2016-2017年广东省实验中学高一(上)数学期末试卷及答案PDF
2015-2016学年广东省实验中学高一上学期期末考试数学
2015-2016学年广东省实验中学高一上学期期末考试数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 A. 4 cm2B. 2 cm2C. 4π cm2D. 1 cm22. 设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，则 A. P，A，C三点共线B. P，A，B三点共线C. P，B，C三点共线D. 以上均不正确3. 角α的终边上有一点P m,5，且cosα=m13，m≠0，则sinα= A. 513B. −513C. 1213或−1213D. 513或−5134. 函数f x=−tan2x−tan x1+tan x的奇偶性为 A. 既奇又偶函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇函数5. 已知θ为第一象限角，设a=3,−sinθ ，b=cosθ,3，且a⊥b，则θ一定为 A. π3+kπk∈Z B. π6+2kπk∈ZC. π3+2kπk∈Z D. π6+kπk∈Z6. 下列结论中，一定正确的有 个①AB−AC=BC；② a⋅b⋅c=a⋅ b⋅c；③a⋅c=b⋅c，则a=b；④若e1，e2是平面内的一组基底，对于平面内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个7. 若cosθ<0，且cosθ−sinθ=θ是 A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角8. 已知sinα=−45，π<α<3π2，则cosα2的值为 A. 55B. −55C. 255D. −2559. 已知点O是△ABC所在平面内一点，且OC 2+AB2=OB2+AC2=OA2+BC2，则点O是△ABC的 A. 垂心B. 外心C. 内心D. 重心10. 函数y=log12sin2x+π4的单调递减区间为 A. −π4+kπ,kπ ，k∈Z B. π8+kπ,3π8+kπ ，k∈ZC. −3π8+kπ,π8+kπ ，k∈Z D. −π8+kπ,π8+kπ ，k∈Z二、填空题（共5小题；共25分） 11. 1+tanπ121−tanπ12的值为______．12. 如图，若 AB =a ，AC =b ，BD =3DC ，则向量 AD 可用 a ，b表示为______．13. 已知 sin α+β =12，sin α−β =13，则 tan αtan β= ______．14. 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：a ⋅b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影b cos ⟨a,b ⟩ 的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是正六边形内的一点（含边界），则 AP⋅AB 的取值范围是______．15. 已知函数 f x =cos2x + x ，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为 f x =2cos 2x −π3 ；②当 x =kπ+π6 k ∈Z 时，函数取得最大值为 2；③若 x 1≠x 2，且 f x 1 =f x 2 =0，则 x 1−x 2=kπ2（ k ∈Z 且 k ≠0 ）；④函数 f x 的图象关于直线 x =2π3对称．其中正确命题的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分） 16. 已知函数 f x =cos x−3π2 ⋅sin 5π2+x cos −x−π，g x = 2x −π4．（1）化简 f x ；（2）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数 g x 一个周期的图象； （3）函数 g x 的图象可以由函数 f x 的图象经过怎样的变换得到?17. 已知 a =1， b = 3．（1）若 a ，b 的夹角为 π6，求 a −b ； （2）求 a +b 及 a ⋅b 的取值范围； （3）若 a −3b ⋅ 2a +b =12，求 a 与 b 的夹角 θ .18. 已知 tan α=−13，α∈ π2,π ．（1）化简sin 2α−cos 2α1+cos 2α，并求值．（2）若 β∈ π2,π ，且 cos α+β =−1213，求 sin α+β 及 cos β 的值．19. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2:005:008:0011:0014:0017:0020:0023:00水深米7.5 5.0 2.5 5.07.5 5.0 2.5 5.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f t=A sinωt+φ+b A,ω>0,φ<π2来描述．（1）根据以上数据，求出函数f t=A sinωt+φ+b的表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内\（\left（0：00\thicksim24：00\right）\）何时能进入港口然后离开港口?每次在港口能停留多久?20. 已知向量a=sin x,1，b=4,−2，函数f x=a⋅b，x∈R．（1）求函数f x的解析式；（2）设gθ=f2θ−π4，当θ∈π8,3π4时，gθ−k=0有解，求实数k的取值范围；（3）设 x=f xa2，求函数 x的值域．21. 已知函数f x对任意实数x均有f x=kf x+2，其中k为常数.（1）若k=−1，函数f x是否具有周期性?若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知f x为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f x=12x，则方程f x=−12在区间0,2016上有多少个解?（写出结论，不需过程）（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f x=x x−2，求f x在−3,3上的解析式，并求f x的最小值与最大值．答案第一部分1. D2. A3. A4. C5. B6. D7. C8. B9. A 10. D第二部分11. 312. 14a+34b13. 514. −12,3 215. ①②③④第三部分16. （1）f x=−sin x⋅cos x−cos x=sin x．（2）列表、画图如下：2x−πππ3π2πx π83π85π87π89π8f x020− 20（3）把f x的图象向右平移π4个单位，再把横坐标变为原来的12倍，最后把纵坐标变为原来的2倍；或先把横坐标变为原来的12倍，再向右平移π8个单位，最后把纵坐标变为原来的2倍．17. （1）因为a，b的夹角为π6，所以a⋅b=a⋅b⋅cosπ6=32，所以a−b 2= a−b2=a2+b2−2a⋅b=1+3−3=1，所以a−b=1．（2）由a−b≤a+b≤a+b得a+b∈3−1,3+1，由a⋅b≤a⋅b得a⋅b∈0,3．（3） a−3b⋅2a+b=12，所以2a2−5a⋅b−3b2=12．又a=1，b=3，所以a⋅b=−32．所以cosθ=a ⋅ba b =−32．因为θ∈0,π，所以θ=5π6．18. （1）sin2α−cos2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2α2cos2α=tanα−12=−56．（2）因为α∈π2,π ，β∈π2,π ，所以α+β∈π,2π．又cosα+β=−1213，所以α+β∈ π,3π2．所以sinα+β=− 1−cos2α+β=−513，由tanα=−13，α∈π2,π ，得sinα=1010,cosα=−31010．cosβ=cosα+β−α=cosα+βcosα+sinα+βsinα= −12⋅ −310−5⋅10=3110130.19. （1）由表格知f max=7.5，f min=2.5，A=f max−f min2=52，b=f max+f min2=5．T=12，所以ω=2πT =π6，即f t=52sinπ6t+φ +5．当t=2时，π6⋅2+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，又φ<π2，所以φ=π6．所以f t=52sinπ6t+π6+5．（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当时f t≥6.25就可以进港.令52sinπ6t+π6+5≥6.25，得sinπ6t+π6≥12．所以π6+2kπ≤π6t+π6≤5π6+2kπ，解得12k≤t≤4+12k，又t∈0,24，故k=0时，t∈0,4；k=1时，t∈12,16，即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．20. （1）f x=a⋅b=4sin x−2．（2）gθ=f2θ−π4=4sin2θ−π4−2．π8≤θ≤3π4，所以π4≤2θ≤3π2，所以0≤2θ−π4≤5π4，所以−22≤sin2θ−π4≤1，所以−22−2≤4sin2θ−π4−2≤2．gθ−k=0有解，即k=gθ有解，故k∈ −22−2,2．（3） x=a ⋅ba2=4sin x−21+sin2x，x∈R．解法一：设 t =4sin x −2，则 sin x =t +24，t ∈ −6,2 ．x =k t =16t t 2+4t +20．当 t =0 时，k t =0；当 t ≠0 时，k t =16t +20t+4，其中 t +20t +4 在 −6,−2 5 递增，在 −2 5,0 递减，在 0,2 递减． 