沪科版数学九年级下册24章章末重热点专练
2018年春沪科版数学九年级下册第24章 中考 重热点突破
第24章中考重热点突破重热点一：中心对称与中心对称图形1．(黑龙江中考)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )A B C D2．(丹东中考)一次函数y ＝－x ＋a －3(a 为常数)与反比例函数y ＝－4x的图象交于A 、B两点，当A 、B 两点关于原点对称时a 的值是( C ) A ．0 B ．－3 C ．3 D ．43．(杭州中考)在平面直角坐标系中，已知A (2，3)，B (0，1)，C (3，1)，若线段AC 与BD 互相平分，则点D 关于坐标原点的对称点的坐标为__(－5，－3)__．重热点二：旋转性质的综合运用与旋转作图 4．(德州中考)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为( C )A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°第4题图第5题图5．(烟台中考)如图，将△ABC 绕点P 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标是( B )A ．(1，1)B ．(1，2)C ．(1，3)D ．(1，4)6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是( A )A.7B ．22C ．3 D ．23第6题图第7题图7．如图，△ABO 中，AB ⊥OB ，AB ＝3，OB ＝1，把△ABO 绕点O 旋转120°后，得到△A 1B 1O ，则点A 1的坐标为3)__．8．如图，已知，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN ，连接AM ，BN .(1)求证：AM ＝BN ；(2)当MA ∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．(1)证明：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，∴CE ＝CF ，根据旋转的性质，CM ＝CE ＝CN ＝CF ，∠ACM ＝∠BCN ＝α，∴△AMC ≌△BNC ，∴AM ＝BN ；(2)解：∵MA ∥CN ，∴∠ACN ＝∠CAM ，∵∠ACN ＋∠ACM ＝90°，∴∠CAM ＋∠ACM ＝90°，∴∠AMC ＝90°，∴cos α＝CM AC ＝CE AC ＝13.重热点三：垂径定理与圆心(周)角的综合运用9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径为5 cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为( A )A.52cm B ．3 cm C ．3 3 cm D ．6 cm10．如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB ＝BC ＝12，则OC ＝第10题图第11题图11．【导学号：38842035】如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，则AB ＝__392__.重热点四：切线的性质与判定的综合运用12．(荆门中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点C ，过点C 作CE ⊥DF ，垂足为点E .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝1，CE ＝2，求⊙O 的半径．(1)证明：连接CO ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵AC 平分∠FAB ，∴∠OCA ＝∠CAE ，∴OC ∥FD ，∵CE ⊥DF ，∴OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线；(2)解：连接BC ，在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋EC 2＝5，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠BCA ＝∠CEA ，∵∠CAE ＝∠CAB ，∴△ABC ∽△ACE ，∴CA AB ＝AEAC，∴5AB＝15，∴AB ＝5，∴AO ＝2.5，即⊙O 的半径为2.5.13．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知PA ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．(1)证明：连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBC .∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO .又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°，即OB ⊥PB .又∵OB 是⊙O 的半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)解：连接OP ，交AB 于点D .∵PA ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上，∴OP 垂直平分线段AB ，∴∠PAO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠DPA .∴△APO ∽△DPA ，∴AP DP ＝PO PA ，∴AP 2＝PO ·OP .又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2，即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－PA 2＝22－（3）2＝1，即⊙O 的半径为1.重热点五：弧长公式与扇形面积的综合运用14．(泉州中考)如图，圆锥底面半径为r cm ，母线长为10 cm ，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r 的值为( B )A ．3B ．6C ．3 πD ．6 π第14题图第15题图15．如图，在半径AC 为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是__π－1__.重热点六：圆与相似三角形16．如图，已知在△ABC 中，∠B ＝90°，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：AC ·AD ＝AB ·AE ；(2)如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC ＝2时，求AC 的长．(1)证明：连接DE ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°，∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AEAC，∴AC ·AD ＝AB ·AE ；(2)解：连接OD ，OD ⊥BD ，OD ＝OE ＝BE ＝DE ＝12OB ，∴△DOE 是等边三角形，∴∠DOE ＝60°，∠BAC ＝30°，在Rt △ABC 中，AC ＝2BC ＝2×2＝4.17.(河池中考)如图，AB 为⊙O 的直径，CO ⊥AB 于O ，D 在⊙O 上，连接BD ，CD ，延长CD 与AB 的延长线交于E ，F 在BE 上，且FD ＝FE .(1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)若AF ＝8，tan ∠BDF ＝14，求EF 的长．(1)证明：连接OD ，∵CO ⊥AB ，∴∠E ＋∠C ＝90°，∵FE ＝FD ，OD ＝OC ，∴∠E ＝∠FDE ，∠C ＝∠ODC ，∴∠FDE ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODF ＝90°，∴OD ⊥DF ，∴FD 是⊙O 的切线；(2)解：连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠A ＋∠ODB ＝90°，∵∠BDF ＋∠ODB ＝90°，∴∠A ＝∠BDF ，而∠DFB ＝∠AFD ，∴△FBD ∽△FDA ，∴DF AF ＝BD AD ，在Rt △ABD 中，tan ∠A ＝tan ∠BDF ＝BD AD ＝14，∴DF 8＝14，∴DF＝2，∴EF ＝2.重热点七：圆与函数18．(天水中考)如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(－3，0)，经过A 、O 两点作半径为52的⊙C ，交y 轴的负半轴于点B .(1)求B 点的坐标；(2)过B 点作⊙C 的切线交x 轴于点D ，求直线BD 的表达式．解：(1)∵∠AOB ＝90°，∴AB 是直径，且AB ＝5，在Rt △AOB 中，由勾股定理可得BO ＝AB 2－AO 2＝4，∴B 点的坐标为(0，－4)；(2)∵BD 是⊙C 的切线，CB 是⊙C 的半径，∴BD ⊥AB ，即∠ABD ＝90°，∴∠DAB ＋∠ADB ＝90°，又∵∠BDO ＋OBD ＝90°，∴∠DAB ＝∠DBO ，∵∠AOB ＝∠BOD ＝90°，∴△ABO ∽△BDO ，∴OA OB ＝OB OD ，∴OD ＝OB 2OA ＝423＝163，∴D 的坐标为(163，0)，设直线BD 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0，k 、b 为常数)，代入B 、D 两点，则直线BD 的表达式为y ＝34x －4.19．如图，点M (3，m )和点N (2，n )分别在抛物线y ＝52x 2－112x 上，求△MON 外接圆的半径．解：∵点M (3，m )和点N (2，n )分别在抛物线y ＝52x 2－112x 上，∴代入得：m ＝6，n ＝－1，即M (3，6)，N (2，－1)，∵由勾股定理得：OM 2＝32＋62＝45，ON 2＝22＋12＝5，MN 2＝(3－2)2＋(6＋1)2＝50，∴MN ＝50＝52，ON 2＋OM 2＝MN 2，∴∠MON ＝90°，∴△MON 外接圆的半径是12MN ＝522.20．【导学号：38842036】如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，现有半径为1的动圆位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过几秒，动圆与直线AB 相切．解：当⊙O 的圆心运动到点P 处时，⊙P 与直线AB 相切，设相切于C 点；连接PC ，则PC ⊥AB ；对于直线y ＝34x －3，当x ＝0时，y ＝－3；当y ＝0时，x ＝4，∴OA ＝4，OB ＝3；由勾股定理得：AB ＝32＋42＝5，∵∠AOB ＝∠ACP ＝90°，∠PCA ＝∠BOA ，∴△APC ∽△ABO ，∴AP AB ＝PC OB .解得：PA ＝53，OP ＝4－53＝73，∴经过73秒，动圆与直线AB 相切． 当圆心O 运动到点A 的右侧时，同理可求：PA ＝53，PO ＝OA ＋AP ＝173，∴经过173秒，动圆与直线AB 相切．综上所述，经过73或173秒，动圆与直线AB 相切．。
沪科版九年级下册数学第24章 圆含答案
沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠CAB＝40°，则∠CAD＝（）A.30°B.40°C.50°D.25°2、现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）A.⊙O1B.⊙O2C.两圆增加的面积是相同的D.无法确定3、如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE＝12，∠B＝60°，则点E与点C之间的距离为（）A.12B.6C.6D.64、如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A 1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上点A2处，点D1、C 1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为（）A.（0，2）B.（2+ ，﹣1）C.（﹣1﹣，﹣1﹣） D.（1，﹣2﹣）5、若圆的一条弦把圆分成度数比为1：2的两条弧，则优弧所对的圆周角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°6、在“线段、等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、等腰梯形”中既是中心对称，又是轴对称的图形有（）A.6个B.5个C.4个D.3个7、下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C.D.8、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A.2B.3C.D.9、如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A.3B.C.3﹣D.3﹣10、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是（）A.100°B.110°C.120°D.130°11、某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（）A.6πm 2B.5πm 2C.4πm 2D.3πm 212、一个钟表的分针长10厘米，某日从14：35到14：55，分针走过了（）厘米。
难点详解沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析试卷(含答案详解)
沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D2、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20B∠=︒，则C∠的大小等于（）A．50︒B．25︒C．40︒D．20︒3、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的134、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°5、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π- C 23π-D ．23π6、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则BA A ∠'的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°9、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（ ）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°10、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．2、边长相等、各内角均为120°的六边形ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，()2,0A -，点B 在原点，把六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴绕顶点按顺时针方向，从点B 开始逐次连续旋转，每次旋转60°，经过2021次旋转之后，点B 的坐标是_____________．3、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．4、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．AB=，BC=，AC=ABC绕点B顺时针方向旋转45°得到5、如图，在ABC中，6△，点A经过的路径为弧AA'，点C经过的路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为BA C''______．（结果保留π）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在等边ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE ．（1）如图1，当B 、A 、E 三点共线时，连接AE ，若2AB =，求CE 的长；（2）如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD ABBE+的值． 2、如图1，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，将AC 边绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，得到线段AD ，连接BD 交AC 边于点E ，过点C 作CF BD ⊥于点F ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：D ACG ∠=∠；（2）如图2，当60α=︒时，求证：AG =；（3）如图3，当45α=︒时，请直接写出2222EF DF AG DG ++的值．3、将锐角为45°的直角三角板MPN 的一个锐角顶点P 与正方形ABCD 的顶点A 重合，正方形ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点A 旋转，∠MPN 的两边分别与正方形的边BC 、DC 或其所在直线相交于点E 、F ，连接EF ．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 相交时，如图1所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN 的一边恰好经过BC 边的中点时，试求线段EF 的长．4、如图1，BC 是⊙O 的直径，点A ，P 在⊙O 上，且分别位于BC 的两侧（点A 、P 均不与点B 、C 重合），过点A 作AQ ⊥AP ，交PC 的延长线于点Q ，AQ 交⊙O 于点D ，已知AB ＝3，AC ＝4．（1）求证：△APQ ∽△ABC ．（2）如图2，当点C 为PD 的中点时，求AP 的长．（3）连结AO ，OD ，当∠PAC 与△AOD 的一个内角相等时，求所有满足条件的AP 的长．5、在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、．（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）画出ABC 关于原点对称的图形111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）画出ABC 绕点O 逆时针旋转90︒后的图形222A B C △，并写出点2B 的坐标；（3）写出111A B C △经过怎样的旋转可直接得到222A B C △．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度． 【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8，∴118422CE CD ==⨯=， ∵5AO CO ==，∴3OE ， ∴532AE =-=； 故选：B ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =． 2、A 【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】 解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ， 90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3、A 【分析】设原来扇形的半径为r ，圆心角为n ，则变化后的扇形的半径为3r ，圆心角为19n ，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案． 【详解】设原来扇形的半径为r ，圆心角为n ，∴原来扇形的面积为2360n r π，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r ，圆心角为19n ，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n r ππ=， ∴扇形的面积不变． 故选：A ． 【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键． 4、B 【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．5、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．6、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE =CP 存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD=CE=Rt△BPC中，BP最小3==可判断③BP存在最小值为3不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=1122BC==⨯，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=3162AEAC==，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=3162ADAB==，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为PAP'，L PAP'12032180ππ⨯==可判断④点P运动的路径长为2π正确即可．【详解】解：∵90BAC∠=︒，6AB AC==，点D、E分别是AB、AC的中点．∴∠DAE=90°，AD=AE=16=32⨯，∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△EAC（SAS），故①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠EC A，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE===，∴CP最大=PE+EC=3+故②CP存在最大值为3+∵△AEC ≌△ADB ，∴BD =CE =在Rt△BPC 中，BP 最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=， 当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==， ∴∠ACE =30°，∴∠AOP =2∠ACE =60°， 当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==， ∴∠ABD =30°，∴∠AOP′=2∠ABD =60°，∴点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，∵∠POP =∠POA +∠AOP ′=60°+60°=120°，∴L PAP '12032180ππ⨯==． 故④点P 运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B ．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．7、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．9、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．二、填空题1、3【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA，PB分别为O的切线，∴=，PA PB∴为等腰三角形，PAB∠=︒，OAB30PAB∴∠=︒，60∴∆为等边三角形，PAB∴=，AB PA3PA=，∴=．3AB故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．2、【分析】根据旋转找出规律后再确定坐标．【详解】∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵202163365÷=，∴经过2021次翻转为第337循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，∵(2,0)A-，∴2AB=，∴翻转前进的距离为：220214042⨯=，如图，过点B作BG⊥x于G，则∠BAG=60°，∴112122AG AB==⨯=，BG，∴404214043OG=+=，∴点B的坐标为．故答案为：．【点睛】题考查旋转的性质与正多边形，由题意找出规律是解题的关键．3【分析】如图，根据四边形CDEF 为正方形，可得∠D =90°，CD =DE ，从而得到CE 是直径，∠ECD =45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF 为正方形，∴∠D =90°，CD =DE ，∴CE 是直径，∠ECD =45°，根据题意得：AB =2.5， 2.50.2522CE =-⨯= ，∴22222CE CD DE CD =+= ，∴CD = ，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．4、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】 本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．5、27π65-## 【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC = ∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形， ∴1tan 2BC CAB AC ∠==， ∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==， ∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABDS AB DE =⨯⨯=， 245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，245936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形， 9927662105ABDABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=-阴影扇形扇形， 故答案为：2765π-． 