(人教版必修四)同步练习第三章-3.1-3.1.1-两角差的余弦公式(含答案)
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
数学人教版必修4：3.1.1 两角和与差的余弦 作业 Word版含解析
双基达标 (限时20分钟)1．计算cos 80°cos 20°＋sin 80°·sin 20°的值为 ( )．A.22B.32C.12 D ．－22答案 C2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ ( )．A.75 B.15 C ．－75D ．－15解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )．A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 ∵0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos []2α－(α－β) ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 答案 C4．计算12sin 60°＋32cos 60°＝________. 解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 325．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12()cos α＋3sin α＝18，故cos α＋3sin α＝14. 答案 146．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)． 解 因为sin α＝－45，180°<α<270°， 所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513 ＝3665－2065＝1665.综合提高 (限时25分钟)7．下列式子中正确的个数是( )．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②③④都错． 答案 A8．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是 ( )．A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12 C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析 因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C 中的α，β不满足，故选C.答案 C9．若α为锐角，且cos α＝255，则cos (π4－α)＝________.解析 由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cosα＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010.答案 3101010．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， 又sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.答案 －566511．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值． 解 ∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365. 又∵cos α＝45，∴sin α＝35. ∴cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×45＋6365×35＝513.12．(创新拓展)已知cos (α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求角β的值．解 由cos (α－β)＝－1213，且π2<α－β<π， 得到sin(α－β)＝513，由cos(α＋β)＝1213，且3π2<α＋β<2π， 得到sin(α＋β)＝－513.于是cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝1213×(－1213)＋(－513)×513＝－1. 由于π2<α－β<π，所以－π<β－α<－π2，与3π2<α＋β<2π相加得到， π2<2β<3π2.故2β＝π，从而β的值为π2.。
数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式
填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试 举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6， 所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最 基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．
人教版高中数学必修四 3.1. 1 两角差的余弦公式 练习 【教师版】
必修四第三章两角差的余弦公式一、选择题．化简(＋)(－)＋(＋)(－)的结果是( )．．．－．－【答案】【解析】原式＝(＋)(－)＋(＋)·(－)＝[(＋)－(－)]＝.故选。
、°· °＋°· °的值是(). ．－. ．【答案】【解析】°· °＋°· °＝°· °＋°· °＝(°－°)＝°＝.故选。
.若＝( °， °)，＝( °， °)，则·＝( )．－【答案】【解析】·＝°°＋°·°＝(°－°)＝°＝.故选..下列式子中，正确的个数为( )①(α－β)＝α－β；②＝β；③(α－β)＝αβ－αβ.．个．个．个．个【答案】【解析】①错误；＝－β，故②错误；③中，(α－β)＝αβ＋αβ，所以③错误，故选.．在△中，若<，则△是()．等边三角形．直角三角形．锐角三角形．钝角三角形【答案】【解析】由题意，得－>.即(＋)>，－>，<.又<<π，故<<π，△为钝角三角形．故选。
.若，∈，则＋的最大值为( )．．．．【答案】【解析】＋＝(－)，故所求最大值为.故选。
二、填空题.已知α＝，α∈，则＝.【答案】【解析】因为α＝，α∈，所以α＝－，所以＝α＋α＝×＋×＝。
．°－ °的值等于．【答案】－【解析】原式＝(°－°)－(°－°)＝°°＋° °－( ° °＋°°)＝－×＋×－×－×＝－。
高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案 (1)
和角公式3．1.1两角和与差的余弦预习课本P133～134，思考并完成以下问题(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？[新知初探]两角和与差的余弦公式[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13C.32D.33 答案：A3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案：B4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin α＋cos α＝________.答案：22[典例] 求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝12.(3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.利用公式C (α＋β)，C (α－β)求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ. 解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.[典例] (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β是第三象限角，sin α＝45，cos β＝－513.求cos(α＋β)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．[解] (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－ ⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β是第三象限角，cos β＝－513， ∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. (2)∵α，β均为锐角， ∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由cos α＝45，cos(α＋β)＝35，得sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝35×45＋45×35＝2425.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [活学活用] 1．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ的值为________． 解析：∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132 ＝－513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos π4cos θ－sin π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－1213－22×⎝⎛⎭⎫－513＝－7226.答案：－72262．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：∵5π4<α<7π4，∴3π2<α＋π4<2π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－1625＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210.[典例(2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [解析] (1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.[答案] (1)π4 (2)π3[一题多变]1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.答案：－π42．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．cos5π24cos π24＋sin 5π24sin π24的值为( ) A.12 B ．22C.32D ．1解析：选C 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫5π24－π24＝cos π6＝32.故选C.2.12sin 15°－32cos 15°的值是( ) A.22 B ．－22 C.62D ．－62解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－22. 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a －b |等于( ) A.12 B.22C.32D ．1解析：选D |a －b | ＝(cos 75°－cos 15°)2＋(sin 75°－sin 15°)2 ＝2－2(cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°) ＝2－2cos 60°＝1.5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α等于( ) A.425B.7210C ．－425D ．－7210解析：选B 由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos α cos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. 