提公因式法(一)
数学：12.2提公因式法第一课时
解:12x2y+18xy2 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z) =3xy(4x+6y)
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
小结：提公因式法
1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；
2、 公因式的系数取多项式各项 系数的最大公约数 __________________; 3、 字母取多项式各项中都含有 相同的字母 的____________; 4、 相同字母的指数取各项中最 最低次数 小的一个,即_________.
a b
如果一个多项式的各项含有公因 式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做 提公因式法.
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4 各项的公因式是什么？
你是如何确定的？（小组总结）
确定公因式的方法： 1、定系数：公因式的系数是多项 式各项系数的最大公约数。
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
（2）把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式： 4ab2
提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？
互逆
分解因式要注意什么？ 1 分解的对象必须是多项式. 2 分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3 要分解到不能分解为止.
提公因式法
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例题：
显然，提公因式法也是需要一定技巧的。
再看一道例题：（y-x）^2+y-x =(y-x)^2+(y-x)=(y-x+1)(y-x) 确定公因式的方法：
确定公因式的一般步骤
（1）如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。
（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。
（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。
上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。
注意：
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如:
-9x^2+6xy= -3x(3x+2y)的错误。
口诀：找准公因式，一次要提净；若搬全家走，留1把家守；提正不变号，提负就变号。
4.2提公因式法(1)
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a3b2 –12ab3c + ab = ab· 8a2b - ab· 12b2 c +ab· 1 = ab(8a2b - 12b2c)
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因 式后剩余的项是1。
错误
2
ab( 2abc－1 )
（提取后括号内的多项式为整数系数） 1 1 1 2 3. m n－ mn2＋ mn 8 4 2
1 = mn(4m－2n＋1) 8
思考题 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
判断下列分解因式正确吗
2.3a²c-6a³c=3a²(c-2ac)
=2ab(4a²-6b²c+1)
我做得 对吗？
1.2x²+3x³+x=x(2x+3x²) X(2X+3X²+1) 3a²c(1-2a) 注意: 提取公因式后, (1)另一个因式不能再 含有公因式;(2)另一个因式的项数与原多项 式的项数一致.
2
ab( 2abc－1 )
（提取后括号内的多项式为整数系数） 1 1 1 2 3. m n－ mn2＋ mn 8 4 2
1 = mn(4m－2n＋1) 8
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
14.3.1提公因式法
解：原式=
= =
3 2 24 x ( 12x 28 x )
4 x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)
4 x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号。
利用因式分解简化运算
14.3.1
提供因式法
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
(1) x 2 x x( x 1) ( 2) x 1 ( x 1)(x 1)
2
(3)ma+mb+mc= m(a+b+c) (4) x2-6x+9= (x-3)2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积 的形式,这种变形叫做把这个多项 式因式分解（也叫分解因式）.
14.3.1
提供因式法
分解因式： (1)ax－ay； (2)－3ax ＋12ax －15ax； (3)2m(m－n) ＋6(n－m) ； (4)4x
n＋ 1 3 2 3 2
－12x ＋32x
n
n－ 1
.
