第八章相关与回归
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《应用统计学》第八章相关和回归分析
《应用统计学》第八章相关和回归分析相关和回归分析是统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系以及预测因变量的值。
本章将介绍相关和回归分析的原理和应用。
相关分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
通过计算相关系数来衡量变量之间的线性相关程度。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个连续变量的相关分析，而斯皮尔曼相关系数适用于两个有序变量的相关分析。
回归分析是研究因变量与自变量之间关系的统计方法。
通过建立回归模型来预测因变量的值。
回归模型可以是线性模型、非线性模型或者多元回归模型。
线性回归模型的表达式为Y=a+bX，其中Y为因变量，X为自变量，a和b为参数。
回归分析有两个主要目的，一是预测因变量的值，二是研究自变量对因变量的影响程度和方向。
常用的回归分析方法有简单线性回归分析、多元线性回归分析和逻辑回归分析等。
相关和回归分析在实际应用中有着广泛的应用。
在社会科学研究中，相关和回归分析可以用来研究变量之间的关系，如收入和教育水平的相关性。
在医学研究中，相关和回归分析可以用来探索疾病与一些特定因素之间的关系，如高血压和体重的相关性。
在商业领域中，相关和回归分析可以用来分析销售量与广告投资的关系，预测未来的销售量。
需要注意的是，相关和回归分析只是描述性分析方法，并不能确定因果关系。
除了变量之间的线性关系，还可能存在其他非线性的关系。
此外，相关和回归分析只能用于连续变量的分析，不能用于分类型变量的分析。
在进行相关和回归分析时，需要注意几个问题。
首先是样本的选择和数据的收集，确保样本具有代表性，并获得准确和可靠的数据。
其次是确保数据满足相关和回归分析的假设前提。
例如，线性回归模型要求因变量与自变量之间呈线性关系，并且误差项满足正态分布和独立性。
最后是正确选择和解释统计指标，如相关系数和回归系数。
总之，相关和回归分析是应用统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系和预测因变量的值。
第八章 相关分析与回归分析
第8章 回归分析
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19
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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第8章 回归分析
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20
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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第8章 回归分析
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21
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
41
二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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第8章 回归分析
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（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
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③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
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（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
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二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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10
（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
MBA管理统计学(中科大万红燕)第八章回归分析和相关分析
2010-7-23
销售额
12
第二节 相关分析
例1解:
xi = 2139, ∑ yi = 11966, ∑ xi2 = 179291 ∑ yi2 = 6947974, ∑ xi y i = 1055391, n = 30 ∑ r= n∑ xi yi ∑ xi ∑ yi (∑ xi ) 2 n∑ yi2 (∑ yi ) 2
2010-7-23
4
第一节 相关与回归分析的基本概念
三.相关分析与回归分析
相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系 的两种基本方法. 相关分析:研究两个或两个以上随机变量之间 相关关系密切程度和相关方向的统计分析方法. 回归分析:研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个变量(自变量)之间数量变动关 系形式的统计分析方法.
一.一元线性回归模型的建立 设因变量y(通常是随机变量)和一个自变量 (非随机变量)X之间有某种相关关系.在x的 不全相同的取值点x1,x2,…,xn作为独立观 察得到y的个观察值y1,y2,… ,yn记为( x1, y1 )( x2 , y2 ), … ,(xn , yn ). 根据这组数据寻求X与Y之间关系. 设一元线性回归模型为:yi=a+bxi+ ei
r=0.955248
2010-7-23 14
第二节 相关分析
25000 税收收入(亿元 亿元) 20000 15000 10000 5000 0
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
GDP(亿元)
2010-7-23
15
第二节 相关分析
二.有序数据的相关系数(等级相关系数)
2010-7-23
8
直线回归与相关
• 回归分析时的假定：
• (1) Y 变数是随机变数，而X 变数则是没有误差的固定变数，至 少和Y 变数比较起来X 的误差小到可以忽略。
• (2) 在任一X 上都存在着一个Y 总体(可称为条件总体)，它是作
正态分布的，其平均数 Y / X 是X 的线性函数：
Y / X X
• Y / X的样本估计值，与X 的关系就是线性回归
相关分析研究X与Y两个随机变量之间的 共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化， 以及这种共变关系的强弱。
