2011数值分析第一次作业及参考答案
数值分析(2011)试题A卷 参考答案
装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。
2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。
5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。
（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。
二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
数值分析习题答案
数值分析习题答案数值分析习题答案数值分析是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，而数值分析提供了一种有效的方法来解决这些问题。
在学习数值分析的过程中，我们经常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些数值分析习题的解答。
习题一：给定一个函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求解f(x) = 0的根。
解答：要求解方程f(x) = 0的根，可以使用二分法。
首先，我们需要确定一个区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号。
根据f(x) = x^2 - 3x + 2的图像，我们可以选择区间[0, 3]。
然后，我们可以使用二分法来逐步缩小区间，直到找到根的近似值。
具体的步骤如下：1. 计算区间中点c = (a + b) / 2。
2. 计算f(c)的值。
3. 如果f(c)接近于0，那么c就是方程的一个根。
4. 如果f(c)和f(a)异号，那么根位于[a, c]之间，令b = c。
5. 如果f(c)和f(b)异号，那么根位于[c, b]之间，令a = c。
6. 重复步骤1-5，直到找到根的近似值。
通过多次迭代，可以得到方程f(x) = 0的一个近似根为x ≈ 1。
这个方法可以用来解决更复杂的方程，并且在实际应用中有广泛的应用。
习题二：给定一个函数f(x) = sin(x)，求解f(x) = 0的根。
解答：对于这个问题，我们可以使用牛顿迭代法来求解方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是一种通过不断逼近函数的根的方法，具体步骤如下：1. 选择一个初始近似值x0。
2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)。
3. 计算下一个近似值x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。
4. 重复步骤2和步骤3，直到找到根的近似值。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以选择初始近似值x0 = 1。
然后，我们可以计算f'(x0) = cos(x0) = cos(1) ≈ 0.5403。
数值分析大作业一
数值分析大作业一一、算法设计方案1、求λ1和λ501的值：思路：采用幂法求出按模最大特征值λmax，该值必为λ1或λ501，若λmax小于0，则λmax=λ1；否则λmax=λ501。
再经过原点平移，使用幂法迭代出矩阵A-λmax I的特征值，此时求出的按模最大特征值即为λ1和λ501的另一个值。
2、求λs的值：采用反幂法求出按模最小的特征值λmin即为λs，其中的方程组采用LU分解法进行求解。
3、求与μk最接近的特征值：对矩阵A采用带原点平移的反幂法求解最小特征值，其中平移量为：μk。
4、A的条件数cond(A)=| λmax/λmin|；5、A的行列式的值：先将A进行LU分解，再求U矩阵对角元素的乘积即为A 行列式的值。
二、源程序#include<iostream>#include<iomanip>#include<math.h>#define N 501#define E 1.0e-12 //定义精度常量#define r 2#define s 2using namespace std;double a[N];double cc[5][N];void init();double mifa();double fmifa();int max(int aa,int bb);int min(int aa,int bb);int max_3(int aa,int bb,int cc);void LU();void main(){double a1,a2,d1,d501=0,ds,det=1,miu[39],lamta,cond;int i,k;init();/*************求λ1和λ501********************/a1=mifa();if(a1<0)d1=a1; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a1; //若大于0则表示λ501的值for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-a1;a2=mifa()+a1;if(a2<0)d1=a2; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a2; //若大于0则表示λ501的值cout<<"λ1="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d1<<"\t";cout<<"λ501="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d501<<endl;/**************求λs*****************/init();ds=fmifa();cout<<"λs="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<ds<<endl;/**************求与μk最接近的特征值λik**************/cout<<"与μk最接近的特征值λik:"<<endl;for(k=0;k<39;k++){miu[k]=d1+(k+1)*(d501-d1)/40;init();for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-miu[k];lamta=fmifa()+miu[k];cout<<"λi"<<k+1<<"\t\t"<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<lamta<<en