高等数学微积分第九章 第1节
高等数学第九章课件.ppt
z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
数学强化班(武忠祥)-高数第九章 多元函数积分学
第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 22（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰zz I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()m x l y n z d V m x l y n z d V ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（奇偶性） 222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 2225242220004s i n ()315a m l n a d d r d r m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f z d )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →.解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F tht)](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t h t f t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y x z z zy x 0210d )1(sin d d解 先交换y 和z 的次序，则1122000sin ()sin (1)(1)xxx zz x z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰. 111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f 3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x 解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。
高数 第九章 超详细
o
{
}
2013-3-19
2. 区域 (1) 内点、边界点、聚点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P)⊂ E , 则称 P 为 E 的内点；
E
• 若点 P 的任一邻域中既含 E 的点也含不属于 E 的点 , 则称 P 为 E 的边界点. • 若点 P 的任一邻域中均含 E 的无穷多个点，则 称 P 为 E 的聚点. 注：E 的内点必属于 E , E 的内点必是聚点. E 的边界点、聚点可能属于 E, 也可能不属于 E .
结论: 一切二元初等函数在其定义区域内连续.
11-8
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例4. 求 lim
( x y + 1) − 1 1 1 = lim 解: 原式 = lim = x → 0 xy ( x y + 1 + 1) x →0 x y + 1 + 1 2
y →0
பைடு நூலகம்y →0
2
x →0 y →0
xy +1 −1 . xy
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第二节 二元函数的极限与连续
一、二元函数的极限 二、二元函数的连续性 三、有界闭区域上二元连续函数的性质
11-1
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一、二元函数的极限
定义1. 设 P0 (x0 , y0 ) 为二元函数 z = f (x, y) 定义域 D 的聚点，若存在常数 A 满足： ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 P ( x, y ) ∈ D ∩ U ( P0 , δ) 时， f ( x, y ) − A < ε , 则称 A 为z = f (x, y) 当 ( x, y ) → ( x0 , y0 ) 时的二重极限， 记作
高等数学课后习题答案--第九章
9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)
高等数学第九章
第九章 多元函数微分学的应用第一节 曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为[](),(),,,(),x x t y y t t z z t αβ=⎧⎪=∈⎨⎪=⎩其中x （t ）,y （t ）,z （t ）均可导.考虑曲线Γ上对应于t ＝t 0的一点P 0（x 0,y 0,z 0）及对应于t ＝t 0＋Δt 的一点P （x 0＋Δx ,y 0＋Δy ,z 0＋Δz ），则曲线在P 0处的切线是割线P 0P 的极限位置（P →P 0）.易知割线P 0P 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当P 沿着Γ趋于P 0时，割线P 0P 的极限位置P 0T 就是曲线Γ在P 0处的切线（图9-1）. 用Δt 除上式的各分母，得图9-1000,x x y y z z x y z t t t ---==∆∆∆∆∆∆ 令P →P 0（即Δt →0），有x t ∆∆→d d x t , y t ∆∆→d d y t , z t ∆∆→d d zt，则曲线在P 0处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. （9-1-1） 如果x ′（t 0），y ′（t 0），z ′（t 0）有为0的情况，则按第七章中有关内容的解释处理. 