原则上Y含有试验误差，而X不含试验 误差时着重回归分析；Y和x均含有试验 误差时着重相关分析。
但讨论X为非随机变量的情况，所得到 的参数估计式也可用于X为随机144.6356
SSy=∑y2-(∑y)2/n=794-(70)2/9=249.5556 SPxy=∑xy-∑x∑y/n=2436.4-(333.7×70)/9=-159.0444 X =∑x/n=333.7/9=37.0778
Y =∑y/n=70/9=7.7778 因而有：b=SPxy/SSx=-159.0444/144.6356
对x、y进行考察的简便方法是将n对观察值 （x1，y1）、(x2，，y2)、…、(xn，yn) 于同一直 角坐标平面上制作散点图：
① X和Y的相关的性质（正或负）和密切程度； ② X和Y的关系是直线型的还是非直线型的； ③ 是否有一些特殊的点表示其他因素的干扰等。
图9.1B 每平方米土地上 的总颖花数（X） 和结实率（Y）
a
bxi
)
0
n
n
n
( xi ) ( yi ) n
b
xi yi
i 1 n
i 1 n
i 1
n
[课件]统计学：第八章 相关与回归分析PPT
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2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 8
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 9
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1 ）完全相关：当一种现象的数量变化完全 由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长 L 决定于它的半径 R ，即 L=2∏R 。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
第八章 相关与回归分析
本章分三节： 第一节 相关与回归分析的基本概 念 第二节 一元线性回归分析 第三节 相关分析
2018/12/4
河北工程大学经济管理学院
3
第一节 相关与回归分析的 基本概念
本节需要把握四个问题： 一、函数关系与相关关系； 二、相关关系的种类； 三、相关分析与回归分析； 四、相关表和相关图。
16
三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 7
3、二者关系
上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 4
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
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1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1 ）完全相关：当一种现象的数量变化完全 由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长 L 决定于它的半径 R ，即 L=2∏R 。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
第八章 相关与回归分析
本章分三节： 第一节 相关与回归分析的基本概 念 第二节 一元线性回归分析 第三节 相关分析
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第一节 相关与回归分析的 基本概念
本节需要把握四个问题： 一、函数关系与相关关系； 二、相关关系的种类； 三、相关分析与回归分析； 四、相关表和相关图。
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三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
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3、二者关系
上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
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第8章 直线回归与相关
散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
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若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).
第8章 相关与回归分析
4、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。 、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。
而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。 而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。
8-9
统计学
STATISTICS
8.2 简单线性相关与回归分析
8 - 10
STATISTICS
8-5
统计学
STATISTICS
（三）从变量相关关系变化的方向看 从变量相关关系变化的方向看 变化的方向 正相关： A 正相关：变量同方向变化 ， 即同增同减 (A) 同增同减 负相关：变量反方向变化， 负相关：变量反方向变化， 即一增一减 (B) B 一增一减 从变量相关的程度 相关的程度看 （四）从变量相关的程度看
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
8-6
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
C
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
统计学
STATISTICS
三、回归分析
回归一词的由来： 回归一词的由来：
8 - 13
见第218页例题 页例题 见第 页例
统计学
STATISTICS
相关系数的特点： 相关系数的特点：
1、r 的取值范围是 − 1 ≤ r ≤ 1 。 、 2、r<0时，β<0 为负相关；r>0时， β>0 为正相关。 为负相关； 为正相关。 、 时 时 3、|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r = -1， 、 ，为完全相关。 ，为完全正相关； ， 为完全负正相关。 为完全负正相关。 4、r = 0，不存在线性相关。 、 线性相关。 ，不存在线性相关 5、|r|越趋于 表示两变量线性关系越密切；|r|越趋于 、 越趋于 表示两变量线性关系越密切； 越趋于 越趋于1表示两变量线性关系越密切 越趋于0 表示两变量线性关系越不密切。 表示两变量线性关系越不密切。 线性关系越不密切 6、r是一个随机变量。 、 是一个随机变量 是一个随机变量。
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
