第三章 第3节 定积分与微积分基本定理

第3节 定积分与微积分基本定理

最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a

n f (ξi )，当n →∞

时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝

在⎠⎛a b f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义

(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数).

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a

b

f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理

一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )

－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b

a ，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪

b

a )＝F (

b )－F (a ).

[微点提醒]

函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .

(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－a

a f (x )d x ＝0.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )

(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛0

1(x 2－x )d x .( ) (3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴

下方.( )

(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形

的面积.( )

(5)加速度对时间的积分是路程.( )

解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛0

1(x －x 2)d x .

(3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方

的面积比在x 轴上方的面积大.

(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代

数和.

(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×

2.(选修2－2P50A5改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 ⎠⎜⎛－11

|x |d x ＝

⎠⎜⎛－10

(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪

10＝1. 答案 A

3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 20

B.5t 20

C.103t 2

D.5

3t 20

解析 S ＝⎠⎛0

t 0

v d t ＝

⎪⎪⎪⎠

⎛0t

010t d t ＝5t 2

t 0

＝5t 20. 答案

B

4.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x

B.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d x

C.S ＝⎠⎛02⎝

⎛⎭⎪⎫

3y －y 4d y

D.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 4

－

3

y d y 解析 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图

形的面积S ＝⎠⎛02

(4x －x 3

)d x ⎝ ⎛⎭⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛0

8⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .

答案 A

5.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关

系是( ) A.a

D.c

解析 由微积分基本定理a ＝⎠⎛0

2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪2

0＝83，b ＝⎠

⎛0

2x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪

2

0＝4，

c ＝⎠⎛02sin x

d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪

2

0＝1－cos 2<2，则c

答案 D

6.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________. 解析 ⎠

⎛a

0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0

a ＝－1

3a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.

答案 －3

考点一 定积分的计算

【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. (2)⎠⎛－2

2|x 2－2x |d x ＝________. 解析 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪

π

0＝π.

(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0

－2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪2

0＝83＋4＋4－83＝8. 答案 (1)π (2)8

规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：