6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________. 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝12.答案：127．若cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13， ①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15， ②由①②得cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.答案：－148．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 解析：∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：72349．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 10．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.层级二 应试能力达标1．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.32 B ．12C.34D ．1解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，① (cos α－cos β)2＝⎝⎛⎭⎫122，②①＋②得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，∴cos(α－β)＝32.故选A. 2．已知α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为( ) A.2 2＋36 B.2 2－36C ．－2 2＋36 D.－2 2＋36解析：选C ∵α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π3 ＝⎝⎛⎭⎫－223×12－13×32＝－22＋36. 3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365 C.5465D ．－5465解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255.由cos β＝－31010，得sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－310102＝1010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010 ＝22. 又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.5．已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π ，则cos β＝________.解析：由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.答案：－16．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β， 化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：－127．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 又sin(α－β)＝1010>0， ∴0<α－β<π2.所以sin α＝ 1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－2 55×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA uuu r＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n＝(0，－5)，且m ⊥(OA uuu r－n )．(1)求向量OA uuu r；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA uuu r＝(cos α，sin α)， ∴OA uuu r－n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA uuu r－n )，∴m ·(OA uuu r －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA uuu r ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又0<β<π， ∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《两角差的余弦公式》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《两角差的余弦公式》一、选择题1.sin 35°sin 65°＋cos 35°cos 65°值为( )A. B. C ．- D ．-123212322.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α，β的值分别是( )32A.，B.，C.，D.，13π123π4π2π3π2π62π3π63.已知cos α=，α∈(π，2π)，则cos(α-)的值为( )121332π4A. B. C. D.521372131722672264.已知cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，则cos(α-β)=( )1232A ．- B ．- C. D ．11232125.cos(－15°)的值为( )A. B. C. D ．－2－646－246＋246＋246.若α∈R ，则cos cos α＋sin sin α的值等于( )(α＋π3)(α＋π3)A.B. C ．－ D ．无法判断3212327.已知cos α=，α∈(π，2π)，则cos(α－)的值为( )121332π4A. B. C. D.521372131722672268.已知cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，则cos(α－β)=( )1232A ．－B ．－ C. D ．11232129.已知x ∈R ，sin x-cos x=m ，则m 的取值范围为( )A ．-1≤m≤1B ．-≤m≤C ．-1≤m≤D ．-≤m≤1222210.已知函数f(x)=xsin 126°sin(x-36°)＋xcos 54°·cos(x-36°)，则函数f(x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题11.cos(－43°)cos 17°＋sin 43°sin(－17°)=________．12.满足sin x ＋cos x=的角x(-＜x ＜0)是________．123212π213.已知cos(-α)=，则cos α＋sin α的值为________．π318314.化简：(tan 10°＋)·=________.3cos 10°sin 70°三、解答题15.已知sin(α＋)=，且<α<，求cos α的值．π445π43π416.已知函数f(x)=2cos (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(ωx ＋π6)(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f =-，f =，求cos(α-β)的值．[0，π2](5α＋5π3)65(5β－5π6)1617答案解析1.答案为：B.解析：sin 35°sin 65°＋cos 35°cos 65°=cos(65°-35°)．=cos 30°=.322.答案为：B.解析：由题意知sin αsin β＋cos αcos β=，32即cos(α-β)=，将各项代入检验，可知B 正确．323.答案为：D.解析：∵α∈(π，2π)，∴sin α=-，32513∴cos(α-)=cos αcos ＋sin αsin =×＋(-)×=.π4π4π41213225132272264.答案为：A.解析：由cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，1232两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2=2＋2=1，(12)(32)∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β=1，2(cos αcos β＋sin αsin β)=-1，cos(α-β)=-.125.答案为：C.解析：cos(－15°)=cos(30°－45°)=cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°=.6＋246.答案为：B.解析：原式=cos =cos =.(α＋π3－α)π3127.答案为：D.解析：∵α∈(π，2π)，∴sin α=－，32513∴cos(α－)=cos αcos ＋sin αsin =×＋(－)×=.π4π4π41213225132272268.答案为：A.解析：由cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，1232两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2=＋=1，(12)2 (32)2∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β=1，2(cos αcos β＋sin αsin β)=－1，cos(α－β)=－.129.答案为：B.解析：sin x-cos x==(sin sin x ＋cos cos x)=cos(x-2(22sin x －22cos x )23π43π423π4)，因为x ∈R ，所以x-∈R ，所以-1≤cos(x-)≤1，所以-≤m≤.3π43π42210.答案为：B.解析：因为函数的定义域为R ，且f(x)=xsin 126°sin(x-36°)＋xcos 54°cos(x-36°)=xsin 54°sin(x-36°)＋xcos 54°cos(x-36°)=x[sin 54°sin(x-36°)＋cos 54°cos(x-36°)]=xcos[54°-(x-36°)]=xcos(90°-x)=xsin x ，所以任取x ∈R ，f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x)，故函数f(x)为偶函数．11.答案为：；12解析：原式=cos(－43°)cos 17°＋sin(－43°)sin 17°=cos(－43°－17°)=cos(－60°)=cos 60°=.1212.答案为：-；π6解析：sin x ＋cos x=cos xcos ＋sin xsin =cos(x-)=，1232π6π6π612因为-＜x ＜0，所以x-=-，即x=-.π2π6π3π613.答案为：；14解析：∵cos(-α)=cos cos α＋sin sin α=cos α＋sin α=(cos α＋sin α)=，π3π3π3123212318∴cos α＋sin α=.31414.答案为：2；解析：原式=(tan 10°＋tan 60°)·=·cos 10°sin 70°(sin 10°cos 10°＋sin 60°cos 60°)cos 10°sin 70°=·sin 10°cos 60°＋sin 60°cos 10°cos 10°cos 60°cos 10°sin 70°=·=·==2.cos 80°cos 60°＋sin 60°sin 80°cos 10°cos 60°cos 10°sin 70°cos 20°cos 60°1cos 20°1cos 60°15.解：∵sin(α＋)=，且<α<，π445π43π4∴<α＋<π，π2π4∴cos(α＋)=－ =－，π41－（45）235∴cos α=cos[(α＋)－]π4π4=cos(α＋)cos ＋sin(α＋)sinπ4π4π4π4=－×＋×=.3522452221016.解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π=，所以ω=.2πω15(2)因为f =-，(5α＋5π3)65所以2cos =2cos =-，所以sin α=.[15(5α＋5π3)＋π6](α＋π2)6535又因为f =，(5β－5π6)1617所以2cos =2cos β=，所以cos β=.[15(5β－5π6)＋π6]1617817因为α，β∈，所以cos α=，sin β=，[0，π2]451517cos(α-β)=cos αcos β＋sin αsin β=×＋×=.458173515177785。
