鲁教版八年级数学：《证明(二)》要点回顾和考点透视

第六章 证明（二）要点回顾与考点透视《证明（二）》是已经学习过的《证明（一）》的延伸，又是今后学习《证明（三）》的基础，通过对《证明（二）》的学习，在经历探索、猜测、证明的过程，能进一步体会证明的必要性，从而发展同学们初步的演绎推理能力.为方便同学们进一步的学习与运用，现对这部分的要点知识进行回顾，并对常见考点进行归纳. 一、知识框架二、重点讲解本章的重要知识点有：1.一般三角形全等公理的回顾与运用，有关定理的探索和证明，其定理包括等腰三角形、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性质、线段的垂直平分线定理、角的平分线定理，等等.2.证明的思路和方法也是本章的重点.进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义.3.利用尺规作线段的垂直平分线和角平分线的方法、步骤和理由，构建一个命题的逆命题、互逆命题的真假关系、逆定理等.三、疑点点拨易错点1：忽视等腰三角形的分类.如，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B ＝＿＿＿.通过探索、猜测、计算和证明得到定理 等腰三角形、等边三角形 全等三角形的判定公理 直角三角形有关的结论互逆命题、互逆定理 综合法与反证法 尺规作图 线段的垂直平分线 角的平分线 《证明（二）》本题没有供图，也没有说明是钝角三角形还是锐角三角形，而错解时容易只考虑其中的一种情况.事实上，遇到等腰三角形问题时，同学们一定要多留个心眼，注意分类.易错点2：错用判定依据.如，如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，且OA ＝OB ，OC ＝OD.求证：△AOC ≌△BOD.拿到这个题目，不少同学就会这样来证明：因为AB ⊥CD ，所以∠AOC ＝∠BOD ＝90°，因为OA ＝OB ，OC ＝OD ，所以Rt △AOC ≌Rt △BOD （HL ）.而事实上，不是说两个三角形全等时，一遇到直角三角形就一定是要用“HL”，而是要根据已知条件和图形特点，本题中利用“HL”的条件并不充分，而只能将其当成一般三角形来说明全等.易错点3：对命题、定理的理解错误.如，有同学认为：命题“对顶角相等”与命题“相等的角是对顶角”是互逆定理.其实，有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.很显然，命题“相等的角是对顶角”是假命题，所以它不是定理，也就说不上什么互逆定理了.易错点4：勾股定理的错误运用.如，下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A.1，2，3B.32，42，52C.0.3，0.4，0.5D.5，8，11不少同学会错误地认为32+42＝52，所以以32，42，52为三边长可以构成直角三角形.故应选B.事实上，得到这一错误的原因是未能彻底区分勾股定理及其勾股定理的逆定理，仅对概念的理解流于表面形式.而事实上，要判断以某三个数据为边长，能否构成一个直角三角形时，应将所给数据分别平方，再看其结果是否满足a 2+b 2＝c 2的形式，如果满足了，则为直角三角形，否则就不是.本题的正确答案应该是C.四、考点解密（所选例题均出自中考试卷） D C O BA本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、公理和定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占8分左右，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程.考点1利用定理证明相关知识：公理1三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）公理2两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）公理3两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）公理4全等三角形的对应边相等，对应角相等.定理1等腰三角形的两个底角相等.叙述为“等边对等角”.定理2有两个角相等的三角形是等腰三角形.叙述为“等角对等边”.定理3有一个等于60°的等腰三角形是等边三角形.定理4在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.定理5直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.定理6如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.定理7斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.定理8线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理9到线段两端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.定理10三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理11角平分线上的点到角的两边的距离相等.定理12在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.定理13三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.推论1两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）推论2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.复习策略：注意对这些公理、定理和推论的理解与运用，特别地要能对定理和推论进行证明，这样才能加深对其理解，运用时也能熟能生巧.1.定理的证明例1（怀化市）如图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE ＝AF.求证：（1）PE ＝PF ；（2）点P 在∠BAC 的角平分线上.分析（1）要证明PE ＝PF ，还没有碰到过这类证明一个四边形的邻边相等，考虑条件和利用全等三角形的知识，可连结AP ，此时可以考虑利用HL 证明Rt △AEP ≌Rt △AFP ，问题即可解决.（2）要证明点P 在∠BAC 的角平分线上，由（1）很快得到∠EAP ＝∠FAP ，于是即可判定.