平面汇交力系合成教学设计(朱鉴)

平面汇交力系合成

----课程设计

永泰城乡建设职业中专朱鉴

教学内容：平面汇交力系的合成

教学目标：学生了解平面汇交力系合成的方法

学生能够运用所学的力系合成的方法对具体问题进行合成

学生对力学有浓厚的兴趣，为以后的课程学习奠定基础

教学重点：解析法在平面力系中的应用

教学难点：平面力系的合成定理的掌握

教学课时：2

教学过程：

平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。下面分别介绍。

一、几何法

首先回顾用几何法合成两个汇交力。如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。

图2—1

对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的

合成。设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F

3

合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为

R=F

1+F

2+

F

3+

F

4

（2—1）

实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。

从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。

图2—2

将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为：

R=F

1+F

2+

F

3+……

+F n=∑F i（2—1b）

或简写为：

R=∑F（矢量和）（2—1c）

若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为：

R=∑F（代数和）（2—2）

需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用线汇交于同一点即可。另外，几何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。

对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。

二、解析法

求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。

1、力在平面直角坐标轴上的投影

设力F 用矢量AB 表示如图2—3所示。取直角坐标系oxy ，使力F 在oxy 平面内。过力矢AB 的两端点A 和B 分别向x 、y 轴作垂线，得垂足a 、b 及a /、b /，带有正负号的线段ab 与a /b /分别称为力F 在x 、y 轴上的投影，记作F x 、F y 。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。

力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F 与x 轴的夹角为α，则从图2—3可知

α

αsin cos F F F F y x -== （2

—3）

一般情况下，若已知力F 与x 和y 轴所夹的锐角分别为α、β，则该力在x 、y 轴上的投影分别为

β

αcos cos F F F F y x ±=±= （2—4）

即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大小。

图2—3 图2—4

反过来，若已知力F 在坐标轴上的投影F x 、F y ，亦可求出该力的大小和方向角：

x

y

y x F F F F F =

+=αtan 2

2 （2—5）

式中α为力F 与x 轴所夹的锐角，其所在的象限由F x 、F y 的正负号来确定。 在图2—3中，若将力沿x 、y 轴进行分解，可得分力F x 和F y 。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即

F =F x +F y =j F F y x +i （2—6） 式中i 、j 分别为沿直角坐标轴x 、y 轴正向的单位矢量。

力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。

例2—1 如图2—4所示，已知N F N F N F N F 400,300,200,1004321====，各力的方向如图，试分别求各力在x 轴和y 轴上的投影。

解：根据公式（2—3）或（2

—4），列表计算如下 力 力在x 轴上的投影（αcos F ±）

力在y 轴上的投影（αsin F ±）

F 1 N 1000cos 100=⨯

00sin 100=⨯

F 2 N 10060cos 200-=⨯- N 310060sin 200=⨯ F 3 N 15060cos 300-=⨯-

N 315060sin 300-=⨯-

F 4

N 220045cos 400=⨯ N 220045sin 400-=⨯-

2、合力投影定理

为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。

图2—5

如图2—5所示，设有一平面汇交力系F 1、F 2、F 3作用在物体的O 点，如图2—5所示。从任一点A 作力多边形ABCD ，如图2—5b 所示。则矢量AB 就表示该