________；()22-=_________．12．有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________．13．已知一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解是_________．14．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，DE =2.47m ，则AB =_________m ．15．某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则x =_________（用百分数表示）．16．如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则∠B =_________度；BCAD的值等于_________．三、解答题：本大题有7个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．计算：()32623⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭■．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是12，请计算()3216232⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．18．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？19．如图，在 ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．(1)若8AB =，求线段AD 的长．(2)若ADE V 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．20．设函数11k y x=，函数22y k x b =+（1k ，2k ，b 是常数，10k ≠，20k ≠）．(1)若函数1y 和函数2y 的图象交于点()1,A m ，点B (3，1)，①求函数1y ，2y 的表达式：②当23x <<时，比较1y 与2y 的大小（直接写出结果）．(2)若点()2,C n 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求n 的值．21．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM 上，EF ⊥AC 于点F ，连接CM ，CE ．已知∠A =50°，∠ACE =30°．(1)求证：CE =CM ．(2)若AB =4，求线段FC 的长．22．设二次函数212y x bx c =++（b ，c 是常数）的图像与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数1y 的表达式及其图像的对称轴．(2)若函数1y 的表达式可以写成()2122y x h =--（h 是常数）的形式，求b c +的最小值．(3)设一次函数2y x m =-（m 是常数）．若函数1y 的表达式还可以写成()()122y x m x m =---的形式，当函数12y y y =-的图像经过点()0,0x 时，求0x m -的值．23．在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且2AE BF =，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．(1)如图1，若4AB =，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH 的面积，(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ．①求证：2EK EH =；②设AEK α∠=，FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为1S ，2S ．求证：2214sin 1S S α=-．【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D ．【点睛】本题主要考查有理数的减法法则，关键是根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答．2．B 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：1412600000=91.412610 ．故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．C 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB CD ∥，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．【分析】根据不等式的基本性质可判定A 正确，举例能判定B 、C 、D 错误．【详解】解：A 、∵a b >，c d =，∴a c b d +>+．故此选项符合题意；B 、∵a b >，c d =，如a =-2,b =-3,c =d =1，则a +b =-5，c +d =2，∴a +b <c +d ，故此选项不符合题意；C 、∵a b >，c d =，如a =-2,b =-3,c =d =-4，则a +c =-2-4=-6，b -d =-3-(-4)=1，∴a +c <b -d ，故此选项不符合题意；D 、∵a b >，c d =，如a =-2,b =-3,则a +b =-5,c -d =0，∴a +b <c -d ,故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．5．B 【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD 是 ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∵线段CD 是 ABC 的AB 边上的高线，∴B 正确，符合题意；∵线段AD 是 ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∵线段AD 是 ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．6．C 【分析】利用分式的基本性质，把等式()111v f f u v=+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【详解】解：∵()111v f f u v=+≠，∴111u f ν=-∴1f u f νν-=，∴f u fνν=-，故选：C ．【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．7．C 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题；【详解】解：由10张A 票的总价与19张B 票的总价相差320元可知，1019320x y -=或1910320y x -=，∴1019320x y -=，故选：C ．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析．8．B 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B （2，，利用待定系数法可得直线PB 的解析式，依次将M 1，M 2，M 3，M 4四个点的一个坐标代入y +2中可解答．【详解】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，，设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x =-3，∴点M 1（-3，0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y ，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】根据对称轴为直线12a x =-=，确定a 的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x =-1，位于y 轴的两侧，从而作出判断即可．【详解】假设抛物线的对称轴为直线1x =，则12a x =-=，解得a =-2，∵函数的图像经过点(3，0),∴3a +b +9=0，解得b =-3，故抛物线的解析式为2=23y x x --，令y =0，得2230x x --=，解得121,3x x =-=，故抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A ．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x 轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x 轴的交点问题是解题的关键．10．D【分析】要使△ABC 的面积S =12BC •h 的最大，则h 要最大，当高经过圆心时最大．【详解】解：当△ABC 的高AD 经过圆的圆心时，此时△ABC 的面积最大，如图所示，∵A'D ⊥BC ，∴BC =2BD ，∠BOD =∠BAC =θ，在Rt △BOD 中，sin θ=1BD BD OB =，cos θ=1OD OD OB =，∴BD =sin θ，OD =cos θ，∴BC =2BD =2sin θ，A'D =A'O +OD =1+cos θ，∴S △A'BC =12AD •BC =12•2sin θ（1+cos θ）=sin θ（1+cos θ）．故选：D ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．11．24【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．【详解】2=；()224-=．故答案为：2，4【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，乘方运算，熟练掌握算术平方根的性质，乘方的运算法则是解题的关键．12．25##0.4【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．【详解】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性，∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于2 5，故答案为：2 5．【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．13．12 xy=⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y=3x-1与y=kx的方程组31y xy kx=-⎧⎨=⎩的解为：12xy=⎧⎨=⎩，即31x ykx y-=⎧⎨-=⎩的解为：12xy=⎧⎨=⎩，故答案为：12 xy=⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．14．9.88【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF，∴AB BCDE EF=，即8.722.47 2.18AB=，解得AB=9.88，∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．15．30%【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（0x>），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，依题意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），∴x=0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．36【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出CE BE EO CE=，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE12a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出BC ECAD AE=，则可得出答案．【详解】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴CE BE EO CE=，∴CE2=EO•BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x（负值舍去），∴OEa ，∴AE =OA -OE =aa ，∵∠AED =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ，∴△BCE ∽△DAE ，∴BC EC AD AE=，∴2BC AD =．故答案为：36【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．(1)-9(2)3【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）设被污染的数字为x ，由题意，得()326263x ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解方程即可；【详解】（1）解：()()32116268326⎛⎫-⨯--=-⨯- ⎪⎝⎭189=--=-；（2）设被污染的数字为x ，由题意，得()326263x ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得3x =，所以被污染的数字是3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．18．