吉林省2019届高三下学期二模数学(文科)试卷 Word版含解析

2018-2019东北师大附中高三二摸数学（文）学科试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.设是虚数单位，若复数，则=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简即得解.【详解】由题得=.故答案为：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量=（2，x），=（1，2），若∥，则实数x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：向量=（2，x），=（1，2），∥，可得x=4．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．4.设则=A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把已知方程两边同时平方,结合二倍角公式即可得解.【详解】由题得.故答案为：B【点睛】本题主要考查同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.5.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，求函数的零点，即为求两个函数的交点，可知等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当时，，当时，，因此函数的零点在内，故选C．考点：1、函数的零点定理；2、函数的单调性.6.下列有关命题的说法正确的是A. 若为假命题，则均为假命题B. 是的必要不充分条件C. 命题若则的逆否命题为真命题D. 命题使得的否定是：均有【答案】C【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若为假命题，则中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B.是的充分不必要条件，因为由得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题若则的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题使得的否定是：均有，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的时，问一开始输入的=A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据流程图，求出对应的函数关系式，根据题设条件输出的，由此关系建立方程求出自变量的值即可．详解：第一次输入，；第二次输入，；第三次输入，；第四次输入，，输出，解得.故选B.点睛：本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．8.若在中，，则此三角形的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】因为是三角形的内角，所以有即再通过三角变换解得，最终得出结果。

【详解】，，，，因为与不为0，所以即故选B。

【点睛】本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是中的不可以直接消去，要考虑到的情况。

9.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，且，故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除，故选B．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除10.已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数对任意，都有成立得到函数在定义域内单调递减，再根据数形结合得到a的不等式组，解之即得解.【详解】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查函数单调性的判定及其运用，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.11.已知在区间上有最大值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）=﹣+x在（a，10﹣a2）上有最大值所以f′（x）先大于0然后再小于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜10﹣a2，进而求出正确的答案．【详解】因为函数f（x）=﹣+x在（a，10﹣a2）上有最大值，则其最大值必是区间上的极大值，f′（x）=﹣x2+1，令f′（x）=﹣x2+1=0，可得x=±1，分析易得x=1是极大值点．对于f′（x）=﹣x2+1，结合二次函数的性质可得：a＜1＜10﹣a2，且f（a）≤f（1），解得﹣2≤a＜1,故答案为：C【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算.12.在等腰直角中，，在边上且满足:,若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．【详解】解：∵，∴A，B，D三点共线，∴由题意建立如图所示坐标系，设AC=BC=1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y=1，直线CD的方程为y=x，故联立解得，x=，y=，故D（，），故=（，），=（1，0），=（0，1），故t+（1﹣t）=（t，1﹣t），故（，）=（t，1﹣t），故t=，故答案为：A【点睛】本题考查了平面向量坐标运算的应用，考查平面向量基本定理，属于中档题．第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分.第13题～第16题为填空题，第17题～第23题为解答题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，则___________．【答案】【解析】【分析】先化简已知得，再利用平方关系求解.【详解】由题得，因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.已知向量，如果与的夹角为直角，则_________.【答案】【解析】【分析】由题得，化简即得解.【详解】由题得.故答案为：2【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知函数在上单调递减，则的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的性质以及一次函数的性质，分离参数a，求出a的范围即可．【详解】若函数y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a＜0且ax﹣1＞0在（﹣2，﹣1）恒成立，即a＜在（﹣2，﹣1）恒成立，故a≤﹣1，故答案为：a≤﹣1【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．解答时不要漏掉了函数的定义域，不要忽视了取等问题.16.设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的图象可画出：当﹣6的图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=log a（x+2）（a＞1）的图象．利用在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即可得出．【详解】如图所示，当﹣6，可得图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f （x），画出[2，6]的图象．画出函数y=log a（x+2）（a＞1）的图象．∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，∴log a8＞3，log a4＜3，∴4＜a3＜8，解得＜a＜2．故答案为：【点睛】本题考查了指数函数的图象与性质、函数的奇偶性、周期性，考查了方程的实数根转化为函数图象的交点个数，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为5，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，所以的最小正周期为．（2）由（1）得当时，．所以当时，的最小值为．所以，即．【详解】（1）由题意知：，所以的最小正周期为．（2）由（1）知：，当时，．所以当时，的最小值为．又∵的最小值为5，∴，即．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期，考查三角函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若，．求的面积．【答案】（1）（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据求出，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在中，由正弦定理得．即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则．即．解得（舍）或．所以．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.如图,在四棱锥中,棱底面,且,,, 是的中点.(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1) 见解析(2)【解析】试题分析：(1)取中点,连接,利用线面垂直的性质，得到，进而得到平面,又根据三角形的性质，证得，即可证明平面；(2)解:由(1)知,是三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积. 试题解析：(1)证明:取中点,连接,∵底面,底面,,且平面,又平面,所以.又∵,H为PB的中点, ,又,平面,在中,分别为中点, ,又, ,，∴四边形是平行四边形,∴、平面.(2)解:由(1)知,，∴,又,且,平面,是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以.另解:是的中点,∴到平面的距离是到平面的距离的一半，所以.20.已知椭圆：的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16．（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆：（）与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据的周长为16，可得，再根据离心率，得出，从而可得椭圆的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得，两点关于轴对称，设，，则，从而得出直线的方程，即可得到点的横坐标，同理可得点的横坐标，从而列出的表达式，化简求值即可得到定值.试题解析：（1）由题意得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为．（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，则，由题可知，，∴，．又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标.∴，即为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为．（2）【解析】【分析】（1）直接利用导数求得函数的单调减区间为，单调增区间为．，其中，由题意知在上恒成立，再利用导数求出≥0，记，再利用导数求得所以，即=0，所以a=1.【详解】（1）依题意，，令，解得，故，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；故函数的单调减区间为，单调增区间为．（2），其中，由题意知在上恒成立，，由（1）可知，∴，∴，记，则，令，得．当变化时，，的变化情况列表如下：∴，故，当且仅当时取等号，又，从而得到．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线. （1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.【答案】（1）曲线的极坐标方程为；（2）.【解析】【试题分析】（1）利用，消去参数，可求得的普通方程，利用代入化简，可求得的极坐标方程.（2）将分别代入的极坐标方程，求得，.【试题解析】（Ⅰ）曲线:（为参数）化为普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若存在，使得成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）对函数零点分区间去掉绝对值，分段解不等式，最终取交集即可;(2)原不等式等价于存在，使得，即，取交集即可。