所以 t +20t+4∈ −∞,4−4 5 ∪ 16,+∞ ，从而 x ∈ −1− 5,1 ． 解法二：设 y =4sin x−21+sin 2x，得 y sin 2x −4sin x +y +2=0，令 f t =yt 2−4t +y +2，其中 t =sin x ∈ −1,1 ． 当 y =0 时，t =12∈ −1,1 ，即有解．当 y ≠0 时，由 t ∈ −1,1 时 f t =0 有解，得①f −1 f 1 ≤0，或② y >0,f −1 ≥0,f 1 ≥0, 2y ≤1,16−4y y +2 ≥0，或③y <0,f −1 ≤0,f 1 ≤0, 2y ≤1,16−4y y +2 ≥0.解①得 −3≤y ≤1，解②，无解，解③得 −1− 5≤y ≤−3，从而 x ∈ −1− 5,1 ． 21. （1） 因为 f x +2 =−f x ，所以 f x +4 =−f x +2 =− −f x =f x ， 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数．（2） f x =−12 在 0,2016 上共有 504 个解．（3） 若 x ∈ 0,2 ，则 x +2∈ 2,4 ，f x +2 =1kf x =1kx x −2 =1kx +2 −2 x +2 −4 ，所以当 x ∈ 2,4 时，f x =1k x −2 x −4 ．若 x ∈ −2,0 ，则 x +2∈ 0,2 ，所以 f x +2 = x +2 x +2 −2 =x x +2 ． 所以 f x =kf x +2 =kx x +2 ． 若 x ∈ −4,−2 ，则 x +2∈ −2,0 ，所以 f x +2 =k x +2 x +2 +2 =k x +2 x +4 ．所以 f x =kf x +2 =k 2 x +2 x +4 ，因为 2,3 ⊂ 2,4 ， −3,−2 ⊂ −4,−2 ，所以当 x ∈ −3,3 时，f x = k 2 x +2 x +4 ,x ∈ −3,−2,kx x +2 ,x ∈ −2,0 ,x x −2 ,x ∈ 0,2 ,1kx −2 x −4 ,x ∈ 2,3 . 可知，当 x ∈ −3,3 时，最大值和最小值必在 x =−3 或 x =−1 或 x =1 或 x =3 处取得（可画图分析）．因为 f −3 =−k 2，f −1 =−k ，f 1 =−1，f 3 =−1k ， 所以当 −1<k <0 时，y max =f 3 =−1k ，y min =f 1 =−1； 当 k =−1 时，y max =f −1 =f 3 =1，y min =f −3 =f 1 =−1；当k<−1时，y max=f−1=−k，y min=f−3=−k2．。
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2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n?γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．∴函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（，1）∪（1，+∞）．故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n?γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→ａ时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）= 1，并求出=．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ＝==，sinθ＝=，tanθ＝=．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．∴S△AOB=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=018．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）∴V P﹣ABCD=S?ABCD?PC=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO?平面PAD，PA?平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP?平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG?平面A1DE，BF?平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H?面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，?．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k?2x≥0化为2x+﹣2≥k?2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。
广东省实验中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
8.若 ， ， ， 均为锐角，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
9.下列给出的关系式中正确的是
A. B.若 ∥ , ∥ ,则 ∥
C. ∥ ⇒ 在 上的投影为| |D. ( )•( )=0
10.幂函数y＝xa，当a取不同 正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么 ＝（）
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
3.已知 ，则 等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为tanθ=3，
∴ =
故选B．
4.如图，若 ， ， ， 是线段 靠近点 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并其对称轴;
(3)若方程f(x)=m(m>0)在 时,有两个不同实数根x1,x2,求实数m的取值范围,并求出x1+x2的值.
20.已知幂函数 在 上单调递增，又函数 .
（1）求实数 的值，并说明函数 的单调性；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21.如图一块长方形区域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为 ,设∠AOE= ,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.
(1)当0≤ 时,写出S关于 的函数表达式;
广东省实验中学2017届高一下学期期末考试(数学答案PDF版)
一、选择题： 1.B 2.C 3. C 4.C 5.D 6. C 7. C 8.B 9.A 10.C 二、填空题： 13. 2 三、解答题： 17． （12 分） 14.－3. 15. 11.C 12.D
73
16.
1 —
1 233 x ,......1分 2 2 得x x 6 0 3 x 2,.........3分 解： 2x
m 2
) 2m 1
方法一、 S m 1 1 3 (2m 1) ( m 1) 因为 S m 1 4bm 所以 2 m 1 ( m 1)2 令 dm
2
d m 1 2m 2 2m 1 ，则 1 ，得 m 2,3 dm (m 1) 2 (m 1) 2
故 A B ( 1, 2) .............................10 方程 x ax b 0 的两个根为 1 和 2 ，则 a 1, b 2
2
a b 3 .......................................12 分
2 即 a2 n－an－1－4an－4an－1＝0，
也即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∵an>0，∴an－an－1＝4， 即{an}是首项为 2，公差为 4 的等差数列， ∴an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 验证得 n＝1 时亦满足。----------------------------7 4 4 1 1 1 － 1 . (3)bn＝ ＝ ＝ ＝2 2n－1 2n＋1 an·an＋1 4n－24n＋2 2n－12n＋1 1 1 1 1 1 1 － ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝21－3＋3－5＋…＋ 2n－1 2n＋1 1 1 1 1 1 ＝ － ＝21－ < . 2n＋1 2 4n＋2 2 m ∵Tn<20 对所有 n∈N*都成立， m 1 ∴20≥2，即 m≥10，故 m 的最小值是 10.......................................12
2017-2018学年广东省实验中学高一数学上期末考试试题
广东实验中学2017-2018 学年（上）高一级模块考试数学
第I 卷（共60 分）
项是符合题目要求的.
A . -1
则AB 与CD 所成角的度数为（ ）
5.直线半-三=1在y 轴上的截距是（
a b
2
B . -b
6.已知〉，'■是两个不同的平面，给出下列四个条件:
①存在一条直线a ，使得
④存在一个平面 ，使得 _ :•,_[. 、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有
1.已知集合M 二「X .二Z | x(x _3) _0?，
x | In x ：：： 1 ?，贝U M I A . 「1,2?
