高考数学常考题型专题03解三角形问题文20180816662

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2018高考数学文热点题型：三角函数与解三角形全国通用含解析精品

三角函数与解三角形热点一三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)解因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cos x＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称. (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域； (2)若a ＝7，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积.解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )，又函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，即－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13.由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A ，即49＝c 2＋b 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即bc ＝40.则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.【类题通法】三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 的大小和线段BD 的长度；(2)求四边形ABCD 的面积.解 (1)设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝1＋4－x 22×2×1，在△BCD 中，由余弦定理，得cos C ＝9＋4－x 22×2×3， ∵A ＋C ＝π，∴cos A ＋cos C ＝0.联立上式，解得x ＝7，cos C ＝12.由于C ∈(0，π).∴C ＝π3，BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32.又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD 的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0.即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间. 解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。

高三数学解三角形试题答案及解析

高三数学解三角形试题答案及解析1.在中，角所对的边为，已知，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．【答案】（1）;（2）或．【解析】（1）利用正弦定理对已知条件化简可求sinB，利用三角形的大边对大角可求B；（2）利用余弦定理可求a，b之间的关系，进而结合三角形的面积可ac，再把a，b的关系代入可求a，b的值．试题解析：（1），，或，，所以 4分（2）由解得或①又②③由①②③或 9分【考点】1.正弦定理;2.余弦定理.2.如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∠DAE=∠DAB=90°，∵AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=45°，即∠DEA=∠CAB=45°，∴AC∥ED，∴∠CED=∠ECA，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F，∵AE=1，∴由勾股定理得：EF=AF=∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2=12+22=5∴CE=∴sin∠CED=sin∠ECF=，故选B．【考点】1.三角函数的定义;2.勾股定理及正方形的性质.3.已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设得：（1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以又因为，所以所以恒成立，所以故选A.【考点】1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.4.甲船在岛B的正南A处，AB＝10 n mile，甲船自A处以4 n mile/h的速度向正北航行，同时乙船以6 n mile/h的速度自岛B出发，向北偏东60°方向驶去，则两船相距最近时经过了________ min．【答案】【解析】设甲、乙两船行驶x h后，分别位于C，D，CD＝y，如图所示．在△CBD中，y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·cos120°＝28x2－20x＋100＝28(x－)2＋，所以当x＝h，即x＝×60＝min时，＝．5.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).A.a、c、b 成等比数列B.a、c、b 成等差数列C.a、b、c 成等差数列D.a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由,.所以cos2B+cosB+cos(A－C)=1可化为.所以成等比数列.故选D.【考点】1.三角函数的恒等变换.2.正弦定理.3.方程中的消元思想.6.（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB （p∈R）．且ac=b2．（1）当p=，b=1时，求a，c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜【解析】（1）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求7.已知向量m＝(sin ，1)，n＝(cos ，cos2)．记f(x)＝m·n．(1)若f(α)＝，求cos(－α)的值；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，若f(A)＝，试判断△ABC的形状．【答案】（1）1 （2）等边三角形【解析】f(x)＝sin cos ＋cos2＝sin＋cos＋＝sin(＋)＋．(1)由已知f(α)＝得sin(＋)＋＝，于是＋＝2kπ＋，k∈Z，即α＝4kπ＋，k∈Z，∴cos(－α)＝cos(－4kπ－)＝1．(2)根据正弦定理知：(2a－c)cos B＝bcos C⇒(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C⇒2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sinA⇒cos B＝⇒B＝，∵f(A)＝，∴sin(＋)＋＝⇒＋＝或⇒A＝或π，而0<A<，所以A＝，因此△ABC为等边三角形．8.如图，已知中，，，，则_____________.【答案】【解析】因为又所以【考点】三角形面积公式两种表示形式9.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔的高度,测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上,则电视塔的高为米.【答案】120+40【解析】如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,则AE===120+60,在Rt△AEC中,CE=AE·tan30°=(120+60)×=60+40,∴BC=CE+BE=60+40+60=(120+40)米,所以塔高为(120+40)米.10.若sin 2α＝，则cos2＝( )A．B．C．D．【答案】A【解析】cos2＝11.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2ab sin C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形【答案】D【解析】a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2ab cos C＝2ab sin C，即a2＋b2＝2ab sin，由于2ab≤a2＋b2＝2ab sin，故只能a＝b且C＋＝，故三角形为正三角形．也可用特殊值的方法断定正三角形合适，排除其他情况12.在△中，所对边分别为、、．若，则．【答案】【解析】三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得，，所以有，即，在三角形中，于是有，，．【考点】解三角形．13.如图，在凸四边形中，为定点,为动点，满足.（I）写出与的关系式；（II）设的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）有最大值.【解析】本题主要考查解三角形中的余弦公式、三角形的面积公式、平方关系、配方法求函数的最值等数学知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力、计算能力.第一问，在和中利用余弦定理分别求，两式联立，得到和的关系式；第二问，先利用面积公式展开求出和，化简，利用平方关系，将，转化为，，再将第一问的结论代入，配方法求函数最值.试题解析：（I）由余弦定理，在中，=，在中，.所以=，即 4分（II） 6分所以10分由题意易知，,所以当时，有最大值. 12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系；4.配方法求函数最值.14.在中，，，，则 .【答案】.【解析】解法一：由余弦定理得，即，整理得，由于，解得；解法二：由正弦定理得，所以，由于，所以，因此，所以，所以为直角三角形，且为斜边，由勾股定理得.【考点】1.余弦定理；2.正弦定理；3.勾股定理15.设的内角所对的边长分别为,且满足（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，边上的中线的长为，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求角的大小，由于三角形的三边满足，含有平方关系，可考虑利用余弦定理来解，由余弦定理得，把代入，可求得，从而可得角的值；（Ⅱ）由于，关系式中，即含有边，又含有角，需要进行边角互化，由于，故利用正弦定理把边化成角，通过三角恒等变换求出，得三角形为等腰三角形，由于边上的中线的长为，可考虑利用余弦定理来求的长，由于的长与的长相等，又因为，从而可求出的面积．试题解析：（Ⅰ）因为,由余弦定理有，故有,又，即： 5分（Ⅱ）由正弦定理： 6分可知：9分，设 10分由余弦定理可知： 11分． 12分【考点】解三角形，求三角形的面积．16.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，由余弦定理得，，，故选B.【考点】1.边角互化；2.余弦定理17.在△ABC中，,则的形状一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】，，，得，所以，即，故的形状一定是等腰三角形.【考点】18.在锐角中，、、所对的边分别为、、．已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式，再利用弦化切的思想求出的值，最终在求出角的值；（2）解法一：在角的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和，并利用结合和角公式求出的值，最后利用面积公式求出的面积；解法二：利用余弦定理求出的值，并对的值进行检验，然后面积公式求出的面积.试题解析：（1）因为，所以，则， 4分因为，所以，则，所以 7分（2）解法一：由正弦定理得，又，，，则，因为为锐角三角形，所以， 9分因为， 12分所以 14分解法二：因为，，，所以由余弦定理可知，，即，解得或，当时，，所以，不合乎题意；当时，，所以，合乎题意；所以 14分【考点】正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式19.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.20.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，判断的形状．（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】依题意，，又，，在内易知，在内由余弦定理得，则（当且仅当时，等号成立），又有几何概率可知，即，，即，此时当且仅当，所以为等边三角形.【考点】正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率.21.在中，边、、分别是角、、的对边，且满足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求边，的值.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由正弦定理和，得， 2分化简，得即， 4分故.所以. 6分（2）因为，所以所以，即. （1） 8分又因为,整理得，. （2） 10分联立（1）（2），解得或. 12分【考点】正弦定理和余弦定理点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。

解三角形(解答题)(2018-2022)高考真题汇编(新高考卷与全国理科)

解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题(共26题；共255分)1．（10分）在 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知 4a =√5c ，cosC =35．（Ⅰ）求 sinA 的值；（Ⅰ）若 b =11 ，求 △ABC 的面积．2．（10分）记 △ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S 1，S 2，S 3 ，已知 S 1−S 2+S 3=√32，sinB =13．（1）（5分）求 △ABC 的面积；（2）（5分）若 sinAsinC =√23，求b ．3．（10分）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) ．（1）（5分）若 A =2B ，求C ；（2）（5分）证明： 2a 2=b 2+c 2 .4．（10分）记 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) ．（1）（5分）证明： 2a 2=b 2+c 2 ；（2）（5分）若 a =5，cosA =2531 ，求 △ABC 的周长．5．（10分）在 △ABC 中， sin2C =√3sinC ．（I ）求 ∠C ：（II ）若 b =6 ，且 △ABC 的面积为 6√3 ，求 △ABC 的周长．6．（10分）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B . （1）（5分）若 C =2π3，求B ；（2）（5分）求 a 2+b 2c 2的最小值.7．（10分）已知点A(2，1)在双曲线 C ： x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1) 上，直线 l 交C 于P ，Q 两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）（5分）求l的斜率；（2）（5分）若tan∠PAQ=2√2，求PAQ的面积.8．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2．（1）（5分）若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；（2）（5分）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．9．（10分）已知在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．（1）（5分）求B的大小；（2）（5分）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为SΔABC=3√34；10．（15分）在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA：sinB：sinC= 2：1：√2，b=√2．（1）（5分）求a的值；（2）（5分）求cosC的值；（3）（5分）求sin(2C−π6)的值．11．（10分）记ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知b2=ac,点D在边AC 上，BDsinⅠABC=asinC.（1）（5分）证明：BD = b：（2）（5分）若AD = 2DC .求cosⅠABC.12．（10分）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）（5分）求A；（2）（5分）若BC=3，求△ABC周长的最大值.13．（10分）在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=√3sinB，C=π6，▲ ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=2√2,b=5,c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅰ）求sin(2A+π4)的值．15．（10分）在ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=√2,B=45°．（1）（5分）求sinC的值；（2）（5分）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值．16．（10分）在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅰ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7，cosA=−1 7；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（10分）在锐角ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝√3a．（Ⅰ）求角B；（Ⅰ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．18．（10分）在ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）（5分）若a=3c，b= √2，cos B= 23，求c的值；（2）（5分）若sinAa=cosB2b，求sin(B+π2)的值．19．（10分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅰ）求sin(2B+π6)的值.20．（10分）ⅠABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2=bsinA（1）（5分）求B；（2）（5分）若ⅠABC为锐角三角形，且c=1，求ⅠABC面积的取值范围.21．（10分）在ⅠABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12.（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.22．（10分）在ⅠABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12.（I）求b，c的值；（II）求sin（B-C）的值.23．（10分）∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。

解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

2018年高三-文科数学专题复习--三角函数-、解三角形(超级详细)

