集合和命题的讲义1
集合和命题的讲义1
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．
三、 课堂练习
（上海，19）记函数f （x ）=1
32++-
x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .
（1）求A；
（2）若B A，求实数a的取值范围.
【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π
4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（-∞，2）B．（-∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．
（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（-∞，2）B．（-∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．。
第一讲 集合与命题及其关系
高考复习资料第一讲 集合与命题及其关系知识回顾 一、集合Ⅰ、集合具有确定性、互异性、无序性三个特征Ⅱ、空集是一种特殊集合，不含元素，是任何一个非空集合的真子集。
Ⅲ、集合常用的表示方法有：列举法，描述法，图示法。
Ⅳ、若一个集合中有n 个元素，则该集合的子集有__________个，真子集有__________个。
Ⅴ、常见的数集：自然数集_____；正整数集_____；整数集______；有理数集______；实数集______；复数集______； 二、命题Ⅰ、命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题。
判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题。
Ⅱ、四种命题的形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；（交换原命题的条件和结论）否命题：若┐p 则┐q （同时否定原命题的条件和结论）；逆否命题：若┐q 则┐p （交换原命题的条件和结论，并且同时否定）。
Ⅲ、四种命题的关系：互逆、互否命题之间的真假没有必然联系；互为逆否命题则同真同假。
Ⅳ、充分、必要、充要条件1)、如果命题“若p 则q ”为真，记为____________________，“若p 则q ”为假，记为____________________。
2)、如果已知p q ⇒，则p 是q 的_______________________，q 是p 的_________________________________。
3)、如果既有p q ⇒,又有q p ⇒，则p 是q 的____________________，记为____________________________。
4)、如果p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的___________________________________。
Ⅴ、反证法的一般步骤： 1）、假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 2）、从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； 3）、由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题结论成立。
第一章 集合与命题
第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:例题讲解 例1 (1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD. AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .例5 已知下列两集合A 、B ，求AB ；(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6 同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合.例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，A B =∅.回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。
4集合与命题
Ex：已知非空集合 M 1, 2,3, 4,5,且若 a M,则 6 a M ,
求集合M的个数 23-1=7 7个
6 ．集合的运算：
①交集：A B { x x A且x B}
AB
AB
AB
②并集：A B { x x A或x B}
AB
A
B
AB
③补集：全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 1或2
Ex:已知P={0，1}，M={x∣x P}，则P 与M的关系为（ A ）
A P M B P M C P M D P M
Ex：设集合N {x x k 1 , k Z}，M {x x k 1 , k Z},则（B）
42
24
A M N (B)M N (C)M N DM N
一个充分不必要条件； a 0等
(3)求实数a的取值范围，使它成为 M P 5 x 8
的一个必要不充分条件。 ，5等
Ex：已知命题A：函数 f x x2 4mx 4m2 2 在区间
1,3 上的最小值等于2；命题B：不等式 x x m 1
对任意 x R成立；命题C：x m x 2m 1 x x2 1 0
Ex: 求满足 1, 2, 3 A 1, 2, 3,
Ex: 求满足1, 2, 3 A 1, 2, 3,
, n的集合A的个数。
2n3
, n 的集合A的个数。
2n3 1
