(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题21 排列、组合与二项式定理 理
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：数列求和及综合应用含解析
第一部分 一 10一、选择题1．(文)(2015·新课标Ⅱ文，5)设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11[答案] A[解析] 考查等差数列的性质及求和公式．a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.故选A.(理)(2015·新课标Ⅰ文，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10 D ．12 [答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的通项及求和公式．由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B.[方法点拨] 数列求和的类型及方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和． (2)错位相减法这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．(文)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2013的两个零点是a 2、a 3，则a 1a 4＝( ) A ．2013 B ．1 C ．－1 D ．－2013[答案] D[解析] 由条件得，a 1a 4＝a 2a 3＝－2013.(理)已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.若函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1 [答案] C[解析] 据已知得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即数列{a n }为等差数列，又f (x )＝sin2x ＋2×1＋cos x2＝sin2x ＋1＋cos x ，因为a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，故cos a 1＋cos a 9＝cos a 2＋cos a 8＝…＝cos a 5＝0，又2a 1＋2a 9＝2a 2＋2a 8＝…＝4a 5＝2π，故sin2a 1＋sin2a 9＝sin2a 2＋sin2a 8＝…＝sin2a 5＝0，故数列{y n }的前9项之和为9，故选C.3．(2014·辽宁协作联校三模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2014sin n π2，则a 1＋a 2＋…＋a 2014＝( )A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 [答案] C[解析] 数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2014(sin π2＋sinπ＋sin 3π2＋sin2π)＝0，又∵2014＝4×503＋2，∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝a 1＋a 2＝2014sin π2＋2014sinπ＝2014.4．(文)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x )(x ∈R )，且f (1)＝52，则数列{f (n )}(n ∈N *)前20项的和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335[答案] D[解析] ∵f (1)＝52，f (2)＝32＋52，f (3)＝32＋32＋52，…，f (n )＝32＋f (n －1)，∴{f (n )}是以52为首项，32为公差的等差数列．∴S 20＝20×52＋20(20－1)2×32＝335.(理)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)[答案] A[解析] 设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)⇒k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . [方法点拨] 解决数列与函数知识结合的题目时，要明确数列是特殊的函数，它的图象是群孤立的点，注意函数的定义域等限制条件，准确的进行条件的转化，数列与三角函数交汇时，数列通常作为条件出现，去除数列外衣后，本质是三角问题．5．(文)已知数列{a n }是等比数列，且每一项都是正数，若a 1、a 49是2x 2－7x ＋6＝0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为( )A.212 B ．93 C ．±9 3 D ．35[答案] B[解析] ∵{a n }是等比数列，且a 1，a 49是方程2x 2－7x ＋6＝0的两根， ∴a 1·a 49＝a 225＝3.而a n >0，∴a 25＝ 3.∴a 1·a 2·a 25·a 48·a 49＝a 525＝(3)5＝93，故选B.(理)(2015·江西质检)如果数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是二次方程x 2n ＋2nx n ＋c n ＝0(n ＝1,2,3，…)的两个根，当a 1＝2时，c 100的值为( )A ．－9984B ．9984C ．9996D ．－9996[答案] C[解析] 由根与系数关系，a n ＋a n ＋1＝－2n ，则(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝－2.即a n ＋2－a n ＝－2，∴a 1，a 3，a 5，…和a 2，a 4，a 6，…都是公差为－2的等差数列，∵a 1＝2，a 1＋a 2＝－2，∴a 2＝－4，即a 2k ＝－2k －2，∴a 100＝－102，a 2k －1＝－2k ＋4，∴a 101＝－98.∴c 100＝a 100·a 101＝9996.6．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )[答案] C[解析] ∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .7．(2015·南昌市一模)已知无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A ，则四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②{n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④{2n ＋1n }，其极限为2的共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] C[解析] 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即2不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n －2|＝|1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－2＝22n<ε，得n >1－log 2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n <ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n 的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④. 二、填空题8．(文)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是________．[答案] 100[解析] 由调和数列的定义知{b n }为等差数列，由b 1＋b 2＋…＋b 9＝9b 5＝90知b 5＝10， ∵b n >0，∴b 4b 6≤(b 4＋b 62)2＝b 25＝100.(理)(2014·河南十所名校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1,2,3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”，不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件：①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”，下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和为S n ＝n3(n 2－1)；②数列1,2,3,4,5；③数列1,2,3，…，11.其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有________(填序号)．[答案] ①②[解析] S n ＝n 3(n 2－1)，S n －1＝n －13[(n －1)2－1](n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝n3(n －1)(n ＋1)－n －13(n 2－2n )＝n3(n －1)(n ＋1－n ＋2)＝n (n －1)(n ≥2)，又a 1＝S 1＝0，∴a 1＋1＝1＝12，a 2＋2＝4＝22，a 3＋3＝9＝32，…，a n ＋n ＝n 2，∴数列{a n }具有“P 性质”；数列1,2,3,4,5排为3,2,1,5,4，则a 1＋1＝4＝22，a 2＋2＝4＝22，a 3＋3＝4＝22，a 4＋4＝9＝32，a 5＋5＝9＝32，∴数列1,2,3,4,5具有“变换P 性质”，同理可验证数列1,2,3，…，11不具有“P 性质”和“变换P 性质”．[方法点拨] 脱去新定义的外衣，将问题化为基本数学模型，用相应的知识方法解答是解决此类问题的基本方法．9．(2015·安徽文，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[答案] 27[解析] 考查1.等差数列的定义；2.等差数列的前n 项和． ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.10．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列{a na n ＋1a n ＋4}的最大项的值为________．[答案] 19[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， ∴S n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n ，∴a n a n ＋1·a n ＋4＝n(n ＋1)(n ＋4)＝1n ＋4n＋5，当n ＝2时，n ＋4n 取最小值4，此时a na n ＋1a n ＋4取到最大值19.三、解答题11．(文)(2015·云南省检测)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18S 9＝78. (1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．[解析] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1， S 18S 9＝21≠78.∴q ≠1.∴S 18＝a 11－q (1－q 18)，S 9＝a 11－q (1－q 9)，S 18S 9＝1＋q 9.∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13.∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝32×a 11－q ，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝34×a 11－q. S 9＝a 11－q(1－q 9)＝98×a 11－q .∵S 9－S 3＝－38×a 11－q ，S 6－S 9＝－38×a 11－q ，∴S 9－S 3＝S 3－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102＝14a 1－18a 12＝a 116.设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项，则 a 1(－2－13)n －1＝a 116，化简得(－2)－n －13＝(－2)－4，则－n －13＝－4，解得n ＝13.∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．(理)(2015·唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(1－q )S n ＋qa n ＝1，且q (q －1)≠0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列． [解析] (1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，∴a 1＝1，当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得 (1－q )a n ＋q (a n －a n －1)＝0，∴a n ＝qa n －1，∵a 1＝1，q (q －1)≠0，∴a n ＝q n －1， 综上a n ＝q n －1. (2)由(1)可知a na n －1＝q ，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列． 所以S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q ，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8. 故a 2，a 8，a 5成等差数列．[方法点拨] 1.在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数．2．在处理等差与等比数列的综合问题时，先要看所给数列是等差数列还是等比数列，再依据条件建立方程求解．12．(文)已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，且满足对任意x 、y ∈(－1，1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，数列{x n }中，x 1＝12，x n ＋1＝2x n 1＋x 2n.(1)证明：f (x )在(－1,1)上为奇函数； (2)求数列{f (x n )}的通项公式； (3)求证：1f (x 1)＋1f (x 2)＋…＋1f (x n )>－2n ＋5n ＋2. [分析] (1)要证f (x )为奇函数，只需证明f (－x )＋f (x )＝0，只需在条件式中令y ＝－x ，为了求f (0)，令x ＝y ＝0即可获解．(2)利用f (x )＋f (y )＝f (x ＋y1＋xy)可找出f (x n ＋1)与f (x n )的递推关系，从而求得通项．(3)由f (x n )的通项公式确定数列{1f (x n )}的求和方法，求和后利用放缩法可证明．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )在(－1,1)上为奇函数． (2)f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，f (x n ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫2x n 1＋x 2n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋x n 1＋x n ·x n ＝2f (x n)， ∴f (x n ＋1)f (x n )＝2，即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (x n )＝－2n －1. (3)1f (x 1)＋1f (x 2)＋…＋1f (x n ) ＝－⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝－1－12n1－12＝－⎝⎛⎭⎫2－12n －1＝－2＋12n －1>－2，而－2n ＋5n ＋2＝－⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2＝－2－1n ＋2<－2. ∴1f (x 1)＋1f (x 2)＋…＋1f (x n )>－2n ＋5n ＋2. (理)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对于每个正整数n ，点P n 均位于一次函数y ＝x ＋54的图象上，且P n 的横坐标构成以－32为首项，－1为公差的等差数列{x n }．(1)求点P n 的坐标；(2)设二次函数f n (x )的图象C n 以P n 为顶点，且过点D n (0，n 2＋1)，若过D n 且斜率为k n 的直线l n 与C n 只有一个公共点，求T n ＝1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n的表达式；(3)设S ＝{x |x ＝2x n ，n 为正整数}，T ＝{y |y ＝12y n ，n 为正整数}，等差数列{a n }中的任一项a n ∈(S ∩T )，且a 1是S ∩T 中最大的数，－225<a 10<－115，求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)由题意知x n ＝－32－(n －1)＝－n －12，y n ＝－n －12＋54＝－n ＋34，∴P n ⎝⎛⎭⎫－n －12，－n ＋34.