【点睛】 题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．三、解答题1、（1（2）2AD DF =；证明见解析；（3【分析】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH =进而求得BD =Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =（2）延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，根据平行四边形的性质可得，EDA KCA ∠=∠，证明APD △是等边三角形，进而证明ABD ACK ≌，即可证明AKD 是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得2AD DF =；（3）过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，先证明45EMF ∠=︒，结合中位线定理可得45EBC ∠=︒，进而可得45NBD ∠=︒，设1AN DF ==，分别勾股定理求得,,,AF ND BD MB ，进而根据22CD AB CD AC CD CD AD CD DF +=+=++=+求得CD AB +，即可求得CD AB BE+的值 【详解】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒30DBE DEB ∴∠=∠=︒ ABC 是等边三角形60,ABC AB AC ∴∠=︒=，112AH AB ==CH ∴=30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒BD AC ∴⊥，112AD DC AB ===BD ∴=60BAC ∠=︒120EAD ∴∠=︒18030ADE EAD AED ∴∠=︒-∠-∠=︒AED ADE ∴∠=∠1AE AD ∴==在Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =EC ∴=（2）如图，延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，点F 是CE 的中点FE FC ∴=又FK DF =∴四边形CDFK 是平行四边形ED KC ∴=，ED KC ∥∴EDA KCA ∠=∠将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒BD KC ∴= ABC 是等边三角形AB AC ∴=PD BC ∥60APD ABC ∴∠=∠=︒，CBD PDB ∠=∠，APD ∴是等边三角形AD AP ∴=AB AC =DC PB ∴=设CBD α∠=，则PDB α∠=,∴60ABD APD PDB α∠=∠-∠=︒-，60ADB α∠=︒+()1206060ADE BDE ADB αα∠=∠-∠=︒-+=︒-ED KC ∥60ACK ADE α∴∠=∠=︒-ABD ACK ∴∠=∠∴ABD ACK ≌AK AD ∴=,60KAC DAB ∠=∠=︒AKD ∴是等边三角形DF FK =1302FAD KAD ∴∠=∠=︒，AF DF ⊥ 12DF AD ∴= 即2AD DF =（3） 如图，过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，90GMD GFD ∴∠=∠=︒,,,B D F G ∴四点共圆FGD FMD ∴∠=∠由（2）可知AF DF ⊥，30FAD ∠=︒60ADF ∴∠=︒FG FD =45FDG FGD ∴∠=∠=︒45FGD FMD ∠=∠=︒将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒12MB ME BE ∴== F 是EC 的中点，MF ∴是EBC 的中位线MF BC ∴∥45EBC EMF ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒604515ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒153045NBD ABE EBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒NBD ∴是等腰直角三角形ND NB ∴=60BAC ∠=︒90BAF BAD DAF ∴∠=∠+∠=︒90,AFD DN AB ∠=︒⊥∴四边形ANDF 是矩形ND AF ∴=，AN DF =设1AN DF ==在Rt ADE △中，22AD DF ==AF ∴1AB AN NB AN ND AN AF ∴=+=+=+=121DC AC AD AB AD ∴=-=-==在Rt NBD 中,ND NB AF ===BD ∴==在Rt MBD 中MB ==2BE BM ∴==22CD AB CD AC CD CD AD CD DF ∴+=+=++=+)211=+=CD AB BE +=∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．2、（1）见解析（2）见解析（3）23【分析】（1）由旋转的性质得AB =AD ，所以D ABD ∠=∠，再根据三角形内角和定理可证明ABD ACG ∠=∠即可得到结论；（2）连接EG ，根据ASA 证明ACG ≌ADE 得AG AE =，AEG △是等边三角形，从而得出DG CE =，再运用AAS 证明CEF △≌DGF △得EF GF =，由勾股定理可得出GE ，从而 可得结论；（3）证明BD 平分ABC ∠，作EM BC ⊥于点M ，根据勾股定理得2222222EF DF CE AE AG +===，代入求值即可．（1）∵AC 边绕着点A 逆时针旋转得到线段AD ，∴AD AC =．∵AB AC =，∴AD AB =．∴D ABD ∠=∠．∵CF BD ⊥，∴90CFE BAC ∠=∠=︒又90CFE CEF ECF ABE AEB AEB ∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，且∠AEB =∠CEF∴ABD ACG ∠=∠．∴D ACG ∠=∠．（2）连接EG ．在ACG 和ADE 中，∵ACG D AC AD CAG DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACG ≌ADE （ASA ）．∴AG AE =．∴AD AG AC AE -=-，即DG CE =．在CEF △和DGF △中，∵ACG D CFE DFG CE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴CEF △≌DGF △（AAS ）．∴EF GF =．∵CG BD ⊥，∴在Rt EFG 中，22222GE EF FG EF =+=，即GE =．∵60CAD ∠=︒，AG AE =，∴AEG △是等边三角形．∴AG GE ==．（3）222223EF DF AG DG +=+． ∵45CAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，∴135BAD ∠=︒∵22.5D ABD ∠=∠=︒．∵45ABD CBD ∠+∠=︒，∴22.5CBD ∠=︒．∴BD 平分ABC ∠．作EM BC ⊥于点M ，∴EM AE CM ==．∴在Rt CEM 中，2222222CE CM EM EM AE =+==．∵ACG ≌ADE ，CEF △≌DGF △，∴AG AE =，DF CF =，DG CE =．∴在Rt CEF 中，22222CE EF CF EF DF =+=+，∵222222DG CE AE AG ===， ∴22222222223EF DF AG AG DG AG AG +==++． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．3、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203． 【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K 为BC 边的中点，∴CK =12BC =2，同理可证△ABK ≌FCK （SAS ），∴CF =AB =4，EF =FH=CF+CD-DH =8-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得到：（4+x ）2+42=（8-x ）2，∴x =43， ∴EF =8-43=203． 综上，线段EF 的长为103或203． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4、（1）见解析；（2）2AP =（3）当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ．【分析】（1）通过证=PAQ BAC ∠∠，=B P ∠∠，即可得APQ ABC ∽；（2）先证PCD 是等腰直角三角形，求sin 45DC PC AP AP ==⋅︒==C CDQ AB △△∽，得CQ CD AC AB=，求CQ 长，即可求PQ 得长，通过APQ ABC ∽，即可得AP PQ AB BC ，即可求AP ．（3）分类讨论， =PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠，=PAC AOD ∠∠，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．【详解】证明：（1）∵AQ ⊥AP∴=90PAQ ∠︒∵BC 是⊙O 的直径∴=90BAC ∠︒∴=PAQ BAC ∠∠∵=B P ∠∠∴APQ ABC ∽（2）如图，连接CD ，PD∵BC 是⊙O 的直径∴=90BAC ∠︒∵AB ＝3，AC ＝4∴利用勾股定理得：5BC =,即直径为5 ∵=90PAQ ∠︒∴180=90PCD PAQ ∠=︒-∠︒∴DP 是⊙O 的直径，且DP =BC =5 ∵点C 为PD 的中点∴CD =PC∵=90PCD ∠︒∴=45PDC ∠︒∴PCD 是等腰直角三角形∴利用勾股定理得：2222522DP DC PC ===,则DC PC ==∵==DCQ PCD PAQ ∠∠∠，=Q Q ∠∠ ∴CDQ APQ △∽△∵APQ ABC ∽∴C CDQ AB △△∽∴CQ CD AC AB =，即：243CQ =∴CQ =∴PQ CQ PC =+∵APQ ABC ∽∴AP PQ AB BC ，即：635AP =∴AP =（3）连接AO ,OD ，OP ，CD ，OD 交AC 于点M∵=90PCD ∠︒（已证）∴OD ,OP 共线，为⊙O 的直径情况一：当=PAC ADO ∠∠时∵=PAC ADO ∠∠，=ADO ACP ∠∠ ∴=PAC ACP ∠∠∴AP =PC∵=90PAQ ∠︒∴=90ADO APD ∠+∠︒∴=90PAC APD ∠+∠︒∴=90AMP ∠︒即AC PD ⊥∵AP =PC ∴122AM AC ==∴在Rt AOM 中，32OM == ∴1354222PM OM OP OM BC =+=+=+=∴在Rt APM 中，AP =情况二：当=PAC OAD ∠∠时， ∵OA OD =∴=OAD ADO ∠∠∴=PAC ADO ∠∠同情况一：AP =情况三：当=PAC AOD ∠∠时 ∵=ADO ACP ∠∠，=PAC AOD ∠∠ ∴DAO CPA △∽△ ∴APC OAD ∠=∠， ∵OA =OD ∴ADO OAD ∠=∠ ∴=ACP APC ∠∠ ∴==4AP AC综上所述，当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。
2022年沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析试卷(精选)
沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．把△ABC 绕点A 逆时针方向旋转到△AB 'C '，点B '恰好落在AC 边上，则CC '＝（ ）A ．10B ．C ．D ．2、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（ ）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°3、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（ ）A ．5B ．8C ．9D ．104、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π 5、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（ ）A ．3BCD ．6、下列判断正确的个数有（ ）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．68、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（）A ．.等腰三角形B ．等边三角形C ．.直角三角形D ．.等腰直角三角形10、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知如图，AB =8，AC =4，∠BAC =60°，BC 所在圆的圆心是点O ，∠BOC =60°，分别在BC 、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ，则PE +EF +FP 的最小值为____________．2、在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 边于点D ．要使得圆O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > 12AB ；④12AB < DE ． 3、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cm π，则这条弧的半径为________．4、如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点．若∠APO =25°，则∠AOP =___________°．5、如图，AB 为⊙O 的弦，∠AOB =90°，AB =a ，则OA =______，O 点到AB 的距离=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知等边ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 的中点，连接DB ，DC ，过点C 作AB 的平行线，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AB 的长为6，求CE 的长．2、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.3、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+①________90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，②________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠，CAD ∴∠=③________，CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；（2）若5,2OA BE ==，求DE 的长．4、在等边ABC 中，将线段AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段AD ．（1）若线段DA的延长线与线段．．BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．5、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB 是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0MN=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【分析】首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴10AC =，由旋转性质可知，AB = AB '=6，BC = B 'C '=8，∴B 'C =10-6=4，在Rt △B 'C 'C 中，CC '=故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．2、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-= 故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【分析】根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CD CEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===， 又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=， 故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．5、A【分析】分析：连接OA 、OB ，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO 是等边三角形，即可求出⊙O 的半径．【详解】解：连接BO ，并延长交⊙O 于D ，连结DC ，∵∠A =30°，∴∠D =∠A =30°，∵BD 为直径，∴∠BCD =90°，在Rt△BCD 中，BC =3，∠D =30°，∴BD =2BC =6，∴OB =3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．6、B【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．7、B【分析】由切线的性质可推出OA AP ⊥，OB BP ⊥．再根据直角三角形全等的判定条件“HL ”，即可证明OAP OBP ≅，即得出4PB PA ==．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴在Rt OAP △和Rt OBP 中，OA OB OP OP =⎧⎨=⎩， ∴()OAP OBP HL ≅，∴4PB PA ==．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．8、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9、D【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE ＝CF ，旋转角推出∠ECF ＝90°，即可得到△CEF 为等腰直角三角形．【详解】解：∵△CDE 绕点C 逆时针方向旋转90°后能与△CBF 重合，∴∠ECF ＝90°，CE ＝CF ，∴△CEF 是等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．10、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．二、填空题1、1212-+【分析】如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN，想办法求出MN的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FM=MN，∴当MN的值最小时，△PEF的值最小，∵AP=AM=AN，∠BAM=∠BAP，∠CAP=∠CAN，∠BAC=60°，∴∠MAN=120°，∴MN，∴当PA的值最小时，MN的值最小，取AB的中点J，连接CJ．∵AB=8，AC=4，∴AJ =JB =AC =4，∵∠JAC =60°，∴△JAC 是等边三角形，∴JC =JA =JB ，∴∠ACB =90°，∴BC =∵∠BOC =60°，OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB =OC =BC BCO =60°，∴∠ACH =30°，∵AH ⊥OH ，AH =12AC =2，CH∴OH∴OA∵当点P 在直线OA 上时，PA 的值最小，最小值为∴MN =．故答案：．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．2、②④【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．【详解】解：在ΔABC 中，AB AC =①当∠BAC > 60°时，若90BAC ∠=︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC 45≤︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，当∠ABC 60>︒时，点E 与点O 不关于AD 对称，当4560ABC ︒<∠≤︒时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故②满足条件；③当122AB BD AB ≤<时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故③不满足条件；④当12AB < DE 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故④满足条件； 所以，要使得O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或12AB < DE 故答案为②④【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．3、9cm【分析】 由弧长公式180n r l π=即可求得弧的半径． 【详解】 ∵180n r l π=∴18018069(cm)120l r n πππ⨯=== 故答案为：9cm【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．4、65【分析】根据切线的性质得到OA ⊥AP ，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【详解】解：∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴90APO AOP ∠+∠=︒，∵∠APO =25°，∴90902565AOP APO ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：65．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5 12a 【分析】过O 作OC 垂直于弦AB ，利用垂径定理得到C 为AB 的中点，然后由OA =OB ，且∠AOB 为直角，得到三角形OAB 为等腰直角三角形，由斜边AB 的长，利用勾股定理求出直角边OA 的长即可；再由C 为AB 的中点，由AB 的长求出AC 的长，在直角三角形OAC 中，由OA 及AC 的长，利用勾股定理即可求出OC 的长，即为O 点到AB 的距离．【详解】解：过O作OC⊥AB，则有C为AB的中点，∵OA=OB，∠AOB=90°，AB=a，∴根据勾股定理得：OA2+OB2=AB，∴OA，在Rt△AOC中，OA，AC=12AB=12a，根据勾股定理得：OC 12 a．；1 2 a【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据近垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．三、解答题1、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12BC＝3．【详解】解：（1）证明：如图连接OC 、OB ．∵ABC ∆是等边三角形∴ 60A ABC ∠=∠=∵//AB CE∴ 60BCE ABC ︒∠=∠=又 ∵OB OC =∴30OBC OCB ︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．2、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析【分析】（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ），∴∠CAE =∠CBD ；②∵CF ⊥AE ，∴∠AHC =∠ACB =90°，∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°，∴∠CAH =∠BCF ，∵∠DCF +∠BCF =90°，∠CDB +∠CBD =90°，∠CAE =∠CBD ，∴∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，∴CF =DF ，CF =BF ，∴BD =2CF ，又∵△CAE ≌△CBD ，∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．3、（1）ODB ∠，ODA BDE ∠=∠，ODA ∠；（2）DE =【分析】（1）由AB 是⊙O 的直径，得到ODA ∠+∠ODB 90=︒．再由DE 为⊙O 的切线，得到90ODB BDE ∠+∠=︒，即可推出∠ODA =∠BDE ，由角平分线的定义可得CAD OAD ∠=∠，由OA OD =，得到OAD ODA ∠=∠，即可证明CAD BDE ∠=∠；（2）在直角△ODE 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图②，连接DO ， AB 是⊙O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ODA ∴∠+∠ODB 90=︒．（1） DE 为⊙O 的切线，90ODE ∴∠=︒，90ODB BDE ∴∠+∠=︒，（2）由（1）（2）得，∠ODA =∠BDE ． AD 平分BAC ∠，∴CAD OAD ∠=∠．OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴CAD ∴∠=∠ODA ，CAD BDE ∴∠=∠．