切线的方向向量称为曲线的切向量，通过点P 0而与切线垂直的平面称为曲线在P 0处的法平面，其方程为x ′（t 0）（x －x 0）＋y ′（t 0）（y －y 0）＋z ′（t 0）（z －z 0）＝0. （9-1-2）空间曲线可视为两个曲面的交线，如果曲线由方程(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 表示，则等价于以x 为参数的参数方程,(),().x x y y x z z x =⎧⎪=⎨⎪=⎩此时，曲线在P 0（x 0,y 0,z 0）处的切线方程为000001()()x x y y z z y x z x ---==''； （9-1-3） 法平面方程为（x －x 0）＋y ′（x 0）（y －y 0）＋z ′（x 0）（z －z 0）＝0 （9-1-4）如果曲线的方程为(,,)0,(,,)0,F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ P 0（x 0,y 0,z 0）为其上一点.设F ，G 在P 0的某邻域内是C 1类函数，且雅可比行列式(,)0,(,)p F G y z ∂≠∂则方程组在此邻域内确定了一组函数y ＝y （x ）,z ＝z （x ），即以x 为参数的形式.根据隐函数求导公式，知(,)d (,)(,)d (,)F G y z x F G xy z ∂∂=∂∂， (,)d (,)(,)d (,)F G z x y F G x y z ∂∂=∂∂, 则曲线在P 0处的切线方程为 00000,1()()x x y y z z y x z x ---=='' （9-1-5） 即为00;(,)(,)(,)(,)(,)(,)p p p x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂曲线在P 0处的法平面方程为(,)(,)p F G y z ∂∂（x －x 0）＋(,)(,)p F G z x ∂∂（y －y 0）＋(,)(,)p F G x y ∂∂（z －z 0）＝0（9-1-6）例1 求螺旋线x ＝a cos t , y ＝a sin t , z ＝amt在t ＝π4处的切线方程与法平面方程. 解 x ′＝－a sin t , y ′＝a cos t , z ′＝am ， 则曲线在t ＝π4处的切线方程为π2211am x a y z ---==-法平面方程为－（x－2）＋（y－2a（z －π4am ）＝0， 即－x ＋y＝am 2π. 例2 求曲线2229,x y z z xy ⎧++=⎨=⎩在点M 0（1,2,2）处的切线方程与法平面方程.解 令 F （x ,y ,z ）＝x 2＋y 2＋z 2－9，G （x ,y ,z ）＝xy －z ，于是(,)(,)M F G y z ∂∂=221My z x-=4411-=-80≠.还可求得(,)10,(,)M F G z x ∂=∂(,) 6.(,)M F G x y ∂=-∂则切线方程为1228106x y z ---==--; 法平面方程为－8（x －1）＋10（y －2）－6（z －2）＝0，即 4x －5y ＋3z ＝0.第二节 曲面的切平面与法线设曲面Σ的方程为F （x ,y ,z ）＝0，如图9-2所示，点M 0（x 0,y 0,z 0）在曲面Σ上.过M 0在Σ上任作一条曲线Γ，设Γ的参数方程为x ＝x （t ）, y ＝y （t ）, z ＝z （t ），且M 0对应于参数t 0，假定在t ＝t 0处，x （t ）,y （t ）,z （t ）均可导，且导数不全为0，则F （x （t ）,y （t ）,z （t ））≡0. 在t 0处对上式关于t 求导，得图9-2d d d 0.d d d t t F x F y F z x t y t z t =⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭记,,M F F F x y z ⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭n ，d d d ,,d d d t x y z t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭s .注意到s 是曲线Γ在M 0处的切向量，而n ·s ＝0，即说明不管Γ的选取方式如何，其中M 0的切向量总垂直于定向量n .所以曲面Σ上通过M 0的一切曲线在点M 0的切线均在同一个平面内，这个平面称为曲面Σ在M 0的切平面，方程为F ′x （x 0,y 0,z 0）（x －x 0）＋F ′y （x 0,y 0,z 0）（y －y 0）＋F ′z （x 0,y 0,z 0）（z －z 0）＝0 （9-2-1）通过M 0而垂直于切平面的直线称为曲面Σ在该点的法线，方程为000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x -x y y z z F x y z F x y z F x y z --'''==, （9-2-2）而把n 称为曲面的法向量.若曲面Σ以显函数z ＝f （x ,y ）的形式给出，则可记F （x ,y ,z ）＝f （x ,y ）－z ，则 n ＝（f ′x （x 0,y 0），f ′y （x 0,y 0），－1）. 易得出切平面和法线方程分别为f ′x （x 0,y 0）（x －x 0）＋f ′y （x 0,y 0）（y －y 0）－（z －z 0）＝0，0000000(,)(,)1x y x -x y y z z f x y f x y --''-==.