(1)乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙(2)甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；（2）根据加权平均数的定义列式计算可得．（1）解：甲的综合成绩为808782833++=（分），乙的综合成绩为809676843++=（分）．因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙；（2）解：甲的综合成绩为8020%8720%8260%82.6⨯+⨯+⨯=（分），乙的综合成绩为8020%9620%7660%80.8⨯+⨯+⨯=（分）．因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲．【点睛】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．19．(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB=即可求出；（2）利用平行条件证明ADE EFC ∽ ，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S V 、ABC S ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S =-- 求出．【详解】（1）∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB=，∵DE 1BC 4=，∴AD 1AB 4=，∴118244AD AB ==⨯=；（2）∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE BC ∥，EF AB ∥，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，∴ADE EFC∽ ∴2ADE EFC S DE S FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵DE 1BC 4=，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE =-=-=，∴133DE DE FC DE ==，∴221139ADE EFC S DE S FC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=，∴2211416ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∵1ADE S =△，∴9,16EFC ABC S S == ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S =--=--= ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．20．(1)①13y x=，24y x =-+；②12y y <(2)1【分析】（1）①把点B (3，1)代入11k y x=，可得13k =；可得到m =3，再把点()1,3A ，点B (3，1)代入22y k x b =+，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；（2）根据点()2,C n 在函数1y 的图象上，可得12k n =，再根据点的平移方式可得点D 的坐标为()2,2n --，然后根据点D 恰好落在函数1y 的图象上，可得()222n n =--，即可求解．【详解】（1）解：①把点B (3，1)代入11k y x=，得1313k =⨯=，∴13y x =．∵函数1y 的图象过点()1,A m ，∴3m =，∴点B (3，1)代入22y k x b =+，得：22313k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得214k b =-⎧⎨=⎩，∴24y x =-+．②根据题意，画出函数图象，如图∶观察图象得∶当23x <<时，函数11k y x=的图象位于函数22y k x b =+的下方，∴12y y <．（2）解∶∵点()2,C n 在函数1y 的图象上，∴12k n =，∵点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，∴点D 的坐标为()2,2n --，∵点D 恰好落在函数1y 的图象上，∴()122k n =--，∴()222n n =--，解得1n =．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．21．(1)见解析【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC =MA =MB ，根据外角的性质可得∠MEC =∠A +∠ACE ，∠EMC =∠B +∠MCB ，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE =CM 先求出CE 的长，再解直角三角形即可求出FC 的长．（1）证明：∵∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，∴MC =MA =MB ，∴∠MCA =∠A ，∠MCB =∠B ，∵∠A =50°，∴∠MCA =50°，∠MCB =∠B =40°，∴∠EMC =∠MCB +∠B =80°，∵∠ACE =30°，∴∠MEC =∠A +∠ACE =80°，∴∠MEC =∠EMC ，∴CE =CM ；（2）解：∵AB =4，∴CE =CM =12AB =2，∵EF ⊥AC ，∠ACE =30°，∴FC =CE 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．22．(1)()()1212y x x =--，32x =(2)4-(3)00x m -=或052x m -=【分析】（1）利用待定系数法计算即可．（2）根据等式的性质，构造以b +c 为函数的二次函数，求函数最值即可．（3）先构造y 的函数，把点()0,0x 代入解析式，转化为0x 的一元二次方程，解方程变形即可．（1）由题意，二次函数212y x bx c =++（b ，c 是常数）经过(1，0)，(2，0)，∴2b+c 0420b c +=⎧⎨++=⎩，解得b 64c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式()()21264212y x x x x =-+=--．∴图像的对称轴是直线632222b x a -=-=-=⨯．（2）由题意，得2212422y x hx h =-+-，∵212y x bx c =++，∴b =-4h ，c =222h -∴2242b c h h +=--()2214h =--，∴当1h =时，b c +的最小值是4-．（3）由题意，得12y y y =-()()()22x m x m x m =-----()()25x m x m =---⎡⎤⎣⎦因为函数y 的图像经过点()0,0x ，所以()()00250x m x m ---=⎡⎤⎣⎦，所以00x m -=，或052x m -=．【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键．23．(1)5(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由中点定义可得2AE BE ==，从而可求1BF =，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH 的面积；（2）①根据余角的性质可证KEA EFB ∠=∠，进而可证KEA EFB ∽△△，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立；②先证明KHI FGJ ≌△△，再证明KHI KAE ∽△△，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论．（1）解：∵4AB =，点M 是边AB 的中点，∴2AE BE ==，∵2AE BF =，∴1BF =，由勾股定理，得2225EF BE BF =+=，∴正方形EFGH 的面积为5．（2）解：①由题意知90KAE B ∠=∠=︒，∴90EFB FEB ∠+∠=︒，∵四边形EFGH 是正方形，∴90HEF ∠=︒，∴90KEA FEB ∠+∠=︒，∴KEA EFB ∠=∠，∴KEA EFB ∽△△，∴2KE AE EF BF==．∴22EK EF EH ==．②由①得HK HE GF ==，又∵90KHI FGJ ∠=∠=︒，KIH FJG ∠=∠，∴KHI FGJ ≌△△，设KHI △的面积为1S ．∵∠K =∠K ，∠KHI =∠A =90°，∴KHI KAE ∽△△，∴2222122244sin 12S S KA KA KA S KH KE KE α⎛⎫ ⎪+⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，∴2214sin 1S S α=-．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。
考点02二次根式、整式与因式分解-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专版)(解析版)
考点02 二次根式、整式与因式分解【命题趋势】浙江中考中，对二次根式的考察主要集中在对其化简计算的应用，多以简答题17题形式考察，分值在3~9分，常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；偶尔也会以选择题或者填空题出现，考察二次根式有意义的条件，但几率较小。
整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
因式分解作为整式乘法的逆运算，在浙江中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以填空题第一题的形式出现，偶尔会出在选择题前5题内，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，中考占分在3~4分【中考考查重点】一、二次根式的相关概念及性质；二、二次根式的运算；三、整式的加减；四、幂的运算五、整式的乘除六、因式分解考向一：二次根式的相关概念及性质1.平方根与立方根a(a＞0) a(a=0) a(a＜0) 等于其本身的数 平方根 a±0 / 0算术平方根 a0 / 0、1立方根a3a0、1、-13a03=【易错警示】正数和0有平方根、算数平方根、立方根；负数只有立方根【同步练习】1．（2021秋•长清区期中）实数16的平方根是（ ）A．8B．±8C．4D．±4【分析】根据平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数，计算．【解答】解：16的平方根是±4；故选：D．2．（2021秋•吴江区月考）已知一个数的平方根是±3，这个数是（ ）A．﹣9B．9C．81D．【分析】根据平方根的定义解决此题．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴这个数是9．故选：B．3．（2021秋•奉化区期中）的算术平方根是（ ）A．3B．﹣3C．﹣9D．9【分析】根据算术平方根的定义是解决本题的关键．【解答】解：∵，∴的算术平方根是3．故选：A．4．（2021秋•鄞州区期中）下列各式中正确的是（ ）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．（﹣5）2＝25【分析】选项A根据绝对值的性质判断即可；选项B根据算术平方根的定义判断即可；选项C根据立方根的定义判断即可；选项D根据有理数的乘方的定义判断即可．【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项不合题意；B．，故本选项不合题意；C．，故本选项不合题意；D．（﹣5）2＝25，故本选项符合题意；故选：D．5．（2021•青神县模拟）若+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2021＝（ ）A．﹣1B．1C．52021D．﹣52021【分析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性，由≥0，|2a﹣b+1|≥0，得a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，那么a＝﹣2，b＝﹣3，从而解决此题．【解答】解：∵≥0，|2a﹣b+1|≥0，∴当+|2a﹣b+1|＝0，则＝0，|2a﹣b+1|＝0．∴a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0．∴a＝﹣2，b＝﹣3．∴（b﹣a）2021＝（﹣3+2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：A．2.二次根式与最简二次根式概念有意义的条件二次根式非负数a的算式平方根叫做二次根式，记作a（a ≥0）被开方数a ≥最简二次根式满足以下两个条件的二次根式：①被开方数中不含分数，所含因式是整式；②被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；叫做最简二次根式/【易错警示】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，所以像4、-9都是二次根式。
2022年浙江省杭州市中考数学试题附解析