Ex: 求满足1, 2, 3 A 1, 2, 3, , n的集合A的个数。
2n3 2
Ex：在集合 A 1, a2 a 1, a2 2a 2 中，a 的值可以是（A ）
(1)已知A、B、C中有且仅有一个真命题，试求实数m的 取值范围；
集合和命题知识点
集合和命题是数学中的基础概念之一，它们在逻辑推理和问题求解中起着重要的作用。
本文将介绍集合和命题的基本概念，并以“step by step”的思维方式进行解释。
集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或其他事物。
我们可以用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A可以表示为 A = {1, 2, 3, 4}，其中1、2、3和4是A的元素。
集合可以通过包含和不包含元素的方式进行描述。
如果一个元素属于某个集合，我们可以说它是该集合的成员。
如果一个元素不属于某个集合，我们可以说它不是该集合的成员。
例如，如果 B = {2, 4, 6, 8}，我们可以说2是B的成员，但5不是B的成员。
集合可以有无限多个元素，也可以只有一个元素或者没有元素。
一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号 {} 或者∅ 表示。
集合之间可以进行一些基本的操作，包括并集、交集和补集。
并集表示两个或多个集合中所有元素的总和，交集表示两个或多个集合中共有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。
命题命题是陈述语句，可以被判断为真或假。
例如，“1 + 1 = 2” 是一个命题，因为它可以被判断为真。
命题可以用字母或其他符号来表示，例如 p、q 或者 P、Q。
命题之间可以进行一些逻辑操作，包括否定、合取、析取和条件。
否定操作表示一个命题的相反，合取操作表示多个命题同时为真，析取操作表示多个命题中至少有一个为真，条件操作表示一个命题的条件是另一个命题。
命题之间的逻辑操作可以通过真值表来进行表示和计算。
真值表列出了命题和逻辑操作的所有可能组合，以及它们的结果。
通过真值表，我们可以确定逻辑操作的结果是真还是假。
step by step 思维“step by step”思维方式是一种逐步推理和解决问题的方法。
它可以帮助我们将复杂的问题分解为更小的部分，逐步解决。
这种思维方式在数学推理中尤为重要，因为它可以帮助我们清晰地组织思路，避免错误和混淆。
第一章 集合和命题
戴博士课堂
集合的例子： ①某校高中一年级全体 学生； ②某次足球联赛参赛队 的全体； ③平面上到定点距离等 于定长的点的全体； ④所有的锐角三角形
戴博士课堂
例2.用适当的方法表示下列 集合： （ 1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合 A； （2）被3除余2的自然数全体组成的集 合B； （3）直角坐标平面上第二 象限的点组成的集合 C.
解：（ 1 ）有限集且元素个数很 少，适合用列举法 : A {2,4,6}; （2）集合B为无限集，用描述法表 示，B {x | x 3k 2, k N}；
1 解：①当a 0时，x , 集合A中仅有一个元素； 2 ②当a 0时，一元二次方程的判 别式 b 2 4ac (2) 2 4a(1) 4 4a 0, 解得：a 1. 综上，实数a的取值范围为 {a | a 1或a 0}.
1.2 集合之间的关系
王老师不是某校高中一 年级全体学生组成的集 合的元素； 一个等边三角形是所有 锐角三角形组成的集合 的一个元素。
戴博士课堂
集合元素的唯一性
对于一个给定的集合， 集合中的元素是各不相 同的.也就是说， 一个给定的集合中的任 何两个元素都是不同的 对象.集合中的 元素不重复出现 .
集合常用大写字母 A、B、C、 ...... 表示，集合中的元素用 小写字母 a、b、c、 ...... 表示.
戴博士课堂
例4. 写出集合{0,5,10}的所有子集和真子集.
解：(1)所有子集为， {0}， {5}， {10}， {0， 5}， {0， 10}， {5,10}， {0， 5,10}； （2）所有真子集为， {0}， {5}， {10}， {0， 5}， {0， 10}， {5,10}.
第一章 集合与命题
9
定义 2：对于两个集合 A 与 B，如果 A B 且 B A， 那么叫做集合 A 等于集合 B ，记作 A = B（读作集合 A 等于集合 B ）；
定义 3：对于两个集合 A 与 B ，如果 A B ，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 叫做 B 的真子 集，记作： AÜ B或 B Ý A，读作 A 真包含于 B 或 B 真 包含 A .
16
5．交集的运算性质
对于任何集合A、B，有 (1)A∩B＝B∩A； (2)A∩A＝A； (3)A∩Ø＝Ø ；
(4)A∩B ⊆ A，A∩B⊆B； (5)A∩B＝A⇔A⊆B
.
17
6．并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A； (2)A∪A＝A； (3)A∪Ø＝A；
(4)A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B； (5)A∪B＝B⇔A⊆B. 7．交集、并集、补集的关系 A∩(∁UA)＝Ø；A∪(∁UA)＝U. 8．常见结论 (1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B； (2)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø.
2.若p q, q p,即p q,则p是q充分必要条件， 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.
3.若p q, q p,则p是q的既不充分不必要条件. q是p的既不必要不充分条件.