B . ：2,3>
C . ：0,1, 2；
D . M,2, 3; 2.直线3x3y
=0 的倾斜角是（ A . 30
B . 60
C . 120
D . 150 1 1 6 -=■
3.计算(一)2
9 Io g 1 4 -ig 5 •、（lg 2）2 -lg 4 1，其结果是（ ） 4.已知四面体ABCD 中,
E ,
F 分别是 AC , 的中点，若 AB =6 , CD =8 , EF =5 ,
A . 30
B . 45 60 D . 90
D . _b ②存在两条平行直线 a ,
b ，使得 all], a / 厂：，b / r-, b / <■; ③存在两条异面直线 a ,
b ，使得 a - y. , b ~ I-' , a / / \■- , b / / ：•；
ff。
广东省实验中学高一上学期期末考试数学试题
广东实验中学2017-2018学年（上）高一级模块考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(3)0M x Z x x =∈-≤，{}|ln 1N x x =<，则M N =I （ ） A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．{}1,2,32.直线310x +=的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3.计算311log 2416()3lg59-+-+ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．34.已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若6AB =，8CD =，5EF =，则AB 与CD 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5.直线221x ya b -=在y 轴上的截距是（ ） A ．||b B ．2b -C ．2bD ．b ±6.已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线a ，使得a α⊥，a β⊥；②存在两条平行直线a ，b ，使得//a α，//a β，//b α，//b β； ③存在两条异面直线a ，b ，使得a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在一个平面γ，使得γα⊥，γβ⊥． 其中可以推出//αβ的条件个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图''''A B C D （如图所示），其中''2A D =，''4B C =，''1A B =，则直角梯形DC 边的长度是（ ）A B ．C ．D 8.经过点(2,1)的直线l 到(1,1)A ，(3,5)B 两点的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y --=B ．2x =C ．230x y --=或2x =D ．都不对9.已知函数1()2xy =的图象与函数log a y x =（0a >，1a ≠）的图象交于点00(,)P x y ，如果02x ≥，那么a 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．[8,)+∞D ．[16,)+∞10.矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．1253πB ．1256πC ．1259πD ．12512π11.若关于x 的方程2log 1mx m1=-在区间(0,1)上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞+∞UD ．(,0)(1,)-∞+∞U12.1111ABCD A BC D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线2(1)20x a y +-+=与直线320ax y --=平行，则a = ．14.如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为为 ．15.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．16.已知函数2log (1)1,1,()|1|,,x x k f x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-≤≤⎩若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点(3,2)A ，且与l 垂直的直线的方程；（2）求与l 平行，且到点(3,0)P18.已知函数1()f x x x=-． （1）讨论并证明函数()f x 在区间(0,)+∞的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，求实数m 的取值范围．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，三角形ABC 为等腰直角三角形，AC BC ==11AA =，点D 是AB 的中点．（1）求证：1//AC 平面1CDB ；（2）二面角1B CD B --的平面角的大小．20. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求直线CD 与平面PCE 所成角的正弦值． 21.如图，甲、乙是边长为4a 的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论． 22.已知二次函数()f x 满足：(0)(4)4f f ==，且该函数的最小值为1． （1）求此二次函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 的定义域为[],A m n =（其中0m n <<），问是否存在这样的两个实数m ，n ，使得函数()f x 的值域也为A ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（3）若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得122()21af x x x <+-，求a 的取值范围．广东实验中学2017-2018学年（上）高一级模块考试数学答案一、选择题1-5:ACBDB 6-10:BBCDB 11、12：AD二、填空题13.3 14.6 15.1616.[]1,2 三、解答题17.解：（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-， 又∵过点(3,2)A ，∴所求直线方程为12(3)2y x -=--， 即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=， ∵点P (3,0)=1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=． 18.解：（1）函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． 证明：任取210x x >>，则2121212112111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 因为210x x >>，所以210x x ->，12110x x +>，所以21()()0f x f x ->， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）原不等式等价于120mmx mx x--<对任意的[1,)x ∈+∞恒成立， 整理得2120mx m m--<对任意的[1,)x ∈+∞恒成立， 若0m >，则左边对应的函数开口向上，当[1,)x ∈+∞时，必有大于0的函数值； 所以0m <且120m m m--<，所以1m <-．19.解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设11BC B C E =I ， 则E 为1BC 的中点，连接ED ， ∵D 为AB 的中点，∴//ED AC ， 又∵ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ， ∴1//AC 平面1CDB ．（2）∵ABC ∆中，AC BC =，D 为AB 中点，∴CD AB ⊥， 又∵1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴1BB CD ⊥，又1AB BB B =I ，∴CD ⊥平面11ABB A ，∵1B D ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，∴1CD B D ⊥，CD AB ⊥， ∴1B DB ∠为二面角1B CD B --的平面角， ∵ABC ∆中，2AB =，∴1BD =， 在1Rt B BD ∆中，11tan 1B BB BD BD∠==， ∴二面角1B CD B --的平面角的大小为45︒．20.（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ． ∵O ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴//OF PA ，且12OF PA =， ∵//DE PA ，且12DE PA =，∴//OF DE ，且OF DE =，∴四边形OFED 为平行四边形，∴//OD EF ，即//BD EF ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， ∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BD ⊥平面PAC ， ∵//BD EF ，∴EF ⊥平面PAC ，∵FE ⊂平面PCE ，∴平面PAC ⊥平面PCE ． （2）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45︒， 所以45PCA ∠=︒，所以2AC PA ==， 所以AC AB =，故ABC ∆为等边三角形， 设CD 的中点为M ，连接AM ，则AM CD ⊥，设点D 到平面PCE 的距离为1h ，点P 到平面CDE 的距离为2h ， 则由D PCE P CDE V V --=，得121133PCE CDE S h S h ⋅⋅=⋅⋅（*） 因为ED ⊥面ABCD ，AM ⊂面ABCD ，所以ED AM ⊥， 又AM CD ⊥，CD DE D =I ，∴AM ⊥面CDE ；因为//PA DE ，PA ⊄平面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//PA 面CDE ，所以点P 到平面CDE 的距离与点A 到平面CDE 的距离相等，即2h AM =，因为PE EC ==PC =PCE S ∆=又1CDE S ∆=，代入（*11h =1h =，设CD 与平面PCE21.解：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a ，高为a 的正四棱柱．将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a 的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为2a ，斜高为3a 的正四棱锥．（2）∵正四棱柱的底面边长为2a ，高为a ，∴其体积231(2)4V a a a =⋅=， 又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为h ==，∴其体积221(2)3V a =⋅=∵2212816416099-=-=>，即43>3343a >，∴12V V >， 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大． （说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）22.解：（1）依题意，可设2()(2)1f x a x =-+，因(0)4f =，代入得34a =，所以2233()(2)13444f x x x x =-+=-+． （2）假设存在这样的m ，n ，分类讨论如下：当2m n <≤时，依题意，(),(),f m n f n m =⎧⎨=⎩即22334,4334,4m m n n n m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩两式相减，整理得83m n +=，代入进一步得43m n ==，产生矛盾，故舍去；当2m n <<时，依题意(2)1m f ==， 若3n >，()f n n =，解得4n =或43（舍去）； 若23n <≤，7(1)4n f ==，产生矛盾，故舍去； 当2m n ≤<时，依题意，(),(),f m m f n n =⎧⎨=⎩即22334,4334,4m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得43m =，4n =产生矛盾，故舍去.综上：存在满足条件的m ，n ，其中1m =，4n =. （3）依题意：21max 221()ax f x x +->， 由（1）可知，1max ()4f x =，[]10,3x ∈， 即2225ax x +>在[]1,2上有解； 整理得22225a x x >-+，[]21,2x ∈有解，又225y x x =-+25252()48x =--+，[]1,2x ∈，当2x =时，有min 2y =； 依题意：2a >．。