高中数学必修4 同步导学案：第3章 3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案
3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的余弦公式 阅读教材P 133内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( ) (3)存在实数α，β，使cos(α＋β)＝cos α－cos β成立.( ) (4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]A.2－64B.6－24C.2＋64D.－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.【精彩点拨】(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.(2)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.(3)对较复杂的式子化简时应注意两角和与差余弦公式的逆用.【自主解答】(1)cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋2 4.【答案】 C(2)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22； ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°) ＝32.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α).【导学号：72010075】【解】 (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.(1)已知cos α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，2π， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值.【精彩点拨】 (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. 【自主解答】 (1)因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32 ＝3－4310. 【答案】3－4310(2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π.又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.(3)求解.结合公式C α±β求解便可.[再练一题]2.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.【解】 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值.【精彩点拨】 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值.【自主解答】 ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010 ＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.[再练一题]3.已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值.【解】 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π， ∴2β＝π，则β＝π2.[探究共研型]探究1 【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β). 探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ 【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b22.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A.33 B.－33 C.539D.－69【精彩点拨】 把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大.求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题.【自主解答】 ∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C. 【答案】 C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.[再练一题]4.设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值.【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1.cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A.cos 100° B.sin 100° C.32D.12【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( ) A.22 B.12 C.32D.－12【解析】 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】 A3.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A.3365B.－3365C.5475D.－5475【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. 【答案】 A4.sin 75°＝________. 【解析】 sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24. 【答案】6＋245.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值. 【导学号：72010076】【解】 ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12∴π3<α<π2， 又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32D.33【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.【答案】 A2.已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )A.－3－222B.3－226 C.3＋226D.－3＋226【解析】 因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36. 【答案】 B3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )<0， ∴角C 为钝角，∴△ABC 一定为钝角三角形. 【答案】 D4.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tanα等于( )【导学号：72010077】A.34B.－34C.45D.－45【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 A5.(2016·淄博高一检测)已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos α·cos β＝( )A.1B.－1C.12D.0【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，两式相加得：cos α·cos β＝0，故选D. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·北京高一检测)12sin 75°＋32sin 15°的值等于________.【解析】 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】227.(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________.【解析】 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋ sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14.【答案】 148.在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________.【解析】 因为cos B ＝－1213，且0<B <π，所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665. 【答案】 －1665三、解答题9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.【证明】 由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得(sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.10.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).【解】 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22， 所以π2<2α－β<π.所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝22， 所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＋22×22＝0.[能力提升]1.已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A.925B.1625C.12D.－12【解析】 由已知得(sin α＋sin β)2＝1625，①(cos α＋cos β)2＝925，②①＋②得：2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.【答案】 D2.若α，β为两个锐角，则( ) A.cos(α＋β)>cos α＋cos β B.cos(α＋β)<cos α＋cos β C.cos(α－β)<cos αcos β D.cos(α－β)<sin αsin β 【解析】 cos []α－－β－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β， 因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0， －sin αsin β<0，－cos β<0，故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0， 即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C ，D 错误.【答案】 B3.函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的最小正周期是________.【解析】 由于f (x )＝cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π.【答案】 π4.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值；(3)求f (x )的单调递增区间. 【解】 (1)因为T ＝2πω＝10π，所以ω＝15.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－65， 所以sin α＝35.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋π6，由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ，得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k π－35π6，10k π－5π6(k ∈Z ).。