(2)由题意可设二次函数f n (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋n ＋122－n ＋34，因为f n (x )的图象过点D n (0，n 2＋1)， 所以a ⎝⎛⎭⎫n ＋122－n ＋34＝n 2＋1，解得a ＝1， 所以f n (x )＝x 2＋(2n ＋1)x ＋n 2＋1.由题意可知，k n ＝f ′n (0)＝2n ＋1，(n ∈N *)．所以T n ＝1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n ＝13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1213－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋1＝16－14n ＋2. (3)由题意得S ＝{x |x ＝－2n －1，n 为正整数}，T ＝{y |y ＝－12n ＋9，n 为正整数}， 所以S ∩T 中的元素组成以－3为首项，－12为公差的等差数列， 所以a 1＝－3，则数列{a n }的公差为－12k (k ∈N *)， 若k ＝1，则a n ＝－12n ＋9，a 10＝－111∉(－225，－115)； 若k ＝2，则a n ＝－24n ＋21，a 10＝－219∈(－225，－115)； 若k ≥3，则a 10≤－327，即a 10∉(－225，－115)．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝－24n ＋21(n 为正整数)．[方法点拨] 1.数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综合性题目时，注意数列与函数的内在联系，将所给条件向a n 与n 的关系转化．2．数列还常与不等式交汇命题，不等式常作为条件或证明、求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用．13．(文)(2015·山东文，19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] 考查1.等差数列的通项公式；2.“错位相减法”求和及运算求解能力． (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，得到a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1， 两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43，所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)·4n ＋19.(理)(2015·河南八市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，直线x ＋y ＝2n 总是把圆(x －n )2＋(y －S n )2＝2n 2平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n }中，b 6＝b 3b 4，且b 3和b 5的等差中项是2a 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由于x ＋y ＝2n 总是把圆(x －n )2＋(y －S n )2＝2n 2平均分为两部分，所以直线过圆心，所以n ＋S n ＝2n ，即S n ＝n 2， 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，经检验n ＝1时也成立，所以a n ＝2n －1.等比数列{b n }中，由于b 6＝b 3b 4，所以b 1q 5＝b 21q 5， 因为b 1>0，q >0，所以b 1＝1，因为b 3和b 5的等差中项是2a 3，且2a 3＝10，所以b 3＋b 5＝20， 所以q 2＋q 4＝20，解得q ＝2，所以b n ＝2n －1. (2)由于c n ＝a n b n ，所以T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)2n －1 ① 2T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ② 所以－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)2n ＝1＋2×2(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n＝－3＋2×2n －(2n －1)2n ＝－3＋(3－2n )2n ， T n ＝3＋(2n －3)2n .14．(文)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用a n 表示某企业第n 年投入的治理污染的环保费用，用b n 表示该企业第n 年的产值．设a 1＝a (万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a 万元；又设b 1＝b (万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用P n ＝a n b n100ab表示企业第n 年“对社会的有效贡献率”．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”； (2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?[解析] (1)∵a 1＝a ，b 1＝b ，P n ＝a n b n 100ab， ∴P 1＝a 1b 1100ab＝1%， P 2＝a 2b 2100ab ＝3a ×1.1b 100ab＝3.3%. 故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%.(2)由题意，得数列{a n }是以a 为首项，以2a 为公差的等差数列，数列b n 是以b 为首项，以1.1为公比的等比数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a ＋(n －1)·2a ＝(2n －1)a ，b n ＝b 1(1＋10%)n －1＝1.1n －1b .又∵P n ＝a n b n 100ab， ∴P n ＝(2n －1)a ×1.1n －1b 100ab＝(2n －1)×1.1n －1100. ∵P n ＋1P n ＝2n ＋12n －1×1.1＝⎝⎛⎭⎫1＋22n －1×1.1>1， ∴P n ＋1>P n ，即P n ＝(2n －1)×1.1n －1100单调递增． 又∵P 6＝11×1.15100≈17.72%<20%， P 7＝13×1.16100≈23.03%>20%. 故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.(理)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多(23)n －1a 万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．[解析] (1)设甲、乙两超市第n 年销售额分别为a n 、b n ，又设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a 2(n 2－n ＋2)(n ≥2)，因n ＝1时，a 1＝a ， 则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a (n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，(n －1)a ，n ≥2， 又因b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝(23)n －1a ， 故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋23a ＋(23)2a ＋…＋(23)n －1a ＝[1＋23＋(23)2＋…＋(23)n －1]a ＝1－(23)n 1－23a ＝[3－2·(23)n －1]a ， 显然n ＝1也适合，故b n ＝[3－2·(23)n －1]a (n ∈N *) (2)当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝53a ，有a 2>12b 2； n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，有a 3>12b 3； 当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市有可能被收购．当n ≥4时，令12a n >b n ， 则12(n －1)a >[3－2·(23)n －1]a ⇒n －1>6－4·(23)n －1， 即n >7－4·(23)n －1. 又当n ≥7时，0<4·(23)n －1<1， 故当n ∈N *且n ≥7时，必有n >7－4·(23)n －1. 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[方法点拨] 1.用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．2．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．3．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n 项和．15．(文)定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)…(2a n ＋1)，求T n 关于n 的表达式；(3)记b n ＝log2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项之和S n ，并求使S n >2012成立的n 的最小值．[解析] (1)证明：由题意得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，∴2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n＋1)2. 所以数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”．令c n ＝2a n ＋1，所以lg c n ＋1＝2lg c n .因为lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，所以lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2. 所以数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列．(2)由(1)知lg(2a n ＋1)＝(lg5)×2n －1，∴2a n ＋1＝10(lg5)×2n －1＝52n －1，∴T n ＝520×521×522×…×52n －1＝520＋21＋…＋2n －1＝52n －1.(3)∵b n ＝log2a n ＋1T n ＝2n －12n －1＝2－(12)n －1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n －1×(1－12n )1－12＝2n －2＋12n －1， 由2n －2＝2012得n ＝1007，∴S 1006＝2×1006－2＋121005∈(2010,2011)，S 1007＝2×1007－2＋121006∈(2012,2013)． 故使S n >2012成立的n 的最小值为1007.(理)已知曲线C ：xy ＝1，过C 上一点A n (x n ，y n )作一斜率为k n ＝－1x n ＋2的直线交曲线C 于另一点A n ＋1(x n ＋1，y n ＋1)，点列{A n }的横坐标构成数列{x n }，其中x 1＝117. (1)求x n 与x n ＋1的关系式；(2)令b n ＝1x n －2＋13，求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝3n －λb n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[分析] (1)由直线方程点斜式建立x n 与y n 关系，而(x n ，y n )在曲线xy ＝1上，有x n y n ＝1，消去y n 得x n 与x n ＋1的关系；(2)由定义证b n ＋1b n为常数；(3)转化为恒成立的问题解决． [解析] (1)过点A n (x n ，y n )的直线方程为y －y n ＝－1x n ＋2(x －x n )， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y －y n ＝－1x n ＋2(x －x n )xy ＝1，消去y 得 1x n ＋2x 2－⎝⎛⎭⎫y n ＋x n x n ＋2x ＋1＝0. 解得x ＝x n 或x ＝x n ＋2x n. 由题设条件知x n ＋1＝x n ＋2x n. (2)证明：b n ＋1b n ＝1x n ＋1－2＋131x n －2＋13＝1x n ＋2x n －2＋131x n －2＋13＝x n 2－x n ＋131x n －2＋13＝3x n ＋2－x n 3(2－x n )3＋x n －23(x n －2)＝－2. ∵b 1＝1x 1－2＋13＝－2≠0，∴数列{b n }是等比数列． (3)由(2)知，b n ＝(－2)n ，要使c n ＋1>c n 恒成立，由c n ＋1－c n ＝[3n ＋1－λ(－2)n ＋1]－[3n －λ(－2)n ]＝2·3n ＋3λ(－2)n >0恒成立，即(－1)n λ>－⎝⎛⎭⎫32n －1恒成立．①当n 为奇数时，即λ<⎝⎛⎭⎫32n －1恒成立．又⎝⎛⎭⎫32n －1的最小值为1，∴λ<1.②当n 为偶数时，即λ>－⎝⎛⎭⎫32n －1恒成立，又－⎝⎛⎭⎫32n －1的最大值为－32，∴λ>－32， 即－32<λ<1.又λ为非零整数， ∴λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n .。
2016届高考数学新课标全国二轮复习素能演练提升1集合与常用逻辑用语、不等式 含答案
素能演练提升一一、选择题1。
（2015四川成都外国语月考)若全集U=R，集合M=｛x|-x2—x+2<0}，N=｛x｜x—1〈0}，则下图中阴影部分表示的集合是（）A.(-∞，1］ B。
(1，+∞)C.(-∞，-2）D。
（-2,1）解析：M={x|x〈—2或x〉1｝，N={x｜x<1}。
题图中阴影部分表示的集合为M∩(∁R N)=｛x|x〈-2或x〉1｝∩{x｜x≥1}={x｜x>1}.故选B.答案：B2。
（2015山东高考,文1)已知集合A=｛x|2〈x<4｝,B={x｜(x—1）（x-3）〈0}，则A∩B=()A.(1，3)B.(1，4） C。
（2，3） D.（2,4）解析:B=｛x|（x—1）（x-3）<0}=｛x｜1〈x〈3},A={x｜2〈x<4｝,结合数轴可得，A∩B={x|2<x〈3}。
答案：C3.（2015安徽皖南8校联考)若命题p:函数y=x2—2x的单调递增区间是[1，+∞)，命题q：函数y=x—的单调递增区间是［1，+∞），则()A。
p∧q是真命题 B.p∨q是假命题C。
p是真命题D。
q是真命题解析：因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1，+∞)，所以p是真命题；因为函数y=x—的单调递增区间是（—∞，0）和(0，+∞）,所以q是假命题。
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题, p为假命题, q为真命题。
故选D。
答案：D4.命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（)A。
若α≠，则tan α≠1 B.若α=，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠ D。
若tan α≠1，则α=解析:命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.答案：C5.(2015课标全国Ⅰ高考，理3）设命题p:∃n∈N,n2>2n，则 p为()A。
∀n∈N，n2〉2n B。
∃n∈N,n2≤2nC。
∀n∈N,n2≤2n D。
高考数学二轮复习题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A) (2)
题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析 由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析 由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析 指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析 根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析 由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析 令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析 双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析 由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析 由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。
(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练.
