高三数学一轮复习 第2篇 第8节 函数与方程课件 理
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2
解析:①错误,函数 f(x)=x2-1 的零点为-1 和 1,而并非其与 x 轴 的交点(-1,0)与(1,0). ②错误.函数 f(x)=x2-x 在(-1,2)上有两个零点,但 f(-1)·f(2)>0. 2 ③正确.当 b -4ac<0 时,二次函数图象与 x 轴无交点,从而二次函 数没有零点. ④正确.由已知条件,数形结合可得 f(x)与 x 轴在区间[a,b]上有 且仅有一个交点.
中作出两个函数的图象,可得交点个数为 1.
3.给出下列命题: ①函数 f(x)=x -1 的零点是(-1,0)和(1,0). ②函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一 定有 f(a)·f(b)<0. ③二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点. ④若函数 f(x)在(a,b)上单调且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在 [a,b]上有且只有一个零点. 其中正确的是( C ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
)
1 1 1 (C)[- ,- )∪( ,1] 3 4 2 1 1 1 (D)(- ,- ]∪[ ,1) 3 4 2
解析:(1)因为 f(x)为偶函数, 所以当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 所以 f(-x)=x2, 即 f(x)=x2. 又 f(x-1)=f(x+1), 所以 f(x+2)=f(x), 故 f(x)是以 2 为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数 y=f(x)与
1 2
1 x ) 的零点个数为( 2
B
)
1 1 x 1 x 2 解析:函数 f(x)= x -( ) 的零点个数,即是方程 x -( ) =0 2 2 1 1 x 的解的个数,是方程 x =( ) 的解的个数,也就是函数 y= x 2 与 2 1 2
1 2
1 x y=( ) 的图象的交点个数.在同一坐标系 2
夯源自文库固本
考点突破 思想方法
夯基固本
知识梳理
1.函数的零点
函数零点的概念 方程的根与函数 零点的关系 函数零点的存在 定理 函数存在零点的 判断方法
抓主干
固双基
对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x) 的零点. 方程f(x)=0有 实数根 ⇔函数y=f(x)的图象与 x轴 有 交点⇔函数y=f(x)有 零点 . 图象在[a,b]上连续不断,若 f(a)f(b)<0 在(a,b)内存在零点. 解方程f(x)=0 利用零点存在性定理 数形结合 ,则y=f(x)
质疑探究:当函数 y=f(x)在(a,b)内有零点时,是否一定有 f(a)f(b)<0?
(提示:当函数 y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有 f(a) 2 ·f(b)<0,例如:f(x)=x 在区间(-1,1)内有零点 0,却有 f(-1)·f(1)>0)
2.二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与零点的关系
考点突破
考点一 函数零点的个数问题
剖典例
找规律
【例 1】 (1)(2014 合肥模拟)若偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),
1 x 10 且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)=( ) 在[0, ] 10 3
2
上的根的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
Δ >0 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0
2
2
Δ =0
Δ <0
基础自测
1.函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( B (A)(-2,-1) (C)(0,1) (B)(-1,0) (D)(1,2)
)
(2)(2014 北京西城二模)已知函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实 数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实根,则实 数 k 的取值范围是( (A)[-1,(B)(-1,1 1 1 )∪( , ] 2 4 3 1 1 1 ]∪[ , ) 2 4 3
4.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x).当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程 ax+2a-f(x)=0 恰有四个不相等的 实数根,则实数 a 的取值范围是 . 解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,又 f(x)
第8节
函数与方程
最新考纲 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判 断一元二次方程根的存在性及根的个数.
编写意图 函数的零点、方程的根的问题是高考考查的热点内容,
难度不大.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出确定函
数零点(个数)、确定函数零点所在的区间,难点突破利用函数零点 的个数确定参数的取值(范围)、函数与方程思想、转化与化归思想、 分类讨论思想及数形结合思想的应用.思想方法栏目突破了利用函 数零点的个数或方程根的个数确定参数的取值(范围),充分体现了 转化与化归思想、数形结合思想的灵活应用.课时训练以考查基础 知识、基本方法和基本技能的训练为主线,以思维创新为导向,精挑 细选,立题新颖.
x
x
)
解析:易知 f(x)=2 +3x 在 R 上是增函数. -2 而 f(-2)=2 -6<0, -1 0 f(-1)=2 -3<0,f(0)=2 =1>0, ∴f(-1)·f(0)<0, 故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点.