dl;}/**************求A的条件数**************/cout<<"矩阵A的条件式";cond=abs(max(abs(d1),abs(d501))/ds);cout<<"cond="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<cond<<endl;/**************求A的行列式**************/cout<<"矩阵A的行列式";init();LU();for(i=0;i<N;i++){det*=cc[2][i];}cout<<"det="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<det<<endl;system("pause");}/**************初始化函数，给a[N]赋值*************/void init(){int i;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin((double)(0.2*i))-0.64*exp((double)(0.1/i)); }/**************幂法求最大绝对特征值**************/double mifa(){int i,k=0;double u[N],y[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++) //控制最大迭代次数为2000{/***求y(k-1)***/double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;}/****求新的uk****/u[0]=a[0]*y[0]+b*y[1]+c*y[2];u[1]=b*y[0]+a[1]*y[1]+b*y[2]+c*y[3]; //前两列和最后两列单独拿出来求中D间的循环求for(i=2;i<N-2;i++){u[i]=c*y[i-2]+b*y[i-1]+a[i]*y[i]+b*y[i+1]+c*y[i+2];}u[N-2]=c*y[N-4]+b*y[N-3]+a[N-2]*y[N-2]+b*y[N-1];u[N-1]=c*y[N-3]+b*y[N-2]+a[N-1]*y[N-1];/***求beta***/double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}//cout<<"Beta"<<k<<"="<<Beta<<"\t"; 输出每次迭代的beta /***求误差***/error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E) //若迭代误差在精度水平内则可以停止迭代{return Beta;} //控制显示位数Beta_=Beta; //第个eta的值都要保存下来，为了与后个值进行误差计算 }if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} //若在最大迭代次数范围内都不能满足精度要求说明不收敛}/**************反幂法求最小绝对特¬征值**************/double fmifa(){int i,k,t;double u[N],y[N]={0},yy[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++){double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;yy[i]=y[i]; //用重新赋值，避免求解方程组的时候改变y的值}/****LU分解法解方程组Au=y，求新的***/LU();for(i=2;i<=N;i++){double temp_b=0;for(t=max(1,i-r);t<=i-1;t++)temp_b+=cc[i-t+s][t-1]*yy[t-1];yy[i-1]=yy[i-1]-temp_b;}u[N-1]=yy[N-1]/cc[s][N-1];for(i=N-1;i>=1;i--){double temp_u=0;for(t=i+1;t<=min(i+s,N);t++)temp_u+=cc[i-t+s][t-1]*u[t-1];u[i-1]=(yy[i-1]-temp_u)/cc[s][i-1];}double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E){return (1/Beta);}Beta_=Beta;}if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} }/**************求两数最大值的子程序**************/int max(int aa,int bb){return(aa>bb?aa:bb);}/**************求两数最小值的子程序**************/int min(int aa,int bb){return(aa<bb?aa:bb);}/**************求三数最大值的子程序**************/int max_3(int aa,int bb,int cc){ int tt;if(aa>bb)tt=aa;else tt=bb;if(tt<cc) tt=cc;return(tt);}/**************LU分解**************/void LU(){int i,j,k,t;double b=0.16,c=-0.064;/**赋值压缩后矩阵cc[5][501]**/for(i=2;i<N;i++)cc[0][i]=c;for(i=1;i<N;i++)cc[1][i]=b;for(i=0;i<N;i++)cc[2][i]=a[i];for(i=0;i<N-1;i++)cc[3][i]=b;for(i=0;i<N-2;i++)cc[4][i]=c;for(k=1;k<=N;k++){for(j=k;j<=min(k+s,N);j++){double temp=0;for(t=max_3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++)temp+=cc[k-t+s][t-1]*cc[t-j+s][j-1];cc[k-j+s][j-1]=cc[k-j+s][j-1]-temp;}//if(k<500){for(i=k+1;i<=min(k+r,N);i++){double temp2=0;for(t=max_3(1,i-r,k-s);t<=k-1;t++)temp2+=cc[i-t+s][t-1]*cc[t-k+s][k-1];cc[i-k+s][k-1]=(cc[i-k+s][k-1]-temp2)/cc[s][k-1];}}}}三、程序结果。
数值分析课第一次作业答案answer1
计算机习题： 1. 作多项式 p，以 −1，0，1 为零点，首项系数为 2，并计算 p(3)。 4