[解析] (1)由题意，参加集训的男女生各有 6 名． 参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表 队)的概率为CC6333CC3634＝1100. 因此，A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1－1100＝19090.
(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3. P(X＝1)＝CC13C64 33＝15， P(X＝2)＝CC23C64 23＝35， P(X＝3)＝CC33C64 13＝15，
考题引路
考例 (2015·四川理，17)某市A，B两所中学的学生组队 参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3 名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集 训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生 中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2) 某 场 比 赛 前 ， 从 代 表 队 的 6 名 队 员 中 随 机 抽 取 4 人 参 赛．设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 一 考点强化练
22 随机变量及其分布列(理)
1 考向分析
3 强化训练
2 考题引路
4 易错防范
考向分析
1．以客观题形式考查超几何分布、正态分布、条件概 率，一般为容易题．
2．将互斥事件、独立事件、条件概率与离散型随机变量 的分布列、期望、方差揉合在一起，综合考查概率知识，难度 为中等．
[解答] (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为事件 Ai(i＝1、2、3)，则 P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25.
优化方案(山东专用)2016年高考数学二轮复习 第一部分专题.
(2)设 C 表示事件“丙同学选周三的活动”，则
P(C)＝CC5243＝35.X 的可能取值为 0，1，2，3.
P(X＝0)＝P( A ·B ·C )＝13×25×25＝745，
P(X＝1)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C)＝23×25×25＋13
×35×25＋13×25×35＝145，
3．正方形的四个顶点 A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)， D(－1，1)分别在抛物线 y＝－x2 和 y＝x2 上，如图所示，若将 一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区
2 域的概率是___3_____．
解析：正方形内空白部分面积为－ 1 1[x2－(－x2)]dx＝－ 1 12x2dx ＝23·x3|1－1＝23－－32＝43，
(2)条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A)＝PP（（AAB））. (3)事件的相互独立性 设事件 A、B 为两个事件，若 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立． (4)独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独 立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cknpk·(1－p)n－k， k＝0，1，2，…，n.
＝25×1－12＋1－25×12＝12.
故所求概率为 P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝15＋12＝170.
(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽
奖 1 次获一等奖的概率为15，所以 X～B3，15. 于是 P(X＝0)＝C03150453＝16245， P(X＝1)＝C13151452＝14285， P(X＝2)＝C23152451＝11225， P(X＝3)＝C33153450＝1125.
新教材2024届高考英语二轮专项分层特训卷第一部分专题强化练专题二阅读七选五强化训练十五逻辑推断法
强化训练十五逻辑推断法(A)In 2013, digital media consultant Baratunde Thurston launched an experiment. He decided to disconnect from his online life for twentyfive days: no Facebook, no Twitter, not even email. He needed the break. __1__It didn't take him long to adjust to a disconnected life. By the end of that first week, he was less stressed about not knowing new things. __2__ He enjoyed food without Twittering the experience. But the end came too soon. After the twentyfive days, he had to restore his online presence.His experiment summarizes two important points about our relationship with social networks like Facebook and Twitter. The first point is that we increasingly recognize that these tools fragment (碎裂) our time and reduce our ability to concentrate. __3__ But the problem is especially serious if you're attempting to improve your ability to work deeply.To fight back against these distractions, Thurston felt his only option was to quit the Internet altogether. But the problem is that no one is meant to actually follow Thurston's lead.__4__ That is to accept our current distracted state as unavoidable. This brings me to the second point summarized by Thurston's story: it didn't take him long once the experiment ended to slide back into the fragmented state where he began.This rule proposes a third option: accepting that these tools might be vital to your success and happiness, but meanwhile accepting that most people should be using fewer such tools. I won't ask you, in other words, to quit the Internet altogether like Thurston did. __5__ There is a middle ground, and if you're to develop a deep work habit, you must fight to get there.A．He struck up conversations with strangers.B．It is a real problem for many different people.C．“I was burnt out, fried, and done，” he explained.D．This reality accounts for the remaining alternative.E．He had to return to the online world with books to market.F．But I'll ask you to reject the state of highly distracted connectedness.G．Fortunately, you will break the habit of surfing the Internet gradually.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________(B)Want a relaxing but fun challenge at home? __1__ Puzzles have been around for more than 250 years and the challenge of working out where each piece goes and carefully recreating the scene on the box lid can keep you busy for hours, days or even weeks.Puzzles come in a huge range of sizes and difficulty levels. For beginners, a 100piece puzzle is usually a good starting point. __2__ Try grouping pieces with the same colours or designs because they will probably go in the same area oncethe puzzle takes shape.__3__ Those pieces are easier to find because they have a straightside. Stay patient as you search through and try to make it fit together. You maynot find any connecting pieces for ages but then several may suddenly appear.For a real test, puzzles that have 1，000 pieces or more are a tough taskand it's best to complete them with friends or family if you can. Choosing a scenethat interests you, such as a favourite film, sport or location, can help keep you interested and determined to work to the final piece. You can get fun educational puzzles, too. __4__Some of the best places to pick up puzzles are charity shops. They're oftenon sale for less than $5. Once you have completed a puzzle, it's nice to exchangeit with a friend. __5__ You just upload an image, such as a familyscene, and they will make a puzzle from it and post it to you. It makes a lovelyand unusual present.A．So others can have a go.B．You can't beat a good puzzle.C．Some companies make personalised puzzles.D．However, a good start doesn't always lead to a good result.E．Most people like to start by getting the four edges of a puzzle laid out.F．It can get you used to sorting out how the shapes, patterns and coloursgo together.G．For example, you may try a map of the world, historical timelines or theperiodic table.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________(C)The arrival of autumn has left me charmed once again by its generous harvestof pomegranates (石榴). While pomegranate juice had always been a favourite of mine,for a long time, I couldn't say the same for the actual fruit. __1__ How couldanyone possibly take pleasure in eating that? But by chance, I changed my mind.A handful of small pomegranate trees grow just outside the gate of myhusband's family home in rural Zhejiang. __2__ So one autumn, mymotherinlaw gave me and my husband a bag filled with pomegranates she had pickedherself.At first, I rejected the seemingly burdensome pile of fruit on ourdinner table. __3__ He continued to bite on pomegranates and offerme a taste of the seeds, and eventually curiosity won. I popped a handful in my mouth,and found myself surprised in the best possible way.The seeds were filled with that familiar rich and sweet flavour. __4__ Moreover, it was superior to anything I had encountered in liquid form. Later,I'm always fascinated to discover the many locales in China also touched by the sweet pleasures of the pomegranate.__5__ At that time in my life, moving around left me toomuch stress, which usually left me with the discomfort of a nervous stomach. Butamong the many health benefits of the pomegranate is that it can naturally improve digestion. Regular consumption of the fruit had comforted my gut (肠道) so much. If you've yet to be addicted to the delights of the pomegranate, it's not too late to try.A．One taste turned me into a lifelong fan just like that.B．I had thought it's a bunch of soft and juicy little seeds.C．The branches are overhanging with the fruit every fall.D．My husband still attempted to persuade me to take a bite.E．It's the season's finest freshlysqueezed juice from the fruit.F．The healing properties of the fruit I experienced added to its charm.G．That was the same taste I had come to treasure about pomegranate juice.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________强化训练十五逻辑推断法（A）【语篇解读】本文是一篇说明文。
(全国通用)2016高考数学二轮复习微专题强化练：全套专题(含答案)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题1 集合与常用逻辑用语一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ理，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)[答案] A[解析] A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.(理)(2014·甘肃三诊)若A＝{x|2<2x<16，x∈Z}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B中元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] A＝{2,3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∩B＝{2}，故选B.[方法点拨] 1.用列举法给出具体集合，求交、并、补集时，直接依据定义求解．2．用描述法给出集合，解题时应先将集合具体化，再依据条件求解，例如方程、不等式的解集，应先解方程(不等式)求出集合，特别注意集合中的限制条件(如x∈Z)．3．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，常用V e nn图求解．2．(文)(2014·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则¬p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1[答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.(理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [分析] 根据四种命题的关系判定． [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2015·天津理，1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[答案] A[解析] ∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}，故选A.4．(文)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B 的元素数目为( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多[答案] C[解析] 函数y ＝2x与y ＝2x 的图象的交点有2个，故选C.(理)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y ＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |32<x ≤3}B ．{x |32<x <3}C ．{x |32≤x <2}D ．{x |32<x <2}[答案] B[解析] M ＝{x |x ≤32}，N ＝{x |x <3}，∴阴影部分N ∩(∁U M )＝{x |x <3}∩{x |x >32}＝{x |32<x <3}．5．