2018 年高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组三年高考真题（ 2016～2018 年）1.(20155，且 α为第四象限角，则 tan α的值等于 ()福·建， 6)若 sin α＝－ 1312 12 5 5 A. 5 B.－ 5 C.12 D.－ 122.(2014 大·纲全国， 2)已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ( )4 3 3 4A. 5B. 5C.－ 5D.－53.(2014 新·课标全国Ⅰ， 2)若 tan α＞ 0，则 () A.sin α＞0 B.cos α＞ 0 C.sin 2α＞ 0 D.cos 2α＞ 04.(2016 新·课标全国Ⅰ， 14)已知 θ是第四象限角，且 sin θ＋ π＝ 3，则 tan θ－ π＝ ________. 4 5 4 5.(2016 四·川， 11)sin 750 ＝° . 6.(2015 四·川， 13)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－ cos 2α的值是 ________．B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1 a )若点 (4， a)在 y x2 图象上，则 tan1.(2016 济·南一中高三期中6π的值为 ( )3 A.0 B. 3 C.1D. 3π πα＝ ()2.(2016 贵·州 4 月适应性考试 )若 sin ＋ α＝－ 3，且 α∈ ， π，则 sin π－ 225 2 ( )24 12 12 24A. 25B. 25C.－ 25D. －25sin α－ cos α性考试)已知角 α的终边经过点 P(2 ，－ 1)，则＝ ( ) sin α＋ cos α1 1A.3B.3C.－3D.－ 310π4.(2015 乐·山市调研 )若点 P 在－ 3 角的终边上，且 P 的坐标为 ( －1， y)，则 y 等于 ()3 3 A. － 3B. 3C.－ 3D. 3π5.(2015 石·家庄一模 )已知 cos α＝ k ， k ∈R ，α∈ 2， π，则 sin( π＋ α)＝ () A. － 1－ k 2B. 1－k 2C.－ kD. ± 1－ k 26.(2015 洛·阳市统考 )已知 △ABC 为锐角三角形 ,且 A 为最小角 ,则点 P(sin A-cos B,3cos A-1)位于 () A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限D. 第四象限π4，则 cos α＝ ________.7.(2016 山·东日照第一次模拟 )已知角α为第二象限角，cos－α＝2 58.(2015 湖·南长沙一模 )在平面直角坐标系xOy 中，将点 A( 3，1)绕原点 O 逆时针旋转90°到点 B，那么点 B 坐标1为________，若直线 OB 的倾斜角为α，则 tan 2α的值为 ________.专题二三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）π的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为() 1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 6)若将函数 y＝2sin 2x＋6 4ππππA. y＝ 2sin2x＋4B.y＝ 2sin2x＋3C.y＝2sin 2x－4D.y＝ 2sin 2x－32.(2016 新·课标全国卷Ⅱ，3)函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()ππA. y＝ 2sin2x－6B. y＝ 2sin 2x－3C.y＝ 2sin x＋πD. y＝ 2sin x＋π6 33.(2016 四·川， 4)为了得到函数 y＝ sin x＋π的图象，只需把函数 y＝ sin x 的图象上所有的点 ( )3πB.向右平行移动πA. 向左平行移动3个单位长度3个单位长度πD.向下平行移动πC.向上平行移动个单位长度个单位长度3 34． (2015 新·课标全国Ⅰ，8)函数 f( x)＝ cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x) 的单调递减区间为 ( )A. kπ－1，kπ＋3，k∈ ZB. 2kπ－1， 2kπ＋3， k∈ ZC.k－1， k＋3， k∈ ZD. 2k－1， 2k＋3，k∈Z4 4 4 4 4 4 4 4π的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象 ()5.(2015 山·东， 4)要得到函数 y＝ sin 4x－3π个单位 B ．向右平移π个单位A ．向左平移1212π D ．向右平移π个单位个单位C．向左平移3 36.(2014 天·津， 8)已知函数 f(x)＝3sin ωx＋ cos ωx(ω＞ 0)， x∈R .在曲线 y＝ f(x) 与直线 y＝ 1 的交点中，若相邻交π点距离的最小值为3，则 f( x)的最小正周期为 ()π2πA. 2B. 3C. πD.2 ππ的最小正周期是 ( )7.(2014 陕·西， 2)函数 f(x)＝ cos 2x＋4πA. 2B. πC.2 πD.4 π28.(2014 四·川， 3)为了得到函数 y ＝ sin(x ＋1)的图象，只需把函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点 ()A ．向左平行移动 1 个单位长度B ．向右平行移动 1 个单位长度C ．向左平行移动 π个单位长度D ．向右平行移动 π个单位长度9.(2014 浙·江， 4)为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 () π B. 向右平移 π C.向左平移 π D.向左平移 πA. 向右平移 12个单位 4个单位 12个单位 4个单位10.(2014 安·徽， 7)若将函数 f(x)＝ sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移 φ个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ的最小正值是 ( )ππ 3π 3π A. 8B.4C. 8D. 411.(2014 新·课标全国Ⅰ， 7)在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝|cos x|，③ y ＝ cos 2x ＋ π， 6④ y ＝ tan 2x － π中，最小正周期为 π的所有函数为 ()4 A.①②③ B. ①③④ C.②④D. ①③ π)12.(2014 个单位，得到函数 y ＝ f(x)的图象，则下列说法正确的是 (福·建， 7)将函数 y ＝sin x 的图象向左平移 2 A. y ＝ f(x)是奇函数 B.y ＝ f(x)的周期为 ππ πC.y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ 2对称D.y ＝ f(x)的图象关于点－ 2， 0 对称 13.(2016 新·课标全国Ⅲ， 14)函数 y ＝ sin x － 3cos x 的图象可由函数 y ＝ 2sin x 的图象至少向右平移 ________个单位长度得到 .14.(2015 天·津， 11)已知函数 f( x)＝ sin ωx＋ cos ωx (ω＞ 0)，x ∈ R.若函数 f(x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数 y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ ω对称，则 ω的值为 ________．15.(2015 陕·西， 14)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数πy ＝ 3sin 6x ＋ φ ＋ k ，据此函数可知，这段时间水深 (单位： m)的最大值为 ________．16.(2015 湖·南， 15)已知 ω>0 ，在函数 y ＝2sin ωx 与 y ＝ 2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 ω＝ ________.ππ17.(2014 重·庆， 13)将函数 f(x)＝ sin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，－ 2≤φ＜2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 π π不变，再向右平移 6个单位长度得到 y ＝ sin x 的图象，则 f 6 ＝ ________.318.(2015 湖·北， 18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)ω>0， |φ|<π在某一个周期内的图象时，列表并2填入部分数据，如下表：ωx＋φ0 π3ππ2π2 2xπ5π3 6 Asin( ωx＋φ)0 5 － 50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将 y＝ f(x)图象上所有点向左平移πy＝g( x)的图象，个单位长度，得到6求 y＝ g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014 湖·北， 18)某实验室一天的温度(单位：℃ )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系：ππf(t)＝10－3cos12t－ sin 12t， t∈ [0,24) ．(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．π20.(2014 四·川， 17)已知函数 f(x)＝ sin 3x＋4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；α＝4 π(2)若α是第二象限角， f 35cos α＋4 cos 2α，求 cos α－ sin α的值．421.(2014 福·建， 18)已知函数f(x)＝ 2cos x(sin x＋ cos x)．5π(1) 求 f 4的值；(2)求函数 f( x)的最小正周期及单调递增区间．π22.(2014 北·京， 16)函数 f(x)＝ 3sin 2x＋6的部分图象如图所示．(1)写出 f(x)的最小正周期及图中x， y0的值；(2)求 f(x)在区间ππ－，－上的最大值和最小值．2 12B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 四·川成都第二次诊断)将函数 f(x)＝ cos x＋π的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，得6 2 到函数 g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 ( )A. g(x)＝ cosππx＋πx＋π2x＋3 B.g(x)＝ cos 2x＋6 C.g(x)＝ cos 2 3 D. g(x)＝ cos 2 62.(2016 山·西四校联考 )已知函数 f(x)＝ cos ωx＋φ－πω>0， |φ|<π的部分图象如图所示，2 2π则 y＝ f x＋6取得最小值时x 的集合为 ( )A. x|x＝ kπ－ππππ， k∈ Z B. x|x＝ kπ－， k∈Z C. x|x＝ 2kπ－，k∈Z D. x|x＝ 2kπ－， k∈ Z6 3 6 3πy 轴对称，则φ的3.(2015 石·家庄模拟 )将函数 f(x)＝sin(2 x＋φ)的图象向左平移8个单位，所得到的函数图象关于一个可能取值为 ( )3πππA. 4 B.4 C.0 D.－45π3π4.(2015 黄·冈模拟 ) 当 x＝4时，函数 f(x) ＝ Asin(x＋φ)(A＞ 0)取得最小值，则函数y＝ f4－ x 是()A. 奇函数且图象关于点π对称 B.偶函数且图象关于点( π， 0)对称，2ππC.奇函数且图象关于直线x＝2对称 D. 偶函数且图象关于点2， 0 对称5.(2015 河·南焦作市统考 )函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ) ω＞0， |φ|＜π的最小正周期为π，且其图象向右平移π个单位后2 12 得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象 ( )πB. 关于直线x＝5πC.关于点5πD.关于直线 x＝π， 0 对称对称， 0 对称对称A. 关于点212 12 12π6.(2015 怀·化市监测 )函数 y＝－ 2x 的单调增区间为 ________. 2sin 33 37.(2015 辽·宁五校联考 )已知函数 f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx(ω＞0) 的周期为 4.(1) 求 f(x)的解析式；2个单位得到函数g(x)的图象，P，Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图 )，(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移3求∠ OQP 的大小 .专题三三角恒等变换A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅲ，6)若 tan θ＝－1，则 cos 2θ＝ ( )34 1 1 4A. －5B.－5C.5D. 5π2.(2016 新·课标全国Ⅱ，11)函数 f(x)＝ cos 2x＋ 6cos－x 的最大值为 () 2A.4B.5C.6D.73.(2015 重·庆， 6)若 tan α＝1， tan(α＋β)＝1，则 tan β＝ ()3 21 1 5 5A. 7B. 6C.7D.64.(2016 浙·江， 11)已知 2cos2x＋ sin 2x＝Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，则 A＝ ________， b＝ ________.65.(2016 山·东， 17)设 f(x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 )，再把得到的图象向左平移π个单位，得到3函数 y＝ g(x)的图象，求 g π的值 .66.(2016 北·京， 16)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求 f(x) 的单调递增区间 .7.(2015 广·东， 16)已知 tan α＝ 2.(1) 求 tan α＋π的值；(2) 求sin 2 α的值．4 sin2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 12x8.(2015 北·京， 15)已知函数 f(x)＝ sin x－2 3sin .2π(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在区间0，3上的最小值．79.(2015 福·建， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin x2cos 2x＋ 10cos2x2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；πa( a＞ 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，(2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移6且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0 )＞0.π， x∈ R，且 f 5π3210.(2014 广·东， 16)已知函数 f(x)＝ Asin x＋312 ＝2.(1) 求 A 的值；(2) 若 f(θ)－ f(－θ)＝3，θ∈0，π，求 fπ2 6－θ.11.(2014 浙·江 ,18)在△ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 4sin2A－B＋ 4sin Asin＝ 2＋ 2.2(1)求角 C 的大小； (2) 已知 b＝ 4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值．B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 江·西九校联考 )已知α∈3π， cos α＝－4，则 tanππ，－α等于 () 2 5 41 1A.7B. 7C.－7D. － 72.(2016 洛·阳统考 ) 若α∈[0， 2π)，则满足1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α的α的取值范围是 ()πB.[ 3π3π7πA. 0，0，πC.0，D.0，∪， 2π2]4 4 41 3 2tan 14 °1－ cos 50 °)3.(2016 河·南六市联考 )设 a＝2cos 2 －°2sin 2 ，°b＝，c＝2，则有 ( 1－ tan214°A. a<c<bB. a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.(2015 大·庆市质检二 )已知 sin α＝5，则 sin2α－cos2α的值为 ( )41 3 1 3A. －8B.－8C.8D.885.(2015 烟·台模拟 ) 已知 cos α＝ 3， cos(α＋ β)＝－ 5， α，β都是锐角，则 cos β等于 ()513 63 33 3363A. － 65B. －65C.65D.656.(2015 河·北唐山模拟 )已知 2sin 2α＝ 1＋cos 2α，则 tan 2α＝ ()A. 4B.－4 C. 4或 0 D.－ 4或 0 3 3 3 3sin αcos α 1 1，则 tan β＝________. 7.(2015 巴·蜀中学一模 )已知＝， tan(α－β)＝ 1－ cos 2α 2 24 138.(2015 河·南洛阳统考 )已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos β， sin β)， |a － b|＝ 13 .(1) 求 cos(α－ β)的值； (2)若 0＜ α＜ π π，－＜ β＜0 且 sin β＝－ 4，求 sin α的值 .2 2 5专题四解三角形A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 4)△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c.已知 a ＝ 5， c ＝ 2， cos A ＝ 2，3则 b ＝ ()A. 2B. 3C.2D.32.(2016 山·东， 8)△ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 b ＝ c ， a 2 ＝ 2b 2 (1－ sin A)，则 A ＝ ()3π π π π A. 4B. 3C.4D. 633.(2015 广·东 ,5)设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a ＝ 2,c ＝2 3,cos A ＝ 2 ,且 b<c,则 b ＝ ( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 34.