2016年广州市一模数学文科试题

文科数学试题 第1页（共5页）
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2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合{}
11A x x =-≤≤，{}
2
20B x x x =-≤，则A B =
（A ）{}
12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}
01x x ≤≤ （2）已知复数3i
1i
z +=
+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x
⎧-≤⎪
=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为
（A ）12 （B ）15 （C ）15
- （D ）12-
（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =
，则△PAB 与△PBC 的面积之比是
（A ）
13 （B ）12 （C ）23 （D ）3
4
（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24
（6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为
（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12
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（7）在平面区域
(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的
概率为 （A ）
14 （B ）12 （C ）23 （D ）34
（8）已知()sin 6f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫
<<π ⎪⎝⎭，则
12f απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
（A
）10-
（B
）10- （C
）10
（D
）10 （9）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，
F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++= ，则12n PF P F P F +++=
（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n +
（D ）220n +
（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则
该球的体积为
（A ）20π （B
）3 （C ）5π （D
）6
（11）已知下列四个命题：
1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()1
1
f x x x =+
+，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．
其中真命题的个数是
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为
（A
）8+ （B
）8+（C
）2+ （D
）12
2
4
+
+
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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）函数()33f x x x =-的极小值为 ．
（14）设实数x ，y 满足约束条件230,
230,3x y x y x --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
， 则23z x y =-+的取值范围是 ．
（15）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0B AB F
= ，
则双曲线C 的离心率为 ．
（16）在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥
，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长
为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间
[]75,85内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽
取一个容量为6的样本，将该样本看成一
个总体，从中任意抽取2件产品，求这2 件产品都在区间[)45,65内的概率．
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（19）（本小题满分12分）
如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1
AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．
（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1
ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠=
，求点C 到平面
（20）（广一模）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出
点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（21）（广一模）（本小题满分12分）
已知函数()e ln 1x
f x m x =--.
（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()
11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.
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请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作
DE CA 交BA 的延长线于点E ．
（Ⅰ）求证：2
DE AE BE = ；
（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，
求线段AC 的长．
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l
：32
x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求
出点D 的直角坐标.
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数(
)f x x x =+- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1
2
f x ≥
的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．。