故答案为：① ODB ∠，② ODA BDE ∠=∠，③ ODA ∠；（2）DE 为O 的切线，90ODE ∴∠=︒．5OA =，5OD OB OA ∴===，2BE =，7OE OB BE ∴=+=．在Rt ODE △中，DE =【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．4、（1）120180α︒<<︒；（2）①见解析；②AE =AF +CE ，证明见解析．【分析】（1）根据“线段DA 的延长线与线段BC 相交于点E ”可求解；（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE 上截取AH =AF ，先证△AFD ≌△AHC ，再证∠CHE =∠HCE ，即可得出结果．【详解】（1）如图：AD 只能在锐角∠EAF 内旋转符合题意故α的取值范围为：120180α︒<<︒；（2）补全图形如下：（3）AE =AF +CE ，证明：在AE 上截取AH =AF ，由旋转可得：AB =AD ，∴∠D =∠ABF ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC=∠ACB =60°，∴AD =AC ，∵∠DAF =∠CAH ，∴△AFD ≌△AHC ，∴∠AFD =∠AHC ，∠D =∠ACH ，∴∠AFB =∠CHE ，∵∠AFB +∠ABF =∠ACH +∠HCE =60°，∴∠CHE +∠D =∠D +∠HCE =60°，∴∠CHE =∠HCE ，∴CE =HE ，∴AE =AH +HE =AF +CE ．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．5、（1）EF 、CD ；（2）①1(0,)2M ；②02S ≤≤；（3）1916π⎛ ⎝⎭;（4）1y >或1y <- 【分析】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1=2，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可； （4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围【详解】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>故符合题意的“反射线段”有EF 、CD ；故答案为：EF 、CD（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A BA 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），∴AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O 'O 的半径为1，1190AOB ∠=︒11A B ∴1145B A O =︒线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，，(0,1)O ' 1(0,)2M ∴ ②由①可得当0S =时，y M 1=2如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =， (0,1)O '1(,1)O S S ∴+()222211221OO S S S S ∴=++=++ 过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴1(,)22S S Q +∴12≤y M 136≤， 136OM ∴= 11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠== 即11112136OO S OO += 即()21113126OO S =+⨯ ∴()2113126S S S ++=+ 解得1252,6S S ==-（舍）02S ∴≤≤（3）1MN =∴1M N ''= O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线222OO ∴==2112OR OO ∴==∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭． （4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,设(2,0)T则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形3O L ML ∴,TL ∴==3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，1SA ∴是3OO T 的中位线1312SA O T ∴==,13SA TO ∥即3OO 的中点1A 在以S∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线设S 与y 轴交于点,C D 112OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=同理可得1OD =∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．。
2022年必考点解析沪科版九年级数学下册第24章圆专项攻克试题(含详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则BA A ∠'的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°2、如图，在AOB 中，4OA =，6OB =，AB =AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．()4,2-B ．()-C ．()-D ．(-3、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．75°4、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（ ）A ．3BCD ．5、如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角64DCE ︒∠=，那么BOD ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒6、已知⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切7、下列语句判断正确的是（ ）A ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形8、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A ．5cmB ．6cmC ．D ．9、如图，在△ABC 中，∠CAB =64°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（ ）A ．64°B ．52°C ．42°D ．36°10、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（ ）A ．5B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在⊙O 中，A ，B ，C 是⊙O 上三点，如果∠AOB =70º，那么∠C 的度数为_______．2、如图，将Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与零刻度线的一端重合，∠ABC ＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．3、“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME △中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r 的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S =．4、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．5、如图AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）①AM 平分∠CAB ；②AC AM AM AB =；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3π；④若AC =3BD ，则有tan ∠MAP三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求a 的值；（2）点D 是该抛物线的顶点，点P （m ，n ）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、CD 、BP ，当∠PBA ＝∠CBD 时，求m 的值；（3）点K 为坐标平面内一点，DK ＝2，点M 为线段BK 的中点，连接AM ，当AM 最大时，求点K 的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；3、将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，其中点E 与点B ，点G 与点D 分别是对应点，连接BG ．（1）如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ．①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ．③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．（2）若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离．4、在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、．（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）画出ABC 关于原点对称的图形111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）画出ABC 绕点O 逆时针旋转90︒后的图形222A B C △，并写出点2B 的坐标；（3）写出111A B C △经过怎样的旋转可直接得到222A B C △．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）5、如图，⊙O 的半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为点D ．（1）弦AB 的长为 ．（2）求劣弧AB 的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．2、C【分析】过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，根据勾股定理，可得2222AB BC OA OC -=-，从而得到2OC = ，进而得到∴AC =，可得到点(2,A ，再根据旋转的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，∵222AC OA OC =- ，222AC AB BC =-，∴2222AB BC OA OC -=-，∵4OA =， AB =∴(()222264a a --=- ，解得：2a = ，∴2OC = ，∴AC ，∴点(2,A ，∴将AOB 绕原点O 顺时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ''的坐标是()2-，∴将AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是()-．故选：C【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A 的坐标，属于中考常考题型．3、C【分析】由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．【详解】解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒，∴∠BAO =25ABO ∠=︒．∴∠AOB =130°．∴ACB ∠=12∠AOB =65°．故选：C ．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．6、B【分析】圆的半径为,r 圆心O 到直线l 的距离为,d 当d r =时，直线与圆相切，当d r 时，直线与圆相离，当d r <时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.【详解】 解： ⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，∴ ⊙O 的半径等于圆心O 到直线l 的距离，∴ 直线l 与⊙O 的位置关系为相切，【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.7、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B，C，D都不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．8、D【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD，如图所示：∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2CD BD AB ===， ∵CD BC =，∴5cm CD BD BC ===，在Rt△ACB 中，由勾股定理可得AC =；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．9、B【分析】先根据平行线的性质得∠ACC ′=∠CAB =64°，再根据旋转的性质得∠CAC ′等于旋转角，AC =AC ′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC ′=∠AC ′C =64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC ′的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵CC ′∥AB ，∴∠ACC ′=∠CAB =64°∵△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，∴∠CAC ′等于旋转角，AC =AC ′，∴∠ACC ′=∠AC ′C =64°，∴∠CAC ′=180°-∠ACC ′-∠AC ′C =180°-2×64°=52°，∴旋转角为52°．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10、C【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-= 故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题1、35°【分析】利用圆周角定理求出所求角度数即可．【详解】解：AOB ∠与ACB ∠都对AB ，且70AOB ∠=︒，1352C AOB ∴∠=∠=︒， 故答案为：35︒．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．2、76°或142°【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ，则∠BOD 为点D 在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD =2∠BCD ，根据等腰三角形的性质分BC 为底边和BC 为腰求∠BCD 的度数即可．【详解】解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，∴∠BOD=2∠BCD，①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；②若BC为等腰三角形的腰时，当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，故答案为：76°或142°．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．3、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12r π+，()12r π-；（3） 2r π 【分析】（1）根据切线的定义判断即可．（2）由CB '=AC +AB '，2CB MC '=计算即可；根据MA MC AC =-计算即可． （3）根据勾股定理，得2AE 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．【详解】解：（1）∵⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）根据题意，得AC =r ，AB '=22πr =πr ， ∴CB '=AC +AB '=r +πr ， ∴2CB MC '==()12r π+； ∵MA MC AC =-，∴MA =()12rπ+-r =()12rπ-，故答案为：()12rπ+，()12rπ-；（3）如图，连接ME ，根据勾股定理，得22222AE ME MA MC MA =-=-=()()2211[][]22rrπ+π--=2r π；故答案为：2rπ．【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．4、六【分析】设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则︒⋅=︒，由此即可得到答案．60360n【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴60360n︒⋅=︒，n=，∴6∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．5、①②④【分析】连接OM ，由切线的性质可得OM PC ⊥，继而得∥OM AC ，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得CAM OAM ∠=∠，由此可判断①；通过证明ACM AMB ∽，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出60MOP ∠=︒，利用弧长公式求得BM 的长可判断③；由BD PC ⊥，AC PC ⊥，OM PC ⊥，可得∥∥BD AC OM ，继而可得PB OB AO ==，PD DM CM ==，进而有2OM BD =，在Rt PBD 中，利用勾股定理求出PD 的长，可得CM DM DP ==，由此可判断④．【详解】解：连接OM ，∵PE 为O 的切线，∴OM PC ⊥，∵AC PC ⊥，∴∥OM AC ，∵OA OM =，OAM AMO ∠=∠，∴CAM OAM ∠=∠，即AM 平分CAB ∠，故①正确；∵AB 为O 的直径，∴90AMB ∠=︒，∵CAM MAB ∠=∠，ACM AMB ∠=∠，∴ACM AMB ∽， ∴AC AM AM AB=， ∴2·AM AC AB ＝，故②正确；∵30APE ∠=︒，∴903060MOP OMP APE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵4AB =，∴2OB =，∴BM 的长为60π22π1803⨯=，故③错误； ∵BD PC ⊥，AC PC ⊥，OM PC ⊥，∴∥∥BD AC OM ，∴PBD PAC ∽， ∴13PB BD PA AC ==， ∴13PB PA =，又∵AO BO =，AO BO AB +=，AB PB PA +=，又∵∥∥BD AC OM ，∴PD DM CM ==，设BD a =，则3AC a =，∴22OM BD a =＝，在Rt PBD 中，2PB BO OM a ===，∴PD =，∴CM DM DP ===，由①可得CAM OAM ∠=∠，tan tan CM MAP CAM AC ∠=∠==， 故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．三、解答题1、（1）1-（2）43-（3）K 【分析】（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．（1）223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+令0y =，解得121,3x x =-=令0x =，3y a =-抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -3OB ∴=OB OC =3OC ∴=(0,3)C ∴33a ∴-=解得1a =-（2）如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，22y x x x=-++=--+23(1)4∴D(1,4)()()B C3,0,3,0∴==== CD BC BD222∴+==20,20CD BC BD222∴+=CD BC BD∠=︒BCD∴△是直角三角形，且90BCD⊥PE AB∴∠=∠=︒90PEB PCD∠=∠又PBA CBD∴∽BCD BEPCD BC∴=PE BE()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，223n m m =-++∴223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-=整理得()()3430m m +-= 解得124,33m m =-=（舍）()P m n ,在第三象限，0m ∴<43m ∴=- （3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,QM ∴是BDK 的中位线112QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，(3,0),(1,4)B D1340(,)22Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，即022k d k d=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM 的解析式为2233y x =+ DK QM ∥设直线DK 的解析式为23y x b =+ (1,4)D243b ∴=+ 解得103b = 则DK 的解析式为21033y x =+ 设点210(,)33K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =()22221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭解得12m m ==m ∴=21033m ∴+=21033+=K ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．2、（1）y =-x 2+2x +3；（2（3）点P （1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC =OA =3OB ，故点A 、B 、C 的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），=（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P (x ，-x 2+2x +3)，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ， ∵OA =OC ，∠PAC =90°， ∴∠ACO =∠OAC =45°， ∵∠PAC =90°， ∴∠PAQ =45°，∴△PAQ 是等腰直角三角形， ∴PQ =AQ =x ，∴AQ +AO =x +3=-x 2+2x +3， 解得：1210x x ==，(舍去)， ∴点P (1，4)；设点P 1(m ，-m 2+2m +3)，过点P 1作P 1D ⊥x 轴于点D ，同理得△P 1CD 是等腰直角三角形，且点P 1在第三象限，即m <0， ∴P 1D =CD =m 2-2m -3，DO =-m ， ∴DO +OC = P 1D ，即-m +3= m 2-2m -3，解得：1223m m =-=，(舍去)， ∴点P (-2，-5)；综上，点P （1，4）或（-2，-5）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 3、（1（2 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，PG =的面积公式即可得到结论． （1）解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ， CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠， BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠， ()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，BH GH ∴=，即点H 是BG 中点， 又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB==，1BQ∴=，30BCQ∴∠=︒，90ECG∠=︒，60GCM∴∠=︒，1 CG AB CD===，GM ∴=12 CM=，BG∴=（2）解：如图3，连接DB，DG，过G作GP BC⊥交BC的延长线于P，GN DC⊥交DC的延长线于N，24BC AB==，2AB∴=，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE，12CD CE ∴=，30DEC ∴∠=︒，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =，1NG ∴=，PG =5DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+BG2DBG S DM BG ∆∴=【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线． 4、（1）见解析，()14,1C ； （2）见解析，()23,3B -- （3）绕点O 顺时针时针旋转90︒ 【分析】（1）根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、关于原点的对称点为()()()1111,0,3,3,4,1A B C - ，再顺次连接，即可求解；（2）根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、绕点O 逆时针旋转90︒后的对称点为()()()2220,1,3,3,1,4A B C ---- ，再顺次连接；（3）根据题意得：111A B C △绕点O 顺时针时针旋转90︒后可直接得到222A B C △，即可求解． （1）解：根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、关于原点的对应点为()()()1111,0,3,3,4,1A B C - ，画出图形如下图所示： （2）解：根据题意得：(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点为()()()2220,1,3,3,1,4A B C ---- ，画出图形如下图所示：（3）解：根据题意得：111A B C △绕点O 顺时针时针旋转90︒后可直接得到222A B C △． 【点睛】本题主要考查了图形的变换——画关于原点对称，绕原点旋转90︒后图形，得到图形关于原点对称，绕原点旋转90︒后对应点的坐标是解题的关键．5、（1）（2）203π． 【分析】（1）根据弦AB 垂直平分半径OC ，OC =OB =10cm ，得出OD =CD =152OC =，∠ODB =90°，根据勾股定理BD =AB =2BD =2×（2）根据锐角三角函数定义求出cos∠DOB =51102OD OB ==，得出∠DOB =60°，利用弧长公式求出12010201803l ππ⨯==即可． 【详解】解：（1）∵弦AB 垂直平分半径OC ，OC =OB =10cm ，∴OD =CD =152OC =，∠ODB =90°，∴BD ===∴AB =2BD =2×=故答案为 （2）cos∠DOB =51102OD OB ==， ∴∠DOB =60°，∴AB 的度数为2×60°=120°， ∴12010201803l ππ⨯==． 【点睛】本题考查垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长，掌握垂直平分线性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长是解题关键．。