(人教版必修四)同步练习第三章-3.1-3.1.2-两角和与差的正弦、余弦、正切公式(含答案)
数学·必修4(人教A 版)第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础提升1．已知sin α＝45，cos(α＋β)＝－35，α、β都是第一象限的角，则sin β等于( )A.2425B.725C.2425或725 D ．－2425答案：A2．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.故当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B. 答案：B3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4解析：∵α＋β＝π4， ∴由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1， 可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，故原式可化为1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋()1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.故选C.答案：C4．已知tan α＝4, tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )A.711 B －711 C. 713 D ．－713解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－12＝－711，故选B. 答案：B5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 14°＋22cos 14°＝2sin 59°， b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 16°＋22cos 16°＝2sin 61°， c ＝62＝2×32＝2sin 60°.∵sin 59°<sin 60°<sin 61°，∴a <c <b ，故选B.答案：B巩固提高6.已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z答案：B7.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°等于( )A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．1＋32 D ．1－32解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°－cos 15°sin 8°＋cos 15°sin 8°cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin 15°cos 15°＝sin (45°－30°)cos (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32－22×1222×32＋22×12＝3－13＋1＝4－232＝2－ 3.故选B.答案：B8．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为()A ．0 B.45 C ． 0或45 D ．0或±45解析：由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ cos α·cos β－sin α·sin β＝45， ①cos α·cos β＋sin α·sin β＝－45， ② ①＋②得：2cos αcos β＝0，∴cos αcos β＝0，故选A.答案： A9．已知函数 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； 解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2.(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ 2sin α＝1013， ∴sin α＝513， ∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋2π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35， 又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45， ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan ()α＋β的值；解析：由已知条件即三角函数的定义可知cos α＝210，cos β＝255， 因α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210， 同理可得 sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)求α＋2β的值．解析：tan(α＋2β)＝tan ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β ＝－3＋121－(－3)×12＝－1， 又0<α<π2，0<β<π2， 故0<α＋2β<3π2， 从而由 tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.。
数学人教A版必修4课后集训： 3.1.1两角差的余弦公式
课后集训基础达标1.下列等式中一定成立的是（ ）A.cos(α+β)=cosα+cosβB.cos(α-β)=cosα-cosβC.cos(2π+α)=cosαD.cos(2π-α)=sinα 答案：D2.cosα+3sinα化简的结果可以是（ ） A.21cos(6π-α) B.2cos(3π-α) C.21cos(3π-α) D.2cos(6π-α) 解析：原式=2(21cosα+23sinα) =2(cos αcos60°+sinαsin60°)=2cos(α-60°)=2cos(3π-α), ∴应选B.答案：B3.cos(-15°)的值是( ) A.226- B.226+ C.426- D.426+ 解析：cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=426+. 答案：D4.在△ABC 中,若sinA·sinB ＜cosA·cosB,则△ABC 一定为（ ）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 解析：由sinA·sinB ＜cosA·cosB,得：cosA·cosB-sinA·sinB ＞0,cosA·cos(-B)+sinAsin(-B)＞0,即cos(A+B)＞0,∴A+B ＜2π, ∴C ＞2π. ∴△ABC 一定是钝角三角形.∴应选D.答案：D 5.cos(π1225-)的值是（ ）A.-462+B.462+C.462-D.426- 解析：cos(π1225-)=cos π1225=cos(2π+12π) =cos 12π=cos(4π-6π) =cos 4πcos 6π+sin 4πsin 6π =22×23+22×21=426+. ∴应选B.答案：B6.若cosα=1715,α∈(23π,2π),则cos(3π-α)=_________________. 解析：∵cosα=1715,α∈(23π,2π), ∴sinα=178)1715(1cos122-=--=--α, 则cos(3π-α)=cos 3πcosα+sin 3πsinα =21×1715+23×(-178)=343815-. 答案：343815- 综合运用7.若sinα-sinβ=1-23,cosα-cosβ=21,则cos(α-β)的值为（ ） A.21 B.23 C.43 D.1 解析：两式平方相加得：2-2sinαsinβ-2cosαcosβ=(1-23)2+(21)2,即2-2cos(α-β)=2-3,∴cos(α-β)=23. 答案：B 8.︒︒-︒︒︒-︒15cos 8cos 23cos 15cos 8cos 7cos 的值为（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2解析：原式=︒︒-︒+︒︒︒-︒-︒15cos 8cos )158cos(15cos 8cos )815cos( =︒︒-︒︒-︒︒︒︒-︒︒+︒︒15cos 8cos 15sin 8sin 15cos 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15cos 8cos =-1.∴应选B.答案：B9.化简cos80°·cos35°+cos10°·cos55°=________________.解析：原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=22. 答案：22 拓展探究10.求函数y=sinx+cosx 的最大、最小值及相应的x 的集合.思路分析：本题主要考查利用两角和与差的余弦公式进行化简.本题首先将其化为一个角的一个三角函数的形式,即可求最值.解:y=cosx+sinx=2(cosx·22+sinx·22) =2(cosx·cos4π+sinxsin 4π) =2cos(x-4π). ∴函数的最大值为2，此时自变量x 满足的条件为x-4π=2kπ,即x=2kπ+4π,k ∈Z ;函数的最小值为-2，此时自变量x 满足的条件为x-4π=π+2kπ,k ∈Z ,即x=π45+2kπ,k ∈Z . 备选习题11.函数y=cosx+cos(x-3π)的最大值是_______________. 解析：y=cosx+cosxcos 3π+sinxsin 3π =23cosx+23sinx =3(23cosx+21sinx)=3(cosxcos6π+sinx·sin 6π) =3cos(x-6π). y max =3. 答案：3 12.若cos(α+6π)=1312,(0＜α＜2π),求cosα. 解：∵0＜α＜2π,∴6π+α∈(6π, π32). ∴sin(α+6π)=)6(cos 12πα+-=135. ∴cosα=cos ［(α+6π)-6π］ =cos(α+6π)cos 6π+sin(α+6π)sin 6π =1312·23+135·21=263125+. 13.已知锐角α、β满足sinα=55,cosβ=10103.求cos(α-β)的值. 解：∵sinα=55,α为锐角， ∴cosα=552511sin 12=-=-α. ∵cosβ=10103,β为锐角， ∴sinβ=.10101091cos 12=-=-β ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =552·10103+55·1010=1027. 14.已知α,β为锐角，cosα=54,tan(α-β)=31-,求cosβ的值.解：由α,β为锐角，可得sinα=53. 又知角α-β在第四象限，于是cos(α-β)=103)(tan 112=-+βα.sin(α-β)=cos(α-β)tan(α-β) =101)31(103-=-∙, cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =54×)101(53103-⨯+ =10509. 15.cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α)=___________.解析：原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin ［180°-(10°+α)］ =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(10°+α)=cos ［(70°+α)-(10°+α)］=cos60°=21. 答案：21 16.已知cos(α-2β)=91-,sin(2α-β)=32,且2π＜α＜π,0＜β＜2π,求cosα+2β. 解：∵2π＜α＜π,4π＜2α＜2π,0＜β＜2π, -2π＜-β＜0,-4π＜-2β＜0, ∴4π＜α-2β＜π,-4π＜2α-β＜2π. 又cos(α-2β)=91-＜0, sin(2α-β)=32＞0, ∴2π＜α-2β＜π,0＜2α-β＜2π. 则sin(α-2β)=)2(cos 12βα-- =954)91(12=--.cos(2α-β)=)2(sin 12βα-- =35)32(12=-. 故cos 2βα+=cos ［(α-2β)-(2α-β)］ =cos(α-2β)·cos(2α-β)+sin(α-2β)·sin(2α-β) =(91-)×.27573295435=⨯+。