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： 一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
说出下列各多项式的公因式： m (1)ma + mb ； 4k (2)4kx - 8ky ； 5y2 (3)5y3+20y2 ； (4)a2b-2ab2+ab . ab
最大公约数 一看系数
相同字母 二看字母
最低指数
三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
最大公约数
4
提公因式法练习题
（一）课堂练习 一、填空题1.把一个多项式___________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式_______。
2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。
(1)x 2-5xy_________ (2)-3m 2+12mn _________ (3)12b 3-8b 2+4b _________(4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。
(1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( )(3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q)(5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( )(6)-x 2+xy-xz=-x( )(7)21a 2-a=21a( ) 二、选择题1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）(A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4(C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）(A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y)(C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是 （ ）(A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y)(C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2+ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是 （ ）(A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 25.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是 （ ）(A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 36.把多项式-axy-ax y +2axz 提公因式后，另一个因式是 （ ）(A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于 （ ）(A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 28. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x1(x 2+2x) ④a 2-2ab+b 2=(a-b)2是因式分解的有 （ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 （二）课后作业1.把下列各式分解因式(1)9m 2n-3m 2n 2 (2)4x 2-4xy+8xz (3)-7ab-14abx+56aby(4)6x 4-4x 3+2x 2 (5)6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 (6)-4m 4n+16m 3n-28m 2n(7)x n+1-2x n-1(8)-2x 2n +6x n (9)a n -a n+2+a 3n2.用简便方法计算：(1)9×10100-10101(2)4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.73.已知a+b=2，ab=-3求代数式2a 3b+2ab 3的值。
第二章 第二节 提公因式法(一)
第二章第二节提公因式法（一）课时课题：第二章第二节提公因式法（一）授课教师：课型：新授课授课时间：2013 年 3月 20日星期三第五节教学目标：1、知识与能力：（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；（2）会用提取公因式法进行因式分解．2、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。
3、情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。
教学重点与难点：重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
难点：1、分解因式与整式乘法的区别和联系。
2、正确找出多项式各项的公因式。
教法与学法指导：利用“尝试指导，效果回授”教学法，通过情景引课，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识，逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力，充分发挥学生的主体作用，充分发表自己的见解，给予一定的时间和空间自主探究每一个问题。
课前准备：多媒体课件。
教学过程：教学程序问题与情境师生互动媒体使用与教学评价活动一创设情境，导入新课问题1：一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为15m ，22m ，13m ，宽都是10m ,求这块场地的面积.若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积是多少？问题2：开动脑筋，看谁有好方法算得快（1）已知：x=5，a-b=3，求ax2-bx2的值。
提公因式法(1)教案和教学反思
4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。
教学难点：确定多项式的公因式。
教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。
学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。
四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。
培养学生的初步归纳能力。
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。
学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。
简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。
（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法
初二数学上册：因式分解常见八种解题方法常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。
下面通过例题一一介绍。
一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂。
注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc 十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=、七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如: 14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
4.2-提取公因式法公开课(1)
第六章第2节《提取公因式法》【教学背景】“提取公因式法”是“浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。