若曲面Σ以参数方程形式(,),(,),(,)x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩给出，M 0（x 0,y 0,z 0）为曲面上一点，且对应于参数（u 0,v 0），在曲面Σ上过M 0的两条曲线为Γ1：000(,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩Γ2：000(,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩则Γ1在M 0处的切线向量s 1=00(,),,u v x y z u u u ∂∂∂⎛⎫⎪∂∂∂⎝⎭, Γ2在M 0处的切线向量s 2=00(,),,u v x y z v v v ∂∂∂⎛⎫⎪∂∂∂⎝⎭, 曲面Σ在M 0处的法向量为n ＝s 1×s 2＝00(,)u v xy z u u u x y z v v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂i j k=00(,)(,)(,)(,),,(,)(,)(,)u v y z z x x y u v u v u v ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭. 只要上述三个行列式不全为零，则n ≠0,于是曲面Σ在M 0处的切平面方程为000000000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)0;(,)(,)(,)uu u vv vx x u v y y u v z z u v x u v y u v z u v x u v y u v z u v ---''''''= （9-2-3） 法线方程为000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v u v x x u v y y u v z z u v y z z x x y u v u v u v ---==∂∂∂∂∂∂ （9-2-4）例1 求球面x 2＋y 2＋z 2＝14在点（1，2，3）处的切平面及法线方程.解 F （x ,y ,z ）＝x 2＋y 2＋z 2－14，n ＝（F ′x ,F ′y ,F ′z ）|（1,2,3）＝（2,4,6）， 所以，在点（1，2，3）处的切平面方程为2（x －1）＋4（y －2）＋6（z －3）＝0，即 x ＋2y ＋3z －14＝0； 法线方程为123.123x y z ---== 例2 曲面的参数方程为e ,,e ,u v u v x u y u v z +-⎧=+⎪=+⎨⎪=⎩求曲面在u ＝1,v ＝－1处的切平面及法线方程.解 x 0＝2, y 0＝0, z 0＝e 2.(1,1)(,)(,)y z u v -∂∂＝(1,1)11eeu vu v----＝－2e 2，(1,1)(,)(,)z x u v -∂∂=(1,1)e e 1e e u vu v u v u v --++--+＝3e 2，(1,1)(,)(,)x y u v -∂∂＝(1,1)1e e 11u v u v ++-+＝1。
《高等数学》各章知识点总结——第9章
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
高等数学第九章第一节复习
f(i ,i )i
存在(与D的划分法无关，与点(i ,i )的取法无关)，
则称 f(x, y)在D上可积，并称极限值为 f(x, y)在D上的
二重积分，记作 f (x, y)d .
D
说明：(1) 二重积分各部分名称如下：
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i
积 被 积面 被 分 积 分积 积 区 函 变元 表 域 数 量素 达
(k1f1k2f2 knfn)d
D
k 1f 1 d k 2f 2 d k n f n d .
D
D
D
性质3 对于积分区域的可加性：设D分为D1与D2 ，则
f (x ,y )d f (x ,y )d f (x ,y )d .
D
D 1
D 2
性质4 记D的面积为，则 1dd.
D
D
性质5 如果在D上 f(x, y) g(x, y)，则
z
3
3
(2)(1xy)dxd, y
C
D
其中D： x 0, y 0, x y 1。
解 该积分表示三棱锥OABC的体积， O
y B
1
D(1xy)dxdຫໍສະໝຸດ 6.xA小结二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义（平面薄片的质量） 二重积分的性质（性质1~7）
习题(P79)：4(1)(2)(4)，5(2)(3)。
思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限值， 且此值只与被积函数及积分区域有关；都是用先 化整为零再积零为整的思想，用“划分、近似、 求和、取极限”的方法，求某个总量 。
高数(同济第六版)第九章总结
4
③当 AC
时，不能判断
2、条件极值，拉格朗日乘数法：
①构造 L(x,y)=f(x,y)+ (x,y)[其中，f 为原函数， 为条件]
② (x0,y0)+
=0
(x0,y0)+
=0
(x0,y0)=0
5
1、方向导：
2、梯度：
=
3、 =(
) 其中 为方向角，
记某点
处的方向导为 记梯度为
则
[其中
]
① =0 时，f 增长最快
② = 时，f 增长最慢
③ = 时，f 不变
第八节 多元函数的极值及其求法
1、极值存在 必要条件： ，
充要条件：有
C
①当 AC
A>0 时，有极小值
A<0 时， 有极大值
②当 AC <0 时，无极值
1、 偏导的符号不可拆
2、 偏导数的几何意义
第三节 全微分
1、 全增量： z=f(x+ x,y+ y)-f(x,y)
可表示为： z=A x+B y+o( )[其中 o( )=
]
2、全微分：
[其中
]
3、全微分存在条件： 4、各个关系
函数连续
互推不出
推不出
推不出
函数可导
推得出
函数可导
推
推
得
不
出
出
推得出
偏导连续
记 Jacobi 式：J=
(在解方程组式的隐函数时，可用可不用 Jacobi 式) 第六节 多元函数微分学几何应用
1、
3
[称其为一元向量值函数] 2、空间曲线的切线与法平面
高等数学同济六版第九章第1节
y
图形为
空间中的超曲面.