2022年浙江省杭州市中考数学试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC 、BD 相交于点P ，CD AB 等于（ ）A ．sin ∠BPCB ．cos ∠BPC C ．tan ∠BPCD ．cot ∠BPC2．如图是一束从教室窗户射入的平行的光线的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长 MN=23m ，若窗户的下檐到教室地面的距离 BC=lm ，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ）A ．23mB ． 3 mC ． 3.2 mD ． 332m3．若正比例函数(21)y m x =-的图象经过点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ），当12x x <时，12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．0m >C ．12m <D ．12m > 4．等腰三角形的一边长是8，周长是l8，则它的腰长是（ ）A ．8B ．5C ．2D ．8或55．如图，小明从A 处出发沿北偏东60°向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）A ．右转80°B ．左传80°C ．右转100°D ．左传100°6．已知某种植物花粉的直径约为 0.000 35米，用科学记数法表示是（ ）A ．43.510⨯ 米B ．43.510-⨯ 米C ． 53.510-⨯ 米D ． 63.510-⨯ 米7．下面每组图形中的两个图形不是通过相似变换得到的是（ ）8．下列说法正确的是（ ）A ． 如果一件事情发生的机会是 99. 9%，那么它必然发生B ． 即使一件事情发生的机会是0.0l%，它仍然可能发生C ． 如果一件事情极有可能发生，那么它必然发生D ． 如果一件事情不太可能发生，那么它就不可能发生9．若∠AOB=50°,∠BOC=20°,则∠AOC 的度数是 （ ）A ．30°B ．70°C ．30°或 70°D ．100° 10．－2的相反数是（ ） A. 2 B.－12 C ．12 D.－2 11．下列直线的表示中，正确的是（ ） A ．直线A B ．直线ABC ．直线abD ．直线A b 12．若25x a b 与30.2y a b -是同类项，则 x 、y 的值分别是（ ）A ．3x =±,2y =±B ．3x =,2y =C ．3x =-,2y =-D ．3x =,2y =- 二、填空题13．晚上，小亮走在大街上，如图，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为 3m ，左边的影子长为 1.5m ，且自己的身高为 1.80 m ，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为 12m ，则路灯的高度为 m ．14．若长度为2，3，x ，6 的四条线段是比例线段，则 ．15．已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 经过点（1，3），则c ＝ ．616．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D 十∠E+∠F+∠G 的度数为 ．17．下图的几何体由若干个棱长为数1的正方体堆放而成，则这个几何体的体积为__________．18．如图是一个长方形公园，如果要从A景点走到B景点，至少要走米.19．如图所示，等边三角形ABC中，AD、BE、CF分别是△ABC的三条角平分线，它们相交于点O，将△ABC绕点0至少旋转度，才能和原来的三角形重合．20．如图，∠1的同位角是，∠3 的内错角是，∠4与是同旁内角.21．长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴．22．如图，从A地到B地走条路线最近，它根据的是 .三、解答题23．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A的直线和两圆相交于C、D，过点 B 的直线和两圆相交于点E、F，求证：DF∥CE.24．观察图，图①是面积为 1 的等边三角形，连结它的各边中点，挖去中间的三角形得到如图②所示，再分别连结剩下的三角形各边中点，挖去中间的三角形得到如图③所示，继续用同样方法将得到图④，图⑤，图⑥…图n．(1)图②中空自部分面积为 , 图③中空白部分面积为，图④中空白部分面积为．(2)猜想：图③中空白部分面积为；(3)根据以上结论可推知，图n中空白部分面积为．25．如图，△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，且点C在AD上，AE的延长线与BD交于点F．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．26．写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明它是一个真命题．27．一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有l、2、3、4、5、6这6个号码，这些球除号码外都相同．(1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；(2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的慨率P2．28．编号是1～99的99张卡片中，任意取1张，求：(1）取得的卡片号是偶数的概率；（2）取得的卡片号是6的倍数的概率．29．把下列实数在数轴上表示，并比较它们的大小：-2 ,2- ，3.3, π，2,2.22<2 3.3π-<-<<30． 如图，在△ABC 中，∠A= 90°，∠C= 30°，AB=1，两个动点 P 、Q 同时从点A 出发， 但点P 沿AC ，点Q 沿 AB 、BC 运动，两点同时到达点 C ．(1)点 Q 的速度是点P 的速度的多少倍？(2)设 AP=x, △APQ 的面积 y ，当 Q 在BC 上运动时，用 x 表示 y ，写出 x 的取值范围，并求出 y 的最大值.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．C4．D5．A6．B7．D8．B9．C10．A11．BB二、填空题13．914．x=1或4或 915．16．540°17．618．20219．12020．∠4，∠2，∠221．2，4，无数22．②，两点之间线段最短三、解答题23．连结 AB.∠ACE=∠ABE,∠ABE=∠ADF，∴∠ACE=∠ADF，∴ DF∥CE.24．(1) 34,916,2764；（2）81256；（3）13()4n△ACE ≌△BCD （SAS ）．26．逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形，证略 27．（1）率P 1=31；（2）画树状图或列表格略，P 2=152． 28．（1）9949；（2）9916． 29．22<2 3.3π-<-<30．(1) ∵∠A= 90°，∠C= 30°，AB=1，∴ BC=2AB=2. 22213AC =-=33AB BC AC +== 即 Q 的速度是与P 3倍.(2)作 QE ⊥AC 于E.∵∠C=30°,∴CQ=2QE. ∵3AB BQ x +=，∴33CQ x =，∴332x QE =， ∴133332244x y x x x =⋅=-+，∵0332x ⋅<≤，∴333x ≤<∵23333y x =-），∴当3x =33x ≤<) y 有量大值，即33y =最大。
因式分解(考点剖析)浙江省七年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)
专题07 因式分解【考点剖析】1、因式分解的概念分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．注意：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．2、因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2；③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)；④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) ．3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4、因式分解的应用（1）利用因式分解解决求值问题；（2）利用因式分解解决证明问题；（3）利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．因式分解的定义【典例】例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．ax﹣ay＝a（x﹣y）B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8xD．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2【答案】A【解析】解：A、是因式分解，正确；B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．故选：A．【点睛】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断．本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．【巩固练习】1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．am+bm﹣1＝m（a+b）﹣1D．（x﹣1）2﹣1＝（x﹣1）（x﹣1）【答案】B【解析】解：A．属于整式的乘法运算，不合题意；B．符合因式分解的定义，符合题意；C．右边不是乘积的形式，不合题意；D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B．因式分解计算【典例】例1．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2【答案】见解析【解析】解：（1）x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a＝4a（x2﹣12x+32）＝4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．【点睛】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【巩固练习】1．分解因式：（1）ax+ay（2）x4﹣b4（3）3ax2﹣6axy+3ay2【答案】见解析【解析】解：（1）ax+ay＝a（x+y）；（2）x4﹣b4＝（x2+b2）（x2﹣b2）＝（x2+b2）（x+b）（x﹣b）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．2．因式分解（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab（2）（x+1）（x+2）．【答案】见解析【解析】解：（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）（2）（x+1）（x+2）＝x2+3x+2＝x2+3x＝（x）2．因式分解综合【典例】例1．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______________；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）故选：C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9，＝y2+8y+16，＝（y+4）2，＝（x2﹣4x+4）2，＝（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2+2x+1）2，＝（x+1）4．【点睛】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．例2．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2﹣5x+6＝________________________；（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是______________．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．故答案是：（x﹣2）（x﹣3）．（2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2），则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6．∴整数p的所有可能值是±9，±6，故答案为：±9或±6．【点睛】（1）、（2）发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q＝（x+a）（x+b）．此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．【巩固练习】1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，则原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2（1）该同学因式分解的结果是否彻底？__________（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______________．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底、（x﹣2）4．（2）设：x2﹣2x＝y．原式＝y（y﹣2）﹣3，＝（y﹣3）（y+1），＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果_____________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．因式分解的应用【典例】例1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点睛】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．【巩固练习】1．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．2．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．【答案】见解析【解析】解：由图可得，草坪的面积是：a2﹣4b2，当a＝13.6，b＝1.8时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（13.6+2×1.8）×﹣2×1.8）×10＝172，即草坪的面积是172．3．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．【答案】见解析【解析】解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b﹣4.3）＝456．。