答案：p = poly ([−1, 0, 1])，s = polyval(p, 3)。 2. 已知函数在下列各点的值为 xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
a 6 6e+154 0 1 1
b 10 10e+154 1 -1e+5 -4
c -4 -4e+154 1 1 3.999999
-1e+155 -7e+155 1e+155 答案：第二种方法更准确，因为第一种方法是一个累加的过程。 matlab 的 x = a : h : b 和 x = a + (0 : n) ∗ h 是第二种方法实现的。 代码： format long e a = 0; b = 8; n = 9; h = (b-a)/n; x(1) = a; y(1) = a; for j = 1:n, x(j+1) = x(j) + h; y(j+1) = y(1) + j*h; end [x',y',(a:h:b)',a+(0:n)’*h] 第二章 插值法 1. 当 x = 1, −1, 2 时，f (x) = 0, −3, 4，求 f (x) 的二次插值多项式。 （计算两遍，分别用拉格朗日插值和牛顿插值）
5
f (xi ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 求 4 次牛顿插值多项式 P4 (x) 并画图。 答案： 代码： x=0.2:0.2:1.0; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]; n = length(y); if length(x)~=n, error('x and y are not compatible'); end D = zeros(n,n); D(:,1)=y(:); for j=2:n for i=j:n D(i,j) = (D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end p=D(1,1)*[zeros(1,n-1),1]; for k=2:n p=p+D(k,k)*[zeros(1,n-k),poly(x(1:k-1))]; end x=0.2:0.01:1.0; z=polyval(p,x); plot(x,z) 比较：p = polyf it(x, y, 4)。
(完整版)数值分析第一次作业
问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ， 则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、 确定求积公式 尽量高,则 A0=_
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ （ c ） c ）
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。
数值分析第一次作业答案
作业1.用如下数值表构造不超过3次的插值多项式2. P55 11题.给出概率积分⎰-=xxdxey 022π的数据表用2次插值计算，试问：(1) 当x = 0.472时，积分值等于多少? (2) 当x 为何值时，积分值等于0.5？ 解：(1) 取x 0 = 0.47， x 1 = 0.48, x 2 = 0.4980.4955530040.04093346-80.1809899240.355496540.51166830.50274980.4937452=+=----⨯+----⨯+----⨯==----+----+----≈)48.049.0)(47.049.0()48.0472.0)(47.0472.0()49.048.0)(47.048.0()49.0472.0)(47.0472.0()49.0472.0)(48.047.0()49.0472.0)(48.0472.0()472.0())(())(())(())(())(())(()472.0(2120210221120121210y Lxx xx xxy x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y(2)90.4769359350.05272367-80.4362204360.093439170.50274980.51166830.49374520.51166830.50274980.49374520.49 0.51166830.50274980.49374520.50274980.51166830.49374520.48 0.51166830.49374520.50274980.49374520.51166830.50274980.47=+=----⨯+----⨯+----⨯==----+----+----≈))(()5.0)(5.0())(()5.0)(5.0())(()5.0)(5.0()5.0())(())(())(())(())(())(()5.0(212210221120121210Lyyy y yy xy y yy y y xyyyy yy xy y y y y y x3. 证明方程e x +10x －2＝0在区间[0，1]内有一个根，如果使用二分法求该区间内的根，且误差不超过10－6，试问需要二分区间[0，1]多少次？4. 设x t ＝451.01为准确值，x a ＝451.023为x t 的近似值，试求出x a 有效数字的位数及相对误差 作业答案1.解：N 2(x ) = f (0)+f [0，1](x -0)+ f [0，1，2](x -0) (x -1) 1＋1×(x -0) ＋3×(x -0) (x -1)＝3x 2-2x +1 为求得P 3(x )，根据插值条件知，P 3(x )应具有下面的形式 P 3(x )＝N 2(x )＋k (x -0) (x -1) (x -2)，这样的P 3(x )自然满足：P 3(x i )= f (x i )由P 3’(1 )=3P 3’(1 )= N 2’(1 )+k (1-0) (1-2) =N 2’(1 )－k = 4－k=3∴ k =1∴ P 3(x )＝N 2(x )＋ (x -0) (x -1) (x -2)=x 3+1 3. 证明 令f (x )＝e x +10x －2，∵ f (0)=-1<0，f (1)=e+8> 0∴ f (x )= e x +10x －2 =0在[0，1]有根。
数值分析课后习题答案
数值分析课后习题答案数值分析课后习题答案数值分析是一门应用数学的学科，主要研究用数值方法解决数学问题的理论和方法。
在学习数值分析课程时，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对数值方法的理解和掌握。
下面将为大家提供一些数值分析课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法。