2021-2022学年度沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析练习题(精选)
沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt ABC 中，390,4,tan 4ACB AC A ∠===．以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的长是（ ）A ．1B ．75 C ．32 D ．22、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π 4、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若∠ACB ＝70°，则∠P 的度数为（ ）A ．70°B ．50°C ．20°D ．40°5、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为2，则圆形螺帽的半径是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．D ．4cm6、点P (3，﹣2)关于原点O 的对称点P '的坐标是（ ）A ．(3，﹣2)B ．(﹣3，2)C ．(﹣3，﹣2)D ．(2，3)7、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π- C 23π- D ．23π8、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°9、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点．（2）作直线GH 交AB 于点E ．（3）在直线GH 上截取EF AE =．（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．则下列说法错误的是（ ）A ．AE BE =B ．GH CD ∥C ．AB =D ．45APB ∠=︒10、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）2、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．3、如图，在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2，使∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt △OA 2A 3，Rt △OA 3A 4…，若点A 0的坐标是（1，0），则点A 2021的横坐标是___________．4、在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为_____．5、圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则全面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．（1）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；（2）把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．2、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，P B．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线完成如下证明：证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA 是⊙O 的切线（___________）（填推理的依据）．同理可证直线PB 是⊙O 的切线．3、将锐角为45°的直角三角板MPN 的一个锐角顶点P 与正方形ABCD 的顶点A 重合，正方形ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点A 旋转，∠MPN 的两边分别与正方形的边BC 、DC 或其所在直线相交于点E 、F ，连接EF ．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 相交时，如图1所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN 的一边恰好经过BC 边的中点时，试求线段EF 的长．4、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；∥，直线CD交BA的延长线于点E，连接5、如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD OCBD．求证：（1）EDA EBD△△；（2）ED BC AO BE⋅=⋅．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cosBC BEBAB BC==，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】解：在Rt ABC中，390,4,tan4 ACB AC A∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．2、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C 、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．3、D【分析】根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CDCEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===， 又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=， 故选D ．本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．4、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5、D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，过O 作OM AB 于,M设半径为r ，即OA =OB =AB =r ，OM =OA •sin∠OAB ，∵圆O 的内接正六边形的面积为cm 2），∴△AOB 的面积为13=436（cm 2）， 即1432AB OM， 134322r r ，解得r =4，故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．6、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P （3，﹣2）关于原点O 的对称点P '的坐标是（﹣3，2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．7、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯=∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．8、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．9、C【分析】连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，再根据EF AE =可得∠AFE =45°，进而得出∠AFB ＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．【详解】解：连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，∴AE BE =，故A 正确；∵CD 是ABC 的高，∴GH CD ∥，故B 正确；∵EF AE =，AE BE =，∴2AB EF =，故C 错误；∵EF AE =，∴∠AFE =45°，同理可得∠BFE =45°，∴∠AFB ＝90°，1452APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．10、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题1、②③④【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF为等腰直角三角形，得出Rt GEF都是等腰直角三角形，得到45EFG∠=︒即可判断；④当CE DF⊥时，CE有最小值，计算即可．【详解】解：12,22CD AB CF BC====，Rt CDF∴为等腰直角三角形，45CFD∴∠=︒，当P在F点的左边时，180135EFP CFD∴∠=︒-∠=︒，当P在F点的右边时，45EFP CFD∴∠=∠=︒，故①错误；过点E作EG BC⊥，在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，90 APB BAP APB EPG∠+∠=∠+∠=︒，BAP EPG∴∠=∠，()Rt ABP Rt PGE AAS∴≌，EG BP m∴==，故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，∴∠=︒，45EFG即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DF∴∠=∠=︒，DCE ECF45∴为等腰直角三角形，Rt CEF∴=，CE EFCF=，2由勾股定理：222+=，CE EF CFCE ∴= 故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．2、256π 【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO ，OC ，OA ，由题意得：△BOC ，△AOB 都是等边三角形，∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇．故答案为：256π． 【点睛】 本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇． 3、22020【分析】根据0190OA A ∠=︒，1060AOA ∠=︒，点0A 的坐标是()1,0，得01OA =，点1A 的横坐标是012=，点2A 的横坐标是-12，同理可得点3A 的横坐标是32-，点4A 的横坐标是32-，点5A 的横坐标是42，点6A 的横坐标是62，点7A 的横坐标是62，依次进行下去，可得点n A 的横坐标，进而求得2021A 的横坐标．【详解】解：∵∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，点A 0的坐标是（1，0），∴OA 0＝1，∴点A 1 的横坐标是 1＝20，∴OA 1＝2OA 0＝2，∵∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，∴OA 2＝2OA 1＝4，∴点A 2 的横坐标是- 12OA 2＝-2＝-21，依次进行下去，Rt△OA 2A 3，Rt△OA 3A 4…，同理可得：点A 3 的横坐标是﹣2OA 2＝﹣8＝﹣23，点A 4 的横坐标是﹣8＝﹣23，点A 5 的横坐标是 12OA 5＝12×2OA 4＝2OA 3＝4OA 2＝16＝24，点A 6 的横坐标是2OA 5＝2×2OA 4＝23OA 3＝64＝26，点A 7 的横坐标是64＝26，…发现规律，6次一循环，即()16112n n A --+= ()16122n n A --+=-()6132n n A -+=-，()16142n n A --+=-，()16152n n A --+=2021÷6=336 (5)则点A 2021的横坐标与()615n A -+的坐标规律一致是 22020．故答案为：22020．【点睛】本题考查了规律型——点的坐标，解决本题的关键是理解动点的运动过程，总结规律，发现规律，点A 3n 在x 轴上，且坐标为()312n n -⋅．4、2π【分析】利用勾股定理求出AC 及AB 的长，根据阴影面积等于AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形求出答案．【详解】解：由旋转得,AB AB AC AC ''==，90CAC '∠=︒，B AC ''∠=∠BAC ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，∴AC =2BC =2，AB60CAB '∠=︒，∴阴影部分的面积=AB C CAC DAB S S S ''''--扇形扇形2260902113603602ππ⨯⨯=--⨯=2π故答案为：2π．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．5、2r rl ππ+【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．【详解】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，故可得，这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π， 圆锥的侧面积为122S r l rl ππ=⋅⋅=侧； 圆锥的全面积为圆锥的底面积+侧面积：2S S S r rl ππ=+=+侧全底．故答案为：2r rl ππ+．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．三、解答题1、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可．（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．（1）解：图形如图①②所示．（2）解：图形如图③所示，点P即为所求作．【点睛】本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2、直径所对的圆周角是直角经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；【详解】证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），同理可证直线PB是⊙O的切线，故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3、（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为103或203．【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K为BC边的中点，∴CK=12BC=2，同理可证△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x=43，∴EF=8-43=203．综上，线段EF的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4、（1）y=-x2+2x+3；（2（3）点P（1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），=（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P(x，-x2+2x+3)，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∵OA =OC，∠PAC=90°，∴∠ACO=∠OAC=45°，∵∠PAC =90°，∴∠PAQ =45°，∴△PAQ 是等腰直角三角形，∴PQ =AQ =x ，∴AQ +AO =x +3=-x 2+2x +3，解得：1210x x ==，(舍去)，∴点P (1，4)；设点P 1(m ，-m 2+2m +3)，过点P 1作P 1D ⊥x 轴于点D ，同理得△P 1CD 是等腰直角三角形，且点P 1在第三象限，即m <0，∴P 1D =CD =m 2-2m -3，DO =-m ，∴DO +OC = P 1D ，即-m +3= m 2-2m -3，解得：1223m m =-=，(舍去)，∴点P (-2，-5)；综上，点P （1，4）或（-2，-5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．5、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DO ，根据AD OC ∥，可证COD COB ∠=∠．从而可得()COD COB SAS ≅，90CDO CBO ∠=∠=︒，即可证明EDA DBE ∠=∠，故EDA EBD △△；（2）证明EOD ECB △△，可得ED OD BE BC=，即可证明ED BC AO BE ⋅=⋅． 【详解】证明：（1）连接DO ，如图：∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()COD COB SAS ≅，∴90CDO CBO ∠=∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，即90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴EDA BDO ∠=∠，∵OD OB =，∴BDO DBO ∠=∠，∴EDA DBO ∠=∠，即EDA DBE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴~EDA EBD ；（2）由（1）知：90EDO EBC ∠=∠=︒，又∵E E ∠=∠，∴EOD ECB △△， ∴ED OD BE BC=， ∴ED BC OD BE ⋅=⋅，∵OD AO =，∴ED BC AO BE ⋅=⋅．【点睛】本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明COD COB ≅，从而得到90EDO ∠=︒．。
2021-2022学年基础强化沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析试题(含答案及详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对''，使点C的2、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到A BC对应点C'恰好落在边AB上，则BA A∠'的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°3、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C．D5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10∠=（）6、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130∠=︒，则ADCBOCA．15°B．20°C．25°D．30°=，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置7、在△ABC中，CA CB关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定8、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（）A ．10B ．C ．D ．1210、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．2、若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留π）3、若一次函数y ＝kx +8（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，当k 的取值变化时，点A 随之在x 轴上运动，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BQ ，连接OQ ，则OQ 长的最小值是 ___．4、如图，⊙O 的半径为2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若弦BC 的长度为∠BAC＝________度．5、已知圆O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，则直线l与圆O的的位置关系是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，A为O上的一点．求作：过点A且与O相切的一条直线．作法：①连接OA；②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与O的一个交点为B，作射线OB；③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；④作直线PA．直线PA即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA．==．由作法可知BO BA BP∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴90OAP ∠=︒（ ）（填推理的依据）．∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（ ）（填推理的依据）．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）（解决问题）（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．（实际运用）（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、如图，已知AB 为O 的直径，PD 切O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且2D CAD ∠=∠．（1）求D∠的大小；（2）若2CD=，求AC的长．4、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．C-．已知点N（3，0），A（1，0），(B，)1（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在O的“二分点”，直接写出r的取值范围．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（与A、B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE、BE（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）若BE =5，DE =13，求AB 的长-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C ．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．2、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．3、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得： 5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x25225250510.444AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A ，G ， H 三点的圆的圆心是解本题的关键.5、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．6、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC 的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC =130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO为⊙C的半径，AB∴是C的切线，∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．