20162017学年广东省实验中学高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．的定义域是（，1）∪（1，+∞）．∴函数f（x）=log（2x﹣1）故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）= 1，并求出=．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．∴S=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）=S▱ABCD•PC=．…（3分）∴V P﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A 1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A 1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A 1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。
广东省20162017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
广东实验中学2016—2017学年高一（上）期中考试数 学本试卷共4页．满分为150分。
考试历时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必需维持答题卡的整洁，考试结束后，只交回答题卡．一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集为R ，集合{}1|>=x x M ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧><==e x e x x y y P 或1,ln |，则下列关系正确的是（ ）A ．M=PB ．P ⊂≠ MC ．M ⊂≠ PD ．P M R=Φ2．关于函数13y x-=叙述正确的是（ ）A ．在(),-∞+∞上单调递减B ．在()(),0,0,-∞+∞上单调递减C ．在()(),0,0,-∞+∞上单调递增D ．在()(),00,-∞+∞上单调递减3．函数()10<<=a a y x的图象是（ ）4．下列函数中，与x y =表示同一函数的是（ ）A ．xx y =B ．xa ay log =)(10≠>a a 且C ．2x y =D ．x a a y log =)(10≠>a a 且5．23=a ，则8log 6log 233-等于（ ） A ．a -2 B ．12+-a a C ．a 52-D ．a a 32-6．已知函数)(22R a a x x y ∈++=的图象如图所示， 则下列函数与它的图象对应正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数))1,((2-∞∈++=x c bx x y 是单调函数时，b 的取值范围（ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ．2-<b8．已知0>a 且1≠a ，则函数xa x f =)(和)1(log )(xx g a -=的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知偶函数)(x f 在)0,(-∞上单调递增，若0)1(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞-10．设3lg )(-+=x x x f ，用二分法求方程03lg =-+x x 在)3,2(内的近似解的进程中取得0)3(,0)5.2(,0)75.2(,0)25.2(><><f f f f ，则方程的根落在区间（ ） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 11．函数)4(log )(22x x x f -=的单调递减区间是（ ） A ．),4()0,(+∞-∞ B ．)4,0( C ．),4()2,(+∞-∞ D ．)4,2(12．函数132++-=x ax ax y 的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值的集合为（ ） A ．}9,1{ B ．}9,1,0{ C ．}0{D ．}4,2,0{二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10，则)(x f 在),0(+∞上的最小值为.14．已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ，则=+)21(lg )2(lg f f .15．已知)(x f 知足：xx f x ⎪⎭⎫⎝⎛=≥21)(,4；当4<x 时，)1()(+=x f x f ，则)3log 2(2+f =.16．设函数)(x f 是概念在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)4()(+=x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ，若在区间(-2,6)内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a)1(>a 恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 17．（本题满分8分）已知{}42-≤≤=a x a x A ，{}0652<--=x x x B ，若A B A = ，求a 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知函数.5)1(.)(=+=f xax x f 且 （1）求a 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）判断函数),2()(+∞在x f 上的单调性并用概念证明你的结论.19．（本题满分8分）已知奇函数)(x f 是概念域]2,2[-上的减函数，若0)34()12(>-++a f a f ，求实数a 的取值范围.20．（本题满分12分）某家庭进行理财投资，按照长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益别离为0.125万元和0.5万元(如图)（1）别离写出两种产品的收益与投资的关系；（2）该家庭有20万元的资金，全数用于理财投资，问：怎么分派资金能使投资取得最大收益，其最大收益是多少万元？21．（本题满分15分）已知函数«Skip Record If...»的值知足«Skip Record If...»，对任意实数y x ,都有«Skip Record If...»，且9)27(,1)1(==-f f ，当)1,0()(10∈<<x f x 时，. （1）求«Skip Record If...»的值，判断«Skip Record If...»的奇偶性并证明； （2）判断«Skip Record If...»在),0(+∞上的单调性，并给出证明； （3）若«Skip Record If...»且«Skip Record If...»，求a 的取值范围.22．（本题满分15分）对于函数«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»知足«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的一阶不动点；若«Skip Record If...»知足«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的二阶不动点．（1）若«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的二阶不动点；（2）若«Skip Record If...»是概念在区间D 上的增函数，且«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的二阶不动点，求证：«Skip Record If...»也必是函数«Skip Record If...»的一阶不动点；（3）设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在二阶不动点«Skip Record If...»，求实数«Skip Record If...»的取值范围．广东实验中学2016—2017学年高一（上)期中考试（数学）答案C 、1B 、2C 、3D 、4A 、5B 、6 B 、7C 、8A 、9C 、10D 、11B 、1213、-4 14、2 1五、241 1六、(]243，17、解：解得}61|{<<-=x x B ……1分A B A = ，B A ⊆∴ ……3分 （1）若A=∅ 则B A ⊆成立，此时a a <-42， 即4<a ……4分（2）若A ∅≠ 要B A ⊆，则需⎪⎩⎪⎨⎧<-->≥-642142a a aa ……6分即⎪⎩⎪⎨⎧<->≥514a a a ，解得54<≤a ……7分综上所述：)5,(-∞∈a . ……8分18、解:(1)由5)1(=f ，得:a +=154=∴a ……3分(2)xx x f 4)(+= ),0()0,(+∞-∞∈ x 且)()4()(x f xx x f -=+-=-为奇函数)(x f ∴. ……6分 (3)任取：212x x <<)41)(()(4)(44)()(2121211*********x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=--+=-……9分1440221212121<><-∴<<x x x x x x x x),2()(0)()(21∞+∴<-∴在x f x f x f 上为增函数 ……12分19、解：由0)34()12(>-++a f a f得)34()12(-->+a f a f ……2分 又)43()34()(a f a f x f -=--为奇函数，得 ……3分)43()12(a f a f ->+∴ ……4分又上的减函数是定义域]2,2[)(-x f212432-≥+>-≥∴a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≥++>--≥2121243432a a a a ……6分）的取值范围为解得31,41[a ∴ ……8分20、解：（1）x k x g x k x f 21)(,)(==设：2121)1(,81)1(k g k f ====∴ 即)0(21)(),0(81)(≥=≥=x x x g x x x f ……6分 （2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为)20(x -万元. 依题意得：)200(20218)20()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y ……8分)520(20≤≤-=t x t 令 ……10分3)2(812182022+--=+-=t t t y 则.3162万元万元时，收益最大为时，即当==∴x t ……12分21、（1）1)1(,1=-==f y x 可得令 ……2分1)1()1()()(-1=--⋅=-=f f x f x f y ，则令为偶函数即)(),()(x f x f x f -=∴ ……5分 ：上是增函数，证明如下在),0()(+∞x f ……6分10,02121<<∴<<x x x x 设：，由题设知1021<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<x x f 且)()()()(2212211x f x xf x x x f x f =⋅=， )1)(()()(21221⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴x x f x f x f x f ……8分0)(,1)(0221><<x f x x f 又 上是增函数在故),0()(),()(21+∞<∴x f x f x f ……10分（3）3)]3([)9()3()93()27(,9)27(f f f f f f =⨯=⨯==而339)3(,9)]3([==∴f f 则 39)1(≤+a f)3()1(f a f ≤+∴ ……12分202,3101,0≤≤∴≤≤+∴>+∴≥a a a a a 即 ……15分2二、解：（1）若943)32(2)]([,32)(+=++=+=x x x f f x x f 则3:,94,)]([-==+=∴x x x x x f f 解得得由332)(-=+=∴x x x f 的二阶不动点为 ……5分 （2）的二阶不动点是函数)(0x f x这与假设矛盾即上为增函数，有在区间则由若这与假设矛盾即上为增函数，有在区间则由若则记,),()()(,,),()()(,)(,)(,)]([0000000000t x x f t f D x f x t t x x f t f D x f x t x t f t x f x x f f >>><<<===∴ 000)(,x x f x t ==∴即.)(0证的一阶不动点，命题得是函数x f x ∴ ……10分（3）函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调递增，则由（2）可知，若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在二阶不动点«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上也必存在一阶不动点«Skip Record If...»；反之，若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在一阶不动点«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上也存在二阶不动点«Skip Record If...»。
广东省20162017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
18．（本题满分12分）
已知函数
（1）求 的值；
（2）判断函数 的奇偶性；
（3）判断函数 上的单调性并用定义证明你的结论.