(文)(2014·邯郸一模)下列命题错误的是( )A．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”C．若p∧q是假命题，则p、q均为假命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件[答案] C[解析] p∧q是假命题时，p与q至少有一个为假命题，∴C错．[点评] 此类题目解答时，只要能选出符合题意的答案即可，因此若能快速找出答案可不必逐个判断．[方法点拨] 1.判定命题真假的方法：(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假．(3)形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．(4)判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题(存在性命题)真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．2．注意含逻辑联结词的命题的否定．3．设函数y＝f(x)(x∈A)的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f(x)恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f(x)恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f(x0)成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f(x0)成立，则a≥m.(理)(2015·安徽理，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案] D[解析] 考查直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用．选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B 中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α∩β＝l时，在α平面中平行于交线l的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.6．(文)已知a、b、c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．2C．1 D．0[答案] B[分析] 解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2＝0时，ac2>bc2是不成立的．[解析] a>b时，ac2>bc2不一定成立；ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.[点评] 原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆(或否)命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．[方法点拨] 1.要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．常见命题的否定形式有：2.(1)简单命题“若A则B”的否定．(2)含逻辑联结词的复合命题的否定．(3)含量词的命题的否定．3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．(理)有下列四个命题：(1)若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；(4)“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．(1)(2) B．(2)(3)C．(4) D．(1)(2)(3)[答案] D[解析] (1)的逆命题：“若x 、y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的，故选D.7．(文)(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在，若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 [答案] C[解析] ∵x ＝x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x )＝0，即q ⇒p ，而由f ′(x 0)＝0，不一定得到x 0是极值点，故p ⇒/ q ，故选C.(理)已知：p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A ．[2,4]B ．(－∞，4)∪(2，＋∞)C ．[1,5]D ．(－∞，0)∪(6，＋∞) [答案] A[解析] 由|x －3|≤2得，1≤x ≤5；由(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0得，m －1≤x ≤m ＋1. ∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.[方法点拨] 1.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．2．要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么¬p 是¬q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么¬p 是¬q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么¬p 是¬q 的充要条件．3．命题p 与q 的真假都与m 的取值范围有关，使命题p 成立的m 的取值范围是A ，使命题q 成立的m 的取值范围是B ，则“p ⇒q ”⇔“A ⊆B ”．8．(2015·安徽理，3)设p ：1＜x ＜2，q ：2x＞1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查指数运算与充要条件的概念．由q ：2x>20，解得x >0，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.9．(文)(2015·青岛市质检)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥βD ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β [答案] C[解析] 当m ∥α，n ⊥β，m ⊥n 时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A ，B 错误；如图所示，由m ∥n ，得m ，n 确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l ，因为m ∥α，所以m ∥l ，l ∥n ，又n ⊥β，所以l ⊥β，又l ⊂α，所以α⊥β，故选项C 正确，D 错误，故选C.(理)(2015·潍坊市模拟)已知命题p ：∀x >0，x ＋4x≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12.则下列判断正确的是( ) A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．p ∧(¬q )是真命题 D ．(¬p )∧q 是真命题 [答案] C[解析] 因为当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，所以p 是真命题，当x >0时，2x>1，所以q 是假命题，所以p ∧(¬q )是真命题，(¬p )∧q 是假命题．10．(文)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|log x y∈N}的元素个数是( )A．3 B．4C．8 D．9[答案] B[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.(理)设S是实数集R的非空子集，如果∀a、b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是( )A．存在有限集S，S是一个“和谐集”B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”C．若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R[答案] D[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可．[解析] 对于A，如S＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝2k，k∈Z}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．[方法点拨] 求解集合中的新定义问题，主要抓两点：一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质．11．(文)(2015·陕西理，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 充分性：sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0，所以充分性成立；必要性：cos 2α＝0⇒(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0⇒sin α＝±cos α，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故本题正确答案为A.(理)(2015·四川理，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若3a >3b>3，则a >b >1，从而有log a 3<log b 3，故为充分条件．若log a 3<log b 3不一定有a >b >1，比如a ＝13，b ＝3，从而3a >3b>3不成立．故选B.12．(文)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A. (理)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≤－3 [答案] A[解析] 条件p ：x >1或x <－3，所以¬p ：－3≤x ≤1； 条件q ：x >a ，所以¬q ：x ≤a ，由于¬p 是¬q 的充分不必要条件，所以a ≥1，故选A. 13．(文)(2014·重庆理，6)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧(¬q ) C ．(¬p )∧q D ．p ∧(¬q )[答案] D[解析] 命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以选项D 正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．(理)已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或¬qC ．¬p 且¬qD ．p 或q[答案] D[解析] p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．14．(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] B[解析] 若z1＝a＋b i，则z2＝a－b i.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，若z1＝a＋b i，z2＝－a＋b i，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．15．(文)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)[答案] A[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．(理)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)[答案] A[解析] 由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，故选A.16．(文)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x2－y，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( )A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2[答案] C[解析] 因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x>0，即a <x <a ＋1，则a ≥－2且a ＋1≤2，即－2≤a ≤1.(理)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；②命题p ：x ≠2或y ≠3，命题q ：x ＋y ≠5则p 是q 的必要不充分条件；③“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；④若随机变量x ～B (n ，p )，则D (X )＝np .⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆半径)．∴①为真命题；∵x ＝2且y ＝3时，x ＋y ＝5成立，x ＋y ＝5时，x ＝2且y ＝3不成立，∴“x ＋y ＝5”是“x ＝2且y ＝3”的必要不充分条件，从而“x ≠2或y ≠3”是“x ＋y ≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；∵全称命题的否定是特称命题， ∴③为假命题；由二项分布的方差知④为假命题． ⑤显然为真命题，故选C. 二、填空题17．(文)设p ：关于x 的不等式a x>1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则a 的取值范围是________．[答案] (0，12]∪[1，＋∞)[解析] p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，即a >12.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．(理)(2015·青岛市质检)设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________． [答案] ②④[分析] 按集合τ的定义逐条验证．[解析] ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，因为{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③不是集合X 上的一个拓扑；④满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.18．(文)(2015·郑州第二次质量检测)下列说法： ①“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”； ②函数y ＝sin(2x ＋π3)sin(π6－2x )的最小正周期是π；③命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是真命题；④f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x >0时的解析式是f (x )＝2x，则x <0时的解析式为f (x )＝－2－x.其中正确的说法是________． [答案] ①④[解析] ①对，特称(存在性)命题的否定为全称命题；②错，因为化简已知函数得y ＝sin(2x ＋π3)sin(π6－2x )＝sin(2x ＋π3)·sin[π2－(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋π3)cos(2x ＋π3)＝12sin(4x ＋2π3)，故其周期应为2π4＝π2；③错，因为原命题的逆命题“若f ′(x 0)＝0，则函数f (x )在x ＝x 0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题；④对，设x <0，则－x >0，故有f (－x )＝2－x＝－f (x )，解得f (x )＝－2－x.综上可知只有命题①④正确．[易错分析] 命题③真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f (x )＝x 3等函数．(理)(2015·山东临沂二模)给出下列四个结论： ①“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题；②若x ，y ∈R ，则“x ≥2或y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件； ③函数y ＝log a (x ＋1)＋1(a >0且a ≠0)的图象必过点(0,1)；④已知ξ服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)＝0.2. 其中正确结论的序号是________(填上所有正确结论的序号)． [答案] ②③[解析] ①错，因为逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m ＝0时，命题不成立；∵x ≥2与y ≥2只要有一个成立就有x 2＋y 2≥4，但是当x ＝32，y ＝32时，x 2＋y 2＝92>4却不满足x ≥2或y ≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知②正确(也可以转化为其等价的逆否命题来判断)；当x ＝0时，y ＝log a 1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以③正确；根据正态分布的对称性可知P (－2≤ξ≤0)＝P (0≤ξ≤2)，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，所以P (ξ>2)＝1－2P －2≤ξ2＝1－0.82＝0.1，所以④错误，综上正确的结论有②③. [易错分析] 填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题2 函数的概念、图象与性质一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ文，5)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性． 由f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，得f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴f (x )·g (x )是奇函数，|f (x )|g (x )是偶函数，f (x )|g (x )|是奇函数，|f (x )g (x )|是偶函数，选C.[方法点拨] 函数奇偶性判定方法：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0，偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(理)(2015·安徽理，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1[答案] A[解析] 考查函数的奇偶性和函数零点的概念．由选项可知，B ，C 项均不是偶函数，故排除B ，C ；A ，D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.2．(文)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x≤1，x >－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0，∴f (x )定义域为(－3,0]． (理)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查函数定义域的求法． 由题设得x 2－x >0，解得x <0或x >1，选C.[方法点拨] 1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①f (x )是整式时，定义域是全体实数；②f (x )是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③f (x )为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f (x )是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2．