[精品]新人教A版必修四高中数学同步习题3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3和答案
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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α.2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sin α＝__________，sin2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12B.22C.33D.322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos2θ1＋sin2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105C ．－155 D.1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2α－π4α＋π2等于( )A.25B.75C.145D ．－25二、填空题7.3－sin70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是______．9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.10．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos2A ＋cos4A3＋4cos2A ＋cos4A ＝tan 4A .12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tan x 的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin2α (3)1－cos2α2 1＋cos2α2作业设计 1．B 2.A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.] 4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θθ＋cos θ2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3.] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15.∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0.由sin2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.]6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.]7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝23－cos 20°3－cos 20°＝2.8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2.∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2.9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cosθ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.10.π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0. ∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0.∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6.11．证明 ∵左边＝3－4cos2A ＋2cos 22A －13＋4cos2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos2A 1＋cos2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边．∴3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A＝tan 4A . 12．解 sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x x －sin xxcos x ＋sin x＝sin2x x －sin x cos x ＋sin x ＝sin2x 1－tan x1＋tan x ＝sin2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－34.∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2×1625－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－21100.13．解 原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18. 14．解 原式＝sin70°cos70°·cos10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin20°cos20°－1 ＝sin70°cos70°·cos10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin20°－cos20°cos20° ＝cos20°sin20°·cos10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin20°－12cos20°cos20°＝－sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.。
高中数学人教A版必修4第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于( )A ．cos100°B ．sin100°C D ．122．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( ) A ．0B ．1 2C ．3 2D ．－123．若α，β都是锐角，且cos α，sin(α－β)，则cos β＝（ ）A BC ．2或－10D ．2或104．cos165°的值是( )A B ． C ． D ． 5．若α∈[0，π]，sin 3αsin 43α＋cos 3αcos 43α＝0，则α的值是( )A ．6π B ． 4π C ． 3π D ． 2π6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是( )A ．1 2B ．2C ．－12D ．－2二、填空题7．cos2 072°cos212°＋sin2 072°sin212°＝________.8．2cos75°＋12sin75°＝________.9．已知sin α＝1517，α∈π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则cos α4π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________． 10．已知0<y<x<π，且tanxtany ＝2，sinxsiny ＝13，则x －y ＝________.三、解答题11．计算下列各式的值：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°； (2)cos θ4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭cosθ＋sin θ4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sinθ.12．已知cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＋sin αcos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 13．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<2π，求β的值. 14．若x∈π2，π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且sinx ＝45，求2cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋2cosx 的值．参考答案1．C 【解析】cos65°cos35°＋sin65°sin35°＝cos(65°－35°)＝cos30°故选：C. 2．B 【解析】原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin15° ＝cos(75°－15°) ＝cos60°＝12. 故选：B. 3．A 【分析】由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出()cos ,cos ααβ-，代入即得. 【详解】()0,0,sin 22ππαβαβ<<<<-=，()0,cos 210παβαβ∴<-<∴-==.cos ,sin 55αα=∴==. ()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤∴=--=-+-⎣⎦2=+=故选：A . 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦公式，角变换技巧，属于中档题.4．D 【解析】cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15° ＝－cos(45°－30°)＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°＝－22×12故选D.: 5．D 【解析】 由已知得cos 43αcos 3α＋sin 43αsin 3α＝0，即cos 433αα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝2π， 故选：D.点睛：逆用两角差余弦公式得到余弦值，根据所求角的范围得到结果. 6．C 【解析】由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，①－cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12， 故选：C. 7．12【解析】cos2 072°cos212°＋sin2 072°sin212°＝cos(2 072°－212°)＝cos1 860°＝cos60°＝12故答案为128【解析】2cos75°＋12sin75°＝cos30°cos75°＋sin30°sin75°＝cos(30°－75°)＝cos(－45°)＝2.