2023年浙江省各市中考数学真题汇编：数与_(代数式、整式、因式分解、分式、二次根)含参考答案
数与式——代数式、整式、因式分解、分式、二次根式（真题汇编）2023年浙江省各市中考数学试题全解析版一．选择题（共7小题）1．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）2．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（）A．2a2B．2a4C．3a2D．3a43．（2023•宁波）下列计算正确的是（）A．x2+x＝x3B．x6÷x3＝x2C．（x3）4＝x7D．x3•x4＝x7 4．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．25．（2023•绍兴）下列计算正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．（﹣a2）5＝﹣a7C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．（a+1）2＝a2+16．（2023•台州）下列运算正确的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2B．（a+b）2＝a2+b2C．3a+2a＝5a2D．（ab）2＝ab27．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7二．填空题（共11小题）8．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝．9．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝．10．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝．11．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝．12．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：．13．（2023•杭州）计算：＝．14．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝．15．（2023•金华）因式分解：x2+x＝．16．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm ＝4．（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．17．（2023•金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是．（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是．18．（2023•宁波）要使分式有意义，x的取值应满足．三．解答题（共5小题）19．（2023•宁波）计算：（1）（1+）0+|﹣2|﹣．（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．20．（2023•浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．21．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．22．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．23．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．数与式——代数式、整式、因式分解、分式、二次根式（真题汇编）2023年浙江省各市中考数学试题全解析版参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）【答案】A【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a﹣1）（2a+1）．故选：A．2．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（）A．2a2B．2a4C．3a2D．3a4【答案】C【解答】解：a2+2a2＝（1+2）a2＝3a2，故选：C．3．（2023•宁波）下列计算正确的是（）A．x2+x＝x3B．x6÷x3＝x2C．（x3）4＝x7D．x3•x4＝x7【答案】D【解答】解：A、x2和x不是同类项，不能进行合并，故选项不符合题意；B、x6÷x3＝x3，原式计算错误，故选项不符合题意；C、（x3）4＝x12，原式计算错误，故选项不符合题意；D、x3•x4＝x7，运算计算正确，故选项符合题意．故选：D．4．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．2【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，则x的值可以是2，故选：D．5．（2023•绍兴）下列计算正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．（﹣a2）5＝﹣a7 C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．（a+1）2＝a2+1【答案】C【解答】解：A．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；B．（﹣a2）5＝﹣a10，故此选项不合题意；C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故此选项符合题意；D．（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项不合题意．故选：C．6．（2023•台州）下列运算正确的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2D．（ab）2＝ab2【答案】A【解答】解：A．2（a﹣1）＝2a﹣2×1＝2a﹣2，则A符合题意；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，则B不符合题意；C．3a+2a＝（3+2）a＝5a，则C不符合题意；D．（ab）2＝a2b2，则D不符合题意；7．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7【答案】D【解答】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．故选：D．二．填空题（共11小题）8．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．【答案】见试题解答内容【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：（x+y）（x﹣y）．9．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．【答案】m（m﹣3）．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．10．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．【答案】2a（a﹣1）．【解答】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．故答案为：2a（a﹣1）．11．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝x（x﹣3）．【答案】x（x﹣3）．【解答】解：原式＝x•x﹣x•3＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．12．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：x2﹣1（答案不唯一）．．【答案】x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．13．（2023•杭州）计算：＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．14．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【答案】（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．15．（2023•金华）因式分解：x2+x＝x（x+1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：x2+x＝x（x+1）．16．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm ＝4．（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是25；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．【答案】（1）25；（2）．【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案为：25；（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，故答案为：．17．（2023•金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是6．（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是6+4．【答案】（1）6；（2）6+4．【解答】解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变，∴5b＝（5+1）×（b﹣1），解得：b＝6，故答案为：6；（2）根据题意知b＝，∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），∴（a+1）（b+2）＝2s，∴（a+1）（+2）＝2s，整理得：2a++2﹣s＝0，∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，解得s＝6﹣4（不符合题意舍去）或s＝6+4，故答案为：6+4．18．（2023•宁波）要使分式有意义，x的取值应满足x≠2．【答案】x≠2．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．三．解答题（共5小题）19．（2023•宁波）计算：（1）（1+）0+|﹣2|﹣．（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．【答案】（1）0；（2）a﹣9．【解答】解：（1）（1+）0+|﹣2|﹣＝1+2﹣3＝0；（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）＝a2﹣9+a﹣a2＝a﹣9．20．（2023•浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．【答案】（1）x＞4；（2）5．【解答】解：（1）2x﹣3＞x+1，移项得：2x﹣x＞1+3，合并同类项得：x＞4；（2）∵a2+3ab＝5，∴（a+b）（a+2b）﹣2b2＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2＝a2+3ab＝5．21．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．【答案】0．【解答】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2＝3x﹣1当时，原式＝3×﹣1＝0．22．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）72；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）见解答．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．23．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．【答案】（1）12；（2）a﹣1．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4＝12；（2）原式＝＝＝a﹣1．。
中考数学(浙江)总复习练习：考点跟踪突破3因式分解
