高二理科数学试题(2015、元月)
(完整word版)2015年高考数学全国卷2理试题及答案word,推荐文档
2015年高考理科数学试卷全国卷II 、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1 . 已知集合A{2,1,0,1,2}B x (x1)(x 2 0 ,则AI B ( )A . A1,0B.0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,22 . 若a为实数且(2ai)(a2i)4i，则a( )A 1 B.0 C. 1 D . 23 •根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。
以下结论不正确的是( )A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列a n满足a i=3, a1a3a5=21，则a3a5a7( )A. 21 B . 42 C . 63 D . 841 log2(2 x),x 1,5. 设函数f (x) x1, f( 2) f (log212)( )2 ,x 1,A. 3 B . 6 C . 9 D . 126. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )7.过三点 A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圆交y 轴于M N 两点，贝U | MN | (A . 2 6B . 8C . 4、6D . 108•右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 a,b 分别为14,18，则输出的a ()A . 0B . 2C . 4D . 1411 .已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°,贝U E 的离心率为( )A . 5B . 2C ..3 D . 212 .设函数f '(x)是奇函数f (x)(x R)的导函数，f ( 1)0 ,当x 0时，xf (x) f (x) 0,则使得f (x) 0成立的x 的取值范围是(已知A, B 是球O 的球面上两点,AOB 90 ,C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC 体积的最大值为36,则球 36 B.64 C.144 O A . 10.如图，长方形ABCD 的边ABO 是AB 的中点，点P 沿着边BC , 动，记BOP x .将动P 到A 、 O 的表面积为 D.256 2, BC 1,CD 与DA 运B 两点距离之禾口表示为 x 的函数f (x)，则y f(x)的图像大致 为(16 .设S n 是数列a n 的前n 项和，且a 1 1 , a n1S n S n 1，则S n ______________三、解答题ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分 BAC , ABD 面积是ADC 面积的2 倍.18 •(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)4-■r6 7 8A . ( ,(1,0)U(1,) C. (, 1)U( 1,0)D . (0,1)U(1,) 、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分r r13 .设向量a , b 不平行，向量a b 与a 2b 平行，则实数14 .若x ，y 满足约束条件x y 10,x 2y 0,，则z x y 的最大值为 x 2y 2 0,15. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为32,则 a17 .(本题满分12分)(I)sin B sin C(n)若 AD 1 , DC求BD 和AC 的长.g(n)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级” •假设两地区用户的评价结果相互独立•根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.19.(本题满分12 分)如图，长方体ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 ,点E , F分别在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4•过点E , F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ；(n)求直线AF与平面所成角的正弦值.2 2 220. (本题满分12分)已知椭圆C:9x y m (m 0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A , B，线段AB的中点为M•(I)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(n)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.21. (本题满分12分)设函数f(x) e mx x2 mx .(I)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增；(n)若对于任意为兀[1,1]，都有f(xj f(X2) e 1，求m的取值范围.22 .(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD 交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点.AG(I)证明：EF//BC ;(n) 若AG等于eO的半径，且AE MN 2、3，求四边形EBCF的面积.23 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程x tCOS ,在直角坐标系xoy中，曲线G：( t为参数，t 0)，其中0 ，在y tsin ,以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 2sin ，曲线Q2 3cos：(I).求C2与G交点的直角坐标；(n) •若C2与C1相交于点A , C3与G相交于点B，求AB 的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设a, b,c,d均为正数，且a b c d，证明：(I)若ab cd，贝U 、a . b 、c 、d ；(n)j a j b J C J d是a b c d的充要条件.1. A【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故选A . 考点：集合的运算.2. B考点：等比数列通项公式和性质. 5. C7. C2 2(x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y2J 6 2，所以MN4后，故选C.参考答案【解析】由已知得k AB1 _2 73 ,k C BT13，所以 k AB k CB 1，所以 AB CB ,即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2),半径为5 ,所以外接圆方程为2【解析】由已知得4a (a 4)i4i ，所以 4a 0,a 2 44，解得a 0考点：复数的运算. 3. D【解析】由柱形图得，从 份负相关，故选 D. 考点：正、负相关. 4. B2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 【解析】设等比数列公比为 q ，则 a i2ag4ag21，又因为a 1 3，所以q 42解得q 2，所以a 3 a 5 a 7(a i a 32a 5)q42，故选 B.【解析】 由f( 2)1 log2 43 又 log 212f (log 2 12) 2log21212砚266，故f( 2) f (log9，故选C.考点：分段函数. 6. D【解析】由三视图得, 在正方体ABCD截去四面体 A A 1B 1D 1 ,如图所示，，设正方体棱长为 a，则 V A A I B 1D 11 3 1 3丄a 3丄a 3,故剩余几何体体积 2 6为 a 31a 36所以截去部分体积与剩余部分体1—,故选 5考点：三视图. 积的比值为D. 1A 1B 1C 1D 1中，考点：圆的方程. 8. B 【解析】程序在执行过程中, a 2； b 2，此时 a 考点：程序框图. 9. C 【解析】如图所示，当点a ,b 的值依次为a 14 , b 18 ； b b 2程序结束，输出a 的值为2,故选B . 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，设球0的半径为R , C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 1R 3 6此时 V O ABC V C AOB [R 22 O ABC 的体积最 36，故R 6，则 球O 的表面积为S 4 R 2144 ，故选C. 考点：外接球表面积和椎体的体积. 【解析 】 由已知得，当点P 在BCPA PB「tan 2x 4 tanx ；当点P 在CD 边上运动时，即 3 ,x4时,2PA PB (宀 1)2 (" 2 1) 1，当 x —时, 2 PA PB 2 2 ；当点P 在AD 边上运动时，即3 4 时，PA PB tan 2 x 4 tanx ,从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 2对称，且 考点：函数的图象和性质. 11 . D 【解析】设双曲线方程为 2 x ~~2ay 2 b 2 1(a ABM1200如图所示，|AB BM , MN x 轴，垂足为N ，在Rt BMN 中，BN | a ,MN | J3a，故点M的坐标为M(2a, J3a)，代入双曲线方程得a2 b2 a2 c2，即c2 2a2，所以e 2，故选D.考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.12. AI【解析】记函数g(x) ,贝y g'(x) xf (x)2f (x),因为当x 0时，x xxf'(x) f (x) 0，故当x 0时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(x R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且g( 1) g(1) 0 •当0 x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0 ；当x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0,综上所述，使得f(x) 0成立的x的取值范围是(，1)U(0,1)，故选A. 考点：导数的应用、函数的图象与性质.13 .a b与a 2b平行，所以ab k(a 2b),则1考点：向量共线.14.【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yx z,当z取到最大时，直线y x z的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D(1」)，则z x y的最大值为-.2 2考点：线性规划.【解析】试题分析：由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展开式中x的奇k'所以2k,【解析】因为向量15. 3数次幕项分别为4ax , 4ax3, x , 6x3, x5,其系数之和为4a 4a 1+6+1=32,解得a 3.考点：二项式定理.1,S nn考点：等差数列和递推关系.理得2 2 2 2 2AB 2AC 3AD BD 2DC 6 •由（I ）知 AB 2AC ，所以 AC 1 .18.【解析】（I ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下B 地冈4fi35 1 56 46 4 26 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 35 4699 2 &6 $ 1 8 71 ? 1 75 S 291 3通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值;16. 【解析】由已知得a n 1 S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以S i 11Sn ，得— S n 11S n故数列— 是以 1为首项， 1为公差的等差数列，则S n1 (n 1)所以17.【解析】（I ） S ABD〔AB AD sin BAD , S ADC2 i ACAD sin CAD , 因为S ABD 2S ADC,BADCAD ，所以AB 2AC .由正弦定理可得sin Bsin CACAB因为 S ABD : S ADCBD : DC ，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定AB 2AD 2 BD 2 2ADBD cos ADB,AC 2 AD 2 DC 2 2AD DC cos ADC .1,A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散. （n）记C A1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”C A2表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意”则 C A 1 与 C B 1 独立，C A 2 与 C B 2 独立，C B 1 与 C B 2 互斥，C C B1C A1 UC B2C A2 .P(C) P(C B1C A1 UC B2C A2)P(CB1CA1) P(CB2CA2)P(C BI )P(C AI ) P(C B 2)P(C A 2).由所给数据得 C A 1 , C A 2 , C B 1 , C B 2发生的概率分别为16 204 10 2 0 ' 2 0 呀•故 P (C A 1)=20，，P(C B 2)=20，A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu，FE (10,0,0)，uuur HE(0, 6,8).