(2014 四·川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m ，9则河流的宽度 BC 等于 ( )A ． 240( 3－ 1)mB ． 180( 2－ 1)mC ． 120( 3－ 1)mD ． 30( 3＋ 1)m5.(2016 新·课标全国Ⅱ， 15)△ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ， a ＝ 1，则 b ＝ ________.5 132πb6.(2016 北·京， 13)在△ABC 中，∠ A ＝ 3 ， a ＝ 3c ，则 c ＝ ________.2π7.(2015 北·京， 11)在 △ABC 中， a ＝ 3， b＝ 6，∠ A ＝ 3 ，则∠ B ＝ ________.8.(2015 重·庆， 13)设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 a ＝ 2， cos C ＝－ 1， 3sin A ＝ 2sin B ，则 c ＝ ________.49.(2015 安·徽， 12)在△ABC 中， AB ＝ 6，∠ A ＝ 75°，∠ B ＝ 45°，则 AC ＝________.10.(2015 湖·北， 15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝ ________m.11.(2014 新·课标全国Ⅰ， 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠ MAN ＝60°，C 点的仰角∠ CAB ＝ 45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝ 60°，已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m. π12.(2014 湖·北， 13)在 △ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为， a ＝ 1， a ， b ， c.已知 A ＝ 6b ＝ 3，则 B ＝________.13.(2014 福·建， 14)在 △ABC 中， A ＝60°， AC ＝ 2， BC ＝ 3，则 AB 等于 ________． 14.(2014 1，则 c ＝ ________； sin A ＝ ________. 北·京， 12)在 △ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 415.(2016 浙·江， 16)在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c.已知 b ＋ c ＝ 2acos B.(1)证明： A ＝ 2B ；(2)若 cos B ＝ 2，求 cos C 的值 . 3cos A＋ cos B＝sin C 16.(2016 四·川， 18)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c，且ab c .(1) 证明： sin Asin B＝ sin C；2 2 2 6(2)若 b ＋ c － a ＝ bc，求 tan B.51017.(2015 江·苏， 15)在△ABC 中，已知 AB ＝2， AC＝ 3， A＝ 60°.(1) 求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值．18.(2015 新·课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC， BD＝2DC .(1) 求sin∠B；(2) 若∠ BAC＝ 60°，求∠ B.sin∠ C19.(2015 天·津， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知△ABC 的面积为 31 15， b－ c＝2， cos A＝－ .4(1) 求 a 和 sin C 的值；(2) 求 cos 2A＋π的值．620.(2015 山·东， 17)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为3，a， b， c.已知 cos B＝36sin (A＋ B)＝9， ac＝ 2 3，求 sin A 和 c 的值．21.(2015 湖·南， 17)设△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c， a＝ btan A.(1) 证明： sin B＝ cos A；(2) 若 sin C－ sin Acos B＝3，且 B 为钝角，求 A， B，C. 4π22.(2015 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知 tan 4＋A ＝ 2.sin 2A的值；π(1) 求 2 (2)若 B＝， a＝ 3，求△ABC 的面积．sin 2A ＋cos A 423.(2015 新·课标全国Ⅰ,17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边 ,sin2B＝ 2sin Asin C.(1) 若 a＝b,求 cos B；(2) 设 B＝ 90°,且 a＝2,求△ABC 的面积．24.(2014 重·庆， 18)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c，且 a＋ b＋ c＝8.(1)若 a＝2， b＝5，求 cos C 的值；211(2) 若 sin Acos2B＋ sin Bcos2A＝ 2sin C，且△ABC 的面积 S＝9sin C，求 a 和 b 的值．2 2 225.(2014 山·东， 17)△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 a＝3， cos A＝π6，B＝ A＋.3 2(1) 求 b 的值；(2) 求△ABC 的面积．26.(2014 陕·西， 16)△ABC 的内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c.(1)若 a，b， c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝ 2sin(A＋ C)；(2)若 a，b， c 成等比数列，且 c＝ 2a，求 cos B 的值．27.(2014 湖·南， 19)如图，在平面四边形 ABCD 中， DA ⊥ AB，DE ＝1， EC ＝7， EA＝2，∠ ADC ＝2ππ(1)求 sin∠ CED 的值； (2) 求 BE 的长．，∠ BEC＝.3 3B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 湖·南四校联考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (a2＋ b2－ c2)tan C＝ ab,则角 C 为 ()π 5ππ 2πC.πD.2πA. 或6 B. 或3 6 36 32.(2016 河·南三市调研 )△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为πa， b， c，若 c2＝ (a－ b)2＋ 6， C＝，则△ABC的3面积为 ( )A.3B. 923C.323D.3 33.(2016 济·南一中检测 )在△ABC 中，内角 A，B， C 对边的边长分别为a， b， c， A 为锐角，lg b＋ lg 1＝ lg sin A＝－ lg 2，则△ABC 为 ( ) cA. 等腰三角形B. 等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015 山·东省实验中学三诊2 2 2 2) )在△ABC 中，若 (a ＋ b ) ·sin(A－B)＝ (a－ b )sin C，则△ABC 是 (A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形5.(2015 江·西赣州摸底 )为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图 )，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得 BC＝ 50 m，∠ ABC＝105°，∠ BCA＝45°，就可以计算出A，B 两点的距离为 ( )12A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 m 25 2D. 2 m6.(2015 湖·南十二校联考 )在 △ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 2 2 a － b＝ 3，则 c ＝ () 若 tan A ＝ 7tan B ， c A.4 B.3 C.7 D.61 7.(2016 湖·南株洲 3 月模拟 )在△ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 4，则 sin A ＝ ________. 8.(2015 太·原模拟 ) 在△ABC 中，已知 (sin A ＋ sin B ＋ sin C) ·(sin B ＋ sin C － sin A)＝ 3sin Bsin C.(1) 求角 A 的值； (2) 求 3sin － cos C 的最大值B13高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）5 ，且 α为第四象限角， ∴ cos α＝ 12，∴ tan α＝ sin α5 ，故选 D. 答案 D13 ＝－ 121.解析 ∵ sin α＝－ 13 cos α2.解析记 P(－ 4， 3)，则 x ＝－ 4， y ＝3， r ＝ |OP|＝（－4） 2＋ 32＝5，－ 4 4，故选 D.故 cos α＝x ＝＝－ r55 3.解析由 tan α＞ 0，可得 α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，故 sin 2α＝2sin αcos α＞ 0，故选 C. 答案 C4.解析由题意，得 cos π4 ，∴ tan π3 ππ π1 ＝－ 4 . 答案－ 4θ＋＝ θ＋＝ .∴ tan θ－＝ tan θ＋－＝－ π 33 4 5 4 4 4 4 2 tan θ＋ 45.解析 ∵ sin θ＝ sin(k ·360 °＋ θ)，( k ∈ Z)， ∴ sin 750 ＝°sin(2 360× °＋ 30°)＝ sin 30 1 答案1＝° . 2 26.解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝ 0， ∴ sin α＝－ 2cos α，∴ tan α＝－ 2，又∵ 2sin αcos α－cos 2α＝ 2sin α·cos α－ cos 2 α 2tan α－ 12×（－ 2）－ 1 sin 2α＋ cos 2α＝ tan 2α＋1 ， ∴原式＝（－ 2）2＋ 1＝－ 1. 答案－1B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1a1.解析 ∵a ＝ 42＝ 2， ∴ tan 6π＝ 3.答案 Dπ33 π42.解析由 sin 2＋ α＝－ 5得 cos α＝－ 5，又 α∈ 2， π，则 sin α＝ 5，所以 sin( π－2α)＝ sin 2α＝ 2sin αcos α＝－ 24 答案 D25.3.解析因为角 α终边经过点 P(2 ，－ 1)，所以 tan α＝－ 1， sin α－ cos α tan α－ 1＝＝ 2 sin α＋ cos α tan α＋ 1－ 12－ 1 ＝－ 3，故选 D.－1＋ 1210π 2π 10π 2π 2π答案 D 4.解析＝－ 4π＋，所以－与的终边相同，所以 tan ＝－ 3＝－ y ，则 y ＝ 3. － 33 3 3 3 πα>0，则 sin( π＋α 2 2 5.解析因为 α∈ ， π ，所以 sin1－ cos α＝－ 1－ k ，故选 A. 答案 A 2)＝－ sin α＝－ π π π π6.解析由题意得， A ＋ B＞即 A ＞－ B ，且 A ∈ 0， 3 ，－ B ＞ 0， 2 2 2 π1 1 在第一象限 . 答案 A故 sin A＞ sin － B ＝ cos B，即 sin A－ cos B＞ 0， 3cos A－ 1＞ 3× － 1＝，故点 P2 2 27.解析sin α＝ cos π4，又α为第二象限角，所以 cos α＝－2 3－3－α＝51－sin α＝－ . 答案5 2 58.解析设点 A( 3， 1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，1413π则 A(2cos θ， 2sin θ)，由三角函数的定义可知： sin θ＝，cos θ＝，则 θ＝ 2k π＋6 (k ∈Z )，22设 B(x ， y)，由已知得 x ＝ 2cos θ＋ π＝2cos 2k π＋ 2π＝－ 1， y ＝2sinθ＋ π＝ 2sin2k π＋2π＝ 3，2 323 所以 B(－ 1， 3) ，且 tan α＝－ 3，所以 tan 2α＝ 2tan α2 ＝ 3. 答案 (－ 1， 3)31－ tan α专题二三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（ 2016 ～2014 年）答案精析1.解析函数 y ＝ 2sin 2x ＋ π2x ＋ π1个周期即 π6 的周期为 π，将函数 y ＝ 2sin 的图象向右平移个单位，所得函数为6 4 4 π π πy ＝ 2sin 2 x － 4 ＋ 6 ＝ 2sin 2x － 3 ，故选 D. 答案D2.解析由题图可知， T ＝ 2 ππ ＝π，所以 ω＝2，由五点作图法可知 π π π －－ 6 2× ＋φ＝，所以 φ＝－，3 3 2 6 π所以函数的解析式为 y ＝ 2sin 2x － 6 ，故选 A. 答案 A3.解析由 y ＝ sin x 得到 y ＝sin(x ±a)的图象，只需记住 “左加右减 ”的规则即可 . 答案 A4.解析由图象知 T＝ 5－ 1＝ 1， ∴ T ＝ 2.由选项知 D 正确．答案 D2 4 45.解析 ∵ y ＝ sin 4x － π＝ sin 4x － π ，312∴要得到函数 y ＝ sin π 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移 π答案 B 4x － 3 12个单位．6.解析由题意得函数 f(x)＝ 2sin π (ω＞ 0)，又曲线 y ＝ f(x)与直线 y ＝1 相邻交点距离的最小值是 πωx＋ 3 ， 6由正弦函数的图象知， π π π 5π π 即2π π ωx＋＝和 ωx＋＝对应的 x 的值相差，＝，解得 ω＝ 2， 6 6 6 6 3 3ω 3 2π 所以 f(x)的最小正周期是 T ＝ ω＝ π. 答案 C 2π7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得＝ π. 答案 BT ＝ 2 8.解析由图象平移的规律 “左加右减 ”，可知选 A. 答案 A9.解析因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝ 2cos 3x －π，所以将 y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移 π个单位后可得到412y ＝ 2cos 3x － π的图象．答案 A 10.解析方法一 f(x)＝ 2sin 2x ＋ π，4 4将函数 f(x)的图象向右平移 φ个单位后所得图象对应的函数解析式为 y ＝ 2sin π2x ＋－ 2φ，由该函数为偶函数 4ππkπ3π所以φ的最小正值为3π可知 2φ－＝ kπ＋，k∈ Z ，即φ＝2 ＋， k∈Z ，8 .4 2 8π方法二f(x)＝ 2cos 2x－4，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为ππ3πy＝ 2cos 2x－4－ 2φ，且该函数为偶函数，故 2φ＋4＝ kπ， k∈ Z ，所以φ的最小正值为8 . 答案 C1511.解析① y＝ cos|2x|，最小正周期为π；② y＝ |cos x|，最小正周期为π；③ y＝ cos2x＋π，最小正周期为π；6④ y＝ tanπ，最小正周期为ππ的所有函数为①②③，故选 A. 答案 A 2x－4，所以最小正周期为2ππ12.解析函数 y＝ sin x 的图象向左平移2个单位后，得到函数 f(x)＝sin x＋2＝ cos x 的图象， f(x)＝ cos x 为偶函数，πππ排除 A ； f(x)＝ cos x 的周期为 2π，排除 B；因为 f ＝ cos ＝ 0，所以 f(x)＝ cos x 不关于直线x＝对称，排除 C；2 2 2故选 D. 答案 D13.解析 y＝ sin x－ 3cos x＝2sin x－ππ答案π，由 y＝ 2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到 .3 3 314.解析f(x)＝ sin ωx＋cos ωx＝2sinπππ πωx＋，由－＋ 2kπ≤ωx＋≤＋ 2kπ，k∈Z，4 2 4 23ππ由题意 f( x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，可知π得－＋ 2kπ≤ωx≤＋2kπ，k＝ 0，ω≥，4 4 2又函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，2 π 2 π ππ答案π所以 sin( ω＋)＝1，ω ＋＝，所以ω＝2.24 4 215.解析由题干图易得y min＝ k－ 3＝ 2，则 k＝ 5，∴ y max＝k＋ 3＝ 8.答案 816.解析y＝ 2sin ωx，ωx－π＝ 0，由知 sin ωx＝cos ωx，即 sin ωx－ cos ωx＝ 0，∴ 2siny＝ 2cos ωx，4π 1 π 1 π∴ ωx＝4＋ kπ， x＝ω4＋ kπ (k∈ Z)，∴两函数交点坐标为ω4＋ kπ， 2 (k＝0， 2， 4，⋯)，1 π2或( k＝⋯，－ 3，－ 1， 1，3，⋯) ∴最短距离为（ 2 2）2＋π2＋ kπ，－ 23，ω4 ω＝ 22ππ∴π答案2＝ 4，∴ ω＝ .2ω 2πy＝ sin x＋π17.解析把函数 y＝ sin x 的图象向左平移个单位长度得到的图象，6 6y＝ sin π2 倍，纵坐标不变，再把函数x＋6图象上每一点的横坐标伸长为原来的得到函数1 π所以 fπ 1 π ππ22 f(x)＝ sin x＋的图象，＝ sin × ＋＝sin ＝22 6 6 2 6 64 2. 答案π18.解(1)根据表中已知数据，解得A＝ 5，ω＝ 2，φ＝－6.数据补全如下表：ωx＋φ0 ππ3π2π2 2x ππ7π5π13π12 3 12612Asin(ωx＋φ) 0 5 0 － 5 0f(x) ＝5sin π且函数表达式为2x－6 .ππππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝5sin 2x－6，因此 g(x)＝ 5sin 2 x＋6－6＝ 5sin 2x＋6 .16π 因为 y ＝ sin x 的对称中心为 ( k π，0) ，k ∈ Z.令 2x ＋＝ k π，解得6x ＝ k π π －，k ∈ Z .2 12即 y ＝ g(x)图象的对称中心为 k π π ， k ∈ Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 π2 －， 0 －，0 . 12 12π π 2π 2π －1 3 12×8－ sin 12×819.