2019-2020年高中数学选修2-2：1-1-2 导数的概念 教案
人教版高中数学选修2-2学案：1.1.2导数的概念
1.1.2导数的概念【学习目标】1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵．2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等．【新知自学】知识回顾：1.=∆x___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=∆∆xy_______________________）． 2.平均变化率的几何意义是______________ __________________________________________ ___________________________________________.新知梳理：1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=∆∆→∆xyx 0lim_____________．2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =∆∆→∆xyx 0l i m _____________________．感悟：函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0，当x ∆趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快. 对点练习：1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ） A.)()(00x f x x f y -∆+=∆叫做函数的增量 B.()()x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆00叫做函数在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率 C.()()xx f x x f ∆-∆+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数D.()()00x x 0limx x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数2.若函数f(x)在x=x 0处存在导数，则()()hh lim000h x f x f -+→（ ）A.与0x h 都有关B.仅与0x 有关，与h 无关C.仅与h 有关，与0x 无关D.与0x 、h 都无关 3.()()=∆-∆+→∆xf x f x 33lim`______________.4.函数12)(2-=x x f 当1=x 时的导数)1(f '= ____________ .【合作探究】典例精析：例1. 已知()2x x f =，求)1(f '.变式练习：已知()2+=x x f ，则)2(f '.例2.求函数24x y =在某点的导数.变式练习：求函数3x y =在某点的的导数.规律总结利用导数定义求导数的三步曲：（1）求函数的增量=∆y )()(00x f x x f -∆+； （2）求平均变化率xx f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(y 0； （3）取极限，得导数f '(x)=xy x ∆∆→∆0lim.【课堂小结】【当堂达标】1.如果质点按规律23t s =运动，则在3秒时的瞬时速度为（ ）A.6B.18C.54D.812.如果某物体作运动方程为()212ts -=的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s 末的瞬时速度为 （ ）A.s m /8.4-B.s m /88.0-C.s m /88.0D.s m /8.43.设函数()x f 可导，则()()xf x f x ∆-∆+→∆311lim= （ ）A.()1/f B.3()1/f C.31()1/f D.()3/f4.求曲线()3x x f = 在（2，8）处的瞬时变化率.【课时作业】1.已知(),102+-=x x f 则()x f 在23=x 处的瞬时变化率是（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-22.设函数(),23+=ax x f 若(),31/=-f则a=（ ）A.-1B.21C.1D.31（保留可以删除）** 3.若2)(0='x f ，则 ()()x x x f x f x ∆∆+-→∆2lim 000= .曾子班学生可以处理4.求下列函数的导函数:建议少处理，留着公式法求解*（1）21)(+=x x f ；（2）x x x f -=3)(.5.设(),23+=ax x f 若3)1(=-'f ，求a 的值.6.已知f(x) =x 2，g(x)=x 3，求满足)(2)(x g x f '=+'的x 的值.不难可以前置处理赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
2019年人教版 高中数学 选修2-2 1.1.2导数的概念学案
2019年编·人教版高中数学1．1.2 导数的概念1．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景． 2．了解导数概念．3．会利用导数的定义求函数的导数．基础梳理1．瞬时变化率：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0到x 1时，函数值从f (x 0)到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数：函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝想一想：(1)能否认为函数在x ＝x 0处的导数越大，其函数值的变化就越大？ (2)函数f (x )＝x 在x ＝0处的导数为_____________．(1)解析：这种说法不正确，应该说导数的绝对值越大，函数值变化越快．自测自评1．函数f (x )在x 0处可导，则 (B )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的定义可知选B.2．一物体运动满足曲线方程s ＝4t 2＋2t －3，且s ′(5)＝42(m/s)，其实际意义是(D ) A ．物体5秒内共走过42米 B ．物体每5秒钟运动42米C ．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D ．物体以t ＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米 解析：由导数的物理意义知，s ′(5)＝42(m/s)表示物体在t ＝5秒时的瞬时速度．故选D.3．如果质点A 的运动方程为y ＝3t 2，则它在t ＝1时的瞬时速度为(D ) A ．6t B ．3 C ．6＋Δt D ．6解析：t ＝1的瞬时速度就是t ＝1附近的平均速度当时间变化量Δt 趋近于0的极限．基础巩固1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是(D )A ．－3B ．3C ．6D ．－62．函数f (x )＝2x在x ＝3处的导数是(C )A ．－23B ．－13C ．－29D ．－19解析：Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝23＋Δx －23＝－2·（Δx ）3（3＋Δx ），所以Δy Δx ＝－23（3＋Δx ），于是f (x )在x ＝3处的导数为f ′(3)＝＝－29.