8、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.9、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．10、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题1、()3,1B -【分析】如图，作BH ⊥x 轴于H ．由△ACO ≌△BAH （AAS ），推出BH ＝OA ＝m ，AH ＝OC ＝4，可得B （m +4，m ），令x ＝m +4，y ＝m ，推出y ＝x ﹣4，推出点B 在直线y ＝x ﹣4上运动，设直线y ＝x ﹣4交x 轴于E ，交y 轴于F ，作KM ⊥EF 于M ，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，利用等腰直角三角形的性质可得M 的坐标，从而可得答案．【详解】解：如图，作BH ⊥x 轴于H ．∵C （0，4），K （2，0），∴OC ＝4，OK ＝2，∵AC ＝AB ，∵∠AOC ＝∠CAB ＝∠AHB ＝90°，∴∠CAO +∠OCA ＝90°，∠BAH +∠CAO ＝90°，∴∠ACO ＝∠BAH ，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，则4,0,0,4E F45,2,OEF KE作KM⊥EF于M，过M作MJ KE于,J则45,EKM KMJ EMJ()1,3,3,1,KJ EJ MJ OJ M∴====-根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．2、2 3π【分析】已知扇形的圆心角为60︒，半径为2，代入弧长公式计算．【详解】解：依题意，n=60︒，r=2，∴扇形的弧长=6022== 1801803n rπππ⨯︒︒．故答案为：23π． 【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=180n r π． 3、8【分析】 根据一次函数解析式可得：80A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()08B ，，过点B 作MN x ∥轴，过点A 作AM MN ⊥，过点Q 作QN MN ⊥，由旋转的性质可得AB BQ =，90ABQ ∠=︒，依据全等三角形的判定定理及性质可得：ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，MA NB =，NQ MB =，即可确定点Q 的坐标，然后利用勾股定理得出OQ 的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．【详解】解：函数8y kx =+得：80A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()08B ，，过点B 作MN x ∥轴，过点A 作AM MN ⊥，过点Q 作QN MN ⊥，连接OQ ，如图所示：将线段BA 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BQ ，∴AB BQ =，90ABQ ∠=︒，∴9090ABM MAB MBA NBQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴MAB NBQ ∠=∠，在ΔΔΔΔ与ΔΔΔΔ中，BMA QNB MAB NBQ AB BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，∴8MA NB ==，8NQ MB k==， 点Q 的坐标为88,8k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴OQ =当1k =或1k =-时，OQ 取得最小值为8，故答案为：8．【点睛】题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．4、60【分析】在Rt △BOE 中，利用勾股定理求得OE =1，知OB =2OE ，得到∠BOE =60°，∠BOC =120°，再利用圆周角定理即可解决问题．【详解】解：如图作OE ⊥BC 于E ．∵OE⊥BC，∴BE=EC BOE=∠COE，∴OE=1，∴OB=2OE，∴∠OBE=30°，∴∠BOE=∠COE=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BAC=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．5、相切或相交【详解】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d ＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．【分析】解：∵x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x1＝2，x2＝3，∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．故答案为：相切或相交．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．三、解答题1、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；（2）证明：连接BA，由作法可知BO BA BP ==，∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角），∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011． 【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC =x ，则∠BOC =2x ，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、（1）45°（2）3π2【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC ⊥CD ，根据圆周角定理得到∠DOC =2∠CAD ，进而证明∠D =∠DOC ，根据等腰直角三角形的性质求出∠D 的度数；（2）根据等腰三角形的性质求出OC ，根据弧长公式计算即可．（1）连接OC ．∵ BC BC =， ∴ 12CAD COB ∠=∠，即 2COB CAD ∠=∠．∵ 2D CAD ∠=∠，∴ COB D ∠=∠．∵ PD 是⊙O 的切线，∴ OC PD ⊥，即 90OCD ∠=︒．∴ 90COB D ∠+∠=︒．∴ 290D ∠=︒．∴ 45D COB ∠=∠=︒．（2）∵ COB D ∠=∠，2CD =，∴ 2CO CD ==．∵ 45COB ∠=︒，∴ 135AOC ∠=︒．∴ AC 的长π1352π3π1801802n R l ⨯⨯===． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4、（1）①B 和C a ≤a =（2）113r ≤<或39r <≤ 【分析】（1）①分别找出点A ，B ，C 到线段ON 的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；②对a 的取值分情况讨论：0a <a <≤a >0a <，根据“二分点”的定义可求解；（2）设线段AN 上存在O 的“二分点”为(,0)(13)M m m ≤≤，对r 的取值分情况讨论01r <<、13r <<，m r <、13r <<，m r >和3r >，根据“二分点”的定义可求解．【详解】（1）①∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，点B到ON的最小值为OB=BN==∴点B是线段ON的“二分点”，点C到ON的最小值为1，最大值为2OC==，∴点C是线段ON的“二分点”，故答案为：B和C；②若0a<≤OC=，点C到OD的最小值为CD=2∵点C为线段OD的“二分点”，∴2=，解得：a=<≤aOC=，满足题意；点C到OD的最小值为1，最大值为2若a>点C到OD的最小值为1，最大值为CD=∵点C为线段OD的“二分点”，∴2=解得：a=；若0a<时，如图所示：点C 到OD 的最小值为2OC =，最大值为CD∵点C 为线段OD 的“二分点”，∴4=解得：1a 2a ，综上所得：a a ≤≤a =（2）如图所示，设线段AN 上存在O 的“二分点”为(,0)(13)M m m ≤≤，当01r <<时，最小值为：m r -，最大值为：m r +，∴2()m r m r -=+，即13r m =， ∵13m ≤≤， ∴113r ≤≤ ∴113r ≤<； 当13r <<，m r <时，最小值为：r m -，最大值为：r m +，∴∴2()r m r m -=+，即3r m =，∵13m ≤≤，∴39r ≤≤，∵13r <<，∴r 不存在；当13r <<，m r >时，最小值为：m r -，最大值为：m r +，∴2()m r m r -=+，即13r m =， ∴113r ≤≤， ∵13r <<，∴r 不存在；当3r >时，最小值为：r m -，最大值为：m r +，∴2()r m m r -=+，即3r m =，∴39r ≤≤，∵3r >，∴39r <≤，综上所述，r 的取值范围为113r ≤<或39r <≤． 【点睛】本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．5、（1）见解析；（2）17【分析】（1）由旋转的性质可得CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ；（2）由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，可得∠CAB ＝∠CBA ＝45°，再由△ACD ≌△BCE ，得到BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，则∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，然后利用勾股定理求出BD 的长即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∵△ACD ≌△BCE ，∴BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴12BD==，∴AB=AD+BD=17．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。
2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析试卷(含答案详解)
沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）∠的度数为（）1、如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64∠=，那么BODDCE︒A．20︒B．64︒C．116︒D．128︒2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．3、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l 距离都为20 m 的宋代碑刻A ，B ，在小路l 上有一座亭子P ． A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A ，B 原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P 到湖岸的最短距离是（ ）A ．20 mB ．mC ．（ - 20）mD ．（m4、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A ．5cmB ．6cmC ．D ．5、如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．6、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（ ）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的138、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--10、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．2、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________4、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）5、已知如图，AB=8，AC=4，∠BAC=60°，BC所在圆的圆心是点O，∠BOC=60°，分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC= 30°，求CD的长．3、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA ，MB ．∵MA =MB ，OA =OB ，∴MO 是AB 的垂直平分线．∴AC = ．∵AB 是直径,∴∠ACB = ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC 是等腰直角三角形．4、如图，四边形ABCD 是正方形．△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD (不含B ，D 点)上任意一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接 EN ，AM 、CM ．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．5、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．4、D【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD，如图所示：∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2CD BD AB ===， ∵CD BC =，∴5cm CD BD BC ===，在Rt△ACB 中，由勾股定理可得AC =；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．5、C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK =3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．6、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．7、A【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19n，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，∴原来扇形的面积为2 360n r，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19 n，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n rππ=，∴扇形的面积不变．故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．8、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．10、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE =CP 存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD =CE =Rt△BPC 中，BP 最小3==可判断③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，AB =AC =6，∠BAC =90°，BP =CO =AO =1122BC ==⨯，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==，可求∠ACE =30°，根据圆周角定理得出∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==，可得∠ABD =30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD =60°，点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，L PAP '12032180ππ⨯==可判断④点P 运动的路径长为2π正确即可． 【详解】解：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．∴∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯， ∴∠DAB +∠BAE =90°，∠BAE +∠EAC =90°，∴∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），故①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，∵△AEC ≌△ADB ，∴∠DBA =∠EC A ，∴∠PBA +∠P =∠ECP +∠BAC ，∴∠P =∠BAC =90°，∵CP 为⊙A 的切线，∴AE ⊥CP ，∴∠DPE =∠PEA =∠DAE =90°，∴四边形DAEP 为矩形，∵AD =AE ，∴四边形DAEP 为正方形，∴PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE===，∴CP 最大=PE +EC =3+故②CP 存在最大值为3+∵△AEC ≌△ADB ，∴BD =CE =在Rt△BPC 中，BP 最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=， 当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==，∴∠ACE=30°，∴∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=3162 ADAB==，∴∠ABD=30°，∴∠AOP′=2∠ABD=60°，∴点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为PAP'，∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°，∴L PAP'12032180ππ⨯==．故④点P运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．二、填空题1、3π 【分析】根据圆心角为n ︒的扇形面积是2360n R S π=进行解答即可得． 【详解】 解：这个扇形的面积212013603ππ⨯==． 故答案是：3π． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．23-##【分析】连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，BE =3BH ，即为所求．【详解】解：连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，DH AC ⊥，H ∴点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小，AB是直径，90BDA∴∠=︒，10AB=，6AD=，8BD∴=，3DE=，在Rt BED中，BE=3BH BE EH∴=-，3．【点睛】本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H点的运动轨迹．3、【分析】122S l r rl=⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC是一个圆锥在某平面上的正投影∴ABC为等腰三角形∵AD⊥BC∴122CD BD BC===在Rt ADC中有A C=即AC由圆锥侧面积公式有2S rl ==⨯=ππ．故答案为：。
2022年必考点解析沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练试题
沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt ABC中，390,4,tan4ACB AC A∠===．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1 B．75C．32D．22、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3、如图，在ABC中，2AB=，4BC=，将ABC绕点A顺时针旋转60°得到ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．44、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--5、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6、点P (3，﹣2)关于原点O 的对称点P '的坐标是（ ）A ．(3，﹣2)B ．(﹣3，2)C ．(﹣3，﹣2)D ．(2，3)7、已知⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切8、下列判断正确的个数有（ ）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个9、如图图案中，不是中心对称图形的是（）A．∽B．C．>D．=10、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．52第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、点（2，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．2、如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A=___________°．3、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______．4、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．5、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．（1）求∠ABD的度数；（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；（3）在（2）的条件下，求CD的长．2、如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：（1）在图①中，画等腰△ABC ，使AB 为腰，点C 在格点上．（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C ，D 两点均在格点上．（3）在图③中，画△ABC ，使∠ACB =90°，面积为5，点C 在格点上．3、如图，四边形ABCD 是正方形．△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD (不含B ，D 点)上任意一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接 EN ，AM 、CM ．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．4、如图1，在ABC 中90ACB ∠=︒，AC BC =，8AB =，点D 为AB 边上一点．（1）若1AD =，则CD =______；（2）如图2，将线段CD 绕着点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接AE ，求证：2222AD BC AE +=；（3）如图3，过点A 作直线CD 的垂线AF ，垂足为F ，连接BF ．直接写出BF 的最小值．5、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求a 的值；（2）点D 是该抛物线的顶点，点P （m ，n ）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、CD 、BP ，当∠PBA ＝∠CBD 时，求m 的值；（3）点K 为坐标平面内一点，DK ＝2，点M 为线段BK 的中点，连接AM ，当AM 最大时，求点K 的坐标．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC 、AB ，连接CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，利用cos BC BE B AB BC ==，求出BE ，根据垂径定理求出BD 即可得到答案．【详解】解： 在Rt ABC 中，390,4,tan 4ACB AC A ∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．2、D【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3、B【分析】△为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．由题意以及旋转的性质可得ABD【详解】由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°∴∠ADB=∠ABD∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°∴∠ADB=∠ABD=60°△为等边三角形，即AB= AD =BD=2故ABD则CD=BC-BD=4-2=2故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 ，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．4、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．