统计学原理第八章相关分析与回归分析
21
例1：P354页，第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 （4件） 本(元)Y
1
2
52
104
4
2704
2
3
54
162
9
2916
3
4
52
208
16
2704
4
4
48
192
16
2304
5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即：∑X=24，∑Y=300， ∑XY=1182，
• 2） X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理：(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中，分别对c和d 求一阶偏导数，并令偏导数等于0，就可以
得出两个正规方程：
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例：P355，第4题。
• 偏相关：在复相关中，当假定其他变量不 变时，其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如，在假定人们收入水平不变的 条件下，某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个
• 曲线相关：如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时，就称这种相关 关系为曲线相关。
第八章 相关与回归分析-一元线性回归
11
12
1、散点图
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0 0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14
12
10
8 6
4
2
0 0
10
20
30
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贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图不来自贷款不良贷款14
12
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8
6
4
2
0 0
10
20
30
累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14
2
本章主要内容
➢ 相关分析
• 相关关系度量 • 相关关系显著性检验
➢ 一元线性回归分析
• 一元线性回归模型 • 参数的最小二乘估计 • 回归直线的拟合优度 • 显著性检验
➢ 利用回归方程进行预测
➢ 残差分析
3
第一节 直线相关分析 一、变量间的关系
函数关系
相关关系
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可 表示为 y = px (p 为单价)
儿子与父亲的身高关系：Y=33.73+0.516X(英寸)
24
一、概述——什么是回归分析（Regression ）？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从
影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影 响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来 预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预 测或控制的精确程度
12
1、散点图
不良贷款
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贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
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贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图不来自贷款不良贷款14
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累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
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本章主要内容
➢ 相关分析
• 相关关系度量 • 相关关系显著性检验
➢ 一元线性回归分析
• 一元线性回归模型 • 参数的最小二乘估计 • 回归直线的拟合优度 • 显著性检验
➢ 利用回归方程进行预测
➢ 残差分析
3
第一节 直线相关分析 一、变量间的关系
函数关系
相关关系
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可 表示为 y = px (p 为单价)
儿子与父亲的身高关系：Y=33.73+0.516X(英寸)
24
一、概述——什么是回归分析（Regression ）？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从
影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影 响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来 预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预 测或控制的精确程度
第八章相关与回归
．． ．．．． ．． ． ．． ．．
（1）直线正相关
... ．….
…．.. ． ……
（2）直线负相关
(3) 直线完全正相关
… … .. … …. .. … .．.
(4)零相关
(5)指数曲线相关
二 简单直线回归分析
在相关图分析的基础上，可以选择一定的 回归方程式进行定量分析。对两个具有 线性关系的变量，配合线性回归方程,并 根据自变量的变动来测定因变量平均发 展趋势的分析方法，称为简单直线回归 分析。
相关关系与函数关系的区别与 联系
两者的区别在于：
函数关系所反映的现象之间的具体 关系值固定，自变量与因变量在数 量上一一对应； 而相关关系所反映的现象之间的具 体关系值不固定，有关现象变动在 数量上不是一一对应的，具有一定 的随机性。
两者的联系是: 函数关系中有些自变量与因变量由于观测和实 验出现误差，其关系值也不可能绝对固定，有 时也通过相关关系来反映； 相关关系分析也可用函数表达式来近似的反映 现象之间的数量依存关系。 当随机因素不存在时，相关关系就变为函数关 系。
家兼统计学家高尔登首先提出来的.他在研究人 类的身高时,发现高个子父母的子女身高有低于 其父母身高的趋势;而矮个子父母的子女身高往 往有高于其父母身高的趋势.从整个发展趋势看, 高个子回归人口的平均身高,而矮个子则从另一 方向回归于人口的平均身高.回归这一名词,从 此便一直为生物学和统计学所沿用.
回归的现代概念与过去大不相同.一般来说,回归 是研究自变量与因变量之间的关系形式的分析 方法.其目的在于根据已知自变量来估计和预测 因变量的总平均值.
