分数布朗运动下的新型期权定价
分数布朗运动环境下一类新型期权定价的鞅分析
即 Ｘ（ ｓ ＋ ） 一Ｘ（ ） 是期 望 为 ０ 、 方差 为 Ｃ ２ ｔ 的 正态 分布， 则称 ｛ Ｘ（ ￡ ） ， ≥０ ） 是 布 朗运 动 ， 当ｃ 一 １时 ， 称 为标 准布 朗运 动 ， 记 为 Ｂ（ ￡ ） ［ 。 布 朗运动 具有 马尔 科夫 性 和鞅性 。
ｉ ｎ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ｂｒ ｏ ｗｎｉ ａ ｎ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｎｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎｔ
ＬＵ Ｓ ｈ ｕ — ｑ ｉ ａ ｎ ｇ ， Ｂ Ａ Ｏ Ｓ ｈ ｕ — ｘ ｉ ｎ
（ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ ，Ｄａ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ，Ｄａ ｑ ｉ ｎ ｇ １ ６ ３ ７１ ２，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
联合 分布 为 ｎ维 正 态 分 布 ， 则称 ｛ Ｘ（ ） ， ｔ ∈Ｔ｝ 为
正态 过程 ， 也称 Ｇｕ ａ ｓ ｓ 过程＿ ９ ］ 。
０ 引
言
１ 几何分数布 朗运动
定义 ｌ 若一个 随机过程 ｛ ｘ（ ￡ ） ， ≥Ｏ ） ， ｘ（ ） 是独立增量过程而且关于 ｔ 是连续函数
Ｖ Ｓ ， ｔ＞ ０ ， Ｘ（ ｓ ＋ ）一 Ｘ（ ￡ ）～ Ｎ （ ０， Ｃ ￡ ） ，
Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ － Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 期权定价 公式 自提 出后被 广 泛应用于金融理论 的期权定价 内容 中， 公式 中假 设股价的分布是对数正态分布 。而近年来对股票 市场的研究结果表明股票市场价格并不完全符合 正态分布 ， 而是呈现出“ 尖峰胖尾” 形态 ， 股价波动 不 是 随机游 走 的 ， 而是 存 在 着 长 期 的 自相 关 性 特 点， 这与几何 布朗运动有一定不 同。而分数 布朗 运动恰好具备长时间 自相关特征 ， 它能更好地描
混合双分数布朗运动下欧式期权的定价
混合双分数布朗运动下欧式期权的定价徐峰【摘要】提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动，用来刻画标的资产的价格，进行欧式期权定价的研究。
假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动，运用对冲原理建立混合双分数布朗运动环境下的欧式期权价值所满足的偏微分方程，并采用边界条件和变量代换的方法得到该偏微分方程的解，即欧式期权的定价公式，其结果可看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广。
%Assuming that the underlying asset is driven by the mixed bi-fractional Brownian motion,this paper proposes a partial differential equation formulation for valuing European option by hedge principle. Moreover, using the boundary condition and the method of variable substitution,we obtain the solution to this partial differential equation-the pricing formula for European option.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】混合双分数布朗运动;欧式期权;定价;长记忆性【作者】徐峰【作者单位】苏州市职业大学商学院，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.6传统的期权定价都是在假设标的资产服从几何布朗运动的基础上进行研究的，然而近年来大量的实证研究表明，金融资产的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布，而且其价格之间也并非是随机游走的，存在着长记忆性和自相似性等分形特征，这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场.分数布朗运动[1]已成为弥补上述模型缺陷最为简单的方法.但是，文献[2]指出分数布朗运动不是半鞅，许多研究者用不同的方法给出了分数布朗运动的离散逼近，并指出直接将分数布朗运动应用于金融环境将会产生套利机会[3-4]，这使得分数布朗运动似乎不适合用于刻画金融资产价格变化的行为模式.从而，部分学者开始研究修正的分数布朗运动，如混合分数布朗运动、双分数布朗运动等[5-6]，由于双分数布朗运动不仅具有自相似性和长记忆性的特征，而且在一定的限制条件下是半鞅，因此可以应用于期权定价领域.本文提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动，用来刻画标的资产(如股票)的价格，进行欧式期权定价的研究.本文的结果可作为混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.1.1 混合双分数布朗运动的定义与性质定义1 如果满足均值为0，协方差为则中心高斯过程称为混合双分数布朗运动，其中，σ，ε为两个常数，过程是双分数布朗运动，{Bt}t≥0是标准布朗运动，与独立，当K=1时，混合双分数布朗运动就退化成混合分数布朗运动；当时，混合双分数布朗运动就退化成双分数布朗运动.由定义易知，混合双分数布朗运动具有以下性质.性质1是HK-自相似的，即对任意α＞0，过程具有相同的分布；性质2 当具有长记忆性；性质3 当不是半鞅.这些性质的证明可见参考文献[6].1.2 模型假设对金融市场做如下假设：市场无摩擦，即交易费用为零，无税收，不存在无风险套利机会；没有对交易头寸方向的限制，允许买空卖空证券；无风险利率r为常数；标的资产(如股票)的价格变化过程St服从过程式中：μ表示标的资产的收益率.在以下研究中假设根据文献[7]易得到下面的引理.引理1 随机微分方程(1)的解为定理1 设Ct=C(t，St)是欧式看涨期权在t时刻的价格，股票价格满足方程(1)，则Ct满足偏微分方程证明构建一个买入一份期权C和卖空Δ份股票S的资产组合Π，即Π=C-ΔS，则选取适当的Δ使得资产组合Π在(t，t+dt)上是无风险的，即dΠ=rΠdt.令，则有即有定理2 假设到期日为T，履约价格为K，则混合双分数布朗运动下欧式看涨期权在任意时刻t∈ [0，T]的价格Ct为式中为标准正态函数.证明由定理1得Ct满足偏微分方程(3)，且边界条件为C(T，S)=(S-K)+.令S=ex，C=V(t，x)，则易得将上式代入式(3)，则有同时边界条件变为令则有将上式代入式(4)，则有式中边界条件为根据热传导方程经典解理论[8]，式(5)有唯一强解将边界条件代入可得11对式(6)做逆变换易得定理2成立.推论1 当K=1时，可得到混合分数布朗运动驱动下的欧式看涨期权在t时刻的价格为其中注1 该结论与文献[9](当n=1时)中得出的结果一致.注2 当ε=0时，推论1的结果即为双分数布朗运动环境下欧式期权的定价公式，与文献[10]的结果一致.采用类似的方法同样可以推导出欧式看跌期权的定价公式，不加证明地给出下面的定理.定理3 假设到期日为T，履约价格为K，则混合双分数布朗运动下欧式看跌期权在任意时刻t∈ [0，T]的价格Ct为式中为标准正态函数.本文假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动，利用偏微分方程的方法探讨了欧式期权的定价问题.采用混合双分数布朗运动刻画金融资产的价格变化过程在一定程度上比传统模型有所改进，可以看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.另外，混合双分数布朗运动也可以应用于探讨奇异期权(如重置期权、障碍期权等)的定价问题.【相关文献】[1] MANDELBROT B，VAN N J W. Fractional Brownian motion，fractional noises and application[J]. SIAM Review，1968，10：422-437.[2] LIN S J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion[J]. Stochastics and Stochastics Reports，1995，55(1/2)：122-140.[3] BENDER C，ELLIOTT R J. Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market[J]. Mathematics of Operations Research，2004，29(4)：935-945.[4] BJǒ R K T，HULT H. A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model[J]. Finance and Stochastics，2005，9(2)：197-209.[5] LEI P，NUALART D. A decomposition of the bi-fractional Brownian motion and some applications[J]. Statistics and Probability Letters，2009，79(5)：619-624.[6] RUSSO F，TUDOR C. On the bifractional Brownian motion[J]. Stochastic Processes and their applications，2006，116(5)：830-856.[7] ALOS E，MAZET O，NUALART D. Stochastic calculus with respect to Gaussian processes[J]. Annals of Probability，2001，29(2)：766-801.[8] 邵宇，刁羽. 微观金融学及其数学基础[M].北京：清华大学出版社，2008：663-674.[9] 徐峰，郑石秋. 混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型[J]. 经济数学，2010，27(2)：8-12.[10] 赵巍. 分形市场视角下的期权定价模型及其套期保值策略研究[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2013，36(11)：1388-1392.。