设 r n n （x, y,z ）是平面EHGF 的法向量，贝U r n uuu FE UL UT0,即0,10x6y 0,8z 所以可取0,，P(C B 1)= 1020P(C A 2)=—20r UUUT n (0, 4,3) •又 AF (r UUUT10,4,8)，故 cos n, AFn| AF4 ” 5--- .所以直线AF 与15平面所成角的正弦值为4\5 1520.【解析】（I ）设直线l :y kx b (k 0,b0) ，A （为，yj ， B(x 2, y )，将 y kxb2 2 2 2 2 2 29x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故9by M kx M b 斗•于是直线OM 的斜率k °M k 2 9线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.(n)四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m ,m)，所以1不过原点且与3C 有两个交点的充要条件是 k 0 , k 3 •9由(I)得 OM 的方程为y- x .设点P 的横坐标为 X P .由y9x,kk小 22 29x y m ,2 m ^k® •解得 k i 4 -7 , k 2 4 .7 •因为 k i 0,k i 3, i 1, 2，所以当 I 3(k9)的斜率为4 17或4 J 时，四边形OAPB 为平行四边形.21 •【解析】(I) f '(x) m(e mx 1) 2x • 若m0，则当x (,0)时， —mxe1, f '(x)；当 x (0,mx /)时，e1,f '(x)0 •若m0，则当x (,0)时， mxe 1, f '(x)；当 x (0,mx A)时，e1,f '(x)0 •所以， f (x)在(,(0)单调递减,在 (0, )单调递增.(n)由(I)知，对任意的 m , f (x)在［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，故f (x)在kb k 2y MX M9，即k oM k 9 •所以直k2Xpk 2m 29k 281 '即—m — •将点(m,m)的坐标代入直线I 的方程得b 3、.k 2 9 3m(3 k) 3因此x M3)•四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段3(k 2 9)AB 与线段OP 互相平分,即x P2x M• 于是km 3 <k 2 9x 0处取得最小值•所以对于任意治兀［1,1］, f(xj f(X2) e 1的充要条件是:f(1 )f(°) e 1,即me m e1，①，设函数f( 1I) f(0) e 1,m e m e1,g'(t)e t 1 •当t 0 时，g'(t)；当t:0时，g'(t)0 . f在(0,）单调递增.又g（11) 0, g(1)e1 2 e 0,故当m [1,1]时，g(m) 0 , g(m)0, 即①式成立.当mg(m)0 ,即e m m e 1 ；当m1时寸，g( m) 0，即et [ 1,1]时，g(t) 0 .当1时,取值范围是[1,1].g（t）在（，0）单调递减,mmg(t) e t t e 1，则由g（t）的单调性,e 1 .综上，m的ABC是等腰三角形,AC相切于22.【解析】（I）由于因为e O分别与AB、EF//BC .（n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O在AD上•连接OE , OMADE、F两点，BC，所以AD是所以AEAF，故ADCAB的平分线.又EF •从而EF，故AD是EF的垂直平分线，又，则OE AE •由AG等于eO的半径得EF是eO的AO 2OE,所以OAE 300.所以ABC和AEF都是等边三角形.因为AE 2「3，所以AO 4 , OE 2.1因为OM OE 2, DM —MN .3 ,2 所以OD 1 .于是AD 5, AB .所31以四边形EBCF的面积丄2(2「3)16 3【解析】（I）曲线23.x2C2的直角坐标方程为x22y 曲线C3的直角坐标方程为y22、、3X 0 •联立2x2xy2 2y y22、3X0,0,解得2所以C2与G交3点的直角坐标为（0,0）和（—3 ,-）2 2(n)曲线 C i 的极坐标方程为( R, 0)，其中 0因此A 得到极坐标AB 2sin 2A /3COS4 sin( —)，当34 .24.【解析】(I)因为,b)2 a b 2 ab , (、、C 、、d)2 C d cd ，由题设a b C d , ab cd ，得(、a、b)2 (、c ,d )2. 因此 jajb VC jd .(n) (i)若a b C d ，则(a b)2(C d)2 .即(ab)2 4ab(Cd)24cd .因为 a b C d ，所以 ab cd ，由(I)得 .a 、、b .. C .. d . (ii) 若、a. b 、、c 、、d , 贝U( •、. a . b)2(、、c . d )2, 即 a b 2.0b Cd2. cd .因为a b C d ,所以 ab cd,于是(ab)2 (a b)2 4ab (C d )2 4cd (C d)2 .因此 a b C d ，综上，的充要条件.为(2sinB 的 极坐标 为 (2 3 cosAB取得最大值，最大值为。
2015年高考理科数学试题及答案-全国卷2
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)理科数学注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（）（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（A ）26 （B ）8（C ）46 （D ）10（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
2015年高二理科数学第二学期考试卷
2015年度高二数学理科考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1．已知复数满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x 、y 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．5，5 C ．5，7 D ．8，7 3．命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是（ ） A ．12sin ,≤∈∀x R x B ．12sin ,>∉∀x R x C ．12sin ,0≤∈∃x R x D ．12sin ,0>∉∃x R x4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．725．若变量,x y 满足约束条件 0,4,0,x y x y y k -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且 3z x y =+的最小值为8-，则k =（ ）A.3B.3-C.2D.2-6．已知曲线23ln 1x y x =-+的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．127．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.108．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+D ．ˆ0.3 4.4yx =-+ 9．设随机变量ξ服从正态分布2N 1σ（，）,若P 2)0.8ξ<=（,则(01)P ξ<<的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 10．5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是（ ）． A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-311．点(,0)F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆2224b x y +=相切于点Q ，且1=2PQ P F ，则双曲线的离心率等于（ ）A D ．212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.a c b <<D.c a b <<13．已知y x ,取值如表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.8014．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 15．若随机变量X 服从两点分布，其中()310==X P ，则()23+X E 和()23+X D 的值分别是（ ）A ．4和4B ．4和2C ．2和4D ．2和2 16．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )． A.18 B.14 C.25 D .12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）17．从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有种.18．设212axdx=⎰，则61axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项为．19．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．20．已知双曲线12222=-byax（0a b>>）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线)(22>=ppyx的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c2，且cPA=，则双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题（题型注释）21．（本小题满分14分）如图所示,棱柱111ABC A B C-为正三棱柱,且1AC C C=,其中点,F D分别为11,AC B B的中点.CD1C（1）求证://DF平面ABC;（2）求证:DF⊥平面1ACC;（3）求平面1DC A与平面ABC所成的锐二面角的余弦值且侧面PAD ⊥底面ABCD ,E 为侧棱PD 的中点（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒,求CDAD的值 23．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．．中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望()ξE .24．（本小题12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 0.0750.0400.060服务时间/小时O现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.25．已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>过点，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P-.（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．26．（本小题满分14分）设函数2()(2)lnf x x x=+，2()2,g x x ax a R=+∈（1）证明：()f x是(0,)+∞上的增函数；（2）设()()()F x f x g x=-，当[)1,x∈+∞时，()0F x≥恒成立，求a的取值范围．27．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD为正方形，⊥EA平面ABCD，CF ∥EA，且222===CFABEA（1）求证：⊥EC平面BDF；（2）求二面角E BD F--的余弦值.28．本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A BC D-中，12AA AD AB===，160A AD DAB∠=∠=︒,O是AD的中点．1A（1）证明：AD⊥面1AOB;（2）若1A B AB=，求直线1AC与平面11BB D D所成角的正弦值．参考答案1．D 【解析】试题分析：由2=+zi i 得，22121i z i i i+==+=-+，所以虚部为2-.选D. 考点：复数的基本运算.2．C 【解析】试题分析：从茎叶图可知，甲组成绩为9、15、10+x 、21、27，由于甲组数据的众数为15，故x=5.乙组的成绩为9、13、10+y 、18、27，由于乙组数据的中位数是17，故y=7.所以选C.考点：统计. 3．C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12s i n ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”【命题意图】本题考查全称命题的否定 4．D 【解析】试题分析：由等差数列的前n 项和公式得()()7242854818=+=+=a a a a S ，故答案为D.考点：等差数列的前n 项和公式. 5．C 【解析】试题分析：根据题意，画出约束条件所对应的可行域，可知，2k -<，结合目标函数的特点，可知函数在点(,)k k --处取得最小值，则有38k k --=-，解得2k =，故选C. 考点：线性规划. 6．A 【解析】 试题分析：设切点为),(00y x ，则切线的斜率132132)(00000-==⇒=-='=x x x x x f k 或，又00>x 则30=x ；考点：1．导数的几何意义； 7．D 【解析】试题分析：因为分层抽样的抽样比相等，所以所抽高一学生，高二学生，高三学生的比为210比270比300即7比9比10；从高一学生中抽取的人数7那么从高三学生中抽取的人数应为 10考点：分层抽样. 8．