高中常见题型解决方法归纳专题06函数单调性的判断证明和单调区间的求法
求单调区间的方法
求单调区间的方法在数学中，单调区间是指函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的区间。
在实际问题中，我们经常需要求解函数的单调区间，以便更好地理解函数的性质和行为。
本文将介绍几种常用的方法来求解单调区间。
一、导数法。
导数法是求解单调区间的常用方法之一。
对于给定函数$f(x)$，我们可以通过求解其导数$f'(x)$的符号来确定函数的单调性。
具体步骤如下：1. 求解函数的导数$f'(x)$；2. 找出导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的导数值$f'(x_0)$，根据导数值的正负确定函数在该区间上的单调性。
二、二阶导数法。
在某些情况下，我们可以通过求解函数的二阶导数$f''(x)$来确定函数的单调区间。
具体步骤如下：1. 求解函数的二阶导数$f''(x)$；2. 找出二阶导数$f''(x)$的零点，即解方程$f''(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的二阶导数值$f''(x_0)$，根据二阶导数值的正负确定函数在该区间上的凹凸性；5. 根据函数的凹凸性和一阶导数的符号确定函数的单调区间。
三、图像法。
图像法是一种直观的方法，通过观察函数的图像来确定其单调区间。
具体步骤如下：1. 绘制函数$f(x)$的图像；2. 通过观察函数图像，找出函数的上升区间和下降区间；3. 根据图像上升和下降的趋势确定函数的单调区间。
四、综合运用。
在实际问题中，我们通常需要综合运用以上方法来确定函数的单调区间。
例如，对于一个复杂的函数，我们可以先通过导数法找出函数的增减点，然后通过二阶导数法确定函数的凹凸性，最后通过图像法直观地确认函数的单调区间。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
(6)函数的单调性的证明以及典型题型
函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。
3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。
6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。
8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。
（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。
2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。
3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。
二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。
2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。
三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性是指函数在定义域内的单调性，也就是说函数随着其自变量增加而增加或减少。
常见的单调性题型包括：
1.判断一个函数是单调增还是单调减
2.确定函数的极值
3.确定函数的单调区间
解题方法：
1.对于一个函数，首先要求出其导函数，然后
判断导函数的正负性，来确定原函数的单调
性。
2.求函数的极值，需要用到导函数的概念，求
出导函数的零点，并确定其是极大值还是极
小值。
3.确定函数的单调区间，需要分析导函数的正
负性和零点。
需要注意的是，这些方法都是针对连续可导函数，对于不连续不可导函数，需要采用其他方法分析。
对于判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那
么原函数就是单调减的。
而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点。
对于求函数的极值，我们需要求出函数的导函数，并找到导函数的零点。
对于导函数为0的点，我们需要分析其二阶导函数的正负性来确定其是极大值点还是极小值点。
对于确定函数的单调区间，我们需要分析导函数的正负性和零点。
导函数为正值时，原函数在该区间内单调递增；导函数为负值时，原函数在该区间内单调递减；导函数为0时，原函数在该点可能是极值点。
需要注意的是，单调性和极值点的分析都是基于连续可导的函数，对于不连续不可导的函数，需要采用其他方法来分析。
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
函数单调性方法和各种题型
函数单调性奇偶性方法和各种题型总结一、单调性总结：(一)判断函数单调性的基本方法Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。
例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数例3：y＝|x2＋2x－3|练习：(二)函数单调性的应用Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论：（1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。
（2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。
例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题：1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在[a,b]上的最小值是 ( )2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )3、()有函数13+--=x x y存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4-44-0044、](()()的值域为时，函数当1435,02+-=∈x x x f x()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、求函数y=-x-6+ 的值域x -1Ⅱ、利用函数单调性求单调区间1、()________..62是的单调区间函数-+=x x x f2、()的递增区间是函数245x x y --=](][][)[∞+∞∞、、、、、、、、11-2-2--2--D C B A3、函数的增区间是（ ）。
函数基本性质题型及解题技巧
函数基本性质题型及解题技巧函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1.配凑法：将关系式配凑成括号内的形式。
例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。
解：因为$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
2.换元法：令括号内的部分等于$t$，然后解出$x$，带入得到关于$t$的解析式，最后再换回$x$。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
解：令$t=x+1$，则$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。
所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。
3.待定系数法：根据已知函数类型，设相应的函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数。
例如，已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
因此，所求函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。