给定一组已知数据点，我们希望通过插值方法找到一个函数，使得该函数在已知数据点上的取值与给定数据点的值尽可能接近。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
下面是一个使用拉格朗日插值法求解的习题：已知函数f(x)=sin(x)，求在区间[0, π/2]上的插值多项式P(x)，使得P(0)=0，P(π/2)=1。
解答：根据拉格朗日插值法的原理，我们需要构造一个满足条件的插值多项式。
首先，我们需要确定插值节点。
根据题目要求，我们取两个插值节点：x0=0，x1=π/2。
然后，我们需要确定插值多项式的系数。
设插值多项式为P(x)=a0+a1x，代入已知条件可得到两个方程：P(0)=a0=0P(π/2)=a0+a1(π/2)=1解方程组可得，a0=0，a1=2/π。
因此，插值多项式为P(x)=2x/π。
2. 数值积分是数值分析中的另一个重要内容。
它主要研究如何用数值方法计算函数的定积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
下面是一个使用梯形法则求解的习题：计算定积分∫[0, 1] e^(-x^2) dx。
解答：根据梯形法则的原理，我们可以将定积分转化为离散的求和问题。
首先，我们将积分区间[0, 1]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=1/n。
然后，我们在每个小区间的两个端点上计算函数值，并将其加权求和。
根据梯形法则的公式，我们可以得到近似解为：∫[0, 1] e^(-x^2) dx ≈ h/2 * (f(0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(1))其中，f(x)表示函数e^(-x^2)在点x处的取值。
2011数值分析试题及答案
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改 进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精 度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
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(完整word版)三峡大学2010-2011数值分析试题
二、（10分）求下列超定线性方程组的最小二乘解. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+00212212121x x x x x x三、(10分) 在区间[]4,2上利用压缩映像原理判断迭代格式Λ,2,1,0,321=+=+k x x k k 的敛散性.四、（14分）设n n ij R a A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i Λ=≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵,试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+1710712752121x x x x五、(10分) 已知)(x f y =的函数值如下表: 28.44.54.79.77.888.74.52.10)(20181614121086420x f x利用所有数据,用复合辛普森（Simpson ）公式计算积分dx x f ⎰20)(的近似值.六、(10分) 取节点1,010==x x ,写出xe x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.七、（10分）分别写出解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=+-1874165321321321x x x x x x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由.八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=+='1)0(y yx y )10(≤≤x(1) 写出用欧拉（Euler ）方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进欧拉（Euler ）方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式.九、（10分）求线性代数方程组Ax b =的数值解法主要有矩阵的直接分解法(如LU 分解法、Crout 分解法、Cholesky 分解法等)和迭代法（如Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法）.请你简述求解线性代数方程组Ax b =的直接分解法和迭代法这两类方法的不同点和相同点.。
数值分析第一次作业
数值分析A卷(2011年秋)
三、 （10 分）设 f ( x) 在 [ x0 , x3 ] 上有 5 阶连续导数，且 x0 x1 x2 x3 ， （1）试作一个次数不高于 4 次的多项式 H 4 ( x) ，满足条件
H 4 ( x j ) f ( x j ) , j 0,1, 2,3, ' ' H 4 ( x1 ) f ( x1 ) ;
(D)、它不是插值型求积公式。
y f x, y 1、求解常微分方程初值问题 的改进的欧拉法是 y x0 y0
阶方法。 ，其 收 敛 阶
2 、 解 非 线性方程 f x 0 的单根 的牛顿法 格 式为 为 。
4 1 2 2 ， x 1 ， 则 Ax 3 2 1 1 3 3、设矩阵 A 1 2
（2）写出 E( x) f ( x) H 4 ( x) 的表达式。
四、 （10 分）求 f ( x) e x 在 [0,1] 上的二次最佳平方逼近，权为 1。
3
五、 （10 分）用 n 2, 3 的高斯－勒让德公式计算积分 e x sin xdx
1
六、 （10 分）已知
0 1 2 1 , b ， 2 5 8 1 请用 Doolittle 三角分解法求解线性方程组 Ax b 。 1 3 7 7 1 3 9 9
，对于其产生的数列 k 0 , 1, 2 , xk ，下列说法正确的是
(A)、若数列 xk 收敛，则迭代函数 x 唯一； (B)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (C)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (D)、若对于 x a, b ， x L 1 ，则 xk 收敛。 3、对矩阵 A 采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（ (A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值； (B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值； (C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值； (D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。 ） 。