（4）回归系数可正可负。正号说明两变量为正相关；负 号说明两变量为负相关。
（二）简单直线回归方程
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(Xt X )(Yt Y )
(Xt X )2 (Yt Y )2
2、相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；（函数关系）
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关； 0.3≤ |r| ＜0.5为低度线性相关； 0.5≤|r| ＜0.8为显著性线性相关。 0.8≤ |r| 为高度相关
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达 到最小来求得 a 和 b 的方法。
2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关 系与实际数据的误差比其他任何直线都小。
b
n xy x y n x2 ( x)2
a y bx
例：配合回归直线
x 编
号
人口增长量 年 需 求
（千人）
量（十吨）
y x x 编
号
人口增长 年 需 求 量（千人）量（十吨）
2
y2
xy
合计 3626
2261 1067614 395039 647851
Lxy n xy x y 15 647851 3626 2261
1519379
Lxx n x2 ( x)2151067614 36262 2866334
103
15
370
212
合计 3626
2261
x2
75076 32400 140625 42025 7396 70225 9604 108900 38025 2809 184900 138384 55696 24649 136900 1067614
y2
26244 14400 49729 17161
4489 28561
二、相关关系的种类
二、分类 1.按相关关系涉及的变量多少划分：单相关、复 相关、偏相关。 2.按相关形式划分：线性相关和曲线相关。 3.按相关的方向划分：正相关和负相关。 4.按相关关系的程度划分：完全相关，不完全相 关和不相关。 5.按相关性质分为：真实相关和虚假相关。
三、相关分析的内容
第三节 一元线性回归分析
回归分析
通过一个变量x或一些变量(x1,x2,x3…) 的变化解释另一变量y的变化。即根据 相关关系的数量表达式（回归方程式）
与给定的自变量x，揭示因变量y在数量
上的平均变化和求得因变量的预测值的 统计分析方法
回归方程 反映自变量和因变量之间数学 联系的表达式。
回归模型 某一类回归方程的总称。
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
二、一元线性回归方程
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ a bx
截距 斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的平均影响；回归系数b 表
明Байду номын сангаас变量x每变动一个单位，因变量y平均变 动b个单位。
三、直线回归方程的求解原理 ——最小二乘法
Lyy n y2 ( y)2 15395039 22612 813464
r
Lxy
Lxx Lyy
1519379 2866334 813464
0.9950
3、使用相关系数时应注意的问题
（1）相关关系不等于因果关系； （2）相关系数只度量变量间的线性
关系，因此，弱相关不一定表明变 量间没有关系； （3）极端值可能影响相关系数。 （4）警惕虚假相关
例：下表是有关15个地区某种食物需求量和地区人口 增加量的资料。
人口增长 年 需 求
编 量（千人）量（十吨）
号x
y
1
274
162
2
180
120
3
375
223
4
205
131
5
86
67
6
265
169
7
98
81
8
330
192
9
195
116
10
53
55
11
430
252
12
372
234
13
236
144
14
157
一、回归分析的内容
1、根据理论和对问题的分析判断， 区 分自变量和因变量； 2、设法找出适合的数学方程式(即 回归模型)描述变量间的关系
3、对回归模型进行统计检验；
4、统计检验通过后，利用回归模型， 根据解释变量去估计，预测 因变 量。
一个自变量
一元回归
回归模型
两个及两个以上自变量
多元回归
线性 回归
y
1
274
162
2
180
120
3
375
223
4
205
131
5
86
67
6
265
169
7
98
81
8
330
192
9
195
116
10
53
55
11
430
252
12
▪ 相关分析：研究变量之间相关方向和相关密 切程度的统计分析方法。 ▪ （1）确定现象之间有无相关关系，以及相关 关系的表现形态 ▪ （2）确定相关关系的密切程度 ▪ （3）建立合适的数学模型 ▪ （4）测定估计值的可靠程度
第二节 相关关系的测定
定性分析
依据研究者的理论知识和实践经验， 对客观现象之间是否存在相关关系， 以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
一、相关图：又称散点图。将x置于横轴上，y置于纵 轴上，将（x,y）绘于坐标图上。用来反映两变量之间相关 关系的图形。
广告费（万元）
30 33 33 40 56 58 65 72 80 80 90
第八章 相关与回归
相关分析概述 相关关系的测定
一元线性回归分析
第一节 相关分析概述
一、函数关系与相关关系
正方形面积与边长；脚长与智商；销售收入 和消费情况；广告投入与销售收入；GDP与精神病 患者；头发长与见识短 1.函数关系： 变量之间存在严格的数量关系。 2. 相关关系： 变量之间存在不确定的依存 关系。
年销售收入（百万元） 12 12 12 13 14 14 20 22 26 26 30
销售收入（百万元）
40 30 20 10
0 0
20 40 60 80 100
广告费（万元）
二、相关系数 (一)相关系数的定义 1、相关系数：在线性条件下说明两个变量之间相关
关系密切程度的统计分析指标。
r
6561 36864 13456
3025 63504 54756 20736 10609 44944 395039
xy
44388 21600 83625 26855
5762 44785
7938 63360 22620
2915 108360 87048 33984 16171 78440 647851