解 (1)f(8) ＝ 10－ 3cos ＝ 10－ 3cos 3 － sin 3 ＝ 10－ 3×2 － 2 ＝ 10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃ .3π1ππ ππ π π 7π (2) 因为 f(t)＝10－ 2 2cos12t ＋ 2sin12t ＝ 10－ 2sin 12 t＋ 3 ，又 0≤t ＜ 24，所以 ≤ ＜，3 12t ＋ 3 3－ 1≤sin π π当 t ＝ 2 时， sin π π＝ 1；当 t ＝14 时， sin π π＝－ 1.12t ＋ 3 ≤ 1.12t ＋312t ＋ 3 于是 f(t)在 [0， 24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃ .π π ππ 2k π π 2k π 20.解 (1)由－＋2k π≤3x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈ Z ，得－＋ 3 ≤x ≤ ＋， k ∈ Z .24 2 4 12 3 所以函数 f(x)的单调递增区间为 π 2k π π 2k π－＋，＋ 3 ， k ∈ Z.4 3 12 π 4 π 2 2(2) 由已知，有 sin α＋ 4 ＝ 5cos α＋4 (cos α－ sin α)，π π 4 π π 2 2 所以 sin αcos 4＋ cos αsin 4＝ 5 cos αcos－ sin αsin4 (cos α－ sin α)，4 4 2 (sinα＋cos α)．即 sin α＋ cos α＝ (cos α－ sin α) 5 3π当 sin α＋ cos α＝ 0 时，由 α是第二象限角，知 α＝ 4＋2k π， k ∈ Z ，此时 cos α－ sin α＝－2.2 5当 sin α＋ cos α≠0时，有 (cos α－ sin α) ＝ . 4由 α是第二象限角，知 cos α－sin α＜ 0，此时 cos α－ sin α＝－52 . 综上所述， cos α－ sin α＝－ 2或 cos α－sin α＝－52 . 2 π21.解 f( x)＝ 2sin xcos x ＋2cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x ＋ 1＝ 2sin 2x ＋＋ 1. 45π ＝ 2sin 11π 1＝ π(1) f 4 ＋ 2sin ＋ 1＝ 2. 4 4(2) T ＝ 2π π π π 3π π＝ π. 由 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋， k ∈ Z ，得 k π－ 8 ≤x ≤k π＋， k ∈ Z .2 2 4 2 83π π所以 f(x)的单调递增区间为， k π＋8 ， k ∈ Z . k π－ 87π22.解 (1) f(x)的最小正周期为 π， x0＝，y0 ＝ 3.6ππ π 5π π π0；(2) 因为 x ∈ －，－12 ，所以 2x ＋ ∈ －， 0 . 于是当 2x ＋＝ 0，即 x ＝－时， f( x)取得最大值26 6 6 1217π π π当 2x ＋＝－，即 x ＝－时， f(x)取得最小值－ 3.6 2 3B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1g(x)＝ cosπ1.解析横坐标缩短为原来的 2倍，纵坐标不变，则有2x ＋6 . 答案 B2π 7π π π π2.解析依题意得 T ＝ ω＝ 4 － 3 ＝ cos φ＋6 ＝ 1，12 3 ＝ π，ω＝2， fπ π 2π .又 |φ|< ，因此 φ＝－，所以 f(x)＝ cos 2x － 32 6当 f x ＋ π π 取得最小值时， π π ＝ cos 2x － 2x －＝ 2k π－π， k ∈ Z ，即 x ＝k π－， k ∈ Z ，答案 B6 3 3 3 π 得 g(x)＝ sin π ＋ φ＝ sin π3.解析函数 f(x)＝ sin(2x ＋ φ)的图象向左平移个单位， 2 x ＋ 8 ＋ φ的图象， 82x ＋ 4又 g(x)的函数图象关于 y 轴对称，所以 g(x)为偶函数，ππ π所以＋φ＝ k π＋ 2 (k ∈ Z )，即 φ＝ k π＋ (k ∈Z )，4 4 π答案 B 当 k ＝ 0 时， φ＝，故选 B.4 ππ π 3π4.解析当 x ＝ 4时，函数 f( x)＝Asin(x ＋ φ)( A ＞ 0)取得最小值，即4＋ φ＝－ 2＋ 2k π，k ∈ Z ，即 φ＝－ 4＋ 2k π，k ∈ Z ，所以 f(x)＝ Asin x － 3π (A ＞ 0)，所以 y ＝ f( 3π 3π 3π4 － x)＝ Asin －x ＋＝－ Acos x ，4 4 4所以函数为偶函数且图象关于点 π 对称，选 D. 答案 D ， 02 π π π5.解析f(x)＝ 2sin 3－ 2x ＝ 2cos 2x ＋ 6 ， π＋ 2k π≤2x ＋ 6≤ 2＋π2k π， k ∈ Z ，5π 11π 答案 5π 11π即＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z. 12 ＋k π，＋ k π(k ∈ Z ) 12 12 126.解析由于函数 f(x) ＝sin( ωx＋ φ) ω＞ 0， |φ|＜ π的最小正周期为 π，故 2π 2 ＝ π， ω＝ 2.ω把其图象向右平移 π个单位后得到函数的解析式为 y ＝ sin 2 x － π π＋ φ ＝ sin 2x －＋ φ ，为奇函数，12 12 6π π ππ ∴－＋ φ＝ k π，∴ φ＝ k π＋， k ∈Z ， ∴ φ＝，∴函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 6 .6 6 6π k π π k π π 令 2x ＋ 6＝k π， k ∈ Z ，可得 x ＝ 2 － 12， k ∈ Z ，故函数的对称中心为 2 － 12， 0 (k ∈Z ).5π故点12， 0是函数的一个对称中心 .答案 C3 3 1 3 πππ7.解 (1) f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx＝ 3 2sin ωx＋2 cos ωx＝ 3 sin ωx cos3＋ cos ωx sin3＝ 3sin ωx＋3 .∵ T＝ 4，ω＞0，∴ω＝2π π∴ f(x)＝ 3sinππ.＝.2x＋3 4 2(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移2个单位得到函数g(x)＝π3sin x.3 2∵ P， Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴ P(1，3)， Q(3，－ 3).18∴ OP＝ 2， PQ＝ 4， OQ＝ 12，∴cos∠OQP＝ OQ2＋ PQ2－ OP2＝32OQ ·QP 2 .∵∠ OQP 是△OPQ 的一个内角，π∴∠ OQP＝ .6专题三三角恒等变换答案精析A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1，则 cos 2θ＝ cos2θ－ sin2θ＝cos2θ－ sin2θ 1－ tan2θ22 ＝ 2 ＝41.解析 tan θ＝－3cos θ＋ sinθ1＋ tanθ5. 答案 Dπ22.解析因为 f(x)＝ cos 2x＋6cos x＋6sin x＝－ 2 sin x－3＋11，－ x ＝1－ 2sin22 2 2所以当 sin x＝ 1 时函数的最大值为5，故选 B. 答案tan（α＋β）－ tan α3.解析tan β＝ tan[(α＋β)－α]＝＝B1－ 123＝1. 答案 A1 1 71＋×2 32 2 24.解析∵ 2cos x＋ sin 2x＝ cos 2x＋ 1＋ sin 2x＝ 2 2 cos 2x＋2 sin 2x ＋ 1π＝2sin 2x＋4＋ 1＝ Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，∴ A＝ 2， b＝1. 答案 2 15.解 (1) 由 f( x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2＝ 2 3sin2x－ (1－ 2sin xcos x)＝ 3(1－ cos 2x)＋ sin 2x－ 1＝ sin 2x－ 3cos 2x＋3－ 1＝ 2sin 2x－π＋ 3－ 1.3由 2kπ－ππππ5π2≤2x－3≤2kπ＋2(k∈ Z )，得 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈ Z ).所以 f(x)的单调递增区间是kπ－π， kπ＋5π(k∈Z)或 kπ－π， kπ＋5π（k∈ Z ） .12 12 12 12(2) 由 (1)知 f(x) ＝2sin 2x－π＋ 3－ 1，3把 y＝ f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，π得到 y＝ 2sin x－3＋ 3－ 1 的图象 .再把得到的图象向左平移πy＝ 2sin x＋ 3－ 1 的图象，个单位，得到3ππ即 g(x)＝ 2sin x＋ 3－1. 所以 g 6＝ 2sin 6＋ 3－ 1＝ 3.6.解 (1) f(x)＝ 2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ 2 2 2＝2sin 2ωx＋π4 2sin 2ωx＋2 cos 2ωx由ω＞ 0， f(x)最小正周期为2π解得ω＝1. π得2ω＝π，19(2) 由 (1)得 f(x) ＝ 2sin 2x ＋ π π π π，解得－ 3π π4 ，令－＋2k π≤2x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈Z 8 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈Z ， 2 4 2 8 即 f(x)的单调递增区间为－ 3π π8 ＋k π，＋ k π(k ∈ Z ). 8(1)tan α＋ π＝ tan α＋ tanπ7.解 4 ＝ tan α＋ 1＝ 2＋ 1＝－ 3.4 π 1－ tan α 1－ 21－ tan αtan 4sin 2α2sin αcos α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1＝ sin 2α＋ sin αcos α－（ 2cos 2α－ 1）－ 1 2sin αcos α 2tan α 2×2＝sin 2α＋ sin αcos α－2cos 2 α＝tan 2α＋ tan α－2＝ 22＋ 2－2＝ 1.8.解 (1) 因为 f(x)＝ sin x ＋ 3cos x －π－ 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2π.3.＝2sin x ＋32π π π π 2π时，所以 3≤x ＋ 3≤π ＝ π，即 x ＝ 3 时， f(x)取得最小值．(2) 因为 0≤x ≤3 .当 x ＋3 所以 f(x)在区间0， 2π上的最小值为 f2π＝－ 3.3 39.(1) 解因为 f(x)＝ 103sin x cos x ＋ 10cos 2 x＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5＝ 10sin x ＋ π＋ 5，2 2 2 6 所以函数 f(x)的最小正周期T ＝2π.πy ＝10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a个单位长度后得到 (2) 证明 ①将 f(x)的图象向右平移 6(a ＞0) 个单位长度后得到g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x) 的最大值为 2，所以 10＋ 5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13. 所以 g(x)＝ 10sin x － 8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 10sin x －8＞ 0，即 sin x ＞ 4 4＜ 3知，存在π0＜ α＜，使得 sin α＝4 0 0 5. 由 5 2 0 3 0 5. 由正弦函数的性质可知，当x ∈ (α， π－ α4因为 y ＝ sin x 的周期为 2π，0)时，均有 sin x ＞5.所以当 x ∈ (2k π＋α， 2k π＋ π－ α4 0 0 )(k ∈ Z )时，均有sin x ＞ 5. 因为对任意的整数 πk ， (2k π＋ π－ α0)－(2k π＋ α0)＝ π－2α0＞＞1， 3所以对任意的正整数 k ，都存在正整数x ∈ (2k π＋ α，2k π＋ π－ α＞40 00)，使得 sin xk 5. 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0.10.解 (1)∵ f(x)＝ Asin x ＋ π5π ＝ 3 2 ， ∴ Asin 5π π＝ 3 2 Asin 3π 3 23，且 f2＋?4＝? A＝3.12 12 3 2 2πππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝3sin x＋3，∵ f(θ)－ f(－θ)＝ 3，∴ 3sin(θ＋3)－ 3sin－θ＋3 ＝3，展开得 3 13 3 13，化简得 sin θ＝32sin θ＋2 cos θ－ 32 cos θ－2sin θ＝ 3 .20π 6 ππππ∵ θ∈ 0，2，∴ cos θ＝3 .－θ－θ＋3＝ 3sin－θ＝ 3cos θ＝ 6. ∴ f 6＝ 3sin 6 211.解 (1) 由已知得 2[1 －cos(A－ B)] ＋ 4sin Asin B＝2＋2，化简得－ 2cos Acos B＋2sin Asin B＝ 2，故 cos(A＋ B)＝－2 所以 A＋ B＝3ππ2. ，从而 C＝ .4 4(2) 因为 S△ABC＝1absin C，π2，由 S△ABC＝ 6， b＝ 4， C＝，得 a＝32 4由余弦定理c2＝a2＋ b2－ 2abcos C，得 c＝10.B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.解析∵ α∈ π，3π， cos α＝－4，∴ sin α＝－3，2 5 5∴ tan α＝sin α 3＝，cos α 4∴ tanπ1－ tan α1.答案 B－α＝＝4 1＋ tan α72.解析由 1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α得 sin α＋ cos α＝ 2sinπα＋4≥0，3π7π又因为α∈ [0， 2π)，所以α的取值范围为0，4∪， 2π，故选 D. 答案 D 41 33.解析利用三角公式化简得a＝2cos 2－°2 sin 2 ＝°cos(60＋°2°)＝cos 62＝°sin 28 ，°b＝ tan 28 ，°c＝sin2 25 °＝ sin 25 . °因为 sin 25 <sin°28 °<tan 28 °，所以 c<a<b，故选 D. 答案 D2 2 2 34.解析 sin α－cos α＝－ cos 2α＝ 2sin α－ 1＝－8. 答案 B5＜ 0， cos α＝3，5.解析∵ α，β是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，又 cos(α＋β)＝－13 5π∴ sin(α＋β)＝12， sinα＝4.∴ ＜α＋β＜π，2 13 5又 cos β＝ cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋ sin(α＋β)sin α＝－5 312 433.答案 C ×＋13×＝6513 556.解析因为 2sin 2α＝ 1＋ cos 2α，所以 2sin 2α＝ 2cos2α，所以 2cos α·(2sin α－ cos α)＝ 0，解得 cos α＝ 0 或 tan α＝1.2π若 cos α＝ 0，则α＝ kπ＋2， k∈ Z ，2α＝ 2kπ＋π， k∈Z ，所以 tan 2α＝0；若 tan α＝1，则 tan 2α＝2tanα2 ＝4. 综上所述，故选 C. 答案 C2 1－ tan α 3sin αcos α sin αcos α cos α 1＝2sin 2α＝＝，∴ tan α＝ 1.7.解析∵1－ cos 2α2sin α 2∵t an(α－β)＝tanα－tanβ＝1，∴ tan β＝1. 答案11＋ tan αtan β 2338.解 (1) ∵ a－ b＝(cos α－ cos β， sin α－ sin β)，∴ |a－ b|2＝ (cos α－cos β)2＋(sin α－ sin β)2＝2－ 2cos(α－β)，21∴ 1613＝ 2－ 2cos(α－ β)，∴ cos(α－ β)＝135.π π且 sin β＝－ 4，∴ cos β＝ 3且 0＜α－ β＜ π.，－＜β＜ 0(2) ∵ 0＜α＜ 22 5 5 5 12又∵ cos(α－ β)＝13，∴ sin(α－ β)＝ 13.∴ sin α＝ sin[( α－ β)＋β]＝ sin( α－ β)·cos β＋ cos(α－ β) ·sin β＝ 12 3 5 ×－ 4 ＝ 16 13 × ＋ 13 5.565专题四解三角形答案精析A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1.解析由余弦定理，得 2 22 b ＝－ 1，故选 D.答案 D5＝ b ＋ 2 －2×b ×2× ，解得 b＝ 3 舍去 3 3 2.解析在△ABC 中，由余弦定理得 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，∵ b ＝ c ，∴ a 2＝ 2b 2(1－ cos A)，又∵ a 2＝ 2b 2(1－ sin A)，π∴ cos A ＝ sin A ，∴ tan A ＝ 1，∵ A ∈ (0， π)，∴ A ＝，故选 C.答案 C43.解析由余弦定理 a 2＝b 2＋ c 2－ 2bccos A ，得 4＝ b 2＋12－ 2×b ×2 3× 23，即 b 2－ 6b ＋ 8＝0，∴ b ＝ 4 或 b ＝ 2，又 b<c ，∴ b ＝2. 答案 C tan 60 －°tan 45 ° 3，4.解析 ∵ tan 15 ＝°tan(60 －°45°)＝ 1＋ tan 60 tan ° 45＝ 2－°∴ BC ＝ 60tan 60 °－ 60tan 15 °＝ 120( 3－ 1)(m) ，故选 C. 答案 C5.解析在△ABC 中由 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ，可得 sin A ＝ 3， sin C ＝ 12，5 135 13sin B ＝sin(A ＋ C)＝ sin Acos C ＋ cos Asin C ＝ 63，由正弦定理得 b ＝ asin B ＝212165 sin A 13.答案13 6.解析由 a ＝ c 得 sin C ＝ csin A 1 3 ＝ 1 ， π π πsin A a ＝ × 2 2 又 0＜ C ＜，所以 C ＝，B ＝ π－ (A ＋ C)＝ .sin C 3 3 6 6 π所以 b ＝ sin B ＝sin6＝ 1. 答案 1 c sin C πsin 62π 7.解析由正弦定理得 sin ∠ B ＝ bsin ∠A6sin 3 ＝ 2，因为∠ A 为钝角，所以∠ π π a ＝3 B ＝ . 答案4 3 3 2 48.解析由 3sin A ＝ 2sin B ，得 3a ＝ 2b ，∴ b ＝ 2a ＝ 2×2＝ 3，2 2 2 2 2 1 在 △ABC 中，由余弦定理得， c ＝a ＋ b － 2abcos C ＝ 2 ＋ 3 － 2×2×3× － 4 ＝ 16，解得 c ＝ 4. 答案 42 AC ＝ AB ，∴ AC ＝ 6sin 45 ° 6×2 ＝ 2. 答案 29.解析已知∠ C ＝60°，由正弦定理得 sin ∠ C ＝3。