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。
2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。
二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。
2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。
三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。
2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。
3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。
四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。
混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究
混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究摘要:欧式期权定价一直是金融工程领域的重要研究方向之一。
本文探讨了在混合分数布朗运动假设下，对欧式期权进行模糊定价的方法和应用。
通过引入模糊随机变量的概念，将模糊集理论与分数布朗运动融合，建立了混合分数布朗运动下的欧式期权模糊定价模型。
通过数值实例分析，验证了该模型在欧式期权定价中的有效性和可行性。
1. 引言欧式期权是金融市场中的一种重要金融工具，在证券投资和风险管理中具有广泛的应用。
期权定价理论是金融工程研究的核心问题之一，传统的期权定价模型主要假设资产价格服从几何布朗运动，即假设价格演化满足随机游走的过程。
然而，这一假设存在许多问题，例如不能很好地描述价格波动的厚尾特征，忽视了极端事件的发生概率等。
为了解决这些问题，学者们提出了许多新型的资产价格模型，其中混合分数布朗运动模型是一种重要的创新。
混合分数布朗运动模型旨在克服几何布朗运动模型的局限性，它将长记忆过程和短记忆过程结合在一起，并通过参数调节分数布朗运动模型的漂移和扩散项，使得模型能更好地描述价格序列的波动特征。
在此基础上，本文引入模糊随机变量的概念，结合模糊集理论和混合分数布朗运动模型，研究了在这一框架下的欧式期权定价方法。
具体而言，我们将欧式期权的净现值视为模糊随机变量，并对其进行模糊建模和模糊推理，得到模糊随机变量的分布特征。
然后，通过求解对应的微分方程，得到了欧式期权的模糊随机变量的期望和变异数，从而完成了欧式期权的模糊定价。
2. 混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价模型2.1 混合分数布朗运动模型混合分数布朗运动模型是一种能够较好地描述资产价格波动的模型。
它可以同时考虑长记忆过程和短记忆过程对价格序列的影响，并通过参数调节模型的漂移和扩散项来适应市场的实际情况。
具体而言，混合分数布朗运动模型可以表示为以下形式的随机微分方程：dX(t) = μ(t)dt + σ(t)dW^H(t)其中，X(t)是资产价格的对数收益率，μ(t)是随时间变化的漂移项，σ(t)是随时间变化的扩散项，W^H(t)是分数布朗运动。
分数布朗运动和泊松过程共同驱动下的择好期权定价
（ 河北 工业 大学理 学院 ， 津 ，０ ４ １ 天 ３００ ）
摘 要 本 文讨论两资产择好期权 的定价 问题 。在风险 中性假设 下， 建立 了两资产价格过程遵循分数布朗运
动和 带非 时齐 Ｐｉ ｏ ｏ ｓｎ跳跃一 扩散 过程的择好期权定价模型 ， 用期权 的保险精算法 ， 出了相应的择好期权 ｓ 应 给
Ｌｉ ｎｇ ａ ｕ Ｄｏ ｙ ｎ
（ ｃｏｌ ｆ ｃ ｎｅ Ｈ ｂｉ ｍｖｍ￣ ｏ Ｔ ｃｎｌｇ ， ｉ ｊ ， ０４ １ Ｓ ｈｏ ｏ ｉ ｃ ， ｅｅ Ｕ ｅ ｉ ｆ ｅｈｏｏｙ Ｔａ ｉ ３００ ） Ｓｅ ｎｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔ ／ ｐ ｐ ｒｄ ａｓ ｗ ｔ ｈ ｐ ｏ ｒｃｎ ｆ ｅ ｅ —ｏ ｏ ｔ ｎ ．Ｉ ｅ ｎ ｕ ｒｌ ｉ ｋ ｗ ａｄ ｗ ｔ ｒ ｉ ａ ｅ— ｓｒ ｃ ｈｓ ａ ｅ ｅ ｌ ｉ ｔ ｅ ｏ ｔ ｎ ｐ ｉｇ ｏ ｂ ａ ｒ ｆ ｐ ｉ ｓ ｎ ｔ ｅ ｔａ —ｒ ｏ ｉ ａ ｂ ｔ ｇ ｈ ｉ ｉ ｏ ｈ ｓ ｈ ｒ ｆｅ ｒ ｃｐ ｅ ｈ ｐ ｉｎ ｐ ｃｎ ｄ ｌｏ ｅ ｅ —ｏ ｐ ｉｎ ｎ ｗｈ ｃ ｅｐ ｃ ｒ ｃ ｓｅ ｆｔ ｓ ｅｓ ａ ｅ ｄ ｖ ｎ ｂ ｒｅ ｐ ｎ ｉ ｌ ．ｔ ｅ ｏ ｔ ｒ ｉ ｇ ｍｏ ｅ ｆｂ Ｒ ｒ ｆ ｏ ｔ ｓ ｉ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ｓ ｏ ｉ ｏ ｉ ｏ ｈ ｉ ｗｏ ａ ｓ ｔ ｒ ｒ ｅ ｙ ｉ
ｄ ￡ ＝Ｐ（ ）（ ） Ｐ（） ｔ ｒ￡ Ｐ（ ）＝ １ ０
一 一
ｒ ｒＪ ●
ｒ ●如 ● Ｊ
（） ３
其中， （） 分别表示第 ｉ ｔ、 个股票期 望收益率 、 价格波动率 ， （）表示无 风险利率 ， ｒｔ （）＞０ ｒｔ ｔ ， ）＞０ 且均为可积函数 ， 为常数 ， 为大于零 的常数。 Ａ ） （ ， Ｂ （ 表示定义在完备 ｔ Ａ
基于分数布朗运动环境下期权定价的若干问题研究的开题报告
基于分数布朗运动环境下期权定价的若干问题研究的开题报告一、研究背景和意义现代金融理论中，期权定价理论一直是研究的重点之一。
期权定价问题主要是考虑买方和卖方在未来的时间内对资产价格波动的不同看法，而推导期权价格的表达式。
现有的期权定价理论包括布莱克-斯科尔斯模型、扩散模型、跳跃扩散模型等，这些模型多数都是基于几何布朗运动环境下建立的，然而实际情况中，市场上的资产价格往往呈现非对称布朗运动。
因此，基于分数布朗运动的期权定价问题研究，在现代金融学理论研究上有着重要的理论和实际意义。
分数布朗运动近年来成为了重要的可用于描绘非对称布朗运动的数学模型，其研究不仅对于理论研究有很大的推动作用，也对实际金融市场的投资决策具有重要的指导意义。
二、研究内容和方法本文将探讨基于分数布朗运动环境下期权定价的几个方向，主要包括以下几个方面：1. 基于分数布朗运动的期权定价模型构建：分数布朗运动是分数阶微分方程组成的随机过程，其特点是具有长记忆性、非马尔可夫性等特征，因此需要建立新的数学模型进行期权定价。
2. 基于分数布朗运动的期权定价理论研究：基于构建的模型，进一步进行期权定价理论的研究，探讨不同模型下的期权价格变化规律。
3. 基于分数布朗运动的期权定价的数值解算方法：由于分数布朗运动的难以解析性质，需要研究出适用于此类问题的解析和数值解法，保证研究过程的可计算性。
4. 基于分数布朗运动的期权定价及其应用的实证研究：通过实证研究来验证理论模型的有效性、适用性，并进一步探讨此类模型在金融市场中的应用价值。
在方法方面，主要采用随机控制方法、最优投资决策和偏微分方程等数学和统计学方法，以及计算机模拟和实证分析等方法。
三、研究预期成果和创新点本文的预期成果和创新点主要有以下几个方面：1. 建立基于分数布朗运动的期权定价模型，以期开发一种更为适用于现实市场的期权定价方法。
2. 探讨基于分数布朗运动的期权定价理论，丰富和完善期权定价理论体系。
基于分数布朗运动的期权定价模型与kospi200指数期权的实证研究
廖 威 胡天衡 宋铭 明
（ 江南期货经纪有限公 司， 广 东 深圳 ５ １ ８ ０ ５ ７ ）
摘要 ： 期 权 定 价 模 型 理 论 的研 究 对金 融 衍 生 品 这 一 金 融
一
、
基 于分 数 布 朗运 动 的 期权 定 价 模 型
任、 支持和理解 ， 提高销售业 绩。 自我心理暗示受诸多 因素影 响 ， 包括 自身因素和环境 因 学 和生 理学研究 ， 以及脑半 球偏侧性研究 ； 听知觉机制 的声 学 和心理物理学研究 ； 认知 心理研究 ； 音乐 能力 的心里推 测 素。大五模 型告诉我们 ， 人格 因素包括 五个 因素 ， 即包 括（ １ ） 量分析 ；音乐听赏 的审美和情感放米娜 的社会心理学研究 ； 神经 质 （ ２ ） 外 向性 （ ３ ） 开放性 （ 包括智力和文化两方 面 ： 兴趣 治疗 、 教育和工业等领域 的应用研究等 。 因此 ， 我有理由大胆 广 泛的 、 好奇 的 、 富于创 造性 的成为正 的一极 ； 保守 的 、 序轨 的假设 ， 营销人 员进行音乐 的熏 陶， 对于他们 工作效率 和工 道距 的 、 专深的称为负 的一级 ） （ ４ ） 宜人性 （ ５） 责任感 。 这个假设变成为一个销售 除了大五模型 ， 麦氏人格分析也可 以用 来研究 内省沟通 作质量 的提高有潜在的积极影 响。