故答案为29 【解析】 ∵sin α＝1517，α∈π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴cos α＝－＝－＝－817，∴cos α4π⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos 4πcos α＋sin 4πsin α＝2×817⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋2×1517＝34.故答案为3410．3π 【解析】 由题意可得tan x tan y ＝sinxsinycosxcosy＝2，解得cos x cos y ＝16， 故cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝16＋13＝12， 又0<y <x <π，所以0<x －y <π， 所以x －y ＝3π.故答案为3π11．（12【解析】试题分析：逆用两角差余弦公式，即可得到结果. 试题解析：(1)cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝2. (2)coscos θ＋sin sin θ＝cos ＝cos ＝22. 12．45【解析】试题分析：利用两角差余弦公式即可得到结果. 试题解析：因为cos ＋sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，所以cos＝cos α＋sin α＝.13．3π 【分析】由同角三角函数基本关系可得sin 7α==，由不等式的性质可得0<α－β<2π.据此可知sin (α－β)＝14，据此计算可得cos β＝cos [α－(α－β)]12=，则3πβ=.【详解】由cos α＝，0<α<， 得sin α＝＝＝.由0<β<α<，得0<α－β<.又∵cos (α－β)＝，∴sin (α－β)＝()21cos αβ--＝＝.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)， 即cos β＝×＋×＝，∴β＝.【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．14．35【解析】试题分析：利用平方关系得到cos x ，再利用差角公式展开，并项后代入正余弦值，即可得到答案.试题解析：∵x ∈，sin x ＝，∴cos x ＝－. ∴2cos ＋2cos x＝2＋2cos x ＝2＋2cos x＝sin x ＋cos x ＝－＝433-.。
2022高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式同步练习 新人教A版必修4
3.1.1两角差的余弦公式一、选择题1．已知锐角α、β满足coα＝错误!，coα＋β＝－错误!，则coβ＝B．－错误!D．－错误![答案] A[解析] ∵α、β为锐角，coα＝错误!，coα＋β＝－错误!，∴inα＝错误!，inα＋β＝错误!∴coβ＝co[α＋β－α]＝coα＋β·coα＋inα＋β·inα＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!2．co75°co15°－in255°in15°的值是A．0D．－错误![答案] B[解析] 原式＝co75°·co15°＋in75°in15°＝co75°－15°＝co60°＝错误!3．已知coθ＝错误!，θ∈错误!，则co错误!＝[答案] B[解析] ∵coθ＝错误!，θ∈错误!，∴inθ＝错误!，∴co错误!＝coθ·co错误!＋inθ·in错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!4．α、β为锐角，coα＋β＝错误!，co2α＋β＝错误!，则coα的值为或错误!D．以上均不对[答案] A[解析] ∵α，β为锐角，∴00，∴0错误!＝inβ，∴α>β∴0<α－β<错误!，∴inα－β＝错误!＝错误!＝错误!∴tanα－β＝错误!＝错误!10．若inα－inβ＝错误!，coα－coβ＝错误!，则coα－β的值为D．1[答案] A[解析] 将条件式两边分别平方相加得：2－2inαinβ－2coαcoβ＝1，∴2－2coα－β＝1，∴coα－β＝错误!二、填空题错误!＝________[答案] 错误![解析] 错误!错误!＝co错误!co错误!－in错误!in错误!＝co错误!co错误!＋in错误!in错误!＝co错误!＝co错误!＝错误!co15°＋错误!in15°＝________[答案] 错误![解析] 错误!co15°＋错误!in15°＝co60°co15°＋in60°in15°＝co60°－15°＝co45°＝错误!13．若α、β为锐角，且coα＝错误!，coα＋β＝错误!，则coβ的值为________．[答案] 错误![解析] ∵coα＝错误!，α为锐角，∴inα＝错误!又∵coα＋β＝错误!，α、β为锐角，∴inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!，∴coβ＝co[α＋β－α]＝coα＋βcoα＋inα＋βinα＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!14．化简错误!＝________[答案] 错误![解析] 错误!＝错误!＝错误!＝错误!三、解答题15．已知coθ＝－错误!，θ∈错误!，求co错误!的值．[解析] ∵coθ＝－错误!，θ∈错误!，∴inθ＝－错误!＝－错误!＝－错误!，∴co错误!＝coθ·co错误!＋inθ·in错误!＝－错误!·错误!＋错误!·错误!＝－错误!16．设co错误!＝－错误!，in错误!＝错误!，其中α∈错误!，β∈错误!，求co错误![分析] 观察已知角和所求角，可知错误!＝错误!－错误!，故可利用两角差的余弦公式求解．[解析] ∵α∈错误!，β∈错误!，∴α－错误!∈错误!，错误!－β∈错误!，∴in错误!＝错误!＝错误!＝错误!co错误!＝错误!＝错误!＝错误!∴co错误!＝co错误!＝co错误!co错误!＋in错误!·in错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!17．已知△ABC中，in C＝错误!，co B＝－错误!，求co A[解析] 在△ABC中，由co B＝－错误!，可得in B＝错误!，且B为钝角，∴C为锐角，∴co A＋B＝coπ－C＝－co C＝－错误!＝－错误!in A＋B＝inπ－C＝in C＝错误!，∴co A＝co[A＋B－B]＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误![点评] 本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出co A＋B＝错误!错误!而致误．18．已知coα＝错误!，coα＋β＝－错误!，且α、β∈错误!，求coβ的值．[解析] ∵coα＝错误!，α∈错误!，∴inα＝错误!＝错误!＝错误!又coα＋β＝－错误!，0<α＋β<π，∴inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!∴coβ＝co[α＋β－α]＝coα＋βcoα＋inα＋βinα＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!＝错误!。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：3.1.1两角差的余弦公式
信达信达3.1.1两角差的余弦公式班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知cosα+cosβ=12，，则cos(α−β)=A.B. C. D.12．sin π12-√3cos π12的值是 A.0B.—√2C.√2D.2sin5π123．在△ABC 中，若sinA ·sinB <cosA ·cosB ，则此三角形的形状为 A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定4．已知α,β均为锐角，且sinα=√55,cosβ=√1010，则α−β的值为_______.5．化简下列各式:(1)12cosx+√32sinx= ; (2)√3cosx+sinx= ; (3)cosx+sinx= .6．(2012·扬州检测)设cos α=-√55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2,求α-β的值.7．巳知cos(α−β)cos α+sin(α−β)sin α=m ，且β为第三象限角，求sin β. 8．已知sinα=45，α∈(0，π)，cosβ=−513，β是第三象限角，求cos(α−β)的值.能力提升1．已知α，β均为锐角，sinα=√55，cosβ=√1010，求α−β的值．2．已知函数f (x )=2cos (ωx +π6) (其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值.(2)设α,β [0,π2]，f (5α+5π3)=−65,f (5β−5π6)=1617，求cos (α−β)的值.信达信达3.1.1两角差的余弦公式【基础过关】 1．B【解析】：将已知两等式分别平方得()2221cos cos coscos 2cos cos 4αβαβαβ+=++=，()2221sin sin sin sin 2sin sin ,9αβαβαβ+=++=()1322cos cos sin sin 36αβαβ∴++=，即()59cos cos sin sin 72αβαβ+=-，()59cos cos cos sin sin .72αβαβαβ∴-=+=-故选B.2．B【解析】本题主要考查两角和、差的正弦、余弦公式的逆用. ∵sin π12-√3cos π12=2(12sinπ12−√32cos π12)=2(cos π3sin π12−sin π3cos π12)=.故选B.【备注】asinα+bcosα=√a 2+b 2sin(α+θ),(tanθ=ba).注意辅助角公式的应用.3．B【解析】因为sin sin cos cos A B A B •<•,所以cos cos sin sin 0A B A B •-•> 即cos()0,A B +>又cos()cos A B C +=-,所以C 为钝角,所以此三角形为钝角三角形. 4．4π-5．(1)cos(x-π3) (2)2cos(x-π6) (3)2cos(x-π4) 【解析】(1)由特殊值联想到特殊角,12=cos π3,√32=sin π3,所以12cosx+√32sinx=cosxcos π3+sinxsin π3=cos(x-π3);(2)√3cosx+sinx=2(cosx ·√32+sinx ·12)=2cos(x-π6);(3)cosx+sinx=2cos(x-π4).6．方法一 由cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55,tan α=2.又tan β=13,于是tan(α-β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=2−131+2×13=1.由π<α<3π2,0<β<π2可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.方法二 由cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55. 由tan β=13,0<β<π2,得sin β=√10,cos β=√10,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=(-2√55)×√10-(-√55)×√10=-√22. 由π<α<3π2,0<β<π2可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.7．解：()()()()cos cos sin sin cos cos cos .m αβααβααβαββ-+-=--=-==⎡⎤⎣⎦QβQ为第三象限角，sin β∴==.8．解：分情况讨论：①当α∈(0，π2)时，由sinα=45，cosα=2α=√1−(45)2=35，又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cos 2β=−√1−(−513)2=−1213，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35×(−513)+45×(−1213)=−6365 . ②当α∈(π2,π)时，由sinα=45，cosα=2α=−√1−(45)2=−35，又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cos 2β=−√1−(−513)2=−1213，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−35)×(−513)+45×(−1213)=−3365. 【能力提升】1．解：由已知得cosα=√1−sin 2α=2√55，sinβ=√1−cos 2β=3√1010． ∵sinα<sinβ，∴α<β，∴−π2<α−β<0，∴sin(α−β)=sinαsinβ−cosαcosβ=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22． ∴α−β=−π4．信达信达【解析】本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，求得sin(α−β)是关键，依题意，通过求sin(α−β)可求得α−β的值。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修4第三章3.1-3.1.1两角差的余弦公式