故选C.3．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s （1＋Δt ）－s （1）Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是(C )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 解析：由于s (t )＝12gt 2，所以由导数的定义可得：即s ′(1)＝s （1＋Δt ）－s （1）Δt＝9.8(m/s)．所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s这一时刻的速率．4．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，那么在t ＝3时的瞬时速度为________． 解析：∵Δy ＝3(3＋Δt )2－3×32＝18Δt ＋3(Δt )2，∴s ′(3)＝Δs Δt＝ (18＋3Δt )＝18.答案：18 能力提升5．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是(C ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．3解析：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20，由f ′(x 0)＝3得3x 20＝3，∴x 0＝±1.6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则(C )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：∵f ′(x 0)＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝a Δx ＋b （Δx ）2Δx＝(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .7．设函数f (x )满足f （1）－f （1－x ）x＝－1，则f ′(1)＝________．解析：∵f （1）－f （1－x ）x＝f （1－x ）－f （1）－x＝f ′(1)＝－1.答案：－18．函数f (x )＝x 2＋1在x ＝1处可导，在求f ′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx ，则函数的增量Δy ＝____________．解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2. 答案：2Δx ＋(Δx )29．求函数f (x )＝x 3＋2x ＋1在x 0＝1处的导数f ′(1)． 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋5Δx ，∴f ′(1)＝Δy Δx＝[]（Δx ）2＋3Δx ＋5＝5.10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与ΔsΔt ；(2)求t ＝20时的速度．解析：(1)当t ＝20，Δt ＝0.1时， Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202) ＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)．∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v ＝Δs Δt ＝10（t ＋Δt ）＋5（t ＋Δt ）2－10t －5t2Δt＝5（Δt ）2＋10Δt ＋10t ΔtΔt＝ (5Δt ＋10＋10t )＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．。
选修2-2第一章1.1.2导数的概念-教案
第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。
解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。
高中数学人教A版选修2-2 第一章1.1.2导数的概念教案 精品
§1.1.2 导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数。
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念．
（一）、情景引入，激发兴趣
【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。
科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
(二)、探究新知，揭示概念。
高中数学《导数的概念》教案1 新人教A版选修2-2
第一课时 导数的背景：曲线的切线与瞬时速度【课时目标】 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义【引入探索】1． 圆的切线直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。
这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
问题：能不能把圆的切线推广为一般曲线的切线呢？（请学生说出推广的结果后，教师引导学生加以剖析）。
2． 曲线的切线 1）观察图形得出：相切可能不止一个交点，有惟一交点的也不一定是相切。
所以对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。
2）作图，按书上讲解，再用几何画板演示一次。
3）一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P（00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率xy k PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率x y k PQ ∆∆=的极限为k. 例题 P （1,2）是曲线2x y =+1上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.（图略）3．巩固练习 P111练习1，2（处理：学生自求）4．瞬时速度例题 一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？说明：1）上例中，如果运用物理所学地匀变速直线运动地速度公式，可得v t =v 0+at=gt=29.4(m/s)这与上面用平均速度的极限求得的瞬时速度是一样的。
2）这种速度的极限求法适用范围就比较广，只要知道运动的规律（函数表达式），即可求出任一时刻的瞬时速度。
一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，t s ∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 5．巩固练习：P113练习1，2（处理：学生自求）【小结】 瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy ∆∆当x ∆趋近于0时的极限。
新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
高中数学选修2-2——导数(单调性)(教案)
