角动量算符的本征值方程

角动量算符的本征值方程

在量子力学中，我们知道，角动量算符x L ∧

，y L ∧

，z L ∧

满足本征值方程:

()

(

)()

,1,1,,,x lm l m l m L Y ∧

+-=

+θφθφθφ， (1)

()

()

()

,1,1,, ,y lm l m l m L Y ∧

+-=+θφθφθφ, (2)

()(),,z lm lm L Y mY ∧

=θφθφ. （3）

或取ˆˆˆx y

L L iL ±=±,则 (

)()1ˆ,,lm

lm L Y ±±θϕ=θϕ, （4）

而

()()()2ˆ,1,lm lm

L Y l l Y θϕ=+θϕ 这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系. 由§5.3节(7)式知

()()()()''

12

1

2

ˆ(),, (,, 1, , )

l

l lm m m

lm m l

P R f D R f m m l l l '=-='=--+∑L L ξξξξ, (5)

其中()12,lm f ξξ取形式

()

12,l m l m

lm f +-ξξ=

其性质与球谐函数()φθ,lm Y 相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：

()()'ˆ()(,)(,)l

l lm

lm m m

m l

P R Y D R Y

'

'=-=∑θφθφ (6)

首先考虑绕x 轴转角为0∆η→的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符

()0

ˆˆˆ1x

i L x

x

P R e i L ∆η→-∆η=-∆η; （7） 由于绕x 轴转动η∆角，可视为欧勒角为2π

α-=，ηβ∆=，2

π

γ=的转

动，这样由§5.4节(2)式知：

()

()

()()()()()()()∑+='+-'-'--+'-'+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-m l k k

l m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 0

!!!!!!!!12,,2πηπ ()

m m i

k

m m k

m m l e

-'+-'-'-+⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

∆-⎪

⎭

⎫

⎝⎛∆2

2222sin 2cos π

ηη

亦即

()

()

()

()0

22

1 2l m

k l m m x k m m k

i

m m D R e

+'='-+π

'-∆η→-∆η⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

∑ (8)

在0→∆η时，展开式只保留η∆的零级与一级项， 则有： 20m m k '-+= 或 21m m k '-+=. (9) (1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），故0=k 或m m =', 而

()

()1l

mm x D R = (10)

(2)当+21m m k '-=, 或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0, 1k =.

当0=k 时， 1=-'m m ，或1+='m m ，则由(8)式知：

()

()

12)2

l m m x i D R i +∆η⎫

=-⎪

⎝⎭

∆η

-

(11)

当1=k 时，1-=-'m m ，即1-='m m ，则由（8）式得

()

()

12 )

2

l m m x D R i i -∆η⎫

=⎪

⎝⎭

∆η

=- (12)

将（7）、（10）、（11

）及（12）式代入（6）式得

()()1

1ˆ(1),,(,)2(,)]

x lm lm lm lm i i L Y Y +-∆η-∆ηθϕ=θϕ-θφ+θφ

由此得

()

()()

,1,1ˆ,,,x lm

l m l m L Y +-θϕ=θϕ+

θϕ （13）

与(1)式完全一致.

再考虑饶y 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：

()0

ˆˆˆ1y i L y y P R e i L ∆η→-∆η=-∆η; （14） 该转动的三个欧勒角分别为0=α，ηβ∆=，0=γ，将其代入§5.4节（2）式得

()

()()

=0

2220,,01 cos sin 22l m k

l m m k l m m k

m m k

D +'''+---+∆η=-∆η∆η⎛

⎫⎛

⎫- ⎪

⎪

⎝⎭⎝

⎭∑

在0→∆η时，

()

()()()()()()()()()∑+-''⎪

⎭⎫ ⎝⎛∆-+-'-'--+'-'+-+-=∆k k m m k

l m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 22!!!!!!!!10,,0ηη （15） 在展开式中，只保留η∆的零级与一级项，则有

20m m k '-+= 或 21m m k '-+=.

(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='，则

()

() 1.l

mm y D R = （16）

（2）当12=-'+m m k ，或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故10==k k 或.

当0=k 时， 1+='m

m ，与上面同样的讨论知

()

1()2l m m y D R +∆η⎫

=-

⎪⎭

（17） 当1

=k 时，1-='m m . 与上面同样的讨论知

()1()l m m y D R -=

（18） 将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6

）式得

(

)()()

,1,1ˆ,,,y lm l m l m L Y +-θϕ=θϕ+

θϕ （19）

与(2)式一致.

最后考虑饶z 轴转角为0→∆η的变换，在该变换下，若不考虑