（老教材本小节是分两个课时上的）【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。
它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。
例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。
利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。
（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。
）能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)3.7 =3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。
多项式的因式分解提公因式法 (1)
多项式的因式分解提公因式法一、知识概述因式分解与整式和分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.1、一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式，2、一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．3、几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．4、如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．5、提公因式的方法公因式的系数为各项系数的最大公约数，字母部分为相同字母的最低次数．如8x3y2－6x2y3＋2xy4的公因式为2xy2；用提公因式法分解因式的关键是准确地出公因式，解题步骤可概括为“一找、二分、三提、四查”.二、重难点知识1、对因式分解的理解(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆向变形.(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.(3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式的构成①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、提公因式时要一次提尽.添加括号时如果括号前面有负号，括号内的各项要变号．三、典型例题讲解例1、（1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．(x＋5)(x－5)=x2－25B．C．x2y－xy2=xy(x－y)D．15=3×5（2）下列各式的因式分解中正确的是（）A．－a2＋ab－ac=－a(a＋b－c)B．9xyz－6x2y2=3xyz(3－2xy)C．3a2x－6bx＋3x=3x(a2－2b)D．解析：（1）显然，A是乘法运算，不正确；B分解因式是将多项式分成几个整式的积，而右边有分式；D是常数，是单项式，不是多项式，不属于分解因式范围，所以C是正确的.（2）A．提－a后括号里面各项要变号，但第二、三项未变号.B．第二项没有公因式z.C．提3x后，括号里第三项还有因数1，掉了一项.D．是正确的.答案：（1）C；（2）D例2、分解因式：（1）.(2).分析：(1)由于两项、中都有公因式，因此可提取.(2)多项式中各项字母没有相同的，因此只需提出系数公约数即可. 解：(1)=.(2)=.点评：（1）当公因式是单项式时，一定要注意取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；(2)对于数字系数，提出的系数应是多项式中各项系数的最大公约数.很多同学在分解因式时容易忽略数字系数的处理，以致于造成分解不彻底的错误.（3）提公因式后，一定要注意括号内的项数与原多项式的项数在合并同类项之前是相同的，不能漏项，尤其是将整个一项作为公因式提取后，这一项就变为1.例3、把下列各式分解因式：(1)6x4y2－12x3y＋27x2y3；(2)－x4y＋x3y2－x2y3；(3)x n＋3x n－1＋x n－2；(4)5(x－y)3＋10(y－x)2；(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1).分析：分解因式时，首先要看多项式各项有无公因式，若有公因式，应先提取公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，如果系数为整数，应该提各项系数的最大公约数；字母考虑两点：一点是取各项相同的字母，一点是各项相同字母的指数取最低的；公因式提出后，剩下的因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为剩下的因式.一个多项式中的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意用整体思想去观察分析多项式，关于幂的底数的符号与指数有如下规律：解：(1) 6x4y2－12x3y＋27x2y3＝3x2y·2x2y－3x2y·4x＋3x2y·9y2＝3x2y(2x2y－4x＋9y2)(2)－x4y＋x3y2－x2y3＝－(x4y－x3y2＋x2y3)＝－(x2y·x2－x2y·xy＋x2y·y2)＝－x2y(x2－xy＋y2)(3)x n＋3x n－1＋x n－2＝x n－2·x2＋x n－2·3x＋x n－2·1＝x n－2(x2＋3x＋1)(4)5(x－y)3＋10(y－x)2＝5(x－y)3＋10(x－y)2＝5(x－y)2(x－y＋2)(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1)＝m[(5ax＋ay－1)－(3ax－ay－1)]＝m·(5ax＋ay－1－3ax＋ay＋1)＝m(2ax＋2ay)=2ma(x＋y)例4、不解方程组求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值.分析：先把7y(x－3y)2－2(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入. 解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3=7y(x－3y)2＋2(x－3y)3=(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=(x－3y)2(2x＋y)∵2x＋y=6，x－3y=1，∴原式=12×6=6．点评：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用．例5、求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除．分析：先把32000－4×31999＋10×31998因式分解证明：∵32000－4×31999＋10×31998=31998×(32－4×3＋10)=7×31998∴32000－4×31999＋10×31998能被7整除．在线测试一、选择题1、在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A．－5x2y3=－5xy(xy2)B．x2－4－3x=(x＋2)(x－2)－3xC．ab2－2ab=ab(b－2)D．(x－3)(x＋3)=x2－92、49a3bc3＋14a2b2c2－21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）A．7abc2B．7ab2c2C．7a2b2c2D．7a3bc33、已知二次三项式x2＋bx＋c 可分解为(x＋α)(x＋β)，下面说法中错误的是（）A．若b＞0，c＞0，则α、β同取正号B．若b＜0，c＞0，则α、β同取负号C．若b＞0，c＜0，则α、β异号，且正数的绝对值小于负数的绝对值D．若b＜0，c＜0，则α、β异号，且负的一个数的绝对值较大4、因式分解(x－y)2－(y－x)应为（）A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1)C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1)5、把多项式3m(x－y)－2(y－x)2分解因式的结果是（）A．(x－y)(3m－2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)C．(x－y)(3m＋2x－2y) D．(y－x)(2x－2y＋3m)6、在下列各式中：①a－b=b－a；②(a－b)2=(b－a)2；③(a－b)2=－(b－a)2；④(a－b)3=(b－a)3；⑤(a－b)3=－(b－a)3；⑥(a＋b)(a－b)=(－a＋b)(－a－b).正确的等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、在分解－5x3(3a－2b)2＋(2b－3a)2时，提出公因式－(3a－2b)2后，另一个因式是（）A．5x3B．5x3＋1C．5x3－1 D．－5x38、下列各组代数式中没有公因式的是（）A．5m(a－b)与b－a B．(a＋b)2与－a－bC．mx＋y与x＋y D．－a2＋ab与a2b－ab2 9、下列各题因式分解正确的是（）A．3x2－5xy＋x=x(3x－5y)B．4x3y2－6xy3z=－2xy2(2x2－yz＋3)C．3ab(a－b)－6a(a－b)=3(a－b)(ab－2a)D．－56x3yz＋14x2y2z－21xy2z2=－7xyz(8x2－2xy＋3yz)10、把3a n＋2＋15a n－1－45a n分解因式是（）A．3(a n＋2＋5a n－1－15a n)B．3a n(a2＋5a－1－15)C．3a n－1(a3＋5－15a－1)D．3a n－1(a3＋5－15a)重 做提 示B 卷二、解答题。
