数学课程标准之图形与几何解读

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1．加强对数学教学目的的理解 ．
价值引导; 自主建构. 价值引导 自主建构 一个理念：以生为本——尊重、关爱、理解、信任； 两个发展：为学生的全面发展和终身发展奠定基础； 三个维度：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观。 “过程的教育”不仅仅是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生 过程的教育”不仅仅是指在授课时要讲解、 的过程，甚至不仅是指知识的呈现方式。而是探究的过程、思考的过程、 的过程，甚至不仅是指知识的呈现方式。而是探究的过程、思考的过程、抽 象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，等等。 象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，等等。 世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。 世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知 识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。 识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。 关注过程，关注智慧） （关注过程，关注智慧）
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最古老的《欧氏几何》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著 作，共13卷，基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑 推理构做出一系列的命题。可以说，《几何原本》是公理化系统的第一个 范例，对西方数学思想的发展影响深远。 23个定义 个定义 作为基础的五条公设和公理 五条公设 1.从任一点到任一点作直线是可能的； 2.把有限直线不断循直线延长是可能的； 3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的； 4.所有直角都相等； 5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角， 则两直线无限短长后必相交于该侧的一点。 五条公理： 五条公理：1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的； 2.等量加等量，总量仍相等； 3.等量减等量，余量仍相等； 4.彼此重合的东西是相等的； 5.整体大于部分。
《古今数学思想》第一册第69页 古今数学思想》第一册第69页 69 M·克莱因著 克莱因著 张理京等译
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2.近现代几何课程改革回顾 2.近现代几何课程改革回顾
几何课程历来是改革的重点内容之一。 19世纪末、20世纪初的“克莱茵―贝利”运动中，德国数学家克莱茵 （F. Klein）就主张用几何变换的观点改造传统的欧氏几何。 在20世纪中叶的“新数运动”中，欧氏几何在中学数学中更是所剩无 几。法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J. A. Dieadonne）甚至喊出 了“欧几里得滚出去”的口号。在这次运动中，许多国家将平面几何和 立体几何合并，用几何变换和线性代数来处理。然而，由于种种原因， 改革没有达到预期的目标。在1980年的ICME-IV大会上，数学家们对“新 数运动”的成败作出了合理的评价，尤其是对中学阶段为什么要学习几 何课程进行了反思，认识到几何教学并不是一件容易的事，对于几何教 学中的困难、问题，仅仅采取毫无替代地删除是不可取的。
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何课程的国际趋势 几何课程的国际趋势
强调几何建模过程； 几何推理的要求发生变化； “空间与图形”内容的整合； 现代信息技术成为几何课程的“平台”。 另外，空间观念是创新精神所需要的基本要素，没有空间观念几 乎谈不上创新，传统的几何很难找到空间的内容，因此几何课程要： 明确空间观念的意义、认识空间观念的特点、发展学生的空间观念。
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增强了“图形与几何”内容的条理性，进一步阐述了合情推理和演 绎推理的关系，强调了几何证明表述方式的多样性。第三学段内容 第三学段内容 结构调整： ①结构调整：整合了《标准》中“图形的认识”与“图形与证明” 两部分，合并为“图形的性质”。由《标准》的四部分变为“图形的性 质”、“图形的变化”、图形与坐标”三部分。这种变化有利于学生在 探索发现、操作确认、推理证明的过程中，体现两种推理（合情推理与 演绎推理）相辅相成的关系。 图形的性质： ②图形的性质：明确了9条基本事实。增加了“两点确定一条直线” 、“两点之间线段最短”、“一点有且只有一条直线与这条直线垂直” 、“直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”、“两条直线被一 组平行线所截，所得的对应线段成比例”；将“两直线平行，同位角相 等”，不再作为基本事实，而作为定理加以证明，证明过程作为选学内 容，不作考试要求。 为适当加强逻辑推理，增加了下列定理的证明：相似三角形的判定 定理、垂径定理，圆周角定理及推论，切线长定理。但是，不要求运用 这些定理证明其他命题。
图形与几何解读
湖北省教学研究室 孙延洲 sunyz1222@yahoo.com.cn
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ห้องสมุดไป่ตู้
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1.几何简介 几何简介
几何这个词最早来自于希腊语“γεωµετρία”，由“γέα”（土地）和 “µετρε ĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后 来拉丁语化为“geometria”。 中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几 何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一 方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原 本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多 少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。
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2.新课标实验稿《空间与图形》 2.新课标实验稿《空间与图形》 新课标实验稿
课程内容比较 课程目标比较