4.消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现$f(x)$与$f(-x)$，则一般用$x$代之或用$-x$代之，构造另一个方程，然后联立解方程组得到$f(x)$。
例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。
解：因为$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。
二、绝对值图像的画法：5.对于函数$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的点和两个对称轴上的点，然后将它们连起来。
函数的单调性求解技巧
函数的单调性求解技巧函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，也就是函数图像的上升或下降趋势。
在数学中，确定函数的单调性是解决不等式和优化问题的重要步骤。
本文将介绍一些常用的技巧和方法，帮助读者更好地求解函数的单调性。
一、导数法求解函数的单调性最常用的方法就是使用导数。
利用导数可以确定函数的增减性。
具体步骤如下：1.求函数的导数。
设函数为f(x)，则求导得到f'(x)。
2.求出f'(x)的零点。
零点即为f(x)的增减区间的分界点。
3.根据f'(x)的正负确定f(x)的单调性。
当f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
例如，求解函数f(x) = x^2 + 3x + 2的单调性：1.求导得到f'(x) = 2x + 3。
2.令f'(x) = 0，解得x = -3/2。
3.当x < -3/2时，f'(x) < 0，函数f(x)在该区间上单调递减；当x > -3/2时，f'(x) > 0，函数f(x)在该区间上单调递增。
二、二阶导数法除了使用一阶导数外，还可以通过二阶导数的正负确定函数的凹凸性，从而进一步确定函数的单调性。
1.求函数的二阶导数。
设函数为f(x)，求导得到f''(x)。
2.求出f''(x)的零点。
零点即为f(x)的拐点。
3.根据f''(x)的正负确定f(x)的凹凸性。
当f''(x)>0时，f(x)在该区间上为凹函数，即函数图像上凹；当f''(x)<0时，f(x)在该区间上为凸函数，即函数图像下凸。
4.进一步根据一阶导数f'(x)的正负确定f(x的单调性。
当f''(x)>0且f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f''(x)>0且f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
函数的单调性知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1.单调函数的定义专业整理专业整理2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间.注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么①1212()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；专业整理1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2、《名师一号》P16 问题探究 问题2单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法:设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充)（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，专业整理则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数； 如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数． （2）单调性的判断方法：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数， 则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数． 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增)(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数， 若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f [g (x )]为增函数； 若f (x )、g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为减函数． 简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．专业整理函数单调性的应用《名师一号》P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．二、例题分析：（一) 函数单调性的判断与证明 例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确(1)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )(2)函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数．( )(3)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( )答案： √ × √例1.（2）《名师一号》P16 高频考点例1（1）(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.（1）《名师一号》P16 高频考点例1（2）判断函数f(x)＝axx＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x1＋1－ax2x2＋1＝ax1x2＋1－ax2x1＋1x1＋1x2＋1＝a x1－x2x1＋1x2＋1专业整理∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意：《名师一号》P17 高频考点例1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1.《名师一号》P16 高频考点例2（1）求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；专业整理专业整理y ＝x －|1－x |＝⎩⎨⎧1，x ≥1，2x －1，x <1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2） 求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解析:令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0.则x <1或x >3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意：《名师一号》P17 高频考点例2 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.（2）(补充)21122log4log⎛⎫=-⎪⎝⎭y x x专业整理专业整理答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭练习:()222log log y x x =-答案：增区间：)+∞；减区间：(（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小 例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【规范解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.