5、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P （3，﹣2）关于原点O 的对称点P '的坐标是（﹣3，2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．7、B【分析】圆的半径为,r圆心O到直线l的距离为,d当d r=时，直线与圆相切，当d r时，直线与圆相离，<时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.当d r【详解】解：⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，∴⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，∴直线l与⊙O的位置关系为相切，故选B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.8、B【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．9、C【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，故B选项不合题意；C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．10、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∴∠HBN =∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题1、 (-2，3)【分析】根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．【详解】点(2，-3)关于原点的对称点的坐标是(-2，3)．故答案为: （-2，3）．【点睛】本题主要考查点关于原点对称，解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系． 2、40°度【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：BOC ∠与BAC ∠是同弧所对的圆心角与圆周角，80BOC ∠=︒，1402A BOC ∴∠=∠=︒． 故答案为：40︒．【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3、2【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠COH=2∠A=60°，∵弦CD⊥AB于H，∴∠OHC=90°，∴∠OCH=30°，∵OH=1，∴OC=2OH=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理是解题的关键．4、六【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：∵半径与边长相等，∴这个三角形是等边三角形，∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，∴这个正多边形是正六边形故答案为：六．【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．5、4【分析】由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为60 ，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．【详解】∵⊙O 的周长为8π∴⊙O 半径为4∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O∴正六边形ABCDEF 中心角为360606︒=︒ ∴正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF 边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n 边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．三、解答题1、（1）45︒；（21；（3）3π 【分析】（1）如图，过O 作,,OHAC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB 证明,AH BQ 四边形OHEQ 为正方形，可得,EH EQ 证明,AE BE = 可得答案； （2）先求解30,1,3,OAH OH AH 再结合（1）的结论可得答案；（3）如图，连接,,,CD OC OD 先求解30,OCH 再证明,45,CE DE ECD 再求解75,ODC OCD 可得30,COD 再利用弧长公式计算即可.【详解】解：（1）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q 连接,,OA OB,,AH CH BQ DQ,AC BD =,AH BQ CH DQ,AC BD ⊥∴ 四边形OHEQ 为矩形，由勾股定理可得：222222,,OH OA AH OQ OB BQ 而,OA OB =,OH OQ ∴= ∴ 四边形OHEQ 为正方形，,EH EQ,EA EB ∴= 而90,AEB ∠=︒45.ABD ∴∠=︒（2）如图，过O 作,,OH AC OQ BD 垂足分别为,,H Q由（1）得：四边形OHEQ 为正方形，45,,ABD BAC EA EB,EH OHOA ＝2，∠OAB ＝15°， 22130,1,3,2OAH OH AO AH OA OH1,31,HE HO AE3 1.BE（3）如图，连接,,,CD OC OD30,,OAHOA OC 30,OCH,,,ACBD AE BE AC BD ,45,CE DE ECD304575,OCD,OC OD 75,ODC OCD180757530,COD 302.1803DC l【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．【详解】解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；∵AB=AG，BC=CG，∴AC ⊥BG ，∵△ABG 的面积为154102⨯⨯=，∴△ABC 的面积为5，且∠ACB =90°．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3、AM=EN ，理由见解析【分析】根据旋转性质和等边三角形的性质可证得∠ABM =∠EBN ，BM=BN ，AB=BE ，根据全等三角形的判定证明△A BM ≌△EBN 即可得出结论．【详解】解：AM=EN ，理由为：∵△ABE 是等边三角形，∴AB=BE ，∠ABE =60°，即∠EBN =∠ABN =60°，∵线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，∴BM=BN ，∠MBN =60°，即∠ABM +∠ABN =60°，∴∠ABM =∠EBN ，在△A BM 和△EBN 中，AB BE ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△A BM ≌△EBN （SAS ），∴AM=EN ．【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握用全等三角形证明线段相等是解答的关键．4、（1）5（2）证明见解析（3）【分析】(1)过C 作CM ⊥AB 于M ，根据等腰三角形的性质求出CM 和DM ，再根据勾股定理计算即可；(2)连BE ，先证明CAD CBE ≅,即可得到直角三角形ABE ，利用勾股定理证明即可；（3）取AC 中点N ，连接FN 、BN ，根据三角形BFN 中三边关系判断即可．（1）过C 作CM ⊥AB 于M ，∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴142CM AM AB === ∵1AD =∴3DM =∴在Rt CDM 中5CD ==（2）连接BE ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，90DCE ∠=︒，CD CE =∴AB =,90ACD BCE BCD ∠=∠=︒-∠∴()CAD CBE SAS ≅∴45CAD CBE ∠=∠=︒，AD BE =∴90ABE ∠=︒在Rt ABE △中222AE AB BE =+∴222)AE AD =+∴2222AD BC AE +=（3）取AC 中点N ，连接FN 、BN ，∵90ACB ∠=︒，AC BC =，8AB =∴AC BC ==∵AF 垂直CD∴12FN AC ==∵AC 中点N ，∴12CN AC ==∴BN =∵三角形BFN 中FN BN BF BN FN +>>-∴BF >>∴当B 、F 、N 三点共线时BF 最小，最小值为BN FN -=【点睛】本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．5、（1）1-（2）43-（3）K 【分析】（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．（1）223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+令0y =，解得121,3x x =-=令0x =，3y a =-抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -3OB ∴=OB OC =3OC ∴=(0,3)C ∴33a ∴-=解得1a =-（2）如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，2223(1)4y x x x =-++=--+(1,4)D ∴()()3,0,3,0B CCD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==222CD BC BD ∴+=BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒PE AB ⊥90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠BCD BEP ∴∽CD BC PE BE∴=()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，223n m m =-++∴223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-=整理得()()3430m m +-= 解得124,33m m =-=（舍）()P m n ,在第三象限，0m ∴<43m ∴=- （3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,QM ∴是BDK 的中位线112QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，(3,0),(1,4)B D1340(,)22Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，即022k d k d=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM 的解析式为2233y x =+ DK QM ∥设直线DK 的解析式为23y x b =+ (1,4)D243b ∴=+ 解得103b = 则DK 的解析式为21033y x =+ 设点210(,)33K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =()22221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭解得12m m ==m ∴=21033m ∴+=21033+=K ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2022年强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析试卷(无超纲)
沪科版九年级数学下册第24章圆重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（ ）A ．B ．CD ．82、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C．D．3、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点P 的坐标是（）A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°5、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（）A ．.等腰三角形B ．等边三角形C ．.直角三角形D ．.等腰直角三角形7、如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，连接OA ，OB ，AC ，BC ，如果OA ⊥OB ，那么∠C 的度数为（ ）A ．22.5°B ．45°C ．90°D ．67.5°8、将等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，那么n 的最小值是（ ）A ．60B ．90C ．120D ．1809、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--10、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A ．5cmB ．6cmC ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留π）2、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．3、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，若5PB =，则1PP =______．4、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）5、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥OC 于E 点，C 在圆上，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径AO ＝___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB =DE ；（2）若AB =12，BD =5，求AC 长．2、如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将ACD △沿AD 翻折得到AED ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）若20CAD ∠=︒，求CBF ∠的度数；（2）若a CAD ∠=，求CBF ∠的大小；（3）猜想CF ，BF ，AF 之间的数量关系，并证明．3、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点O 为边BC 上一点．以O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与边AB 相切于点D ．（1）尺规作图：画出⊙O ，并标出点D （不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD ，若CD ＝BD ，且AC ＝6．求劣弧CD 的长．4、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）连接CO 并延长交AM 于点N ，若⊙O 的半径为2，∠ANC = 30°，求CD 的长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，115,53222OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒112OE OP ∴==在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥2CD DE ∴==故选A【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．2、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．3、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．故选：B．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．4、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5、A【分析】中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．6、D【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE ＝CF ，旋转角推出∠ECF ＝90°，即可得到△CEF 为等腰直角三角形．【详解】解：∵△CDE 绕点C 逆时针方向旋转90°后能与△CBF 重合，∴∠ECF ＝90°，CE ＝CF ，∴△CEF 是等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．7、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．8、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°． 故选C ．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．9、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．10、D【分析】连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2CD BD AB ===， ∵CD BC =，∴5cm CD BD BC ===，在Rt△ACB 中，由勾股定理可得AC =；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．二、填空题1、23π 【分析】已知扇形的圆心角为60︒，半径为2，代入弧长公式计算．【详解】解：依题意，n =60︒，r =2，∴扇形的弧长=6022==1801803n r πππ⨯︒︒． 故答案为：23π． 【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=180n r π．2、12 【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=； 如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．3、【分析】根据旋转角相等可得1PBP ∠90ABC =∠=︒，进而勾股定理求解即可【详解】 解：四边形ABCD 是正方形90ABC ∴∠=︒将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，∴1PBP ∠90ABC =∠=︒，15PB PB==1PP ∴==故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．432π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5、5【分析】设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OD =r -2，先由垂径定理得到AD =BD =12AB =4，再由勾股定理得到42+（r -2）2=r 2，然后解方程即可．【详解】解：设⊙O 的半径为r ，则OC =OA =r ，OE =OC -CE =r -2，∵OC ⊥AB ，AB =8，∴AE =BE =12AB =4，在Rt △OAE 中，由勾股定理得：42+（r -2）2=r 2，解得：r =5，即⊙O 的半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．三、解答题1、（1）见解析；（2）15 2【分析】（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 【详解】（1）如图，∵DC⊥OA，∴∠1+∠3=90°，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°，∵OA=OB，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中，∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=12BE=3，在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF4=∴sin∠DEF=DFDE=45，∵∠AOE90A A AEC+∠=︒=∠+∠,AEC DEF∠=∠，∴∠AOE=∠DEF，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE=45AEAO=，∵AE=6，∴AO=152.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.2、（1）20°；（2）CBF α∠=；（3）AF = CF +BF ，理由见解析【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得到AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，则∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ，()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠，∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°； （2）同（1）求解即可；（3）如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，先证明△AEF ≌△ACF 得到∠AFE =∠AFC ，然后证明∠AFE =∠AFC =60°，得到∠BFC =120°，即可证明F 、C 、G 三点共线，得到△AFG 是等边三角形，则AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，∴∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ， ∴()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠， ∴∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，EAD CAD α∠=∠=，AC =AE ，∴602BAE BAC EAD CAD α∠=∠-∠-∠=︒- ，AB =AE ， ∴()1180=602ABE AEB BAE α==︒-︒+∠∠∠， ∴CBF ABE ABC α∠=∠-∠=；（3）AF = CF +BF ，理由如下：如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，∴AF =AG ，∠FAG =60°，∠ACG =∠ABF ，BF =CG在△AEF 和△ACF 中，=AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），∴∠AFE =∠AFC ，∵∠CBF +∠BCF +∠BFD +∠CFD =180°，∠CAF +∠CFA +∠ACD +∠CFD =180°，∴∠BFD =∠ACD =60°，∴∠AFE =∠AFC =60°，∴∠BFC =120°，∴∠BAC +∠BFC =180°，∴∠ABF +∠ACF =180°，∴∠ACG +∠ACF =180°，∴F 、C 、G 三点共线，∴△AFG 是等边三角形，∴AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．3、（1）作图见解析；（2【分析】（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；（2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；（2）如图所示，连接CD和OD，由题意，AD为⊙O的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．4、【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴∴AB∵∠AMC=2∠AOC=120°，∴=AC=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5、（1）见解析（2）CD=【分析】（1）由题意易得BC=BD ，∠DAM=12∠DAF ，则有∠CAB=∠DAB ，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；（2）由题意易得CD//AM ，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM是∠DAF的平分线∠DAF∴∠DAM=12∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O的切线（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在R t△OCE中，OC=2∴OE=1，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．。