解三角形专项题型及高考题

解三角形专项题型及高考题第一篇：解三角形专项题型及高考题题型1：利用正余弦定理判断三角形形状两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．例1.在中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边，如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断三角形的形状．例2.在△ABC中，已知atanB=btanA，试判断此三角形的形状。

【同类型强化】1.在∆ABC中,若acosA=bcosB,试判断∆ABC的形状2BC【同类型强化】2.（2010上海文数）若∆ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则∆A（）A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是（）(A)等腰△(B)等腰或者直角△(C)等腰直角△(D)直角△题型2：利用正余弦定理求三角形的面积三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．例3．在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．例4.(2010·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3sin A－cos A＝0，cos B＝，b＝23.5(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．例5.(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝(1)求sin A 的值；(2)设AC＝【同类型强化】1.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=tanA+tanBtanA⋅tanB3△ABC1.3ABC的面积．7，且2，求a+b的值．【同类型强化】2.在锐角三角形中，边a、b是方程x2-+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积． 0【同类型强化】3.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a=2csinA(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为＋b的值。

副题03 解三角形-2018年高考数学二轮透析23题对对碰含解析精品

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇副题3 解三角形【副题考法】本副题考题形式为选择题、填空题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为基础题和中档题，分值为分. 【副题回扣】1.三角形中的三角变换：（1）角的变换：因为在ABC ∆中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=- 222()C A B π⇔=-+，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin cos 22A B C +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式(r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半).（3）在ABC ∆中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列. 2.要熟记如下知识：（1）正弦定理：分类内容定理2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径) 变形公式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， ②sin :sin :sin ::A B C a b c =， ③sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.（3）在ABC ∆中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A = sin b A a b <<a b ≥a b >解的个数一解两解一解一解（4）余弦定理分类内容定理在ABC ∆中，有2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac+-=；222cos 2a b c C ab +-=解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解. 2 .注意隐含条件的挖掘；【副题考向】考向一已知三角形中的边角关系解三角形【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.6.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.例1【山西榆林市2018届二模】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（） A ．74 B ．34 C ．73D ．13【分析】先用正弦定理将1sin sin sin 2b B a A a C -=化为纯边关系，再利用余弦定理求出角B 的余弦，再用同角三角函数基本关系求出B 的正弦.考向二利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.例2【江西省重点中学盟校2018届第一次联考】如图，平面四边形中，与交于点，若，，则A. B. C. D.【分析】延长到,使，利用向量运算可得出DE AP //，利用正弦定理建立关系式,求得角的大小,并用余弦定理求出的值【解析】设,则,延长到,使,连接DE ，所以,依题意,所以,所以,由正弦定理得,两式相除得,所以,所以.在三角形中,由余弦定理得,在中,故,选.考向三利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例3【河南省商丘市一高2018届二模】一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A 岛向正北方向行驶80海里至M 处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N 处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B 岛，则,A B 两岛之间距离是 _________海里．【分析】首先作出辅助线连接AN 构造出三角形，然后在AMN ∆中连续两次运用余弦定理可得出AN 和ANM ∠cos 的值，再由)150cos(cos 0ANM ANB ∠-=∠即可得出其余弦值，最后在ANB ∆中运用余弦定理即可得出所求的结果.【解析】连接AN ，则在AMN ∆中，应用余弦定理可得80502805060cos 220⨯⨯-+=2AN ，即70=AN ；应用余弦定理可得7170502807050cos 22=⨯⨯-+=∠2ANM ，所以在ANB ∆中，应用余弦定理可得70330270)330(cos 22⨯⨯-+=∠2BC ANB ；而7307021433sin 150sin cos 150cos )150cos(cos 000⨯⨯⨯=∠+∠=∠-=∠ANM ANM ANM ANB ，所以7307021433⨯⨯⨯70330270)330(22⨯⨯-+=2BC ，即70=AB ，故应填70 考向四判定三角形性质【解题法宝】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论． 3.如何利用余弦定理判定三角形的形状由于cos A 与222b c a +-同号，故当2220b c a +->时，角A 为锐角；当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形；当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．例 4 【天津市耀华中学2018届12月月考】在中，若，且，则的形状为（）．A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 正三角形【分析】由两角和正切公式，即可求出tan （A+B ），即tanC ，即可求出角C ，由即可求出B ，即可的出三角形形状. 【解析】∵，∴．∴，．由，即，∴或．当时．，无意义．当时．，此时为正三角形，故选．【副题集训】1.【安徽省淮南市2018届一模】在中，角的对边分别是，已知，，则( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】，所以，故选B 。