第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式A 级 基础巩固一、选择题1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32 D.33 解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.答案：A2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b ＝( )A.22 B.12 C.32 D ．－12解析：a·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.答案：A3．已知cos α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A.5213B.7213C.17226D.7226解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝1213×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×22＝7226. 答案：D4．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )，且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．答案：B5．已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos (α－ β )＝( )A ．－12B ．－32 C.12D ．1解析：由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，两边平方相加得(cos α＋cos β )2＋(sin α＋sin β )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1， 2(cos αcos β＋sin αsin β )＝－1， cos(α－ β )＝－12.答案：A 二、填空题6．cos(x ＋270°)cos(x －180°)＋sin(x ＋270°)sin(x －180°)的值等于________．解析：原式＝cos[(x ＋270°)－(x －180°)]＝ cos 450°＝cos(360°＋90°)＝cos 90°＝0. 答案：07.12sin 75°＋32sin 15°的值等于________． 解析：原式＝cos 60°·cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝ cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.答案：228．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos A ＝________．解析：由A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，可知A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210，cos A ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4·cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝－210×22＋7210×22＝35. 答案：35三、解答题9．(1)化简： cos(α－β)cos(α－γ)－sin(α－β)sin(γ－α)；(2)已知sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)原式＝cos(α－β)cos(α－γ)＋sin(α－β)sin(α－γ)＝cos[(α－β)－(α－γ)]＝cos(γ－β)．(2)因为sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin2α＝－1213，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×22＋513×22＝－7226. 10．已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－34， β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，求cos (α－ β)的值．解：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝23，所以cos α＝－1－sin 2α＝－53，又 β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos β＝－34，所以sin β＝－1－cos 2 β＝－74， 所以cos (α－ β )＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74＝35－2712.B 级 能力提升1．已知x ∈R, sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－2≤m ≤ 2 C ．－1≤m ≤ 2D ．－2≤m ≤1解析：sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22 cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4， 因为x ∈R ，所以－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4≤1，所以－2≤m ≤ 2.答案：B2．函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的最小正周期是________．解析：由于f (x )＝cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π. 答案：π3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0, 求证：cos (α－ β )＝－12.证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋sin β )2＝(－sin γ)2① (cos α＋cos β )2＝(－cos γ)2②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β )＝1. 即2＋2cos(α－ β )＝1，所以cos(α－ β )＝－12.。
高中数学课时训练(人教版必修四)第三章 3.1 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
数学·必修4(人教A 版)第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础提升1．已知sin α＝45，cos(α＋β)＝－35，α、β都是第一象限的角，则sin β等于( )A.2425B.725C.2425或725 D ．－2425答案：A2．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.故当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：∵α＋β＝π4，∴由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，故原式可化为1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋()1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.故选C.答案：C4．已知tan α＝4, tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) A.711 B －711 C. 713 D ．－713解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－12＝－711，故选B.答案：B5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 14°＋22cos 14°＝2sin 59°，b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 16°＋22cos 16°＝2sin 61°， c ＝62＝2×32＝2sin 60°. ∵sin 59°<sin 60°<sin 61°， ∴a <c <b ，故选B. 答案：B巩固提高6.已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z答案：B 7.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°等于( )A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．1＋32D ．1－32解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°－cos 15°sin 8°＋cos 15°sin 8°cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8° ＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin 15°cos 15°＝sin (45°－30°)cos (45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32－22×1222×32＋22×12＝3－13＋1 ＝4－232＝2－ 3.故选B.答案：B8．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 B.45 C ． 0或45 D ．0或±45解析：由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧cos α·cos β－sin α·sin β＝45， ①cos α·cos β＋sin α·sin β＝－45， ②①＋②得：2cos αcos β＝0， ∴cos αcos β＝0，故选A.答案： A9．已知函数 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2.(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ 2sin α＝1013， ∴sin α＝513， ∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋2π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan ()α＋β的值；解析：由已知条件即三角函数的定义可知cos α＝210，cos β＝255， 因α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2α＝7210， 同理可得 sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)求α＋2β的值．解析：tan(α＋2β)＝tan ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由 tan(α＋2β)＝－1， 得α＋2β＝3π4.。