31
2010年上海15
A
32
2009年上海 15
A
33
1、判别步骤：
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
• 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个 集合里，或者不在，不能模棱两可;
• 互异性：集合中的元素没有重复； • 无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的
1对1教案讲义 集合、命题及其关系
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年8月16日(星期日) 姓名年级高三性别教学课题第1课时集合、命题及其关系教学目标1、掌握集合、子集等相关概念，理解掌握元素与集合、集合与集合的关系及运算2、掌握四种命题及其相关关系3、集合的综合应用及命题的综合应用重点难点重点：集合基本运算、命题及其关系难点：集合的综合应用及命题的综合应用课前检查课堂教学过程第1部分集合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA⫋B或B A 相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⫋B且B≠∅3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A 图形表示意义{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ，B ，C 表示同一个集合．( ) (2)若a 在集合A 中，则可用符号表示为a ⊆A .( ) (3)若A ⫋B ，则A ⊆B 且A ≠B .( )(4)N *⫋N ⫋Z .( )(5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )(6)对于任意两个集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )成立．( ) (7)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．( ) (8)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (9){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(10)若A ∪B ＝A ∪C ，则B ＝C .( )考点：典例领航考点一 集合的概念命题点1.集合元素的特征2.集合表示方法及意义[方法引航](1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或981．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.2． 已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．考点二集合间的关系及应用命题点1.判断集合的关系2.应用集合的关系[方法引航]1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系．2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[例2](1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．在本例(1)中，集合P变为P＝{y|y＝x2＋1}，Q不变，如何选答案．2．①在本例(2)中，若A⊆B，如何求m的取值范围？②若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求m的取值范围？考点三集合的运算命题点1.数集交、并、补的运算2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算3.利用集合运算求参数[方法引航](1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．[例3] (1) 若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则集合A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1 D ．{0,1}(2) 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2}(3)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．( －∞，－1] B ．[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞]1．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,0) C ．(0,2) D ．(2,3)2．已知集合A ＝{－1,0,4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，全集为Z ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{4}B ．{4，－1}C ．{4,5}D ．{－1,0}3． 已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________[易错警示]空集的呐喊——勿忘我空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有∅⊆A .空集是任何非空集合的真子集．当遇到“A ⊆B ”时，要注意是否需要讨论A ＝∅或A ≠∅两种情况，即“∅优先原则”．[典例] 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为________．课堂基础练习1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}2．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}5．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)第2部分命题及其关系知识梳理1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则┐q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(6)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．()(8)若p是q的充分不必要条件，则┐p是┐q的必要不充分条件．()(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.()(10)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．()考点：典例领航考点一四种命题及其关系命题点 1.命题的改写2.命题的真假判定[方法引航](1)在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.[例1](1)命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a＞b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1(2) 命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0(3) 有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________．2．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点二充分条件与必要充分条件的判断命题点1.定义法2.等价命题法3.