拉普拉斯反变换的方法

3. D( s ) = 0含有重根
例7 设 F ( s ) s 3 ，求f ( t )。 (s 1)2
解 其中
则
F (s) K11 K12 (s 1)2 s 1
K 1 1 ( s 1)2 F ( s )
2
s1
K 12
d ds
(s 3) s1
1
f (t) （2tet et ) (t)
1
s 2
F (s) 2 3 1 s s 1 s 2
原函数为：
f (t) (2 3et e2t ) (t)
1. D( s ) = 0的根均为单实根
例2
设
F
(s)
s (s
1)(s
2)
，求f ( t )。
解 F (s)
s
K1 5
的原函数 f (t)
F(s) s 2 (s 1) 1 (s 1)2 4 (s 1)2 22
s 1 1
2
sin0t
s 20
2 0
cos0t
s
s2
2 0
(s 1)2 22 2 (s 1)2 22
f (t) et (cos 2t 1 sin 2t) (t)
eat sin0t
其中 K11 (s 1)3 F(s) s1 2
K12
d [(s ds
1)3 F (s)]
s 1
1
K13
1 2
d2 ds 2
[(s
1)3 F (s)]
s1
1
F(s) 2 1 1 1 (s 1)3 (s 1)2 s 1 s 2
K2 (s 2)F(s) s2 1
f (t) (t2et tet et e2t ) (t)
例 1 求 F(s) s 4 的原函数 f (t) 。
s3 3s2 2s
解：F(s)
s3
K1 K2 K3
s(s 1)(s 2) s s 1 s 2
K1 s
s4
2
s(s 1)(s 2)
s0
s4
K2 (s 1) s(s 1)(s 2) 3 s 1
K3 (s 2)
s 4 s(s 1)(s 2)
(s
0
a)2
2 0
2
通过配方将共轭复根作为整体考虑
eat cos0t
s
sa
a
2
2 0
可简化运算
3. D( s ) = 0含有重根
设
F(s) N(s)
(s p1)m
则
F (s) K11 K12 K1m
(s p1)m (s p1)m1
s p1
其中 K11 (s p 1)3 F (s) sp1
K12te p1t
K13e p1t ) (t)
3. D( s ) = 0含有重根
例6 解
s3
设 F (s) (s 1)3 (s 2)，求f ( t )。 1 1 t(n1)ep t1 (t)
F (s) K11 K12 K13 K2
(s p1)n (n 1)!
(s 1)3 (s 1)2 s 1 s 2
F(s)
N (s)
bmsm
b
sm1
m1
L
b1s b0
D(s)
sn
a
sn1
n 1
L
a1s a0
对分母多项式进行因式分解
D(s) (s p1)(s p2 )L (s pn )
p1p1, p2,L , pn 为 D(s) 0 的根，称为 F (s) 的极点
1. D( s ) = 0的根均为单实根
(s 2)(s2 2s 2)
F(s) K1 K2 K3 s 2 s 1 j s 1 j
K1
(s
2)F (s)
2s 6s 6 s2 2s 2
s 2
1
2s2 6s 6
1 1 1 j
K2 (s 1 j)F (s) (s 2)(s 1 j)
2 j2
s1 j
e4 2
K3
解 其中
F (s)
K1
K2
s (1 j) s (1 j)
K1
1 2
j1 2
2 e j45 2
所以
K 2
1 2
j
1 2
2 e j45 2
f ( t ) K 1e s1t K 2e s2t
[ 2et cos(t 45)] (t)
2. D( s ) = 0有共轭复根
例4：求 F(s) 2s2 6s 6 的原函数 f (t)
其中 K 1 ( s 1 ) F ( s ) s 1 1
K 2 (s 2)F (s) s2 2
所以 F ( s ) 1 2 s 1 s1 则 f (t) (et 2e2t ) (t)
2. D( s ) = 0有共轭复根
例3
设 F (s) s 2
s2 2s 2
，求f ( t )。
若m≥n，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式 P(s)与有理真分式之和。
F (s) P(s) B( s) A( s)
例如：
F(s) 2s3 s2 1 2s 5 11s 9
s2 3s 2
s2 3s 2
而
L1[1] (t ) L1[sn ] (n) (t )
K12 dds(s p1 )3F (s)
1
1 t(n1)ep t1 (t)
(s p1)n (n 1)!
2
s p1
对应的原信号为
K13 k1n
1 2
d ds2
(s
p1)3F
(s)
s p1
1
dn1
(n 1)! dsn1 [(s
p1)m
F
f (t) (1 2
(s)] sp1
K11t 2ep t1
信号与系统
第23讲 拉普拉斯反变换的方法
拉普拉斯反变换方法
f (t) 1 j F (s)estds t 0 2π j j
直接利用定义求反变换涉及复变函数 积分，比较困难。
部分分式展开:将象函数分解为简单部分 分式之和，利用拉氏变换的线性性质和 常用信号的拉氏变换，从而得到原函数。
部分分式展开法求拉氏反变换
F(s)
K1
K2
L
Kn
n
Ki
s p1 s p2
s pn i1 s pi
式中 Ki (s pi ) F(s) s p i
而
s
Ki pi
Ki e pit (t)
则 f t (K1e p1t K2e p2t L K ne pnt )(t)
1. D( s ) = 0的根均为单实根
(s
1
j)F (s)
2s2 6s 6 (s 2)(s 1 j)
1 2
j
1 2
s1 j
1
j
e4
2
1
j
e4
1
j
e4
F(s) 1 2 2
s 2 s 1 j s 1 j
f (t) e2t 2ect os(t 4)(t)
2. D( s ) = 0有共轭复根
例5：求 F(s) s 2