A 【解析】试题分析：∵变量x 与y 正相关，∴可以排除D ，C ；样本平均数3x =， 3.5y =代入A 符合，B 不符合 故选：A ．考点：线性回归方程 9．B 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1σN ，因此()()5.011=<=>ξξP P ，()=<<21ξP ()()12<-<ξξP P 3.05.08.0=-=，()()3.02110=<<=<<ξξP P ，故答案为B.考点：正态分布的应用. 10．B 【解析】试题分析：二项式5211）（-x 的第1+r 项为1025525)1()1()1(---⋅=-⋅⋅r r r r r rx C xC ，5)11)(2(22-+xx 的展开式的常数项为82510252)1()1(.--⋅-⋅=-⋅r r rr r r x C x C x ，10251025)1(2)1(.2--⋅-⋅⋅=-⋅r r r r r r x C x C ，即常数项为3)1(2)1(555445=-⋅⋅+-⋅C C ．考点：二项式的展开式． 11．C【解析】设左焦点1(,0)F c -，由1=2PQ PF ，所以Q 是线段PF 的中点,连接1PF ，OQ ，则OQ PF ⊥，且11//2OQ PF ，则1PF PF ⊥，在1PFF ∆中，1PF b =，2PF a b =+，12FF c =，由勾股定理得2224(2)c b a b =++,所以2224244ab c b a =++，2b a =，两边平方得2224c a a -=，解得25e =，e =【命题意图】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力． 12．C 【解析】试题分析：构造函数()()h x xf x =，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅>，∴此时函数()h x 单调递增． ∵111()()222a f h ==，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=，又1ln 222<<，.a c b ∴<<．故选C ．考点：比较大小.13．B 【解析】 试题分析：通过图表可知25.563.94.71.66.58.13.1,46865410=+++++==+++++=y x ，将（4,5.25）代入，即,495.025.5a +⨯=解得.45.1=a 故选B. 考点：回归直线经过样本点的中心.14．B 【解析】试题分析：回归直线方程一定过样本点的中心),(y x ，由已知5.4,2==y x ，代入回归直线得6.2=a考点：统计、回归直线 15．B 【解析】试题分析：由于服从两点分布，()321==X P ，因此()32321310=⨯+⨯=X E ，()92323213132022=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X D ，()()42323=+=+X E X E ，()()2923=⋅=+X D X D .考点：随机变量的期望和方差.16．B 【解析】试题分析：从5个数中任取2个不同的数的所有情况为2510C =，取到2个数之各为偶数的有4种，那么()42105P A ==，取到的2个数均为偶数有1种，那么()110P B =，由条件概率公式()()()1110|245P AB P B A P B ===.故选B.考点：条件概率.17．100 【解析】试题分析：A 活动可从5人中任选1人参加，然后再从剩下的5人选两人参加B 、C 活动即可，故共有1002515=A C考点：排列组合 18．540- 【解析】 试题分析：⎰=-===21212314|2x xdx a ，()()r r rr rr r r x a C x ax C T 266666111---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴，令026=-r ，得3=r ，因此展开式中常数项为()540133336-=-C .考点：1、定积分的计算；2、二项式定理的应用. 19．43【解析】试题分析：由题意，两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域如下图中阴影部分，则其面积为12222313201011131111542[()(1)]2[|()|]2()4443434123x x dx x dx x x x -+-=⋅+-⋅=+=⎰⎰考点：定积分的应用． 20．y x =±【解析】由已知||,||OA a AF c ==，所以，||,,2p OF p b ==把2py b =-=代入双曲线方程22221x y a b-=得，222,x a =所以，直线2p y =-被双曲线截得的线段长为，从而2,c c ==，所以，2222,a b a a b +=∴=，所求渐近线方程为y x =±.考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..21．（1）见解析；（2）见解析；（3 【解析】（1）证明:作AC 的中点O ,连结BO .在1ACC ∆中,//=FO 112C C ,又据题意知，//=BD 112C C ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形. 2分 ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ． 4分 （2）证明:棱柱111ABC A B C -为正三棱柱1C C ∴⊥平面ABC又BO ⊆平面ABC1BO C C ∴⊥ 5分ABC ∆是正三角形且AO OC = ∴BO AC ⊥ 6分综上1BO C C ⊥,BO AC ⊥且1AC CC C =,1,AC C C ⊆平面1ACC∴BO ⊥平面1ACC 7分又//FD BO∴DF ⊥平面1ACC 8分CD1C A（3）∵//FO 1C C ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF为,,z x y 轴，建系如图． 9分 则(1,0,0)A ，1(1,0,2)C -，D ．∴1(2,0,2)AC =-，(=-AD ． 10分 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则11100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面1ADC 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 12分 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ． 13分 ∴121212,⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 14分CC【命题意图】本题考查线线,线面关系和二面角的求解,考查学生空间思维能力和综合分析能力等． 22．（1）见解答过程 （2）见解得过程 （3）CDAD=【解析】 试题分析：（1）要证明PB //平面EAC ,可在平面EAC 内找一条直线与PB 平行,连接连结BD 交AC 于O,连结EO,则EO//PB,由此可证PB //平面EAC .（2）要证明AE ⊥平面PCD ,可先证,AE CD AE PD ⊥⊥,注意线线垂直、线面垂直的相互转化.（3）直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE ,再通过解三角形确定CDAD= 试题解析：（1）连结BD 交AC 于O,连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB,EO EAC PB EAC ⊂⊄平面平面,所以PB//平面EAC （4分） （2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AE PAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥,又PD CD D =,所以,AE⊥平面PCD （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥, 又PDCPAD PD =面面,AE PAD ⊂面,所以,AE⊥平面PCD （10分）（3）由（2）AE⊥平面PCD,直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，,又PAD AE AD ∆=正中，,AC ∴=,又矩形ABCD AC 中，,=解得CDCD AD=∴=， （14分） 考点：1空间中的线面位置关系；2直线与平面所成的角. 23．（1）52=P ；（2）()56=ξE 【解析】试题分析：（1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、组距频率，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为ξ～2(3,)5B ，所以26355E np ξ==⨯=. 考点：1、频率分布直方图的应用；2、离散型随机变量的分布列和数学期望.24．（1）72人；（2）ξ的分布列为：期望2535251=⨯+⨯+⨯=ξE . 【解析】试题分析：（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，由已知条件求出x ，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用分层抽样的概念就能求出应在“无所谓”态度抽取的人数；（2）由条件知第一组在校学生人数1=ξ，2，3，分别求出)1(=ξP ，)2(=ξP ，)3(=ξP ，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，∴05.03600120=+x，解得60=x ，∴持“无所谓”态度的人数共有7206060012021003600=----，∴应在“无所谓”态度抽取723600360720=⨯人； （2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为46180120=⨯人，社会人士为2618060=⨯人，于是第一组在校学生人数1=ξ，2，3，51)1(362214===C C C P ξ， 51)1(362214===C C C P ξ，53)2(361224===C C C P ξ，51)3(360234===C C C P ξ，即ξ的分布列为：∴2535251=⨯+⨯+⨯=ξE .考点：1.分层抽样；2.离散型随机变量的期望与方差.25．（1）221124x y +=；（2）92.【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要求得,a b ，因此我们要寻找关于,,a b c 的两个等式，本题中有离心率c e a ==，是一个等式，另一个是椭圆过点)，即22331a b+=，再结合222a b c =+可解得2a b ==，得到标准方程；（2）要求△PAB 的面积，应该先确定,A B 位置，也即确定直线l ，我们可以设l 的方程为y x m =+，条件PAB ∆是以AB 为底边的等腰三角形怎么应用？这个条件用得较多的是其性质，三线合一，即取AB 的中点E ，则有PE AB ⊥，我们就用这个来求出参数m 的值，方法是设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ，把直线方程代入椭圆方程，可得12x x +，从而求出1202x x x +=用m 表示，再由PE AB ⊥可很快求得m ，以后就可得到点A B 、的坐标，求出面积.试题解析：（1）由已知得22331,3c a b a +== . 1分解得a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=. 4分 （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-=. ① 6分设A 、B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y x x <AB 中点为E 00(,)x y ，则120003,244x x m mx y x m +==-=+= . 8分 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率24134m k -==--+，解得m =2. 10分 此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-= ， 所以121,2y y =-= ，所以|AB|=此时，点P （－3，2）到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==， 所以△PAB 的面积S =19||22AB d =. 12分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题(相交弦长，点到直线距离，三角形面积等).26．（1）见解析；（2）2a ≤- 【解析】试题分析：第一步证明函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，只需证明）()0f x '≥成立，若x x x x x f ++='2ln 2)(0≥，我们只需0)12ln 2(2≥++xx x ，由于0>x ,令12ln 2)(2++=x x x g ，因为3234242)(xx x x x g -=-='，所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(,2ln 2)(>=++='x h x x xx x x f 则，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）第二步求a 的取值范围，可分离常数a ，，由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，只需求出xx x x x h 222ln )2()(-+=的最小值即可．