四川省成都七中2020学年高二数学上学期10月月考试题 文(含解析)
2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷2023.10总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．直线112y x =-+的一个方向向量是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,2D ．()2,12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）A ．()PB =710B ．()0P A B =C ．()7100P B C ⋂=D ．()910P A B ⋃=3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（）A ．14，14B ．12，14C ．14，15.5D ．12，15.54．{},,a b c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A ．a ，a b + ，a b -B ．b ，a b +，a b - C ．c ，a b + ，a b - D ．2a b +，a b + ，a b- 5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（）A ．等于5aB ．和EF 的长度有关C ．等于D ．和点Q 的位置有关6．设直线l 的方程为66cos 130x y β-+=，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A ．[]0,πB ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．πππ3π,4224⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ ，D ．π4,3π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 对立C ．事件A 与事件B 相互独立D ．()56P A B +=8．在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC= ，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A ．746B ．845C ．745D ．445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．[多选题]下列命题是真命题的是（）．A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB 与CD是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB 与CD不是共线向量C ．若向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB 与AC 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BEB ．点O 到平面11ABC D 的距离为24C ．平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为D ．点P 到直线AB 的距离为353611．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π3DAB ∠=，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则（）A ．PA BD⊥B ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PCD ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为7712．如图，在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A ．对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面B ．存在点M ，N ，使得MN 与BC 垂直C ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面D ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．点(1,2,5)P -到xOy 平面的距离.14．已知过点()2,A m -和点(),4B m 的直线为1l，2l ：21y x =-+，3l ：11y x n n =--，若12l l ∥，23l l ⊥，则m n +的值为.15．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则二面角P BD Q --余弦值的取值范围是．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，3AB AD CD ===，π3ABC ∠=，PA =，M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．18．（1）已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -，若点D 在线段AB （包括端点）上移动时，求直线CD 的斜率k 的取值范围；（2）求函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R 的值域.19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1BD 与AC 所成角的余弦值.20．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．21．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为1Y时，等级分为1T ，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间；(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.22．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.(1)求证：OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =.①求二面角C AE B --所成平面角的正弦值；②在线段CE 上是否存在一点M ，使得直线MO 与平面BCP 所成角为30︒？1．B【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．【详解】直线112y x =-+的斜率为12-，则选项中()2,1-是直线的一个方向向量，即B 正确．故选：B ．2．C【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及频率与频数的关系，即可求解．【详解】解：由题意可知，A ，B ，C 为互斥事件，()0P A B = ，()0P B C ⋂=，故B 正确，C 错误，抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，则()2011005P A ==，()70710010P B ==，故A 正确，()()()()179051010P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确．故选：C ．3．A【分析】把给定数据按由小到大排列，再结合众数、中位数的定义求解作答.【详解】把这组数据按由小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其众数为14，中位数为14.故选：A 4．C【分析】确定()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ ，()()31222a b a b a b +=+--排除ABD ，得到答案.【详解】对选项A ：()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C ：假设()()c a b a bλμ=++- ，即()()c a bλμλμ=++- ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D ：()()31222a b a b a b+=+-- ，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C 5．A【分析】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，利用线面平行判断出选项B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，则//PG CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又11//A B 平面PGCD ，所以点1A 到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2a C a D A a a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(0,,0)DC a = ，1(,0,)DA a a =，,0,2a DP a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设(,,)n x y z = 是平面PGCD 的法向量，则由0,0,n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得0,20,a x az ay ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1z =，则2,0x y =-=，所以(2,0,1)n =- 是平面PGCD 的一个法向量．设点Q 到平面PEF 的距离为d，则155||DA n d n ⋅=，A 对，C 错．故选：A ．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.6．D【分析】当cos 0β=时，可得倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解．【详解】当cos 0β=时，方程为6130+=x ，直线的倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，[]cos 1,1β∈- ，且cos 0β≠，),1(1,[]k ∴∈-∞-+∞ ，即)tan ,1]1,([α∈-∞-+∞ ，又[0,π)α∈，ππ[,)(,422π3π4α∴∈ ，综上，倾斜角α的范围是3π[,4π].4故选：D ．7．C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =,B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =,事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =,由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故()4263P A B +==，D 错误，故选：C 8．B【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD=，由锥体体积公式，求出P AEF P ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFG P ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF x AE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD APλλ++-=+-++- ，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC =，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABC P ABCDV V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCDV --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.9．AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB ，CD 的方向相同或相反，因此AB 与CD 是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB 与AC是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故选：AD ．10．BC【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得．【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系：则(0A ,0,0)，(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，1(0A ,0,1)，1(1C ,1,1)，1(0D ,1,1)，1(,0,1)2E ．所以(1,0,0)BA =-uu r ，1(,0,1)2BE =- ，则A 到直线BE的距离15d =，故A 不正确；易知111111(,,0)222C O C A ==-- ，又1(0,1,1)DA =-uuu r ，()()11,0,0,1,1,1AB AC == ，所以1110,0DA AB DA AC ⋅=⋅= ，则平面11ABC D 的一个法向量为1(0,1,1)DA =-uuu r，则点O 到平面11ABC D的距离1121124DA C O d DA ⋅=，故B 正确；1(1,0,1)A B =-uuu r ，1(0,1,1)A D =-uuu r ，11(0,1,0)A D =uuuu r ．设平面1A BD 的法向量为()n x y z =++，则1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =，所以点1D 到平面1A BD 的距离1133A D n d n ⋅==．因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD的距离，即为，故C 正确；因为1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以312(,,)423AP = ，(1,0,0)AB = ，则34||AP AB AB ⋅=uu u r uu u ruu u r ，所以点P 到AB的距离56d =，故D 不正确．故选：BC ．11．ABC【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解．【详解】对于选项A ，因为π3DAB ∠=，2AB AD =，由余弦定理可得BD AD =，从而222BD AD AB +=，即BD AD ⊥，由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，可得BD PD ⊥，又,,AD PD D AD PD ⋂=⊂面PAD ，即BD ⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，即PA BD ⊥，故选项A 正确；对于选项B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角，又3tan 3PD PBD BD ∠==，即π6PBD ∠=，故选项B 正确；对于选项C ，显然PCD ∠为异面直线AB 与PC 所成的角，易得25cos 5CD PCD PC ∠==，故选项C 正确；对于选项D ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD =，则(0D ,0,0)，(1A ,0,0)，(0B 30)，(1C -30)，(0P ,0,1)，设平面PAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11113030x y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则113x z ==即(3,1,3)n =，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222300z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，则20x =，23z =3)m =，则27cos ,7m n m n m n ⋅==，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27，故选项D 不正确.故选：ABC ．12．