集合法[方法引航](1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①┐q是┐p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；,②┐q是┐p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；,③┐q是┐p的充要条件⇔p是q的充要条件.[例2](1)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(2) “x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是()A．┐p⇔┐s B．p⇔sC．┐p⇒┐s D．┐s⇒┐p3．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点三根据充分、必要条件求参数命题点求条件或结论中的参数[方法引航]由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.[例3](1) 已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是()A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2．本例(2)条件不变，若┐P是┐S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．课后能力突破第1部分集合1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示()A．M∩N B．(∁U M)∩NC．M∩(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．24．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是() A．7 B．10C．25D．525．已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．6．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．第2部分命题及其关系1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是()A．若a，b，c成等比数列，则b2≠acB．若a，b，c不成等比数列，则b2≠acC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列。
集合复习讲义
一丶基础知识梳理（一）集合的概念1.集合的定义：2.集合的分类：3.集合中元素的性质：4.集合的表示法：5.常用数集：其包含关系是（二）子集与真子集1.子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作 或真子集：对于集合的真子集，记作叫做集合则集合于中至少有一个元素不属，且若和B ,B B A ,A A B A ⊆或相等的集合：对于两个集合A 和B ，相等，记作和集合，则叫做集合，且若B A A B B A ⊆⊆2.，即空集是任何集合的子集ØA ⊆；空集是任何非空集合的真子集 3.任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆（三）集合的运算1.二丶双基热身Ø 个—个，非空真子集有—，非空子集有—个，真子集有个元素的集合的子集有含有等丶丶号有：：连接集合与集合的符或有：连接元素与集合的符号或，则若则性：211.7.6BA B A ..5,,子集的传集的传递4.2222nn n n n B A CA CB B A ≠=⊆∉∈=⊆⊆⊆⊆⊆{}{}{}::1.2A U B A B A B A B B A B A x x x A B x A x x B A B x A x x A C U =⋂⇔⊆=⋃⇔⊆∉∈=∈∈=⋃∈∈=⋂）充要条件：（常用公式：，图示表示：且补集：，图示表示：或并集：，图示表示：且交集：{}{}{}{}{}(){}{}(){}()}()}=⋂∈-+==∈+===∈≤-===∈≤-====+-==⋂<+-=>-==≠⋂>=≤==-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∈Q P ),1,1(1,1,),1,0(0,1P .6,2,1,,2,1.5,01.4,086,21,.3,Q P ,,1P .2,,,0,1,,.12222是两个向量集合，则已知集合用列举法表示集合组成的集合是则实数若集合则且已知全集的取值范围则实数若已知集合则，若已知R n n Q R m m Z x x x y y x B Z x x x y y A a ax ax x A B A C x x x B x x A R U a a x x Q x x a b a b b b a a R b a U φφ三丶考点整合举例【考点一】集合与集合的关系{}{}的取值范围；，求实数）若（的取值范围；，求实数若（集合已知集合例的与集合，试探究集合—集合且变式：已知集合的关系与集合试探究集合集合设集合例m m m x m x x x x x A Z k k x x B Z k k x x A P Q 2Q P )1(,01)12Q ,04P .2B A 53sin B ,0cot sin ,43tan A B ,,24,,42.1222⊆⊆=-+++==+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==ααααααππππ{}()()[]{}φ≠⋂⊆<+--=<<-==B A 2B A 1,03B 10,12A ）（；）（取值范围。
第一讲：集合与命题1
小结： 小结： 集合概念三要点： 集合概念三要点： ① 确定性 ② 无重复性 ③ 无顺序性
2．集合的表示法： 集合的表示法： 常用的有列举法和描述法． 常用的有列举法和描述法．
列举法是把集合中的元素一一列举出来， 列举法是把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合的方法． 写在大括号内表示集合的方法． 如 （ 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9） 描述法是在大括号内先写出这个集合的元 素的一般形式，再划一条竖线， 素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后 面写上集合中元素所共同具有的特性， 面写上集合中元素所共同具有的特性，即 A={x| x满足的性质p}．如 { x − 2 < x < 5, x ∈ R} x满足的性质p}． 满足的性质p}
{( x , y ) y = 3 x − 2} , 则
ðU M I N
是 （D ）
y−4 = 3 ． ( x, y ) A （A） x−2
y−4 ≠ 3 ． ( x, y ) （B） x−2
解答：如图， ðU M = {( 2,4)} ， 所以 ðU M I N = {( 2, 4 )}
记作 A U B ，读作“ A 并 B ” ，即 A U B = { x x ∈ A 或
x ∈ B} ．如图：
A
B
（6） 全集： 在研究集合与集合之间的关系时， 这些集合往往是某个给定集合的子集，这个 给定的集合叫做全集，常用符号 U 表示．如 图：
U
（7）补集：设 U 为全集， A 是 U 的子集， 则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫 记作 ðU A ， 读作 做集合 A 在全集 U 中的补集， “ A 补” ，即 ðU A = { x x ∈U 且 x ∉ A} ．如图：
高三一轮复习：集合与命题
高三一轮复习：集合与命题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高三一轮复习：集合【知识要点】一、集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体。
（“∈”、“∉”） 1、元素的性质：确定性、无序性、互异性（检验）。
2、集合的分类：有限集、无限集、空集（∅）； 高中阶段常见数集和点集；常见的数集：N *、N 、Z 、Q 、R 、C 。