2018年高考数学总复习-解三角形

第四节解三角形考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c1.角的关系180,sin sin()A B C A B C ++==+o cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+ sincos ,cos sin .2222A B C A B C ++== 2.正弦定理2(2sin sin sin a b c R R A B C===为ABC ∆的外接圆的直径）. 正弦定理的应用： ①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若a<b,已知角Ａ求角Ｂ. 1,sin 1,21,B B π>⎧⎪⎪===⎨⎪⎪<⎩无解；两解（一锐角、一钝角）若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）222cos 2a b c C ab+-=（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B ∆====题型归纳及思路提示题型67 正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.sin 1sin sin 1A A A ⎧⎪<⎧⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪>⎩⎩大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－（3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39 已知ABC ∆中，53cos ,sin ,1135A B a ===求cos C 及边长c 分析已知两角及一边用正弦定理.解析因为,,A B C 为ABC ∆的内角，所以有cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin .A B A B =-+因为(0,),A π∈且5cos 0,13A =>所以(0,),2A π∈12sin 13A =.由此知sin sin 0,AB >>据正弦定理得a b >所以,A B >因此(0,),2B π∈且3sin ,5B =得4cos ,5B = 故5412316cos .13513565C =-⨯+⨯=因此63sin .65C = 由正弦定理得,sin sin c a C A=得631sin 2165.12sin 2013a C c A ⨯=== 评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC ∆中，sin sin .A B a b A B >⇔>⇔> 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C所对边依次为,,,2,a b c a b ==sin cos B B +=则角Ａ的大小为 .例 4.40 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,,30,6,a b c B c ∠==o 记().b f a =若函数()()(g a f a k k =-是常数）只有一个零点，则实数k 的取值范围是（）..{03A k k <≤或6}k = .{36}B k k ≤≤ .{6}C k k ≥ .{6D k k ≥或3}k = 分析三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.解析由()()0,g a f a k =-=且().b f a =，得(),k f a b ==如图4－34所示，由30,6,B c ∠==o 知ＡＣ边和的最小值为sin 3,c B =唯一的()a BC =符合()f a k =即若3,k =则()3,f a b ==此时存在函数()g a 有唯一零点，若36k <<时，则()(3,6),f a b =∈此时以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点12,C C ，如图4－34所示，则存在两个a 值1122(,),a BC a BC ==使得()()g a f a k =-有两个零点.若6k ≥时，则()6,f a b =≥则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点3C ，使得3a BC =，故函数()g a 有唯一零点.综上，实数k 的取值范围为3k =或6.k ≥故选Ｄ.评注三角形问题一般先根据题意作出图形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造直角三角形.变式1 （1）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且32,2,b a == 如果三角形有解，则角A 的取值范围是 ; (2) 在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1,2,b a ==如果三角形有解，则角B 的取值范围是 ;（3）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且23,3,a c ==如果三角形有解，则角C 的取值范围是 .二、利用正弦定理进行边角转化例4.41 在ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值范围为（）. A.(1,2) .(1,3)B C.(2,2) D.(2,3)分析题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围.解析由正弦定理知sin sin 22cosB,sin sinBa A Bb B ===且()(0,),A B π+∈即03B π<<得03B π<<，因此1cos (,1),2B ∈所以(1,2).a b∈ 故选A. 评注在ABC ∆中，利用正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.变式1 （1）若在锐角ABC ∆中，若A=2B ，则a b 的取值范围为 ; （2）若在直角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 ; （3）若在钝角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 . 变式2 在ABC ∆中，60,B AC ==o ，则AB+2BC 的最大值为 . 变式3（2012课标全国理17）已知,,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，cos sin 0a C c b c +--=，（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为，求,b c .变式4 （2012江西理17）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知4A π=，sin()sin(),44b C c B a ππ+-+= （1）求证：;2B C π-=（2）若a =ABC ∆的面积. 题型68 余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC 0,ABC .0,ABC >∆⎧⎪=∆⎨⎪<∆⎩则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 ABC ∆中，21,3b c C π==∠=，则①a= . ② ______.B ∠=分析已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.解析①由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，得21312()2a a =+-⨯- ，即 220a a +-=，且 0a >，故 1.a = ②由正弦定理得，sin sinbc B C=，即1sin B = 1sin 2B =，又 b c B C <⇔< ，则 30B ∠=o变式1在 ABC ∆中， 3,2,a b B A ==∠=∠， (1)求cos A 的值；（2）求 c 的值.变式2（2012北京理11）在 ABC ∆中，若12,7,cos 4,a b c B =+==-，则______.b =变式3（2012福建理13）已知ABC ∆的等比数列，则其最大角的余弦值为 .例 4.43 （2012陕西理9）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）..2A 2B 1.2C 1.2D - 解析因为2222222221cos 2222a b c c c c C ab ab c a b +-==≥==+当且仅当a b =时取“=”，所以cos C 的最小值为1.2故选C. 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 1.30a c B +=∠=o ，求b 的取值范围.变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 4.60,b B =∠=o ，求ABC S ∆的最大值.二、利用余弦定理进行边角转化例4.44在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若222()tan ,a c b B +-=则角B 的值为（）..6A π .3B π .6C π或56π .3D π或23π解析（边化角）已知等式可变化为222tan ,22a c b B ac +-=则sin cos cos 2B B B ⋅=得sin (0,),2B B π=∈所以3B π=或23π.故选D. 变式1在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（1）求A 的值；（2）求sin +sin B C 的最大值.变式2 在锐角三角形中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若+=6cos b a C a b ，则tan tan +=______.tan tan C C A B 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且22-=2,sin cos =3cos sin a c b A C A C ，求.b题型69 判断三角形的形状思路提示（1）求最大角的余弦，判断ABC ∆是锐角、直角还是钝角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.例4.45 在ABC ∆中，若sin =2cos sin C A B ，则此三角形必为（）.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形分析角化边或sin =sin(+)C A B .解析解法一：角化边. 2222222+=2222c b c a b c b c a R bc R-⋅⋅⇒=+-b a ⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.解法二：因为sin =sin(+)C A B ，所以sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B ⇒-=， sin()0,(),,(0,)A B A B k k Z A B ππ-=-=∈∈0k A B ⇒=⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.变式1设ABC ∆的内角为,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若cos cos sin ,b C c B a A += 则ABC ∆的形状为（）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式2（2012上海理16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状为（）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式3已知ABC ∆中，2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为（）. A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形变式4（1）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+-求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.题型70 正、余弦定理与的综合思路提示先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.例4.46在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 1.AB AC BA BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求证：;A B = （2）求边长c 的值；（3）若6AB AC +=u u u r u u u r ，求ABC ∆的面积. 分析（3）中AB AC +u u u r u u u r 为ABCD Y 对角线AD 长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC ，设AB 中点为M ，12ABC S AB CM ∆=⋅ 解析（1）利用数量积定义，cos cos 1bc A ac B ==cos sin cos sin b B B a A A⇒==tan tan A B ⇒=.A B ⇒= （2）如图4-35所示，取等腰三角形AB 边上的中线（即高线CM ，则cos 2c AM b A ==.cos 12c AB AC cb A c ⋅==⋅=u u u r u u u r ，故 2.c =或2c AM =是AC u u u r 在AB u u u r 方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知 21 1.2AB AC AB AM c ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u u r 故 2.c = (3)如图4-35所示，ABCD Y 中， 6,AB AC AD +==u u u r u u u r u u u r 在ABD ∆中，222,2cos(),BD a b AD c a a A π===+--在ABC ∆中，2222cos .BC b c bc A =+-2222262cos 2cos c a ac A a b c bc A ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩①②由①+②得22222622622,2,a c a a c a +=+⇒=-==即2a b c ===，在等边ABC ∆中，1133sin 222222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=或233.42ABC S a ∆== 评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在ABCD Y 中，222222AD BC AB AC +=+.变式1（2012湖南理7）在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=u u u r u u u r ，则BC=（）．.3A .7B .22C .23D变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,(13)2.6A c b π=+=(1)求C ；（2）若13CB CA ⋅=+u u u r u u u r ，求,,.a b c 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且25cos , 3.25A AB AC =⋅=u u u r u u u r （1）求ABC ∆的面积；（2）6b c +=，求a 的值.变式4在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且cos 3cos cos .b C a B c B =-（1）求cos B 的值；（2）若2,BA BC ⋅=u u u r u u u r 且22b =，求a 和c 的值.题型71 解三角形的实际应用思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos .135A C == （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分析（1）cos ,cos A C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC ∆中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题意列不等式求解.解析（1）在ABC ∆中，因为123cos ,cos .135A C ==所以54sin ,sin .135A C ==从而 sin sin[()]sin()sin cos cos sinB AC A C A C A C π=-+=+=+5312463.13513565=⨯+⨯= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 1040().63sin 565AC AB C m B =⋅=⨯= 所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯ 2200(377050).t t =-+由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500().63sin 1365AC BC A m B =⋅=⨯= 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(),m ⨯++=还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得50071033,50v -≤-≤解得1260625.4314v ≤≤ 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314（单位：m/min ）范围内. 评注解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km 的两个观测点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得30,ADC ∠=o 2分钟后，该船行驶到B 处，此时测得60,45ACB BCD ∠=∠=o o 60,ADB ∠=o 则船速为 .(km /min).最有效训练题20（限时45分钟）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且1,3,a b ==则().ABC S =V.2A 3.B .3C .2D 2.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos 2,a A B b A a +=则().b a =.23A .22B .3C .2D3.已知ABC ∆的三边长分别为,,,a b c 且面积2221(),4ABC S b c a ∆=+-则().A ∠=.15A o .30B o .45C o .120D o4 .若ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=且60C =o ，则ab 的值为（）.4.3A .843B - .1C 2.3D 5. .在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）. .(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3D ππ 6.在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（）.2.(0,)2A 12.[,)22B .(0,1)C 2.(,1)2D 7.在ABC ∆中，若120,5,A c ∠==o ABC ∆的面积为53，则______.a =8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果3,30,c a B ==o 那么角C 等于 .9.已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆ 的面积为 .10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，则a b c+的最大值为 .11.在ABC ∆中，已知2, 2.ABC AB AC S ∆⋅==u u u r u u u r（1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长.12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=o 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的长度.。

题型三三角函数与解三角形 ——高考数学高频题型专项讲解

题型三三角函数与解三角形——高考数学高频题型专项讲解一、思路分析三角函数定义的应用，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简与求值都是高考中的热点考查内容，常与三角恒等变换结合命题，同时应注意象限角、终边相同的角等与三角函数的综合，以及扇形的弧长和面积公式的考查，考查基本运算能力，题型以选择题、填空题为主.三角恒等变换在高考中重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数式的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变换研究函数的性质等.注意三角恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题，难度中等偏下.高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题.解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档.二、考纲要求1.任意角和弧度制、三角函数的概念和诱导公式（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互比.（2）理解并掌握同角三角函数的基本关系式.（3）掌握诱导公式及其应用.2.三角恒等变换（1）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）能进行简单的三角恒等变换.3.三角函数的图象与性质（1）理解三角函数的定义，掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值等性质及其应用.（2）了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义，理解参数A ，ω，ϕ的意义以及参数的变化对函数图象的影响.（3）会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.4.解三角形（1）掌握余弦定理、正弦定理.（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.三、方法技巧1.利用诱导公式化简求值的思路（1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.（2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错.2.弧长和扇形面积问题的解题策略（l ）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.（3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.3.三角函数定义问题的常见类型及解题策略（1）已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解.（2）已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.4.应用三角恒等变换公式的策略（1）正用三角函数公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律，如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”.（2）逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式.（3）注意和差角和倍角公式的变形.（4）三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用.5.解决三角函数的图象变换问题的基本方法（1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换自变量x ，如果x 的系数不是1，那么要先把x 的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向.（2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x 的系数变为一致，通过列方程求解.（3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数()f x ，()g x 的图象与x 轴的交点（如图象上升时与x 轴的交点），其分别为1(,0)x ，2(,0)x （1()0f x =，2()0g x =），则由21x x -的值可判断出左右平移的情况，由()()g x f x -的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.6.给值求值问题的解题策略从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.7..解给值求角问题的一般步骤（1）确定角的范围，根据条件确定所求角的范围.（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.（3）结合三角函数值及角的范围求角.8.利用三角函数处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性.（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.9.正、余弦定理判断三角形形状的方法（1）角化边：通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断.（2）边化角：通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系进行判断.10.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法（1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解，（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.（3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤（1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.（2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化.（3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果.（4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.12.几个典型三角形应用问题的处理方法.（1）求距离问题的注意事项：①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.（2）处理高度问题的注意事项：①在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键.②在实际问题中，可能会遇到空间与平面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.（3）测量角度问题的一般步骤：①在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；②用正弦定理或余弦定理解三角形；③将解得的结果转化为实际问题的解.。

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A ． B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，III 则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7=，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI （2）因为为锐角，所以．又因为，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则si nθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