2022年必考点解析沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析试题(含答案解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知⊙O 的半径为4，5OA =，则点A 在（ ）A ．⊙O 内B ．⊙O 上C ．⊙O 外D ．无法确定2、如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（ ）A ．8B ．C ．D ．3、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（ ）A ．5B ．8C ．9D ．104、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC =130°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．25°B ．80°C ．130°D ．100°5、已知⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切6、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（ ）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40° 7、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（ ）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的138、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为2，则圆形螺帽的半径是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．D ．4cm9、往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cm AB =，则水的最大深度为（ ）A ．36 cmB ．27 cmC ．24 cmD ．15 cm10、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．（I ）求证：ABD ACE △△≌；（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．2、如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）3、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）4、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为CD 边上一点，将ADE 绕点A 旋转至ABE '△，连接EE '，若2DE =，则EE '的长等于______．5、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 作BC 的垂线AD ，垂足为D ，E 为线段DC 上一动点（不与点C 重合），连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，连接BF ，与直线AD 交于点G ．（1）如图，当点E 在线段CD 上时，①依题意补全图形，并直接写出BC 与CF 的位置关系；②求证：点G 为BF 的中点．（2）直接写出AE ，BE ，AG 之间的数量关系．2、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．3、在正方形ABCD 中，过点B 作直线l ，点E 在直线l 上，连接CE ，DE ，其中CE BC =，过点C 作CF DE ⊥于点F ，交直线l 于点H ．（1）当直线l 在如图①的位置时①请直接写出ECH ∠与HCD ∠之间的数量关系______．②请直接写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系______．（2）当直线l 在如图②的位置时，请写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系并证明；（3）已知2AB =，在直线l 旋转过程中当15EBC ∠=︒时，请直接写出EH 的长．4、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，O ，Q 给出如下定义：若OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，我们称点P 是线段OQ 的“潜力点”已知点O （0，0），Q （1，0）（1）在P 1（0，-1），P 2（12，32），P 3（-1，1）中是线段OQ 的“潜力点”是_____________； （2）若点P 在直线y ＝x 上，且为线段OQ 的“潜力点”，求点P 横坐标的取值范围；（3）直线y ＝2x ＋b 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，当线段MN 上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b 的取值范围5、如图，AB BC =，ABC BCE α∠=∠=，点D 是BC 上一点，AD 与BE 相交于点F ，且BFD α∠=．（1）求证：BFD ABD ∽△△； （2）求证：AD BE =；（3）若点D 是BC 中点，连接FC ，求证：FC 平分DFE ∠．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，∴d>r，∴点A在⊙O外，故选：C．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．2、C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接CP，∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，∴∠CPO=90°，∠COP=45°，∴∠PCO=∠COP=45°，∴CP=OP=4，∴OC=，故选C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．3、C【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+r解得=5AB=即10AE AB BE∴=-=9故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4、D【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=130°，∴∠B=50°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5、B【分析】圆的半径为,r圆心O到直线l的距离为,d当d r=时，直线与圆相切，当d r时，直线与圆相离，<时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.当d r【详解】解：⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，∴⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，∴直线l与⊙O的位置关系为相切，故选B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.6、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．7、A【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19n，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，∴原来扇形的面积为2 360n rπ，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19 n，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n rππ=，∴扇形的面积不变．故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．8、D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，由面积公式可求出半径．【详解】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，过O 作OM AB 于,M设半径为r ，即OA =OB =AB =r ，OM =OA •sin∠OAB ，∵圆O 的内接正六边形的面积为cm 2），∴△AOB 的面积为13=436（cm 2）， 即1432AB OM ， 134322r r ，解得r =4，故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．9、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()OB OC cm∴==，在Rt OBD△中，15()OD cm，391524()CD OC OD cm∴=-=-=，即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．二、填空题1、（1）见解析；（2）120°；（3）2【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，∵AB=AC ，∴AB=AC =AD=AE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，α，∠BAE=α+30°，∴∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－α）÷2=90°－12∵四边形ABFE是菱形，α=180°，∴∠BAE+∠ABD=180°，即α+30°+90°－12解得：α=120°；(3)连接AF，∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=α+30°=150°，∠BAE=75°，又∠BAC=30°，∴∠BAF=12∴∠FAC=75°－30°=45°，∵△ABD≌△ACE，α=30°，∴∠FCA=∠ABD=90°－12过F作FG⊥AC于G，设FG=x，在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，∴∠AFG=∠FAG=45°，∴△AGF是等腰直角三角形，∴AG=FG=x，在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，∴CF=2FG=2x，CG==，∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，∴2x=，解得：1x=，∴CF=2x= 2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、27π65-##【分析】设’BA与AC相交于点D，过点D作DE AB⊥，垂足为点E，根据勾股定理逆定理可得ABC为直角三角形，根据三边关系可得1tan2CAB∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB=，在Rt AED中，利用正弦函数可得2BE DE==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA与AC相交于点D，过点D作DE AB⊥，垂足为点E，∵6AB=，BC=，AC=∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形， ∴1tan 2BC CAB AC ∠==， ∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==， ∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABDS AB DE =⨯⨯=， 245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，245936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形， 9927662105ABD ABA CBC S S SS πππ''=-+=-+=-阴影扇形扇形， 故答案为：2765π-． 【点睛】 题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．332π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4、【分析】在正方形ABCD 中，BE ′＝DE ＝2，所以在直角三角形E ′CE 中，E ′C ＝8，CE ＝4，利用勾股定理求得EE ′的长即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，∠C ＝90°，由旋转得，BE ′＝DE ＝2，∴E ′C ＝8，CE ＝4，∴在直角三角形E ′CE 中，EE故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键．5、②③④【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】 解：12,22CD AB CF BC ====， Rt CDF ∴为等腰直角三角形，45CFD ∴∠=︒，当P在F点的左边时，EFP CFD∴∠=︒-∠=︒，180135当P在F点的右边时，∴∠=∠=︒，45EFP CFD故①错误；⊥，过点E作EG BC在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，∠+∠=∠+∠=︒，APB BAP APB EPG90∴∠=∠，BAP EPG∴≌，()Rt ABP Rt PGE AAS∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEFEF∴过点D，不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，EFG∴∠=︒，45即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DFDCE ECF∴∠=∠=︒，45∴为等腰直角三角形，Rt CEF∴=，CE EFCF=，2由勾股定理：222+=，CE EF CFCE∴=故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．三、解答题1、（1）①BC ⊥CF ；证明见详解；②见详解;（2）2AE 2=4AG 2+BE 2．证明见详解．【分析】（1）①如图所示，BC ⊥CF ．根据将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，得出AE =AF ，∠EAF =90°，可证△BAE ≌△CAF （SAS ），得出∠ABE =∠ACF =45°，可得∠ECF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°即可；②根据AD ⊥BC ，BC ⊥CF ．可得AD∥CF ，可证△BDG ∽△BCF ，可得BD BG BC BF =，得出12BG BF =即可； （2）2AE 2=4AG 2+BE 2，延长BA 交CF 延长线于H ，根据等腰三角形性质可得AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD =1452BAC ∠=︒，可证△BAG ∽△BHF ，得出HF =2AG ，再证△AEC ≌△AFH （AAS ），得出EC =FH =2AG ，利用勾股定理得出22222EF AE AF AE =+=，222EF EC CF =+即22224+AE AG BE =即可．【详解】解：（1）①如图所示，BC ⊥CF ．∵将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，∴AE =AF ，∠EAF =90°，∴∠EAC +∠CAF =90°，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴∠BAE +∠EAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，∴∠BAE =∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中，AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAE ≌△CAF （SAS ），∴∠ABE=∠ACF=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴BC⊥CF；②∵AD⊥BC，BC⊥CF．∴AD∥CF，∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，∴△BDG∽△BCF，∴BD BG BC BF=，∵AB AC=，AD⊥BC，∴BD=DC=12 BC，∴12BC BG BC BF=，∴12 BGBF=，∴12BG BF=，∴BG=GF;（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD =1452BAC ∠=︒， ∵BG =GF ，AG∥HF ，∴∠BAG =∠H =45°，∠AGB =∠HFB ，∴△BAG ∽△BHF ， ∴12AG BG HF BF ==， ∴HF =2AG ，∵∠ACE =45°，∴∠ACE =∠H ，∵∠EAC +∠CAF =90°，∠CAF +∠FAH =90°，∴∠EAC =∠FAH ，在△AEC 和△AFH 中，ACE AHF EAC FAH AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△AFH （AAS ），∴EC =FH =2AG ，在Rt△AEF 中，根据勾股定理22222EF AE AF AE =+=，在Rt△ECF 中，222EF EC CF =+即22224+AE AG BE =．【点睛】本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．2、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长． 【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．3、（1）① ECH HCD ∠=∠；②BH EH +；（2）BH EH -=；证明见解析；（3）EH【分析】（1）①ECH HCD ∠=∠，根据CE =BC ，四边形ABCD 为正方形，可得BC =CD =CE ，根据CF ⊥DE ，得出CF 平分∠ECD 即可；②BH EH +=，过点C 作CG ⊥BE 于G ，根据BC =EC ，得出∠ECG =∠BCG =12BCE ∠，根据∠ECH =∠HCD =12DCE ∠，可得CG =HG ，根据勾股定理在Rt△GHC 中，2222+2CG GH HC GH ==，根据GE =()1122BE BH EH =-，得出()222HC BH EH =+即可；（2）BH EH -，过点C 作CM CH ⊥交BE 于点M ，得出90MCH BCD ∠=∠=︒，先证()ECH BCM ASA ∆∆≌得出EH BM =，CM CH =可证MCH △是等腰直角三角形，可得MH 即可；（3）EH =15EBC ∠=︒，分两种情况，当∠ABE =90°-15°=75°时，BC =CE ，先证△CDE 为等边三角形，可求∠FEH =∠DEC =∠CEB =60°-15°=45°，根据CF ⊥DE ，得出DF =EF =1，∠FHE =180°-∠HFE -∠FEH =45°，根据勾股定理HE==∠ABE =90°+15°=105°，可得BC =CE 得出∠CBE =∠CEB =15°，可求∠FCE =1602DCE ∠=︒，∠FEC =180°-∠CFE -∠FCE =30°，根据30°直角三角形先证得出CF =112122CE =⨯=，根据勾股定理FH =FE ，得出EH【详解】解：（1）①ECH HCD ∠=∠∵CE =BC ，四边形ABCD 为正方形，∴BC =CD =CE ，∵CF ⊥DE ，∴CF 平分∠ECD ，∴∠ECH =∠HCD ，故答案为：∠ECH =∠HCD ；②BH EH +=，过点C 作CG ⊥BE 于G ，∵BC =EC ，∴∠ECG =∠BCG =12BCE ∠， ∵∠ECH =∠HCD =12DCE ∠， ∴∠GCH =∠ECG +∠ECF =12BCE ∠+()1119045222DCE BCE DCE ∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠GHC =180°-∠HGC +∠GCH =180°-90°-45°=45°，∴CG =HG ，在Rt △GHC 中，∴2222+2CG GH HC GH ==，∵GE =()1122BE BH EH =-， ∴GH =GE +EH =()()1122BH EH EH BH EH -+=+， ∴()2221222HC GH BH EH ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222HC BH EH =+，∴BH EH +=，故答案是：BH EH +=；（2）BH EH -， 证明：过点C 作CM CH ⊥交BE 于点M ，则90MCH BCD ∠=∠=︒， ∴90MCH HCD MCH BCM ∠+∠=∠+∠=︒⁰， ∴HCD BCM ∠=∠，∵CE BC CD ==，CF DE ⊥， ∴HCD ECH ∠=∠，HEC MBC ∠=∠， ∴ECH BCM ∠=∠，∴()ECH BCM ASA ∆∆≌，∴EH BM =，CM CH =，∴MCH △是等腰直角三角形，∴MH =，∵BH BM MH -=，∴BH EH -=，（3）EH =∵15EBC ∠=︒，分两种情况，当∠ABE =90°-15°=75°时，∵BC =CE ，∴∠CBE =∠CEB =15°，∴∠BCE =180°-∠CBE -∠CEB ==180°-15°-15°=150°，∴∠DCE =∠BCE -∠BCD =150°=90°=60°，∵CE =CD ，∴△CDE 为等边三角形，∴DE =CD =AB =2，∠DEC =60°，∴∠FEH =∠DEC =∠CEB =60°-15°=45°，∵CF ⊥DE ，∴DF =EF =1，∠FHE =180°-∠HFE -∠FEH =45°，∴EF =HF =1，∴HE ==当∠ABE=90°+15°=105°，∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，∵CE=BC=CD，CH⊥DE，∴∠FCE=1602DCE∠=︒，∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，∴CF=1121 22CE=⨯=，∴EF=∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，∴FH=FE，∴EH=∴EH=．【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差，掌握正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差是解题关键．4、（1）3P ；（2）p x ≤<（3）1b <≤或1 1.b -<<- 【分析】（1）分别计算出OQ 、PO 和PQ 的长度，比较即可得出答案；（2）先判断点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，结合PO ≤2，点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P 在如图所示的线段AB 上（不包含点B ），过B 作BC y ⊥轴，过A 作AD y ⊥轴，垂足分别为,,C D 再根据图形的性质求解,,BC AD 从而可得答案；（3）由（2）得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当0b >时，当0b ≤时，分别画出两种情况下的临界直线2,y x b =+ 再根据临界直线经过的特殊点求解b 的值，再确定范围即可.【详解】解：（1） O （0，0），Q （1，0），1,OQ P 1（0，-1），P 2（12，32），P 3（-1，1）22111,112,OP PQ 不满足OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，所以1P 不是线段OQ 的“潜力点”， 同理：22222213101310,10,222222OP P Q 所以不满足OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，所以2P 不是线段OQ 的“潜力点”， 同理：222233112,11105,OP PQ125,22,所以满足：OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，所以3P 是线段OQ 的“潜力点”，故答案为：P 3（2）∵点P 为线段OQ 的“潜力点”，∴OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，∵OQ ＜PO ，∴点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外∵PO ＜PQ ，∴点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，而OQ 的垂直平分线为：1,2x ∵PO ≤2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内又∵点P 在直线y ＝x 上，∴点P 在如图所示的线段AB 上（不包含点B ）过B 作BC y ⊥轴，过A 作AD y ⊥轴，垂足分别为,,C D由题意可知△BOC 和 △AOD 是等腰三角形，1,2,OB OA ∴2sin 45,sin 452,2BC OB AD OA∴x p ＜2 （3）由（2）得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧当0b >时，2y x b =+过10,1N 时，1,b ∴= 即函数解析式为：21,y x =+ 此时11,0,2M 则111tan ,2M N O当2y x b =+与半径为2的圆相切于S 时，则90,NSO由11,MN M N ∥111tan tan ,2SO SNO M N O SN 而2,SO 224,2425,SN ON125,b当0b ≤时，如图，同理可得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，同理：当2y x b =+过10,1,N 则1,b =- 直线为21,y x11,0,2M 1M 在直线12x =上， 此时221115,2M K OK OM 当2y x b =+过115,22K 时， 则151+,2b 151,2b所以此时：1 1.b -<<-综上：b 的范围为：1＜b ≤1-＜b ＜-1 【点睛】本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.5、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析（1）在BDF 和ABD 中，=BFD ABD α∠=∠，BDF ADB ∠=∠，故可证明三角形相似．（2）由ABD BCE ≌得出AD BE =．（3）法一：由题意知BD CD =，由BFD ABD ∽得BD FD AD BD=，有22BD DF DA CD =⋅=，所以可得CD DF AD CD=，又因为ADC CDF ∠=∠可得CDF ADC ∽，DFC DCA ∠=∠；由于1802BAC BCA DCA DFC α︒-∠=∠==∠=∠，180180EFC 18022ααα︒-︒-∠=︒--=，进而说明DFC EFC ∠=∠，得出FC 平分DFE ∠．法二：通过BFD BCE α∠=∠=得出F 、D 、C 、E 四点共圆，由CD BD CE ==得DFC EFC ∠=∠，从而得出FC 平分DFE ∠．【详解】解：（1）证明在BDF 和ABD 中BFD ABD BDF ADB DBF DAB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ BDF ABD ∽．（2）证明：在ABD 和BCE 中DAB EBC AB BCABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD BCE ∴≌ ()ASAAD BE ∴=．（3）证明：BFD ABD ∽2BD DF DA ∴=⋅ 又D 是BC 中点2CD DF DA ∴=⋅CDF ADC ∴∠=∠CDF ADC ∴∽DFC DCA ∴∠=∠AB AC =，ABC α∠=1802BAC BCA α︒-∴∠=∠= 1802DFC DCA BCA α︒-∴∠=∠=∠= 180180EFC 18022ααα︒-︒-∴∠=︒--= DFC EFC ∴∠=∠FC ∴平分DFE ∠．法二：BFD BCE α∠=∠=∴F 、D 、C 、E 四点共圆 又D 是BC 点，CD BD CE ∴==DFC EFC ∴∠=∠FC ∴平分DFE ∠．【点睛】本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．。