具挑 战性的工作 ， 常常汇遇到 营销失败 的打击 。 所 以， 不论是 因素心里暗示进而对于工作效率 的影响 。 哪一个层 次的 自我暗示 ， 营销人员都需要用 积极的 自我 暗示 所谓音 乐心理学 就是以心理 学理论为基础 ，汲取生 理 来增加工 作信 心 ， 自我激励 ， 调 整 自我情绪 ， 摒弃 急功近利 的 学 、 物理学、 遗传学 、 人类 学 、 美学等有关理论 ， 采用 实验心理 心态 ， 设 身处地 为客户着想 ， 积极维 持和发胀 与客户 的长期 学 的方法 ， 研究 和解 释人类由原始到高级的音乐 经验和音乐 稳定 关系 ， 为开展有 效 的销售工作 打好基 础 ， 获得客 户 的信 行为 的心理学分支。 它包含有关音乐 知觉 的生物基础的神经
分数布朗运动环境中应用鞅方法定价欧式期权
权 支付 函数为幂型的 欧式期权 的定价 ， 到在分数布 朗运 动环 境下 ， 得 具有 不同借 贷利率的幂型 欧式看 跌期权 的定价公式． 丰富 了已有期权定价 结果 ， 使期权 定价公式更贴近 于实际．
关 键 词 ： 价 鞅 度 ； 数 布 朗运 动 ； 等 分 幂型 欧 式 期 权 中 图 分 类 号 ：８ ０ ９ Ｆ ３ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２— ９ ６ ２ １ ）４— ４ ３— ３ １７ ０ ４ （０ ０ ０ ０ ３ ０
第２ 卷 第４ ６ 期
２１ 年 ８月 ００
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｒ ｉ ｉｅｓ ｙｏ ｏ ｏ ｒ ａ ｂｎＵｎｖ ｒｉ ｆＣ ｍｍｅ ｃ Ｎ ｔｒ ｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ Ｈａ ｔ ｒｅ（ ａｕ ａ ｉ ｃｓＥ ｉｏ ） Ｓｅ ｉ
ｔ ｆ ｐ ｉｎ ｅ ｐ ｒ ｔ ｎ ｉ ｄ ｒ ｅ ａ ｏ ｕ ｃｉｎ ｆ ｒｔ ｅ ｐ ｗｅ ｆＥ ｒｐ ａ ｐ ｉｎ ｐ ｉ ｉ ｇ ｉ ｏ ｔ ｘ ｉ ｉ ｓ ｅ ｉ ｄ ｐ ｙ ｆ ｆ ｎ ｔ ｏ ｈ ｏ ｒ ｏ ｕ ｏ ｅ ｎ ｏ ｔ ｒ ｎ ｍｅ ｏ ｏ ａｏ ｖ ｏ ｏ ｃ
ｍｏ ｅ ，ｈｉ ａ ｅ ｂ ａｎ ｈ ｗｅ ａ ｏ ｆ ｒ ｐ ａ ｔｏ ｔｏ ｒｃｎ ｏｍ ｕ ａ ｗｉｈ ｄ ｆｅ — ｄ ｌ ｔ ｓ ｐ ｐ ｒｏ ｔｉ ｓ ｔ ｅ ｐｏ ｒｐ ｙ ｆｓＥｕ ｏ ｅ ｎ ｐｕ ｐ ｉｎ ｐ ｉｉ ｇ ｆ ｒ ｌ ｔ ｉｆｒ ｅ ｔＢｏ ｒ ｗ—ｅ ｄｉｇ ｒ ｔ ｎ ｔ ｅ ｅ ｖｒ ｎ ｅ ｔｏ ｒ ｃｉｎａ ｏ ｉ ｎ ｍ ｏｉ ｎ Ｉ ｅ ｉｃ ｈ ｘ ｓ— ｎ ｒｏ ｌｎ ｎ ａ ｅ ｉ ｈ ｎ ｉｏ ｍ ｎ ｆｆａ ｔｏ ｌＢｒ ｗｎ ａ ｔｏ ． ｔ ｎｒ ｈ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｉ ｇ ｏ ｔｏ ｒｃｎ ｅ ｕ ｔ ，ｗｈｉｈ ｍ ａ ｐｉ ｎ ｐ ｉｉ ｇ ｆ ｒ ｕ ａ ｍ ｕ ｈ ｃ ｏ ｅ ｏ ｔ ｅ ｆｃ ． ｎ ｐ ｉｎ ｐ ｉ ｇ ｒ ｓ ｌｓ ｉ ｃ ｋｅ ｏ ｔ ｒｃｎ ｏ ｍ ｌ ｃ ｌ ｓ ｒｔ ｈ ａ ｔ ｏ Ｋ ｅ ｏ ｄｓ： ｑ ｖ ｌｎ ａ ｔ ｇ ｌ ａ ｕｒ ｓ ｆａ ｔｏ ｌＢｒ ｗｎ ａ ｏｉ ｎ；ｐ ｗｅ ａ ｏｆ ｙｗ ｒ ｅ ｕｉａ ｅ ｔｍ ｒｉ ａ ｅ ｍｅ ｓ ｅ ； ｒ ｃｉｎａ ｏ ｉｎ ｍ ｔｏ ｎ ｏ ｒ ｐ ｙ ｆ Ｅｕ・ ｓ
分数布朗运动环境下亚式期权定价的新方法
朗运动随机分析理论可参见文献 ｆ， ．分数布 朗运动在金融 中的应用可见文献 ｆ ７． ３４ ］ ５ １ —
分类号： ＡＭ Ｓ２ ０） ０ １ ；０ ０ （００ ６Ｈ ０ ９Ａ ６
中图分类号： ８０ ； ２ １ ； ２３ Ｆ ３． Ｏ １． Ｏ １． ９ ６ ２
文献标识码： Ａ
１ 引言
亚式期权 是一种依赖标 的资产价格 路径 的期权 ，它在 到期 日的收益依赖于 期权整个有 效期 内标的资产 的平均价格 ，根据 取平均的方法亚式期权 可 以分为算术平均型和几何平均 型两种类
第２卷 第２ ９ 期
２ １ 年０ 月 ０２ ４
工
程
数
学
学
报 Байду номын сангаас
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ ９ ｏ２ ．
Ａｐ ．２ １ ｒ ０２
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭＡＴＩ Ｍ ＣＳ
文章编￣： ０—０５２１）２０７—６ １ ５３８（０ ２０—１３０ ０
收益依赖于有效期 内标的资产 的平均价格 ．这里主要研 究几何平均亚式看涨期权 ，它的损益为
ｅｐ ｘ
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其中
收稿 日期： ０ ００．７ 作者简介：孙玉 东 （９ ３ １月生） ２ １—５０ ． １８ 年 １ ，男 ，博士 ． 究方 向：随机 微分 方程与数理金融 研
分数布朗运动在期权定价中的应用研究
分数布朗运动在期权定价中的应用研究分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）因其在自回归和非平稳时间序列建模中的广泛应用而日益受到关注。
随着金融市场的日益复杂和风险的不断增加，分数布朗运动在金融领域中的应用也愈发重要。
在期权定价中，分数布朗运动的使用可以帮助金融从业者更准确地评估期权价值，降低风险。
本文将对分数布朗运动在期权定价中的应用进行研究探讨，主要从以下几个方面进行分析：一、分数布朗运动简介分数布朗运动是一种非平稳的随机过程，它是布朗运动的一种扩展形式。
与标准布朗运动不同的是，分数布朗运动的Hurst指数（Hurst exponent）不等于0.5，而是一个介于0和1之间的分数。
Hurst指数的值越大，即越接近1，分数布朗运动的长期相关性就越强。
在金融领域，分数布朗运动经常被用来建模资产价格，它可以捕捉市场中的长期依赖性和自相似性。
二、期权定价的基本原理期权定价是金融工具中的一种核心领域，它主要用来计算期权的合理价格。
期权定价的基本原理是基于期权的内在价值和时间价值。
内在价值是指期权当前的实际价值，即如果现在就行权，期权所能够给持有人带来的收益。
时间价值是指期权所含有的未来时间的价值，包括行权前能够在市场上实现的收益、市场风险以及其他因素。
三、分数布朗运动在期权定价中的应用1.基于分数布朗运动的期权定价模型分数布朗运动适用于各种金融产品的定价和风险度量。
基于分数布朗运动的期权定价模型是一种基于复合泊松过程和Hurst指数的模型，可以通过计算分数布朗运动的变差（variance）来获取期权价格。
分数布朗运动可以更好地描述市场中自相关性和自相似性的现象，从而更好地展现出实际市场的特征。
利用分数布朗运动进行期权定价可以更准确地预测期权价格，从而为金融从业者提供更准确的风险度量方式。
2.基于分数布朗运动的期权风险度量期权风险度量是评价期权风险的一种方法。
分数布朗运动模型可以提供更有效的风险度量方法，因为它可以更好地描述长期相关性和自相似性。
分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换
1 1 < H < 1 时, 分数布朗运动具有长程关联性 . 本文仅考虑 < H < 1 情形 . 2 2 (R ) , F , P ) 中的分数布朗运动, 其中, 8 = ∶S ′ (R ) 为 R 上的速 设 B H ( t) 为概率空间 (S ′ 减函数 Schw a rz 空间 S (R ) 的对偶空间.
S ( t) = s ( 0) exp rT -
Ρ2 2H t + Ρ B H ( t) 2
( 2. 4)
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
I S (T ) Ε K
( 3. 1)
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
20 期
肖艳清, 等: 分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换
我们可以通过选取不同于m的资产作为计价单位也能得到类似的等价鞅测度的方法对期权定价具体来说为一个无红利支付的资产价格过程则也可以用s使得在此测度下市场中的任何财富的价格过程相对利用这种思想研究了跳扩散模型并得到了随机利率的期权定价公式以及资产交换期权定价公式
第 38 卷第 20 期 2008 年 10 月 M A TH EM A T
定义 2. 1. 2 [ 5 ] 假设 G =
∑ ∫g
n= 0 R
n
∞
n
( s) dB H n ( s) ∈ .
∞
3
,.
3
为赋予归纳拓扑的随机分布空
分数布朗运动环境下的期权定价的开题报告
分数布朗运动环境下的期权定价的开题报告题目：分数布朗运动环境下的期权定价研究背景和意义：在金融市场中，期权作为一种常见的金融衍生品，其定价问题一直是金融领域研究的重点。
传统期权定价模型假设市场价格符合布朗运动过程，但实际市场中，由于市场中存在不确定性和复杂性，布朗运动模型对市场的描述力存在局限性。
因此，近年来，一些学者将分数布朗运动模型引入期权定价中，分数布朗运动是一种能够描述涨跌波动具有非局部和非马尔可夫性的数值模型，其研究对于提高期权定价的精度和解释市场现象具有重要意义。
同时，对于建立更为适用的金融衍生品市场风险管理方法，也有重要意义。
研究内容：本文旨在使用分数布朗运动的方法，对期权进行定价，研究分数布朗运动在期权定价中的应用。
具体内容包括：1.分数布朗运动的基础理论介绍，包括分数阶微积分、分数布朗运动的定义和性质等。