导数运算及其应用（一）知识梳理一、导数的概念及其运算1、函数y =f(x)从x 1到x 2的平均变化率 函数y =f(x)从x 1到x 2的平均变化率为1212)()(x x x f x f --，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2、函数y =f(x)在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0xx f x x f ∆-∆+)()(00为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0xx f x x f ∆-∆+)()(00. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3、函数y ＝f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0xx f x x f ∆-∆+)()(为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4、基本初等函数的导数公式5、导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)')()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝[]2)()(')()()('x g x g x f x g x f - (g (x )≠0)． 6、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、导数公式的应用和曲线的切线方程1、导数的几何意义函数)(x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线斜率. 2、求曲线切线方程的步骤（1）求出函数)(x f y =在点0x x =的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标))(,(00x f x P 和切线斜率的条件下，求得切线方程为))((000x x x f y y -'=-.注：①当曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解.三、用导数研究函数的单调性1、求函数的单调性(1)明确函数的定义域，并求函数的导函数)(x f '； (2)若导函数()()>0()<0f x f x ''时，并求对应的解集； (3)列表，确定函数的单调性；(4)下结论，写出函数)(x f 的单调递增区间和单调递减区间. 注意：导函数看正负，原函数看增减.2、含参数的分类讨论问题(1)明确函数的定义域，并求函数的导函数)(x f '；(2)根据导函数()f x '形式，对相关参数进行分类讨论.从而确定()()>0()<0f x f x ''对应的解集；(3)列表，确定函数的单调性；(4)下结论，写出函数)(x f 的单调递增区间和单调递减区间. 注意：导函数看正负，原函数看增减.3、已知单调性求参数范围(1)明确函数的定义域，并求函数的导函数)(x f '； (2)根据:原函数单调递增(减),则有()()0()0f x f x ''≥≤恒成立. (3)结合函数定义域,利用上述恒成立的不等式,确定参数的取值范围； (4)下结论.注意：导函数看正负，原函数看增减.考点解析典型习题一：平均变化率例1、函数f (x )＝x 2＋1x ＋4在区间[1,2]上的平均变化率为__________. 【答案】52解：∵f (x )＝x 2＋1x ＋4， ∴在[1,2]上的平均变化率为f(2)−f(1)2−1=(22+12+4)−(12+1+4)2−1=52典型习题二：求导数例1、若()xf x xe =，则()f x '= _______________)(x f )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f【答案】解：结合函数的解析式和导函数的运算法则有：()()()()'''1x x x x x f x x e x e e xe x e =+=+=+例2、y =x 2(lnx +sinx )的导数为______；【答案】解：函数的导数y ′=2x （lnx +sinx ）+x 2（1x +cosx ）=x +2xlnx +2xsinx +x 2cosx ； 跟踪训练：1、函数y =√x √x 的导数为_________________________ .【答案】解：∵y =√x √x =x 34，∴y′=34x −14.故答案为：y′=34x −14.2、y =cosx−x x 2的导数为______．【答案】解：y ′= −xsinx+2cosx−xx 33、已知函数f (x )=cosx x，则f ′(x )=___________. 【答案】解：f ′(x )=(cos x x)′=−xsinx−cosxx 2=−xsinx+cosxx 2．故答案为：−xsinx−cosxx 2．典型习题三：利用导函数求值例1、已知f (x )=x 2+2x −sinπ，则f′(0)=_________________________ . 【答案】解：根据导数的几何意义得到：∵f′(x )=2x +2，∴f′(0)=2. 故答案为：2.例2、设函数f(x)满足f(x)=x 2+3f′(1)x −f(1)，则f′(1)=___________. 【答案】解：∵f （x ）=x 2+3f ′（1）x ﹣f （1）， ∴f ′（x ）=2x +3f ′（1）， 令x =1，则f ′（1）=2+3f ′（1）， 即f ′（1）=−1， 故答案为：−1 故答案为：6e 2．例3、若函数()f x 的导数为221x -+，则()f x 可以等于__________.【答案】解：∵()221f x x =-'+，∴()323f x x x c =-++（c 为常数）， 当0C =时， ()313f x x x =-+.故答案为： ()323f x x x =-+.跟踪训练：1、已知函数f (x )=e x lnx ，f′(x )为f (x )的导函数，则f′(1)的值为__________． 【答案】解：由函数的解析式可得：f ′(x)=e x ×lnx +e x ×1x =e x (lnx +1x )， 则：f ′(1)=e 1×(ln1+11)=e .即f′(1)的值为e .2、已知曲线y =x 3−3x 2+2x −9在x =x 0处的导数为11，则x 0的值为______. 【答案】解：∵y ′=(x 3−3x 2+2x −9)′=3x 2−6x +2，∴y ′|x =x 0=3x 02−6x 0+2=11 ，∴x 02−2x 0−3=0，∴x 0=−1或x 0=3.3、已知函数f(x)=x 2−3e 2x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)=_______.【答案】解：f′(x)=2xe 2x −(x 2−3)2e 2x(e 2x )2=2x−2x 2+6e 2x；∴f′(1)=6e 2．4、已知曲线y =x 3−3x 2+2x −9在x =x 0处的导数为11，则x 0的值为______. 【答案】∵y ′=(x 3−3x 2+2x −9)′=3x 2−6x +2， ∴y ′|x=x 0=3x 02−6x 0+2=11 ，∴x 02−2x 0−3=0，∴x 0=−1或x 0=3.典型习题四：运用导数求切线方程例1、曲线y =xe x +1在点(0,1)处的切线方程是( )A ． x −y +1=0B ． 2x −y +1=0C ． x −y −1=0D ． x −2y +2=0 【答案】解：曲线y =xe x +1，解得y ′=e x +xe x ，所以在点(0,1)处切线的斜率为1． 曲线y =xe x +1在点（0，1）处的切线方程是：y ﹣1=x ． 即x ﹣y +1=0． 故选：A ．