两次相遇行程问题的基本解法知识讲解

两次相遇行程问题的

基本解法

两次相遇行程问题的基本解法

例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：

240－60＝180（千米）

例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解］根据题意可画出线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B 两地间的路程就是：

（24O＋6O）÷2＝150（千米）

可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

寻找最佳的解题方法

有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。

例某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？

解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。

6÷6×12－96＝96（吨）

解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12辆汽车每天运的吨数，最后减去6辆汽车每天运的吨数。

96×（12÷6）－96＝96（吨）

解法三：先求一辆汽车一天运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车，这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。

96÷6×（12－6）＝96（吨）

答：第二天比第一天多运48吨。

你认为哪种算法最好？

我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解法？

例某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，油桶重多少千克？

解法一：把120千克扩大2倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。

120×2－210＝30（千克）

解法二：先求出半桶豆油的重量，再从120千克中去掉这半桶豆油的重量，也可得桶重。

120－（210－120）＝30（千克）

解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。

210－（210×2－120×2）＝30（千克）

解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。

210－（210—120）×2＝30（千克）

解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。

（120－210÷2）×2＝30（千克）

答：油桶重30千克。

我们再来看一道题：李师傅要加工3080个零件，他用4天加工了280个零件。照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？

解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。

（3080－280）÷（280÷4）＝40（天）

解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。

3080÷（280÷4）－4＝40（天）

解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。

4×（3080÷280）－4＝40（天）

解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少倍，最后求还需要加工多少天。

4×［（3080－280）÷28] ＝40（天）

答：加工剩下的零件还需要40天。

一道思考题的三种解法

题目是这样的：选择＋、－、×、÷中的运算符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（1） 2 2 2 2 2＝0

（2） 2 2 2 2 2＝1

（3） 2 2 2 2 2＝2

（4） 2 2 2 2 2＝3

（5） 2 2 2 2 2＝4

（6） 2 2 2 2 2＝5

（7） 2 2 2 2 2＝6

（8） 2 2 2 2 2＝7

（9） 2 2 2 2 2＝8

（10）2 2 2 2 2＝9

下面向你介绍三种解这道题的方法，希望你能受到启发，从而举一反三，学会解更多的思考题。

猜测法，也叫试验法。它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。如（1）题，先试2×2÷2＋2－2≠0，后试2÷2＋2－2＋2≠0……最后试得2÷2＋2÷2－2＝0，成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。

逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如（2）题，因为等号右边的1比等号左边的2小，所以只能在等号左边第一个2前面添上减号或者除号。如添上减号，使原题变成2 2 2 2＝3。同理又因3＞2，故可在等号左边第二个2的前面添上加号，使原题变成2 2 2＝1。这时就很容易看出2－2÷2＝1了。综合前两步逆推，就得到2－2÷2＋2－2＝1的一种解法。如继续作其它逆推，还可得到第二、第三……种解法。

前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。

下面请看第三种解法。

凑数法，这是一种综合运用知识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如（3）题，可以让等式左边的5个2两两相减得0，剩下的一个2当然就和等式右边的2相等了，即2－2＋2－2＋2＝2。

从某种意义上说，它和猜测法有相同的地方，那就是都要试验，但试验的方法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？

怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一样吗？你还有更好的方法吗？如果有，那真是太好了，因为你现在的思路宽了，解题的速度和正确率都会大大提高的。

好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。

选择适当的运算符号和括号，使下式成立。

（1）2 3 5 7 1＝2 （2）2 3 5 7 1＝4

（3）2 3 5 7 1＝6 （4）2 3 5 7 1＝8

找出等量关系解决复杂应用题

同学们在解答较复杂的应用题时，往往不知从何下手。如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。

[题目]修一多公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路长多少米？（九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题）

[分析与解］

解法一：这道题的条件是：再修300米后，已修和未修长度的比是1: 2，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。设已修的长度为x米，那么未修的长度为3x米。