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（1）以往大纲重点是学习平面几何图形知识，这种学习是完全 按着欧氏几何的公理体系，纯逻辑地进行；新标准增加了变换和坐标 方面的知识，使学生对平面图形的认识有了新的视角、新的方法，这 对丰富学生的知识面，培养学生的思维灵活性是大有益处的； （2）以往大纲虽然也提出了实践方面的要求，但不具体，新标 准则明确提出了实践方面的要求，如利用坐标确定物体的位置，利用 变换设计图案，加强测量的实践性等； （3）以往大纲强调逻辑推理，以培养学生的逻辑推理能力为主 要目的，而新标准充分考虑到人的认识规律，减少了大量繁难的几何 证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明 的难度，将逻辑证明的重点放在了体会证明的必要性、理解证明的基 本过程、掌握用综合法证明的格式以及初步感受公理化思想上，加强 了合情推理的要求，强调几何直观与理性精神； （4）新标准加强了学生学习方式的指导，强调合作交流和研究性 学习，加强了几何建模以及探究过程，以培养学生的交流能力和研究 意识； （5）新标准增加了“空间与图形”的文化价值方面的要求，如“ 感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值”（图形与证明部 分的叙述）。
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加强的方面 强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验； 加强对图形的探索过程； 加强了“图形变换”和“位置的确定”的有关内容； 加强合情推理，调整“证明”的要求，强化理性精神。 。 削弱的方面 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明； 删去了大量繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证 过程形式化的要求和证明的难度。 对全体学生而言，关于证明的基本要求应控制在《标准》所规定的 范围内。
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1.传统的几何课程 传统的几何课程
传统的几何课程历来被看成是培养学生思维能力，尤其是逻辑思维 能力的极好素材，其内容几乎是计算和演绎证明，以证明为主要内容的 几何课程主要由概念、公理、定理和逻辑的思考方法组成，重在形式化 ，内容单调。教材的安排严格按着欧氏几何的公理化体系：一条线（两 点确定一条直线）──两条线（研究同一平面内两条直线的位置关系， 引入平行公理）──三条线（三角形的概念、特殊三角形的性质，全等 三角形，解直角三角形等）──四条线（四边形的概念、特殊四边形的 性质）──相似形（主要研究相似三角形）──多条线（多边形）──圆 （多边形的极限）。
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20世纪80年代以来， 20世纪80年代以来，各国数学教学普遍把平面几何和立体几何的内容进行 世纪80年代以来 整合，更多地采用直观和非形式化的手段， 整合，更多地采用直观和非形式化的手段，教学内容更紧密地联系学生的生活 和社会发展，大量使用信息技术，强调几何建模、合情推理与几何思想。 和社会发展，大量使用信息技术，强调几何建模、合情推理与几何思想。 我国建国至今，教学大纲进行过多次修改，但几何课程改动不大，平面几 我国建国至今，教学大纲进行过多次修改，但几何课程改动不大， 何和立体几何一直是分别安排在初中和高中讲授， 何和立体几何一直是分别安排在初中和高中讲授，初中平面几何内容主要是运 用演绎推理的方法、依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质， 用演绎推理的方法、依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质，强调逻 辑、强调演绎推理，忽视几何直观、忽视合情推理，使得学生的空间观念、空 强调演绎推理，忽视几何直观、忽视合情推理，使得学生的空间观念、 间想象力难以得到真正有效的发展。许多中学生学不好几何，不喜欢几何。 间想象力难以得到真正有效的发展。许多中学生学不好几何，不喜欢几何。 1952年 中学数学教学大纲（草案） 规定的几何内容为356课时， 356课时 1952年7月《中学数学教学大纲（草案）》规定的几何内容为356课时，占 数学课总课时的29.3% 29.3%； 数学课总课时的29.3%； 1978年 六年制重点中学数学教学大纲》规定的几何内容为326课时， 326课时 1978年《六年制重点中学数学教学大纲》规定的几何内容为326课时，占 数学总课时数的30.2% 30.2%； 数学总课时数的30.2%； 1990年颁布几经修改的全国数学教学大纲 几何教学内容为319课时， 年颁布几经修改的全国数学教学大纲， 319课时 1990年颁布几经修改的全国数学教学大纲，几何教学内容为319课时，占 数学总课时的36.7% 36.7%； 数学总课时的36.7%； 1992年上海中小学课程教材改革委员会制订的新 课程标准（草案） 年上海中小学课程教材改革委员会制订的新《 1992年上海中小学课程教材改革委员会制订的新《课程标准（草案）》中 几何内容为356课时，占数学总课时的36.0% 356课时 36.0%。 ，几何内容为356课时，占数学总课时的36.0%。 在历届各地高中入学考试的试卷中， 在历届各地高中入学考试的试卷中，涉及到几何内容的试题得分要占整卷 总分的40%左右，而在高等学校入学考试的试卷中， 40%左右 总分的40%左右，而在高等学校入学考试的试卷中，涉及到几何的试卷在整卷中 的占分，则总要保持在30%上下，由此可见，虽然在这段时期， 30%上下 的占分，则总要保持在30%上下，由此可见，虽然在这段时期，中国几何教学的 内容、处理方式、教学方法等都有了巨大的变化同， 内容、处理方式、教学方法等都有了巨大的变化同，但作为中学数学教学的一 个组成部分，几何（主要是演绎几何）的地位，总是相当的牢固的。 个组成部分，几何（主要是演绎几何）的地位，总是相当的牢固的。
对于“证明”，不仅要求“知道证明的意义和必要性，知道 证明要合乎逻辑”，而且要求“知道证明的过程可以有不同的表 达形式”。强调证明除了用简化了的三段论证表达外，还可以采 用其他符合学生思维过程的表达形式。
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删去了有关梯形的内容。 “尺规作图”中增加了“过一点作已知直线的垂线”、“作三角形的 外接圆、内切圆”、“作圆的内接正方形和正六边形”。要求了解作 图的道理，不要求写出作法。 使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“通过丰富的实例，进一 步认识点、线、面”改为“通过实物和具体模型，了解从物体抽象出 来的几何体、平面、直线和点等”。 ③图形的变化 将《标准》中“图形的认识”里的“视图与投影”内容移入到此部分 ，改名为“图形的投影”，突出了图形的变化，强调了图形的运动是 研究图形性质的一种有效方法。 图形的平移、图形的旋转、图形的轴对称的一些要求更加明确，表述 更加清晰。 降低了对图形的投影的要求，删除了“视点”、“视角”、“盲区 ”、“阴影”等内容。 ④图形与坐标 这部分包括两大内容：坐标与图形位置、坐标与图形运动。比《标 准》的内容有所增加，要求也更加具体、明确。