专业整理例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式 f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)【规范解答】作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)专业整理已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数x 1≠x 2，都有1212()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2【规范解答】函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧ a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138.例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案][－14，0][解析](1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1 a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a≥4，解得－14≤a<0.综上所述－14≤a≤0.例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)专业整理[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，则a的取值范围是？[点评] f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.专业整理专业整理例2.(3) （补充） 若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减， 则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27]答案：A温故知新P23 第9题若函数()()212log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是《计时双基练》P217 基础7《计时双基练》P217 基础8、10 8、设函数()12+=+ax f x x a在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值范围是答案: [)1,+∞专业整理10、设函数()()=≠-x f x x a x a（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.答案: [)1,+∞（五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足 f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x |>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．专业整理练习：()y f x =是定义在[]1,1-上的增函数，解不等式2(1)(1)f x f x -<-答案：()0,1温故知新 P12 第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2. 《计时双基练》P216 培优4函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y，当1>x 时，有()0>f x 。
(word完整版)高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x vx ,并是某个区间上任意二 值；②作差：工1）一/（七）；或作商：」（西），丁 （工I ）W0；③变形/（耳）一/（勺）向有利于判断差值符号的方向变形；/61）,丁（工1）金0向 有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分 解；2、通分，当原函数是 分式函数 时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是 根式函数 时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法:解：设一 1<X 1<X 2,则 f(X 1)—f(x 2)=4 + 1 —句 +1= E+D5+D・一1<X 1<X 2 ,• ・ X 1 — X 2<0, X 1+ 1>0, X 2 + 1>0.例1.判断函数/ （王）二工十1+ 8）上的单调性，并证明..・当 a>0 时，f(x i )—f(x 2)<0, 即 f(x i )<f(x 2),函数y = f(x)在(一1, + 00)上单调递增.当 a<0 时，f(x 1) —f(x 2)>0 ,即 f(x i )>f(x 2), 函数y = f(x)在(一1, +00)上单调递减.n... r~ J \x i ）~ J （叼）=证明：设U C 网父/三,则因为。
^玉K 工G ,所以二二L 所以1—士式0所以现勺可々 ，所以，《不）一/（吃）=^-^2--- ）因为工1 一巧＜ 01Hl 覆工.所以-上,。
所以玉勺可々 ，所以」「「I"J- 所以一.」»「 同理，可得…「作商法:例3.设函数y=f (x)定义在R 上，对于任意实数 m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当 x >0 时，0 vf (x) v 1(1)求证：f(0)=1 且当 x<0 时，f(x)>1 (2)求证：f (x)在R 上是减函数.例2.证明函数 川）…在区间9一国和函.上是增函数;[-而市口上为减函数。
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。
单调性函数常见题型及其解答
单调性函数常见题型及其解答单调性是数学中一个重要的性质，它描述了函数在定义域内的变化趋势。
单调性在函数的研究和应用中具有重要的作用，掌握常见的单调性问题有助于我们更好地理解和运用函数。
在解答单调性函数常见题型时，我们可以通过以下几个角度入手：函数的导数、函数的图像、函数的定义、函数的性质等等。
接下来，我们将针对几个常见的单调性函数题型进行讲解。
1.求函数的单调增区间和单调减区间：要判断函数的单调性，我们可以通过求函数的导数来得到函数的单调性区间。
对于连续可导的函数，当导数大于0时，函数是单调递增的；当导数小于0时，函数是单调递减的。
当导数等于0时，函数可能是极大值点或者极小值点。
我们可以通过导数的符号变化来划分函数的单调区间。
例如，考虑函数f(x)=x^2-3x+2、首先求导得到f'(x)=2x-3、当导数大于0时，即2x-3>0，解得x>3/2，所以函数在(3/2,+∞)上是单调递增的；当导数小于0时，即2x-3<0，解得x<3/2，所以函数在(-∞,3/2)上是单调递减的。
函数的单调区间为(-∞,3/2]递减，[3/2,+∞)递增。
2.判断函数在一些点上的单调性：我们可以通过一阶导数和二阶导数来判断函数在一些点上的单调性。
如果一阶导数大于0且二阶导数大于等于0，则该点为函数的极小值点，函数在该点上是单调递增的；如果一阶导数小于0且二阶导数小于等于0，则该点为函数的极大值点，函数在该点上是单调递减的。
例如，考虑函数f(x)=x^3-3x^2-4x+12、首先求导得到f'(x)=3x^2-6x-4，f''(x)=6x-6、我们要判断函数在x=2处的单调性。
将x=2带入一阶导数和二阶导数中计算得到f'(2)=2，f''(2)=6、由于一阶导数大于0，二阶导数大于等于0，所以函数在x=2处是单调递增的。
3.求函数的最值：求函数的最值也和单调性有关。
(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f (x)的单 调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增． 同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.