19．（本题满分8分）
已知奇函数 是定义域 上的减函数，若 ，求实数 的取值范围.
20．（本题满分12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)
1．设全集为R，集合 , ，则下列关系正确的是（）
A．M=P B．P M C．M P D． =
2．关于函数 叙述正确的是（）
A．在 上单调递减B．在 上单调递减
C．在 上单调递增D．在 上单调递减
3．函数 的图象是（）
4．下列函数中，与 表示同一函数的是（）
A． B．
C． D．
5． ，则 等于（）
A． B． C． D．
13、-4 14、2 15、 16、
17、解：解得 ……1分
， ……3分
（1）若A= 则 成立，此时 ， 即 ……4分
（2）若A 要 ，则需 ……6分
即 ，解得 ……7分
综上所述： . ……8分
18、解:(1)由 ，得:
……3分(2)
且
. ……6分
(3)任取：
……9分
上为增函数 ……12分
19、解：由
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
广东省高一上学期期末考试数学试卷含答案
广东省高一第一学期期末考试高一级数学科试题一、单选题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则UA=A．∅B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．已知角α的终边经过点（12，-5），则sinα等于A．15B．15-C．513D．513-3．函数()2lg(1)f x x x=+--的定义域为A．[-2，1] B．[-2，1）C．（-2，1）D．[-2，＋∞）4．方程log2x＝5-x的解所在的区间是A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．设a＞0，b＞0，化简2115113366221()()()3a b a b a b⋅-÷的结果是A．2313a-B．233a-C．13a-D．-3a6．四个变量y1，y2，y3，y4，随变量x变化的数据如下表：x 1 2 4 6 8 10 12y116 29 55 81 107 133 159y2 1 9 82 735 6567 59055 531447 y3 1 8 64 216 512 1000 1728 y4 2.000 3.710 5.419 6.419 7.129 7.679 8.129 其中关于x近似呈指数增长的变量是A．y1B．y2C．y3D．y47．函数ππ()tan22f x x x x⎛⎫=--<<⎪⎝⎭的图象大致为A．B．C．D．8．已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若1()02f=，则不等式f（log4x）＞0的解集为A．{x|x＞2} B．1{|0}2x x<<C．{1|02x x<<或x>2} D．{1|12x x<<或x>2}二、多选题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．要得到πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数y ＝sinx 的图象上所有的点A ．向右平行移动π5个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B ．向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍 C ．横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动π5个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度 10．下列判断正确的是A ．1.30.2＞0.61.1B ．若log 2（1og 3x ）＝0，则x ＝3C ．41log 03> D ．1g2＋1g5-e ln3＝-2 11．对于函数f （x ）＝sin （cosx ），下列结论正确的是 A ．f （x ）为偶函数 B ．f （x ）的一个周期为2πC ．f （x ）的值域为[-sin1，sin1]D ．f （x ）在[0，π]单调递增12．已知函数f （x ）满足：当-3≤x ＜0时，f （x ）＝3|x ＋2|-2，下列命题正确的是A ．若f （x ）是偶函数，则当0＜x≤3时，f （x ）＝3|x ＋2|-2 B ．若f （-3-x ）＝f （x-3），则g （x ）＝f （x ）-1在x ∈（-6，0）上有3个零点C ．若f （x ）是奇函数，则1x ∀，x 2∈[-3，3]，|f （x 1）-f （x 2）|＜14D ．若f （x ＋3）＝f （x ），方程[f （x ）]2-（k ＋2）f （x ）＋2k ＝0在x ∈[-3，3]上有6个不同的根，则k 的范围为-1＜k ＜1三、填空题：本题共4小题．13．已知1sin 4α=，α为锐角，则tan （π＋α）＝________． 14．用二分法研究函数f （x ）＝x 3＋3x-1的零点时，第一次经计算f （0）＜0，f （1）＞0，可得其中一个零点x 0∈（0，1），那么经过下一次计算可得x 0∈________（填区间）．15．若7sin 29α=，且α为第一象限角，则sinα＋cosα＝________． 16．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50％．由此可知，如果不采取有效措施，则从________年（填年份）开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，1g3≈0.4771） 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知sin 2cos 022x x -=． （1）求tanx 的值； （2）求21sin cos cos x x x+的值．18．已函数()sin cos f x x x x =． （1）求f （x ）的最小正周期； （2）求f （x ）的单调递增区间．19．设函数32()32xxf x -=+．（1）计算f （-2），f （-1），f （1），f （2）；（2）求函数f （x ）的零点；（3）根据第（1）问计算结果，写出f （x ）的两条有关奇偶性和单调性的正确性质，并证明其中一个． 20．已知函数f （x ）＝a x ＋log a x （a ＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6＋log a 2． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的x ∈[2，＋∞），不等式kf （x ）-1≥0恒成立，求实数k 的取值范围．21．素有“天府之国”美称的四川省成都市，属于亚热带季风性湿润气候．据成都市气象局多年的统计资料显示，成都市从1月份到12月份的平均温T （℃）与月份数t （月）近似满足函数T ＝Asin （ωt ＋φ）＋b （A ＞0，ω＞0，-π＜φ＜0），从1月份到7月份的月平均气温的散点图如下图所示，且1月份和7月份的平均气温分别为成都全年的最低和最高的月平均气温．（1）求月平均气温T （℃）与月份数t （月）的函数解析式；（2）推算出成都全年月平均气温低于20 ℃但又不低于10 ℃的是哪些月份．22．若函数f （x ）在定义域内存在实数x 0，使得f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1）成立，则称函数f （x ）有“飘移点”x 0．（1）试判断函数f （x ）＝x 2及函数1()f x x=是否有“飘移点”并说明理由； （2）若函数()ln 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（a ＞0）有“飘移点”，求a 的取值范围．广东省高一第一学期期末考试 高一级数学科参考答案一．二选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项CDBCDBACADABDABCBC1315 14．10,2⎛⎫⎪⎝⎭15．43 16．2021 四．解答题：17．解：（1）由sin 2cos 022x x -=，得tan 22x =．∴222tan2242tan 1231tan 2xx x ⨯===---； （2）222221sin cos tan 125sin cos cos sin cos cos tan 13x x x x x x x x x x ++===-+++ 18．解：（1）13π()sin 22sin 223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 所以，f （x ）的周期为2ππ2T ==． （2）由πππ2π22π232k x k -≤+≤+（k ∈Z ）， 得5ππππ1212k x k -≤≤+（k ∈Z ）． 所以，f （x ）的单调递增区间是5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．19．（1）223211(2)=3213f ----=+，11325(1)327f ----==+，11321(1)325f -==+，22321(1)327f -==+， （2）令f （x ）＝0，即6132x =+，解得x ＝log 23，即函数的零点为log 23．（3）非奇非偶函数 证明：对任意的x ∈R ，其中11325(1)327f ----==+，11321(1)325f -==+， 所以f （-1）≠f （1）且f （-1）≠-f （1），所以函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数； 单调性 证明：对任意的x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，则211212121266666(22)()()1(1)32323232(32)(32)x x x x x x x x f x f x --=-+--+=-=++++++， 因为1221320.320.220x x x x +>+>->，所以f （x 1）＞f （x 2），所以函数y ＝f （x ）在定义域R 上为单调递减函数． 20．解：（1）∵f （x ）＝a x ＋log a x （a ＞0，a≠1）在[1，2]上为单调函数 ∴f （1）＋f （2）＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2 即：a ＋a 2-6＝0 解得：a ＝2或a ＝-3（舍去） ∴a 的值为2．（2）依题意，[2,)x ∀∈+∞，1()k f x ≥恒成立∵f （x ）＝2x ＋log 2x 在[2，＋∞）上为增函数∴f （x ）≥f （2）＝22＋log 22＝5＞0 ∴11()5f x ≤∴15k ≥，即：k 的取值范围为1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．解：（1）依题意，有255152b +==，255102A -==， 半周期为7-1＝6，所以周期为12，所以2π12||ω=，又因为ω＞0，所以π6ω=， 代入点（1，5），得到π10sin()1556ϕ++=，即πsin()16ϕ+=-，所以2π2π3k ϕ=-+，k ∈Z ，又因为-π＜φ＜0，所以当k ＝0时，2π3ϕ=-． 所以，所求解析式为π2π10sin()1563T t =-+（t ∈[1，12]，t ∈Z ）．（2）依题意，10≤T ＜20，所以1π2π1sin()2632t -≤-<，因为t ∈[1，12]，t ∈Z ，所以ππ2π4π2633t -≤-≤， 所以ππ2ππ6636t -≤-<或5ππ2π7π6636t <-≤，解得3≤t ＜5或9＜t≤11 又因为t ∈Z ，所以t ＝3，4，10，11．即成都全年月平均气温低于20 ℃但又不低于10 ℃的是3，4，10，11月．22．