考点跟踪突破3 因式分解 A 组 基础闯关一、选择题1．(2016·百色)分解因式：16－x 2＝( A )A ．(4－x)(4＋x)B ．(x －4)(x ＋4)C ．(8＋x)(8－x)D ．(4－x)22．有下列因式分解：①x 3＋2xy ＋x ＝x(x 2＋2y)；②x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2；③－x 2＋y 2＝(x ＋y)(x －y)．其中正确的有( C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．下列因式分解中，错误的是( C )A ．1－9x 2＝(1＋3x)(1－3x)B ．a 2－a ＋14＝(a －12)2 C ．－mx ＋my ＝－m(x ＋y)D ．ax －ay －bx ＋by ＝(x －y)(a －b)4．将下列多项式因式分解后，结果中不含有因式a －1的是( C )A ．a 2－1B ．a 2－aC ．a 2－a －2D ．(a －2)2＋2(a －2)＋15．(2017·聊城)把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( C )A ．2a(4a 2－4a ＋1)B ．8a 2(a －1)C ．2a(2a －1)2D ．2a(2a ＋1)2二、填空题6．(2016·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式__am ＋bm ＋cm ＝m (a ＋b ＋c )__．7．(2017·淮安)因式分解：ab －b 2＝__b (a －b )__．8．(2017·大庆)x 3－4x ＝__x (x ＋2)(x －2)__．9．(2017·黔东南州)在实数范围内因式分解：x 5－4x ＝__x (x 2＋2)(x ＋2)(x －2)__．三、解答题10．分解因式：(1)3x 2－27；解：原式＝3(x 2－9)＝3(x ＋3)(x －3)．(2)4＋12(x －y)＋9(x －y)2；解：原式＝[2＋3(x －y )]2＝(3x －3y ＋2)2.(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y )(x －4y )．11．给出三个多项式：2a 2＋3ab ＋b 2，3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．解：本题答案不唯一：选择加法运算有以下三种情况：(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(3a 2＋3ab )＝5a 2＋6ab ＋b 2＝(a ＋b )(5a ＋b )；(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )＝3a 2＋4ab ＋b 2＝(a ＋b )(3a ＋b )；(3a 2＋3ab )＋(a 2＋ab )＝4a 2＋4ab ＝4a (a ＋b )．选择减法运算有六种情况，选三种参考：(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab )＝b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；(2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab )＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2；(3a 2＋3ab )－(a 2＋ab )＝2a 2＋2ab ＝2a (a ＋b )．B 组 能力提升12．把多项式x 2＋mx ＋n 分解因式，得(x ＋1)(x －2)，则m ，n 的值分别是( B )A ．m ＝2，n ＝1B ．m ＝－1，n ＝－2C ．m ＝－1，n ＝2D ．m ＝1，n ＝－213．已知(m －n)2＝8，(m ＋n)2＝2，则m 2＋n 2＝( C )A ．10B ．6C ．5D ．314．(2016·宁波模拟)已知x 2＋4y 2＝13，xy ＝3，求x ＋2y 的值．这个问题我们可以用边长分别为x 和y 的两种正方形组成一个图形来解决，其中x ＞y ，能较为简单地解决这个问题的图形是( B )15．(2017·福州)若x ＋y ＝10，xy ＝1，则x 3y ＋xy 3的值是__98__．16．(2017·雅安)已知a ＋b ＝8，a 2b 2＝4，则a 2＋b 22－ab ＝__28或36__． 17．在实数范围内分解因式：(1)x 4－1＝__(x ＋1)(x －2)(x 2＋1)__；(2)x 4－4＝__(x ＋2)(x －2)(x 2＋2)__．18．(2017·菏泽)已知4x ＝3y ，求代数式(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2的值．解：(x －2y )2－(x －y )(x ＋y )－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝－4xy ＋3y 2＝－y (4x －3y )．∵4x ＝3y ，∴原式＝0.19．已知a，b，c是△ABC的三边长，C是△ABC的最短边且满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求C的取值范围．解：由a2＋b2＝12a＋8b－52，得(a－6)2＋(b－4)2＝0，则a－6＝0，b－4＝0，即a＝6，b＝4.∵c是△ABC的最短边，∴a－b＜c＜b，即2＜C＜4.C组拓展培优20．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．解：或这个长方形的代数意义是a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)·(a＋2b)．。
专题03 整式与因式分解-备战2022年中考数学题源解密(原卷版)
专题03 整式与因式分解考向1 整式的相关概念【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【试题分析】此题考察了根据语境列代数式的方法，分段计算是这题的易错点；【命题意图】此类题的出现，一是为了让考生熟悉代数式的概念并加以应用到实际问题中，二是为了考察实际问题中学生对分段计算的理解能力；目的是让考生学以致用，把数学和生活联系起来；【命题方向】有关整式或者代数式的概念部分的考察，在浙江中考中占的分值一直很小，或者很多城市的中考中基本不考，考到的时候难点也不在对应概念上，而是在与之结合的其他代数考点上，所以，掌握好基本概念，这类题完全就不需要担心了；【得分要点】整式的概念及注意事项：名称识别次数系数与项整式单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母所有字母的指数的和系数：单项式中的数字因数多项式几个单项式的和次数最高项的次数项：多项式中的每个单项式☆：由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1；☆：由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；考向2 整式的运算【母题来源】（2021·浙江杭州）【母题题文】计算：2a+3a＝．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2B．﹣a2C．a4D．﹣a4【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】下列计算正确的是（）A．（x2）3＝x5B．x2+x2＝x4C．x2•x3＝x5D．x6÷x3＝x2【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】下列运算中，正确的是（）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a10【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．【试题分析】这些题主要考了整式运算中的合并同类项、整式的加减、同底数幂的乘法以及利用乘法公式进行化简计算；【命题意图】整式的运算为初中数学后续的解方程的学生奠定了基础，重要性不言而喻。
中考试题研究数学(浙江)【附解析】考点跟踪突破3因式分解
考点跟踪突破3因式分解一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·衡阳)下列因式分解中正确的个数为( C )①x 3＋2xy ＋x ＝x(x 2＋2y)； ②x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2； ③－x 2＋y 2＝(x ＋y)(x －y)． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 2．(2014·广东)把x 3－9x 分解因式，结果正确的是( D )A ．x(x 2－9)B ．x(x －3)2C ．x(x ＋3)2D ．x(x ＋3)(x －3)3．(2012·台湾)下列四个选项中，哪一个为多项式8x 2－10x ＋2的因式( A )A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋2解析：8x 2－10x ＋2＝2(4x 2－5x ＋1)＝2(x －1)(4x －1)，有因式2(x －1)，即2x －2 4．若实数x ，y ，z 满足(x －z)2－4(x －y)(y －z)＝0，则下列式子一定成立的是( D )A ．x ＋y ＋z ＝0B ．x ＋y －2z ＝0C ．y ＋z －2x ＝0D ．z ＋x －2y ＝0解析：左边＝[(x －y)＋(y －z)]2－4(x －y)(y －z)＝(x －y)2－2(x －y)(y －z)＋(y －z)2＝[(x －y)－(y －z)]2，故(x －y)－(y －z)＝0，x －2y ＋z ＝0 5．(2012·宜宾)将代数式x 2＋6x ＋2化成(x ＋p)2＋q 的形式为( B )A ．(x －3)2＋11B ．(x ＋3)2－7C ．(x ＋3)2－11D ．(x ＋2)2＋4二、填空题(每小题6分，共30分)．__2)a ＋1(3＋6a ＋3＝__2分解因式：3a )泸州2014·(．6 ．__)x ＋1)(x －4(2－8＝__)x －3(分解因式：2x )潍坊2014·(．7 ．__2)3x －y (－y 最后结果为__，因式分解3－y y 2－9x 2把多项式6xy )呼和浩特2014·(．8 ．__15的值是__2－2ab b 2则a ，－2b ＝5a ，若ab ＝3)连云港2014·(．9 ．__2则y 的值为__，－2Q ＝7恒成立3P ，时0≠x 当，＝x －2xy －2Q ，已知P ＝3xy －8x ＋1)宜宾2012·(．10三、解答题(共40分) 11．(6分)分解因式： (1)(2013·达州)x 3－9x ；解：a 3－16a ＝a(a 2－16)＝a(a ＋4)(a －4)(2)(2012·南充)x 2－4x －12；解：x 2－4x －12＝x 2－4x ＋4－16＝(x －2)2－16＝(x －2＋4)(x －2－4)＝(x ＋2)(x －6)(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.解：8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)12.(8分)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状．解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c)＋2b(a －c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b ≠0，∴a －c ＝0，a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形13．(8分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．或．__)2b a ＋)(a ＋b (＝2＋3ab ＋2b 2a 这个长方形的代数意义是__14．(8分)设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc)＋c 2＝(a ＋b)2－2(a ＋b)c ＋c 2＝(a ＋b －c)2＝[(12m ＋1)＋(12m ＋2)－(12m ＋3)]2＝(12m)2＝14m 215．(10分)如果多项式2x 3＋x 2－26x ＋k 有一个因式是2x ＋1，求k 的值．解：∵2x ＋1是2x 3＋x 2－26x ＋k 的因式，∴可设2x 3＋x 2－26x ＋k ＝(2x ＋1)·R.令2x ＋1＝0，x ＝－12，得2×(－12)3＋(－12)2－26×(－12)＋k ＝0，－14＋14＋13＋k ＝0，k ＝－13。
2021-2022学年浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解定向攻克试题(含详细解析)