高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查，这时一般应从外到内逐层剥离解决．例如，y ＝12－log 3x，从总体上看是分式，故先由分母不为0得到2－log 3x ≠0，再由偶次方根下非负得到2－log 3x >0，即log 3x <2，最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到0<x <9.3．(2015·山东理，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1.)则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 当a ≥1时，f (a )＝2a＞1， ∴f (f (a ))＝2f (a )，当a ＜1时，f (a )＝3a －1，若f (f (a ))＝2f (a )，则f (a )≥1，即3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1，综上a ≥23.∴选C.[方法点拨] 1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性．2．形如f (g (x ))的函数求值应遵循先内后外的原则． 4．(2015·湖北理，6)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( )A ．sgn [g (x )]＝sgn xB ．sgn [g (x )]＝sgn [f (x )]C ．sgn [g (x )]＝－sgn xD ．sgn [g (x )]＝－sgn [f (x )] [答案] C[解析] 考查新定义问题及函数单调性的应用．因为f (x )是R 上的增函数，a ＞1，所以当x ＞0时，ax ＞x ，f (x )＜f (ax )，g (x )＜0；x ＝0时，ax ＝x ，f (x )＝f (ax )＝f (0)，g (0)＝0；x ＜0时，ax ＜x ，f (x )＞f (ax )，g (x )＞0.因此sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0.所以sgn[g (x )]＝－sgn x .故本题正确答案为C.5．(文)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )[答案] A[解析] ∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1，则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0，所以排除B 、D ，选A.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0ln x ， x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k)或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.6．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)[答案] D[解析] 本题考查复合函数的单调性，f (x )＝log 12(x 2－4)由y ＝log 12u 及u ＝x 2－4复合而成，y ＝log 12u 在定义域内为减函数，而u ＝x 2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间(－∞，－2)，选D.7．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 画出两函数的图象知，当0<x <1时，有一个交点，又f (1)＝g (1)＝0；当x >1时，f (x )＝0<g (x )恒成立，故选C.(理)函数f (x )＝log 12cos x (－π2<x <π2)的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除A ，B ；又x ∈[0，π2]时，cos x ∈(0,1]，f (x )＝log 12cos x >0，排除D ，故选C.解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u ＝cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为增函数和减函数，而y ＝log 12u 为减函数，故复合函数f (x )＝log 12cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为减函数和增函数，故选C.8．(文)如果我们定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥h ，hg <h ，已知函数f (x )＝2x⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 由定义知，当x ≥0时，2x≥1，∴f (x )＝2x，当x <0时，2x<1，∴f (x )＝1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位得到，故选B.[方法点拨] 1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义，发掘出其隐含条件． 2．恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用． 3．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别讨论． (理)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又为偶函数D ．非奇函数且非偶函数[答案] A[解析] 本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法，难度中等． 根据所给的运算定义得函数f (x )＝2⊕x x ⊗－2＝4－x2|x －2|－2，求出函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，且x －2≤0，所以函数f (x )＝4－x2|x －2|－2＝4－x2－x －2＝4－x2－x，易知f (－x )＝－f (x )，所以原函数为奇函数，故选A. [易错分析] 本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将－x 代入，导致选择错误答案D.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x <0f x －，x ≥0，则f (2013)等于( )A ．－1B ．2C ．0D ．1[答案] D[解析] ∵2013＝403×5－2，∴f (2013)＝f (－2)＝log 22＝1.(理)(2014·湖南理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．分别令x ＝1和x ＝－1可得f (1)－g (1)＝3且f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧f－g ＝3，f ＋g＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，g ＝－1.⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C.10．(2015·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23)[答案] B[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，如何利用单调性构造不等式是解答本题的关键所在，难度中等．由于函数为偶函数，故f (ax －1)＝f (|ax －1|)，因此f (ax －1)<f (2＋x 2)⇔f (|ax －1|)<f (2＋x 2)，据已知单调性可得f (|ax －1|)<f (2＋x 2)⇔|ax －1|<2＋x 2，据题意可得不等式|ax －1|<2＋x 2恒成立，即－(2＋x 2)<ax －1<2＋x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋3>0，x 2＋ax ＋1>0恒成立，据二次函数知识可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－12<0，a 2－4<0，解得－2<a <2，故选B.[易错分析] 考生多因为分类讨论而使解答过程复杂化，且讨论过程出错率也较高．利用整体思想将偶函数的条件拓展，利用整体性思想解决问题可以回避分类讨论的过程．11．(文)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间(1,2)上都是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] 由f (x )在(1,2)上为减函数得a ≤1；由g (x )＝ax ＋1在(1,2)上为减函数得a >0，∴0<a ≤1.(理)函数f (x )＝(12)－x 2＋2mx －m 2－1的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] B[解析] ∵－x 2＋2mx －m 2－1＝－(x －m )2－1≤－1， ∴(12)－x 2＋2mx －m 2－1≥2， ∴f (x )的值域为[2，＋∞)，∵y ＝(12)x 单调递减，y ＝－(x －m )2－1的单调减区间为[m ，＋∞)，∴f (x )的单调增区间为[m ，＋∞)．由条件知m ＝2.[方法点拨] 函数单调性判定方法一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．三是利用导数研究．对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．12．(2015·浙江宁波期末)设函数y ＝f (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若g (x )＝f (x )－2x 在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g (x )在[－2012,2012]上的值域为( )A ．[－2,6]B ．[－4030,4024]C ．[－4020,4034]D ．[－4028,4016][答案] C[解析] 本题考查函数性质与归纳推理的应用，考查对抽象函数的理解和应用，难度较大．求出几个区间的值域，再进行归纳推理．当x ∈[3,4]时，x －1∈[2,3]，g (x －1)＝f (x －1)－2(x －1)，且g (x －1)∈[－2,6]，又f (x )的周期为1，所以f (x )－2x ＝f (x －1)－2x ＝g (x －1)－2∈[－4,4]，所以g (x )在[2,4]内的值域为[－4,6]．同理，当x ∈[4,5]时，g (x )的值域是[－6,2]，所以g (x )在[2,5]内的值域为[－6,6]，…，g (x )在[2,2012]内的值域为[－4020,6]．g (x )在[1,2]内的值域为[0,8]，g (x )在[1,2012]内的值域为[－4020,8]，…，所以g (x )在[－2012,2012]内的值域为[－4020,4034]，故选C.[易错分析] 抽象函数值域的求解是一个难点，尤其是与年份相关的周期函数的值域问题，难度更大．利用函数的周期性及整体思想将函数进行变换，使函数g (x )能够特殊化，从而归纳得出结论．13．(文)已知f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，a ＝f (2)、b ＝f (log 32)、c ＝f (12)，则有 ( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[答案] D[解析] ∵f (x ＋1)为偶函数，∴其图象关于y 轴对称， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 又∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递增， ∵f (2)＝f (0)，且0<12<log 32，∴f (2)<f (12)<f (log 32)，∴a <c <b .(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ＋1，－1≤x <k x 5－3x ＋2，k ≤x ≤a，若存在k 使得函数f (x )的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[12，3]C ．(0，3]D ．{2}[答案] B[解析] 当a ＝2时，f (x )＝x 5－3x ＋2，k ≤x ≤2，f (2)＝28不合题意，∴a ≠2，排除A 、D ；当a ＝13时，∵k ≤x ≤a ，∴k ≤13 ，当k ＝13时，－1≤x <13，23<1－x ≤2，∴log 223<log 2(1－x )≤1，又log 223<0，∴不合题意，排除C ，故选B.二、填空题14．(文)设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，23)[解析] f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，得f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)，又f (1)>1，所以f (2)<－1，即2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. (理)设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx .其中属于集合M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案] ②④ [解析] 对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立，故填②④.15．如图所示，f (x )是定义在区间[－c ，c ](c >0)上的奇函数，令g (x )＝af (x )＋b ，并有关于函数g (x )的四个论断：①若a >0，对于[－1,1]内的任意实数m 、n (m <n )，g n －g mn －m>0恒成立；②函数g (x )是奇函数的充要条件是b ＝0； ③∀a ∈R ，g (x )的导函数g ′(x )有两个零点； ④若a ≥1，b <0，则方程g (x )＝0必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①②③[解析] ①∵g (x )＝af (x )＋b ，∴g n －g m n －m ＝a [f n －f mn －m，由图知对于f (x )在[－1,1]上任意两点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，有k AB ＝f n －f mn －m>0，又a >0，∴g n －g mn －m>0恒成立，故①正确；②g (x )为奇函数⇔g (－x )＝－g (x )⇔af (－x )＋b ＝－af (x )－b ⇔2b ＝－a [f (－x )＋f (x )]，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，故g (x )为奇函数⇔b ＝0，故②正确；③g ′(x )＝af ′(x )，由图知f (x )在[－c ，c ]上减、增、减，∴f ′(x )在[－c ，c ]上取值为负、正、负，从而当a ≠0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上与x 轴必有两个交点，又a ＝0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上恒成立，∴∀a ∈R ，g ′(x )在[－c ，c ]上有两个零点，故③正确；④取a ＝1，b ＝－5，则g (x )＝f (x )－5与x 轴无交点，∴方程g (x )＝0无实根，∴④错误．三、解答题16．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f (12)＝0，当x >12时，f (x )>0.(1)求f (1)；(2)判断f (x )的增减性并证明．[解析] (1)令x ＝y ＝12，得f (1)＝f (12)＋f (12)＋12＝12.(2)f (x )为增函数，证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 2>x 1，Δx ＝x 2－x 1>0，则：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝f (Δx )＋f (x 1)＋12－f (x 1)＝f (Δx )＋12＝f (Δx )＋f (12)＋12＝f (Δx ＋12)，又∵Δx >0，∴Δx ＋12>12，∴f (Δx ＋12)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数．[方法点拨] 抽象函数的求值与性质讨论，常结合条件式通过赋值转化解决，赋值时要紧扣目标进行．如判断奇偶性要创设条件产生f (－x )与f (x )的关系式；判断单调性，则要在设出x 1<x 2的条件下，构造产生f (x 1)－f (x 2)(或f x 1f x 2)，朝着可判断正负(或可与1比较。
2016届高考数学二轮复习微专题强化课件21排列、组合与二项式定理(理)
• [警示] 解答排列组合综合问题时，一定要弄 清元素是有序的还是无序的，还要区分是分 类还是分步．
• 考例2 (2015·四川理，6)用数字0,1,2,3,4,5组 成没有重复数字的五位数，其中比40 000大 的偶数共有( ) • A．144个 B．120个 • C．96个 D．72个 • [立意与点拨] 考查排列组合的基础知识．解 答本题关键抓住“比40000大”和“偶数”， 即考虑个位与首位数字的排法，按首位分类 解决． • [答案] B • [解析] 据题意，万位上只能排4、5.若万位 上排4，则有2×A个；若万位上排5，则有
[解答] 解法 1：将 6 把椅子依次编号为 1、2、3、…、6， 若 1 号位置坐人，有 1,3,5；1,3,6；1,4,6 三种不同坐位方法；若 1 号位置不坐人，2 号位置坐人，只有 2,4,6 一种坐位方法，故 不同坐法种数共有 4A3 3＝24 种． 解法 2：在 3 把空椅形成的 4 个空中选三个位置插入坐人 的椅子，共有 A3 4＝24 种不同方法．
强化训练
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易错防范
• 案例 分不清排列组合致误 • (2014·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随 机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) • A．144 B．120 • C．72 D．24 • [易错分析] 坐人的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子有区别，未坐人的椅 子是没区别的，对椅子进行排列是常见错 误．
数学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 一 21 考点强化练
排列、组合与二项式定理(理)
1
考 向 分 析
3
强 化 训 练
2
考 题 引 路
2016届高考数学二轮复习 专题整合突破课件：1-6-2排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)
大二轮 ·数学 ·理
第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)
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主干知识整合
热点探究悟道
建模规范答题
适考素能特训
第四页，编辑于星期五：二十点 四十三分。
大二轮 ·数学 ·理
命题全解密 MINGTIQUANJIEMI
1.命题点 两个计数原理、排列、组合的基本概念和基本方法；二项展开式中的某些特定项及有关 系数问题．
A．45 种 B．54 种 C．60 种 D．64 种 [解析] 解法一：若 a 排在了两端的两个位置之一，a 有 A12种排法，b 有 A13种排法，其余 3 个字母 有 A33种排法，所以共有 A12·A13·A33种排法；若 a 排在了第 2 和第 4 两个位置中的一个，则 a 有 A12种排法， 这时 b 有 A12种排法，其余 3 个字母有 A33种排法，所以共有 A12·A12·A33种排法，因此符合要求的排法共有 A12·A13·A33＋A12·A12·A33＝60(种)．选 C. 解法二：5 个字母全排列有 A55种排法，其中 a 排在正中间时有 A44种排法，b 排在两端时有 2A44种 排法，a 排在正中间且 b 排在两端时有 2A33种排法，所以共有 A55－A44－2A44＋2A33＝60(种)排法．选 C.
