金典艺术生高考数学复习资料--5函数性质X

〖〗函数性质

一、 知识清单：

1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）

上为减函数，就不能说函数在0112U （，）（，）上为减函数.

2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法：

① 定义法（作差比较和作商比较）；

② 图象法；

③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；

④ 复合函数单调性判断法则;

⑤ 导数法（适用于多项式函数）

注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。

3.偶函数

⑴偶函数：)()(x f x f =-.设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点.

⑵偶函数的判定：两个条件同时满足

① 定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数.

② 满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，

1)

()(=-x f x f . 4. 奇函数

⑴奇函数：)()(x f x f -=-.设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点.

⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(-=-x f x f . 注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如()()0f x f x -±=，()1()

f x f x -=±（f (x )≠0）

课前练习

1.讨论函数21)(x x f -=的单调性。

2．函数11

2-=x y 在定义域上的单调性为

（A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数;（B ）减函数;

（C ）在()1,∞-上是减函数，在()+∞,1上是减函数;（D ）增函数

3．已知函数f (x ), g (x )在 R 上是增函数，求证：f [g (x )]在 R 上也是增函数。

4．判断下列函数的奇偶性：

①x x x x f -+-=11)1()(,②2211)(x x x f --=,③22(0)()(0)

x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩

典型例题

例1．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠

（1） 求函数()()f x g x +定义域

（2） 判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由.

变式1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b =

变式2：函数|

3||4|92

-++-=x x x y 的图象关于 （ ） A ．x 轴对称

B ．y 轴对称

C ．原点对称

D ．直线0=-y x 对称

变式3：若函数()log (a f x x =是奇函数，则a =

变式4：函数y x a =-的图象关于直线3x =对称.则a =

变式5：函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为

例2、已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. R x x y ∈-=,3

B. R x x y ∈=,sin

C. R x x y ∈=,

D. R x x y ∈=,)21(

变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的

取值范围是

设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系

例3、已知函数

(4),0

()

(4),0

x x x

f x

x x x

+≥

⎧

=⎨

-<

⎩

，求(1)

f，(3)

f-，(1)

a+的值

变式1：设

,0.

()

,0.

x

e x

g x

lnx x

⎧≤

=⎨

>

⎩

则

1

(())

2

g g=__________

变式2：已知

(31)4,1

()

log,1

a

a x a x

f x

x x

-+≤

⎧

=⎨

>

⎩

是(,)

-∞+∞上的减函数，那么a的取值范围是

例4、设函数f（x）的定义域是N*，且()()()

f x y f x f y xy

+=++，(1)1

f=，则f（25）=

变式1：设函数()

y f x

=定义在R上，对任意实数m、n，恒有()()()

f m n f m f n

+=且当0,0()1

x f x

><<

（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；

（2）求证：f（x）在R上递减；

（3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围.

实战演练

1、()

f x，()

g x是定义在R上的函数，()()()

h x f x g x

=+，则“()

f x，()

g x均为偶函数”是“()

h x为偶函数”的条件

2、在R上定义的函数()

f x是偶函数，且()

f x(2)

f x

=-.若()

f x在区间[1,2]上是减函数，则()

f x 在区间[2,1]

--上是函数，在区间[3,4]上是函数

4、设

1

1,1,,3

2

a

⎧⎫

∈-

⎨⎬

⎩⎭

，则使函数y xα

=的定义域为R且为奇函数的所有α值为