试题解析：（1）若证明)(x f 是),0(+∞上的增函数，只需证明0)(≥'x f 在),0(+∞恒成立， 即：02ln 2)(≥++='x x x x x f 0)12ln 2(2≥++⇔x x x 012ln 22≥++⇔xx设),0(,12ln 2)(2+∞∈++=x x x x h ，3234242)(xx x x x h -=-=' 所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(2ln 2)(>=++='x xh x xx x x f ，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，设x x x x x G 222ln )2()(-+=,则22)1)(ln 2()(x x x x G --='，所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增,所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022)1()(>+-=-e eG e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，只需2-≤a考点：1．导数与函数的单调性；2．研究一个函数的单调性与极值，3．极端原理的使用；27．（1）详见解析；（2）二面角E BD F -- 【解析】 试题分析：（1） 因为EA ∥CF ，所以ACFE 是一个平面图形，在这个平面图形中，AC ＝AE ＝2，所以ΔACE 是等腰直角三角形.连接AC 交BD 于点O ，连接FO.易得OC ＝FC ，所以ΔOCF 也是等腰直角三角形.由此可证得EC ⊥OF.又由三垂线定理可证得BD EC ⊥，从而可得⊥EC 平面BDF .法二，以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，利用向量也可证得EC ⊥面BDF .（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量，再用向量方法求出平面EBD 的法向量即可求出二面角E BD F --的余弦值. 试题解析：（1）（法一）连接AC 交BD 于点O ，连接FO.过点O 作OH ∥AE 交EC 于点H ，连接HF ，因为O 是AC 的中点，所以H 是EC 的中点，所以112OH EA ==，因为EA ∥CF ，且EA=2CF ，所以OH ∥CF 且OH=CF ，又因为112OC AC == 所以四边形OCFH 为菱形，而EA 垂直于平面ABCD ， 所以EA AC ⊥从而OH OC ⊥，从而四边形OCFH 为正方形进而OF CH OF CE ⊥⇒⊥又因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥; 又 EA BD ⊥且EA AC A =从而BD ⊥面EAC ， 则BD EC ⊥又,BD BDF OF BDF ⊂⊂且BD OF O =所以⊥EC 平面BDF . (6)分（法二）以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，则(0,0,0);((();E(0,0,2)A B D C F ，所以(2,2,0);(2,0,1);(2,2)BD BF EC =--=-=-- 从而有EC ·BD =0，EC ·BF =0 所以,EC BD EC BF ⊥⊥ 又因为,BDBF B =从而EC ⊥面BDF（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量 设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =则00n BD n ED⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020z⎧=⎪⎨-=⎪⎩；令1z =得x y ==故 cos ,210n EC n EC n EC⋅<>===⋅ 所以二面角E BD F --考点：1、空间线面间的位置关系；2、二面角. 28．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 试题分析：（1）本题证明线面垂直，根据纯平面垂直的判定定理，只要证明直线AD 与平面1AOB 内的两条相交直线垂直即可，而从已知条件可看出只要在1AAO ∆和ABO ∆中利用正弦定理及勾股定理就能证得1AO AO ⊥，AO BO ⊥；（2）本小题是求直线与平面所成的角，由（1）已经知道1AO AO ⊥，AO BO ⊥，再在1AOB ∆中应用勾股定理又可证明1AO BO ⊥，于是我们可以分别以1,,OA OB OA 为,,x y z 轴建立窨直角坐标系，用向量法求解线面角.试题解析：（1）证明:由AD 的中点O ， 由11160AA ADAO AD A AD =⎫⇒⊥⎬∠=︒⎭同理BO AD ⊥ AO ⇒⊥平面1A BO ．（2）1122AO A A AB ==,2BO AB =11A B ∴= 1A BO ∴∆为直角三角形，1AO BO ⊥ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立坐标系，不妨设12A B A A A D ===，则(1,0,0)A，B，1A ，(1,0,0)D -由11(DD AA D =⇒-(BC AD C =⇒-，1(AC ∴=- 设(,,)n x y z =为平面11BB D D 的法向量可求得(3,1,1)n =- 11sin cos 5AC n AC n θα⋅===⋅x1考点：1.线面垂直；2.直线与平面所成的角.。
2015年高考理科数学试题及答案解析
2015年高考理科数学试题及答案解析卷）年普通高等学校招生全国统一考试（xx2015数学（理科）分）第Ⅰ卷（共50一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年xx，理1】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）【2015年xx，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D）（3）【2015年xx，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位（4）【2015年xx，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则=（）（A）（B）（C）（D）（5）【2015年xx，理5】不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）（6）【2015年xx，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3（7）【2015年xx，理7】在梯形中，，，．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）12015年高考理科数学试题及答案解析（8）【2015年xx，理8】已知某批零件的xx误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其xx误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）（A）（B）（C）（D）（9）【2015年xx，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）或（B）或（C）或（D）或（10）【2015年xx，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）分）100II卷（共第二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年xx，理11】观察下列各式：照此规律，当时，．（12）【2015年xx，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．（13）【2015年xx，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．（14）【2015年xx，理14】已知函数的定义域和值域都是，则．22015年高考理科数学试题及答案解析（15）【2015年xx，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年xx，理16】（本小题满分12分）设．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．（17）【2015年xx，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；，求平面与平面（Ⅱ）若平面，所成角（锐角）的大小．32015年高考理科数学试题及答案解析（18）【2015年xx，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．（19）【2015年xx，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增42015年高考理科数学试题及答案解析数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）xx参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．（20）【2015年xx，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．（i）求的值；（ii）求面积最大值．52015年高考理科数学试题及答案解析（21）【2015年xx，理21】（本题满分14分）设函数，其中．（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．62015年高考理科数学试题及答案解析卷）xx2015年普通高等学校招生全国统一考试（数学（理科）分）50第Ⅰ卷（共一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年xx，理1】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，，故选C．（2）【2015年xx，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，，故选A．（3）【2015年xx，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位【答案】B【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位，故选B．（4）【2015年xx，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】D72015年高考理科数学试题及答案解析【解析】由菱形ABCD的边长为，可知，，故选D．（5）【2015年xx，理5】不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】当时，成立；当时，，解得，则；当时，不成立．综上，故选A．（6）【2015年xx，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，故选B．（7）【2015年xx，理7】在梯形中，，，．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故选C．（8）【2015年xx，理8】已知某批零件的xx误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其xx误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）（A）（B）（C）（D）82015年高考理科数学试题及答案解析D 【答案】．【解析】，故选D 】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线年xx，理9（9）【2015 ）所在的直线的斜率为（）或）或（C）或（D（A）或（BD【答案】【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即，．则，解得或，故选D）10】设函数则满足的取值范围是（ 10）【2015年xx，理（（D）（B）（C）（A）C【答案】 C．【解析】由可知，则或，解得，故选分）100第II卷（共 5分二、填空题：本大题共5小题，每小题11】观察下列各式：【2015年xx，理（11）照此规律，当时，．【答案】【解析】1n?1n?3n1n?12n?22202)]C?CCC?)??(??)?C??[(C(CC)(12n?121n2?112n?n?12n?2n2?1n?n2?12 111??1nn?12n?12n201n4?2?CC)??C?C???C???C(1???2n12n12n12n?n1?2?1n22292015年高考理科数学试题及答案解析（12）【2015年xx，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．【答案】1【解析】“”是真命题，则，于是实数的最小值为1．（13）【2015年xx，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．【答案】【解析】．（14）【2015年xx，理14】已知函数的定义域和值域都是，则．【答案】【解析】当时，无解；当时，解得，则．（15）【2015年xx，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为．【答案】【解析】的渐近线为，则的焦点，则，即，，．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年xx，理16】（本小题满分12分）设．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．解：（Ⅰ）由，由得，则的递增区间为；102015年高考理科数学试题及答案解析由得，则的递增区间为．（Ⅱ）在锐角中，，，而，由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，即，故面积的最大值为．（17）【2015年xx，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；，求平面与平面（Ⅱ）若平面，所成角（锐角）的大小．，设与交于点，解：（Ⅰ）证明：连接，在三棱台中，，则，而是的中点，，则，所以四边形是平行四边形，是的中点，．又在，是的中点，则，又平面，平面，故平面．