人教版高中数学必修四三角恒等变换(两角差的余弦公式)同步练习(含答案解析)
人教版高中数学必修四三角恒等变换（两角差的余弦公式）同步练习（含答案解析）一、选择题1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝( )A ．－12 B.12C ．0D ．1 2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π65．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55 B.55 C.11525D.5 6．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－32 C.34D ．1二、填空题7．cos 15°的值是________．8．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．参考答案与解析1．C 2.B3．A [原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.] 4．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.] 5．B [∵sin(π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]6．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12②①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 7.2＋64 8.83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 9．－12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ② ①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 10．－π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·1010＋55·31010＝22， ∴α－β＝－π4. 11．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.12．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2. 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2. ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 又cos(α－β2)＝－19<0， sin(α2－β)＝23>0， ∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459. cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53. ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527. 14．解 由已知，得 sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∴β－α＝±π3.∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3.。
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数学·必修4(人教A 版)
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
基础提升
1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于( ) A.
32 B ．－32 C.12 D ．－12
解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos ()180°－33°
＝cos 27°cos 57°＋sin 27°cos 33°
＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°
＝cos ()57°－27°＝cos 30°＝
32
.故选A. 答案：A
2．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ()α＋β＋sin αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－()α＋β等于( ) A ．cos β B ．cos α
C ．sin β
D ．sin α
解析：原式＝cos αcos ()α＋β＋sin αsin ()α＋β
＝cos []α－()α＋β＝cos ()－β＝cos β.故选A.
答案：A
3.3cos π12＋sin π12的值是( )
A ．0
B ．－ 2 C.6＋2
2 D ．2
解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
32cos π12＋1
2sin π12
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos π6cos π12＋sin π6sin π12
＝2cos π
12
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－π4
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos π3cos π4＋sin π3sin π4
＝2×2＋64＝6＋2
2.故选C.
答案：C
4．若α，β都是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋β＝－13，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3π2－α＝－4
5，则
cos ()α－β的值是( )
A.82－3
15 B.82＋3
15 C.－82－3
15 D.－82＋3
15
解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋β＝－sin β＝－13，
∴sin β＝1
3，又α，β都是锐角， ∴cos β＝22
3.
∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－45，
∴cos α＝4
5.
又α，β都是锐角，∴sin α＝3
5，
∴cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β
＝4
5×223＋3
5×1
3
＝82＋3
15.故选B.
答案：B
5．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝15，cos β＝1
10，则α－β等于(
) A ．－π4 B.3π4 C.π4 D ．－π4或π
4
解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，sin α＝15，cos β＝1
10，
∴cos α＝25，sin β＝310.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝
25×110＋15×310＝22
.又sin α<sin β， ∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4
.故选A. 答案：A
巩固提高
6．若cos α＝117，cos ()α＋β＝－4751
，且α，β都是锐角，则cos β的值为( )
A ．－17 B.13 C.403867 D ．－403867
解析：∵β＝()α＋β－α，
又cos α＝117，cos ()α＋β＝－4751
， α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，
∴sin α＝12217，sin ()α＋β＝14251
. ∵cos β＝cos []()α＋β－α
＝cos ()α＋βcos α＋sin ()α＋βsin α，
∴cos β＝－4751×117＋14251×12217
＝－47＋33651×17＝28951×17＝13
. 答案：B
7．已知cos α＋cos β＝35，sin α＋sin β＝45
，则cos ()α－β的值为( )
A ．－1
B ．－12 C.12 D.32
解析：∵cos α＋cos β＝35，sin α＋sin β＝45
， ∴925
＝cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β， 1625
＝sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β， 两式相加得1＝2＋2cos αcos β＋2sin αsin β
＝2＋2cos ()α－β，
∴cos ()α－β＝－12.故选B.
答案：B
8．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝________.
解析：α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213
， ∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π4， ∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π4＝－513， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π4 ＝45·⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·1213＝－5665
. 答案：－5665
9．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π)(x ∈R)的最大值是1，
其图象经过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，12.
(1)求f (x )的解析式；
解析：(1)∵－1≤sin(x ＋φ)≤1，A >0，
∴[]f (x )max ＝A ＝1，
∵f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12
， 由0<φ<π，得π3<π3＋φ<4π3
，
∴π3＋φ＝5π6，解得φ＝π2
. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2＝cos x .
(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求
f (α－β)的值．
解析：(2)由f (α)＝35，f (β)＝1213，
得cos α＝35，cos β＝1213，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，
∴sin α＝1－cos 2α＝45，
sin β＝1－cos 2β＝513，
∴f (α－β)＝cos(α－β) ＝cos α·cos β＋sin α·sin β ＝35×1213＋45×513＝5665.。