ACD【分析】A 选项，首先MN 不可能与AD 相交，其次证明AD 与MN 不可能平行，故A 正确；B 选项，证明出BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故B 错误；C 选项，作出辅助线，得到存在0λ≠，使得()1MN AD BCλλ=+- ，由空间向量性质可知C 正确；D 选项，作出辅助线，对于任意点M ，找到点N ，得到MN 与AD ，BC 所成的角，利用相似和余弦定理得到MN 与AD ，BC 所成的角相等.【详解】A 选项，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，故MN 不可能与AD 相交，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，MN 与ME 相交，故AD 与MN 不可能平行，综上：对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面，A正确；B 选项，取BC 中点F ，连接AF ，DF ，因为四面体ABCD 为正四面体，所以AF ⊥BC ，DF ⊥BC ，因为AF DF F ⋂=，所以BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故BC 不可能与MN 垂直，B 错误；C 选项，对于任意点M ，作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点E 作EN ∥BC 交CD 于点N ，连接MN ，此时MN ME EN =+u u u u r u u u r u u u r，故存在0λ≠，使得()1MN AD BC λλ=+- ，所以对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 共面，C 正确；D 选项，对任意的点M ，在CD 上取点N ，使得CN=AM ，则BM DN =，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点N 作NF ∥BC 交BD 于点F ，则NME ∠为MN 与AD 形成的角，∠MNF 为MN 与BC 形成的角，且FN=EM ，DE=BF ，由BM=DN ，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF 得：△BMF ≌△DNE ，所以MF=EN ，由余弦定理得：222cos 2MN NF MF MNF MN NF +-∠=⋅，222cos 2MN ME EN NME MN ME +-∠=⋅，由于三边对应相等，故∠MNF=∠NMF ，对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等，D 正确.故选：ACD【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.13．5【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.【详解】点(1,2,5)P -在平面xOy 上的射影是(1,2,0)P '-，则点(1,2,5)P -在平面xOy 距离为5PP '=.故答案为：514．10-【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可.【详解】因为12l l ∥，所以422AB m k m -==-+，解得8m =-，又23l l⊥，所以1((2)1n -⨯-=-，解得2n =-，所以10m n +=-.故答案为：10-.15．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP ，证明出A D '⊥平面ABC D ''，可知点Q 的轨迹为线段BC '，由二面角的定义可知二面角P BD Q --的平面角为POC '∠，求出cos POC '∠的最小值和最大值，即可得解.【详解】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP，如下图所示：因为//AB C D ''且AB C D ''=，则四边形ABC D ''为平行四边形，因为四边形AA D D ''为正方形，则AD A D '⊥'，因为AB ⊥平面AA D D ''，A D '⊂平面AA D D ''，则ADAB '⊥，因为AB AD A ⋂'=，AB 、AD '⊂平面ABC D ''，所以，A D '⊥平面ABC D ''，因为BC '⊂平面ABC D ''，所以，BC A D ''⊥，因为Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，所以，点Q 的轨迹为线段BC '，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，则BC BD C D ''===因为四边形ABCD 为正方形，AC BD O = ，则O 为BD 的中点，且OC BD '⊥，由勾股定理可得PB PD ==，则OP BD ⊥，所以，二面角P BD Q--的平面角为POC'∠，由图可知，当点P与点A重合时，POC'∠最大，sin60OC BC''==1122OC AC==⨯=因为CC'⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则CC AC'⊥，此时，()cos cosπcos3OCPOC COC COCOC'''∠=-∠=-∠=-=--'；当P与点A'重合时，POC'∠最小，此时，()221 cos cosπ2cos212cos123POC COC COC COC''''∠=-∠=-∠=-∠=-⨯=⎝⎭，又因为函数cosy x=在[]0,π上单调递减，所以，31cos33POC'≤∠≤，因此，二面角P BD Q--的余弦值的取值范围13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.16．13或23【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，如图，因为//AD BC，3AB AD CD===，π3ABC∠=，则2π3BAD ADC∠=∠=，π6CAD∠=，于是π2BAC∠=，取BC中点1O，连接11,O A O D，则111O A O B O C==，得11,AO B CO D均为正三角形，即有1111O A O B O C O D ===，即1O 是梯形ABCD 外接圆圆心，而O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，因此1O O ⊥平面ABCD ，又PA ⊥平面ABCD ，则1//O O PA ，而PA 为球O 的弦，则过点O 垂直于PA 的平面必过PA 的中点E ，连接,OE OA ，于是OE PA ⊥，而1O A PA⊥，即有1//O A OE，四边形1O AEO为矩形，112O O AE PA ===，因此球O 的半径R OA ==M 的球O 的最小截面圆所在平面必垂直于OM ，而此截面圆半径为，则3OM ==，连接1O M ，在1Rt O OM △中，1O M ==在1AMO 中，1π3BAO ∠=，22211112cos AM O A AM O A BAO O M +-⋅∠=，即有2937AM AM +-=，解得1AM =或2AM =，所以13λ=或23λ=.故答案为：13或23【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)证明见解析；【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；（2）解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-=⋅==，可取)n =，则cos ,n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB所成角的正弦值为18．【小问1】1k ≤-或53k ≥【小问2】3333⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）求出直线AC ，BC 的斜率，数形结合可得答案；（2）利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线AC 的斜率235033AC k --==-，直线BC 的斜率2210(4)BC k --==---，如图所示，点D 在线段AB （包括端点）上移动时，BC k k ≤或AC k k ≤，故直线CD 的斜率的取值范围是：1k ≤-或53k ≥.（2）由sin cos 2y θθ=+，得2cos sin y y θθ+=，所以2sin cos sin()y y θθθϕ=--，其中cos ϕϕ则sin()θϕ-=，由|sin 1()|θϕ≤-1≤，即231y ≤，解得y ≤，所以函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R的值域为⎡⎢⎣⎦.19．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据向量的线性运算和数量积的运算性质，得到10AC BD ⋅= ，即可得证；（2）求出11||,||,BD AC BD AC⋅ ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1） 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，1166cos 6018AA AB AA AD AD AB ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，1111111()()())(AC BD AA A B B C AD AB AA AB AD AD AB ∴⋅=++⋅-=++⋅-2211AA AD AA AB AB AD AB AD AD AB =⋅-⋅+⋅+--⋅181836360=--+=，1.AC BD ∴⊥（2）111BD AD DD AB AD AA AB =+-=+- ，AC AB BC AB AD =+=+，1||BD ∴====||AC ==== 11()()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 22113636181836AD AB AA AB AA AD =-+⋅+⋅=-++=，111cos ,6||||BD AC BD AC BD AC ⋅∴===⋅，则异面直线1BD与AC所成角的余弦值为620．（1）（2）25【详解】甲校的男教师用A 、B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E 、F 表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD ），（AE ），（AF ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），共9种；其中性别相同的有（AD ）（BD ）（CE ）（CF ）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB ）（AC ）（AD ）（AE ）（AF ）（BC ）（BD ）（BE ）（BF ）（CD ）（CE ）（CF ）（DE ）（DF ）（EF ）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．21．(1)73(2)[85,98](3)91分【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a ，由频率分布直方图中平均数的概念求解平均数；（2）求出等级A 的原始分区间的最低分，又最高分为98，即可得解；（3）利用给定转换公式求出等级分作答．【详解】（1）由10(0.020.030.04)1a a ++++=，可得0.005a =，此次化学考试成绩的平均值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分．（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90,100]的占比为5%，位于区间[80,90)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[80,90)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%90108520%--⨯=，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间为[85,98]．（3）由9890100908586T T --=--，解得11889113T =≈，该学生的等级分为91分．22．(1)证明见解析(2)①1113；②存在【分析】（1）取AB 的中点D ，可证得OD 面PAC ,DE 面PAC ,从而面ODE 面PAC ,进而得结论；（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEB 和平面AEC 的法向量，利用向量夹角公式求解；②设(1)OM OC OE λλ=+- ，（01λ<<），则33,111,22OM λ⎫=--⎪⎭ ，求出平面BCE 的法向量，利用向量夹解公式列出方程求解λ即可.【详解】（1）如图，取AB 的中点D ，连接,OA OB ,∵PO ⊥面ABC ,PA PB =,∴OA OB =,则OD AB ⊥,又AC AB ⊥,∴OD AC ∥,OD ⊄面PAC ,AC ⊂面PAC ,∴OD 面PAC ,∵,D E 分别为,AB PB 的中点，∴DE PA ∥,DE ⊄面PAC ,PA ⊂面PAC ,∴DE 面PAC ,DE OD D = ,,DE OD ⊂面ODE ,∴面ODE 面PAC ,又OE ⊂平面ODE ，所以OE 平面PAC.（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为3,5PO AP ==，所以4OA ==，又30ABO CBO ∠=∠=︒，4OA OB ==，所以cos 30AD BD OB ==︒=则212AB BD AC ====，则(0,0,0)A，()B ，(0,12,0)C，()2,3P，32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3),(0,12,0)2AE AB AC ===，设平面AEB 的法向量为(),,m x y z =，则3020m AE y m AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则3,0y x =-=，所以()0,3,2m =-，设平面AEC 的法向量(,,)n a b c =，则302120m AE b c m AB b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1a =-，则0c b ==，所以(1,0,n =-，所以cos ,n m n m n m⋅〈〉== .设二面角C AE B --的大小为θ，则11sin 13θ==.②()2,0O ，设(1)OM OC OE λλ=+-，（01λ<<），则33,111,22OM λ⎫=--⎪⎭，()3,2BC BE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，21设平面BCE 的法向量(),,r d e f = ，则120302r BC e r BE e f ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令d =41,3e f ==，所以43r ⎫=⎪⎭，r = ，4r OM ⋅= ，因为sin 30r OM r OM ⋅︒=，所以OM =26018925104252λλ--=，解得λ=（负根舍去），1λ-=，因为222260125160125189(60189)895121313⨯⨯+--=-+60125125142360160142301313⨯⎛⎫=-⨯+=-< ⎪⎝⎭，所以10λ-<，即01λ<<，所以存在点M 满足条件.。
四川省成都七中2020-2021学年度高二上期10月阶段性考试理科数学试题
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 与 作平行直线 和 ，分别交曲线 于点 、 和点 、 ，求四边形 面积的最大值.
参考答案
1．C
【分析】
利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．
【详解】
解：命题 ： ， ，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故 ： ，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积．
21．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
故选：C
【点睛】
本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属于基础题．
2．C
【分析】
求出直线 所过的定点 的坐标，判断点 与圆的位置关系，由此可判断出直线 与圆的位置关系.
【详解】
直线 过定点 ，
，则点 在圆 内，
因此，直线 和圆 相交.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