2.分数布朗运动在期权定价中的应用研究，包括将分数布朗运动应用到期权定价中的方法和步骤，以及对比传统布朗运动定价方法和分数布朗运动定价方法的优缺点。
3.使用实际市场数据，以某种特定的期权为例，对传统布朗运动定价方法和分数布朗运动定价方法进行对比研究。
根据研究结论，评估分数布朗运动模型在期权定价中的适用性和优劣。
研究方法：本文采用定量分析的研究方法，主要利用数学模型和数据分析工具对分数布朗运动模型的应用进行研究，进而探究在期权定价中的应用价值。
研究成果：通过本文的研究，可以对分数布朗运动模型在期权定价中的应用进行探究，揭示该模型的优势和局限性，为金融市场中的期权定价提供新的思路和方法。
同时，本文的研究结果还可以为金融机构的风险管理提供参考，对市场风险的有效监测和控制具有重要意义。
基于分数及混合次分数布朗运动的期权定价若干问题
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基于分数及混合次分数布朗运动的 期权定价若干问题
汇报人： 2023-12-02
目录
• 引言 • 分数布朗运动及其性质 • 混合次分数布朗运动及其性质 • 基于分数布朗运动的期权定价模型 • 基于混合次分数布朗运动的期权定价模型 • 期权定价模型的数值分析与应用 • 结论与展望
01 引言
研究背景与意义
混合次分数布朗运动能够更好地刻画金融市场的波动性和长期依赖性，从而为金 融衍生品定价和风险管理提供更准确的模型。
04 基于分数布朗运动的期权 定价模型
期权定价模型的基本框架
01
02
03
无套利原则
期权定价模型应当符合无 套利原则，即不能通过买 卖期权或其他金融工具获 取无风险利润。
风险中性概率
在期权定价模型中，通常 会构建一个风险中性概率 ，以消除实际概率对期权 价格的影响。
基于分数布朗运动的亚式期权定价模型
亚式期权
亚式期权是一种行权价格在到期日之前确定的期 权。
平均价格
亚式期权的价格通常由期权到期日之前的平均价 格决定。
定价公式
基于分数布朗运动的亚式期权定价模型通常由 Asian option formula 给出。
05 基于混合次分数布朗运动 的期权定价模型
基于混合次分数布朗运动的欧式期权定价模型
模型建立
在混合次分数布朗运动下，建立亚式期权定价模型，考虑了期权 价格的平均和波动情况。
模型求解
利用随机分析和数值计算方法，对模型进行求解，得到亚式期权价 格的计算公式。
模型应用
将模型应用于实际市场，对亚式期权进行定价，并与实际市场价格 进行比较，评估模型的准确性和有效性。
分数阶布朗运动在期权定价中的应用
分数阶布朗运动在期权定价中的应用摘要：标准布朗运动是一个平稳独立增量的随机过程。
基于这种简便性质，大量的文献利用标准布朗运动描述金融资产价格的动态过程。
各种的文献已经发现金融资产的动态过程不具有平稳独立的增量，而是展现出长期记忆性。
基于标准布朗运动对期权等衍生金融工具进行定价会产生显著的偏差。
分数阶布朗运动具有非独立的增量，即具有长期记忆性的分形特征。
利用分数阶布朗运动描述金融资产价格的动态过程，会更加符合真实市场状态，使得对期权等衍生金融工具进行定价有更高的精度。
因此，本文分析并总结了关于利用分数阶布朗运动进行期权定价的文献，为金融业界和金融监管机构提供决策依据。
关键词：分数阶布朗运动；期权定价；套利1.引言自Black 和 Scholes(1973)于1973年提出了期权定价的开创性工作，Black-Scholes (BS)模型，已有大量的研究集中于期权定价的研究，期权也在金融市场中被大量使用（例如，高管报酬期权、实物期权和可转换债券等）。
BS模型的假设之一是标的资产价格是由标准布朗运动描述的，即资产价格的动态过程为几何布朗运动。
而这一假设不符合真实市场的特征，市场中存在长期记忆性等分形特征。
分形模型可以更好地解释S&P500指数和外汇汇率的变动（Peters，1994），农业期货收益率也具有长期记忆性 (Corazza、Malliaris和Nardelli，1997)。
因此，Cont (2001)总结到，各种金融市场和产品显示出与金融中通常使用的统计方法相抵触。
换言之, 现实中的资产价格能够更好地由分数布朗运动进行建模, 因为分数布朗运动具有分形特征和长期记忆性。
因此, 在标准布朗运动下的对期权进行定价可能会导致次优投资决策。
本文分析了在分数阶布朗运动各类期权的定价研究，为资产管理公司、投资者和金融监管机构提供技术支持。
本文后面的安排如下：第二部分简单描述了分数阶布朗运动的定义。
第三部分讨论了在分数阶布朗运动环境下，金融市场中是否存在套利机会。
分数布朗运动环境下的双标的两值期权定价模型
关 键 词 ： 数 布 朗 运 动 ； 鞅 定 价 ； 数 Ｂ ａｋＳ ｈ ｌ 模 型 ； 分 拟 分 ｌｃ～ ｃ ｏｅ ｓ 两值 期 权
中图分 类号 ： ８ ０ ９ Ｆ ３ ．
文献 标识 码 ： Ａ
Ｐｒ ｃ ｎｇ Ｍ ｏ ｅ ｆ Ｂｉ ａ ｉ ｔ ｎ ｒ ｉｉ ｄ ｌｏ ｖ ｒ ａ ｅ Ｂｉ ａ ｙ Ｏｐｔｏ ｎ ＦＢＭ ｉ ｎｓ ｉ Ｅｎｖ ｒ ｎ ｅ ｉ ｏ ｍ ｎｔ
ｐ ｔ ｅ ｅ ｈ ｔｐ ｉｅｆ ｌ ｗｓｇ ｏ ｔｉ Ｂ ｔ ｏ ｓｒ ｃ ｈ ｔ ｒ ｃｉｎ ｌ ａ ｋ Ｓ ｈ ｌｓ ｍａ ｋ ｔ ｏ ｈ ｓ ｓｔ ａ ｒｃ ｏ ｌ ｅ ｍｅｒｃ Ｆ Ｍ ｏ ｃ ｎ ｔｕ ｔｔ ｅ ＩＳ ｆａ ｔｏ ａ ｃ — ｃ ｏｅ ｒ ｅ． ｏ Ｂｌ
分数 布 朗运 动 已成 为弥补 上述模 型 缺 陷最 为简 单 的
分数布朗运动驱动下带比例交易成本的期权定价
２１， ６２： ０—０ ０１ ２（） ２１２８
分数 布 朗运 动驱 动 下 带 比例交 易成本 的期权
定价
黄文礼， 李胜宏
（ 江大学 数 学系现代金融研 究室， 浙 浙江杭州 ３ ０２） １０７
摘
要：在标 的资产价格服 从几何分数布 朗运动模 型条件下， 用分数 布朗运动随机 利
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：００４２ （０ ０—２ １０ ｉ０．４４２ １）２００—８ １
§ 引 言 １
自从法 国数学家Ｂ ｃｅｅ（ ０年１ ａｈｌｒ１ ０ 关于债券价格运动 的研究 以来， ｉ ９ 产生了许多描述股票 价格收益行为的模型， ｓｏｎ （ ５年） Ｏ ｂｒｅ１ ９ 建议用正态分布随机变量来对股票价格建模．随后， ９
收稿 日期： ０ ００ —７ ２ １ —９１ 修回 日期： ０ ０ １— ０ ２ １ — ２２
基金项 目： 教育部重大项 目基金（００ ８ ３９ １）
２２ ０
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第２ ６ 期
加贴近实 际市场模 型， ｅ ｎ ［研 究了带交易成本的期权定价 问题． Ｌ ｌ ｄ３ ａ ］ 由于分数布 朗运 动的无限变
及尺度 参数等 能够很 好地刻画金 融市场波动性 、股票价格一般 行为过程及 资产收益率 的“ 尖峰 厚尾” 分布等 ， 由于分数布 朗运动 既不 是半鞅也不是 马尔科 夫过程， 以它 能够 描述 半鞅和马 氏 所
过程描述不 了的现象 ， 此外， 分数布 朗运动具 有的 自相似性和长期依赖性， 与人们对 金融市场直 观感觉是一致 的， 即未来某时刻股票的价格不仅与现在 价格有 关， 与过去相 当一段 时间的价格 还 有关．所 以说用分数布 朗运动驱动 的随机微分方程 来描述 资产 价格变化过程 更加切合 实际． 此 外， 在实 际金融 市场中， 投资者将面 临不可忽 视的交易成本， 考虑带交 易成本 的期权 定价问题更
分数布朗运动环境下上证50ETF期权定价的实证研究
分数布朗运动环境下上证50ETF期权定价的实证研究作者：程潘红来源：《经济数学》2019年第03期摘要合理的期权价格是期权交易的前提.基于上证50ETF期权的最新数据，运用经典的Black-Scholes定价模型、蒙特卡洛模拟期权定价方法和分数布朗运动定价模型对上证50ETF 期权价格进行实证研究.结果表明：分数布朗运动定价模型相比较经典的BlackScholes定价模型和蒙特卡洛方法在接近期权的实际成交价格时均方误差和均方比例误差更小，能够较为准确地、有效地模拟出上证50ETF期权的价格，从而对投资者的期权交易行为具有一定的指导作用，也为国内其他品种的期权定价研究提供参考.关键词金融工程;均方误差;均方比例误差;上证50ETF期权;分数布朗运动中图分类号 F830.9; O211.6 文献标识码 AAbstract Reasonable options price is the premise of options trading. This paper makes an empirical research of the SSE 50ETF option pricing by using the classic Black-Scholes pricing model， Monte Carlo simulation option pricing method and the fractional Brownian motion pricing model based on the latest data of the SSE 50ETF option price. The analysis results show that the fractional Brownian motion pricing model can more accurately and effectively simulate the SSE50ETF options price because of smaller mean square error and mean square proportional error. The research can provide guidance for investor s’ options trading behavior. In addition， it is helpful to study other varieties of domestic options.Key words Financial Engineering; Mean Square Error; Mean Square Proportional Error; SSE 50 ETF Options; Fractional Brownian Motion1 引言期权作为典型的金融衍生品（远期、期货、互换、期权）之一，具有悠久的发展历史.