费曼-海尔曼定理

论文的结构和主要内容
3.1.2示例对比分析 在求解一维谐振子问题中的 x 、p ， 以及 xp 时，如果利用量子力学中求期 望值的方法，那么，我们就要将已知的 哈密顿量带入到线性谐振子的本征函数， 即
2 2 n n
n x
e 1 2 n 2 n!
二、论文的结构和主要内容
2、维理 定理 1、费曼-海尔曼 定理 3、费曼-海尔曼 定理的应用 4、维里定理 的应用
5、小结
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1费曼-海尔曼定理
1.1费曼-海尔曼定理的概述 费曼-海尔曼定理又称费曼-海尔曼 关系，发表于30年代后期。它的应用极 其广泛，即可做理论分析，又可作具体 计算。并且，某些问题用其他的方法十 分麻烦，但是用费曼-海尔曼定理就简 单的多了。
2
而这正是谐振子的零点能。
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但是如果要求第一激发态或更高激 发态的平均动能和平均势能，以及它们 之间的关系时，用量子力学求平均值的 方法就显得很复杂了，如果我们改用维 里定理，则方便得多。由题意知此时的 势能U是位矢x的2次齐次函数，由维里定 理立即可以得出 T U ，即谐振子的平均 动能等于平均势能，而且它不仅对基态 成立，而且对任何激发态都成立。
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费曼-海尔曼定理的表达式为：
H En n , n
从上面的式子中我们就可以看出， 我们可以利用这个式子求解某些力学量 的平均值或是它的能量等。因此，在后 面的应用中，我举了这些方面具有代表 性的例子。
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2维理定理
2.1维里定理的证明 2.1.1证明方法的选取 维里定理的证明方法十分多，例如： 应用泊松括号的性质和平均值的普遍公 式来证明、应用海森堡运动方程和矩阵 法证明、以及应用变分法证明等等。
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最终导出了维里定理的表达式为：
2 T r V
从上面的式子可以看出，维里定理非 常简洁的给出了系统平均动能和平均势能 之间的关系，如果知道了系统的平均动能， 可以利用它求得平均势能，反之亦然。
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4维里定理的应用
4.1对于谐振子问题的求解 1 2 2 U x 设谐振子的势能为 , 2 如果用量子力学求平均值的公式， 即 F Fd , 可以求出谐振子的基态能量值为 , U T 4 4 则总能量

0
0
E0 T0 U 0
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4.2库仑场问题 e e U r 若库仑场势能为 T x y z ，如 果我们通过氢原子定态薛定谔方程求解， e e E 则氢原子的能级为负值，即 2 n 2a n , 则平均动能一定是正值。因为总能量为负 值，所以，U T .即

1 2
1 2 x2 2
H n x ,
m
之中，并且应用量子力学求平均值的公 式，即
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F Fd

1 2 x2 n x 1 e 2 H n x , 2 n 2 n!
,
ˆ dr E T nlm T nlm n
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上面的具体计算十分复杂，但是如 果用维里定理，问题就十分容易了。根 据题意我们可以知道势能是的 n 1齐次 2T U 函数，所以 , 又因为总能量 En T U T , U 2 T 2En 因此 . 即平均势能为负值，并且为总能量 的两倍，由于平均动能一定是负值，这 样总能量就为负值。
质量为 ，电荷为 - 的电子，在电荷为 的原子核的库伦场中运动，忽略原子核的运动，
求
1 r
n
，
1 r2
1 ，r 3 n
。 n
H z e 2
n
在已知哈密顿量和能量的情况下，
若我们选Z为参变量，则:
由费曼-海尔曼定理: 则有：
1 r
n
H z

n
En z
1 r
n
Z 2 n a0
三、完成论文写作存在的问题及收获
本篇论文只是具体从几个方面介绍了
费曼-海尔曼定理和维里定理的一些应用，
并没有全面的论述它们所有的应用。
但是，通过撰写本篇论文，使我更深
入、细致的学习费曼-海尔曼定理和维里 因此对我的帮助很大。
定理及其应用，使我体会到他们的重要性，
1 2
m
来求解，这其中所涉及到的积分问题十 分复杂，计算过程也相当的困难，这样 想要获得正确的解就需要扎实的计算能 力和耐心。
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令
理，就可以得到
ˆ H ， mx 2
，此处利用费曼海尔曼定
En 1 n m x 2 2
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1.2费曼-海尔曼定理的证明 对于费曼-海尔曼定理的证明，我引 用了曾谨言的《量子力学》中的方法。 设定了某量子体系的束缚态的能级,以及 相应的归一化波函数，并对他们所以满 足的式子
H Baidu Nhomakorabea En n
进行了求导、求标积的计算，最后又利 用了哈密顿算符的厄米性以及波函数的 归一化特性，导出了费曼-海尔曼定理。
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3费曼-海尔曼定理的应用
3.1用费曼-海尔曼定理求某些量的平均值 3.1.1典型示例的选取 在量子力学领域中，一维谐振子在量 子力学中是一个重要的物理模型，一维谐 振子问题是个基本的问题，所以，我对其 中的一些问题，分别利用量子力学中的普 遍方法和费曼-海尔曼定理来解决，并进 行对比。
费曼-海尔曼定理和维里定理 的应用
提纲
一 选题的目的、意义和要完成的任务
二 论文的基本框架和主要内容
三 完成论文写作存在的问题及收获
一、选题的目的、意义和要完成的任务
费曼-海尔曼定理和维里定理的应用极 其广泛, 在量子力学中，处理问题也十分 简便，可惜在各种教材中, 只是轻轻带过, 很少充分论述。 所以，本文将根据他们的定义，列举 具有代表性的例子来向大家介绍费曼-海尔 曼定理和维里定理的应用。
n
对上式化简得
x
2 n
1 n 2 m
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3.2费曼-海尔曼定理解氢原子中一些问
题
3.2.1典型示例的选取 在量子力学中，由于氢原子问题有 解析解，更简单、更实用，因此它的应 用十分广泛、重要。所以，在此选择它 作为示例。
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3.3.2示例对比分析
2 s 2 s 2 2 2
4 s 2 s n 2 2 2 0
U
nlm
e s2 e s2 2 e s2 2 2 2 2 nlm d Rnl r Ylm , r r r drd e s 0 Rnl r rdr a n 2 2 En 0