【详解】
解：因为圆 ： 的圆心 到直线 ： 的距离
，且圆的半径等于 ，
故圆上的点 到直线的最小距离为
故选：
【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.
四川省成都七中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题试题含答案
成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线y 2＝-8x 的准线方程是（ ）A ．y ＝2B ．x ＝4C ．x ＝-2D ．x ＝22．椭圆2212516x y +=的短轴长为（ ）A ．B ．10C ．8D ．63．双曲线22:149y x C -=的渐近线方程为（ ）A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±4．以下直线中，将圆x 2＋y 2-4x -2y ＋1＝0平分的是（ ）A ．x -y -1＝0B ．x -y ＋1＝0C ．2x -y ＝0D ．2x -y ＋3＝05．双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上且|PF 1|＝20，则|PF 2|等于（ ）A ．12或28B ．14或26C ．16或24D ．17或236．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2为等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2 D7．圆：x 2＋y 2＝4与圆：（x -3）2＋（y -4）2＝9的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 8．已知m ∈R ，则“m ＞3”是“方程22113x y m m -=--表示双曲线”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．F 为椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为第一象限内C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若C 的离心率为13，则直线AB 的斜率为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．4310．A ，B 是抛物线x 2＝2y 上的两点，O 为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB 的面积为，则∠AOB ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 11．如果实数x ，y 满足x 2＋y 2-6x ＋4＝0，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C D12．A 为椭圆22:184x y C +=的下顶点，B 为y 轴右侧椭圆C 上的点．若直线AB 与以M （0，13-）为圆心的圆相切于点P ，且14AP AB =，则直线AB 的斜率是（ ）A B ．12C D二、填空题（本大题共4小题）13．命题“若a ＝-1，则a 2＝1”的逆命题是________．14．抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________． 15．双曲线22:122x y C -=的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线C 于A ，B 两点，O为坐标原点，则OA OB ⋅＝________．16．已知点A （3，0），B （0，4），点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．三、解答题（本大题共6道小题，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知p ：∀x ∈R ，|x|＋1≥m ． q ：∃x ∈[0，π3]，tanx≥m ． （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若⌝p 为真命题，p ∨q 也为真命题，求实数m 的取值范围． 18．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F （2，0）． （1）求p ；（2）斜率为1的直线过点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 19．圆M 经过三点：A （-2，2），B （0，-2），C （4，0）． （1）求圆M 的方程； （2）求圆M 与圆N ：（x -3）2＋y 2＝25的公共弦的长．20．已知A （-2，0），B （2，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点N （1，1）作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，若点N 是线段PQ 的中点，求直线m 的方程．21．已知抛物线x 2＝2py （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求该抛物线的方程；（2）过点Q （-2，6）作动直线l 与该抛物线交于A ，B 两点（都与P 不重合），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．22．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0，且经过点（0，1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点． ①求|AB|（用实数k ，m 表示）； ②O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，且230AB =，求k 的值．2020—2021学年度上期高2022届半期考试 成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试数学（文） 参考答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．B 二、填空题13．若a 2＝1，则a ＝-1． 14．5 15．2 16．17 三、解答题 17．解：（1）∵∀x ∈R ，m≤|x|＋1，∴m≤（|x|＋1）min ．又∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴x ＝0时，（|x|＋1）min ＝1．∴m≤1，即p 为真命题时，m 的取值范围是（-∞，1]． （2）∵⌝p 是真命题，∴p 为假命题，∴由（1）得m ＞1．又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题．由∃x ∈[0，π3]，m≤tanx ，∴max π(tan )tan 3m x ≤=．综上，1m <≤m 的取值范围是（1．18．解：（1）∵22p=，∴p ＝4．（2）直线方程为y ＝x -2，联立y 2＝8x ，得（x -2）2＝8x ，∴x 2-12x ＋4＝0．∴Δ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x 1＋x 2＝12．∴焦点弦弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16． 解2：焦点弦弦长222816sin sin 45p AB θ===︒． 19．解：（1）设圆M 方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．∵圆M 过A （-2，2），B （0，-2），C （4，0），∴442204201640D E F E F D F +-++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得D ＝-2，E ＝-2，F ＝-8， ∴圆M 方程为：x 2＋y 2-2x -2y -8＝0．（2）圆N 的一般方程为：x 2＋y 2-6x -16＝0，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：4x -2y ＋8＝0．∴N （3，0）到直线距离d ==，∴相交弦长== 20．解：（1）设M （x ，y ），∴2AM y k x =+，2BM yk x =-，其中x≠±2，∴2212242AM BMy y y k k x x x =⋅==-+--，整理得轨迹C 的方程为：22142x y +=（x ≠±2）． （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴2211142x y +=，2222142x y +=，作差得22221212042x x y y --+=， ∴12121212()()()()24y y y y x x x x -+-+=-，∴121212122()2214()422PQ y y x x k x x y y -+⨯==-=-=--+⨯． ∴直线m 方程为：11(1)2y x -=--，即1322y x =-+，即x ＋2y -3＝0．∵N （1，1）在轨迹C 内部，且直线m 不经过A ，B ，∴满足条件， ∴直线m 方程为：x ＋2y -3＝0．解2：由题，直线m 斜率存在，设m 方程y -1＝k （x -1），联立y ＝kx ＋1-k 与x 2＋2y 2＝4，得x 2＋2（kx ＋1-k ）2＝4，整理得（2k 2＋1）x 2＋4k （1-k ）x ＋2（1-k ）2-4＝0．∵N （1，1）在轨迹C 内部，∴Δ＝[4k （1-k ）]2-4（2k 2＋1）[2（1-k ）2-4]＞0必成立． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则1224(1)221k k x x k -+==+，解得12k =-． ∴直线m 方程为：1322y x =-+，即x ＋2y -3＝0．21．解：（1）∵抛物线过P （2，4），∴22＝2p ×4，∴12p =，∴抛物线方程为x 2＝y ． （2）由题，l 斜率存在，设l 方程为y -6＝k （x ＋2），联立x 2＝y ，得x 2＝kx ＋6＋2k ， ∴x 2-kx -2k -6＝0，Δ＝k 2-4（-2k -6）＝（k ＋4）2＋8＞0成立． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝-2k -6．∴2211121212121211114444(2)(2)2()42222y y x x k k x x x x x x x x x x ----⋅=⋅=⋅=++=+++---- ＝-2k -6＋2k ＋4＝-2，∴k 1·k 2为定值-2，得证． 22．解：（1）∵C 过（0，1），∴b ＝1．又c e a ==a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， ∴C 的方程为：2214x y +=（2）①联立y ＝kx ＋m 与x 2＋4y 2＝4，得x 2＋4（kx ＋m ）2＝4，∴（4k 2＋1）x 2＋8kmx ＋4m 2-4＝0．∴Δ＝（8km ）2-4（4k 2＋1）（4m 2-4）＝16（4k 2＋1-m 2）＞0，∴4k 2＋1＞m 2． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+．∴AB ==．②∵12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴x 1x 2＋（kx 1＋m ）(kx 2＋m)＝0， 即（k 2＋1）x1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2＝0．∴22222448(1)04141m km kkm m k k --+⋅+⋅+=++，∴2222222222(1)(44)8(41)54404141k m k m m k m k k k +--++--==++，∴224(1)5k m +=．∴AB ==∴2（1＋k 2）(16k 2＋1)＝3（4k 2＋1）2，∴16k 4-10k 2＋1＝0，∴（2k 2-1）(8k 2-1)＝0．∴212k =或218k =．此时222224(1)1616(41)16[41](161)055k k m k k +∆=+-=+-=+>均成立，∴2k =或4．。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考语文试题含答案
2024～2025学年度上期高2025届10月阶段性测试语文试题考试时间：150分钟满分：150分一、现代文阅读（33分）（一）现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，17分)阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：陈国栋同志的报告是一个重要文件。
请各大区区长主持讨论，细致地讨论，讨论两次至三次。
我基本上同意这个文件所述的意见。
但觉：（一）假定今年年成比去年确实好的情况之下，征购一千一百亿斤，力争办到，这是变被动为主动的第一着。
今年年成如果在秋收以后确实较去年好，确实证明无妄的时候，为什么不能征购到这个数目字呢？（二）下年度销售计划，我感觉不但一千另二十亿斤，是太多了，这个文件上调整为八百五十五亿斤，似乎也略为多了一点。
是否可以调整为八百亿斤，或者八百一十、二十亿呢？告诉农民，恢复糠菜半年粮，可不可以呢？苦一年、两年、三年，就翻过身来了。
多储备，少食用，以人定量，粮食归户……忙时多吃，闲时少吃，有稀有干，粮菜混吃，仍然可以吃饱吃好，可不可以这样做呢？（三）多产粮，是上策。
田头地角，零星土地，谁种谁收，不征不购，主要为了解决饲料，部分为了人用。
恢复私人菜园，一定要酌给自留地。
凡此种种，可以多收。
既已多收，可以多吃（例如菜）。
（四）好好地精细地安排过日子。
是否可以按照一九五七年的实际产量安排过日子呢？一九五七年的日子不是过得还不错吗？这样做，农民的粮食储备就可以增得较多了。
手里有粮，心里不慌，脚踏实地，喜气洋洋。
……以上几点意见，只供同志们此次讨论的参考，切勿下传。
不对之处，准备修改。
（摘自毛泽东《粮食问题》）【注】材料一是毛泽东于一九五九年七月五日为印发粮食部副部长陈国栋关于一九五九至一九六零年度粮食分配和粮食收支计划调整意见的报告写的批语，题目是毛泽东拟的。
此前毛泽东曾批示：“按人定量，忙时多吃，闲时少吃，忙时吃干，闲时半干半稀，杂以番薯、青菜、萝卜、瓜豆、芋头之类。
”材料二：一个国家唯有立足粮食基本自给，才能掌握粮食安全的主动权，才能保障国运民生。
四川省成都市七中育才学校高二数学文月考试卷含解析
四川省成都市七中育才学校高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集，则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A． B． C． D．参考答案：D2. 设数列,,,,…，则是这个数列的( )A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项参考答案：B3. 函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＜0，f（10）＞0，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）?f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选D．4. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A．30种 B．12种 C． 6种 D．36种参考答案：A略5. 等差数列中，，，则此数列前项和等于（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁参考答案：A【分析】逐一假设成立，分析，可推出。
【详解】若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.【点睛】本题考查合情推理，属于基础题。
7. 已知恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A8. 下列命题中是真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞bB．“当x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题C．“若b=3，则b2=9”的逆命题D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据不等式的性质以及命题的关系分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：若c＜0，ac＞bc，则a＜b，不成立，对于B：“当x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题是：“x2﹣3x+2=0时，x=1或x=2”，是假命题；对于C：“若b=3，则b2=9”的逆命题是：“若b2=9，则b=±3”，是假命题；对于D：“相似三角形的对应角相等”的逆否命题是：“对应角不相等的三角形不是相似三角形”，是真命题；故选：D．9. 已知在△ABC中,满足acos B=bcos A,判断△ABC的形状为( ).A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形参考答案：B略10. 若坐标原点到抛物线的准线的距离为2，则（）A．8 B．±8 C. D．参考答案：D因，故由题设可得，所以，应选答案D。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。