但现代意义上的期权是从1973年美国CBOE推出16只股票组成的股票期权开始[1].期权具备良好的价格发现、资产配置、风险度量与管理等功能.因此，各国为推进资本市场更加健康有序发展，不断的进行產品创新、制度创新与技术创新.中国金融期货交易所于2013年11月8日面向市场开展股指期权仿真交易，这是推出首个期权交易的关键一步.随后上海金融期货交易所、大连商品交易所、郑州商品交易所也陆续开展以期货为标的资产的期权仿真交易.上海证券交易所开展了股票期权的仿真交易，其中包括50ETF期权合约.该期权经过了一年的仿真交易，在众多仿真交易产品中脱颖而出.于2015年2月9日在上海证券交易所正式上线交易，这不仅宣告中国期权时代的到来，也表明我国典型金融衍生品已配备齐全.上证50ETF期权基于杠杆性、风险对冲及套利技术等特点受到投资者的青睐，在金融衍生品市场中拥有举足轻重的地位.如：在2015年6月29日央行降准降息的背景下，上证50ETF 期权并未出现大幅度反弹，交易依然活跃，流动性强，成交量与持仓量较前一个交易日均有所增加.但其标的资产上证50ETF，即上证50交易型开放式指数证券投资基金则约有0.97%的跌幅.期权作为市场上交易活跃的金融衍生品，是投资者进行套期保值、套利的有利保障，对完善资本市场体系具有重要作用.2 文献综述Black 和 Scholes （1973）[1]提出了著名的BS期权定价模型，该定价模型的诞生标志着现代期权理论的建立.纪琼（2015）[2]运用GARCH模型和BS模型对上证50ETF期权价格进行分析，得出GARCH模型对于小样本数据有着更好的拟合效果.乔克林和薛盼红（2016）[3]分别用经典BS模型和扩展BS模型（即标的资产支付离散红利）对上证50ETF期权进行定价实证研究，将模型结果与期权实际价格相比较，认为扩展BS定价模型更有效.方艳等（2017）[4]运用IGARCH、蒙特卡洛模拟、BSM模型对期权定价进行分析，发现IGARCH模型比GARCH模型能更好地拟合上证50ETF的波动率，BSM模型和蒙特卡罗模拟方法均可以较为有效地模拟出上证50ETF期权价格.以上学者研究期权定价均基于其标的资产的运动过程是由布朗运动驱动的假设背景.但在实际的金融市场中，标的资产价格运动过程具有长程相依性、自相似性以及“尖峰厚尾”现象.Elliott和Hoek （2003）[5]研究了赫斯特指数H在（1/2，1）情况下的分数布朗运动（fractional Brownian motion，简写为fBm）.Hu和Φksendal （2003）[6]通过Wick积分和分数白噪声进一步研究了分数布朗运动积分理论，并证明了It型分数BlackScholes市场无套利和完备性.Bender（2003）[7]将其推广到了任意赫斯特指数.Nualart （2006）[8]提出了分数BS模型，对经典BS模型做了改进.刘韶跃和杨向群（2002）[9]讨论了标的资产支付红利时分数布朗环境下欧式期权的定价公式及看涨看跌期权的平价关系.赵佃立（2007） [10]研究了分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价.李金秀（2014）[11]在假设无风险利率、标的资产红利均为时间的函数时，分析了分数布朗运动环境下欧式看跌期权的价格.李志广和康淑瑰（2016）[12]考虑了标的资产价格服从混合分数布朗运动，短期利率服从Vasicek 模型时，欧式期权价格满足的偏微分方程，并通过求解该方程得到期权的定价公式.刘文倩等（2018）[13]研究了混合分数布朗运动环境下的欧式障碍期权定价，得到了欧式障碍期权看涨看跌平价关系式，并根据敲入敲出障碍期权关系式推出障碍期权所有类型的定价公式.程志勇等（2018） [14] 考虑次分数布朗运动环境下支付连续红利时欧式期权的定价，并对定价模型中的参数进行估计，讨论了估计量的无偏性和强收敛性.由此，在分数布朗运动环境下对上证50ETF期权定价进行实证分析很有意义.运用分数布朗运动来刻画上证50ETF的运动过程，使用最新的上证50ETF期权高频数据，得到fBm环境下的期权价格.然后将3种定价模型得到的上证50ETF期权理论价格与实时市场价格进行比较，计算各自均方误差和均方比例误差，验证模型的有效性和稳健性.3 期权定价模型选择合适的定价模型对上证50ETF期权进行实证研究是目前学术界的一个重要研究方向.下面简要介绍三种常用的期权定价模型，即经典BS模型、蒙特卡洛模拟期权定价方法和fBm 模型.3.1 BlackScholes 定价模型经典BS模型[1]可通过风险中性定价方法或求解期权价格满足的偏微分方程来建立.经典BS定价模型的看涨和看跌期权的价格分别为从表6可以得到：当赫斯特指数H取值在0.51到0.53之间时，fBm定价比经典的BS模型、MC模拟期权定价更接近期权的实际成交价格.即fBm定价模型能够较好地模拟上证50ETF期权的价格，精确度较高，稳健性较好.给出了3种模型下上证50ETF看涨与看跌期权的理论价格与实际市场价格之间的比较图，如图1 和图2所示.3种模型模拟得到的上证50ETF看涨期权价格基本重合，但fBm模型下看跌期权的价格更为贴近实际市场价格.因此，fBm期权定价模型更为准确地、有效地模拟出期权的实际价格，这与运用MSE、MSPE评价标准得到的结论一致.5 结论将上证50ETF期权作为研究对象，运用分数布朗运动（fBm）刻画上证50ETF的运动过程，得到fBm定价模型，实证研究的结果表明相比较典型的BS定价模型、MC定价方法，fBm定价模型能够更有效地接近期权的实际价格.研究结论对合理预测上证50ETF期权有参考作用，可以为投资者提供参考.参考文献[1] BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Jornal of Political Economy， 1973，81（3）：637-654.[2] 纪琼.上证50ETF期权的定价研究[J]. 经营管理者，2015，29（24）：23-24.[3] 乔克林，薛盼红.基于最新数据的上证50ETF期权定价实证研究[J].延安大学学报：自然科学版，2016，35（4）：27-31.[4] 方艳，张元玺，乔明哲.上证50ETF期权定价有效性的研究：基于BSM模型和蒙特卡罗模拟[J].运筹与管理，2017，26（8）：157-166.[5] ELLIOTT R J， HOEK J V D. A general fractional white noise theory and applications to finance [J]. Mathematical Finance， 2003，31（2）： 301-330.[6] HU Y Z， KSENDAL B. Fractional white noise calculus and applications to finance [J].Infinite Dimensional Analysis Quantum Probability and Related Topics，2003，6（1）： 1-32.[7] BENDER C. An It; formula for generalized functionals of a fractional Brownian motion with arbitrary Hurst parameter [J]. Stochastic Processes and their Applications， 2003，104（1）：81-106.[8] NUALART D. Fractional Brownian motion. In： The Malliavin Calculus and Related Topics.Probability and its Applications [M]. Berlin： Springer Berlin Heidelberg， 2006.[9] 刘韶跃，杨向群.分数布朗运动环境中标的资产由红利支付的欧式期权定价[J].经济数学，2002，19（4）：35-39.[10]赵佃立.分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价[J].经济数学，2007，24（1）：22-26.[11]李金秀.分数布朗运动下的看跌期权定价[J].齐齐哈尔大学学报，2014，30（3）：90-94.[12]李志广，康淑瑰.混合分数布朗运动环境下短期利率服从Vasicek模型的欧式期权定价[J].数学杂志，2016，36（3）：641-648.[13]刘文倩，韦才敏，卜祥智. 混合分数布朗运动环境下欧式障碍期权定價[J]. 经济数学，2018，35（4）：16 -20.[14]程志勇，郭精军，张亚芳.次分数布朗运动下支付红利的欧式期权定价[J].应用概率统计，2018，34（1）：37-48.[15]上证交易所股票期权投资者教育专区.期权计算器[EB/OL]. （2013-11-8） [ 2018-11-01].http：///col/option/calc/#menu-list.[16]叶芳琴，刘文倩，林先伟.次分数布朗运动下带红利的两值期权定价[J].汕头大学学报（自然科学版），2019，34（1）：13-18.[17]SUN L. Pricing currency options in the mixed fractional Brownian motion [J]. Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2013，392（16）：3441-3458.。
分数布郎运动环境中期权定价模型的研究的开题报告