，（Ⅱ）由平面，可得平面而，，则，于是两两垂直，以点为坐标原点，所在的直线，分别为轴建立空间直角坐标系，则,,设，112015年高考理科数学试题及答案解析则平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，，取，则，，故平面与平面所成角（锐角）的大小为．】（本小题满分分）设数列的前项和为，已知．12【（18）2015年xx，理18 （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．，解：（Ⅰ）由可得，而，则．（Ⅱ）由及，可得，，1n?111n?11111111211???????(??T??????)?nnn?222231n3n?133333333333333311?12n??2?113n1213n n33?????????1nnnn3?321829392?3?131?132n?T?n1?n3412?（19）【2015年xx，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；122015年高考理科数学试题及答案解析（Ⅱ）xx参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）的所有取值为-1，0，1．甲得分的分布列为：-1 1 X1112 P14342．（20）【2015年xx，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．（i）求的值；（ii）求面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,圆：圆：由两圆相交可得，即，交点在椭圆上，则，整理得，解得，（舍去），故，，椭圆的方程为．（Ⅱ）（i）椭圆的方程为，设点，满足，射线，代入可得点，于是．（ii）点到直线距离等于原点到直线距离的3倍：，，得，整理得．132015年高考理科数学试题及答案解析，，当且仅当等号成立．而直线与椭圆有交点，则有解，即有解，其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，设，则在为增函数，于是当时，故面积最大值为12．（21）【2015年xx，理21】（本题满分14分）设函数，其中．（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．解：（Ⅰ），定义域为，，设，当时，，函数在为增函数，无极值点．当时，，若时，，函数在为增函数，无极值点．若时，设的两个不相等的实数根，且，且，而，则，所以当单调递增；当单调递减；当单调递增．因此此时函数有两个极值点；当时，但，，所以当单调142015年高考理科数学试题及答案解析递増；当单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意．综上所述，的取值范围是．另解：（Ⅰ），定义域为，当时，，函数在为增函数，无极值点．设，当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数．若，即时，，函数在为增函数，无极值点．若，即或，而当时152015年高考理科数学试题及答案解析此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数，，都有成立，即当时，xx成立；当时，，；当时，，；由均有成立．故当时，，，则只需；当时，，则需，即．综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是．另解：（Ⅱ）设函数，，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，当时，令，，则；当时；当，，令，关于单调递增，则，则，于是．又当时，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，162015年高考理科数学试题及答案解析于是，当时，此时，不符合题意．综上所述，的取值范围是．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．17。
2015年普通高考测试(二)数学(理科)附答案
2015年普通高考测试（二）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37 B ．34 C ．3 D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）．A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π 5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（ ）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b 的夹角是0180，且53||=b ，则b 的坐标为（ ）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(- 8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0． 其中正确的命题有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是 ． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x ty t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//DE A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-= （1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记AB C ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B s i n 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀． （1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ． （1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >．()1求1a 及数列{}n a 的通项公式； ()2令114)1(+--=n n n n a a nb ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(F 的距离之和为4． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠． （1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ；（2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数．证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x+=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．。
高二2015理科参考答案doc
2015年下学期高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．１．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a =-=，则公比q = A A ．12- B ．－2 C ．2 D ．12 ２. 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是 DA ．74y x =+B ．4y x =-C ．72y x =+D ．2y x =-3. 由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形的面积为A A ．112B 。
14C 。
13D 。
7124. 设两个实数变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩错误!未找到引用源。
则目标函数5z x y =+的最大值为 DA. 2 错误!未找到引用源。
B. 3 C. 4 D. 55. 已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过点2F 的直线交椭圆于点 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，若 错误!未找到引用源。
，则 错误!未找到引用源。
的值为 CA. 9B. 10C. 11D. 166. 已知3()f x x ax =-在[)1,+∞上不是单调函数，则a 的取值范围是 CA ．]3,(-∞B ．(,3)-∞C ．(3,)+∞D ．),3[+∞7. 已知,,,a b c d 是实数，且a b >，则“c d >” 是“a c b d +>+” BA ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件8. 已知 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，,,,x a b y 成等差数列，错误!未找到引用源。
成等比数列，则2()a b cd+ 的最小值是 D A. 0 B. 1C. 2D. 4 9. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++。
0x 满足方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 CA. 0,()(x )x R f x f ∃∈≤ B 。
2015年全国高考数学试卷理科新课标2卷(完美版含完美答案)
CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”
CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CA1CB1∪CA2CB2
P(C)=P(CA1CB1∪CA2CB2)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)
2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a=
（A）-1（B）0（C）1（D）2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A） （B） （C） （D）
7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则 =
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝
上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年上学期高二理科数学期末数学试卷
2015年上学期高二期末试卷数学（理科）（考试时量：120分钟 满分150分）一:单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．在复平面内，复数 2i i+ 的对应点位于 Ａ.第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是Ａ. 3π Ｂ．65π Ｃ．32π Ｄ． 6π 3．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是Ａ.13 B . 29C .5D . 224．二项式61(2)x x -展开式中的常数项为Ａ. －180 Ｂ． －160 Ｃ．160 Ｄ． 1805．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为13，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为25。
现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是Ａ.215Ｂ． 35 Ｃ． 715 Ｄ． 256．如图所示，程序框图的输出结果为Ａ. 43 Ｂ． 61 Ｃ．1211 Ｄ．24257．用反证法证明命题：“1234,,,a a a a 至少有一个数大于25”时，假设正确的是Ａ. 假设1234,,,a a a a 都大于25Ｂ．假设1234,,,a a a a 至多有一个数大于25Ｃ．假设1234,,,a a a a 都小于或等于25Ｄ．假设1234,,,a a a a 至少有两个数大于258．利用数学归纳法证明“*(1)(2)()213(21),n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈ ”时，从“n k =”变到 “1n k =+”时，左边应增乘的因式是Ａ. 2(21)k + Ｂ． 21k + Ｃ． 1k + Ｄ．2(1)k +9．函数2()3log ()x f x x =--的零点所在的区间是Ａ.(2,1)-- B ．5(,2)2-- C ．(1,2) D ．5(2,)210．已知变量,x y 满足202300x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，则2x y +的最大值为Ａ.12 Ｂ． 64 Ｃ．16 Ｄ． 8二:填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2015理科数学全国2卷(可编辑修改word版)