沪科版数学七年级下册《提公因式法》教学设计1
沪科版数学七年级下册《提公因式法》教学设计1一. 教材分析《提公因式法》是沪科版数学七年级下册的一个重要内容。
这一部分的内容主要让学生掌握提公因式法的基本概念、方法和应用。
通过提公因式法的学习，学生可以更好地理解和掌握因式分解的技巧，为后续的因式分解和方程求解打下基础。
二. 学情分析学生在学习《提公因式法》之前，已经学习了有理数的运算、整式的乘法等相关知识。
他们对于数学的基本概念和运算规则有一定的了解，但提公因式法作为一种新的解题方法，对于他们来说还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握提公因式法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解提公因式法的概念，掌握提公因式法的基本步骤和方法，能够运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生主动探索提公因式法的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的实用性和美感。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的概念和步骤。
2.难点：如何正确选择公因式，以及如何运用提公因式法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，引导学生积极思考，自主探索提公因式法的规律。
3.小组合作学习法：学生进行小组讨论和实践，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关教学素材，如PPT、例题、练习题等。
2.准备教学课件，包括提公因式法的概念、步骤和方法等。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，如“分解因式：x^2 - 5x + 6”，引导学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现提公因式法的概念、步骤和方法。
3.2提公因式法(1)
解： 2a(b+c)－3(b+c)
= (b+c)(2a-3)
注意：公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是多项式
先分解因式，再求值
4a2（x+7）-3（x+7） 其中a=-5 x=3
解： 4a2（x+7）－3（x+7） = （x+7）（ 4a2 －3） 当a=－5，x=3时， 原式=（3+7）〔4×（－5）2－3〕 =10×(100 －3) =970
例1: 找出3 x
2
– 6 x 的公因式。
x 系数：各项系数的 字母： 各项 最大公约数。
的相同字母
3
1 指数：相同字母
的最低次幂
所以，公因式是3x
指出下列各多项式中的公因式
①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4 3 3 3 ④x y +x y ⑤12x2yz-9x3y2
一、计算：(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2)
二、计算下列各式 (1) ( x 3)( x 3)( x 9);
2
(2) (2 x 3) (2 x 3) ;
2 2
(3) ( x y 4)( x y 4).
(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2)
课堂小结
本节课你学到了些什么？有哪些收获？
把下列各式分解因式 ⑴ x2+x6 ； 解: x2+x6 =x2(1+x4) ⑶ 12xyz-9x2y2. 解：12xyz-9x2y2 =3xy(4z-3xy) ⑵ 8m2n+2mn； 解：8m2n+2mn =2mn(4m+1)
提公因式法
提公因式法(一)教学目标1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.教学重点：因式分解的概念及提公因式法．教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．教学过程设计：一、复习提问乘法对加法的分配律．二、新课1．新课引入：用类比的方法引入课题．在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．2．因式分解的概念：请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．再请学生观察它们有什么共同的特点？特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）(1)x2-x＝x(x-1) (√)(2)a(a-b)＝a2-ab (×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×) (5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)下面我们学习几种常见的因式分解方法．3．提公因式法：我们看多项式：ma+mb+mc请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．注意：公因式是各项都含有的公共的因式．又如：a是多项式a2-a各项的公因式．ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．根据乘法的分配律，可得m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式ma+mb+mc＝m(a+b+c)．这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：(1)ax+ay+a (a)(2)3mx-6mx2 (3mx)(3)4a2+10ah (2a)(4)x2y+xy2 (xy)(5)12xyz-9x2y2 (3xy)例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2 解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．说明：(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．例4 把3x2-6xy+x 分解因式．分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1＝x(3x-6y+1)．说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．课堂练习：（投影）把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(3)3x3+6x2；(4)21a2+7a；( 5)15a2+25ab2；(6)x2y+xy2-xy．例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．解：-4m3+16m2-26m＝-(4m3-16m2+26m)＝-2m(2m2-8m+13)．说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．课堂练习：（投影）把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；(三)小结1．因式分解的意义及其概念．2．因式分解与整式乘法的联系与区别．3．公因式及提公因式法．4．提公因式法因式分解中应注意的问题．六、作业七、板书设计。