《数值分析》第一章答案
《数值分析》第⼀章答案习题11．以下各表⽰的近似数，问具有⼏位有效数字？并将它舍⼊成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31， 4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字，→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析（宋）第1次大作业Hilbert矩阵病态问题研究
Hilbert 矩阵病态问题研究 （数值分析第一次大作业） 姓名：** 学号：** 班级：**1）Hilbert 矩阵的阶数n 与ln(())n cond H 的关系猜想：ln(())n cond H 与n 呈线性关系，其中()n cond H 按2范数计算。
绘制ln(())n cond H n 曲线。
分别取11050500n ≤≤、、，得到ln(())n cond H n 曲线如图1-1、图1-2及图1-3所示。
程序详见附录1。
图1-1. 110n ≤≤由图1-1可知，110n ≤≤，ln(())n cond H 是n 的线性函数，猜想正确。
图1-2. 150n ≤≤由图1-2知，当15n >时，ln(())n cond H 与n 之间的线性关系已经不存在，而且ln(())n cond H 的值大致在(40,50)内间波动，猜想与实际不完全相符。
图1-3. 1500n ≤≤图1-3进一步说明了ln(())n cond H 与n 之间的变化关系：当n 小于某一值（设该值为k ）时，ln(())n cond H 是n 的线性函数，而当n 大于k 时，随着n 的增大，ln(())n cond H 与n 间的线性关系不再成立，且其值在某一区间内波动。
为进一步确定k 的大小，绘制114n ≤≤时的曲线，如图1-4所示，可知k 的取值应为13。
图1-4. 114n ≤≤2）由n H 至ˆnH 的预处理 绘制ˆln(()/())n n cond H cond H n 曲线。
其中11ˆn nH D H D --=，D 为由n H 的对角元素开方构成的对角矩阵。
条件数按2范数计算。
程序详见附录2。
分别取11350500n ≤≤、、，得到如图2-1、图2-2和图2-3所示曲线。
由曲线图像可知：当Hilbert 矩阵的阶数12n ≤时，ˆln(()/())n ncond H cond H 随n 增大而逐渐减小，而n 继续增大时，ˆln(()/())n n cond H cond H 的取值将在区间(-7,4)内波动，且主要集中在(0,-3)区间内。
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数值计算方法第一次作业及参考答案1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故 2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-（3）用对角线上的数据写出插值多项式22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+2. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e heξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t th--+±<<在点得3.求2()f x x=在［a,b］上的分段线性插值函数()hI x，并估计误差。
解：22221111112211111()()k k k kh k kk k k k k kk k k kk k k kk kx x x x x xI x x x xx x x x x xx x x xx x x x xx x+++++++++++---=+=---⋅-⋅-=+--[]2112211()()()[()]11()()44h h k k k kk k k kR x f x I x x x x x x xx x x x x x h++++=-=-+-=--≤-=4.已知单调连续函数()y f x=的如下数据用插值法计算x约为多少时() 1.f x=（小数点后至少保留4位）解：作辅助函数()()1,g x f x=-则问题转化为x为多少时，()0.g x=此时可作新的关于()ig x的函数表。
由()f x单调连续知()g x也单调连续，因此可对()g x的数值进行反插。
的牛顿型插值多项式为1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)x g y y y y y y y -==-+++++-++-故 1(0) 1.321497.x g -==5. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式3()P x ，使其满足3(0)0P =，3(1)1P =，3'(1)3P =,3(2)1P = 。
并写出误差估计式。
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()P x ， 32357()722p x x x x =-+-2112(1)()(2);()(1)(2);();2x x x x x x x x x x αβα-=--=---=由题意可设23()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--为确定待定函数()k x ，作辅助函数： 23()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =---- 则()g t 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1t x t ==为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)ξ∈使4()0g ξ=，从而得(4)1()()4!k x f ξ=。
故误差估计式为(4)21()()(1)(2)(0,3)4!R x f x x x ξξ=--∈6. 设函数()y f x =在节点0,1,2,3x =的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数()S x ：（1）''(0)1,(3)0f f == （2）''''(0)1,(3)0f f ==解：（1）取i x 处的一阶导数i m 作为参数，1,2i =。