⎩2015 年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题：本大题共 12 道小题，每小题 5 分1．已知集合 A =｛- 2，-1, 0，1, 2｝， B = {x (x-1)(x + 2 < 0},则 A B = （）A ． A = {-1, 0}B ．{0,1}C ．{-1, 0,1}D ．{0,1, 2}2．若a 为实数且(2 + ai )(a - 2i ) = -4i ，则a = （）A. -1B. 0 C ．1 D ． 2 3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007 年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列{a n } 满足 a 1=3，a 1 + a 3 + a 5 =21，则 a 3 + a 5 + a 7 = （）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数 f (x ) = ⎧1+ log 2 (2 - x ), x < 1,, f (-2) + f (log 12) = （）⎨2x -1, x ≥ 1, 2 A ．3 B ．6 C ．9 D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1 1 1 1 A ．B ．C ．D ．87656653 7．过三点 A (1, 3) ， B (4, 2) ， C (1, -7) 的圆交 y 轴于 M ，N 两点，则| MN |= （ ）A ．2B ．8C ．4D ．108. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a , b 分别为 14,18，则输出的a = （）A ．0B ．2C ．4D ．149. 已知 A , B 是球 O 的球面上两点， ∠AOB = 90 , C 为该球面上的动点，若三棱锥O - ABC 体积的最大值为 36，则球O 的表面积为（ ）A ． 36 B. 64 C.144 D. 25610. 如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2 ， BC = 1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记∠BOP = x ．将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x ) ，则 y = （）f (x ) 的图像大致为11. 已知 A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（）A ．B ． 2C ．D ．12. 设函数 f' (x ) 是奇函数f (x )(x ∈ R ) 的导函数， f (-1) = 0 ， 当 x > 0 时，xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，则使得 f (x ) > 0成立的x 的取值范围是（）2⎨ ⎩ A． (-∞, -1) (0,1) C ． (-∞, -1) (-1, 0)B． (-1, 0) (1, +∞) D ． (0,1) (1, +∞)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.设向量a ， b 不平行，向量a + b 与 a + 2b 平行，则实数=．⎧x - y +1 ≥ 0，14.若 x ，y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤ 0, ，则 z = x + y 的最大值为．⎪x + 2 y - 2 ≤ 0,15. (a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a =． 16. 设S n 是数列{a n } 的前n 项和，且 a 1 = -1 ， a n +1 = S n S n +1 ，则 S n = ．三、解答题17．（本题满分 12 分） ∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是 ∆ADC 面积的 2 倍． sin ∠B（Ⅰ） 求；sin ∠C（Ⅱ）若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．218．（本题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A ， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；E B 1D（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意记时间 C ：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 求 C 的概率．19．（本题满分 12 分）如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB =16 ， BC =10 ， AA 1 = 8 ，点 E ， F 分别在 A 1B 1 ， C 1D 1 上， A 1E = D 1F = 4 ．过点 E ， F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．D 1F C 1A 1CAB（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 AF 与平面所成角的正弦值．20．（本题满分 12 分）已知椭圆C : 9x 2 + y 2 = m 2 (m > 0) ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点 m( , m ) 3，延长线段OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21．（本题满分 12 分）设函数 f (x ) = e mx + x 2 - mx ．（Ⅰ）证明： f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增；（Ⅱ）若对于任意 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ，都有 f (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ e -1，求m 的取值范围．22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆O 与∆ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交于点G ，与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点．a b c d b c ⎨y = t sin ,AGEFOB MD NC（Ⅰ）证明： EF / / BC ；（Ⅱ） 若 AG 等于 O 的半径，且 AE = MN =2，求四边形 EBCF 的面积．23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线C 1 : ⎧x = t cos ,（ t 为参数， t ≠ 0 ），其中0 ≤< ，在 ⎩以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C 2 : = 2 sin ， 曲线C 3 : = 2 3 cos．（Ⅰ）．求C 2 与C 1 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若C 2 与C 1 相交于点 A ， C 3 与C 1 相交于点 B ，求 AB 的最大值．24．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数，且 a + b = c + d ，证明：（Ⅰ）若 ab > cd ，则 + > + ；（Ⅱ） + > + 是 a - b < c - d 的充要条件．3 a d2 2参考答案1．A【解析】由已知得 B = {x - 2 < x < 1}，故 A B = {-1, 0} ，故选 A ． 考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得4a + (a 2 - 4)i = -4i ，所以4a = 0, a 2 - 4 = -4 ，解得 a = 0 ，故选 B ．考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D ． 考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则 a + a q 2 + a q 4 = 21，又因为 a = 3，所以 q 4 + q 2 - 6 = 0 ，1111解得 q 2 = 2 ，所以 a + a + a = (a + a + a )q 2 = 42 ，故选 B ．357135考点：等比数列通项公式和性质． 5．C【 解 析 】 由 已 知 得f (-2) = 1+ log 2 4 = 3 ， 又 log 2 12 > 1， 所 以f (log 12) = 2log 2 12-1= 2log 2 6 = 6 ，故 f (-2) + f (log 12) = 9 ，故选 C ． 考点：分段函数． 6．D【解析】由三视图得，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，截去四面体 A - A 1B 1D 1 ，如图所示，，设正方体棱长为aD 1C 1，则VA - A 1B 1D 1= 1 ⨯ 1 a 3 = 1 a 3，故剩余几何体体积为 A 1B 13 2 6Da 3 - 1 a 3 = 5 a 3 ，所以截去部分体积与剩余部分体积C6 61的比值为 ，故选 D ．5考点：三视图．AB7．C【解析】由已知得 k3 - 21 = = - ， k= 2 + 7 = -3 ，所以 k k = -1 ，所以 AB ⊥ CB AB 1- 4 3 CB 4 -1AB CB， 即 ∆ABC 为直角三角形， 其外接圆圆心为 (1, -2) ， 半径为 5 ， 所以外接圆方程为(x -1)2 + ( y + 2)2 = 25 ，令 x = 0 ，得 y = ±2 - 2 ，所以 MN = 4 ，故选 C ．6 6( 1 tan x -1)2 +1 , x - = > > 考点：圆的方程． 8．B【解析】程序在执行过程中， a ， b 的值依次为 a = 14 ， b = 18 ； b = 4 ； a = 10 ； a = 6 ； a = 2 ； b = 2 ，此时 a = b = 2 程序结束，输出a 的值为 2，故选 B ． 考点：程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥O - ABC 的体积最大， 设球O 的半径为 R ，此时V= V= 1 ⨯ 1 R 2 ⨯ R = 1R 3 = 36 ，故 R = 6 ，则球O O - ABCC - AOB的表面积为 S = 4R 2 = 144，故选 C ．3 2 6考点：外接球表面积和椎体的体积．C10．B【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 ， 即0 ≤ x ≤ 时 ，4PA + PB = + tan x ；当点 P 在 CD 边上运动时，即 ≤ x ≤ 3≠ 时，4 4 2PA + PB = + ，当 x = 时， PA + PB = 2 2；当点 P在 AD 边上运动时，即 3≤ x ≤ 时， PA + PB = 4- tan x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 x = 对称，且 f ( ) > f ( ) ，且轨迹非线型，故选 B ．2 4 2考点：函数的图象和性质．11．Dx 2 【解析】设双曲线方程为 a 2 y 2b 21(a 0, b 0) ，如图所示， AB = BM ， ∠ABM = 1200 ，过点 M 作MN ⊥ x 轴，垂足为 N ，在 Rt ∆BMN 中， BN = a ，OABtan 2 x + 4 ( 1tan x +1)2 +1 2 tan 2 x + 4MN = 3 a ，故点 M 的坐标为 M (2a , 3a ) ，代入双曲线方程得 a 2 = b 2 = a 2 - c 2 ，即c 2 = 2a 2 ，所以e = ，故选 D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【 解 析 】 记 函 数g (x ) =f (x )， 则 xg '(x ) =xf ' (x ) - f (x ) x 2， 因 为 当x > 0 时 ，xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，故当 x > 0 时， g ' (x ) < 0，所以 g (x ) 在(0, +∞) 单调递减；又因为函数f (x )(x ∈ R ) 是奇函数， 故函数g (x ) 是偶函数， 所以 g (x ) 在 (-∞, 0) 单调递减， 且g (-1) = g (1) = 0 ．当0 < x < 1时， g (x ) > 0 ，则 f (x ) > 0 ；当 x < -1时， g (x ) < 0 ，则 f (x ) > 0 ，综上所述，使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1) (0,1) ，故选A ． 考点：导数的应用、函数的图象与性质． 1 13．2⎧= k ，1【解析】因为向量考点：向量共线． 3 14．2a +b 与 a + 2b 平行，所以a + b = （k a + 2b ），则⎨ ⎩1 = 2k , 所以= ．2【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 y = -x + z ， 当 z 取到最大时， 直线y = -x + z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1D (1, ) 2 ，则 z = x + y 的最大值为 3 ． 2考点：线性规划．15． 3 【解析】试题分析：由已知得(1+ x )4 = 1+ 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 ，故(a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax ， 4ax 3 ， x ， 6x 3 ， x 5 ，其系数之和为 4a + 4a +1+6+1=32 ，解得2 4 y 32 B1Dx–4–3–2–1O–1 1234C–2–3–4a = 3 ．考点：二项式定理．1 16． -n11 【解析】由已知得 a n +1 = S n +1 - S n = S n +1 ⋅ S n ，两边同时除以 S n +1 ⋅ S n ，得 S-n +1S n= -1，⎧ 1 ⎫ 1故数列 ⎨ ⎩ 1 ⎬ 是以 -1为首项， -1为公差的等差数列， 则 n ⎭= -1- (n -1) = -n ， 所以n S n = - n．