提公因式法练习题
提公因式法（1）（一）课堂练习 一、填空题1.把一个多项式___________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式_______。
2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。
(1)x 2-5xy_________(2)-3m 2+12mn_________(3)12b 3-8b 2+4b_________(4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。
(1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q)(5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( )(6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)21a 2-a=21a( ) 二、选择题1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）(A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4 (C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 （ ） (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y) (C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是 （ ）(A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y) (C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2+ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是 （ ） (A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 25.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是 （ ）(A)2x 2y 2-4x 3y(B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4(C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3(D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 36.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是 （ ）(A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于 （ ） (A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 2 8. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x1(x 2+2x) ④a 2-2ab+b 2=(a-b)2是因式分解的有 （ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 （二）课后作业 1.把下列各式分解因式(1)9m 2n-3m 2n 2 (2)4x 2-4xy+8xz (3)-7ab-14abx+56aby(4)6x 4-4x 3+2x 2 (5)6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 (6)-4m 4n+16m 3n-28m 2n(7)x n+1-2x n-1 (8)-2x 2n +6x n (9)a n -a n+2+a 3n2.用简便方法计算：(1)9×10100-10101 (2)4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.73.已知a+b=2，ab=-3求代数式2a 3b+2ab 3的值。
（完整版）提公因式法分解因式典型例题
（完整版）提公因式法分解因式典型例题因式分解（1）⼀知识点讲解知识点⼀：因式分解概念：把⼀个多项式化为⼏个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是⼏个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反⽅向的变形知识点⼆：寻找公因式1、⼩学阶段我们学过求⼀组数字的最⼤公因（约）数⽅法：（短除法）例如：求20,36,80的最⼤公（约）数？最⼤公倍数？2、寻找公因式的⽅法：（⼀）因式分解的第⼀种⽅法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外⾯，把多项式转化成公因式与另⼀个多项式的积的形，这种因式分解的⽅法叫做提公因式法。
2.符号语⾔：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另⼀个因式（依据多项式除以单项式）公因式原多项式另⼀个因式=4.注意事项：因式分解⼀定要彻底⼆、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326?=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A 、15123-=-+x y x B 、2 249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式⼦中，从左到右的变形是因式分解的是（） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（） A 、)(5b a m -与a b - B 、2 )(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式⼦：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
9-13提公因式法(第1课时)(作业)(夯实基础能力提升)(解析版)
9.13提公因式法(第1课时)(作业)(夯实基础+能力提升)【夯实基础】一、单项选择题1. (2022・上海・新中初级中学七年级期末)以下四个式子从左到右的变形是因式分解的为()(x-y) C-x-y') =)2-fA. 12a2 护=2a2・6b'f-81)，4= (f+9)W) (x+3y) (x-3y)B. (fl2+2«) 2-8 (a2+2a) +12= (a2+2a) (*+2。
-8) +12【答案】C【分析】根据因式分解的定义，即可求解.【详解】解：A选项，D选项，等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，不符合题意；B选项，左边不是多项式，所以不是因式分解，不符合题意；C选项，符合因式分解的定义，符合题意；应选：C.【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键.2. (2021・上海黄浦•七年级期中)以下各式从左到右的变形是因式分解的是()A. or+法+c= (a+力)x+cB. (〃+力)(a ・ b) =a2 - b2C. (a+b) 2=a2-\-2ab-\-b2D. a2 - 5a - 6= (a-6) (a+1)【答案】D【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解：A、ax+bx+c= (a+A)x+c,等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、+〃)(a・b) =a2 - b2,等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、(〃+/，)2=.2+2＜活+〃，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；。