高三数学解三角形试题答案及解析

高三数学解三角形试题答案及解析1.在△ABC中，，，则△ABC的面积为（）A．3B．4C．6D．【答案】A【解析】由已知，所以，，三角形的面积为，故选.【考点】1.平面向量的数量积；2.三角形的面积.2.在中，角所对的边为，已知，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．【答案】（1）;（2）或．【解析】（1）利用正弦定理对已知条件化简可求sinB，利用三角形的大边对大角可求B；（2）利用余弦定理可求a，b之间的关系，进而结合三角形的面积可ac，再把a，b的关系代入可求a，b的值．试题解析：（1），，或，，所以 4分（2）由解得或①又②③由①②③或 9分【考点】1.正弦定理;2.余弦定理.3.在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积为()A．16B．C．18D．32【答案】A【解析】如图，设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则即解得，或∴cos∠BAD＝＝，∴sin∠BAD＝，从而SABCD＝4×5×＝16．▱4.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ ac sin B＝ ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos .又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.5.在中，若，，，则的长度为 .【答案】【解析】∵，∴，又∵，，∴由余弦定理得：，∴，即的长度为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.6.设的内角所对的边长分别为,且满足（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，边上的中线的长为，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求角的大小，由于三角形的三边满足，含有平方关系，可考虑利用余弦定理来解，由余弦定理得，把代入，可求得，从而可得角的值；（Ⅱ）由于，关系式中，即含有边，又含有角，需要进行边角互化，由于，故利用正弦定理把边化成角，通过三角恒等变换求出，得三角形为等腰三角形，由于边上的中线的长为，可考虑利用余弦定理来求的长，由于的长与的长相等，又因为，从而可求出的面积．试题解析：（Ⅰ）因为,由余弦定理有，故有,又，即： 5分（Ⅱ）由正弦定理： 6分可知：9分，设 10分由余弦定理可知： 11分． 12分【考点】解三角形，求三角形的面积．7.在锐角中，，（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）当时，求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题考查正弦定理的边角转化，可求得，因为为锐角三角形，所以；（Ⅱ）本小题首先利用余弦定理建立边角关系，然后利用基本不等式得到，代入面积公式中可得面积的最大值为.试题解析：（Ⅰ），， 2分，故， 5分因为为锐角三角形，所以 7分（Ⅱ）设角所对的边分别为．由题意知，由余弦定理得 9分又，11分， 13分当且且当为等边三角形时取等号，所以面积的最大值为． 14分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.面积公式.8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b＝，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)；(2)面积的最大值为．【解析】(1)首先利用正弦定理将式子边化为角，化为只含有角的式子再利用三角形内角和定理及诱导公式即可求得角的大小（可以利用余弦定理把角化为边来求得角的大小）；(2) 根据余弦定理可得．由基本不等式可得的范围，再利用三角形面积公式即可求得面积的最大值．试题解析：(1) 根据正弦定理有即．即．（可以利用余弦定理把角化为边也可酌情给分）(2)根据余弦定理可得．由基本不等式可知，即，故的面积，即当时，的最大值为．（另解：可利用圆内接三角形，底边一定，当高经过圆心时面积最大）．【考点】1．利用正弦定理、余弦定理解三角形；2．求三角形的面积；3．均值不等式的应用．9.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，由余弦定理得，，，故选B.【考点】1.边角互化；2.余弦定理10.在中，分别为角所对的三边，，(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，角等于，周长为，求函数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据题目条件，容易联想到余弦定理，求出角； (Ⅱ)求函数的取值范围，这是一个函数的值域问题，需先找出函数关系式，因此要先把各边长求出来，或用表示出来，方法是利用正弦定理来沟通三角形的边角关系，求出函数关系式后，不要忘记求函数的定义域，根据函数定义域去求函数的值域，这显然又是一个三角函数的值域问题，可化为的类型求解.试题解析：(Ⅰ)由，得，3分又， 6分(Ⅱ)同理： 9分故，，. 12分【考点】正弦定理、余弦定理、三角函数的值域.11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为2，求b＋c．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6.【解析】(Ⅰ) 对于2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC通过三角恒等变换，再结合角的范围即可得；(Ⅱ)利用余弦定理、面积公式可求.试题解析：(Ⅰ) 由2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC，得2(cosBcosC＋sinBsinC)＋1＝4cosBcosC，即2(cosBcosC－sinBsinC)＝1，亦即2cos(B＋C)＝1，∴cos(B＋C)＝．∵0＜B＋C＜π，∴B＋C＝．∵A＋B＋C＝π，∴A＝． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得A＝．＝2，得bcsin＝2，∴bc＝8．①由S△ABC由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(2)2＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2＋bc＝28，∴(b＋c)2－bc＝28．②将①代入②，得(b＋c)2－8＝28，∴b＋c＝6． 12分【考点】解三角形，正、余弦定理，面积公式12.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.13.已知A、B、C为的三个内角且向量与共线.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角的对边分别是，且满足，试判断的形状．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.【解析】（Ⅰ）利用共线向量的坐标运算，二倍角公式，辅助角公式变形求得;（Ⅱ）根据余弦定理及已知条件求出边、的关系，再结合判断出结论.试题解析：（Ⅰ）∵与共线，∴3分得，∴. 6分（Ⅱ）方法1：由已知（1）根据余弦定理可得：（2） 8分（1）、（2）联立解得：，又. ，所以△为等边三角形， 12分方法2：由正弦定理得：，∴， 10分∴，∴在△中∠又. ，所以△为等边三角形， 12分方法3：由（Ⅰ）知，又由题设得：，在中根据射影定理得：， 10分，又，所以△为等边三角形， 12分【考点】共线向量的坐标运算，二倍角公式，余弦定理，正弦定理.14.在中，边、、分别是角、、的对边，且满足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求边，的值.【答案】（1）（2）或【解析】（1）由正弦定理和，得， 2分化简，得即， 4分故.所以. 6分（2）因为，所以所以，即. （1） 8分又因为,整理得，. （2） 10分联立（1）（2），解得或. 12分【考点】正弦定理和余弦定理点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。

专题3.3 解三角形(解析版)

专题3-3解三角形01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·（10-17）分）➢命题点1 正弦余弦定理基本应用➢命题点2 解三角形中三线问题➢命题点3 解三角形中周长面积问题➢命题点4 解三角形中最值范围问题高考猜题04创新好题·分层训练精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）解三角形是新高考中必考点，一般以1+1（一道小题一道解答题）或者是0+1（只出现一道解答）形式出现，往往放在解答题前两题，相对难度比较小。

真题多维细目表命题点1 正弦余弦定理基本应用命题点2 三角形中三线问题【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222b +-⨯⨯0，解得：13b =+，ABD ACD S S =+V V 可得，11对于解三角形中的出现的角平分线问题，方法技巧在于用等面积法进行转化，或者是采用角平分线定理（角平分线定理属于二级结论解答题中需要进行证明，小题中可以直接采用），对于求高有关的问题也是采用面积等于底乘以高转化成三角形中面积公式。

对于中线问题，一般思路是向量思想，小题中可以采用激化恒等式去求解。

命题点3 解三角形中周长面积问题所以9b c +=，所以ABC V 的周长为14a b c ++=.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系则C （2t,0），A （1，3），B （-t,0转化成基本不等式或者是关于二次函数去求解。

但是对于锐角三角形中，求长度或者是面积范围及问题，应采用边角转化思想，把边长问题转化成角度问题，再利用二次函数或者是辅助角公式去求解。

预计2024年高考会出现正弦余弦定理的基本应用及面积最值范围相关题目（★精选8道最新名校模拟考试题+8道易错提升）故选：D2．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知Vb=，则ABC2B A C=+，2二、填空题4．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）在为BC 边中点，若22,AD b =+【答案】422254BC AB ⋅⨯⨯所以21cos 22cos 18C C =-=，所以ABC ∠=因为BD 为ABC ∠的平分线，所以DBC ∠=所以()sin sin π2sin 2BDC C C ∠=-=，在BCD △中由正弦定理sin sin BC BDBDC C=∠，5BD 510三、解答题(1)求sin CAB∠；(2)证明：CAB CAD∠=∠．【答案】(1)217(2)证明见解析【详解】,,AC b BM BC λ==，则有AM = 由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=g ()(,0,1BC AM BC a b b λλ⎡⎤∴=-+⎣⎦g g二、填空题三、解答题6．（2023·河南·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC V 的面积记为S ，已知则()2214AE AC AB =+ ，所以()22217144b c bc c =+-=，解得因为ABC ABD ACD S S S =+V V V ，8．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）在sin sin sin sin a b B C c A B++=-.。