分数布郎运动环境中期权定价模型的研究的开题报告一、研究背景和意义随着金融市场的日益发展以及金融产品的不断创新，期权作为一种金融衍生品，其在金融市场上的应用日益广泛。
传统的期权定价方法大多基于欧式期权的条件，但在现实市场应用中，美式期权更加常见，而且与其它金融产品的联动性也更加明显。
因此，对于美式期权定价的研究具有重要的理论和实践意义。
分数布朗运动（Fractional Brownian Motion，FBM）是一种能够模拟具有长期记忆性的随机过程的数学模型，相比于布朗运动模型，FBM模型更能反映现实市场上的价格漂移和波动性。
因此，将分数布朗运动模型应用于期权定价中，不仅能更为准确地反映价格波动性的特征，还能提高期权定价的精度。
二、研究目的本文旨在探究分数布朗运动环境下的美式期权定价模型，具体目标为：1. 构建分数布朗运动下的美式期权定价模型，分析其特点和优势；2. 基于该模型，建立相应的数学模型，探讨模型在不同市场条件下的适用性和精度；3. 通过实证分析，验证所提出的模型的可行性和有效性。
三、研究内容和方法1. 研究分数布朗运动的基本理论和性质，掌握其在金融市场中的应用；2. 系统回顾已有的美式期权定价模型的研究成果，对各种常用的美式期权定价方法进行介绍和比较分析；3. 基于分数布朗运动，构建美式期权定价模型，采用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）方法解析模型，并计算得到相应的定价公式；4. 利用数值方法，如蒙特卡罗方法和有限差分法，对所提出的模型进行求解和分析，验证所提出的模型在不同市场情况下的适用性和定价精度；5. 最后，通过实证分析，采用实际市场数据验证所提出的美式期权定价模型的有效性和优越性。
四、预期结论和意义1. 基于分数布朗运动的美式期权定价模型能够更为准确地反映现实市场中的价格波动特征，提高期权定价的精度；2. 所提出的美式期权定价模型在不同市场条件下的适用性和精度均得到验证，具有一定的实用价值；3. 本文的研究结果能够为实践中的期权定价和风险控制提供理论支持和参考依据。
分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究
分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究摘要：分数布朗运动是一种非常重要的随机过程，在金融领域中有广泛应用。
本文通过分析分数布朗运动的特性，利用分数阶微积分理论构建了一种基于分数布朗运动的期权定价模型。
然后，通过数值方法对该模型进行了研究，并对期权价格与各影响因素之间的关系进行了分析。
研究结果表明，分数参数α的增大会使期权价格上升率加快，市场波动程度的增大会使期权价格下降率加快。
关键词：分数布朗运动、期权定价、分数阶微积分、数值方法、影响因素1. 引言分数布朗运动是一种能够更准确地反映金融市场波动特征的随机过程模型。
它通过引入分数阶微分算子，能够更准确地刻画金融资产的价格变化。
而传统的布朗运动模型在描述金融市场波动时存在着一定的局限性，因为它默认市场价格的变化是连续且标准正态分布的。
然而，真实的金融市场波动往往呈现出肥尾、长尾等非正态分布特征，这就需要引入更为灵活和准确的模型来进行定价。
2. 分数布朗运动的特性分数布朗运动是一种时间非齐次的随机过程，其漂移项和波动项都具有相关的分数阶微分特性。
它的性质与传统的布朗运动相似，但在更精细的尺度上有所不同。
分数布朗运动的波动项在各个时间尺度上表现出不同的长记忆特性，即过去的波动对未来的波动有持久影响。
这种长记忆现象在具有高度自相似性的金融市场中尤为显著。
3. 基于分数布朗运动的期权定价模型为了更准确地描述金融市场中的期权定价问题，本文基于分数布朗运动构建了一种新的期权定价模型。
模型中的分数布朗运动由分数阶随机微分方程表示，其中的马尔科夫性质和分数阶特性能够更好地刻画金融市场价格变动的特征。
模型的漂移项和波动项均与时间、空间的长记忆特征有关，充分考虑了分数布朗运动的非正态分布和波动特性。
4. 数值方法及定价算法为了求解基于分数布朗运动的期权定价模型，本文采用了数值方法，具体包括离散化方法和迭代求解方法。
首先，对模型中的分数阶微分方程进行离散化处理，然后利用迭代方法求解离散化后的方程。
混合双分数布朗运动下期权的定价研究
混合双分数布朗运动下期权的定价研究摘要：本文研究了混合双分数布朗运动下期权的定价。
首先，我们介绍了双分数布朗运动和混合双分数布朗运动的定义，分析了混合双分数布朗运动的性质，并给出了其表示式。
接着，我们介绍了Black-Scholes期权定价模型及其在标准布朗运动下的应用，然后将其扩展到混合双分数布朗运动下，并给出了相应的定价公式。
最后，通过实际数据的计算和模拟，验证了所得定价公式的正确性和可行性。
关键词：混合双分数布朗运动、双分数布朗运动、期权定价模型、Black-Scholes模型、定价公式Abstract：In this paper, we studied the pricing of options under the mixed fractional Brownian motion. Firstly, we introduce the definition of the fractional Brownian motion and the mixed fractional Brownian motion, analyze the properties of mixed fractional Brownian motion, and give its expression. Then, we introduce the Black-Scholes option pricing model and its application in the standard Brownian motion.Furthermore, we extend it to the mixed fractional Brownian motion and give the corresponding pricing formula. Finally, the correctness and feasibility of the obtained pricing formula are verified by calculating and simulating actual data.Keywords: mixed fractional Brownian motion, fractional Brownian motion, option pricing model, Black-Scholes model, pricing formulaOption pricing has become a critical issue in the financial market, as there is an increasing demand for financial instruments that can help manage and hedge financial risks. The Black-Scholes option pricing model is widely used to price financial derivatives such as options. The model assumes that the underlying asset follows a standard Brownian motion, which is characterized by its constant volatility and drift. However, in reality, the volatility and drift of financial assets may vary over time, and their behavior may not be accurately represented by standard Brownian motion.The fractional Brownian motion (fBm) offers a more flexible framework for modeling the behavior of financial assets. Compared to the standard Brownian motion, fBm allows for varying volatility and drift,and exhibits long-range dependence. The mixed fractional Brownian motion (m-fBm) is an extension of fBm that incorporates both long- and short-range dependence, and has been used to model the behavior of stock prices and other financial assets.In this paper, we present a pricing formula for options based on the Black-Scholes option pricing model, but with the underlying asset modeled by m-fBm. We derive the formula using Ito's lemma and the risk-neutral pricing approach, and show that it reduces to the standard Black-Scholes formula when the underlying asset is modeled by standard Brownian motion.To test the validity of the pricing formula, we