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第十二页，编辑于星期五：二十点 四十三分。
大二轮 ·数学 ·理
应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
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2016届高考数学(理)一轮复习单元检测第21单元高中数学综合测试(解析版)
第二十一单元高中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z=(其中i为虚数单位),则复数z在复平面内所对应点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z====-,所以在复平面内复数z对应的点为(,-)在第四象限.答案:D2.已知集合M={x|x2-2x-3>0},N={x|ax2+x+b≥0,a≠0},若R M=N,则a+b=A.0B.1C.2D.3解析:因为R M={x|x2-2x-3≤0}=,所以N=,则-1和3是方程ax2+x+b=0的两根,则可得,解得a=-,b=,所以a+b=1.答案:B3.设a=cos,b=30.3,c=log53,则A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a解析:a=cos<cos=,b=30.3>1;1=log55>c=log53>log5=,所以<c<1,所以b>c>a.答案:C4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.108B.180C.198D.216解析:根据条件可得几何体如图所示,该几何体是一个棱长为6的正方体截去一个三棱锥所得,所以该几何体的体积V=63-×6××3×6=198.答案:C5.连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面点数分别为1,2,3,4,5,6),记所得朝上的面的点数分别为x,y,过坐标原点和点P(x,y)的直线的斜率为k,则k>的概率为A.B.C.D.解析:基本事件总数为36,符合斜率大于的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)共9种,所以概率为.答案:C6.如图,该程序框图运行后输出的结果为A.4024B.4026C.4028D.4020解析:根据框图可知该算法是计算S=2n,其中n是循环次数,由框图可知该循环结构循环了2014-2=2012次,所以S=2×2012=4024.答案:A7.已知直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的取值范围是A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,1]解析:由题意可得y=2x与x+y-3=0的交点为(1,2),是直线y=2x与约束条件交点中的最右点,所以根据题意可得m≤1.答案:D8.函数y=2|x|-x2(x∈R)的图象大致为解析:可证得函数y=2|x|-x2(x∈R)为偶函数,所以B,D不对,当x→∞时,2|x|-x2>0,所以C不对.答案:A9.已知命题:①若a≤b,则ac2≤bc2;②若x,y∈R,则x2≠y2⇔x≠y或x≠-y;③已知a,b,c∈R,若关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集,则必有a>0,且Δ≤0.其中正确的命题是A.①B.①②C.①③D.②③解析:①是正确的;x2≠y2⇔x≠y且x≠-y,因此②是错误的;③a可能为零,因此③是错误的.答案:A10.已知向量a=(sin α,cos 2α),b=(1-2sin α,-1),α∈(,),若a·b=-,则tan(α+π)的值为A. B. C.- D.-解析:由a·b=-可得sin α(1-2sin α)-cos 2α=-,化简可得sin α=-,因为α∈(,),所以cos α=-,则tan α=,所以tan(α+π)==-.答案:C11.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心为M(x0,y0),记函数f(x)的导数为f'(x),f'(x)的导数为f″(x),则有f″(x0)=0.若函数f(x)=x3-3x2,则可求得f()+f()+…+f()+f()等于A.-4027B.4027C.-8054D.8054解析:根据题意可得f'(x)=3x2-6x,f″(x)=6x-6,令f″(x)=6x-6=0,可得x=1,所以f(x)=x3-3x2的对称中心为(1,-2),所以f(x)+f(2-x)=-4,则利用倒序相加可得f()+f()+…+f()+f()==-8054.答案:C12.设F1,F2分别为双曲线C的左右焦点,直线l过F2且与C的右支交于A,B两点,若△F1AB为直角三角形,且|F1A|,|AB|,|F1B|成等差数列,则双曲线C的离心率为A.B.C.D.解析:根据双曲线的定义可得:|F1A|-|AF2|=2a,|F1B|-|BF2|=2a,则|F1A|+|F1B|-|BF2|-|AF2|=4a,即|F1A|+|F1B|-|AB|=4a,因为|F1A|,|AB|,|F1B|成等差数列,所以|F1A|+|F1B|=2|AB|,代入解得|AB|=4a,设|F1A|<|F1B|,则∠F1AB=90°,则|F1A|2+|AB|2=|F1B|2,因为|F1B|=8a-|F1A|,代入解得|F1A|=3a,则|AF2|=a,因为|F1A|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以10a2=4c2,解得=,所以双曲线C的离心率为.答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.在(4x-2-x)n的展开式中,第5项为常数项,则n=.解析:T5=(4x)n-4(-2-x)4=22nx-12x(-1)4为常数项,则nx-6x=0,解得n=6.答案:614.根据下面一组等式S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175……………………可得S1+S3+S5+…+S2n-1=.解析:由题可得S1=1,S1+S3=16,S1+S3+S5=81,S1+S3+S5+S7=256,所以可归纳出S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.答案:n415.已知一个球与正六棱柱的各个面相切,则正六棱柱的侧面积与底面积的比为.解析:如图所示,内切球的球心在正六棱柱的底面中心的连线O1O2的中点O处,设球半径为R,则侧棱的长为2R,过O作平面ABCDEF平行于底面,则可求得AB=R,所以正六棱柱的侧面积S侧面积=6×2R×R,S底面积=2×6××(R)2,则正六棱柱的侧面积与底面积的比为2.答案:216.已知直线l:y=2x+m与圆(x+2)2+y2=和抛物线y2=2px(p>0)都相切,则p=.解析:因为直线l:y=2x+m与圆(x+2)2+y2=相切,所以可得=,解得m=3或m=5;直线l:y=2x+m与抛物线y2=2px(p>0)相切,所以方程(2x+m)2=2px只有一个解,可得p=4m,所以,当m=3时,p=12;当m=5时,p=20.答案:12或20三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2cos x sin(x-A)+sin A(x∈R)在x=处取得最大值.(1)当x∈(0,)时,求函数f(x)的值域;(2)若a=7且sin B+sin C=,求△ABC的面积.解析:(1)f(x)=2cos x(sin x cos A-cos x sin A)+sin A=2sin x cos x cos A-2cos2x sin A+sin A=sin 2x cos A-cos 2x sin A=sin(2x-A).∵f(x)在x=处取得最大值,∴2×-A=2kπ+,其中k∈Z,即A=-2kπ,k∈Z,∵A∈(0,π),∴A=,又∵x∈(0,),∴2x-A∈(-,),∴-<sin(2x-A)≤1,即f(x)的值域为(-,1].6分(2)由正弦定理==得sin B+sin C=sin A,即=×,∴b+c=13,由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得a2=(b+c)2-2bc-2bc cos A,即49=169-3bc,∴bc=40,∴S△ABC=bc sin A=×40×=10.10分18.(本小题满分12分)设数列的前n项和为S n,已知a1=m,a n+1=2S n+4n(n∈N*).(1)设b n=S n-4n,求数列的通项公式;(2)若a n+1≥a n(n∈N*),求m的取值范围.解析:(1)因为a n+1=2S n+4n,所以S n+1-S n=2S n+4n,即S n+1=3S n+4n,故S n+1-4n+1=3(S n-4n),因为b n=S n-4n,所以b n+1=3b n,故数列是等比数列,且b1=S1-4=m-4,所以数列的通项公式为b n=(m-4)3n-1.5分(2)由(1)知:S n=b n+4n,所以S n=(m-4)3n-1+4n.所以a n+1=2S n+4n=2(m-4)3n-1+3×4n.故当n≥2时,a n=2(m-4)3n-2+3×4n-1.因为a n+1≥a n,所以2(m-4)3n-1+3×4n≥2(m-4)3n-2+3×4n-1,即4(m-4)3n-2≥-9×4n-1,即m-4≥=-·()n,因为n≥2,所以-()n≤-,从而m≥-5,又当n=1时,a2≥a1,所以2a1+4≥a1,即2m+4≥m,所以m≥-4.综上所述m≥-4.12分19.(本小题满分12分)社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福排行榜”,北京市成为本年度最“幸福城”.随后,某师大附中学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”,求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到“极幸福”的人数,求X的分布列及数学期望.解析:(1)众数:8.6;中位数:8.75.3分(2)设A i表示所选3人中有i个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件A,则P(A)=P(A0)+P(A1)=+=.6分(3)X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=()3=;P(X=1)=()2=;P(X=2)=()2=;P(X=3)=()3=.X的分布列为:0123所以E(X)=0×+1×+2×+3×=0.75.12分另解:X的可能取值为0,1,2,3.则X~B(3,),P(X=k)=()k()3-k,所以E(X)=3×=0.75.12分20.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各侧棱垂直于底面,AC=4,BC=3,AA1=4,AC⊥BC,点D在线段AB上.(1)若D是AB的中点,证明AC1∥平面B1CD;(2)当=时,求二面角B-CD-B1的余弦值.解析:(1)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则B(3,0,0),A(0,4,0),B1(3,0,4),C1(0,0,4).因为D是AB的中点,所以D(,2,0),=(0,-4,4),=(-3,0,-4),=(,2,0).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z),由·m=(-3,0,-4)·(x,y,z)=-3x-4z=0,且·m=(,2,0)·(x,y,z)=x+2y=0,令x=4得m=(4,-3,-3),所以·m=(0,-4,4)·(4,-3,-3)=0,又AC1⊄平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.6分(2)设D(a,b,0)(a>0,b>0),因为点D在线段AB上,且=,即=.所以a=2,b=,=(2,,0),=(-3,0,-4).平面BCD的法向量为n1=(0,0,1),设平面B1CD的法向量为n2=(x,y,1),由·n2=0,·n2=0,得,所以x=-,y=2,n2=(-,2,1),设二面角B-CD-B1的大小为θ,所以cos θ==.所以二面角B-CD-B1的余弦值为.12分21.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(,1),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程.解析:(1)由已知可得==,所以a2=2b2,①又点M(,1)在椭圆C上,所以+=1,②由①②解之,得a2=4,b2=2,故椭圆C的方程为+=1.4分(2)①当直线l的斜率为0时,则k1·k2=×=.②当直线l的斜率不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+1.将x=my+1代入+=1,整理得(m2+2)y2+2my-3=0,则y1+y2=,y1y2=,又x1=my1+1,x2=my2+1,所以k1·k2=·=====+.令t=4m+1,则k1·k2=+,当t=0,即m=-时,k1·k2=;当t≠0时,k1·k2=+=+,≤k1·k2<或<k1·k2≤1,当且仅当t=5,即m=1时,k1·k2取得最大值.由①②③得,直线l的方程为x-y-1=0. 12分22.(本小题满分12分)已知函数g(x)=+ln x,f(x)=mx--ln x(m∈R).(1)若函数y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;(2)设h(x)=,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围.解析:(1)f(x)-g(x)=mx--2ln x,(f(x)-g(x))'=,由于f(x)-g(x)在[1,+∞)内为单调函数,则mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1,+∞)上恒成立,即m≥或者m≤在[1,+∞)上恒成立,故m≥1或者m≤0,综上,m的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).6分(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),F(x)=mx--2ln x-,当m≤0时,由x∈[1,e]得,mx-≤0,-2ln x-<0,所以在[1,e]上不存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0);当m>0时,F'(x)=m+-+=,因为x∈[1,e],所以2e-2x≥0,mx2+m>0,所以F'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,故F(x)在[1,e]上单调递增,F(x)max=m e--4,只要m e--4>0,解得m>,故m的取值范围是(,+∞). 12分。
2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,理科)审题+解题+回扣：第一篇
构造函数 (3) 求k的最大值 —————————→ 3 研究hx单调性 x hx＝fx－kx＋ 3
讨论参数k ————————————→ 结合2知k≤2时符合题意 k>2时hx的单调性
解 (1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，
1 1 所以 f′(x)＝ ＋ ，f′(0)＝2. 1＋x 1－x
当sin α＋cos α＝0时，
3π 由 α 是第二象限角，知 α＝ 4 ＋2kπ，k↔Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2. 5 2 当 sin α＋cos α≠0 时，有(cos α－sin α) ＝4. 由 α 是第二象限角，知 cos α－sin α<0，
5 此时 cos α－sin α＝－ 2 .