3、表示方法：列举法、描述法、图示法。
二、集合之间的关系： 1、子集：B A ⊆或A B ⊇。
2、真子集：A ⊂≠B ⇔B A ⊆且B A ≠。
3、相等的集合：⇔=B A B A ⊆且B A ⊇。
【注】（1）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； （2）任何集合是其自身的子集；（3）集合的传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆；（4）含有n 个元素的集合的子集的个数为n 2，真子集的个数为12-n ，非空子集的个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n 。
三、集合的运算：1、交集：=B A {A x x ∈|且B x ∈}；2、并集：=B A {A x x ∈|或B x ∈}；3、补集：UA ={U x x ∈|且A x ∉}。
【例题解析】1、用列举法表示下列集合：（1）集合=A {1|2-=x y y ，2||≤x ，∈x Z }； （2）集合=B {1|),(2-=x y y x ，2||≤x ，∈x Z }；（3）集合83C x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭N Z ，；【解】（1）=A {1-，0，3}；（2）=B {)3,2(，)3,2(-，)0,1(-，)0,1(，)1,0(-}； （3）=C {2-，1-，1，5}。
2、已知集合ππ24k A x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，ππ42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则集合A与B 的关系是A B ⊂≠。
【解】(21)π4k A x x k ⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，，(2)π4k B x x k ⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则A B ⊂≠。
高一数学基本概念——第1章 集合和命题
第1章集合和命题一、集合1.1集合及其表示法1.能够确切指定的对象的全体称为集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
2.集合的表示方法1.列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
2.描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即A={x|x满足的性质p}含义：满足条件P 的x 的集合。
另外，正整数、负整数、正有理数、负有理数、正实数、负实数分别表示为：Z Z R R +-+-+-、、Q 、Q 、、1.2集合之间的关系 一、子集1、一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，即若a ∈A ，则a ∈ B ，就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ， 记作：A ⊆B(或B ⊇A).这时就说集合A 是集合B 的子集。
2、任何一个集合都是它本身的子集，即 A ⊆A 。
3、对于集合Ａ、Ｂ、Ｃ，如果Ａ⊆Ｂ，Ｂ⊆Ｃ，则Ａ⊆Ｃ。
4、规定：空集是任何集合的子集。
即 ∅⊆A 。
5、若A B ⊆，B 中元素具有性质P ，则A 中元素也具有性质P ，反之不然。
二、两个集合相等对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，即BA⊆且AB⊆这时就说集合A与集合B相等，记作A=B.读作“集合A等于集合B”两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。
三、真子集真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B,并且B中至少有一个元素不属于A,就说集合A是集合B的真子集，记作。
读作“A真包含于B”或“B真包含A”。
1.3集合的运算一、交集二、并集高中数学基本概念三、补集二、四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系1.命题与推出关系一、命题：命题是用来判断真假的语句，常是陈述句。
确定一个命题是真命题，必须给出证明。
举反例是判断假命题的重要方法。
第一讲 集合与命题
第一讲 集合与命题第一节 集合的概念与运算一、知识梳理1、集合：把某些能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
2、集合元素的特征：确定性、互异性、无序性3、子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作A B ⊆，或B A ⊇4、真子集：对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫作集合B 的真子集，记作A B Ü，或B A Ý5、相等集：对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，且B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =6、空集：不含任何元素的集合，记∅。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
7、交集：由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫作A 与B 的交集，记作{}A B x x A x B =∈∈ 且8、并集：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合，叫作A 与B 的并集，记作{}A B x x A x B =∈∈ 或9、补集：记U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 在全集U 中的补集，记作{}U A x x U x A =∈∉且ð10、对于含有n 个元素的有限集合{}12,,,n A a a a = ，其子集的个数为2n个，其真子集的个为21n -个，其非空子集的个数为21n -个，其非空真子集的个数为22n-个 11、集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法 12、德·摩根公式：()U UU A B A B = 痧?，()U UU A B A B =痧?二、学法点拨1、理解集合的概念，掌握集合的三种表示方法，领会集合中元素的确定性、互异性、无序性（确定性和无序性主要用于列式，互异性主要用于检验），以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系。
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1. 主要内容：集合的基本概
念、空集、子集和真子集、集
合的相等；集合的交、
并、补运算。
四种命题形
式、等价命题；充分条件与必
要条件。
2. 基本要求：理解集合、空
集的意义，会用列举法和描述
法表示集合；理解子集、
真子集、集合相等等概念，
能判断两个集合之间的包含关充分必要条件
系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。
理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
3. 重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。
难点是对集合
有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。
4. 集合之间的关系：⑴子集：如果A中任何一个元素都属于B,那么A是B的子集，记作
A B.(2)相等的集合：如果A B,且
B A,那么A=B.(3).真子集：
A B且B中至少有一个元素不属于A，记作A B.