apply it to actual data on stock prices and compare the results with those obtained using the standard Black-Scholes formula. We find that the pricing formula based on m-fBm provides a better fit to the observed prices, particularly in cases where the underlying asset exhibits long-range dependence.In conclusion, we have shown that the m-fBm provides a more flexible and accurate framework for modeling the behavior of financial assets, and can be used to develop pricing models for financial derivatives such as options. The pricing formula presented in thispaper demonstrates the feasibility and effectiveness of using m-fBm in option pricingIn addition to its applications in modeling financial assets, m-fBm has also been used in other fields such as image processing, speech recognition, and geology. Its ability to capture long-range dependence and multifractal properties makes it a valuable tool in studying complex systems.One potential future direction for m-fBm research isin the development of more complex and realistic models that incorporate additional factors such as jumps, stochastic volatility, and other forms of nonlinearity. These factors are often present in real-world financial markets and can have a significant impact on asset prices. Developing models that can accurately capture these dynamics could lead to better pricing and risk management strategies for financial instruments.Another potential area for future research is in the application of m-fBm to other types of financial instruments such as futures, swaps, and credit derivatives. While options are a popular focus for financial modeling research, there are many other types of financial instruments that can benefit fromaccurate pricing models.Overall, the use of m-fBm in financial modeling represents an important development in the field of quantitative finance. Its ability to capture long-range dependence and multifractal properties makes it a valuable tool for understanding and predicting the behavior of financial assets. While there are still many challenges to overcome in developing more accurate and realistic models, the potential benefits of using m-fBm in financial modeling make it a promising area for future researchOne area where the use of m-fBm in financial modeling could be particularly useful is in risk management. By accurately modeling the multifractal properties of financial assets, it would be possible to better understand the risk associated with different types of investments. This could help investors make more informed decisions and avoid potential losses.Another potential application of m-fBm in finance is in the development of trading strategies. By analyzing the long-range dependence of financial assets, it may be possible to identify patterns that can be exploited for profit. This could lead to the development of more effective trading algorithms and better investmentstrategies.However, there are also several challenges that needto be overcome in order to fully realize the potential of m-fBm in financial modeling. One major challenge is the lack of high-quality data. Multifractal analysis requires long and accurate time series data, which may be difficult to obtain in the financial markets. Additionally, there is a need for more sophisticated modeling techniques that can accurately capture the complex dynamics of financial markets.Despite these challenges, the use of m-fBm infinancial modeling has already shown promising results in several areas. Its ability to capture long-range dependence and multifractal properties make it a valuable tool for understanding and predicting the behavior of financial assets. As research in this area continues, it is likely that we will see further advancements in our understanding of financial markets and their underlying dynamicsIn conclusion, multifractional Brownian motions (m-fBm) have become an increasingly popular tool for modeling financial markets due to their ability to capturelong-range dependence and multifractal properties. While the use of m-fBm in financial modeling presentsseveral challenges, there have been promising results in predicting the behavior of financial assets. Further advancements in research are likely to provide a deeper understanding of financial markets and their underlying dynamics。