考点：等差数列和递推关系．1 117. 【解析】（Ⅰ） S ∆ABD = 2 AB ⋅ AD sin ∠BAD ， S ∆ADC = 2AC ⋅ AD sin ∠CAD ，因为S = 2S， ∠BAD = ∠CAD ，所以 AB = 2 A C ．由正弦定理可得 sin ∠B = AC = 1∆ABD．∆ADCsin ∠C AB 2（Ⅱ）因为 S ∆ABD : S ∆ADC = BD : DC ，所以 BD = 理得．在∆ABD 和∆ADC 中，由余弦定AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2 AD ⋅ BD cos ∠ADB ， AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD ⋅ DC cos ∠ADC．AB 2 + 2 AC 2 = 3AD 2 + BD 2 + 2DC 2 = 6 ．由（Ⅰ）知 AB = 2 AC ，所以 AC = 1 ．18. 【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值； A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．2 S SEH 2 - EM 2 A 2 B 1 B 2⨯ ⨯ = DA = ⎩ ⋅（Ⅱ）记C A 1 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；C A 2 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则C A 1 与C B 1 独立， C A 2 与C B 2 独立， C B 1 与C B 2 互斥， C = C B 1C A 1 C B 2C A 2 ．P (C ) = P (C B 1C A 1 C B 2C A 2 ) = P (C B 1C A 1 ) + P (C B 2C A 2 )= P (C B 1 )P (C A 1 ) + P (C B 2 )P (C A 2 ) ．由所给数据得C A 1 ， C A 2 ， C B 1 ， C B 2 发生的概164 10 8 率分别为20，20，20，20．故 P (C A 1 )16 = ， 20P (C )= 4 ， P (C )= 10 ， P (C ) = 820 20 20 10 16 8 4，故 P (C )= + 0.48 ．20 20 20 2019. 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形 EHGF如图：（ Ⅱ ） 作 EM ⊥ AB ， 垂 足 为 M ， 则AM = A 1E = 4 ， EM = AA 1 = 8 ， 因 为EHGF 为正方形， 所以 EH = EF = BC = 10 ． 于是 MH = = 6 ， 所以AH = 10 ．以 D 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ， 则 A (10, 0, 0) ，H (10,10, 0) ， E (10, 4,8) ，F (0, 4,8) ， ⎧FE (10, 0, 0) ，HE = (0, -6,8) ．设 n = (x , y , z ) 是平面 EHGF 的法向量，则⎪n ⋅ FE = 0, 即⎧10x = 0,⎨ ⎪⎩n ⋅ HE = 0,⎨-6 y + 8z = 0, n ⋅ AF 4 5所以可取 n = (0, 4, 3) ．又 AF = (-10, 4,8) ，故 cos < n , AF > =线 AF 与平面所成角的正弦值为4 5 ．15= n AF ．所以直D 1 F C 1A 1E B 1 CAM HBG D157 7 9 OM20．【解析】（Ⅰ）设直线l : y = kx + b (k ≠ 0, b ≠ 0) ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x M , y M ) ．将 y = kx + b 代 入9x 2 + y 2 = m 2 得 (k 2 + 9)x 2 + 2kbx + b 2 - m 2 = 0 ， 故x =x 1 + x 2= - M2kb，k 2+ 9y = kx + b =9b ．于是直线OM 的斜率 k= y M= - ，即 k⋅ k = -9 ．所以直MMk 2+ 9x k M线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点 m( , m ) 3，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k > 0 ， k ≠ 3 ．9 ⎧ y = - 9 x , 由（ Ⅰ ） 得 OM 的方程为 y = - k x ． 设点 P 的横坐标为 x P ⎪． 由 ⎨ k得2k 2m2±km m ⎪⎩9x 2 + y 2 = m 2 ,m (3 - k ) x P= 9k 2 + 81 ， 即 x P = ．将点( , m ) 的坐标代入直线l 的方程得b = ，3 k 2 + 93 3 因此 x M =mk (k - 3) ．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，3(k 2 + 9)±km即 x P = 2x M ．于是=3 k 2+ 92 ⨯ mk (k - 3) ．解得 k = 4 - ， k = 4 + ．因为 k > 0, k ≠3 ， i = 1 ， 2 ，所以当l3(k 2 + 9) 1 2 i i的斜率为4 - 或4 + 时，四边形OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ） f ' (x ) = m (e mx -1) + 2x ．若 m ≥ 0 ，则当 x ∈(-∞, 0) 时， e mx -1 ≤ 0 ， f ' (x ) < 0；当 x ∈(0, +∞) 时， e mx-1 ≥ 0 ，f ' (x ) > 0 ．若 m < 0 ，则当 x ∈(-∞, 0) 时， e mx -1 > 0 ， f ' (x ) < 0；当 x ∈(0, +∞) 时， e mx-1 < 0 ，f ' (x ) > 0 ．所以， f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ， f (x ) 在[-1, 0] 单调递减，在[0,1] 单调递增，故 f (x ) 在7 7 OM3 3 16 3⎩ ⎩10 3 2 1 22 3⎩x = 0 处取得最小值．所以对于任意x1, x2∈[-1,1] ，f (x1) -f (x2) ≤ e -1的充要条件是：⎧f (1) -f (0) ≤ e -1,⎨f (-1) -f (0) ≤ e -1,⎧⎪e m-m ≤ e -1,即⎨⎪e-m+m ≤ e -1,①，设函数g(t) = e t-t - e +1 ，则g ' (t) = e t-1 ．当t < 0 时，g ' (t) <0；当t >0 时，g ' (t) >0．故g(t) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞)单调递增．又g(1) = 0 ，g(-1) = e-1+ 2 -e < 0 ，故当t ∈[-1,1] 时，g(t) ≤ 0 ．当m ∈[-1,1] 时，g(m) ≤ 0 ，g(-m) ≤ 0 ，即①式成立．当m > 1时，由g(t) 的单调性，g(m) > 0 ，即e m-m > e -1 ；当m <-1时，g(-m) > 0 ，即e-m+m > e -1．综上，m 的取值范围是[-1,1] ．2.【解析】（Ⅰ）由于∆ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为 O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE =AF ，故AD ⊥EF ．从而EF / / BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE =AF , AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是 O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE ．由AG 等于 O 的半径得AO = 2OE ，所以∠OAE = 300．所以∆ABC 和∆AEF 都是等边三角形．因为AE = 2，OE = 2 ．，所以AO = 4 因为OM =OE = 2 ，DM =1MN =2，所以OD = 1 ．于是AD = 5 ，AB =10 33 ．所以四边形EBCF 的面积1⨯( ) ⨯-⨯(2 3) ⨯=．2 3 2 2 2 323.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x2+y2- 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为⎧⎧⎪x2+y2- 2 y = 0,x2+y2- 2 3x = 0 ．联立⎨ ⎪⎩x2+y2- 2 3x = 0,⎧x = 0,解得⎨y = 0,⎪x =或⎨⎪ 3,所以C2与C1 交⎪⎩y =2,33323 cb c d a b c d b c ab b c d3点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2（Ⅱ）曲线C 1 的极坐标方程为=(∈ R ,≠ 0) ，其中0 ≤< ．因此 A 得到极坐标为(2 s in ,) ， B 的 极 坐 标 为 (2 3 cos,) ． 所 以 AB = 2 sin - 2 3 cos= 4 s in(- 3，当=5时， AB 取得最大值，最大值为4 ．624.【解析】（Ⅰ）因为(+ b )2 = a + b + 2， (+ d )2 = c + d + 2 ，由题设a +b =c +d ， ab > cd ，得( + b )2 > ( + d )2 ．因此 + > + ．（Ⅱ）（ⅰ）若 a - b < c - d ，则(a - b )2 < (c - d )2 ．即(a + b )2 - 4ab < (c + d )2 - 4cd．因为 a + b = c + d ，所以 ab > cd ，由（Ⅰ）得 + > + ．（ ⅱ ） 若 + > + ， 则 ( + b )2 > (+ d )2 ， 即 a + b + 2 >c +d + 2 ． 因 为 a + b = c + d ， 所 以 ab > cd ， 于 是 (a - b )2 = (a + b )2 - 4ab< (c + d )2 - 4cd = (c - d )2 ． 因 此 a - b < c - d ， 综 上 ， + > + 是a -b <c -d 的充要条件．a abcda c a a d a c cd a )。
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案
否
a>b
输出 a
a=a-b
b=b-a
结束
执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a =
A．0
B．2
C．4
D．14
9．已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。若三棱锥 O—
ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为
D
P
C
A．36π C．144π
2015 年高考全国卷 2 理科数学试题
1．已知集合 A {2, 1, 0,1, 2} ， B {x | (x 1)(x 2) 0} ，则 A B
A．{1, 0}
B． {0,1}
C．{1, 0,1}
D．{0,1, 2}
2．若 a 为实数，且 (2 ai)(a 2i) 4i ，则 a =
A．-1
B．0
C．1
D．2
3．根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以
下结论不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900
2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列 {an} 满足 a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则 a3 + a5 + a7 =
2015年山东省高考数学试卷(理科)
2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a25．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣37．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）执行如图程序框图，输出的T的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．。
2015年高考理科数学试题(全国Ⅰ、Ⅱ卷)