初中数学七年级下册第四章因式分解定向攻克（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、()()()()()()()()()()444444444454941341744143474114154394++++++++++的值为（ ）A.3941 B.4139 C.1353 D.3532、对于①()()2212+-=+-x x x x ，②()233x xy x x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（）A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解3、下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）A.2161x +B.221x x +-C.214x x -+ D.2224a ab b +-4、下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A.（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）＝y 2﹣x 2B.a 2+2ab +b 2﹣1＝（a +b ）2﹣1C.x 4﹣81y 4＝（x 2+9y 2）（x +3y ）（x ﹣3y ）D.（a 2+2a ）2﹣8（a 2+2a ）+12＝（a 2+2a ）（a 2+2a ﹣8）+125、下列因式分解正确的是（ ）A.x 2-4=（x +4）（x -4）B.x 2+2x +1=x （x +2）+1C.3mx -6my =3m （x -6y ）D.x 2y -y 3=y （x +y ）（x -y ）6、下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A.()()2111a a a +-=-B.()2422x y x y -=-C.()2111x x x x -+=-+D.2323623x y x y =⋅7、如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（）A.2B.3C.4D.58、下列各式从左到右的变形是因式分解为（ ）A.()()2111x x x +-=-B.()()2233x y x y x y -+=+-+C.()2242a a -=-D.()2321x y xy x y xy x x -+=-+9、把代数式ax 2﹣8ax +16a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）A.a （x +4）2B.a （x ﹣4）2C.a （x ﹣8）2D.a （x +4）（x ﹣4）10、若a 是整数，则2a a +一定能被下列哪个数整除（ ）A.2B.3C.5D.711、已知210x x --=，则代数式321x x -+的值为（ ）A.1-B.1C.2-D.212、下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A.2m ﹣2B.m 2+n 2C.m 2﹣nD.m 2﹣n +1 13、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A.6x ＋9y ＋3＝3（2x ＋3y ）B.x 2－1＝（x －1）2C.（x ＋y ）2＝x 2＋2xy ＋y 2D.2x 2－2＝2（x －1）（x ＋1） 14、对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能（ ）A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被a 整除15、在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）A.x 2﹣x ＝x （x ﹣1）B.x 2+3x ﹣1＝x （x +3）﹣1 C.x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ） D.x 2+2x +1＝（x +1）2 二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、已知2ab =，3a b -=，则32232a b a b ab -+=______．2、因式分解：256x x --=______．3、分解因式：216y -=______．4、若x ﹣z ＝2，z ﹣y ＝1，则x 2﹣2xy ＋y 2＝___．5、因式分解：()()11x m y m -+-=____________．6、分解因式2218x -=______．7、分解因式：322322x x y xy y +++=__．8、边长为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为__．9、已知x +y ＝﹣2，xy ＝4，则x 2y +xy 2＝______10、若1,22ab a b =-=，则a 2b ﹣ab 2＝___． 三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、因式分解：m 3（m ﹣1）-4m （1﹣m ）22、因式分解：22496m n mn ---．3、因式分解：（1）2242x x -+（2）481x ----------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】观察式子中有4次方与4的和，将44x +因式分解，再根据因式分解的结果代入式子即可求解【详解】422222224(2)(2)(22)(22)[(1)1][(1)1]x x x x x x x x x +=+-=++-+=++-+ 原式222222222222(41)(61)(81)(101)(401)(421)(21)(41)(61)(81)(381)(401)++++++++=++++++++ 2242135321+==+ 故答案为：353【点睛】本题考查了因式分解的应用，找到4224[(1)1][(1)1]x x x +=++-+是解题的关键.2、D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据因式分解的定义判断即可.【详解】解：①()()2212+-=+-x x x x ，属于整式乘法，不属于因式分解；②()233x xy x x y -=-，等式从左到右的变形属于因式分解；故选：D.【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.3、C【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；【详解】2161x +不能用完全平方公式，故A 不符合题意；221x x +-不能用完全平方公式，故B 不符合题意；221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，能用完全平方公式，故C 符合题意； 2224a ab b +-不能用完全平方公式，故D 不符合题意；故答案选C .【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键.4、C【分析】根据因式分解的定义判断即可.把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.【详解】解：A选项，B，D选项，等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，不符合题意；C选项，符合因式分解的定义，符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键.5、D【分析】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可.【详解】解：A.x2-4=（x+2）（x-2），因此选项A不符合题意；B.x2+2x+1=（x+1）2，因此选项B不符合题意；C.3mx-6my=3m（x-2y），因此选项C不符合题意；D.x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y），因此选项D符合题意；故选：D.【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2-b2=（a+b）（a-b），a2±2ab+b2=（a±b）2是正确应用的前提.6、B【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，可得答案.解：A 、()()2111a a a +-=-，属于整式乘法；B 、()2422x y x y -=-，属于因式分解；C 、()2111x x x x -+=-+，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不属于因式分解；D 、2323623x y x y =⋅，等式左边不是多项式，不属于因式分解；故选：B.【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解.7、C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可.【详解】解：A 、252x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B 、253x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x -+=--，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解.8、D把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可.【详解】A . ()()2111x x x +-=-，属于整式的乘法运算，故本选项错误；B . ()()2233x y x y x y -+=+-+，属于整式的乘法运算，故本选项错误；C . ()2242a a -≠-左边和右边不相等，故本选项错误；D . ()2321x y xy x y xy x x -+=-+，符合因式分解的定义，故本选项正确； 故选：D【点睛】此题考查了因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.9、B【分析】直接提取公因式a ，再利用完全平方公式分解因式即可.【详解】解：ax 2﹣8ax +16a＝a （x 2﹣8x +16）＝a （x ﹣4）2.故选B.【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法.10、A【分析】根据题目中的式子，进行因式分解，根据a 是整数，从而可以解答本题.【详解】解：∵a 2+a =a （a +1），a 是整数，∴a （a +1）一定是两个连续的整数相乘，∴a （a +1）一定能被2整除，选项B 、C 、D 不符合要求，所以答案选A ，故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，准确理解题意并熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.11、D【分析】由已知等式可得21x x -=，21x x -=，将321x x -+变形，再代入逐步计算.【详解】解：∵210x x --=，∴21x x -=，21x x -=，∴321x x -+=31x x x --+=()211x x x --+=21x x -+=2故选D.【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，解题的关键是掌握整体思想，将所求式子合理变形.12、A【分析】分别根据提公因式法因式分解以及乘法公式逐一判断即可.【详解】解：A、2m﹣2＝2（m﹣1），故本选项符合题意；B、m2+n2，不能因式分解，故本选项不合题意；C、m2﹣n，不能因式分解，故本选项不合题意；D、m2﹣n+1，不能因式分解，故本选项不合题意；故选A.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法.13、D【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解.【详解】解：A、6x+9y+3=3（2x+3y+1），故此选项错误；B、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；C、（x+y）2=x2+2xy+y2，是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；D、2x2-2=2（x-1）（x+1），属于因式分解，故此选项正确.故选：D.【点睛】本题考查的是因式分解的意义，正确掌握因式分解的定义是解题关键.14、B【分析】多项式利用完全平方公式分解，即可做出判断.【详解】解：原式()22420255455a a a a =++-=++则对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能被4整除.故选：B.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.15、B【分析】根据因式分解的定义，逐项分析即可，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式.【详解】A. x 2﹣x ＝x （x ﹣1），是因式分解，故该选项不符合题意；B. x 2+3x ﹣1＝x （x +3）﹣1，不是因式分解，故该选项符合题意；C. x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ），是因式分解，故该选项不符合题意；D. x 2+2x +1＝（x +1）2，是因式分解，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键.二、填空题1、18【分析】本题要求代数式a 3b -2a 2b 2+ab 3的值，而代数式a 3b -2a 2b 2+ab 3恰好可以分解为两个已知条件ab ，（a -b ）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答.【详解】解：a 3b -2a 2b 2+ab 3=ab （a 2-2ab +b 2）=ab （a-b ）2当a-b =3，ab =2时，原式=2×32=18，故答案为：18【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.2、()()16x x +-【分析】根据十字相乘法分解即可.【详解】解：256x x --=()()16x x +-，故答案为：()()16x x +-.【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键.3、()()44y y +-根据平方差公式——22()()a b a b a b -=+- 进行因式分解，即可.【详解】解：222164(4)(4)-=-=+-y y y y ，故答案为：()()44y y +-【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，解题的关键是根据多项式的特点选合适的方法进行因式分解. 4、9【分析】先根据x ﹣z ＝2，z ﹣y ＝1可得x ﹣y ＝3，再根据完全平方公式因式分解即可求解.【详解】解：∵x ﹣z ＝2，z ﹣y ＝1，∴x ﹣z ＋z ﹣y ＝2＋1，即：x ﹣y ＝3，∴x 2﹣2xy ＋y 2＝（x ﹣y ）2＝9，故答案为：9.【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解以及整式加减，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键. 5、()()1x y m --【分析】将y (1-m )变形为-y （m -1），再提取公因式即可.∵x （m -1）+ y (1-m )= x （m -1）-y （m -1），=（x -y ）（m -1），故答案为：（x -y ）（m -1）.【点睛】本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键.6、()()233x x +-【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可.