2.(2015 济南质检)函数 f(x)= x -( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
为偶函数,故函数在[-2,3]上的图象如图所示.直线 y=ax+2a 过定点 (-2,0),在区间[-2,3]上方程 ax+2a-f(x)=0 恰 有四个不相等的实数根,等价于直线 y=ax+2a 与函数 y=f(x)的图象有四个不同的公共点,结 合图形可得实数 a 满足不等式 3a+2a>2,且
2 2 a+2a<2,即 <a< . 答案:( 2 , 2 ) 5 3 5 3
解析:①错误,函数 f(x)=x2-1 的零点为-1 和 1,而并非其与 x 轴 的交点(-1,0)与(1,0). ②错误.函数 f(x)=x2-x 在(-1,2)上有两个零点,但 f(-1)·f(2)>0. 2 ③正确.当 b -4ac<0 时,二次函数图象与 x 轴无交点,从而二次函 数没有零点. ④正确.由已知条件,数形结合可得 f(x)与 x 轴在区间[a,b]上有 且仅有一个交点.
中作出两个函数的图象,可得交点个数为 1.
3.给出下列命题: ①函数 f(x)=x -1 的零点是(-1,0)和(1,0). ②函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一 定有 f(a)·f(b)<0. ③二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点. ④若函数 f(x)在(a,b)上单调且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在 [a,b]上有且只有一个零点. 其中正确的是( C ) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
)
1 1 1 (C)[- ,- )∪( ,1] 3 4 2 1 1 1 (D)(- ,- ]∪[ ,1) 3 4 2
解析:(1)因为 f(x)为偶函数, 所以当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 所以 f(-x)=x2, 即 f(x)=x2. 又 f(x-1)=f(x+1), 所以 f(x+2)=f(x), 故 f(x)是以 2 为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数 y=f(x)与
1 2
1 x ) 的零点个数为( 2
B
)
1 1 x 1 x 2 解析:函数 f(x)= x -( ) 的零点个数,即是方程 x -( ) =0 2 2 1 1 x 的解的个数,是方程 x =( ) 的解的个数,也就是函数 y= x 2 与 2 1 2
1 2
1 x y=( ) 的图象的交点个数.在同一坐标系 2
夯源自文库固本
考点突破 思想方法
夯基固本
知识梳理
1.函数的零点
函数零点的概念 方程的根与函数 零点的关系 函数零点的存在 定理 函数存在零点的 判断方法
抓主干
固双基
对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x) 的零点. 方程f(x)=0有 实数根 ⇔函数y=f(x)的图象与 x轴 有 交点⇔函数y=f(x)有 零点 . 图象在[a,b]上连续不断,若 f(a)f(b)<0 在(a,b)内存在零点. 解方程f(x)=0 利用零点存在性定理 数形结合 ,则y=f(x)
质疑探究:当函数 y=f(x)在(a,b)内有零点时,是否一定有 f(a)f(b)<0?
(提示:当函数 y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有 f(a) 2 ·f(b)<0,例如:f(x)=x 在区间(-1,1)内有零点 0,却有 f(-1)·f(1)>0)
2.二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与零点的关系
考点突破
考点一 函数零点的个数问题
剖典例
找规律
【例 1】 (1)(2014 合肥模拟)若偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),
1 x 10 且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)=( ) 在[0, ] 10 3
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上的根的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
Δ >0 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0
2
2
Δ =0
Δ <0
基础自测
1.函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( B (A)(-2,-1) (C)(0,1) (B)(-1,0) (D)(1,2)
)
(2)(2014 北京西城二模)已知函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实 数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实根,则实 数 k 的取值范围是( (A)[-1,(B)(-1,1 1 1 )∪( , ] 2 4 3 1 1 1 ]∪[ , ) 2 4 3
4.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x).当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程 ax+2a-f(x)=0 恰有四个不相等的 实数根,则实数 a 的取值范围是 . 解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,又 f(x)
第8节
函数与方程
最新考纲 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判 断一元二次方程根的存在性及根的个数.
编写意图 函数的零点、方程的根的问题是高考考查的热点内容,
难度不大.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出确定函
数零点(个数)、确定函数零点所在的区间,难点突破利用函数零点 的个数确定参数的取值(范围)、函数与方程思想、转化与化归思想、 分类讨论思想及数形结合思想的应用.思想方法栏目突破了利用函 数零点的个数或方程根的个数确定参数的取值(范围),充分体现了 转化与化归思想、数形结合思想的灵活应用.课时训练以考查基础 知识、基本方法和基本技能的训练为主线,以思维创新为导向,精挑 细选,立题新颖.
x
x
)
解析:易知 f(x)=2 +3x 在 R 上是增函数. -2 而 f(-2)=2 -6<0, -1 0 f(-1)=2 -3<0,f(0)=2 =1>0, ∴f(-1)·f(0)<0, 故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点.
2.(2015 济南质检)函数 f(x)= x -( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
为偶函数,故函数在[-2,3]上的图象如图所示.直线 y=ax+2a 过定点 (-2,0),在区间[-2,3]上方程 ax+2a-f(x)=0 恰 有四个不相等的实数根,等价于直线 y=ax+2a 与函数 y=f(x)的图象有四个不同的公共点,结 合图形可得实数 a 满足不等式 3a+2a>2,且
2 2 a+2a<2,即 <a< . 答案:( 2 , 2 ) 5 3 5 3