例2、在曲线y =x 3−3x 的所有切线中，平行于x 轴的切线的切点坐标是_________________ . 【答案】解：曲线y =x 3−3x 的所有切线中，平行于x 轴的切线，即在这个点处的切线的斜率为0，由y′=x 3−3=0，得x =±1，故切点的坐标为（-1，2）或（1，-2）. 故答案为：（-1，2）或（1，-2）.例3、如图是函数y ＝f (x )的图像，直线l ：y ＝kx ＋2是图像在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则g ′(3)＝_________.【答案】解：∵直线l:y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线， ∴f (3)=1，又点（3，1）在直线l 上，∴3k +2=1，从而k =−13，∴f′(3)=k =−13，∵g (x )=xf (x )，∴g′(x )=f (x )+xf′(x )则g′(3)=f (3)+3f′(3)=1+3×(−13)=0，故答案为0. 跟踪训练：1、函数f (x )=lnx 的图象在点(e ,f (e ))处的切线方程是_________【答案】解：∵f′(x )=1x ,∴曲线f (x )=lnx 在点(e,f (e ))的切线斜率为f′(e )=1e ，又f (e )=1，∴y −1=1e (x −e )，整理得y =1e x ，故答案为y =1e x .2、（1）已知函数()x f 的定义域为[)2,1，求函数()x f y 2log =的定义域。
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.1.2导数的概念 教案
§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知， )0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１) =6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。
人教版高中选修2-2数学1.2导数的计算教案(1)
课 题： 复合函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： . 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)318u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x yu y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅ 24654511115(1)5()x x x x x-=⋅=---⋅24515()x x x =-- 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅ =()ωω' (1+x 2)′x=22211122)2(21x x x x x +=+=-ω∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u uu u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nx 五、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学选修2-2学案1：1.1.2 导数的概念
1.1.2 导数的概念【学法指导】积极听讲，认真练习●为必背知识【学习目标】1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．一．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为 。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度。
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示 。
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
●2、导数的概念：一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 。
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作 。
即： 。
注意:导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;●3、求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”即（1）计算)()(00x f x x f y -∆+=∆； （2）计算xy ∆∆； （3）计算x y x ∆∆→∆0lim 。
三．典例分析例1求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C o ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四，展示题目。
高中数学选修2-2教案：1.1导数的概念(二)
教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
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根据导数定义，
所以
同理可得:
在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和5，说明在 附近，原油温度大约以 的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上升．
注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为．
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2） ，当 时， ，所以
三．典例分析
2019-2020年高中数学选修2-2：1-1-2导数的概念教案
课题
1.1.2导数的概念
课型
新授课
教学
目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数。
重点
难点
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
2．求曲线y=f(x)=x3在 时的导数．
3．例2中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．布置作业
板
书
教学
反思
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
再求 再求
解：法一定义法（略）
法二：
（2）求函数f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少？考察 附近的情况：
教具
准备
多媒体
课时
安排
1
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
思考：当 趋近于0时，平均速度 有什么样的变化趋势？
结论：当 趋近于0时，即无论 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值 ．
从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在 时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当 ， 趋近于0时，平均速度 趋近于定值 ”