（1）函数f （x ）＝x 2有“飘移点”，函数1()f x x=没有“飘移点”， 证明如下：设（x ）＝x 2在定义域内有“飘移点”x 0， 所以：f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1），即：（x 0＋1）2＝（x 0）2＋12，解得：x 0＝0， 所以函数f （x ）＝x 2在定义域内有“飘移点”是0；设函数1()f x x=有“飘移点”x 0，则001111x x =++，即2010x x ++=由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数1()f x x=没有飘移点． （2）函数()ln 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（a ＞0）的定义域是{x|x ＞-1}，因为函数()ln 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（a ＞0）有“飘移点”，所以：f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1），即：00ln ln ln 212a a ax x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简可得：00221a a a x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，可得：20022(1)a a x x =++， 因为a ＞0，所以：00122(1)ax x =++， （解法一）所以：（a-2）x 0＝2-2a ，因为当a ＝2时，方程无解，所以a≠2，所以0222ax a -=-， 因为函数()ln 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（a ＞0）的定义域是{x|x ＞-1}，所以：2212a a ->--，即：02a a <-， 因为a ＞0，所以a-2＜0，即：0＜a ＜2，所以当0＜a ＜2时，函数()ln 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（a ＞0）有“飘移点”．（解法二）所以002(1)2x a x +=+ 0002(1)2222x y x x +==-++ 且函数()ln 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（a ＞0）的定义域是{x|x ＞-1}所以，x 0＞-1，则有020222x <-<+，所以，0＜a ＜2。
广东省高级中学高一期末考试数学试题(附答案)
广东省高级中学高一期末考试数学试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．）a xb a b ，则实数x（ ）（ ，1 ）, （1,2）, //，若1、已知平面向量A ． -21B ． 5C ．D ． -522、已知集合，B{x | x 2}，则 （ ） D ．RA ． C ．2,31,2 1,3 B ．3、若ab 0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）1 11 1a bB ． aba A ． bC ．D ．a b a4、已知角θ的终边过点（4，﹣3），则 cos （π﹣θ）的值为（）44 5 3C ．535B ． D ．A ．5a b ka b 与 ，若 （1，1）, （2 ,3）, ak 垂直，则实数 的值等于（ ）5、设向量1A ．1B ．-2C ．2D ．-26、已知 满足不等式组，则的最小值等于()A ．3B ．6C ．9D ．122 a4 3a 7a 7.在等比数列 中，若a， ，则等（ ）。
n18163264D ．A ．B ．C ． 15,a a 2d，则公差（ ）。
an 8、等差数列 的前 项和为S ，且S nn5255432D ．A ．B ．C ． ABC, , , , , , 中,角 A B C 所对应的边分别为 a b c .若角 A B C 依次成等差数列 ,且 9、在 a 1,b 3 . 则S（）ABC3 223A ．B ．C ．D ． 2f x A ( ) sin(x A （)0, 0, , ） x R 10、已知函数在一个周期内的图2象如图所示，则的解析式是（ ）f x x f x x ( ) 4sin(3 ) ( ) 4sin(3 ) A ．C ．B ． D ． 43f x x f x x ( ) 4sin(3 ) ( ) 4sin(3 ) 4314 a a1 a ， 成等差数列，则公比q （ ）。
a 11、等比数列 的前三项和S，若 ， n312313111A ． 2 或B ．或31 C ． 或22 D ． 或 2 2m x m R 恒成立，则实数ｍ的x ( 1) ( 1) 0对于一切x 12、关于 的不等式 2取值范围为（ ）A ． ［-3，1］B ． ［-3，3］C ． ［-1，1］D ． ［-1，3］二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填在答题卷相应位置上）n -1a 13、已知数列 a 的通项公式为，则数列的第 5 项是________. n n 1n14、sin6600的值是________.S n 2 2n，则数列的通项公式为________.aa15、已知数列 的前n 项和为 nnna x xb xx f xa bf x（2 sin ,2 sin ）, （ s in ,cos ）,( )( )，则的16、已知函数 最大值为________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
广东省实验中学高一数学上学期期末考试试题(含解析)
广东省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值范围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。
广东省实验中学高一数学上学期期末考试试题
广东实验中学2015—2016学年（上）高一级模块考试数 学本试卷共4页．满分为150分，考试用时120分钟．考试不允许使用计算器． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．2πcm 2B ．2 cm2C ．4πcm2D ．4 cm22．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BP BA BC 2=+，则（ ）A ．P 、A 、C 三点共线B ．P 、A 、B 三点共线C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确3．角α的终边上有一点)5,(m P ，且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α=（ ） A ．135 B ．135- C ．1312或1312- D ．135或135-4．函数xx x x f tan 1tan tan )(2+--=的奇偶性为（ ）A ．既奇又偶函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇函数5．已知θ为第一象限角，设)sin ,3(θ-=a ，)3,(cos θ=b ，且⊥，则θ一定为（ ） A ．)(3Z k k ∈+ππB ．)(26Z k k ∈+ππC ．)(23Z k k ∈+ππD ．)(6Z k k ∈+ππ6．下列结论中，一定正确的有（ ）个.①BC AC AB =- ②()()⋅⋅=⋅⋅ ③=⋅=⋅则,④若21,e e 是平面内的一组基底，对于平面内任一向量a ，使2211e e λλ+=的实数21,λλ有无数对 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 7．若0cos <θ，且θθθ2sin 1sin cos -=-，那么θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．已知54sin -=α，23παπ<<，则2cos α的值为（ ）A ．55B ．55-C ．552D ．552-9．已知点O 是ABC ∆所在平面内一点，且222222BC OA AC OB AB OC +=+=+，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心 10．函数12πlog sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减．区间为（ ） A ．πππ4k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ，， B ．π3πππ88k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ，，C ．3ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，， D ．ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12tan112tan1ππ-+的值为_____________.12．如图，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，3BD DC =u u u r u u u r ，则向量AD u u u r可用a r ，b r 表示为___________. 13．已知21)sin(=+βα，31)sin(=-βα，则βαtan tan =___________.14． 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 方向上的投影><b a b ,cos 的乘积. 运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路. 例如：边长为1的正六边形ABCDEF 中，点P 是正六边形内的一点（含边界），则AB AP ⋅的取值范围是_____________. 15．已知函数x x x f 2sin 32cos )(+=，在下列四个命题中：①函数的表达式可以改写为)32cos(2)(π-=x x f ；②当6ππ+=k x （Z k ∈）时，函数取得最大值为2；③若21x x ≠，且0)()(21==x f x f ，则)0(221≠∈=-k Z k k x x 且π； ④函数)(x f 的图象关于直线32π=x 对称； ABCDEF其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数)cos()25sin()23cos()(πππ--+⋅-=x x x x f ，=)(x g )42sin(2π-x（1）化简)(x f ；（2）利用“五点法”，按照列表-描点-连线三步，画出函数)(x g 一个周期．．．．的图象； （3）函数)(x g 的图象可以由函数)(x f 的图象经过怎样的变换得到？17．（本题满分12分）1=a 3=b ，（1）若a r ，b r 的夹角为6πb a -；（2b a +b a 的取值范围； （3）若21)2()3(=+⋅-b a b a ，求与的夹角θ.18．（本题满分11分）已知31tan -=α,),2(ππα∈. （1）化简ααα2cos 1cos 2sin 2+-，并求值.（2）若),2(ππβ∈，且1312)cos(-=+βα，求)sin(βα+及βcos 的值.19．（本题满分12分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：)2,0,(πϕω<>A 来描述.（1） 根据以上数据，求出函数b t A t f ++=)sin()(ϕω的表达式；（2） 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0:00~24:00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？20．（本题满分14分）已知向量)2,4(),1,(sin -==b x a ，函数b a x f ⋅=)(，R x ∈. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）设)42()(πθθ-=f g ，当∈θπ3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，0)(=-k g θ有解，求实数k 的取值范围； （3）设()2||a x h =，求函数)(x h 的值域.21．（本题满分14分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中k 为常数. （1）若1-=k ，函数)(x f 是否具有周期性？