高中数学函数单调性的判定和证明方法
高中数学函数单调性的判定和证明方法函数的单调性判定是数学函数研究中的重要内容，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特征。
本文将详细介绍高中数学中常用的函数单调性判定和证明方法。
一、函数的单调性概念在讨论函数的单调性之前，我们首先要了解函数的增减性和单调性的概念。
1.增减性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为减函数。
2.单调性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递减函数。
二、判定函数单调性的方法根据函数的定义，我们可以得出一些判定函数单调性的常用方法。
1.导数法如果函数f(x)在区间(a,b)上是单调的，那么它在该区间上的导数f'(x)恒大于0（或恒小于0），即函数的增减性与导数的正负性相同。
因此，通过求函数的导数并研究导数的正负性可以得出函数的单调性。
以f(x)为例，通过以下步骤可以判断f(x)的单调性：（1）求函数f(x)的导数f'(x)。
（2）研究f(x)的导数f'(x)在区间(a,b)上的正负性。
（3）若f'(x)在区间(a,b)上恒大于0（或恒小于0），则f(x)在(a,b)上递增（或递减）。
（4）若f'(x)在区间(a,b)上既大于0又小于0，或在一些点上为0，则f(x)在(a,b)上不是单调函数。
2.函数表和图像法函数表和图像法是直观判断函数单调性的方法。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型在高中数学考试中占据着相当大的比重，因此掌握函数的相关知识和解题方法对于学生们来说至关重要。
接下来，我们将针对高中函数题型及解题方法进行详细介绍。
一、函数的基本概念。
函数是指一个自变量和一个因变量之间的对应关系。
在数学中，通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等都是我们在解题时需要考虑的因素。
二、常见函数题型及解题方法。
1. 判断函数的奇偶性。
当题目给出一个函数，要求判断该函数的奇偶性时，我们只需要分别代入f(-x)和f(x)，然后比较f(-x)和f(x)的关系即可得出结论。
2. 求函数的定义域和值域。
对于给定的函数，我们需要根据函数的性质来求其定义域和值域。
对于有理函数、根式函数等特殊函数，我们需要注意其分母不能为0，根式内不能为负等条件，来确定函数的定义域和值域。
3. 求函数的单调性。
对于给定的函数，我们需要求其单调区间。
这时，我们需要求出函数的导数，然后根据导数的正负来判断函数的单调性。
4. 求函数的极值。
对于给定的函数，我们需要求其极值点。
这时，我们需要求出函数的导数，然后令导数等于0，解出x的值，再代入原函数中求出对应的y值，即可得到极值点。
5. 求函数的图像。
对于给定的函数，我们需要根据函数的性质来画出其图像。
根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，我们可以画出函数的大致图像。
6. 函数的复合。
对于两个给定的函数，我们需要求它们的复合函数。
这时，我们只需要将一个函数的输出作为另一个函数的输入，然后进行代入运算即可得到复合函数。
7. 函数的应用。
在实际问题中，函数也经常被用来描述某种规律或关系。
这时，我们需要根据问题的描述，建立相应的函数模型，然后利用函数的性质来解决实际问题。
以上就是高中函数题型及解题方法的相关内容。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握函数的相关知识和解题方法，从而在高中数学考试中取得更好的成绩。
求函数的单调区间的方法
求函数的单调区间的方法要确定函数的单调区间，首先需要知道什么是单调函数。
一个函数在定义域上的变化趋势可以分为单调递增和单调递减两种情况。
当函数的导函数在定义域上恒大于0时，函数是递增的；当函数的导函数在定义域上恒小于0时，函数是递减的。
下面将介绍几种常见的判断函数单调性的方法。
一、根据函数的导数判断函数的单调性:了解函数的单调性的一种常见方法是根据函数的导数来判断。
假设有一个函数f(x)，如果在区间[a,b]上有f'(x)>0，则函数在该区间上是递增的；如果在区间[a,b]上有f'(x)<0，则函数在该区间上是递减的。
例如，对于一个函数f(x)=x^2，可以先求出它的导数f'(x)=2x，然后观察f'(x)的正负情况：当x<0时，f'(x)<0，说明函数f(x)在(-∞,0)上是递减的；当x>0时，f'(x)>0，说明函数f(x)在(0,+∞)上是递增的。
所以整个定义域上的函数f(x)是递增的。
二、通过函数的二阶导数判断函数的单调性:函数的二阶导数描述的是函数的斜率的变化趋势。
通过观察函数的二阶导数的正负性，可以判断函数的单调性。
如果函数的二阶导数在区间[a,b]上恒大于0，则函数在该区间上是递增的；如果二阶导数在区间[a,b]上恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
例如，对于一个函数f(x)=x^3，可以先求出它的导数f'(x)=3x^2，再求出它的二阶导数f''(x)=6x。
观察f''(x)的正负情况：当x<0时，f''(x)<0，说明函数f(x)在(-∞,0)上是递减的；当x>0时，f''(x)>0，说明函数f(x)在(0,+∞)上是递增的。