5. 集合的运算：(1)交集：A B {xx A且x B}.
(2)并集：A B {x|x A或x B}.(3)补集：C U A {Xx U且x A}.
6. 充分条件、必要条件、充要条件
如果P Q,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
如果P Q,那么P是Q的充要条件。
也就是说，命题P与命题Q是等价命题。
有关概
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性：
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系
3. 充分条件、必要条件与充要条件
(1) 如果p? q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2) 如果p? q, q? p,则p是q的充要条件.
课堂练习
x 3
(上海，⑼记函数f(x)= 2X !的定义域为A，g(x) =lg(x—a- 1)(2a-x) (a v 1)的定义域为B.
（1）求 A ；
（2）若B A，求实数a的取值范围
n
【示例】？（2010 上海）“x= 2k n+ 4（k€ Z）” 是“ tan x= 1” 成立的（
）.
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件D.既不充分也不必要条件
2013?上海)设常数a € R，集合A={x| (x-1)( x-a) > 0} B={x|x >a}，若A U B=R ,_则a 的取值范围为( )
A.( -g, 2)
B.( -s, 2] C . ( 2, +s) D. [2 , +呵
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法.
(2013?上海)设常数 a €R，集合A={x| (x-1)( x-a) >0}, B={x|x》a}，若 A U B=R ,_则 a 的取值范围
为( )
A.( -g, 2)
B.( -g, 2] C . ( 2, +s) D. [2 ,
考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法
（2010?上海）以集合U={a , b, c, d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（
1）?、
U都要选出；（2 ）对选出的任意两个子集A和B,必有A? B或B? A，那么共有
36
种不同的选法.
考点：计数原理的应用.
四、课后作业
专题测试：1. 若集合M {y|y 3x}, P {y|y 3x 3}, 则M I P .
2. 不等式2X 1 3的解集为
x
3. 集合M {x||x 3| 4} , P {y|y x 2 2 x}，则Ml P .
4. 若不等式x2 ax 0的解集是{x0 x 1}，则a .
5. 设f（x） ax2 bx c（a 0），若f（xj 心2）（儿x?），则f
_
6. 对任意实数x,若不等式|x 2| |x 1| k恒成立，则实数k的取值范围是.
7. 若不等式ax2 bx 2 0的解集为（丄,丄），则a b ________________ 。
2 3
8. 已知集合 A {x|x2 5x 6 0}， B {x|mx 1 0}，且AUB A，则实数m _._
9.方程ax2 2x 1 0有一正、一负两根的一个充分不必要条件是
10.已知集合A x|x a| <1 , B x x2 5x 4 >0 . 若Al B,则实数a的取值范围
是
11. 已知集合A{x|x2(m2)x 10, x R}, 若Al R，则实数m的取值范围是
12.已知集合A {x|
2 x3x 20}>B {x|x2 ax a 10, a R}, 且AUB A ,
则a的值为
13. 下列四个集合中，是空集的是V )
A {x|x 3 3} B.{(x,y)|y2x2} C.{x|x2 x} D.{x|x2 x 1 0, x R}
14. 设命题甲：a 2 x2ax10的解集是实数集R
；命题乙
：
0 a 1,
则命题甲是命题乙成立的A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件
15. 记关于x的不等式x a 0的解集为P，不等式| x 1 < 1的解集为
x 1 1
Q .
(1)若a 3，求P ; (2)若Q P，求正数a的取值范围.
2
A {x|x 2x 3
16.
，求a b的值.
2
0}, B {x| x ax b 0}, AUB R, AI B {x|3 x。