证明：（1）如图，连结AP ，因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，所以∠AEP ＝∠AFP ＝90°，又因为AE ＝AF ，AP ＝AP ，所以Rt △AEP ≌Rt △AFP ，所以PE ＝PF.（2）因为Rt △AEP ≌Rt △AFP ，所以∠EAP ＝∠FAP ，所以AP 是∠BAC 的角平分线，故点P 在∠BAC 的角平分线上.说明 本题中的（1）实际上就是角平分线性质的简单变换，而（2）就是要求证明角平分线的另一个性质，只要略有点书本知识，总是即可简捷获解.2.等腰三角形例2（绍兴市）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰直角三角ABD 和ACE ，使∠BAD ＝∠CAE ＝90°.（1）求∠DBC 的度数；（2）求证：BD ＝CE.E P C B AF D CB A E分析（1）要求∠DBC 的度数，由于△ABD 是等腰直角三角形，即知道∠ABD ＝45°，而在等腰三角形ABC 中顶角∠BAC ＝40°，于是也可以求得底角∠ABC ，从而可求得∠DBC.（2）显然容易证明△BAD ≌△CAE ，即得BD ＝CE.解（1）因为△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD ＝90°，所以∠ABD ＝45°， 又因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ，因为∠BAC ＝40°，所以∠ABC ＝70°，所以∠DBC ＝70°+45°＝115°.（2）因为AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AD ＝AE ，所以△BAD ≌△CAE ，所以BD ＝CE.说明 本题始终紧扣等腰三角形的性质作为求解问题的突破口，并综合运用了全等三角形的知识，是中考有关这方面考题的热点.3.线段的垂直平分线例3（泉州市）如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为＿＿＿.分析 要求线段DE 的大小，可将已知条件中的垂直平分线和周长问题转化为线段之间的关系.解 因为DE 是线段BC 的垂直平分线，所以BE ＝CE ，DB ＝DC ，又因为△EDC 的周长为24，所以DC+CE+DE ＝24…①，因为△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，所以AB+BC+AC －（AE+DE+DC+AC ）＝12，即（AB －AE ）+ （BC －DC ）+ （AB －AE ）－DE ＝12，所以BE+BD －DE ＝12，即CE+DC －DE ＝12…②，由①－②，得2DE ＝12，所以DE ＝6.说明 运用线段的垂直平分线性质求解问题，既可以省去一次三角形全等的证明，还可以及时地将将问题转化为线段来处理.4.角平分线E D CB A例4（临沂市）如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B.下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA ＝PBB.PO 平分∠APBC.OA ＝OBD.AB 垂直平分OP分析 由已知条件，要能顺利求解，显然，要想到利用角平分线的性质. 解 因为OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，所以PA ＝PB ，所以Rt △OAP ≌Rt △OBP ，所以OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，即PO 平分∠APB ，OP 垂直平分AB ，所以结论AB 垂直平分OP 是错误的.故应选D.说明 角平分线的性质与判定是求解几何问题时常用结论，它既可以省去一次全等三角形的证明，又可以使过程简洁.另外，遇到角平分线问题时常用辅助线是过角平分线上的点引角的一边或两边的垂线.5.含30°角的直角三角形例5（滨州市）某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB ＝4米，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为＿＿＿.分析 想象一下，地毯的长度应该楼梯的所有水平台阶的长度和加上楼梯竖直台阶的长度和，而此时为了方便求解，可将楼梯的所有水平台阶平移到AC ，楼梯的所有竖直台阶平移到BC ，剩下来的问题就是求AC 和BC 的长度，而此时可以利用含30°角的直角三角形的性质，结合勾股定理求解.解 因为AB ＝4米，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，所以BC ＝2米，由勾股定理，得AC ＝23米，又因为AB 段楼梯所铺地毯的长度等于BC+AC ，O BA PB CA 30°所以在AB 段楼梯所铺地毯的长度应（2+23） 米.说明 直角三角形中有许多的重要性质，都是计算与证明几何问题的不可缺少的理论依据，同学们在复习时一定要注意训练与体会.6.勾股定理的应用例6（牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.分析 由于两直角边长分别为6m ，8m ，于是，可利用勾股定理求出其斜边的长，而题目只说明扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解.解 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理，得AB ＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩充成等腰△ABD 应分以下三种情况：①如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求CD ＝CB ＝6，于是，△ABD 的周长为32m ；②如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求CD ＝4，由勾股定理，得AD ＝45，于是，△ABD 的周长为（20+45） m ；③如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，由勾股定理，得x ＝253，于是，△ABD 的周长为803m.说明 本题事实上也是一道运用勾股定理解决生活中的实际问题，由于题设中问题不明确，所以求解时应注意分类，以避免漏解.7.