、«2 -- 6= (〃-6) (〃+1),等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；应选：D.【点睛】此题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式= -xy(x-y).故答案为：-外"一5).【点睛】此题主要考查了因式分解，得出公因式-xy是解答此题的关键.4. (2021•上海黄浦•七年级期末)分解因式：x2 - 4x=_.【答案】x (x-4)【详解】解：x2- 4x=x (x-4).故答案为：x (x-4).三、解答题(2020•上海市梅陇中学七年级期中)8(〃? + 〃尸-2(〃? +〃)(/〃-〃)【答案】2(/〃++5")【分析】先提公因式2 (m+n),再化简计算即可解答.【详解】解：原式=2 (m+n) [4(m+n) - (m - n)]=2(m+n)(4m+4n - m+n)=2(m+n)(3m+5n).【点睛】此题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键.5. (2020・上海市静安区实验中学七年级课时练习)因式分解：(x + y)2(x-y) + (x +)，)(y-x)2【答案】2x(x+y)(x-y) 【分析】先将(y-xf改写成(x-y)2,然后利用提公因式法进行分解即可.【详解】(x+y)2(x-y) + (x+y)(y — x)2=(x+»(x- y)+(x+ A(x- y)2=(x+y)(x-y)[(x+y)+(X—y)]=(x+y)(x-y)(x+j+x-y)= 2x(x+y)(x-)，).【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是解题的关键.6. (2021 •上海,七年级期中)因式分解：-6w/n3+ 4n2m-2nm【答案】-2/w?(3w2-2/7 + 1)【分析】直接运用提公因式法，提出(-即可.【详解】解：-6nm3 + 4n2m- 2run=—2/?/??(3/n2— 2n +1)【点睛】考核知识点：因式分解.掌握提公因式法，找出公因式是关键.的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.3. (2021•上海市南洋模范初级中学七年级期中)以下四个式子从左到右的变形是因式分解的为()(x - y) ( - x - y) =y2 - x2A. a2+2ab+b2 - 1 = (a+b)2- 1/-81产=(«+9.)2) (x+3)，)(x - 3y)D. (a2+2a) 2-S (/+2a) +12= (/+2a)- 8) +12【答案】C【分析】根据因式分解的定义判断即可.把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.【详解】解：A选项，8,。
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第四章因式分解
2．提公因式法（一）
总体说明
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学情分析
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．二、教学任务
根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固．因此，本课时的教学目标是：
知识与技能：
（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；
（2）会用提取公因式法进行因式分解．
数学能力：
（1）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；
（2）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．
情感与态度：
进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．
教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。
教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。
三、教学过程
本节课设计了七个教学环节：温故知新——想一想——议一议——试一试——做一做——想一想——反馈练习．
第一环节 温故知新
活动内容1：
教师活动：计算：28
59851585⨯+⨯⨯-采用什么方法？依据是什么？ 学生活动：
设计意图：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。
活动内容2：如图：两个长和宽分别为a 和m ，b 和m 的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？
学生计算：
ma mb m (a b )+=+
师：认真观察等式两边各有什么特点？
设计意图：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．
2859851585⨯+⨯⨯-()291585+⨯=-885⨯=8
=
第二环节想一想
教师活动：出示下列问题
多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x +4x呢？多项式mb+nb–b呢？学生活动：观察，并找出它们中相同的因式分别为a ,x 和b 。
公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式，从而顺其自然的引出公因式的概念。
第三环节议一议
教师活动：继续提问
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？学生活动：根据公因式的定义寻找
教师活动：通过前面的例子，试着总结一下对于几个多项式而言找它们公因式的方法是什么？
学生活动：（1）找系数：（2）再找相同字母
教师总结：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
设计意图：公因式由简单到复杂，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力第四环节试一试
活动内容：
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac（2）x2+4x （3）mb2+nb–b
学生活动：学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解。
结论：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
活动目的：
学生通过简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．
第五环节 做一做
活动内容：将下列多项式进行分解因式：（1）3a 2-9ab （2）9x 2– 6xy+3xz （3）-24x 3 –12x 2 +28x （4）8a 3b 2–12ab 3c+ab 先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。
最后学生归纳：提取公因式的步骤：
（1）找公因式； （2）提公因式．
易出现的问题：（1）第（4）题中的最后一项提出ab 后，漏掉了“+1”
（2）第（3）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．
教师重点强调：1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生学会怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．
第六环节：想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？ 活动目的：通过学生的回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。
第七环节：反馈练习
活动内容： 1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn –24m 2n 3 （4）a 2b –2ab 2
+ab 2.把下列各式因式分解：（随堂练习）
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强
化学生确定公因式的方法及提公因式法的步骤，能熟练地利用提公因式法分解因式。
四、教学反思
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。
因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。
本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解。