2022年最新强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆专题攻克试卷(含答案解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--4、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为3+BP存在最小值为3；④点P运动的路径长为2π．其中，正确的（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④5、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．66、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对7、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80°B．70°C．60°D．50°8、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为2，则圆形螺帽的半径是（）A．1cm B．2cm C．D．4cm9、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（）A．10 B．C．D．12，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位10、在△ABC中，CA CB置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．2、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cm π，则这条弧的半径为________．3、如图，以面积为20cm 2的Rt △ABC 的斜边AB 为直径作⊙O ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，若CD AB =AC ＋BC ＝_____．4、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O （纸片），其半径为r ．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O 的面积．作法：①如图1，取⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ；②如图2，以点A 为圆心，OA 为半径画弧交直线l 于点C ；③将纸片⊙O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处；④取CB '的中点M ，以点M 为圆心，MC 为半径画半圆，交射线BA 于点E ；⑤以AE 为边作正方形AEFG ．正方形AEFG 即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME △中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r 的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S =．5、如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，AB ＝10，BC ＝12，D 是BC 上一点，CD ＝5，则AD 的长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在等边ABC 中，将线段AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段AD ．（1）若线段DA 的延长线与线段．．BC 相交于点E （不与点B ，C 重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD ，交CA 的延长线于点F ．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE ，AF ，CE 之间的数量关系，并证明．2、如图，AB 是⊙O 的直径，点D ，E 在⊙O 上，四边形BDEO 是平行四边形，过点D 作DC AE ⊥交AE 的延长线于点C ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若9AC =，求阴影部分的面积．3、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．4、如图1，点O 为直线AB 上一点，将两个含60°角的三角板MON 和三角板OPQ 如图摆放，使三角板的一条直角边OM 、OP 在直线AB 上，其中60OMN POQ ∠=∠=︒．（1）将图1中的三角板OPQ 绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP 在MON ∠的内部且平分MON ∠，此时三角板OPQ 旋转的角度为______度；（2）三角板OPQ 在绕点O 按逆时针方向旋转时，若OP 在MON ∠的内部．试探究MOP ∠与NOQ ∠之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）如图3，将图1中的三角板MON 绕点O 以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ 绕点O 以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB 绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB 记为OE ，射线OC 平分MON ∠，射线OD 平分POQ ∠，当射线OC 、OD 重合时，射线OE 改为绕点O 以原速按顺时针方向旋转，在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，直接写出旋转时间t 的值．5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC= 30°，求CD的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、B【分析】由题意依据每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.【详解】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度α 360660︒=÷=.故选：B.【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．3、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．4、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE=CP存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD =CE=Rt△BPC 中，BP 最小3==可判断③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，AB =AC =6，∠BAC =90°，BP =CO =AO=1122BC ==⨯，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==，可求∠ACE =30°，根据圆周角定理得出∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==，可得∠ABD =30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD =60°，点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，L PAP '12032180ππ⨯==可判断④点P 运动的路径长为2π正确即可． 【详解】解：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．∴∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯， ∴∠DAB +∠BAE =90°，∠BAE +∠EAC =90°，∴∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），故①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠EC A，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE===，∴CP最大=PE+EC=3+故②CP存在最大值为3+∵△AEC ≌△ADB ，∴BD =CE =在Rt△BPC 中，BP 最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=， 当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==， ∴∠ACE =30°，∴∠AOP =2∠ACE =60°， 当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==， ∴∠ABD =30°，∴∠AOP′=2∠ABD =60°，∴点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，∵∠POP =∠POA +∠AOP ′=60°+60°=120°，∴L PAP '12032180ππ⨯==． 故④点P 运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B ．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．5、B【分析】由切线的性质可推出OA AP ⊥，OB BP ⊥．再根据直角三角形全等的判定条件“HL ”，即可证明OAP OBP ≅，即得出4PB PA ==．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴在Rt OAP △和Rt OBP 中，OA OB OP OP=⎧⎨=⎩， ∴()OAP OBP HL ≅，∴4PB PA ==．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．6、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C ．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．7、A【分析】根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，∴∠ADC =∠DAC ，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∴∠DAC =50°，∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =80°故选A ．【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．8、D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，由面积公式可求出半径．【详解】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，过O 作OM AB ⊥于,M设半径为r ，即OA =OB =AB =r ，OM =OA •sin∠OAB ，∵圆O 的内接正六边形的面积为cm 2），∴△AOB 的面积为13=436（cm 2）， 即1432AB OM ，1343r r，22解得r=4，故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．9、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．10、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切线，进而可得⊙C 与AB 的位置关系【详解】解：连接CO ,CA CB =，点O 为AB 中点．CO AB ∴⊥CO 为⊙C 的半径，AB ∴是C 的切线，∴⊙C 与AB 的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．二、填空题1、12 【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=； 如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键． 2、9cm【分析】 由弧长公式180n r l π=即可求得弧的半径． 【详解】 ∵180n r l π= ∴18018069(cm)120l r n πππ⨯=== 故答案为：9cm【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．3、##【分析】连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，先根据圆周角定理和圆的性质可得,90AB CE CDE =∠=︒，再根据特殊角的三角函数值可得30DCE ∠=︒，从而可得15BAC ACO ∠=∠=︒，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，从而可得,30AF BF BFC =∠=︒，然后在Rt BCF 中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得2,BF BC CF ==，设cm(0)BC x x =>，从而可得(2cm AC x =，利用直角三角形的面积公式可求出x 的值，由此即可得．【详解】解：如图，连接CO ，延长交O 于点E ，连接DE ，,AB CE 都是O 的直径，,90AB CE CDE ∴=∠=︒， 32CD AB =CD CE ∴=在Rt CDE △中，cos DCE CD CE ∠== 30DCE ∴∠=︒，CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒，45ACD ∴∠=︒，15ACO ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒，OA OC =，15BAC ACO ∴∠=∠=︒，如图，作15ABF BAC ∠=∠=︒，交AC 于点F ，,30AF BF BFC ABF BAC ∴=∠=∠+∠=︒，∴在Rt BCF 中，2,BF BC CF ==，(2AC AF CF BF CF BC ∴=+=+=+，设cm(0)BC x x =>，则(2cm AC x =，1202Rt ABC S AC BC =⋅=， 1(2202x x ∴⋅=，解得x =0x =-（不符题意，舍去），则(2(3AC BC x x +=++==，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．4、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12rπ+，()12rπ-；（3） 2r π【分析】（1）根据切线的定义判断即可．（2）由CB '=AC +AB '，2CB MC '=计算即可；根据MA MC AC =-计算即可． （3）根据勾股定理，得2AE 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．【详解】解：（1）∵⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ，∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）根据题意，得AC =r ，AB '=22πr =πr ， ∴CB '=AC +AB '=r +πr ， ∴2CB MC '==()12r π+； ∵MA MC AC =-，∴MA =()12rπ+-r =()12rπ-，故答案为：()12rπ+，()12rπ-；（3）如图，连接ME ，根据勾股定理，得22222AE ME MA MC MA =-=-=()()2211[][]22rrπ+π--=2r π；故答案为：2rπ．【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．5、3【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．【详解】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，∵AB＝AC， AB＝10，∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，∵AE⊥BC，BC=12，∴BE=CE=6，∴8AE===，∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE∽△CDF，∴AB BE AE CD DF CF==， ∵AB =10，CD =5，BE =6，AE =8， ∴10685DF CF==， 解得：DF =3，CF =4，在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，AC =10，CF=4，则AF =∴AD=DF+AF=3＋故答案为：3＋【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．三、解答题1、（1）120180α︒<<︒；（2）①见解析；②AE =AF +CE ，证明见解析．【分析】（1）根据“线段DA 的延长线与线段BC 相交于点E ”可求解；（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE 上截取AH =AF ，先证△AFD ≌△AHC ，再证∠CHE =∠HCE ，即可得出结果．（1）如图：AD 只能在锐角∠EAF 内旋转符合题意故α的取值范围为：120180α︒<<︒；（2）补全图形如下：（3）AE =AF +CE ，证明：在AE 上截取AH =AF ，由旋转可得：AB =AD ，∴∠D =∠ABF ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC=∠ACB =60°，∵∠DAF =∠CAH ，∴△AFD ≌△AHC ，∴∠AFD =∠AHC ，∠D =∠ACH ，∴∠AFB =∠CHE ，∵∠AFB +∠ABF =∠ACH +∠HCE =60°，∴∠CHE +∠D =∠D +∠HCE =60°，∴∠CHE =∠HCE ，∴CE =HE ，∴AE =AH +HE =AF +CE ．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．2、（1）见详解；（2）6S π阴影 【分析】（1）连接OD ，由题意易得//,OE BD OE BD OD OB ===，则有△ODB 是等边三角形，然后可得△AEO 也为等边三角形，进而可得OD ∥AC ，最后问题可求证；（2）由（1）易得AE =ED ，∠CED =∠OBD =60°，然后可得圆O 的半径，进而可得扇形OED 和△OED 的面积，则有弓形ED 的面积，最后问题可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：∵四边形BDEO 是平行四边形，∴//,OE BD OE BD OD OB ===，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =∠BOD =60°，∴∠AOE =∠OBD =60°，∵OE =OA ，∴△AEO 也为等边三角形，∴∠EAO =∠DOB =60°，∴AE ∥OD ，∴∠ODC +∠C =180°，∵CD ⊥AE ，∴∠C =90°，∴∠ODC =90°，∵OD 是圆O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1）得∠EAO =∠AOE =∠OBD =∠BOD =60°，ED ∥AB ，∴∠EAO =∠CED =60°，∵∠AOE +∠EOD +∠BOD =180°，∴∠EOD =60°，∴△DEO 为等边三角形，∴ED =OE =AE ，∵CD ⊥AE ，∠CED =60°，∴∠CDE =30°，∴2ED CE AE ==，∵9AC =，∴3,6CE AE OE ED ====，∴CD ==设△OED 的高为h ，∴sin 60h OE =⋅︒=∴21=63602OEDED OED n r S S S ED h ππ-=-⋅=-弓形扇形∴(1=662CED ED S S S CE CD ππ-=⋅--=阴影弓形． 【点睛】本题主要考查扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形是解题的关键．3、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长． 【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．4、（1）135°（2）∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析（3）2273s或1363s．【分析】（1）先根据OP平分MON∠得到∠PON，然后求出∠BOP即可；（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当13COE∠=︒时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．（1）解：∵OP平分∠MON∴∠PON=12∠MON=45°∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．故答案是135°（2）解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：∵∠MON=90°，∠POQ=60°∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．（3）解：∵射线OC 平分MON ∠，射线OD 平分POQ ∠∴∠NOC =45°，∠POD =30°∴选择前OC 与OD 的夹角为∠COD =∠NOC +∠NOP +∠POD =165°∴OC 与OD 第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB 旋转的角度为33×5°=165° ∴此时OC 与OE 的夹角165-（180-45-2×33）=96°OC 与OD 第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒设在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，需要旋转时间为t①当OE 在OC 的左侧时，有（5°-2°）t =96°-13°，解得：t =2273s ②当OE 在OC 的右侧时，有（5°-2°）t =96°+13°，解得：t =1363s 然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象∵C 、D 第二次相遇需要时间72秒∴在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，、旋转时间t 的值为2273s 或1363s ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．5、（1）见解析（2）CD=【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=1∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求2证；（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM是∠DAF的平分线∴∠DAM=1∠DAF2∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O的切线（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在R t△OCE中，OC=2∴OE=1，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．。
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