若是，求出其周期;（2）在（1）的条件下，又知)(x f 为定义在R 上的奇．函数，且当10≤≤x 时，x x f 21)(=，则方程21)(-=x f 在区间]2016,0[上有多少个解？（写出结论，不需过程）（3）若k 为负．常数，且当20≤≤x 时，()(2)f x x x =-，求()f x 在[]3,3-上的解析式，并求()f x 的最小值与最大值.广东实验中学2015—2016学年(上)高一级模块考试·数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．A 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．3 12．1344a b +r r 13．5 14．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 15．①②③④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解：（1）x xxx x f sin cos cos )sin ()(=-⋅-=……4分(每对一个1分)（2）列表、画图如下：……列表2分，画图2分……9分（其中列表3分，图象2分） （3）把)(x f 的图象向右平移4π个单位，再把横坐标变为原来的21倍，最后把纵坐标变为原来的2倍；……12分（每步变换1分） 或先把横坐标变为原来的21倍，再向右平移8π个单位，最后把纵坐标变为原来的2倍17．（本小题满分12分）解：（1）∵a r ，b r 的夹角为6π， ∴ b a ⋅＝|a r |•|b r |•cos 6π＝23， ……1分∴|a r -b r |2＝（a r -b r ）2 ……2分＝a r 2＋b r 2-2b a ⋅＝1＋3－3＝1， ……3分 ∴1=-b a ……4分（2）由b a b a b a +≤+≤-得]13,13[+-∈+b a ……6分由b a b a ⋅≤⋅得]3,0[∈⋅b a ……7分（3）21)2()3(=+⋅-b a b a ，2135222=-⋅-∴b b a a ．……8分 又|a r |＝1，|b r |＝3，23-=⋅∴b a ．……9分1cos 2a b a b θ∴==-·23． ……10分 ],0[πθ∈Θ ……没有此说明扣1分 65πθ=∴． ……12分-20209π87π85π83π8π82π3π2ππ20f (x )x2x -π4π8π43π8π25π83π47π8π9π85π4xy221O-1-2-218．（本题满分11分）解：（1） 6521tan cos 2cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=+-αααααααα ……2分 6521tan cos 2cos cos sin 222-=-=-=ααααα ……4分 （2）),2(ππα∈Θ，),2(ππβ∈，)2,(ππβα∈+∴ 又1312)cos(-=+βα，)23,(ππβα∈+∴ ……5分 135)(cos 1)sin(2-=+--=+∴βαβα ……7分由31tan -=α，),2(ππα∈，得1010sin =α，10103cos -=α ……8分])cos[(cos αβαβ-+= ……9分αβααβαsin )sin(cos )cos(+++= ……10分 13010311010135)10103)(1312(=⋅---= ……11分19．（本题满分12分） 解：（1）由表格知5.7max =f ，5.2min =f ， ……1分252min max =-=f f A ，52minmax =+=f f b ……2分12=T ，62ππω==∴T ， ……4分 即5)6sin(25)(++=ϕπt t f 当2=t 时，ππϕπk 2226+=+⋅，解得ππϕk 26+=，又2πϕ<，6πϕ=∴ ……6分5)66sin(25)(++=∴ππt t f . （2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，所以当25.6)(≥t f 时就可以进港. ……7分令25.65)66sin(25≥++ππt ，得21)66sin(≥+ππt ……8分ππππππk t k 2656626+≤+≤+∴， ……9分 解得k t k 12412+≤≤，……10分又)24,0[∈t ，故0=k 时，]4,0[∈t ；1=k 时，]16,12[∈t ……11分即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右. ……12分 20．（本题满分14分） 解：(1) 2sin 4)(-=⋅=x b a x f ……2分 (2) 2)42sin(4)42()(--=-=πθπθθf g ……3分438πθπ≤≤，2324πθπ≤≤∴，45420ππθ≤-≤∴，……4分142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∴πθ，2242sin 4222≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--∴πθ ……6分0)(=-k g θ有解，即)(θg k =有解，故]2,222[--∈k . ……7分(3) ()2||a b a x h ⋅==xx 2sin 12sin 4+-，R x ∈解法一：设2sin 4-=x t ，则42sin +=t x ，]2,6[-∈t ……8分 20416)()(2++==t t tt k x h ……9分 当0=t 时，0)(=t k ；当0≠t 时，42016)(++=tt t k ， ……10分其中420++t t 在]52,6[--递增，在)0,52(-递减，在]2,0(递增 ),16[]544,(420+∞--∞∈++∴Y tt ……12分从而]1,51[)(--∈x h ……14分解法二：设y = =x x 2sin 12sin 4+-, 得 ysin 2x – 4sinx + y + 2 = 0 , 今 f ( t ) = yt 2– 4t + y + 2 , 其中t = sinx ∈[ – 1 , 1].当y = 0时，t = 21∈[ – 1 , 1]，即有解.当y ≠ 0时，由t ∈[ – 1 , 1]时f ( t ) = 0有解, 得:①f ( – 1) f ( 1 ) ≤ 0 . 或②⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≤≥≥->0)2(4161|2|0)1(0)1(0y y y f f y 或③⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤≤-<0)2(4161|2|0)1(0)1(0y y y f f y解①得 – 3 ≤ y ≤ 1, 解②，无解，解③得 – 1 – 5≤ y ≤– 3, 从而]1,51[)(--∈x h21．（本题满分14分） 解：（1）∵),()2(x f x f -=+)()]([)2()4(x f x f x f x f =--=+-=+∴,∴)(x f 是以4为周期的周期函数, ……2分（2）21)(-=x f 在]2016,0[上共有504个解……6分解析：当10≤≤x 时，x x f 21)(=，∴当01≤≤-x 时，x x f x f 21)()(=--=，11,21)(≤≤-=∴x x x f当31<<x 时，121<-<-x ，)2(21)2()(--=--=∴x x f x f故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-=.31),2(21,11,21)(x x x x x f 由,21)(-=x f 得1-=x 故21)(-=x f 的所有解是41()x n n Z =-∈,令2016140≤-≤n , 则4201741≤≤n ，而,n Z ∈∴)(5041Z n n ∈≤≤,∴21)(-=x f 在]2016,0[上共有504个解.（3）若]2,0[∈x ，则]4,2[2∈+x ，]4)2][(2)2[(1)2(1)(1)2(-+-+=-==+x x kx x k x f k x f ，∴当]4,2[∈x 时，)4)(2(1)(--=x x kx f若)0,2[-∈x ，则)2,0[2∈+x ，∴)2(]2)2)[(2()2(+=-++=+x x x x x f ∴)2()2()(+=+=x kx x kf x f 若)2,4[--∈x ，则)0,2[2-∈+x ，∴)4)(2(]2)2)[(2()2(++=+++=+x x k x x k x f∴)4)(2()2()(2++=+=x x k x kf x f ，∵)2,4[)2,3[],4,2[]3,2(--⊂--⊂∴当]3,3[-∈x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈--∈+--∈++=]3,2(),4)(2(1]2,0[),2()0,2[),2()2,3[),4)(2()(2x x x kx x x x x kx x x x k x f ……10分 可知，当]3,3[-∈x 时，最大值和最小值必在3-=x 或1-=x 或1=x 或3=x 处取得.（可画图分析）∵2)3(k f -=-，k f -=-)1(，1)1(-=f ，kf 1)3(-= ……11分∴当01<<-k 时，1)1(,1)3(min max -==-==f y kf y ; ……12分当1-=k 时，;1)1()3(,1)3()1(min max -==-===-=f f y f f y ……13分当1-<k 时，2min max )3(,)1(k f y k f y -=-=-=-= .……14分。
广东实验中学数学高一上期末测试卷(专题培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12111]函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：12094]设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．(0分)[ID ：12093]设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．(0分)[ID ：12090]若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+7．(0分)[ID ：12126]设23a log =，3b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<8．(0分)[ID ：12101]若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．(0分)[ID ：12100]若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e10．(0分)[ID ：12049]已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且RA B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >11．(0分)[ID ：12072]设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,612．(0分)[ID ：12045]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：12044]函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-14．(0分)[ID ：12038]曲线1(22)y x -≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 15．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－12二、填空题16．(0分)[ID ：12227]已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．17．(0分)[ID ：12204]已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 18．(0分)[ID ：12191]已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________. 19．(0分)[ID ：12190]己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.20．(0分)[ID ：12189]函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.21．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．22．(0分)[ID ：12156]已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________23．(0分)[ID ：12144]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.24．(0分)[ID ：12142]若函数()242xx f x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.25．(0分)[ID ：12134]已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12297]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