高考数学专项知识点：三角函数及解三角形(含真题)精选全文完整版

专题六三角函数及解三角形知识必备一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180 rad ；1rad ＝180°弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈2,0(，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin cos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、三角函数的图象及性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2( ，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2( ，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x R x ≠k π＋2}值域[－1，1][－1，1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解5．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．真题再现1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知πsin sin =3 （）1，则πsin =6（）A ．12B C ．23D 【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122，则：3sin cos 122 ，1sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数π()cos()6f x x 在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos 096，又4,09是函数 f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32 .所以函数 f x 的最小正周期为224332T故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =AB ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 4299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x 对称D ．f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D【解析】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2020年高考天津】已知函数π()sin(3f x x ．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π(2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x 的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x，所以周期22T，故①正确；51()sin(sin 122362f ，故②不正确；将函数sin y x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin(3y x 的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是A.30303sin tan n n nB.30306sin tan n n nC.60603sin tan n n nD.60606sin tan n n n【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n，每条边长为302sin n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ，其周长为3012tan n n，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n，则30303sin tan n n n.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x ）B ．πsin(2)3x C ．πcos(26x D ．5πcos(2)6x 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T ，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y 5322122k k Z ，解得： 223k k Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x.而5cos 2cos(2)66x x故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x.故答案为19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.9．【2020年高考江苏】已知2sin ()4 =23，则sin 2 的值是▲．【答案】13【解析】221sin ()cos )sin 2)4222Q 121(1sin 2)sin 2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x 的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】2（2,2k k Z均可）【解析】因为 cos sin sin 1cos f x x x x，2 ，解得sin 1 ，故可取2.故答案为：2（2,2k k Z均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知tan 2 ，则cos 2 _______，πtan(4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125，tan 1211tan(41tan 123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2(]3sin(2)6412y x x72()()122242k x k k Z x k Z 当1k 时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542【解析】设 OB OA r ，由题意7AM AN ，12EF ，所以5NF ，因为5AP ,所以45AGP ，因为//BH DG ，所以45AHO ，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r，72DQ r ，因为3tan 5OQ ODC DQ ，所以212522r r ，解得r等腰直角OAH △的面积为1142S；扇形AOB 的面积 2213324S，所以阴影部分的面积为1215422S S.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC △的面积；（2）若sin A C =2，求C .【解析】（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c ，解得2c （舍去），2c ，从而a .ABC △的面积为12sin1502．（2）在ABC △中，18030A B C C ，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C ，故sin(30)2C.而030C ，所以3045C ，故15C .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若3b c a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A ，即21cos cos 04A A ．所以21(cos 02A ，1cos 2A ．由于0A ，故3A ．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A．由（1）知23B C ，所以2sin sin()33B B ．即11sin 222B B ，1sin()32B ．由于03B ，故2B ．从而ABC △是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ，由余弦定理2222cos b a c ac B ，得29223455b ，所以b 在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C ，得=sin 45sin C，所以sin C（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ,所以ADC 为钝角，而180ADC C CAD ,所以C 为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C .因为4cos 5ADC，所以3sin 5ADC ，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC .从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C .【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(24A 的值．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c222cos 22a b c C ab ．又因为(0,π)C ，所以π4C ．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c sin 213sin 13a C A c ．（Ⅲ）由a c 及213sin 13A，可得313cos 13A ，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A ．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A；条件②：19cos ,cos 816A B ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ∵，11a b 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a ∵8a（Ⅱ）1cos(0,)sin77A A A∵，由正弦定理得：7sinsin sin sin2437a c CA C C11sin(118)8222S ba C选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816A B A B∵sin816A B由正弦定理得：6sin sin816a b aA B（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A11sin(116)62244S ba C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin0b A ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos B+cos C的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sinB A A，故sin2B ，由题意得π3B .（Ⅱ）由πA B C得2π3C A，由ABC△是锐角三角形得ππ(,62A .由2π1cos cos()sin322C A A A得11π113cos cos cos sin()(,]2226222A B C A A A.故cos cos cosA B C的取值范围是13(,]22.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac ，②sin 3c A ，③c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．222b c ．由①ac ，解得1a b c ．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c ．方案二：选条件②．由6C 和余弦定理得2222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．22232 ，由此可得b c ，6B C ，23A ．由②sin 3c A ，所以6c b a ．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c 方案三：选条件③．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．2222 ，由此可得b c ．由③c ，与b c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为，则C=（） A ． B ． C ． D ．2．在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=（）A ．4B ．C ．D ．2 3．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），若a 1＞1，则（）A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=，b=2，A=60°，则sinB= ，c= ．7．设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为．8．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ．三．解答题（共9小题）9．在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．10．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知bsinA=acos （B ﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．12．在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos ∠ADB ；（2）若DC=2，求BC ．13．设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．（1）设a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1对n=1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈（1，]，证明：存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d 的取值范围（用b 1，m ，q 表示）．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n+1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．15．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N*），{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N*），（i ）求T n ；（ii ）证明=﹣2（n ∈N*）．16．等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=﹣7，S 3=﹣15．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B． C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A ．3．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），若a 1＞1，则（）A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 4【解答】解：a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a 1＞1，设公比为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），不成立，即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成立，排除A 、D ．当q=﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，等式不成立，所以q ≠﹣1；当q ＜﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3）不成立，当q ∈（﹣1，0）时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），能够成立，故选：B ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12【解答】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2， ∴=a 1+a 1+d+4a 1+d ，把a 1=2，代入得d=﹣3∴a 5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B ．二．填空题（共4小题）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为 9 ．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c ，得+=1，得4a+c=（4a+c ）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a 时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=，b=2，A=60°，则sinB= ，c= 3 ．【解答】解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为 a n =6n ﹣3 ．【解答】解：∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，∴，解得a 1=3，d=6，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3+（n ﹣1）×6=6n ﹣3．∴{a n }的通项公式为a n =6n ﹣3．故答案为：a n =6n ﹣3．8．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ﹣63 ．【解答】解：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1，①当n=1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=﹣1，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1+1，②，由①﹣②可得a n =2a n ﹣2a n ﹣1，∴a n =2a n ﹣1，∴{a n }是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S 6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．（1）设a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1对n=1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈（1，]，证明：存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d 的取值范围（用b 1，m ，q 表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n ﹣b n |≤1对任意n=1，2，3，4均成立， ∵a 1=0，q=2，∴，解得．即≤d ≤．证明：（2）∵a n =a 1+（n ﹣1）d ，b n =b 1•q n ﹣1，若存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b 1+（n ﹣1）d ﹣b 1•q n ﹣1|≤b 1，（n=2，3，…，m+1），即b 1≤d ≤，（n=2，3，…，m+1），∵q ∈（1，]，∴则1＜q n ﹣1≤q m ≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b 1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值， ①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q ≤时，有q n ≤q m ≤2，从而n （q n ﹣q n ﹣1）﹣q n +2＞0，因此当2≤n ≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f （x ）=2x （1﹣x ），当x ＞0时，f′（x ）=（ln2﹣1﹣xln2）2x ＜0，∴f （x ）单调递减，从而f （x ）＜f （0）=1，当2≤n ≤m 时，=≤（1﹣）=f （）＜1，因此当2≤n ≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d 的取值范围是d ∈[，]．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n+1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，可得2a 4+4=a 3+a 5=28﹣a 4，解得a 4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q 的值为2；（Ⅱ）设c n =（b n+1﹣b n ）a n =（b n+1﹣b n ）2n ﹣1，可得n=1时，c 1=2+1=3，n ≥2时，可得c n =2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=4n ﹣1，上式对n=1也成立，则（b n+1﹣b n ）a n =4n ﹣1，即有b n+1﹣b n =（4n ﹣1）•（）n ﹣1，可得b n =b 1+（b 2﹣b 1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1） =1+3•（）0+7•（）1+…+（4n ﹣5）•（）n ﹣2， b n =+3•（）+7•（）2+…+（4n ﹣5）•（）n ﹣1，相减可得b n =+4[（）+（）2+…+（）n ﹣2]﹣（4n ﹣5）•（）n ﹣1=+4•﹣（4n ﹣5）•（）n ﹣1，化简可得b n =15﹣（4n+3）•（）n ﹣2．15．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N*），{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N*），（i ）求T n ；（ii ）证明=﹣2（n ∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2﹣q ﹣2=0． ∵q ＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d=4，由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d=16， ∴b 1=d=1．故b n =n ；（Ⅱ）（i ）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii ）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．【解答】解：（1）∵等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3． ∴1×q 4=4×（1×q 2），解得q=±2，当q=2时，a n =2n ﹣1，当q=﹣2时，a n =（﹣2）n ﹣1，∴{a n }的通项公式为，a n =2n ﹣1，或a n =（﹣2）n ﹣1．（2）记S n 为{a n }的前n 项和．当a 1=1，q=﹣2时，S n ===，由S m =63，得S m ==63，m ∈N ，无解；当a 1=1，q=2时，S n ===2n ﹣1，由S m =63，得S m =2m ﹣1=63，m ∈N ，解得m=6．17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=﹣7，S 3=﹣15．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n }中，a 1=﹣7，S 3=﹣15， ∴a 1=﹣7，3a 1+3d=﹣15，解得a 1=﹣7，d=2， ∴a n =﹣7+2（n ﹣1）=2n ﹣9；（2）∵a 1=﹣7，d=2，a n =2n ﹣9， ∴S n ===n 2﹣8n=（n ﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n 项的和S n 取得最小值为﹣16．。

高考文科数学二轮专项训练专题：03 三角函数与解三角形

3
9
9
5．已知 cosx 3 ，则 cos2x 4
1 A． 4
1 B． 4
1 C． 8
1 D． 8
cosx 3 cos2x 2 cos2 x 1 2 ( 3)2 1 1
D【解析】由
4得
4
8 ，故选 D
6．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 f (x) 2 cos2 x sin2 x 2 ，则
sin B sin A
2 sin A
2
sin A 3
10
，故选 D．
10
22． △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ，则 A=
A． 3π 4
B． π 3
C． π 4
D． π 二、填空题 6
【解析】由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A 2b2 2b2 cos A ，所以
即 sin(x ) ≥ 0 在区间[0, a] 上恒成立，当 x [0, a] 时， x [ , a ]，
4
44 4
所以 a ≤ ，即 a ≤ 3 ，故所求 a 的最大值是 3 ，故选 C．
4
4
4
8．(2018 全国卷Ⅲ)函数 f (x) tan x 的最小正周期为 1 tan2 x
A． 9 B． 9 C． 18 D． 24
【答案】C【解析】由题意知
g
x
sin(3x
3m
6
)
，因为
g
x 是奇函数，所以
3m k , k Z
m k , k Z
6
.解得 18 3
，因为 m 0 ，所以 m 的最小值为 18 .故选：C．

高考数学常考题型专题03 解三角形问题理

专题03 解三角形问题1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A 【解析】因为所以，选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.3．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==4．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．1．利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，结合三角函数及其他知识，考查三角形边、角、面积等的相关计算在选择题、填空题、解答题中均可能出现.2．解三角形问题一直是近几年高考的重点，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题逐渐成为高考的热点．指点1：利用正弦定理、余弦定理解三角形利用正弦定理、余弦定理解三角形时，要数形结合，画图分析其中的边角关系，合理使用公式.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.需注意：求角时要用“大边对大角”进行取舍.【例1】如图，在锐角中，为边的中点，且，为外接圆的圆心，且.（1）求的值；（2）求的面积.【解析】（1）由题设知，，∴，∴，.（2）如图，延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，∴，在中，，，，则，∴由余弦定理得，，即，解得，∴，∴.指点2：解三角形与其他知识的交汇1．解三角形与三角函数的交汇，不仅要用到解三角形的相关知识，还要用到三角公式进行恒等变形，对学生应用数学的思想进行分析与解决问题有较高的要求，因此是命题者非常喜欢的考查方式.2．解三角形与平面向量及不等式的交汇，往往用到向量的数量积、长度及坐标表示及基本不等式，求面积或其最值，要注意相关知识的综合应用. 【例2】已知为ABC △的内角，当5π12x =时，函数取得最大值．ABC △的内角，，的对边分别为，，．（1）求；（2）若，，求ABC △的面积．【解析】（1）．由题设知5πsin 16A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为，所以．（2）根据正弦定理得sin a A =，，．因为，所以．由余弦定理得得．因此ABC △的面积为．【例3】在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量sin ,A =n cos ),A 2+=m n .(1)求角A 的大小;(2)若b =,且c =,求ABC △的面积.【解析】(1)2+m n =()()22cos sin sin cos A AA A +++=)4cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =.(2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即()222π2cos4a =+-⨯,解得a =∴8c =,∴18162ABC S =⨯=△.1．在ABC △中,角的对边分别为,若,且,则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可知,,解得,即.故选B ．2．在ABC △中，，，则角的取值范围是A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为sin sin AB BCC A=，所以，所以，又，则必为锐角，故.3．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．1【答案】D 【解析】因为，所以，即，所以()2221cos ,0,π22b c a A A bc +-==∈，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==，故选D ． 4．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC=__________．【答案】25．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若ABC △的面积为S =,求ab 的最小值. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+=1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角(2)11sin ,.22S ab C c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又222234a b a b ab ab ∴=++≥，12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立. 故ab 的最小值为12.。

完整高中数学解三角形专题及例题

由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。
同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。
（１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
（２）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.
２．三角形解的个数．
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b和A），用正弦定理求B时的各种情况：
⑴若A为锐角时:
a?bsinA无解??a?bsinA一解(直角)?，如下图所示：?bsinA?a?b二解(一锐,一钝)??b一解(锐角)a3?已知边a,b和A?CCCCbbbbaaaaaAAAAHHB2BB1BHba?a<CH=bsinACH=bsinA<a<ba=CH=bsinA仅有一个解无解有两个解仅有一个解
正弦定理和余弦定理的综合问题
13abABCC＝8，，求最大角的余弦，例1三角形＝中，cos7＝14
ABCABC=6∶5∶∶sin4变式：在△，求最大角的余弦中，已知sin∶sin.
ABCabc＝6，判断三角形的类型＝10例2：在Δ，中，已知.
＝7，
222AABCacb是直角三角形?是直角????222AABCacb是钝角三角形????是钝角?
D．3∶1 C．1∶3∶2∶2
VV2oacb?60B?ABCABC一定是（，则3.在中，，）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形

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专题03 解三角形问题1．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin 4=，即1sin 2C =，因为c <a ，所以C<A ，所以π6C =，故选B ．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．（2018新课标全国Ⅲ文科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4πD ．6π【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.3．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________. 【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.4．（2018新课标全国Ⅰ文科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．1．利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，结合三角函数及其他知识，考查三角形边、角、面积等的相关计算在选择题、填空题、解答题中均可能出现.2．解三角形问题一直是近几年高考的重点，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题逐渐成为高考的热点．指点1：利用正弦定理、余弦定理解三角形利用正弦定理、余弦定理解三角形时，要数形结合，画图分析其中的边角关系，合理使用公式.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.需注意：求角时要用“大边对大角”进行取舍.【例1】如图，在锐角中，为边的中点，且，为外接圆的圆心，且.（1）求的值；（2）求的面积.【解析】（1）由题设知，，∴，∴，.（2）如图，延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，∴，在中，，，，则，∴由余弦定理得，，即，解得，∴，∴.指点2：解三角形与其他知识的交汇1．解三角形与三角函数的交汇，不仅要用到解三角形的相关知识，还要用到三角公式进行恒等变形，对学生应用数学的思想进行分析与解决问题有较高的要求，因此是命题者非常喜欢的考查方式.2．解三角形与平面向量及不等式的交汇，往往用到向量的数量积、长度及坐标表示及基本不等式，求面积或其最值，要注意相关知识的综合应用. 【例2】已知为ABC △的内角，当5π12x =时，函数取得最大值．ABC △的内角，，的对边分别为，，．（1）求；（2）若，，求ABC △的面积．【解析】（1）．由题设知5πsin 16A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为，所以．【例3】在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量sin ,A =n cos ),A 2+=m n .(1)求角A 的大小;(2)若b =,且c =,求ABC △的面积.【解析】(1)2+m n =()()22cos sin sin cos A AA A +++=)4cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =.(2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即()222π2cos4a =+-⨯,解得a =∴8c =,∴181622ABC S =⨯⨯=△.1．在ABC △中,角的对边分别为,若,且,则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可知,,解得,即.故选B ．2．在ABC △中，，，则角的取值范围是A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为sin sin AB BCC A=，所以，所以，又，则必为锐角，故π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.3．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．1【答案】D 【解析】因为，所以，即，所以()2221cos ,0,π22b c a A A bc +-==∈，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==，故选D ． 4．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD=2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC=__________．【答案】25．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若ABC △的面积为S =,求ab 的最小值. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+=1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角(2)11sin ,.222S ab C c ab ==∴= 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又222234a b a b ab ab ∴=++≥，12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立. 故ab 的最小值为12.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

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