四川省成都七中2019-2020学年上学期高2020届高二数学(文科)测试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都七中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得x=1，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为()A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有()A. 3B. 6C. 12D. 243.某市要对20000多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出1000名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：时间x2358912工资y30406090120140则小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为()A. ŷ=587x+1837B. ŷ=11.4x+5.9C. ŷ=807x+407D. ŷ=8.6x+24.15.对具有线性相关关系的两个变量x，y，测得一组数据如表所示：x24568y 20 m 60 70n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y ̂=10.5x +1.5，则m +n =( ) A. 119 B. 120 C. 129 D. 130 6. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x .，则( )A. m e =m 0=x .B. m e =m 0<x .C. m e <m 0<x .D. m 0<m e <x .7. 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有( ) A. 27个 B. 28个 C. 29个 D. 30个 8. 如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( ) A. 192 B. 336 C. 600D. 以上答案均不对二、填空题（本大题共4小题）9. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数n =7，m =3，那么输出的p 等于______10. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．11. 把半椭圆x 24+y 23=1(x ≥0)与圆弧(x −1)2+y 2=4(x <0)合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧(x −1)2+y 2=4(x <0)与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则△APQ 的周长取值范围为______12. 4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______ 三、解答题（本大题共3小题）13. 从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数、中位数(保留2位小数)；(3)根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？14. 为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x ，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学 120 118 116 122 124 物理 7979778283 附b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b x −．R 2=1−∑(n i=1y i −y i )2∑(n i=1y i −y −)2．(1)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x的回归直线方程；(2)我们常用R 2来刻画回归的效果，其中R 2越接近于1，表示回归效果越好．求R 2． (3)已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？15.如图，椭圆C1：x23+y22=1，抛物线C2：y2=2px(p>0)，过C2上一点P(异于原点O)作C2的切线l交C1于A，B 两点，切线l交x轴于点Q．(1)若点P的横坐标为1，且|1|AQ|−1|BQ||=12，求p的值．(2)求△OAB的面积的最大值，并求证当△OAB面积取最大值时，对任意的p>0，直线l均与一个定椭圆相切．答案和解析1.【答案】C【解析】解：初始值为n，x=1，模拟程序运行过程如下；v=1，i=n−1满足条件i≥0，v=1×1+n−1=n，i=n−2满足条件i≥0，v=n×1+n−2=2n−2，i=n−3满足条件i≥0，v=(2n−2)×1+n−3=3n−5，i=n−4…满足条件i≥0，v=1+(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+2+1=n(n−1)2+1，i=0满足条件i≥0，v=(n(n−1)2+1)×1+0=n(n−1)2+1，i=−1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为n(n−1)2+1=56，即n(n−1)=110，解得n=11．故选：C．由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=−1时，不满足条件i≥0时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v值是解题的关键，是中档题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：①，在4本书中任选2本，分给甲，有C42=6种情况，②，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．根据题意，分2步进行分析：①，在4本书中任选2本，分给甲，②，剩下的2本送给乙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图，得：司机年龄在[25,30)的频率为：1−(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2，∴司机年龄在[25,30)的频率为：0.01×5+0.2=0.25，司机年龄在[30,35)的频率为：0.07×5=0.35，∴估计该市出租车司机年龄的中位数大约是：30+0.5−0.250.35×5≈33.6岁．故选：C．由频率分布直方图，求出司机年龄在[25,30)的频率为0.2，司机年龄在[25,30)的频率为：0.01×5+0.2=0.25，司机年龄在[30,35)的频率为：0.07×5=0.35，由此能求出估计该市出租车司机年龄的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：x −=16(2+3+5+8+9+12)=6.5，y −=16(30+40+60+90+120+140)=80．b ̂=∑x i 6i=1y i −6x −y−∑x i 26i=1−6x−2=2×30+3×40+5×60+8×90+9×120+12×140−6×6.5×8022+32+52+82+92+122−6×6.52=11.4，a ̂=y −−b ̂x −=80−11.4×6.5=5.9．∴小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为y ̂=11.4x +5.9． 故选：B ．由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 5.【答案】B【解析】解：∵x −=15(2+4+5+6+8)=5，y −=15(20+m +60+70+n)=150+m+n5，∴样本点的中心的坐标为(5,150+m+n5)，代入线性回归方程，得150+m+n5=10.5×5+1.5，解得m +n =120．故选：B ．由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m +n 的值． 本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6.【答案】D【解析】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e =5.5， 得分为5的最多，故众数m 0=5， 其平均数x .=2×3+3×4+10×5+6×6+5×7+2×8+2×9+2×1030≈5.97；则有m 0<m e <x .， 故选：D ．根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．本题考查数据的平均数、中位数、众数的计算，关键是由统计图分析得到平均数、中位数、众数． 7.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况， ①，四位数的千位数字为3，其百位数字为1时，有3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有A 32=6种情况， 此时有1+3×6=19个符合条件的四位数； ②，四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有A 32=6种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有6+2=8个符合条件的四位数；则有19+8=27个符合条件的四位数；故选：A．根据题意，按四位数的千位数字不同分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，①当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，(1)C若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，(2)若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：4×3×2×1×2×(1×3+1×2)=240种方法；②当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，(1)若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，(2)若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：4×3×2×1×3×(1×2+1×1)=216种方法；③当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，(1)若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；(2)若B不同于F，则B有1种方法，(Ⅰ)若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；(Ⅱ)若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：4×3×2×1×[1×1×2+1×(1×2+1×2)]=144种方法；综上共有240+216+144=600种方法．故选：C．根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．9.【答案】210【解析】解：模拟程序的运行，可得n=7，m=3，k=1，p=1p=5，满足条件k<3，执行循环体，k=2，p=30满足条件k<3，执行循环体，k=3，p=210不满足条件k<3，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k<3，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】46【解析】解：由茎叶图得：=46．该样本的中位数是：45+472故答案为：46．由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】(6,8]【解析】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为θ，θ∈(0,π)，由半椭圆方程为x24+y23=1(x≥0)可得F(1,0)，圆弧方程为：(x−1)2+y2=4(x<0)的圆心为(1,0)，半径为2，且A(−1,0)恰为椭圆的左焦点，|PA|+|PF|=2a=4，与y轴的两个交点为B(0,−√3)，C(0,√3)，当直线PQ经过B时，k PQ=tanθ=√3，即有θ=π3；当直线PQ经过C时，k PQ=tanθ=−√3，即有θ=2π3．①当θ∈(0,π3)时，Q、P分别在圆弧：(x−1)2+y2=4(x<0)、半椭圆x24+y23=1(x≥0)上，△AFQ为腰为2的等腰三角形，则|AQ|=2|QF|sinθ2=4sinθ2，△APQ的周长L=|QA|+|QF|+|PF|+|AP|=4sinθ2+2+4=6+4sinθ2∈(6,8)；②当θ∈(2π3,π)时，P、Q分别在圆弧：(x−1)2+y2=4(x<0)、半椭圆x24+y23=1(x≥0)上，△APF为腰为2的等腰三角形，且|AP|=2|FP|sin(90°−θ2)=4cosθ2，△APQ的周长L=|QA|+|QF|+|PF|+|AP|=4+2+|AP|=6+4cosθ2∈(6,8)；③当θ∈[π3,2π3]时，P、Q在半椭圆x24+y23=1(x≥0)上，△APQ的周长L=|QA|+|QF|+|PF|+|AP|=4×2=8．综上可得，△APQ的周长取值范围为(6,8]．故答案为：(6,8]．首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为θ，θ∈(0,π)，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论①当θ∈(0,π3)时，②当θ∈2π3，π)时，③当θ∈[π3,2π3]时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得△APQ的周长的范围．本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.【答案】60【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，有A43=4×3×2=24种录取情况；②，4名大学生全部录用，有C42A33=6×6=36种录取情况，则有24+36=60种录用种数；故答案为：60．根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，②，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.质量指标值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)分组频数 6 26 38 22 8频率0.060.260.380.220.08由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：(2)质量指标值的样本平均数为：x.=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，∵[75,95)内频率为：0.06+0.26=0.32，∴中位数位于[95,105)内，×10≈99.74，设中位数为x，则x=95+0.5−0.26−0.060.38∴中位数为99.74．(3)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．【解析】(1)由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．(2)由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%的规定．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、众数、中位数、方差的求法，考查产品质量指标所占比重的估计值的计算与应用．×(120+118+116+122+124)=120，14.