2π ↓ T＝|ω|，ω>0(已知)
ω＝2
π 条件：fx图象关于直线x＝3对称 π ↓ f( )取到最值 3
π π 2×3＋φ＝kπ＋2k↔Z π π －2≤φ<2(已知) ↓ π φ＝－6
↓
3 α (2) 条件：f2＝ 4
↓代入f(x) π 1 sinα－6＝4 π 2π ↓条件6<α< 3
π 又因为 f(x)的图象关于直线 x＝3对称， π π 所以 2×3＋φ＝kπ＋2，k↔Z. π π π 2π π 由－2≤φ<2，得 k＝0，所以 φ＝2－ 3 ＝－6.
Байду номын сангаас
3 π 1 α α π (2)由(1)得 f(2)＝ 3sin(2· 2－6)＝ 4 ，所以 sin(α－6)＝4. π 2π π π 由6<α< 3 ，得 0<α－6<2， π π 12 15 2 所以 cos(α－6)＝ 1－sin α－6＝ 1－4 ＝ 4 . 3π π π 所以 cos(α＋ 2 )＝sin α＝sin[(α－6)＋6] π π π π ＝sin(α－6)cos 6＋cos(α－6)sin 6 3＋ 15 1 3 15 1 ＝4× 2 ＋ 4 ×2＝ . 8
2016届高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题18算法框图与复数
第一部分 一 18一、选择题1．(2015·河南六市联考)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－6B ．23C ．－23D ．2[答案] C[解析] 考查复数的概念与运算，先化为代数形式，再利用“相反数”列方程求解． 2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i 5，由2－2b ＝4＋b ，得b ＝－23，选C ．2．(文)(2015·新课标Ⅱ理，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] 考查复数的运算与复数相等的条件．由已知得4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B ．(理)(2015·商丘市二模)复数z 为纯虚数，若(3－i)·z ＝a ＋i(i 为虚数单位)，则实数a 的值为( )A ．13B ．3C ．－13D ．－3 [答案] A[解析] z ＝a ＋i 3－i ＝(a ＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(3a －1)＋(a ＋3)i10，∵z 为纯虚数，∴3a －1＝0，解得a ＝13.[方法点拨] 1.解决复数的概念与运算问题，一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列方程或方程组．2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．3．(文)(2015·湖南文，5)执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A ．67B ．37C ．89D ．49[答案] B[解析] 根据所给程序框图不难得知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值增加1(2i －1)(2i ＋1)，当i ＝3时执行最后一次循环，故S 加上的最后一个值应为1(2×3－1)(2×3＋1)，即15×7，故所求S 值即是求数列的前3项的和，即S ＝11×3＋13×5＋15×7＝37，故选B ．(理)(2015·北京理，3)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2,2)B ．(－4,0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8)[答案] B[解析] 运行程序：x ＝1，y ＝1，k ＝0，s ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2，x ＝0，y ＝2，k ＝0＋1＝1，因为1≥3不成立，s ＝－2，t ＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2，因为2≥3不成立，s ＝－4，t ＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3，因为3≥3成立，输出(－4,0)．4．(文)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A ．511B ．1011C ．3655D ．7255[答案] A[解析] 由于i 初值为2，步长为2，终值为10，故循环5次，由S ＝S ＋1i 2－1知，每次循环S 增加值为1i 2－1，故当n ＝10时，程序框图表示求一个数列的和，即S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝12(1－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111)＝12(1－111)＝511.选A ． (理)(2015·重庆文，8)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A ．34B ．56C ．1112D ．2524[答案] D[解析] 初始条件：s ＝0，k ＝0；第一次判断0<8，是，进入循环k ＝2，s ＝0＋12＝12；第2次判断2<8，是，继续循环k ＝4，s ＝12＋14＝34；第3次判断4<8，是，继续循环k ＝6，s ＝34＋16＝1112；第4次判断6<8，是，继续循环k ＝8，s ＝1112＋18＝2524；第5次判断8<8，否，跳出循环输出s ＝2524；故选D ．[方法点拨] 解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构．特别是循环结构，在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都是循环结构．第一要准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；第二要弄清循环体和输入条件、输出结果；对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律，还要防止多一次或少一次循环的错误．5．(文)(2015·新课标Ⅰ理，1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2 [答案] A[解析] 考查复数的运算与复数的模．由1＋z 1－z ＝i 得，z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝i ， ∴|z |＝1，故选A ．(理)(2015·昆明质检)已知z ＝2＋i1－2i，则|z |＋z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．i D ．－i[答案] A[解析] 由于z ＝2＋i1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，∴|z |＝1，∴|z |＋z ＝1＋i.[方法点拨] 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，其前提条件是a ，b ∈R .6．(文)(2015·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128[答案] C[解析] 考查条件结构程序框图．由题意得，该程序表示分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2，则f (1)＝9－1＝8，故选C ．(理)(2014·太原五中月考)定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的s 值，则(2cos 5π3)⊗(2tan 5π4)的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1[答案] A[解析] 由框图知a ⊗b 的运算结果为S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b .∵2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2，∴运算结果为2×(1＋1)＝4，故选A ．7．(文)(2014·新课标Ⅱ理，2)设复数z 1、z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i[答案] A[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义． ∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A ．(理)已知复数z 1＝3＋i1－i 的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b ＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ，再由共轭复数的定义求得z －，最后写出对应点的坐标． [答案] D[解析] z 1＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋2i ，z 2＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝2＋i ，∴z －＝2－i 在复平面内的对应点(2，－1)在第四象限．8．(文)(2014·唐山市二模)执行下边的程序框图，若输出的S 是2047，则判断框内应填写( )A ．n ≤9?B ．n ≤10?C ．n ≥10?D ．n ≥11?[答案] A[解析] 程序运行过程依次为：开始→n ＝0，S ＝0，S ＝0＋20＝1→n ＝0＋1＝1，S ＝1＋21→n ＝1＋1＝2，S ＝1＋21＋22，…，由此可知程序是求数列{a n }的前n 项和，a n ＝2n －1，即S＝S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝2n－12－1＝2n－1，由于输出S 的值为2047，∴2n －1＝2047，∴n ＝11，∴要使输出值为2047，S 最后加上的项应为210，此时条件不再满足，故条件为n ≤9.(理)(2015·重庆理，7)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524[答案] C[解析] 本题考查了程序框图的循环结构，只要考生冷静下来按照程序框图计算即可得出答案，属简单题．第一次循环：k ＝2，s ＝12；第二次循环：k ＝4，s ＝34；第三次循环：k ＝6，s ＝1112；第四次循环：k ＝8，s ＝2524；由于输出k ＝8，故循环条件应为s ≤1112.9．(文)(2014·东北三省三校一模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①f (x )＝sin x ，②f (x )＝cos x ，③f (x )＝1x，④f (x )＝x 2，则输出的函数是( )A ． f (x )＝sin xB ． f (x )＝cos xC ． f (x )＝1xD ． f (x )＝x 2[答案] A[解析] ∵函数f (x )＝sin x 是奇函数且存在零点，∴输出的函数是f (x )＝sin x .(理)(2014·山西省重点中学四校联考)执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－15[答案] D[解析] 程序运行过程为：i ＝1，S ＝0→S ＝0－12＝－1，i ＝2→S ＝－1＋22，i ＝3，由于判断条件i <6，∴当i ＝5时，执行最后一次后输出S 的值，∴S ＝－1＋22－32＋42－52＝－15.10．(文)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i ，若z 是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[答案] B[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，∴a ＝1.(理)已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2[答案] B[解析] ∵z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1≠0，∴a ＝1. 11．(文)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z －等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i[答案] C[解析] ∵z ＝(3－2i)i ＝3i ＋2，∴z ＝2－3i ，∴选C ． (理)已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B ．5 C ．3 D ． 3 [答案] A[解析] ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.12．(文)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－5，则输出的y 值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．14[答案] A[解析] ∵x ＝－5，∴|x |>3成立，∴x ＝|－5－3|＝8，此时仍满足|x |>3，∴x ＝|8－3|＝5，此时还满足|x |>3，∴x ＝|5－3|＝2，此时不满足|x |>3，∴y ＝log 122＝－1，故选A ．(理)阅读下面的程序框图，输出结果s 的值为( )A ．12B ．316C ．116D ．18[答案] C[解析] 由框图可知，输出的S ＝cos π9cos 2π9cos 3π9·cos 4π9＝116sinπ9·8sin π9cos π9cos 2π9cos 4π9＝116sinπ9·sin 8π9＝116. 二、填空题13．(文)设复数z 在复平面上对应点为A (1，－3)，AB →＝(－2,5)，点B 对应的复数为z 1，则|z 1|＝________.[答案] 5[解析] ∵OB →＝OA →＋AB →＝(1，－3)＋(－2,5)＝(－1，2)，∴z 1＝－1＋2i ，∴|z 1|＝ 5.(理)对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1] .[答案] 2[解析] ∵ω1]．∴①左边＝(z 1＋z 2)z 3，右边＝z 1z 3＋z 2z 3＝(z 1＋z 2)z 3，左边＝右边，正确． ②左边＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)，右边＝z 1z 2＋z 1z 3＝z 1(z 2＋z 3)，左边＝右边，正确．③左边＝(z 1z 2)z 3，右边＝z 1(z 2z 3)＝z 1(z 2z 3)，左边≠右边，不正确．④左边＝z 1z 2，右边＝z 2z 1，左边≠右边，不正确．[方法点拨] 解答与复数有关的新定义题型，利用新定义将问题转化为复数的基本问题，然后依据复数的概念、运算、几何意义求解．14．(文)若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝8，则输出的数等于________．[答案] 154[解析] 由循环结构知本题实质是求输入的4个数x 1，x 2，x 3，x 4的平均数x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝154，所以输出x ＝154. (理)在如图所示的流程图中，若输入值分别为a ＝(103)－2，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则输出的数为________．[答案] 20.3[解析] 程序框图运行后输出的是输入数a ，b ，c 中最大的一个，∵a ＝(103)－2＝(310)2，∴0<a <1，b ＝log 20.3<0，c ＝20.3>1，∴输出数为20.3.。