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (证明略)
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(一致连续性定理)
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例5.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x 0 x y 1 1 2
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3. 多元函数的极限 lim f ( P) A ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时， P P0 有 f ( P) A ε 4. 多元函数的连续性 lim f ( P) f ( P0 ) 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续
例如,
x 0 y 0
显然
lim lim f ( x, y ) 0 ,
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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例3 目录 上页 下页 返回 结束
四、 多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数 f ( P) 定义在 D 上, 聚点 P0 D ,
( x, y ) x y 0 ( x, y ) 1 x 2 y 2 4
第1节变化率与导数导数的计算
第1节变化率与导数导数的计算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，是微积分研究的基石之一、在实际问题中，导数的概念有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度、斜率等都是变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，用极限表示，即：如果函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，导数的值记为f'(a)，即：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)对于一个实函数来说，导数被定义为函数变化的斜率，表示的是函数在其中一点的瞬时变化速率。
在应用中，导数有许多计算方法，这里列举一些常用的计算方法：1.基本导数公式基本导数公式是指常用的函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟练掌握这些公式，可以快速计算函数的导数。
2.导数的基本性质导数有一些基本的性质，如积差、和差、复合函数的导数规则。
这些性质可以简化复杂函数的导数计算。
3.高阶导数高阶导数是指导数的导数。
如果一个函数的导数可导，则可以继续对导数求导，得到高阶导数。
高阶导数可以描述函数的凹凸性、拐点等特性。
4.隐函数求导有时函数的表达式不显含自变量，而是通过一个方程来描述函数与自变量之间的关系。
这种情况下，要通过隐函数求导的方法来计算导数。
5.参数方程求导对于参数方程描述的曲线，可以通过参数对函数进行求导，得到曲线的切线方程、法线方程等。
通过以上方法，可以计算得到函数在其中一点的导数值，进而研究函数的性质、变化规律等。
在实际问题中，导数的应用非常广泛。
例如，在物理学中，加速度是速度的导数，速度是位移的导数；在经济学中，边际成本、边际收益等概念都是导数的应用；在工程学中，导数是电路中信号变化的关键指标。
总之，导数是微积分中的重要概念，可以描述函数的变化率，通过导数的计算可以研究函数的性质和变化规律，并在实际问题中得到广泛应用。
高等数学下册第九章课件.ppt
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地，A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数
例
设
f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时，有
f (x)－A ＜
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ，因此，
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
微积分 第九章 第一节 常数项级数的概念与性质
子
序
列
无极
限
，
所
以lim n
sn不
存
在
，
级
数
发散.
二、级数的基本性质
性质1
如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛，且有
n1
n1
kun k un .
思考：可逆吗？
n1
n1
性质2 如果级数 un 、 vn 都收敛,则 (un vn )
连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？
解 （1）以年复利计算利息
总的现值
3
3 1.05
3 1.052
3 1.05n
63（百万元）
（2）以连续复利计算利息
总的现值 3 3e0.05 3(e0.05 )2
61.5（百万元）
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
3n
n1
1
3
1
1 4
3
4
n1 4n2 1
n1
2 2n
1
2 2n
1
sn
2
2 3
2 3
2 5
2 2n 1
2 2n 1
2 2 2n 1
n1
4 4n2
1
lim
n
sn
2
原级数收敛，且其和为 3 . 4
性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影 响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).
第一节 常数项级数的概念与性质
一、问题的提出
微积分第9章第1节小结
D
( x + y)3 dσ ∫∫
D
y
其中 D : ( x − 2) + ( y − 1) ≤ 2
2 2
1
D 2
积分域D 【解】积分域 的边界为圆周
o
x x + y =1
而区域D位于直线的上方, 而区域 位于直线的上方, 故在 D 上 x + y ≥ 1,
( x + y)2 ≤ ( x + y)3 从而
∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g( x, y )dσ .
D D
∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫
D D
f ( x , y ) dσ .