1462015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国课标Ⅰ卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1+z1i z=-，则|z |=2．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=A.C.12-D.123．设命题P ：2,2n n N n ∃∈>，则P ⌝为A. 2,2n n N n ∀∈>B. 2,2n n N n ∃∈≤C. 2,2n n N n ∀∈≤D. 2,2n n N n ∃∈=4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3125．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <， 则0y 的取值范围是A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.⎛ ⎝⎭6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下 问题:“今有 委米依垣内 角，下周八 尺，高五尺． 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则 A.1433AD AB AC =-+B. 1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC =-8．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A.13,,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.132,2,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C.13,,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.132,2,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭9．执行右面的程序框图，如果输入的 0.01t =，则输出的 n =A.5B.6C.7D.8147F E DCBA 10.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为A.10B.20C.30D.60 11．圆柱被一个平面 截去一部分后与半球 (半径为r )组成一个 几何体，该几何体三 视图中的正视图和 俯视图如图所示.若 该几何体的表面积为 16 + 20π，则r = A.1 B.2 C.4 D.812. 设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ， 使得0()0f x <，则a 的取值范围是A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = .14．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .15．若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则yx的最大值为 . 16．在平面四边形ABCD 中，75,2A B C B C ∠=∠=∠=︒=，则AB 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设11n n n b a a += ,求数列{}n b 的前n项和. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2,BE DF AE EC =⊥. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ; （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.148表中i w =81i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ,y 的关系为0.2z y x =-.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^^^121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交与,M N 两点， （Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数31(),()ln 4f x x axg x x =++=-.(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)h x f x g xx => ，讨论()h x 零点的个数.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E .(Ⅰ)若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若OA =，求ACB ∠的大小.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.149PDC A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国课标II 卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
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理科数学试题（2015、元月）时量：120分钟 满分150分一．选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、x>2是24x >的 （ A ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件2、已知“220a b +≠”，则下列命题正确的是 （ C ） A ．a 、b 都不为0 B ．a 、b 至少有一个为0C ．a 、b 至少有一个不为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0 3、若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 的值是 （ A ） A.－10 B.－14 C.10 D.144、在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为 （ B ） A.227 B. 445 C. 225 D. 447 5、在双曲线822=-y x 的右支上过右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为 （ C ） A ． 28 B ．2814- C ． 2814+ D ． 28 6、等比数列{}n a 的各项均为正数，且965=a a ，1032313log log log a a a +++ 的值为 （ B ） A ． 12 B ． 10 C ． 8 D ．5log 23+7、在同一坐标系中，方程12222=+y b x a 与02=+by ax )0(>>b a 的图象大致是（D ）8、在△ABC 中1,60==∠b A ，其面积为3，则角A 的对边的长为 （ B ） A ．57 B ．37 C ．21 D ．139、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ B ）A ．6mB ． 26mC ．4.5mD ．9m10、．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ C ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+二、填空题 (本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是12、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22x y +的最小值_____5______13、过抛物线px y 22=（p >0）的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，作PP 1、QQ 1垂直于抛物线的准线，垂足分别是P 1、Q 1，已知线段PF 、QF 的长度分别是4，9，那么|P 1Q 1|= 1214、11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是t>4或t<1 15、把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．则4,11a为 5912 345 67 8 9 10………………………理科数学试题（答卷）（2015、元月）时量：120分钟 满分150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5 分，共 50分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5 分，共25分）11、 12、 13、14、 15、三、 解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16、（本题满分12分）已知102:≤≤-x p ；22:210(0)q x x m m ++-≤> ，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。
姓名：班级： 考 考室 座位号*********************密*********************封*********************线*********************17、（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos (cos )cos 0C A A B +=.1、求角B 的大小；2、若1a c +=，求b 的取值范围。
解：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠，所以tan B = 又0B π<<，所以3B π=。
（2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-。
因为11,cos 2a c B +==，有22113()24b a =-+。
又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<。
18、（本题满分12分）已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程． 解：设所求椭圆的方程为12222=+by a x ，依题意，点P （11,y x ）、Q （22,y x ）的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y by a x 解之并整理得0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a或0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a所以222212ba a x x +-=+，222221)1(b a b a x x +-= ① 222212b a b y y +=+，222221)1(ba ab y y +-= ② 由OP ⊥OQ 02121=+⇒y y x x 22222b a b a =+⇒ ③OPQ xy又由|PQ |=2102212212)()(y y x x PQ -+-=⇒=2521221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=25 21221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=25④由①②③④可得：048324=+-b b 32222==⇒b b 或23222==⇒a a 或故所求椭圆方程为123222=+y x ，或122322=+y x 19、(本题满分13分)正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=。
1、求数列{}n a 的通项公式n a ；2、令221(2)n n n b n a +=+，数列{}nb 的前n 项和为n T 。
证明：对于任意*n N ∈，都有564n T < （1）解：由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦。
由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+。
于是112,2a S n ==≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=。
综上，数列{}n a 的通项2n a n =。
（2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+。
则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦。
222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (22221111)1151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦。
20、(本题满分13分) 一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．解：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A （3，0）、B （－3，0） 3,5,2614||||===∴<⨯=-c b a PA PB15422=-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向，∴360tan ==AP k ．∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-==-0)3(315422y x x y yx ⎩⎨⎧==358y x 得 ， 即P 点的坐标为（8，35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）．21、(本题满分13分)椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若0=⋅，求直线PQ 的方程； （准线方程为2a x c=±）解：（1）由已知由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c ca c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+y x，离心率36=e . （Ⅱ）解：由（1）可得A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①136272221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④. 由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .*********************密*********************封*********************线*********************密封 线 内 不 准 作 答。