所以整个定义域上的函数f(x)是递增的。
三、通过函数的图像判断函数的单调性:通过函数的图像也可以直观地判断函数的单调性。
高中数学函数的单调性解题技巧
高中数学函数的单调性解题技巧在高中数学中，函数的单调性是一个重要的概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。
掌握函数的单调性解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还能够提高我们的解题效率。
本文将从题目的角度出发，结合具体的例题，介绍一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握函数的单调性。
一、常见的函数类型在解题过程中，我们会遇到各种不同类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，因此我们需要根据具体的函数类型来确定解题的方法。
例如，对于线性函数y=kx+b，其中k和b为常数，我们可以通过求导或者观察系数k的正负来确定函数的单调性。
如果k>0，那么函数是递增的；如果k<0，那么函数是递减的。
这个规律可以帮助我们快速判断线性函数的单调性。
二、函数图像的分析函数的图像是我们解题的重要工具之一，通过观察函数的图像，我们可以获得很多关于函数单调性的信息。
例如，对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过函数的开口方向来判断函数的单调性。
如果a>0，那么函数的图像开口向上，函数是递增的；如果a<0，那么函数的图像开口向下，函数是递减的。
此外，我们还可以通过函数的极值点来判断函数的单调性。
对于二次函数来说，极值点就是顶点，如果顶点是最小值，那么函数是递增的；如果顶点是最大值，那么函数是递减的。
三、函数的导数分析函数的导数是描述函数变化率的重要工具，通过求导数，我们可以得到函数的增减情况。
对于单调递增的函数来说，导数始终大于等于0；对于单调递减的函数来说，导数始终小于等于0。
例如，对于指数函数y=a^x，其中a>0且a≠1，我们可以通过求导数来判断函数的单调性。
求导后得到的导数为ln(a)*a^x，由于ln(a)是一个常数，所以导数的正负取决于a^x的正负。
如果a>1，那么函数是递增的；如果0<a<1，那么函数是递减的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。
【基础知识】区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
否则都叫函数不具有严格的单调性。
3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。
（2）复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数1()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有11()0(()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）。
（4）图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。
4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 （1）定义法（2）复合函数法先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。
（3）导数法在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =。
（2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。
其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数。
（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。
【方法讲评】例1证明函数()(0)af x x a x=+>在区间(,)a +∞是增函数。
解：设21x x a <<，2122211122112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 21211221121221))(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=21x x a << 012>-∴x x a x x >21 0)()(12>-∴x f x f∴函数()(0)af x x a x=+>在区间(,)a +∞是增函数。