【详解】解：2218x -=2（x 2-9）=2（x +3）（x -3）.故答案为：2（x +3）（x -3）.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 7、22()()x y x xy y +++【分析】会利用3322()()x y xy x y x y +=++-公式进行因式分解，对另两项提取公因式2xy ，再提取x y +即可因式分解.【详解】解：3223332222()(22)x x y xy y x y x y xy +++=+++，22()()2()x y x xy y xy x y =+-+++，22()()x y x xy y =+++，故答案为：22()()x y x xy y +++.【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是正确运用公式法分解因式. 8、70【分析】直接利用长方形的周长和面积公式结合提取公因式法分解因式计算即可.【详解】解：依题意：2a +2b =14，ab =10，则a +b =7∴a 2b +ab 2=ab （a+b ）=70；故答案为：70【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a +b 和ab 的值是解题关键.9、-8【分析】先提出公因式，进行因式分解，再代入，即可求解.【详解】解：()22x y xy xy x y +=+ ∵x +y ＝﹣2，xy ＝4，∴()22428x y xy +=⨯-=-.故答案为：8- .【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并会根据多项式的特征选用合适的方法是解题的关键.10、1【分析】直接提取公因式ab ，进而分解因式，把已知数据代入得出答案.【详解】解：∵ab ＝12，a ﹣b ＝2，∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ） ＝12×2＝1.故答案为：1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.三、解答题1、()()212m m m --【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可得解；【详解】解：原式=()()2141m m m m ⎡⎤---⎣⎦，=()()2144m m m m --+，=()()212m m m --；【点睛】本题主要考查了结合提取公因式和完全平方公式法因式分解，准确分析求解是解题的关键.2、(23)(23)m n m n ++--【分析】首先对后面三项利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可.【详解】解：原式224(96)m n mn =-++ 222(3)m n =-+(23)(23)m n m n =++--.【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.3、（1）22(1)x -；（2）2(9)(3)(3)x x x ++-【分析】（1）先提取公因式2，然后运用完全平方公式分解因式即可；（2）运用平方差公式因式分解即可.【详解】解：（1）2242x x -+22(21)x x =-+22(1)x =-；（2）481x -22(9)(9)x x =+-2(9)(3)(3)x x x =++-.【点睛】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，熟知完全平方公式与平方差公式的结构特点时解题的关键，注意结果要分解完全.。
中考数学一轮复习 考点跟踪训练3 因式分解 浙教版
考点跟踪训练3 因式分解一、选择题1．(2011·某某)下列等式不成立的是( )A．m2－16＝(m－4)(m＋4)B．m2＋4m＝m(m＋4)C．m2－8m＋16＝(m－4)2D．m2＋3m＋9＝(m＋3)2答案 D解析右边(m＋3)2＝m2＋6m＋9≠m2＋3m＋9.2．(2011·某某)分解因式2x2－4x＋2的最终结果是( )A．2x(x－2) B．2(x2－2x＋1)C．2(x－1)2 D．(2x－2)2答案 C解析2x2－4x＋2＝2(x2－2x＋1)＝2(x－1)2.3．(2011·某某)把代数式 3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(3x＋y)(x－3y)B．3x(x2－2xy＋y2)C．x(3x－y)2D．3x(x－y)2答案 D解析3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2.4．已知x、y满足等式2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，那么x＋y的值为( )A．－1 B．0 C．2 D．1答案 B解析原式可转化为：(x2y2＋2xy＋1)＋(x2＋2x＋1)＝0，即(xy＋1)2＋(x＋1)2＝0，∴xy＋1＝0且x＋1＝0，∴x＝－1，y＝1，x＋y＝0.5．(2011·某某)下列四个多项式，哪一个是2x2＋5x－3的因式？( )A．2x－1 B．2x－3C．x－1 D．x－3答案 A解析2x2＋5x－3＝(x＋3)(2x－1)．二、填空题6．(2011·某某)分解因式：x2＋x＝______________.答案x(x＋1)解析x2＋x＝x(x＋1)．7．(2011·某某模拟)在实数X围内分解因式：2a3－16a＝________.答案2a(a＋2 2)(a－2 2)a2－ 2 22＝2a(a＋2 2)(a－2 2)．解析2a3－16a＝2a(a2－8)＝2a[]8．(2011·枣庄)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝________.答案 3解析m2－n2＝6，(m＋n)(m－n)＝6，(m＋n)×2＝6，m＋n＝3.9．(2011·威海)分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝______________.答案(x－y－4)2解析16－8(x－y)＋(x－y)2＝(x－y)2－2·(x－y)·4＋42＝(x－y－4)2.10．(2011·潍坊)分解因式：a3＋a2－a－1＝______________.答案(a＋1)2(a－1)解析a3＋a2－a－1＝(a3＋a2)－(a＋1)＝a2(a＋1)－(a＋1)＝(a＋1)(a2－1)＝(a＋1)2(a－1)．三、解答题11．(2011·宿迁)已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．解当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.12．(2011·某某)因式分解：a3－9a.解原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)．13．(2011·某某)分解因式：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.解8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)．14．(2011·某某)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.如果选取1号、2号、3号卡片分别为1X 、2X 、3X ，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是________________．解 或 a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b )(a ＋2b )．15．设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12ma 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值． 解 原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝14m 2. 四、选做题16．分解因式：x 15＋x 14＋x 13＋…＋x 2＋x ＋1.分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n －b n 来分解．解 因为x 16－1＝(x －1)(x 15＋x 14＋x 13＋…x 2＋x ＋1)，所以原式＝x －1x 15＋x 14＋x 13＋…＋x 2＋x ＋1x －1＝x 16－1x －1＝x 8＋1x 4＋1x 2＋1x ＋1x －1x －1 ＝(x 8＋1)(x 4＋1)(x 2＋1)(x ＋1)．说明：在本题的分解过程中，用到先乘以(x －1)，再除以(x －1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：因式分解(解析版)
专题03因式分解一、单选题1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）分解因式：241a （）A ．2121a a B ． 22a a C ． 41a a D ． 411a a 【答案】A【分析】利用平方差公式分解即可．【详解】 2241212121a a a a ．故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．2．（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A ．22(3)69a a a B ． 24444a a a a C ． 22555ax ay a x y x y D ．22824a a a a 【答案】C【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．【详解】解：A 、22(3)69 a a a ，属于整式的乘法，故不符合题意；B 、 24444a a a a ，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；C 、 22555ax ay a x y x y ，属于因式分解，故符合题意；D 、因为 22242828a a a a a a ，所以因式分解错误，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．二、填空题3．（2023·辽宁丹东·校考二模）因式分解：24m m ______．【答案】4 m m【分析】直接提取公因式m ，进而分解因式即可．【详解】解：m 2-4m =m (m -4)．故答案为：m (m -4)．【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2023·广东·统考中考真题）因式分解：21x ______.【答案】11x x 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得．【详解】解： 2111x x x ，故答案为： 11x x ．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）分解因式：22x y =__________【答案】x y x y 【详解】解：()()22,x y x y x y -=+-故答案为： x y x y .6．（2023·山东临沂·统考二模）分解因式：24m _____．【答案】(2)(2)m m 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】24(2)(2)m m m ，故答案为：(2)(2)m m .【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.7．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）分解因式：222a a ____________．【答案】2(1)a a ．【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．【详解】解：2222(1)a a a a ．故答案为：2(1)a a ．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．8．（2023·四川成都·统考中考真题）因式分解：m 2﹣3m ＝__________．【答案】3m m 【分析】题中二项式中各项都含有公因式m ，利用提公因式法因式分解即可得到答案．【详解】解： 233m m m m ，故答案为： 3m m ．【点睛】本题考查整式运算中的因式分解，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键．9．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）因式分解221x x ______．【答案】 21x 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：221x x （x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10．（2018秋·广东湛江·八年级校考期末）分解因式：a 2+5a =________________.【答案】a (a+5)【分析】提取公因式a 进行分解即可．【详解】a 2+5a =a （a +5）．故答案是：a （a +5）．【点睛】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．11．（2023·湖南张家界·统考中考真题）因式分解：22x y xy y ______．【答案】 21 y x 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：2222(21)(1)x y xy y y x x y x ，故答案为：2(1)y x ．【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．12．