性质5】 二重积分估值性质） 【性质 】（二重积分估值性质）
设 M 、m 分别是 f ( x , y )在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 的面积， 最大值和最小值，σ 为 D 的面积，则
区域D的面积 区域 的面积 σ = 4π 故 即
4π × 9 ≤ I ≤ 4π × 25 36π ≤ I ≤ 100π
dσ 的值， 【练习 2】估计 I = ∫∫ 】 的值， 2 2 x + y + 2 xy + 16 D 其中 D： 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 . ： 1 , 区域面积σ = 2 , 【解】 Q f ( x , y ) = 2 ( x + y ) + 16 1 ( x = y = 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M = 4
第九章 第一节 二重积分的概念和性质
一、 二重积分的概念 n 1、 ∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i )∆σ i .
大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第一节课件课堂讲义
可知，不论 t 取何值，一定有
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
取
t (, ) . (, )
代入 (5) 式，得
(,)(,)2 0, (,)
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下
显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为欧氏空间.
五、举例
例 1 在欧氏空间 Rn 中计算下列向量的内积，
并求它们之间的夹角.
(1) (1,1,1,1) , (1,2,4,3); (2) (1,1,1, 1) , (3,1,2,2);
2 36
(3) (3,1,1,1) , (2,2,2,2); (4) (1,1,1,2,1) , (3,1,1,0,1).
证明 当 = 0 时，(4) 式显然成立.
设 0.
令 t 是一个实变数，作向量
以下
=+t.
由
内积定义中的四个性质：
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0， 当 且 仅 当 = 0 时 ( , ) = 0 .
= (| | + | |)2 .
所以 | + | | | + | | .
3. 正交
定义 4 如果向量 , 的内积为零，即
( , ) = 0，
那么 , 称为正交或互相垂直，记为 .
显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交
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设 Max A( M ) K，曲线L
M L
证明： 因 Max A( M ) K .( M L ) M L 故 A( M k ) rk A( M k ) rk K rk
n 所以 A( M k ) rk A( M k ) rk n k 1 k 1
因此第二型曲线积分可按下式化为定积分计算
b L A( M ) dr a A x ( t ), y( t ) z ( t ) r ( t )dt b P ( x( t ), y( t ), z( t ) x( t ) a Q( x ( t ), y( t ), z ( t )) y( t ) R( x ( t ), y( t ), z ( t )) z ( t ) dt
二、第二型曲线积分的性质
) 1.线性 设α和β都为常数, A( M )和B( M 沿L 可积, 则 A( M ) B( M ) dr
L
A( M ) dr A( M ) dr L L 0， 2. 可加性 若 L L1 L2 ，且 （L1 L2） A( M ) 沿L可积，则
例1
设变力F yi xj ( x y z )k , 求使质点沿螺旋线 c x a cos t , y a sin t , z t t : 0 2 z 2 由A(a ,0,0)运动到B(a ,0, c )时F 所做的功。 解 A(a,0,0)对应与参数t=0,
注 ：被积函数相同，起点和终点也相同，但路 径不同积分结果不同.
若曲线取由始点A的弧长为参数，曲 线长为 l ，设曲线方程为
x x ( s ), y y( s ), z z ( s ), s : 0 l 或 r r ( s ) x ( s ), y( s ), z ( s ) , s : 0 l 对一、二型曲线积分有 l ( s A( ) P dr ( x As (M r( s ), )ds z ( s )) x ( s ) ) ,) y L ( M L
( A) ( B)
z
且从z轴正向看去L取顺时针方向
解 由( A), 令x cos , y sin , 则由( B )知z 2 cos sin , 按照 L规定的方向，由2变动到 0， x
O
1
1
y
三、第二型曲线积分的计算
故此， L : x cos , y sin , z 2 cos sin ; ： 2 0
定向曲线的向量表达式
r r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k t : a b
规定 : 当曲线 L 为简单封闭曲线时,可取曲线上任一 点为始点 ,沿规定方向走一周回到该点.故该点也是 终点 . 如无特殊说明, 本书约定逆时针方向为正向 .
一、第二型曲线积分的定义
沿着有向曲线L由A移动到B.问变力 F 对这个 质点做了多少功?
在此我们依旧引进分点系.计算变力在每一小
弧长上对质点所做的功,最后加起来再求其极限.