【答案】解：(1)计算x−=15y −=15×(79+79+77+82+83)=80；b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=0×(−1)+(−2)×(−1)+(−4)×(−3)+2×2+4×3(−1)2+(−1)2+(−3)2+22+32=34； a ̂=y −−b ̂x −=80−34×120=−10，所以y 关于x 的线性回归方程是y ̂=34x −10；计算相关系数R 2=1−∑(n i=1y i −y i )2∑(n i=1y i −y −)2=1−(−1)2+0.52+0+0.52+0(−1)2+(−1)2+(−3)2+22+32=1−116=1516=0.9375；所以R 2接近于1，表示回归效果越好；(3)第6次考试该生的数学成绩达到132，计算y ̂=34x −10=34×132−10=89，预测他的物理成绩为89分．【解析】(1)计算x −、y −，求出回归系数b ^、a ^，写出回归方程； (2)利用回归方程计算y 对应的y ^值，求出相关系数R 2的值； (3)利用回归方程计算x =132时y ^的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题． 15.【答案】解：(1)点P(1,±√2p)，由对称性不妨设P(1,√2p)． 于是l ：√2py =px +p ，于是Q(−1,0).所以点Q 是C 1的左焦点． 设∠AQO =α.焦准距为m =2．类比抛物线的焦半径算法可得|AQ|=m 1e−cosα,|BQ|=m1e+cosα．于是|1|AQ|−1|BQ||=2cosαm=cosα=12，于是2p =√3，所以p =6．(2)设P(x 0,y 0).于是l ：y 0y =px +px 0． 于是Q(−x 0,0).令t =y 0p ，则l ：x =ty −x 0．联立{x 23+y 22=1x =ty −x 0⇒(2t 2+3)y 2−4x 0ty +2x 02−6=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).△=24(2t 2−x 02+3)． S △OAB =12|OQ||y 1−y 2|=12|x 0|√△2t +3=√6√x 02(2t 2−x 02+3)2t +3≤√6x 02+(2t 2−x 02+3)22t +3=√62． 当且仅当x 02=2t 2+32取等，且满足△>0.所以△OAB 的面积的最大值为√62．注意到x 02=2t 2+32即为2t 2+3−2x 02=0.这个等式类似于△=12(2t 2−2x 02+3)； 于是猜想椭圆x 23+y 22=12.联立{x 23+y 22=12x =ty −x 0得：(2t2+3)y2−4tx0y+2x02−3=0；△=16t2x02−4(2t2+)(2x02−3)=12(2t2−2x02+3)=0；故当△OAB面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆x23+y22=12相切．【解析】(1)不妨设P(1,√2p).计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；(2)设P(x0,y0)则Q(−x0,0).令t=y0p，则l：x=ty−x0.表示出△OAB的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆x23+y22=12.相切；本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。
成都七中2020-2021学年度上学期高二文科数学10月阶段性考试试卷答案
第 1 页，总 6 页成都七中高 2022 届 高二（上）数学 10 月阶段测试（文科）一、单选题（12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1．已知命题 p : ∀x ∈ R , x > sin x ，则命题 p 的否定为（ ）A ． ⌝p : ∃x 0 ∈ R , x 0 < sin x 0B ． ⌝p : ∀x ∈ R , x < sin xC ． ⌝p : ∃x 0 ∈ R , x 0 ≤ sin x 0D ． ⌝p : ∀x ∈ R , x ≤ sin x【答案】C 2．直线 l ： y - 1 = k ( x - 1) 和圆 x 2 + y 2 - 4x = 0 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切或相交C ．相交D ．相切【答案】C3．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】B4．已知 P 是圆 O ： x 2 + y 2 = 1 上的动点，则点 P 到直线l ： x + y -= 0 的距离的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ． 【答案】A5．已知 a ， b , c 为三条不同的直线，α ， β ， γ 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若 a ∥b ， b ⊂ α 则 a αB ．若 a ⊂ α ， b ⊂ β ， a ∥b 则 α∥βC ．若 α∥β ， a α 则 a ∥ βD ．若 α ⋂ β = a ， β γ = b ， α ⋂ γ = c ， a ∥b 则b ∥c【答案】D6．已知条件 p : x +1 > 2 ，条件q : 5x - 6 > x 2 ，则 ⌝p 是 ⌝q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．已知函数 f (x ) = x 2- 2x ， g (x ) = ax + 2(a > 0) ，若对任意 [ ] ，总存在 [ ] ，使得 x 1 ∈ -1, 2 x 2 ∈ -1, 2 f (x 1 ) = g (x 2 ) ，则实数 a 的取值范围是（ ）。
成都七中2024-2025学年度上期高2026届高二十月月考语文试卷
高二年级10月阶段检测语文（考试时间：150分钟试卷满分：150分）一、现代文阅读（32 分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5 小题，20 分）阅读下面的文字，完成 1-5 题。
迷人的哥白尼吴国盛（1）哥白尼被公认为现代科学的肇始者，他的日心说成为现代科学的常识。
但正如黑格尔所说，熟知不是真知。
谁是哥白尼？他为何要用日心说替代地心说？通常的回答是：哥白尼是一位天文学家，他在《天体运行论》中提出了日心说，日心说更符合天文观测事实。
但这样的回答似是而非。
（2）其实，哥白尼是一位教士，利用业余时间从事天文学研究，在最后的岁月里写出了他的传世之作。
长期以来，该书多被译成《天体运行论》，但“天体”这个译名并不正确，对哥白尼而言，“天体”其实是“天球”。
天球是希腊数理天文学的基本假定，群星每日旋转，周而复始，运动呈现出周期性和稳定性。
让群星镶嵌在天球之上，随着天球统一转动，反映了时人对天空确定性和恒久性的理解。
后人不承认有天球的存在，便想当然地把“天球”改译成“天体”，一字之差，无意间拔高了哥白尼，体现了译者时代的科学理念。
（3）哥白尼为什么要用日心说替代已经延续了一千多年的托勒密地心说呢？按照实事求是即为科学精神的一般理解，这当然是因为日心说更加符合天文观测结果。
20 世纪50 年代之前，西方科学哲学也认为，所谓科学无非是既具有内在逻辑结构，又符合观测事实的理论。
如果理论不符合事实，它就被证伪了，反之就被证实了。
这种科学哲学被称为逻辑实证主义。
（4）50 年代后期，科学史家托马斯•库恩打破这种逻辑主义一统天下的局面，开启了历史主义科学哲学，强调不能仅从逻辑层面理解科学，而应深入其历史发展过程，考虑科学之外的哲学、宗教和文化背景。
在《哥白尼革命》一书中，他指出哥白尼抛弃地心说而提出日心说，并不是因为掌握了什么托勒密体系无法解释的观测证据，而是由复杂多样的时代文化背景导致的。
哥白尼继承的是希腊化的数学传统，重在模拟和预测天象，可以自由地构想宇宙体系，不必关心天界的实际物理构造。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
四川省成都市成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．1122a b c++C．1122-++a b c5．某校高一年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85,85,86,87,88,89，90,91,91,91,92,93,94,96,98A ．23535B 8．已知正方体ABCD -棱所成的角均相等，记为论正确的是（ ）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 的面积的最大值为D ．正方体111ABCD A B C -二、多选题9．下列命题中是真命题的为（ ）A ．若p 与,a b共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+ B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB=+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10．已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量(,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（ ）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥ D ．1e n l α⊥⇔⊥ 11．以下结论正确的是（ ）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B ⋃=C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（ ）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的范围为()1,2三、填空题，16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示）的表面积为．四、解答题17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值；(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．DE平面PAB (1)证明：//(1)证明：平面//PCD平面QAB (2)设G为QBC△的重心，是否在棱值为3020，若存在，求S到平面参考答案：件，概率为．设1,5OA OB SA ===，则易知(0,1,0),(0,1,0),(0,0,2),A C S -∵2cos 3BOC ∠=，∴sin BOC ∠B 选项，由A 选项分析可知，36sin cos 33θθ=⇒=，故B 错误.C 选项，由A 选项分析可知，当平面α过1,,A B D 或11,,B D C 时，所得正三角形面积最大，由题可得边长为2，则相应面积为(34⨯当M 为六边形时，如下图所示，因//RS 11B D ，1//RT D C ，又1B D ∠结合图形可知o 120SRT ∠=，又由题可知六边形RSUVWT 为中心对称图形，RSOT ≅四边形WTOV ≅四边形UVOS42D 选项，先判断M 内部的最大圆直径最大值是否超过当M 为正三角形时，M 内部的最大圆为三角形内切圆，易知当平面α过1,,A B D 或11,,B D C 设此时内切圆半径为r ，三角形面积为则内切圆直径3442232S r C ⨯===13．27【详解】分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共14．1 3【分析】分析试验过程，利用概率的乘法公式即可求出概率.：第二次才能打开门.如图构造一直三棱锥，使EA ∠在GAF 中，由余弦定理，可得则223EG AA EF GF '==-=故答案为：22或32.16．16π【分析】利用正方体的性质，结合球的表面积公式进行求解即可【详解】把该几何体放在正方体中，设正方体的棱长为因为该几何体的所有棱的长都为【点睛】关键点睛：本题的关键是把该几何体放在正方体中，利用正方体的性质进行求解17．(1)0.015a=(2)72，220 3【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；（2）利用频率分布直方图求平均数及中位数的公式计算即可22．(1)证明见解析(2)存在，36如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，所以132,,22PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，132,,22AQ ⎛=- ⎝ 因为PC ⊄平面QAB ，AC ⊂平面QAB ，所以又//AB CD ，CD ⊄平面QAB ，AB ⊂因为PC CD C ⋂=，,PC CD ⊂平面PCD ，所以平面//PCD 平面QAB .。
2020-2021学年四川省成都市某校高二(上)10月月考数学(文)试卷(有答案) (2)
2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 在直角坐标系中，直线2x−1=0的倾斜角是( )A.π3B.π2C.2π3D. 不存在2. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )A.空间任意三点B.空间两条直线C.空间两条平行直线D.一条直线和一个点3. 已知椭圆C：x28+y212=1，则C的长轴长为( )A.4√2B.4√3C.2√2D.2√34. 在空间直角坐标系中，点(−2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(−2,1,9)B.(2,1,−9)C.(2,−1,9)D.(−2,−1,−9)5. 圆x2+y2−2x−3=0的圆心到直线y=x距离为( )A.1 2B.√22C.√2D.26. 双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A.2B.√3C.√2D.327. 椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )A.1 2B.13C.14D.√228. 已知两个不同的平面α，β和两个不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m // n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α // β；③若m⊥α，m // n，n⊂β，则α⊥β；④若m // α，α∩β=n，则m // n，其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.09. 设θ∈(3π4, π)，则关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆10. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=π2，D是棱AC的中点，且AB=BC= BB1=2.求异面直线AB1与BC1所成的角( )A.π6B.π4C.π3D.π211. 设e是椭圆x28+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围为( )A.(0,6)B.(0,6)∪(323,+∞) C.(0,3)∪(163,+∞) D.(0,2)12. 已知动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线的最大距离为3，则12a +2c的最小值为( )A.1B.92C.94D.9二、填空题与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为2的双曲线标准方程是________.空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x，−1，6)的距离为√86，则x等于________.设点P是双曲线x29−y216=1上任意一点，F1，F2分别是其左，右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________.已知点P是椭圆x24+y23=1上任一点，则点P到直线l:x+2y−12=0的距离的最小值为________．三、解答题(1)求经过点P(3,0)，且离心率为√55的椭圆的标准方程；(2)经过两点A(7,6√2)，B(2√7,−3)的双曲线标准方程.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.(1)求AC边所在直线方程；(2)求过顶点C且与BH平行的直线．已知动圆C经过点A(2, −3)和B(−2, −5).(1)当圆C面积最小时，求圆C的方程；(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点，AB=BC=AA1=1.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求BE与平面BCC1B1所成角的正弦值．已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点(0,12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得k MQ+k NQ=0？