广东省实验中学2017-2018学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析
广东实验中学2017-2018学年（上）高一级模块考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值范围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。
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2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5.00分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5.00分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5.00分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5.00分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5.00分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5.00分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC 内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5.00分）已知函数+2，则关于x 的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5.00分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5.00分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5.00分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5.00分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5.00分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12.00分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12.00分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12.00分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【分析】由对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＞且x≠1．∴函数f（x）=log的定义域是（，1）∪（1，+∞）．（2x﹣1）故选：B．2．（5.00分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【分析】当a=0时，检验两直线是否平行，当a≠0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5.00分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【分析】对题设中的条件进行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项．【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选：B．4．（5.00分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5.00分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【分析】分析选项，即可得出结论．【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选：A．6．（5.00分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B．7．（5.00分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【分析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P 到平面QEF即到对角面A 1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5.00分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC 内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据棱锥的结构特征我们易判断出这是一个有三条棱在P点两两垂直的三棱锥，由已知中O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，利用“三余弦”定理，我们易求出∠OPB的余弦值．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选：C．9．（5.00分）已知函数+2，则关于x 的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【分析】可先设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，根据要求的不等式，可以想着判断g（x）的奇偶性及其单调性：容易求出g（﹣x）=﹣g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（﹣x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解．【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5.00分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【分析】由题意可得，存在x＜0使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C．12．（5.00分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=．【分析】由函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，求出f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=1，从而=1007+f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5.00分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5.00分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【分析】表示直线y=﹣2x+8上的点与P（﹣1，﹣1）连线的斜率，进而得出．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的正切值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【分析】设A（a，0），B（0，b），可得直线l的方程为：：+=1．把点P（3，2）代入利用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12.00分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，由这条侧棱长是2知四棱锥的高是2，求四棱锥的体积只要知道底面大小和高，就可以得到结果．（Ⅱ）利用三角形中位线的性质证明OE∥PA，由线面平行的判定定理可证EO∥平面PAD；（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，证明BD⊥平面PAC即可．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）=S▱ABCD•PC=．…（3分）∴V P﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得，解不等式组求得a的范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12.00分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【分析】（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点，连接OG，证明AO⊥平面BDD1B1，说明∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，利用直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．求出m的值．（2）点Q应当是A I C I的中点，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，通过证明D1O1⊥平面ACC1A1，D1O1⊥AP．利用三垂线定理推出结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD 1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD 1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12.00分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【分析】（1）取A 1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A 1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A 1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A 1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12.00分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；（2）转化不等式f（2x）﹣k•2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。