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一、 引言
金融市场中的交易品种可以是基本资产，例如，股票、债券或一种货币。交 易品种也可以是价格可从其他基本资产的价格间接衍生出的资产，此时，该交易 品种的资产即为金融衍生产品， 它所涉及的资产则称为标的资产。 金融衍生产品 的投资回报是由标的资产的价格决定的。由于，标的资产的种类有很多，因此， 在金融市场中，就形成了很多不同的金融衍生品，期权就是最基本的一种。期权 是一种持有者在到期时能以某一固定的执行价格购买或售出某种标的资产的权 力。而且这种权力是一种选择权，因此，期权持有者不负有必须购买或售出的义 务。也就是说，买方可以灵活选择是否执行。 按照不同的分类方法， 期权可以分为看涨期权和看跌期权，也可以分为欧式 期权和美式期权。除了欧式和美式这两种标准期权外，还有一些特殊期权，我们 称之为新型期权。 新型期权是比标准期权更复杂的金融衍生产品。 比较常见的有 双向期权，障碍期权，回望期权，混合期权，交换期权和亚式期权等。 期权定价是期权研究的核心问题之一， 也是金融领域数学应用最复杂的问题 之一。经典的 Black -Scholes 公式是期权定价的核心，它建立在有效市场的假 设上，即股票价格的波动相互独立，服从几何布朗运动，其对数收益率独立同分 布。但是对股票市场的大量研究表明，股票价格呈现出“尖峰肥尾”的特征，并 不符合对数正态分布，并且存在长期相依性，所以经典的 Black -Scholes 模型 不能够刻画这些性质。 1994 年， E.E.Peter 提出了分形市场假说， HuY， ksendal， ElliottR.J 和 VanderHoekJ 等建立了分数布朗运动下的随机积分以及相应的公 式，使模型更符合现实股价的运动特征。
三、分数布朗运动下新型期权的定价
（一）交换期权在分数布朗运动下的定价 所谓交换期权，是指假设投资者已经持有某种股票 B，如果投资者预测未来 另一股票 A 比股票 B 的表现更好，投资者就会想办法把股票 B 换成换成股票 A， 聪明的投资者就会购买一份交换期权来达到他的目的。可见，在到期日 T，该份
交换期权的收益为 max S������ ������ − ������������ ������ , 0 ，其中，S������ ������ 、������������ ������ 分别表示股票 A 和股票 B 在到期日 T 的价格。 这里的股票也可以是其他标的资产，可见，交换期权区别于标准期权的本质 特点是交换期权有两个标的资产，期权购买者有权在一定时间内，按照合约规定 的条件将一种资产转换成另外一种资产。 显然，在到期日 T，交换期权的收益结构为 ������ S1 T , ������2 T = S1 T − ������2 T S1 T > ������2 T 0 其它
������
������2 ������ ������������ ������(−������2 )
1 2 2 (������1 ������ − ������2 ������ )������������ + (������1 − ������2 )(������ 2������ − ������ 2������ ) /(������1 2
性质 5 对 H>2 ，������������ (t)有长期依赖性，即：若令 r(n)=E[������������ (1)(������������ (n+1)-������������ (n))]，则有
1
Hale Waihona Puke ������ = ∞；性质 6 对 H>2 ，������������ (t)有自相似性，即：若 a>0，则(������������ (at),t≥ 0)和 (������������ ������������ (t),t≥ 0)，具有相同的概率分布，其中(������������ (t),t≥ 0)是标准分数布朗运 动。 （二）分数伊藤公式 设������������ = ������ (S������ , ������)，V 是二元可微函数。若随机过程S������ 满足 dS������ = ������ S������ ������������ + ������S������ ������������������ ，则 dV������ =
������������ ������������ ������������
������������ + ������������ ������������������������ + ������������������������������ + 2 ������������ 2 2H������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ + ������������ ������������ + ������������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ 2 ������������ + ������������ ������������ ������������������
������ ������
= S1 t ������������������ − 其中 d = ������������ ������2 ������ + ������1 ������
������ ������
������
������1 ������ ������������ ������ −������1 − ������2 t ������������������ −
������������ ������������
������������
������ 2 ������
������������
证明：把������������ = ������ (S������ ,t)泰勒展开，有 dV������ =
1
������������ + ������������ ������������������ + 2 ������������ 2 (������������������ )2 + ������(������������������S������ ) + ������
2������
������������
1 ������ 2 ������
由于������������ ������, ������ = 2 ( ������
2������
− ������ − ������
2������
)，则 E[������������ ]2 = ������ 2������ ，
即(dB������ )2 近似为 2H������ 2������−1 ，所以 (������������������ )2 = (������������������������ + ������������������������������ )2 = μ2 ������������ 2 ������������ 2 + ������ 2 ������ 2 ������������������ 2 + 2������������������ 2 ������������������������������ = 2H������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ + ������(������������) 从而得到 DV������ = =
性质 3 性质 4
������������ = ������������ (������)������≥0 是高斯过程，E������������ 2 = ������ 2 ； ������������ = ������������ (������)������≥0 有连续轨线；
1 +∞ ������ =1 ������
其它其中S1 T , ������2 T 分别表示标的资产S1 , ������2 在到期日 T 时的价格，且分别 服从几何分数布朗运动，即
������������������ (������ ) ������������ (������ )
= ������������ ������ − ������������ ������ ������������ + ������������ ������ ������������������ ������
������������ ������������
+ ������������ ������������ + ������������ 2 ������ 2 ������ 2������−1 ������������ 2 ������������ + ������������ ������������ ������������������
������ = 1,2，
其中������������ ������ 和������������ ������ 分别表示资产������ 的期望报酬率和报酬率的标准差，������������ ������ 为红 利率。通过推导，本文得出如下结论： 设无风险利率 r(t)为非随机函数，考虑红利支付，在假设资产价格服从几 何分数布朗运动的条件下，交换期权在t ∈ 0, ������ 时刻的定价公式为 ������ S1 t , ������2 t , ������
2������
)的连续高
Hurst 指数 H(0<H<)的分数布朗运动，记为
������������ = ������������ (������)������≥0 。如果 H=2，那么������������ = ������������ (������)������≥0 就是标准的布朗运动 B(t)。 由这一定义得到分数布朗运动������������ = ������������ (������)������≥0 有下列性质： 性质 1B������ (0)=0，E[������������ (t)]=0 对于所有 t≥0 成立； 性质 2 ������������ = ������������ (������)������≥0 是平稳增量过程；