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：2x xy xz yz _______．【答案】()()x y x z 【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：2x xy xz yz x x y z x y x y x z ，故答案为： x y x z ．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．13．（2023·四川眉山·统考中考真题）分解因式：3244x x x ______．【答案】2(2)x x 【分析】首先提取公因式x ，然后利用完全平方式进行因式分解即可．【详解】解：3244x x x-+244x x x 2(2)x x =-，故答案为：2(2)x x ．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．14．（2023·甘肃武威·统考中考真题）因式分解：22ax ax a ________．【答案】 21a x 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解： 2222211ax ax a a x x a x ，故答案为： 21a x .【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．15．（2023·浙江台州·统考中考真题）因式分解：x 2﹣3x =_____．【答案】x （x ﹣3）【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x =x （x ﹣3）．故答案为：x （x ﹣3）.16．（2023·湖南常德·统考中考真题）分解因式：3222a a b ab _______．【答案】 2a a b 【分析】首先提公因式，原式可化为22(2)a a ab b ，再利用公式法进行因式分解可得结果．【详解】解：3232222(2)()a a b b a a ab b a a b ，故答案为：2()a a b ．【点睛】本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底．17．（2023·上海·统考中考真题）分解因式：29n ________．【答案】33n n 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解： 29=33n n n ，故答案为： 33n n ．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．18．（2023·湖北黄冈·校联考二模）分解因式：24xy x __________．【答案】()(22)x y y 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：24xy x24()x y ()(2)2x y y 故答案为：()(22)x y y ．【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．（2021春·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）因式分解：a 2+a b=_____．【答案】a （a +b ）．【分析】直接提公因式a 即可.【详解】a 2+a b=a （a +b ）．故答案为：a （a +b ）．20．（2023·湖南永州·统考二模）分解因式：x 3﹣x y 2=_____．【答案】x （x +y ）（x -y ）【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：x 3-x y 2=x （x 2-y 2）=x （x +y ）（x -y ），故答案为：x(x +y)(x -y)．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．21．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若3x y ，2y ，则22x y xy 的值是___________________．【答案】6【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．【详解】解：22x y xy xy x y ，∵3x y ，2y ，∴1x ，∴原式123 6 ，故答案为：6．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．22．（2020·江苏连云港·统考二模）分解因式：3a 2+6a b+3b 2=________________．【答案】3（a +b ）2【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a 2+2a b+b 2=（a +b ）2．【详解】3a 2+6a b+3b 2=3（a 2+2a b+b 2）=3（a +b ）2．故答案为：3（a +b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．23．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）分解因式：3x 9x =____.【答案】x x 3x 3 【分析】先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可．【详解】 22x 9x x x 9x x 3x 3 ．故答案为： x x 3x 3 .24．（2022春·上海奉贤·九年级校考期中）计算：（a +1）2﹣a 2=_____．【答案】2a +1【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．【详解】（a +1）2﹣a 2=a 2+2a +1﹣a 2=2a +1，故答案为2a +1.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.25．（2023·江苏无锡·统考三模）分解因式：2242a a _____．【答案】 221a 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式 2222121a a a ，故答案为： 221a ．26．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）因式分解：x 2+x =_____．【答案】1x x 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x 即可．【详解】解： 21x x x x 故答案为： 1x x .27．（2023·浙江·统考中考真题）分解因式：x 2－9＝______．【答案】(x ＋3)(x －3)【详解】解：x 2-9=（x +3）（x -3），故答案为：（x +3）（x -3）.28．（2023·广东广州·广州市第一中学校考二模）分解因式：x 3﹣6x 2+9x =___．【答案】x （x ﹣3）2【详解】解：x 3﹣6x 2+9x=x （x 2﹣6x +9）=x （x ﹣3）2故答案为：x （x ﹣3）2.29．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(1)x ，请你写出一个符合条件的多项式：___________．【答案】21x （答案不唯一）【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．【详解】解：∵ 2111x x x ，因式分解后有一个因式为(1)x ，∴这个多项式可以是21x （答案不唯一）；故答案为：21x （答案不唯一）．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键．30．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a ，b ，满足6a b ，7ab ，则22a b ab 的值为______．【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】22a b abab a b 7642 ．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．31．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m 满足210m m ，则32239m m m _________．【答案】8【分析】由题意易得21m m ，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵210m m ，∴21m m ，∴32239m m m 2229m m m m m 229m m m 29m m 29m m 198 ；故答案为8．【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．。
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考点跟踪突破3因式分解
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·衡阳)下列因式分解中正确的个数为( C )
①x 3＋2xy ＋x ＝x(x 2＋2y)； ②x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2； ③－x 2＋y 2＝(x ＋y)(x －y)． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 2．(2014·广东)把x 3
－9x 分解因式，结果正确的是( D )
A ．x(x 2－9)
B ．x(x －3)2
C ．x(x ＋3)2
D ．x(x ＋3)(x －3)
3．(2012·台湾)下列四个选项中，哪一个为多项式8x 2－10x ＋2的因式( A )
A ．2x －2
B ．2x ＋2
C ．4x ＋1
D ．4x ＋2
解析：8x 2－10x ＋2＝2(4x 2
－5x ＋1)＝2(x －1)(4x －1)，有因式2(x －1)，即2x －2 4．若实数x ，y ，z 满足(x －z)2－4(x －y)(y －z)＝0，则下列式子一定成立的是( D )
A ．x ＋y ＋z ＝0
B ．x ＋y －2z ＝0
C ．y ＋z －2x ＝0
D ．z ＋x －2y ＝0
解析：左边＝[(x －y)＋(y －z)]2－4(x －y)(y －z)＝(x －y)2－2(x －y)(y －z)＋(y －z)2＝[(x －y)－(y －z)]2，
故(x －y)－(y －z)＝0，x －2y ＋z ＝0 5．(2012·宜宾)将代数式x 2
＋6x ＋2化成(x ＋p)2＋q 的形式为( B )
A ．(x －3)2＋11
B ．(x ＋3)2－7
C ．(x ＋3)2－11
D ．(x ＋2)2＋4
二、填空题(每小题6分，共30分)
．__2)a ＋1(3＋6a ＋3＝__2分解因式：3a )泸州2014·(．6 ．
__)x ＋1)(x －4(2－8＝__)x －3(分解因式：2x )潍坊2014·(．7 ．
__2)3x －y (－y 最后结果为__，因式分解3－y y 2－9x 2
把多项式6xy )呼和浩特2014·(．8 ．
__15的值是__2－2ab b 2则a ，－2b ＝5a ，若ab ＝3)连云港2014·(．9 ．
__2则y 的值为__，－2Q ＝7恒成立3P ，时0≠x 当，＝x －2xy －2Q ，已知P ＝3xy －8x ＋1)宜宾2012·(．10
三、解答题(共40分) 11．(6分)分解因式： (1)(2013·达州)x 3－9x ；
解：a 3－16a ＝a(a 2－16)＝a(a ＋4)(a －4)
(2)(2012·南充)x 2－4x －12；
解：x 2－4x －12＝x 2－4x ＋4－16＝(x －2)2－16＝(x －2＋4)(x －2－4)＝(x ＋2)(x －6)
(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.
解：8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy ＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)
12.(8分)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状．
解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c)＋2b(a －c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b ≠0，∴
a －c ＝0，a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形
13．(8分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，
并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
或
．
__)2b a ＋)(a ＋b (＝2＋3ab ＋2b 2a 这个长方形的代数意义是__
14．(8分)设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝1
2
m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．
解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc)＋c 2＝(a ＋b)2－2(a ＋b)c ＋c 2＝(a ＋b －c)2＝[(12m ＋1)＋(12m ＋2)－(
1
2
m ＋3)]2＝(12m)2＝1
4
m 2
15．(10分)如果多项式2x 3＋x 2－26x ＋k 有一个因式是2x ＋1，求k 的值．
解：∵2x ＋1是2x 3＋x 2－26x ＋k 的因式，∴可设2x 3＋x 2－26x ＋k ＝(2x ＋1)·R.令2x ＋1＝0，x ＝－1
2
，
得2×(－12)3＋(－12)2－26×(－12)＋k ＝0，－14＋1
4
＋13＋k ＝0，k ＝－13。