拼图验证勾股定理例7（新疆自治区）如图1是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a ，b ，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.A D CB A D BC AD BC 图1 图2 图3（1）画出拼成的这个图形的示意图.（2）证明勾股定理.分析 将四个全等的直角三角形拼成一个正方形，再利用面积的不变性来验证.解 方法不惟一.如，（1）如图2所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为（a+b ）2，大正方形的面积也可表示为c 2+4×12ab ，所以（a+b ）2＝c 2+4×12ab ，即a 2+2ab+b 2＝c 2+2ab ，所以a 2+b 2c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.又如，（1）如图3所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为c 2，又可以表示为12ab×4+（b －a ）2，所以c 2＝12ab×4+（b －a ）2，即c 2＝2ab+b 2－2ab+a 2，所以c 2＝a 2+b 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.说明 为了正确求解，可联想课本和资料上的例习题，并通过动手操作即可正确求解.考点2 互逆命题与互逆定理相关知识：1.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.2.一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题ab c 图3 a b c c c c b b b a a a 图2 c b a c b a c b a c b a c c图1经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.复习策略：复习互逆命题与互逆定理时，要从其本质上去理解与运用，注意原命题正确，其逆命题不一定正确，原命题错误，其逆命题不一定错误，所以虽然任何命题都有逆命题，但不是说所有的定理都有逆定理的.例8（丽水市）已知命题：如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题，并加以证明.分析 由三角形全等的判定方法，光有AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，是不能判定△ABC 与△DEF 全等的，但要想得到这两个三角形全等，添加的条件又不惟一，即本题是一道开放型问题.解 是假命题.添加的条件不惟一.如，①添加条件：AC=DF.证明：因为AD ＝BE ，所以AD+BD ＝BE+BD ，即AB ＝DE.又因为∠A ＝∠FDE ，所以△ABC ≌△DEF （SAS ）.②添加条件：∠CBA ＝∠E.证明：因为AD ＝BE ，所以AD+BD ＝BE+BD ，即AB ＝DE.又因为∠A ＝∠FDE ，所以△ABC ≌△DEF （ASA ）.③添加条件：∠C ＝∠F.证明：因为AD ＝BE ，所以AD+BD ＝BE+BD ，即AB ＝DE.又因为∠A ＝∠FDE ，所以△ABC ≌△DEF （AAS ）.说明 本题虽说是一道开放型问题，但只要依据全等三角形的判定和图形特征，具体解答还并不困难.例9（上海市）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图所示）.ED C B A F（1）添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC.（2）分别将“∠A ＝∠D”记为①，“∠OEF ＝∠OFE”记为②，“AB ＝DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是＿＿＿命题，命题2是＿＿＿命题（选择“真”或“假”填入空格）.分析（1）要证明AB ＝DC ，可将部分条件转化，利用全等三角形的判定证明△AOB ≌△DOC ，进而利用全等三角形的性质求解.（2）要判断构成的命题是否真假，关键是看构成的命题是否成立，利用相关知识进行简单验证.解（1）证明∠OEF ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ，因为E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，所以OB ＝OC ，又因为∠A ＝∠D ，∠AOB ＝∠DOC ，所以△AOB ≌△DOC ，所以AB ＝DC.（2）因为由①和③，可以证明△AOB ≌△DOC ，所以OB ＝OC ，加上“E 为OB 的中点，F 为OC 的中点”，即得OE ＝OF ，于是得到∠OEF ＝∠OFE ，即命题1是真命题.而对于由条件“②和③”不能得到结论“①”，所以命题2是假命题.说明 本题的第2小问是以命题的概念为背景设计问题的，有利于同学们对命题概念的理解和运用.考点3 尺规作图相关知识：1.五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；作三角形.2.尺规作图要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）.复习策略：在对用尺规作图时，一定要注意作图要正确，痕迹要清楚，语言表达在到位，由于作图时的每一步都要有根有据，所以要注意与公理、定理等的相关知识的联系.例10（衡阳市）如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝1000米，O DC A B E FBC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点AC B分析已知有一个村庄所在的位置可以看成一个三角形，且三边已知，此时，不妨利用勾股定理的逆定理验证一下△ABC是否是直角三角形，进而就可能容易找到符合条件的活动中心的位置.解因为AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，而6002+8002＝10002，所以BC2+AC2＝AB2，由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，且AB是斜边，因为直角三角形三边上的垂直平分线的交点是斜边的中点，所以要使活动中心到三个村庄的距离相等，则点活动中心的位置P应在AB 的中点.故应选A.