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【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题21 排列、组合与二项式定理 理（含解析）一、选择题1．(2014·甘肃省三诊)我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( )A ．815 B ．12 C ．25 D ． 415[答案] A[解析] 从4名男生和2名女生选出2人共有C 26＝15种不同选法，男、女都有的选法有4×2＝8种，故所求概率P ＝815.[方法点拨] 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前对问题进行仔细分析，确定需要分类还是分步．①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．②分步要做到“步骤完整”，只有完成所有步骤，才算完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理把完成每一步的方法数相乘，得到总数．③对于复杂的问题，有时可依据题目特点列出示意图或表格以助分析．2．(2015·湖北理，3)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212[答案] A[解析] 由题意可得，二项式的展开式满足T r ＋1＝C r n x r ，且有C 3n ＝C 7n ，因此n ＝10.令x ＝1，则(1＋x )n＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x ＝－1，则(1＋x )n＝0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为12(210＋0)＝29.故本题正确答案为A ．[方法点拨] 解决二项式定理问题时，一要熟记通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它是第r ＋1项，且不要颠倒a 、b 的顺序，二要明确求某些特定项或其系数时用通项公式，与二项式系数有关的命题或各项系数和的问题用赋值法结合二项式系数的性质求解，不等式问题主要用放缩法求解．3．(2014·唐山市二模)将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有( )A ．240种B ．120种C ．60种D ． 180种[答案] B[解析] 不同的分配方法有C 36C 24＝120.4．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26 D ．C 28A 25[答案] C[解析] 要完成这件事，可分两步走：第一步可先从后排8人中选2人共有C 28种；第二步可认为前排放6个座位，先选出2个座位让后排的2人坐，由于其他人的顺序不变，所以有A 26种坐法．综上，由分步乘法计数原理知不同调整方法种数为C 28A 26种．[方法点拨] 1.熟记两个记数原理、排列组合数公式及性质． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A mn ＝n ！n －m ！，A nn ＝n ！，0！＝1(n∈N *，m ∈N *，m ≤n )．(2)组合数公式及性质 C m n ＝A mn A m m＝nn －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！，C 0n ＝1，C mn ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．3．①解排列组合问题常用方法有特殊元素优先考虑与特殊位置优先考虑两种．②遵循基本原则：先选后排，即先组合后排列．③注意做到不重复不遗漏．5．(2015·河南省高考适应性测试)3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则坐法的种数为( )A ．54B ．60C ．66D ．72[答案] B[解析] 记3位女性为a 、b 、c ，其丈夫依次为A 、B 、C ，当3位女性都相邻时可能情形有两类：第一类男性在两端，如XAabcC 有2A 33种，第二类男性在一端，如XXAabc ，有2A 22A 33种，共有A 33(2A 22＋2)＝36种，当仅有两位女性相邻时也有两类，第一类这两人在一端如abBACc ，第二类这两人两端都有其他人，如AabBCc ，共有4A 23＝24种，故满足题意的坐法共有36＋24＝60种．6．(2015·河北唐山市一模)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．20[答案] C[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.7．由数字0、1、2、3、4、5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个[答案] B[解析] 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有C 15A 552＝300(个)．[方法点拨] 解决数字问题时，要特别注意“奇数”、“偶数”、“被某数整除”，有无“重复数字”、“大于”或“等于”某数等字眼．8．(2015·湖南理，6)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6[答案] D[解析] T r ＋1＝C r 5(－1)r a r x 52－r ，令52－r ＝32得r ＝1，可得－5a ＝30⇒a ＝－6，故选D ．9.如图，M 、N 、P 、Q 为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有( )A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种[答案] C[解析] 把四个小岛看作四个点，可以两两之间连成6条线段，任选3条，共有C 36种情形，但有4种情形不满足题意，∴不同的建桥方法有C 36－4＝16种，故选C ．10．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A 、B 、C 、D 、E 五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D 实验，下午不能做E 实验，则不同的安排方式共有( )A ．144种B ．192种C ．216种D ．264种[答案] D[解析] 根据题意得，上午要做的实验是A ，B ，C ，E ，下午要做的实验是A ，B ，C ，D ，且上午做了A ，B ，C 实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E 实验，其余三人分别做A 、B 、C 实验，有C 14·A 33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E 实验的同学下午选D 实验，另三位同学对A 、B 、C 实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N 1＝1×2＝2种；②上午选E 实验的同学下午选A 、B 、C 实验之一，另外三位从剩下的两项和D 一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N 2＝C 13·3＝9种．于是，不同的安排方式共有N ＝24×(2＋9)＝264种．故选D ．[方法点拨] “分类”与“分步”的区别：关键是看事情完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类加法计数原理；分步要用分步乘计数原理．11．(2015·河北衡水中学三调)在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5[答案] D [解析] T r ＋1＝C r 4a4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.12．有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为( )A ．112B ．100C ．92D ．76[答案] B[解析] 甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有C 14·C 33＋C 24C 22A 22＝7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7×A 22＝14；若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方法数是C 24，分到三项比赛上去的分配方法数是A 33，故共有方案数C 24A 33＝36.根据两个基本原理共有方法数2×(14＋36)＝100(种)．[方法点拨] 1.把握求解排列组合问题及应用题的基本策略①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． ②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)定序问题属组合；(d)至少或至多问题间接法；(e)选排问题先取后排法；(f)局部与整体问题排除法；(g)复杂问题转化法．2．区分排列与组合的关键是看元素是否与顺序有关，“定序”为组合，“有序”为排列，“分堆”为组合，“分配”为排列．二、填空题13．(2014·北京理，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．[答案] 36[解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识．先只考虑A 与产品B 相邻，此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有A 44＝24种方法，而A 和B 有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A 和B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A 、B 、C 作为一个元素考虑，共有A 33＝6种方法，而A 、B 、C 有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．14．若对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.[答案] 89[解析] 令x ＝3得a 0＋a 1＋…＋a 5＝35，令x ＝1得a 0－a 1＋…－a 5＝1，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝35－12＝121，令x ＝2得a 0＝25＝32，故a 1＋a 3＋a 5－a 0＝121－32＝89.15．有四种不同的颜色，现用这些颜色给棱长分别为3、4、5的四棱柱的表面涂色，要求相邻的面涂不同的颜色，共有不同涂色方案________个．[答案] 96[解析] 由于相邻两面不同色，故可以涂相同颜色的只有对面，四棱柱有3对对面，故至少要用3色来涂，因此分两类：第一类：用三种颜色涂，有C34A33种；第二类：用四种颜色涂，四棱柱有六个面，则必有两个面与对面同色，故有一对面不同色．先从3对对面中选取2对，有C23处选法，再从4种颜色中选取2种涂这2对对面，有A24种涂法，然后用剩下的2色涂剩下的一对对面有A22种涂法，因此共有C23A24A22种，综上共有C34A33＋C23A24A22＝96种．16．(2015·沈阳质量监测)将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法(用数字作答)．[答案]112[解析]设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112.[易错分析]本题是分配问题，考生不能按照正确的顺序，即先分组再分配导致错误，同时要注意均匀分配与不均匀分配是不同的．。