一、第二型曲线积分的定 义
先考虑变力 F 沿平面曲线 L 所作的功。
设平面光滑曲线弧 L : A B, y
力 F ( x, y ) P ( x, y )i Q( x, y ) j
可定义第二型曲线积分
L A( M ) dr L P ( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x , y, z )dz
当 A( M ) 在光滑(或分段光滑)的定向曲线L上 连续时, 第二型曲线积分必然存在。
演 稿
示
文
1 2 3 后
等
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根据公式化为定积分计算
I
(2 cos )( sin ) (2cos sin 2)(cos ) (cos sin )(sin cos ) d
0 2
(3cos 2 sin 2 2sin 2cos )d
o
n
M i Mn
L
A
M2 M1
Mi 1 xi
x
求和
W W i
i 1 n
近似值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ]
取极限 W lim
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ] 0
dx dy dz ds ds ds
2 2 2
1
d r 是沿弧长增加方向的单位切向量 因此 ds
一、第二型曲线积分的定义
3. 定义
问题：设一个质点在引力场
F P ( M ), Q ( M ), R( M ) P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
x x( s), y y( s), z z( s) s : 0 l
一、第二型曲线积分的定义
则相应的向量式表示为：
d r dx dy dz , , ds ds ds ds
由弧微分公式得到：ds (dx )2 (dy )2 (dz )2
则
2 2 1
0
y x2
B(1,1)
4 x dx
3 1
0
A(1,0)
1
2 计算 y 例4 dx , 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A( a,0) 沿 x 轴到点 B( a,0) 的直线段.
解
x a cos (1) L : , ： 0 y a sin
特殊情形
(1) L : y y( x )
则 Pdx Qdy
L
x起点为a，终点为b.
b
a
{ P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx
（2）L: x x( y ) y起点为c，终点为d. ), y ] x( y ) Q[ x( y ), y ]} dy .
B
yi M i 1 x i
M i Mn
根据常力所作的功 W F s , 对曲线进行分割
L
A
o
M2 M1
x
A M 0 , M1 ( x1 , y1 ), , M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j
2. 切向量
由参数方程给出的定向曲线 在其上任一点 处的切向量为: x( t ) , y( t ) , z( t ) 其中当a<b时 取正号,当a>b时 取负号.我 们规定与 走向相同的的切向量为有向曲线的 切向量
若取由始点起到L上动点（x,y,z）的弧长为 参数则曲线方程为：
3. L 表示 , A( M )沿L可积则 L取反向 L A( M ) dr L A( M ) dr
L A( M ) dr L A( M ) dr L A( M ) dr
1 2
二、第二型曲线积分的性质
4.长大不等式
b a
解法2 把曲线看成以x为参数，分成两段曲线 计算
三、第二型曲线积分的计算
例 3 计算 2 xydx x 2dy, 其中L为 抛物线
L
y x 2上从O (1,1)到B(0, 0)的一段弧; 解 (1) 化为对 x 的积分.
L : y x 2 , x： 1 0,
原式 (2 x x x 2 x )dx
0
2
c c ( a cos t a sin t t )( )]dt 2 2 2 c 2 2a 2
例2
计算曲线积分
I ( z y)dx ( x z )dy ( x y)dz
L
x2 y2 1 其中L是椭圆 x y z 2
i 1
i 1 n
精确值
一、第二型曲线积分的定义
1. 定义 设 A( x, y ) P ( x, y )i Q( x, y ) j ，曲线L为 xoy平面上的定向光滑曲线,对L引进分点系
A M 0 , M1 , M 2 , Mn B
若和式极限
W lim [ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ]
z
B(a,0,c)对应与参数
t 2
x ( t ) a sin t , y( t ) a cos t ,
x
c z ( t ) 2
o
x
y
所作的功为 W F dr ydx xdy ( x y z )dz
L L
[a sin t ( a sin t ) a cos t ( a cos t )
2
0
2
若曲线方程为 L : y y( x ), z z ( x ), x : a b
则
L
A( M ) dr
Q x , y( x ), z ( x ) y( x ) R x , y( x ), z ( x ) z ( x )dx
P x , y( x ), z( x )
§1.第二型曲线积分
一、第二型曲线积分的定义
二、第二型曲线积分的性质
三、第二型曲线积分的的计算 四、第一、二型曲线积分的关系
一、第二型曲线积分的定义
1.定向曲线 带有确定走向的曲线
－ 代表 的反向曲线， － 与 是两条不同的定向曲线.