说明本题意在考查同学们对勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线定理的理解与运用.另外，本题也可以在判定是直角三角形之后，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解决问题.例11（临沂市）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45°方向上.（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.分析（1）要求AB 的距离，可通过适当的辅助线构造出直角三角形，利用勾股定理求解.（2）A 、B 两村可以看成是两个点，要在公路边找一个点P ，使得到A ，B 的距离相等，则这个点一定在AB 的垂直平分线上，即满足条件和点是AB 的垂直平分线与l 的交点，由此可以利用尺规作出.解（1）过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ，易证四边形CDBE 是矩形，所以CE ＝BD ＝2.在Rt △AEB 中，由∠A ＝45°，可得BE ＝EA ＝3， 所以由勾股定理，得AB ＝2233 ＝32（km ），所以A ，B 两村的距离为32km.（2）作法：①分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M 、N ，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求.说明 本题的第（1）小问也可以这样来求解：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得∠A ＝∠B ＝45°，所以△ACO 和△BDO 都是等腰直角三角形.于是利用勾股定理可求得AO ＝2，BO ＝22，即两村的距离为AB ＝AO+BO ＝2+22＝32（km ）.例12（重庆市）作图，请你在下图中作出一个以线段AB 为一边的等边△ABC.（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）北东BA C DlN MOPEC分析 已知线段AB ，要求画出以此为边的等边三角形，只要分别以AB 的端点为圆心，AB 长为半径画弧，得一交点C ，再连结AC 和BC 即得所求作的三角形.解 已知：线段AB. 求作：等边△ABC.作法：（1）分别以AB 的端点为圆心，AB 长为半径画弧，得一交点C ， （2）连结AC 和BC.△ABC 就是所画的等边三角形.如图所示.说明 本题中要求以线段AB 为一边作等边三角形，所以线段AB 就不需重画了.五、同步练习1.等腰三角形的底边长为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.32a B.33a C.36a D.12a2.有这样一个命题：全等三角形中的两条边以及其中一边的对角对应相等，则这个命题的逆命题是＿＿＿，逆命题是＿＿＿命题（填“真”或“假”）.3.用反证法证明：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.4.如图所示，A ，B ，C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展，现三镇要联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，请作出变电站的位置（用点P 表示），并简要说明理由.5.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC 的角平分线AD”.数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正.”C BA（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里. （2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程.6.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1，E 是AD 中点.求证：CE ⊥BE.ACBDE 已知：如图，在△ABC中，∠B ＝∠C ．求证：AB ＝ACABDC参考答案：1.D.点拨：设底角为x ，则顶角为4x ，4x+x+x ＝180°，x ＝30°，在30°，60°，90°的直角三角形中，求其他量.2.有两边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等、假.3.假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°.则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∠C ＞60°，于是∠A+∠B+∠C ＞180°.这与三角形内角和为180°相矛盾，所以△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°.4.如图，作法如下：（1）连结AB ，BC.（2）分别AB ，BC 的垂直平分线的交于点P.所以点P 即为变电站的位置.理由：连结PA ，PB ，PC.因为点P 是AB ，BC 边垂直平分线的交点，所以PA ＝PB ，PB ＝PC ，即PA ＝PB ＝PC.5.（1）答案不惟一，只要合理即可.如，作一条线段的中垂线一般情况下是不会经过某一个定点的.（2）证明：作作△ABC 的角平分线AD ，则∠BAD ＝∠CAD ，又因为∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，所以△ABD ≌△ACD ，所以AB ＝AC.6.过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F.因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，所以∠D ＝∠A ＝∠CFA ＝90°.即四边形AFCD 是矩形.所以AD=CF ，BF ＝AB －AF ＝1.在Rt △BCF 中，由勾股定理，得CF 2＝BC 2－BF 2＝8，所以CF ＝22.所以 AD ＝CF ＝22.因为E 是AD 中点，所以DE ＝AE ＝21AD ＝2.在Rt △ABE 和 Rt △DEC 中，EB 2＝AE 2+AB 2＝6，EC 2＝DE 2+CD 2＝3，所以EB 2+EC 2＝9＝BC 2，即由勾股定理的逆定理，得∠CEB ＝90°.所以EB ⊥EC.CBAPACBDEF。