由于11111,1,3([,][,])022i i i i i i i i i i i i i h g f x x f x x h h λμλλμ-+-===-==+=+以及由三转角方程 112,1,2i i i i i i m m m g i λμ-+++==得 012123112022112022m m m m m m ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 由于031,0,m m ==从而 12124140m m m m +=-⎧⎨+=⎩解之可得124/15,1/15m m =-=故 2(1)(1511)/15,[0,1]()(1)(2)(73)/15,[1,2](3)(2)/15,[2,3]x x x x S x x x x x x x x --∈⎧⎪=---∈⎨⎪--∈⎩（2）取i x 处的二阶导数i M 作为参数，1,2i =。
由于111111,1,6[,,]022i i i i i i i i i i h d f x x x h h μλμ--+-===-===+以及由三弯矩方程0121112311202221,2112022i i i i i iM M M M M M d i M M M μλ-+⎧++=⎪⎪++==⇒⎨⎪++=⎪⎩ 由于031,0,M M ==代入方程可得 134/15,1/15,M M =-=故 (1)(1926)/90,[0,1]()(1)(2)(512)/90,[1,2](3)(2)(4)/90,[2,3]x x x x S x x x x x x x x x --∈⎧⎪=---∈⎨⎪---∈⎩7．编程实现题：略。
8、试求 ()sin ,[0,]2f x x x π=∈最佳一次一致逼近多项式。
解：因为''()sin f x x =-在[0,/2]π内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为*1111()[(0)()]/2(/2)P x f f x a x x =++-式中 '11111(/2)(0)20.63661977()cos 0.88068924/20f f a a f x x x πππ-=====⇒=-从而 *1111()(sin )/2(/2)0.105256830.63661977P x x a x x x =+-=+9、给定43()1f x x x =+-，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在[0,1]上求()f x 的三次最佳一致逼近多项式。
2342234(()21,()43,()881)T x x T x x x T x x x =-=-=-+解：令4311121()()()3() 1.222t t t t x f x f +++=-⇒==+- 设*3()P x 为()f x 在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式，由于1()2t f +的首项系数为412，故 *3441*43423*434233211116[()()]()2221111()()()1(881)2221681()(31)[8(21)8(21)1]168511293.[0,1]44128t t f P T t t t t P t t P x x x x x x x x x -++-=+++⇒=+---+⨯⇒=+-----+⨯=-+-∈10、设{}{}100101121,,,span x span x x ϕϕ==，分别在12ϕϕ、上求一函数，使其为2[0,1]x C ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
解：**01112000100121110011220100***010*1***101221221 (,)11,(,),211(,),(,),3211(,)1,(,),34111123()611161234a a xdx xdx x dx f x dx f x xdx a a a x xa a a fϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕδ=+========⋅==⋅=⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⇒⇒=-+⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=-⎰⎰⎰⎰⎰*1(1)设因1*(,)0.00556k k k a f ϕ=≈∑**100*1012011110021001010001100011110121021031101000**01**01(2)()11(,)(),(,)(,),201202111(,)(),(,),(,).203103104111201202103111202203104x b x b x x dx x x dx x dx f x dx f x dx b b b b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+====⋅=======⎧+=⇒+=⎰⎰⎰⎰⎰设*0*1*10010121122*4222375.24253375.14825()375.24253375.14825.11(,)[375.24253375.14825]0.16406103104k k k b b x x x fb f x dx ϕδϕ=⎪⎧≈⎪⇒⎨⎨≈-⎩⎪⎪⎩⇒=-=-=-⨯-⨯≈∑⎰ 由结果知（1）比（2）好。
11、用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。
解：44222010000442011001044411110044000042110()1,().(,)()15,(,)(,)()()5327,(,)()()7277699,(,)()271.4,(,)()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x y x y y y x y x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==========================∑∑∑∑∑∑∑∑∑因有422201222369321.5,55327271.40.972604553277277699369321.50.05003510.97260450.0500351.(,)(,)0.016954.0.130207526.i i y a b a a b b y x y a y b y δϕϕδ==+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩⇒=+=--==∑12、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。