若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线2x−1=0，即为x=12的倾斜角是θ，θ∈[0, π)．∵x=12这条直线与x轴垂直，∴直线2x−1=0的倾斜角是π2，即θ=π2．故选B．2.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：A，空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故A选项不正确；B，空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故B选项不正确；C，根据立体几何公理的推论可知，空间中两条平行直线能够确定一个平面，故C选项正确；D，一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故D选项不正确.故选C.3.【答案】B【考点】椭圆的标准方程【解析】由题意得到椭圆x 28+y212=1的焦点在y轴上，且a2=12，求解即可.解：∵椭圆x 28+y212=1的焦点在y轴上，∴a2=12，解得a=2√3，2a=4√3.故选B.4.【答案】D【考点】空间直角坐标系【解析】根据空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于x轴的对称点坐标是(x，−y，−z)，据此求解.【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点(x,y,z)关于x轴的对称点坐标是(x,−y,−z)，∴点(−2,1,9)关于x轴的对称点坐标是(−2,−1,−9).故选D.5.【答案】B【考点】圆的一般方程点到直线的距离公式【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=4，∴圆心坐标为(1, 0)，则圆心到直线y=x的距离d=√12+(−1)2=√22.故选B.6.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=√2a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x 2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，∴双曲线x2b2−y2a2=1是等轴双曲线，∴c=√a2+b2=√2b，∴e=cb =√2bb=√2．故选C.7.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】【解答】解：依题意可知：等边三角形的三边分别为a，a和2c，∴a=2c，∴e=ca =12，即离心率为12.故选A.8.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用．【解答】解：对于①：若m // n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②：若m⊥α，m⊥β，则α // β，故该命题为真命题；对于③：若m⊥α，m // n，则n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，故该命题为真命题；对于④：如图，若m // α，α∩β=n，则m // n不成立，故该命题为假命题；综上所述，正确命题的个数为3.故选A.9.【答案】C椭圆的定义【解析】利用θ∈(3π4, π)，可定−cosθ>sinθ>0，即可得出结论．【解答】解：∵θ∈(3π4, π)，∴−cosθ>sinθ>0，∴关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆.故选C.10.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】通过空间直角坐标系求解.【解答】解：如图，连接CB1交BC1于点O，作AC的中点D，连接BD，OD，C1D，由题意，得AB1//OD，∴∠DOB为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角 .∵∠ ABC=π2，AB=BC=BB1=2，∴AC=√AB2+BC2=2√2，AB1=BC1=2√2，∴BD=12AC=√2，∴OD=12AB1=√2，OB=12BC1=√2，∴△ OBD是等边三角形，∴∠ DOB=60∘，∴异面直线AB1与BC1所成的角为60∘.故选C．11.B【考点】椭圆的离心率【解析】由题意和椭圆性质可得当k>8时，12<√k−8k<1；当0<k<8时，12<√8−k8<1，解不等式后即可得解．【解答】解：由e∈(12,1)，e=ca=√c2a2，c2=a2−b2，可得：当k>8时，c2=k−8，由条件知12<√k−8k<1，解得k>323；当0<k<8时，c2=8−k，由条件知12<√8−k8<1，解得0<k<6.综上所述：实数k的取值范围为(0,6)∪(323,+∞).故选B．12.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用两点间的距离公式【解析】由题意可得：可得a+bm+c−2＝0．又Q(4, 0)到动直线l0的最大距离为3，可得√(4−1)2+m2=3，解得m＝0．a+c＝2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a+bm+c−2=0.又∵Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，∴√(4−1)2+m2=3，解得m=0，∴a+c=2.则12a +2c=12(a+c)(12a+2c)=12(52+c2a+2ac)≥12(52+2√c2a⋅2ac)=94，当且仅当c=2a=43时取等号. 故选C.【答案】4x 25−4y 215=1 【考点】双曲线的标准方程【解析】由题意设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，得到c =√5，e =c a =2，又b 2=c 2−a 2，求出a ，b 即可.【解答】解：∵ 椭圆x 29+y 24=1的焦点坐标为(±√5,0)，∴ 所求双曲线的焦点在x 轴上.设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由题意可得：c =√5，e =c a =2. 又∵ b 2=c 2−a 2，∴ a =√52，b =√152， ∴ 双曲线的标准方程为x 254−y 2154=1，即4x 25−4y 215=1. 故答案为：4x 25−4y 215=1.【答案】2或−8【考点】空间两点间的距离公式【解析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x ，−1，6)的距离为√86， 所以√(x +3)2+(−1−4)2+(6−0)2=√86，所以(x +3)2=25，解得x =2或x =−8．故答案为：2或−8.【答案】4或16【考点】双曲线的定义【解析】由双曲线的定义得，||PF 1|−|PF 2||=2a =6，求解即可.【解答】解：由双曲线的标准方程得，a 2=9，∴ a =3，由双曲线的定义得，||PF1|−|PF2||=2a=6.∵|PF1|=10，∴|PF2|=4或16.故答案为：4或16.【答案】8√55【考点】直线与椭圆结合的最值问题两条平行直线间的距离【解析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．【解答】解：设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为x+2y+m=0，联立新的直线方程与椭圆方程{x24+y23=1,x+2y+m=0,整理并消去x，得16y2+12my+3m2−12=0，由题意，得Δ=−48m2+768=0，解得m=±4，所以当m=−4时，点P到直线l的距离最小，此时点P到直线l的距离为√12+22=8√55.故答案为：8√55．三、解答题【答案】解：(1)当焦点在x轴上时，{a=3,ca=√55,b2=a2−c2,解得b2=365，此时椭圆的标准方程为：x 29+5y236=1.当焦点在y轴上时，{b=3,ca=√55,b2=a2−c2,解得a2=454，此时椭圆的标准方程为：x 29+4y245=1.(2)设双曲线方程为mx2+ny2=1. ∵双曲线过A(7,6√2)，B(2√7,−3)，∴{49m+72n=1,28m+9n=1,解得{m =125,n =−175, ∴ 双曲线的标准方程为x 225−y 275=1.【考点】双曲线的标准方程椭圆的标准方程【解析】【解答】 解：(1)当焦点在x 轴上时，{a =3,c a =√55,b 2=a 2−c 2,解得b 2=365，此时椭圆的标准方程为：x 29+5y 236=1. 当焦点在y 轴上时，{b =3,c a =√55,b 2=a 2−c 2,解得a 2=454，此时椭圆的标准方程为：x 29+4y 245=1.(2)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1.∵ 双曲线过A(7,6√2)，B(2√7,−3)，∴ {49m +72n =1,28m +9n =1,解得{m =125,n =−175, ∴ 双曲线的标准方程为x 225−y 275=1.【答案】解：(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为x −2y −5=0，可知k AC =−2.又A(5，1)，故AC 边所在直线方程为y −1=−2(x −5)，即AC 边所在直线方程为2x +y −11=0．(2)联立{2x +y −11=0,2x −y −5=0,解得{x =4,y =3,所以顶点C 的坐标为(4，3).又因为BH 所在直线的斜率为12， 故所求直线方程为y −3=12(x −4)，即x −2y +2=0．【考点】两条直线的交点坐标直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：(1)由AC 边上的高BH 所在直线方程为x −2y −5=0，可知k AC =−2.又A(5，1)，故AC 边所在直线方程为y −1=−2(x −5)，即AC 边所在直线方程为2x +y −11=0．(2)联立{2x +y −11=0,2x −y −5=0,解得{x =4,y =3,所以顶点C 的坐标为(4，3).又因为BH 所在直线的斜率为12，故所求直线方程为y −3=12(x −4)， 即x −2y +2=0．【答案】解：(1)要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，故圆心C(0, −4)，半径r =12|AB|=√5， 所以所求圆C 的方程为：x 2+(y +4)2=5．(2)∵ k AB =12，AB 中点为(0, −4)，∴ AB 中垂线方程为y +4=−2x ，即2x +y +4=0，解方程组{2x +y +4=0,3x +y +5=0,得{x =−1y =−2， 所以圆心C 为(−1, −2)．根据两点间的距离公式，得半径r =√10，因此，所求的圆C 的方程为(x +1)2+(y +2)2=10．【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程两点间的距离公式直线的一般式方程与直线的垂直关系中点坐标公式【解析】（1）以AB 为直径的圆即为面积最小的圆．由此算出线段AB 的中点坐标和AB 长，即可写出所求圆C 的方程；（2）由圆的性质，AB 的中垂线与直线3x +y +5=0的交点即为圆C 的圆心，由此联解直线方程得圆心C(−1, −2)，再由两点的距离公式算出半径r =√10，即可得到所求的圆C 的方程．【解答】解：(1)要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，故圆心C(0, −4)，半径r =12|AB|=√5， 所以所求圆C 的方程为：x 2+(y +4)2=5．(2)∵ k AB =12，AB 中点为(0, −4)， ∴ AB 中垂线方程为y +4=−2x ，即2x +y +4=0，解方程组{2x +y +4=0,3x +y +5=0,得{x =−1y =−2， 所以圆心C 为(−1, −2)．根据两点间的距离公式，得半径r =√10，因此，所求的圆C 的方程为(x +1)2+(y +2)2=10．【答案】(1)证明：∵ BB 1⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴ BB 1⊥AB .∵ AB ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ，∴ AB ⊥平面B 1BCC 1.∵ AB ⊂平面ABE ，∴ 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)解：取B 1C 1中点为G ，连结EG ，BG ．∵ 点E 为A 1C 1的中点，∴ EG//A 1B 1//AB .∵ AB ⊥平面B 1BCC 1，∴ EG ⊥平面B 1BCC 1，∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的平面角为∠EBG .∵ EG =12A 1B 1=12，BG =√BB 12+B 1G 2=√12+(12)2=√52， ∴ BE =√BG 2+EG 2=√(12)2+(√52)2=√62， ∴ sin ∠EBG =12√62=√66， ∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√66.【考点】直线与平面所成的角平面与平面垂直的判定【解析】【解答】(1)证明：∵ BB 1⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴ BB 1⊥AB .∵ AB ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ，∴ AB ⊥平面B 1BCC 1.∵ AB ⊂平面ABE ，∴ 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)解：取B 1C 1中点为G ，连结EG ，BG ．∵ 点E 为A 1C 1的中点，∴ EG//A 1B 1//AB .∵ AB ⊥平面B 1BCC 1，∴ EG ⊥平面B 1BCC 1，∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的平面角为∠EBG . ∵ EG =12A 1B 1=12， BG =√BB 12+B 1G 2=√12+(12)2=√52，∴ BE =√BG 2+EG 2=√(12)2+(√52)2=√62， ∴ sin ∠EBG =12√62=√66， ∴ BE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√66.【答案】解：连接MB ，MQ ，如图.设P(x, y)，Q(a, 0).由点M ，P ，Q 在一条直线上，得2−a =y−2x ．① 由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|， 即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1．②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116．由图形可知y <2，因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．【考点】直线与圆的位置关系轨迹方程直线的一般式方程【解析】（2）连接MB ，MQ ，设P(x, y)，Q(|a|, 0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|⋅|MQ|，联立消去a ，求得x 和y 的关系式，根据图形可知y <2，排除x 2+(y −94)2=116．进而可求得动弦AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：连接MB ，MQ ，如图.设P(x, y)，Q(a, 0).由点M ，P ，Q 在一条直线上，得2−a =y−2x ．①由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|，即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1．②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116．由图形可知y <2，因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)． 【答案】解：(1)由题意，得 △F 1MF 2面积最大值为S △ F 1MF 2 =12|F 1F 2|⋅b =12⋅2c ⋅b =bc =√3， 又∵ e =c a =12，a 2=b 2+c 2， ∴ b =√3c ，解得{b =√3，c =1，∴ a =2，∴ 椭圆C 得方程为 x 24+y 23=1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0,m ).设直线l 的方程为 y =kx +12, M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)， 由{x 24+y 23=1，y =kx +12， 消去x ，得(3+4k 2)x 2+4kx −11=0，由根与系数得关系，得x 1+x 2=−4k 3+4k 2， x 1⋅x 2=−113+4k 2.由k MQ +k NQ =0得：y 1−mx 1+y 2−m x 2=kx 1+12−m x 1+kx 2+12−m x 2 =2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)x 1x 2=0， 即2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)=2k ⋅(−11)3+4k 2+(12−m)⋅(−4k)3+4k 2 =4k(m−6)3+4k 2=0， 解得m =6，∴ 存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，得 △F 1MF 2面积最大值为S △ F 1MF 2 =12|F 1F 2|⋅b =12⋅2c ⋅b =bc =√3， 又∵ e =c a =12，a 2=b 2+c 2，∴ b =√3c ，解得{b =√3，c =1， ∴ a =2，∴ 椭圆C 得方程为 x 24+y 23=1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0,m ).设直线l 的方程为 y =kx +12, M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由{x 24+y 23=1，y =kx +12，消去x ，得(3+4k 2)x 2+4kx −11=0，由根与系数得关系，得x 1+x 2=−4k3+4k 2， x 1⋅x 2=−113+4k 2.由k MQ +k NQ =0得：y 1−mx 1+y 2−m x 2=kx 1+12−m x 1+kx 2+12−m x 2 =2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)x 1x 2=0， 即2kx 1x 2+(12−m)(x 1+x 2)=2k ⋅(−11)3+4k 2+(12−m)⋅(−4k)3+4k 2 =4k(m−6)3+4k 2=0， 解得m =6，∴ 存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意.。