例2 求函数2()(0)a f x x a x=+>的单调区间．解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 222211212121222121212121212()()(1)()()()()x x a x x a x x x x x x x x a x x x x a x x x x x x -=-+=-----=-=(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数． (2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0，0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．例3 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -< 解：121212(1)1(1)(1)(1)(1)01[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)01[(1)]()(1)()()()x x f f f f x x f f f f f x xx f x f x f f x f x f x ==∴=+∴===-∴-⨯-=-+-∴=-∴-===-∴⨯-=+-∴-=∴令令令是偶函数1112122222221111212 222(2)0()()()()()()()()011()0()0()()0 0+x xx x f x f x f x f x f x f f xx xx x xf x x x f x f f x f xx x x>>∴-=-=+-=>>∴>>>∴>∴->∴∞设时，函数在（，）上是增函数12222(3)2(22)(2)(2)2(4)2(21)2(4)()+x0101022100,222|21|<4x x f f f ff x f f xx x x xx==∴⨯=+=∴=-<=∞≠⎧⎪∴-≠∴-<<≠≠±⎨⎪-⎩令是偶函数在（0，）上时增函数且【变式演练2】已知()f x是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f=，若,[1,1],0m n m n∈-+≠时，有()()f m f nm n+>+。
（1）解不等式1()(1)2f x f x+<-（2）若2()21f x t at≤-+对所有[1,1],[1,1]x a∈-∈-恒成立，求实数t的取值范围。
例4 已知函数1ln)1()(2+++=axxaxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）设1-<a.如果对任意),0(,21+∞∈xx，||4)()(|2121xxxfxf-≥-，求a的取值范围。
解：（Ⅰ）()f x的定义域为（0，+∞）.2121'()2a ax af x axx x+++=+=.当0a≥时，'()f x＞0，故()f x在（0，+∞）单调增加；当1a≤-时，'()f x＜0，故()f x在（0，+∞）单调减少；当-1＜a ＜0时，令'()f x =0，解得12a x a+=-.则当1(0,)2a x a +∈-时，'()f x ＞0；1(,)2a x a +∈-+∞时，'()f x ＜0. 故()f x 在1(0,)2a a +-单调增加，在1(,)2a a+-+∞单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-等价于 12,(0,)x x ∀∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ① 令()()4g x f x x =+，则1'()24a g x ax x+=++ ①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即1240a ax x+++≤. 从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2].(Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.例5 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值。
,,,()12().423()0()422()x x x x x x x x πππππ=+=+===解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f sin 令f ，从面sin ，或，当变化时，f ，f(x)变化情况如下表：x (0,)ππ3(,)2ππ32π 3(,2)2ππ 1()f x+ 0 - 0+ ()f x单调递增2π+单调递减32π 单调递增3223332222πππππππππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。
【变式演练4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．例6（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。
解：（1）函数的定义域为),2()1,(+∞⋃-∞， 设232+-=x x t ，t y 7.0log =232+-=x x t 在),2(),1,(+∞-∞上分别是单调递减和单调递增的，t y 7.0log =在),0(+∞上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数20.7log (32)y x x =-+在),2(),1,(+∞-∞上分别单调递增、单调递减。
（2）解法一：函数的定义域为R ，分解基本函数为82)(2++-==x t t f g 和22t t -=。
C BPOAD显然82)(2++-==x t t f g 在),1(+∞上是单调递减的，)1,(-∞上单调递增；而22x t -=在),0(),0,(+∞-∞上分别是单调递增和单调递减的。