2020-2021学年四川成都七中高二10月段考文科数学试卷
2020-2021学年四川成都七中高二10月段考文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．12πB ．11πC ．10πD ．9π 2．过不重合的22(2,3)A m m +-，2(3,2)B m m m --两点的直线l 倾斜角为45，则m的取值为（ ）A ．1m =-B ．2m =-C ．1m =-或2D ．1m =或2m =-3．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形．②平行四边形的直观图是平行四边形．③正方形的直观图是正方形．④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②③④4．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．一13C ．3-D ．3 5．己知圆221:2880C x y x y +++-=，圆222:4420C x y x y +---=，圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离6．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．1-7．己知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，则ABC ∆的面积为（ ）A ．5B ．10 CD ．78．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点，到直线:l y x b =+的距离为b 取值范围为（ ）A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[0,2]D ．[2,2)-9．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为（ ） A ．1B ．5C ．D ．3＋10．己知函数233()(1)(log )6(log )1f x x a a x x =--++在[0,1]x ∈内恒为正值，则a的取值范围是（ ）A ．113a -<<B ．13a < C．a >．13a <<11．平面上到定点(1,2)A 距离为1且到定点(5,5)B 距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范是（ ）A ．(0,4)B ．(2,4)C ．(2,6)D ．(4,6)12．实数,a b 满足①224b a a ≥-；②b ≤；③(22)(23)0a b a b -+--+-≤这三个条件，则6a b --的范围是（ ）A．[2,4+ B ．3[,7]2C．3[,42+ D．[4-二、填空题13．长、宽、高分别为3,4,5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为 ．14．直线:360l x y --=被圆22:240C x y x y +--=截得弦AB 的长为 ．15．如图，一根木棒AB 长为2米，斜靠在墙壁AC 上，60ABC ∠=，若AB 滑动至11A B 位置，且1(32)AA =-米，则AB 中点D 所经过的路程为 ．16．己知圆22:1O x y +=，及21)A ，21)B ：①P 是x 轴上动点，当APB ∠最大时，P 点坐标为(2,0)②过A 任作一条直线，与圆O 交于,M N ,则21NANB= ③过A 任作一条直线，与圆O 交于,M N ，则NAMA NBMB =成立 ④任作一条直线与圆O 交于,M N ，则仍有NA MA NB MB= 上述说法正确的是 ．三、解答题17．己知一几何体的三视图，试根据三视图计算出它的表面积和体积（结果保留π）18．已知圆心为C 的圆经过点A （1，1）和B （2，–2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上，求该圆的标准方程．19．定义区间[,]a b 的区间长度为b a -，如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度20AB m =，拱高4OP m =，建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱22A P 的高度所处的区间[,]a b ．（要求区间长度为12）20．己知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，求：（1）直线AC 方程（2）顶点C 的坐标（3）直线BC 的方程21．已知点H 是xoy 直角坐标平面上一动点，A ，(0,2)B ，(0,1)C -是平面上的定点：（1）2HB HA=时，求H 的轨迹方程； （2）当H 在线段BC 上移动，求HBHA 的最大值及H 点坐标． 22．己知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ， （l ）若121k k =-①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．参考答案1．A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个球加一个圆柱，所以考点：几何体表面积2．B【解析】 试题分析：根据两点斜率坐标公式，可得22232tan 45123m m m m m--==+-++，解得1m =-或2m =-，当1m =-时，两点重合，当2m =-时，满足条件，故选B ．考点：两点斜率坐标公式．3．A【解析】试题分析：n 边形的直观图还是n 边形，故①是正确的，因为斜二测画法保持平行，所以②是正确的，因为矩形的直观图为内角为45或135的平行四边形，所以③是错的，斜二测画法平行于纵轴的线段长度减半，所以④是正确的，故选A ．考点：斜二测画法．4．B【解析】 试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为1133=--，故选B ． 考点：直线的平移和直线的斜率．5．C【解析】试题分析：将两圆的方程化简，可得221:(1)(4)25C x y +++=，222:(2)(2)10C x y -+-=，所以两圆心间的距离为12C C ==且55<<，故选C ．考点：圆与圆的位置关系的判断．6．B【分析】【详解】画出可行域如图阴影部分，由y=2和x-y=1得C （3，2）目标函数z=3x+y 可看做斜率为-3的动直线，其纵截距越大，z 越大，由图数形结合可得当动直线过点C 时，z 最大=3×3+2=11 故选 B7．A【解析】试题分析：根据两点间距离公式，可以求得AC ==且根据直线方程的两点式，化简求得直线AC 的方程为3230x y -+=，根据点到直线的距离公式，可求得点B 到直线AC 的距离为d =152S ==，故选A ．考点：三角形的面积的求解．【思路点睛】该题属于已知三角形的三个顶点的坐标，求三角形的面积的问题，属于较易题，在求解的过程中，死咬三角形的面积公式，底乘高除以2，，利用两点间距离公式，求得三角形的底，利用两点式求得直线的方程，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形面积公式求得三角形的面积．8．B【解析】试题分析：圆的方程可以化为22(2)(2)18x y -+-=，该圆是以(2,2)为圆心，以半径的圆，如果圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，等价于圆心到直线的距离小于等于=≤b 的取值范围为[2,2]-，故选B ．考点：直线与圆的综合问题．9．D【分析】由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上,可得a ＋b ＝1，再将12a b ⎛⎫+⎪⎝⎭变成积为定值的形式后利用基本不等式可求得结果.【详解】由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝12a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋3＋， 当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2，a－1时，等号成立． ∴1a ＋2b 的最小值为3＋.故选：D【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.10．D【解析】试题分析：22333()(log 6log 1)1log f x a a x a =-++-，根据函数满足在x ∈[0，l ］内恒为正值，则有233(0)1log 0(1)26log 0f a f a ⎧=->⎨=->⎩，从而求得311log 3a -<<，所以所求的a 的取值范围为13a <<D ． 考点：构造新函数．11．A【解析】5=，到定点A 的距离为1的直线是以A 为圆心，以1为半径的圆的切线，同理该直线也是以B 为圆心，以d 为半径的圆的切线，满足条件的直线有四条，说明两圆的公切线有四条，从而可以判断出两圆是相离的，从而可以得到15d AB +<=，解得4d <，结合圆的半径是大于零的，从而求得d 的取值范围是(0,4)，故选A ．考点：圆与圆的位置关系，等价转化的思想的应用．【易错点睛】该题考查的是有关距离的取值范围问题，属于中等题目，根据满足条件的直线有4条，解决该题的关键是将其转化为有关圆的公切线问题，结合两圆的位置关系与公切线的条数，从而可以断定两圆是相交的，从而根据两圆的位置关系与圆心间的距离所对应的关系，从而求得所要的结果．12．C【解析】试题分析：利用题中所给的约束条件，可以判断在坐标系aob 中，点(,)a b 在抛物线2122b a a =-的上方，在圆22(2)4a b -+=的内部，在正方形22a b -+=的外部，在正方形23a b -+=的内部，结合图形，可知当点(,)a b 为斜率为1的圆的切线的切点时，取得最大值，此时点的坐标为(2，最大值为4+，当点(,)a b 为斜率为1的抛物线2122b a a =-的切线的切点时，取得最小值，此时点的坐标为3(3,)2-，最小值为32，故选C ．考点：应用线性规划的思想解决非线性规划问题．【方法点睛】该题考查的是利用线性规划的思想解决非线性规划的问题，属于较难的题目，尤其是将题中所给的条件转化为坐标系内有关对应的区域内的点，从而利用线性规划的思想，将6a b --的取值范围求出来，从而求得其绝对值的取值范围，从而求得结果，在求解的过程中，需要注意边界值的取值都与对应的曲线的切线相联系．13．50 【解析】试题分析：根据该几何体的特征，可知所剩的几何体的体积为长方体的体积减去所截的三棱锥的体积，即113453455032V =⨯⨯-⋅⋅⨯⨯=． 考点：几何体的体积． 14【解析】试题分析：将圆的方程化为标准式，可得22(1)(2)5x y -+-=，利用点到直线的距离可以=，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为=．考点：直线被圆截得的弦长． 15．12π【解析】试题分析：设AB 的中点为P ，11A B 的中点为'P ，连接CP 、'CP ，∵AC CE ⊥，P 为AB 中点，∴11A B ＝'CP ＝1．当A 端下滑B 端右滑时，AB 的中点P 到C 的距离始终为定长1，∴P 是随之运动所经过的路线是一段圆弧，∵60ABC ∠=，∴30CAB ∠=，AC =．∵1AA =，11CA AC AA =-=，∴11111sin 2CA A B C A B ∠==，∴1145A B C ∠=，∴1'45A CP ∠=，∴1'''1512PCP ACP ACP ACP π∠=∠=∠-∠==，PP 1=点运动到'P 所经过路线PP考点：动点的轨迹，弧长公式．【方法点睛】该题考查的是有关动点运动时所经过的路程问题，属于较难题目，解决该题的关键是要明确动点运动的轨迹是什么曲线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而确定出动点应该在以原点为圆心，以1为半径的圆上，再结合题中所给的角的大小，从而确定出相应的边长，结合1AA =，从而确定出动点所经过的圆弧所对的圆心角的大小，进一步确定出弧长，求得结果． 16．②③④ 【解析】试题分析：对于①中，设(,0)P a，11tan ,tan APO BPO a a∠=∠=，222tan 11a BPA a a ∠==++21a a=+，根据函数的性质，可知当1a =时取得最大值，故当APB ∠最大时，P 点坐标为(1,0)±显然①是错的，设(,)N x y，如果1NA NB=，则有1=，整理得221x y +=，所以有圆上的点都满足到两定点的距1，从而能得到②③④都是正确的． 考点：动点的轨迹问题，恒成立问题，等价转化问题．【方法点睛】该题所考查的是有关平面内到两个定点的距离的比为非1常数的点的轨迹为圆，从而得出圆上的所有的点都满足到两个定点的距离的比值为同一个常数，从而对应的结果是相等的，最后得出相应的正确答案，还有就是有关角的最值可以通过角的三角函数值来衡量，从而求得结果．17．表面积为16544π+；体积为326403π+． 【解析】试题分析：该题属于根据题中所给的三视图，求对应的几何体的体积和表面积，解决该题的关键是要根据三视图将几何体还原，理解几何体的结构，明确其是由一球体与长方体组合而成的组合体，其结果为球体和长方体的体积和与表面积的和，从而求得结果．试题解析：由三视图得，几何体由一球体与长方体组成，球体半径R 为2，长方体长，宽，高分别为8,4,20，球的表面积记为1S ，长方体的表面积记为2S ，所以其表面积为21242(82084204)S S S R π=+=+⨯+⨯+⨯16544π=+；记球的体积为1V ，长方体的体积为2V ，所以其体积为312432204864033V V V ππ=+=+⨯⨯=+．考点：根据几何体的三视图，求其表面积和体积． 18．（x+3）2+（y+2）2=25 【解析】试题分析：设圆心坐标为C （a ，a+1），根据A 、B 两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a 的方程，解出a 值．从而算出圆C 的圆心和半径，可得圆C 的方程． 解：∵圆心在直线x ﹣y+1=0上， ∴设圆心坐标为C （a ，a+1），根据点A （1，1）和B （2，﹣2）在圆上，可得=，解之得a=﹣3∴圆心坐标为C （﹣3，﹣2），半径r=5因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25． 考点：圆的标准方程．19．支柱22A P 的高度大约为3.86m ，从而得出其对应的区间，答案不唯一． 【解析】试题分析：该题让球支柱22A P 的高度所处的区间，只要求出22A P 的高度的大约值即可，而其高度需要借助于坐标来完成，所以在解题的过程中，需要建立相应的坐标系，求得圆拱桥对应的圆拱所在的抛物线方程，根据题中所给的有关长度，确定出点2P 的横坐标，将其代入，求得对应的纵坐标，求得大约值，从而确定出其所在的相应的区间，答案是不唯一的． 试题解析：建系如图：(10,0),(10,0),(0,4)A B P -,则设圆拱所在的圆半径为r ，利用勾股定理222(4)10r r -+=，292r =，圆心坐标为21(0,)2-，故圆方程为：2222129()()22x y ++=，2P 点的横坐标为2-，故代入圆方程求出纵坐标为212．故22213.862A P m =≈． 注：答案不唯一哈．最后的答案估算占2分． 考点：利用曲线方程，求点的坐标，解决实际问题． 20．（1）2110x y +-= （2）(4,3)（3）6590x y --= 【解析】试题分析：该题属于求直线的方程问题和求直线的交点坐标的问题，第一问应用垂直直线系方程先设出直线AC 方程为20x y t ++=，再将点(5,1)A 的坐标代入，求得11t =-，从而得到直线的方程，第二问根据题意，求直线CM 与直线AC 的交点即可得结果，第三问根据题的条件，求得点B 的坐标，第二问求得点C 的坐标，利用两点式求得直线的方程． 试题解析：（1）AC BH ⊥，设AC 方程为：20x y t ++=，将点A 坐标代入得，11t =-．所以直线AC ：2110x y +-=； （3分）（2）联立AC 所在的直线方程与CM 所在直线方程，2502110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得C 点坐标(4,3)；（3分）（3）设(,)B a b ，则中点M 坐标为51(,)22a b ++，M 点坐标满足CM 所在的直线方程为250x y --=，BH 所在直线方程250x y --=，代入得方程组210250a b a b --=⎧⎨--=⎩，故B 点坐标为(1,3)--，根据,C B 两点式，得直线方程为：6590x y --=． （6分） 考点：直线的方程，直线的交点．21．（1）22334160x y y +-++=（2）(0,1)- 【解析】试题分析：第一问利用求动点轨迹方程的步骤，先设点，之后利用题中所给的条件，建立相应的等量关系式，化简求得结果，第二问设出点H 的坐标，将HB HA的平方用坐标表示，将其化为关于y 的函数，将其进行换元，利用基本不等式，结合对勾函数的性质，从而求得结果，从而求得相应的点的坐标，可以有多种方法来完成．试题解析：（1）设(,)H x y，22224HBHA ==化简得：22334160x y y +-++=．（2）法一：设(0,)H y ，2222222(2)44141555HBy y y y y y y HA--++===-+++，令14y t +=，要使比值最大，显然0t <，原式2216161811280()524t t t t t t t===--++++-，81220t t +-≤-,22915HBHA ≤≤，其中2295HB HA =时，59,2t y =-=-，当90t -<<即5124y -<<-时，812t t +-单调递减，故1y =-时，22HB HA取得最大值32，H 坐标为(0,1)-． 法二：HBHA=2y t -=，则HB HA249t t =-+2491t t =-+2325()39t =-+， 故由二次函数单调性，1y =-时，最大值为6，H 坐标为(0,1)-． 考点：求动点的轨迹方程，求有关最值问题．【一题多解】该题是解析几何题，第一问求轨迹方程，第二问求有关点的坐标问题，属于较难题目，求HB HA的最大值首先将HB HA的值转化为关于某个量的函数，方法一利用点H 的坐标将其平方表示出来，之后进一步换元，应用基本不等式求得最值，从而求得结果，解法二直接将HB HA用y 表示，令2y t -=，将其转化为关于t 的函数，进行配方，求得最值．22．（1）(1,0)P -，定点为(322,0)±； （2）直线过定点(3,0)． 【解析】试题分析：第一问根据两斜率乘积等于1-，从而得到PQ 为直径，从而确定出点P 的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线PM 的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1）121,k k PM MQ =-∴⊥，又因为P 在圆上，所以PQ 为直径，故(1,0)P -, 法一：设1:(1)PM l y k x =+，令3x =得1'(3,4)P k ，2:(1)QM l y k x =-，令3x =得2'(3,2)Q k ，且PM QM l l ⊥，故12k k 1=-，12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k --+--=22121269(42)80x x y k k y k k ⇒-++-++=，令0y =，则26980x x -+-=，故3x =±(3±． 法二：:(1)1PM u l y x v =++，3x =，得4'(3,)1v P u +， :(1)1QMv l y x u =--，3x =，得2'(3,)1v Q u -，故圆C 方程为：42(3)(3)()()011v vx x y y u u --+--=+-222242869()0111v v v x x y y u u u ⇒-++-++=+--由221u v +=，令0y =，则26980x x -+-=，故3x =±则定点为(3±． （2）法一：解：设:(1)QM l y k x =-与圆22:1O x y +=联立得：2222222(1)210k x k x k +-+-=，由韦达定理：22122221k x x k +=+，由11x =得：2222211k x k -=+，22222212(,)11k M k k --++，同理23223312(,)11k P k k --++， 再利用222232222442,(,)44k k k k P k k --=++．222222222222222222424141241PMk k k k k k k k k k k -+++==--+-++，222222222212:()211PM k k k l y x k k k --∴=-++++222232k x k k -=+， ∴直线过定点(3,0)．法二：可以先猜后证，2320k k =>，所以23,k k 同号．不妨设21k =，则:1QM l y x =-，与圆联立得(0,1)M -，32k =，则:2(1)QP l y x =-，与圆联立得34(,)55P -，此时1:13MP l x y =+， 同理由圆对称性，当(0,1)M 时，231,2k k =-=-，此时P 点坐标34(,)55，1:13MP l x y -=-，若直线MP 过定点，则联立上述直线MP 的方程，求出交点(3,0)， 下面验证(3,0)是否为定点．设过(3,0)且与圆O 有交点的直线斜率为k ，则直线方程为(3)y k x =-，代入圆方程得：2222(1)6910k x k x k +-+-=两交点1122(,),(,)M x y P x y ．由韦达定理：22121222916,11k k x x x x k k-=+=++， 故2121223121212(3)(3)(1)(1)()1y y k x x k k x x x x x x --==---++212121212[3()9]2()1k x x x x x x x x -++==-++，∴MP 过定点(3,0)．考点：曲线过定点问题．。
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四川省成都七中2020学年高二数学上学期10月月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有A. 3B. 6C. 12D. 243.某市要对20000多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出1000名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A. 岁B. 岁C. 岁D. 岁4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位时间x 2 3 5 8 9 12工资y30 40 60 90 120 140则小赵这段时间每天工资与每天工作时间满足的线性回归方程为A. B. C. D.5.对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如表所示：x 2 4 5 6 8y20 m60 70 n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则A. 119B. 120C. 129D. 1306.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分十分制如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则A. B. C. D.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数，，那么输出的p等于______10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．11.把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______ 12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8在图中作出这些数据的频率分布直方图；估计这种产品质量指标值的平均数、中位数保留2位小数；根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的”的规定？14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120 118 116 122 124物理79 79 77 82 83已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？15.如图，椭圆，抛物线，过上一点异于原点作的切线l交于A，B两点，切线l交x轴于点Q．若点P的横坐标为1，且，求p的值．求的面积的最大值，并求证当面积取最大值时，对任意的，直线l均与一个定椭圆相切．答案和解析1.【答案】C【解析】解：初始值为n，，模拟程序运行过程如下；，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出v的值为，即，解得．故选：C．由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v 值是解题的关键，是中档题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：，在4本书中任选2本，分给甲，有种情况，，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．根据题意，分2步进行分析：，在4本书中任选2本，分给甲，，剩下的2本送给乙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图，得：司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，估计该市出租车司机年龄的中位数大约是：岁．故选：C．由频率分布直方图，求出司机年龄在的频率为，司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，由此能求出估计该市出租车司机年龄的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：，．，．小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为．故选：B．由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，样本点的中心的坐标为，代入线性回归方程，得，解得．故选：B．由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解的值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数，得分为5的最多，故众数，其平均数；则有，故选：D．根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．本题考查数据的平均数、中位数、众数的计算，关键是由统计图分析得到平均数、中位数、众数．7.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况，，四位数的千位数字为3，其百位数字为1时，有3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，此时有个符合条件的四位数；，四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有个符合条件的四位数；则有个符合条件的四位数；故选：A．根据题意，按四位数的千位数字不同分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：种方法；当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：种方法；当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；若B不同于F，则B有1种方法，Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：种方法；综上共有种方法．故选：C．根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．9.【答案】210【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】46【解析】解：由茎叶图得：该样本的中位数是：．故答案为：46．由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，由半椭圆方程为可得，圆弧方程为：的圆心为，半径为2，且恰为椭圆的左焦点，，与y轴的两个交点为，，当直线PQ经过B时，，即有；当直线PQ经过C时，，即有．当时，Q、P分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，则，的周长；当时，P、Q分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，且，的周长；当时，P、Q在半椭圆上，的周长．综上可得，的周长取值范围为．故答案为：．首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.【答案】60【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，有种录取情况；，4名大学生全部录用，有种录取情况，则有种录用种数；故答案为：60．根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】解：由已知作出频率分布表为：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8频率由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：质量指标值的样本平均数为：，内频率为：，中位数位于内，设中位数为x，则，中位数为．质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为．由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的规定．【解析】由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的规定．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、众数、中位数、方差的求法，考查产品质量指标所占比重的估计值的计算与应用．14.【答案】解：计算，；；，所以y关于x的线性回归方程是；由题意，填表得计算相关系数；所以接近于1，表示回归效果越好；第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，预测他的物理成绩为89分．【解析】计算、，求出回归系数、，写出回归方程；利用回归方程计算y对应的值，求出相关系数的值；利用回归方程计算时的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.【答案】解：点，由对称性不妨设．于是，于是所以点Q是的左焦点．设焦准距为．类比抛物线的焦半径算法可得．于是，于是，所以．设于是l：．于是令，则l：．联立．设，．．当且仅当取等，且满足所以的面积的最大值为．注意到即为这个等式类似于；于是猜想椭圆联立得：；；故当面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．【解析】不妨设计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；设则令，则l：表示出的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆相切；本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。